TUD_MATH_BA/Vorlesung LAAG.tex

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\title{\textbf{Lineare Algebra 1. Semester (WS2017/18)}}
\author{Dozent: Prof. Dr. Arno Fehm}
\date{}
\begin{document}

\maketitle
\renewcommand*{\arraystretch}{1.4}

\raggedright 
\section{Grundgegriffe der Linearen Algebra}
	\subsection{Logik und Mengen}
		Wir werden die Grundlagen der Logik und der Mengenlehre kurz ansprechen.
		\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Aussagenlogik}
			Jede mathematisch sinnvolle Aussage ist entweder wahr oder falsch, aber nie beides!
			\begin{compactitem}
				\item "'$1+1=2$"' $\to$ wahr
				\item "'$1+1=3$"' $\to$ falsch
				\item "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
			\end{compactitem}
			Man ordnet jeder mathematischen Aussage $A$ einen Wahrheitswert "'wahr"' oder "'falsch"' zu. Aussagen
			lassen sich mit logischen Verkn\"upfungen zu neuen Aussagen zusammensetzen.
			\begin{compactitem}
				\item $\lor \to$ oder
				\item $\land \to$ und
				\item $\lnot \to$ nicht
				\item $\Rightarrow \to$ impliziert
				\item $\iff \to$ \"aquivalent
			\end{compactitem}
			Sind also $A$ und $B$ zwei Aussagen, so ist auch $A \lor B$, $A \land B$, $\lnot A$, 
			$A \Rightarrow B$ und $A \iff B$ Aussagen. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzen Aussage ist
			eindeutig bestimmt durch die Wahrheitswerte ihrer Einzelaussagen.
			\begin{compactitem}
				\item $\lnot (1+1=3) \to$ wahr
				\item "'2 ist ungerade"' $\Rightarrow$ "'3 ist gerade"' $\to$ wahr
				\item "'2 ist gerade"' $\Rightarrow$ "'Es gibt unendlich viele Primzahlen"' $\to$ wahr
			\end{compactitem}
			$\newline$
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
						$A$ & $B$ & $A \lor B$ & $A \land B$ & $\lnot A$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
					\hline
						w & w & w & w & f & w & w\\
					\hline
						w & f & w & f & f & f & f\\
					\hline
						f & w & w & f & w & w & f\\
					\hline
						f & f & f & f & w & w & w\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Pr\"adikatenlogik}
			Wir werden die Quantoren
			\begin{compactitem}
				\item $\forall$ (Allquantor, "'f\"ur alle"') und
				\item $\exists$ (Existenzquantor, "'es gibt"') verwenden.
			\end{compactitem}
			Ist $P(x)$ eine Aussage, deren Wahrheitswert von einem unbestimmten $x$ abh\"angt, so ist \\
			$\forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ f\"ur alle $x$ wahr ist, \\
			$\exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ f\"ur mindestens ein $x$ wahr ist. \\
			$\newline$
			Insbesondere ist $\lnot \forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\exists x: \lnot P(x)$ wahr ist. \\
			Analog ist $\lnot \exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\forall x: \lnot P(x)$ wahr ist.
			
		\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Beweise}
			Unter einem Beweis verstehen wir die l\"uckenlose Herleitung einer mathematischen Aussage aus einer
			Menge von Axiomen, Vorraussetzungen und schon fr\"uher bewiesenen Aussagen. \\
			Einige Beweismethoden:
			\begin{compactitem}
				\item \textbf{Widerspruchsbeweis} \\
				Man nimmt an, dass eine zu beweisende Aussage $A$ falsch sei und leitet daraus ab, dass eine 
				andere Aussage sowohl falsch als auch wahr ist. Formal nutzt man die G\"ultigkeit der Aussage
				$\lnot A \Rightarrow (B \land \lnot B) \Rightarrow A$.
				\item \textbf{Kontraposition} \\
				Ist eine Aussage $A \Rightarrow B$ zu beweisen, kann man stattdessen die Implikation 
				$\lnot B \Rightarrow \lnot A$ beweisen.
				\item \textbf{vollst\"andige Induktion} \\
				Will man eine Aussage $P(n)$ f\"ur alle nat\"urlichen Zahlen zeigen, so gen\"ugt es, zu zeigen,
				dass $P(1)$ gilt und dass unter der Induktionsbehauptung $P(n)$ stets auch $P(n+1)$ gilt 
				(Induktionschritt). Dann gilt $P(n)$ f\"ur alle $n$. \\
				Es gilt also das Induktionsschema: $P(1) \land \forall n: (P(n) \Rightarrow P(n+1)) \Rightarrow
				\forall n: P(n)$.
			\end{compactitem}
			
		\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Mengenlehre}
			Jede Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Eine
			Menge enth\"alt also solche Objekte, die Elemente der Menge. Die Menge ist durch ihre Elemente
			vollst\"andig bestimmt. Diese Objekte k\"onnen f\"ur uns verschiedene mathematische Objekte, wie
			Zahlen, Funktionen oder andere Mengen sein. Man schreibt $x \in M$ bzw. $x \notin M$, wenn x ein
			bzw. kein Element der Menge ist. \\
			$\newline$
			Ist $P(x)$ ein Pr\"adikat, so bezeichnet man eine Menge mit $X := \{x \mid P(x)\}$. Hierbei muss
			man vorsichtig sein, denn nicht immer lassen sich alle $x$ f\"ur die $P(x)$ gilt, widerspruchsfrei
			zu einer Menge zusammenfassen. \\
			$\newline$
			
			\textbf{Beispiel: endliche Mengen} \\
			Eine Menge hei{\ss}t endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente enth\"alt. Endliche Mengen
			notiert man oft in aufz\"ahlender Form: $M = \{1;2;3;4;5;6\}$. Hierbei ist die Reihenfolge
			der Elemente nicht relevant, auch nicht die H\"aufigkeit eines Elements. \\
			Sind die Elemente paarweise verschieden, dann ist die Anzahl der Elemente die M\"achtigkeit
			(oder Kardinalit\"at) der Menge, die wir mit $|M|$ bezeichnen. \\
			$\newline$
			\textbf{Beispiel: unendliche Mengen} \\
			\begin{compactitem}
				\item Menge der nat\"urlichen Zahlen: $\mathbb N := \{1,2,3,4,...\}$
				\item Menge der nat\"urlichen Zahlen mit der 0: $\mathbb N_0 := \{0,1,2,3,4,...\}$
				\item Menge der ganzen Zahlen: $\mathbb Z := \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$
				\item Menge der rationalen Zahlen: $\mathbb Q := \{\frac p q \mid p,q \in \mathbb Z, q 
				\neq 0\}$
				\item Menge der reellen Zahlen: $\mathbb R := \{x \mid x$ ist eine reelle Zahl$\}$
			\end{compactitem}
			Ist $M$ eine Menge, so gilt $|M|=\infty$ \\
			$\newline$
			
			\textbf{Beispiel: leere Menge} \\
			Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente hat, die leere Menge $0 := \{\}$.
			
			\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
				\textbf{Definition Teilmenge:} Sind $X$ und $Y$ zwei Mengen, so heißt $X$ eine Teilmenge von 
				$Y$, wenn jedes Element von $X$ auch Element von $Y$ ist, dass heißt wenn für alle 
				$x$ $(x \in X \Rightarrow x \in Y)$ gilt.
			\end{mdframed}
			
			Da eine Menge durch ihre Elemente bestimmt ist, gilt $X = Y \Rightarrow (X \subset Y)\land
			(Y \subset X)$. Will man Mengengleichheit beweisen, so gen\"ugt es, die beiden Inklusionen
			$X \subset Y$ und $Y \subset X$ zu beweisen. \\
			$\newline$
			
			Ist $X$ eine Menge und $P(x)$ ein Pr\"adikat, so bezeichnet man mit $Y:= \{x \in X \mid
			P(x)\}$ die Teilmenge von $X$, die das Pr\"adikat $P(x)$ erf\"ullen. \\
			
			\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
				\textbf{Definition Mengenoperationen:} Seien $X$ und $Y$ Mengen. Man definiert daraus 
				weitere Mengen wie folgt:
				\begin{compactitem}
					\item $X \cup Y := \{x \mid x \in X \lor x \in Y\}$
					\item $X \cap Y := \{x \mid x \in X \land x \in Y\}$
					\item $X \backslash Y := \{x \in X \mid x \notin Y\}$
					\item $X \times Y := \{(x,y) \mid x \in X \land y \in Y\}$
					\item $\mathcal P(X) := \{Y \mid Y \subset X\}$
				\end{compactitem}
			\end{mdframed}
			
			Neben den offensichtlichen Mengengesetzen, wie dem Kommutaivgesetz, gibt es auch weniger 
			offensichtliche Gesetze, wie die Gesetze von de Morgan: F\"ur $X_1, X_2 \subset X$ gilt:
			\begin{compactitem}
				\item $X \backslash (X_1 \cup X_2) = (X \backslash X_1) \cap (X \backslash X_2)$
				\item $X \backslash (X_1 \cap X_2) = (X \backslash X_1) \cup (X \backslash X_2)$
			\end{compactitem}
			$\newline$
			
			Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen, so gilt:
			\begin{compactitem}
				\item $|X \times Y| = |X| \cdot |Y|$
				\item $|\mathcal P(X)| = 2^{|X|}$
			\end{compactitem}
			
	\subsection{Abbildungen}
		\subsubsection{\"Uberblick \"uber Abbildungen}
			Eine Abbildung $f$ von eine Menge $X$ in einer Menge $Y$ ist eine Vorschrift, die jedem $x \in X$
			auf eindeutige Weise genau ein Element $f(x) \in Y$ zuordnet. Man schreibt dies als 
			\begin{equation*}
			f:
				\begin{cases}
					X \to Y \\ x \mapsto y
				\end{cases}
			\end{equation*}
			oder $f: X \to Y, x \mapsto y$ oder noch einfacher $f: X \to Y$. Dabei hei{\ss}t $X$ die
			Definitions- und $Y$ die Zielmenge von $f$. Zwei Abbildungen heißen gleich, wenn ihre
			Definitionsmengen und Zielmengen gleich sind und sie jedem $x \in X$ das selbe Element
			$y \in Y$ zuordnen. Die Abbildungen von $X$ nach $Y$ bilden wieder eine Menge, welche wir 
			mit \textbf{Abb($X$,$Y$)} bezeichnen. \\
			$\newline$
			
			Beispiele: \\
			\begin{compactitem}
				\item Abbildungen mit Zielmenge $\mathbb R$ nennt man Funktion: $f: \mathbb R \to \mathbb
				R, x \mapsto x^2$
				\item Abbildungen mit Zielmenge $\subset$ Definitionsmenge: $f: \mathbb R \to \mathbb
				R_{\le 0}, x \mapsto x^2$ \\
				$\to$ Diese Abbildungen sind verschieden, da sie nicht die selbe Zielmenge haben.
				\item $f: \{0,1\} \to \mathbb R, x \mapsto x^2$
				\item $f: \{0,1\} \to \mathbb R, x \mapsto x$ \\
				$\to$ Diese Funktionen sind gleich. Sie haben die gleichen Definitions- und Zielmengen 
				und sie ordnen jedem Element der Definitionsmenge das gleiche Element der Zielmenge zu.
			\end{compactitem}
			$\newline$
			
			Beispiele: \\
			\begin{compactitem}
				\item auf jeder Menge $X$ gibt es die identische Abbildung (Identit\"at) \\ $id: X \to X, x 
				\mapsto x$
				\item allgemein kann man zu jeder Teilmenge $A \subset X$ die Inklusionsabbildung zuordnen
				$\iota_A: A \to X, x \mapsto x$
				\item zu je zwei Mengen $X$ und $Y$ und einem festen $y_0 \in Y$ gibt es die konstante
				Abbildung $c_{y_0}: X \to Y x \mapsto y_0$
				\item zu jder Menge $X$ und Teilmenge $A \subset X$ definiert man die charakteristische 
				Funktion\\ $\chi_A: X \to \mathbb R,
				\begin{cases}
					x \mapsto 1 \quad(x \in A) \\ x \mapsto 0 \quad(x \notin A)
				\end{cases}
				$
				\item zu jeder Menge $X$ gibt es die Abbildung \\ $f: X \times X \to \mathbb R, (x,y) \mapsto
				\delta_{x,y} \begin{cases} 1 \quad (x=y) \\ 0 \quad (x \neq y) \end{cases}$
			\end{compactitem}
			$\newline$
			
			\textbf{Eigenschaften von Funktionen:} \\
			\begin{compactitem}
				\item injektiv: Zuordnung ist eindeutig: $F(m_1) = F(m_2) \Rightarrow m_1=m_2$ \\
				Bsp: $x^2$ ist nicht injektiv, da $F(-2)=F(2)=4$
				\item surjektiv: $F(M)=N$ ($\forall n \in N \; \exists m \in M \mid F(m)=n$) \\
				Bsp: $sin(x)$ ist nicht surjektiv, da es kein $x$ f\"ur $y=27$ gibt
				\item bijektiv: injektiv und surjektiv
			\end{compactitem}
			
			\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
				\textbf{Definition Einschr\"ankung:} Sei $f: x \mapsto y$ eine Abbildung. F\"ur $A \subset X$
				definiert man die Einschr\"ankung/Restrikton von $f$ auf $A$ als die Abbildung $f \mid_A 
				A \to Y, a \mapsto f(a)$. \\
				Das Bild von $A$ unter $f$ ist $f(A) := \{f(a): a \in A\}$. \\
				Das Urbild einer Menge $B \subset Y$ unter $f$ ist $f^{-1} := \{x \in X: f(x) \in B\}$. \\
				Man nennt $Image(f) := f(X)$ das Bild von $f$.
			\end{mdframed}
			
			\textbf{Bemerkungen zur abstrakteren Betrachtungsweise:} \\
			Man ordnet der Abbildung $f: X \to Y$ auch die Abbildungen $\mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ und
			$\mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)$ auf den Potenzmengen zu. Man benutzt hier das gleiche 
			Symbol $f(…)$ sowohl für die Abbildung $f: X \to Y$ als auch f\"ur $f: P(X) \to P(Y)$, was 
			unvorsichtig ist, aber keine Probleme bereiten sollte. \\
			In anderen Vorlesungen wird f\"ur $y \in Y$ auch $f^{-1}(y)$ statt $f^{-1}(\{y\})$ geschrieben. \\
			$\newline$
			
			\textbf{Bemerkungen:} \\
			Genau dann ist $f: X \to Y$ surjektiv, wenn $Image(f)=Y$ \\
			Genau dann ist $f: X \to Y \begin{cases} $injektiv$ \\ $surjektiv$ \\ $bijektiv$ \end{cases}$, wenn
			$|f^{-1}(\{y\})| = \begin{cases} \le 1 \\ \ge 1 \\ =1  \end{cases} \quad \forall y \in Y$ \\
			
			\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
				\textbf{Definition Komposition:} Sind $f: X \to Y$ und $g: Y \to Z$ Abbildungen, so ist die
				Komposition $g \circ f$ die Abbildung $g \circ f := X \to Z, x \mapsto g(f(x))$. Man kann 
				die Komposition auffassen als eine Abbildung $\circ: Abb(Y,Z) \times Abb(X,Y) \to Abb(X,Z)$.
			\end{mdframed}
			
			\begin{framed}
				\textbf{Satz:} Die Abbildung von Kompositionen ist assotiativ, d.h. es gilt: $h \circ (g 
				\circ f) = (h \circ g)\circ f$.
			\end{framed}
			
			\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
				\textbf{Definition Umkehrabbildung:} Ist $f: X \to Y$ bijektiv, so gibt es zu jedem $y \in Y$
				genau ein $x_y \in X$ mit $f(x_y)=y$, durch $f^{-1}: Y \to X, y \mapsto x_y$ wird also eine 
				Abbildung definiert, die Umkehrabbildung zu $f$. 
			\end{mdframed}
			
			\begin{framed}
				\textbf{Satz:} Ist die Abbildung $f: X \to Y$ bijektiv, so gilt $f^{-1} \circ f = id_x$ und
				$f \circ f^{-1} = id_y$.
			\end{framed}
			
			\textbf{Bemerkung:} \\
			Achtung, wir verwenden hier das selbe Symbol $f^{-1}$ f\"ur zwei verschiedene Dinge: Die Abbildung
			$f^{-1}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ existiert f\"ur jede Abbildung $f: X \to Y$, aber die
			Umkehrabbildung $f^{-1}: Y \to X$ existiert nur f\"ur bijektive Abbildungen $f: X \to Y$. \\
			
			\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
				\textbf{Definition Familie:} Seien $I$ und $X$ Mengen. Eine Abbildung $x: I \to X, i \mapsto
				x_i$ nennt man Familie von Elementen von $X$ mit einer Indexmenge I (oder I-Tupel von 
				Elementen von $X$) und schreibt diese auch als $(x_i)_{i \in I}$. Im Fall $I=\{1,2,...,n\}$
				identifiziert man die I-Tupel auch mit den n-Tupeln. Ist $(x_i)_{i \in I}$ eine Familie von
				Teilmengen einer Menge $X$, so ist 
				\begin{compactitem}
					\item $\bigcup X_i = \{x \in X \mid \exists i \in I(x \in X)\}$
					\item $\bigcap X_i = \{x \in X \mid \forall i \in I(x \in X)\}$
					\item $\prod X_i = \{f \in Abb(I,X) \mid \forall i \in I(f(i) \in X_i)\}$
				\end{compactitem}
				Die Elemente von $\prod X_i$ schreibt man in der Regel als Familien $(x_i)_{i \in I}$.
			\end{mdframed}
			
			\textbf{Beispiel: } Eine Folge ist eine Familie $(x_i)_{i \in I}$ mit der Indexmenge $\mathbb N_0$.
			
			\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
				\textbf{Definition Graph:} Der Graph einer Abbildung $f: X \to Y$ ist die Menge $\Gamma f: 
				\{(x,y) \in X \times Y \mid y=f(x)\}$.
			\end{mdframed}
			
			\textbf{Bemerkung: Formal korrekte Definition einer Abbildung:} \\
			Eine Abbildung $f$ ist ein Tripel $(X,Y,\Gamma)$, wobei $\Gamma \subset X \times Y \quad \forall
			x \in X$ genau ein Paar $(x,y)$ mit $y \in Y$ enth\"alt. Die Abbildungsvorschrift schickt dann
			$x \in X$ auf das eindeutig bestimmte $y \in Y$ mit $(x,y) \in \Gamma$. Es ist dann $\Gamma =
			\Gamma_f$.
			
	\subsection{Gruppen}
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Gruppe:} Sei $G$ eine Menge. Eine (innere, zweistellige) Verkn\"upfung
			auf $G$ ist eine Abbildung $*: G \times G \to G, (x,y) \mapsto x*y$. Das Paar $(G,*)$ ist eine
			Halbgruppe, wenn das folgende Axiom erf\"ullt ist: \\
			(G1) F\"ur $x,y,z \in G$ ist $(x*y)*z=x*(y*z)$. \\
			Eine Halbgruppe $(G,*)$ ist ein Monoid, wenn zus\"atzlich das folgende Axiom gilt: \\
			(G2) Es gibt ein Element $e \in G$, welches f\"ur alle $x \in G$ die Gleichung $x*e=e*x=x$
			erf\"ullt. Dieses Element hei{\ss}t dann neutrales Element der Verkn\"upfung $*$.  
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiele:} \\
		\begin{compactitem}
			\item F\"ur jede Menge $X$ ist $(Abb(X,Y), \circ)$ eine Halbgruppe mit dem neutralen Element
			$id_x$, also ein Monoid.
			\item $\mathbb N$ bildet mit der Addition eine Halbgruppe $(\mathbb N,+)$, aber kein Monoid,
			da die 0 nicht in Fehm's Definition der nat\"urlichen Zahlen geh\"orte
			\item $\mathbb N_0$ bildet mit der Addition ein Monoid $(\mathbb N_0,+)$
			\item $\mathbb N$ bildet mit der Multiplikation ein Monoid $(\mathbb N, \cdot)$
			\item $\mathbb Z$ bildet mit der Multiplikation ein Monoid $(\mathbb Z, \cdot)$
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz (Eindeutigkeit des neutralen Elements):} Ein Monoid $(G,*)$ hat genau ein neutrales
			Element. 
		\end{framed}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition abelsche Gruppe:} Eine Gruppe ist ein Monoid $(G,*)$ mit dem neutralen Element
			$e$, in dem zus\"atzlich das folgende Axiom gilt: \\
			(G3) F\"ur jedes $x \in G$ gibt es ein $x' \in G$ mit $x'*x=x*x'=e$. \\
			Gilt weiterhin \\
			(G4) F\"ur alle $x,y \in G$ gilt $x*y=y*x$, so hei{\ss}t diese Gruppel abelsch.
		\end{mdframed}
		
		Ein $x'$ hei{\ss}t inverses Element zu $x$. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:} \\
		\begin{compactitem}
			\item $\mathbb N_0$ bildet mit der Addition keine Gruppe $(\mathbb N_0,+)$
			\item $\mathbb Z$ bildet mit der Addition eine abelsche Gruppe $(\mathbb Z,+)$
			\item Auch $(\mathbb Q,+)$ und $(\mathbb R,+)$ sind abelsche Gruppen
			\item $(\mathbb Q,\cdot)$ ist keine Gruppe, aber $(\mathbb Q\backslash\{0\},\cdot)$ schon
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz (Eindeutigkeit des Inversen):} Ist $(G,*)$ eine Gruppe, so hat jedes $x \in G$
			genau ein inverses Element.
		\end{framed}
		
		\textbf{Beispiele:} \\
		\begin{compactitem}
			\item Eine triviale Gruppe besteht nur aus ihrem neutralen Element. Tats\"achlich ist $G=\{e\}$ mit
			$e*e=e$ eine Gruppe.
			\item Sei $X$ eine Menge. Die Menge $Sym(X) := \{f \in Abb(X,X) \mid f$ ist bijektiv$\}$ der
			Permutationen von $X$ bildet mit der Komposition eine Gruppe $(Sym(X),\circ)$, die 
			symmetrsiche Gruppe auf $X$. F\"ur $n \in \mathbb N$ schreibt man $S_n := Sym(\{1,2,...,n\})$. 
			F\"ur $n \ge 3$ ist $S_n$ nicht abelsch.
		\end{compactitem}
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} H\"aufig benutzte Notationen f\"ur die Gruppenverkn\"upfung $\cdot$:\\
		\begin{compactitem}
			\item In der multiplikativen Notation schreibt man $\cdot$ statt $*$ (oft auch $xy$ statt 
			$x \cdot y$), bezeichnet das neutrale Element mit $1$ oder $1_G$ und das Inverse zu $x$ mit
			$x^{-1}$.
			\item In der additiven Notation schreibt man $+$ f\"ur $*$, bezeichnet das neutrale Element
			mit $0$ oder $0_G$ und das Inverse zu $x$ mit $-x$. Die additive Notation wird nur verwendet,
			wenn die Gruppe abelsch ist.
		\end{compactitem}
		$\newline$
		
		In abelschen Gruppen notiert man Ausdr\"ucke auch mit dem Summen- und Produktzeichen. \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. F\"ur $x,y \in G$ gelten $(x^{-1})^{-1}=x$ und
			$(xy)^{-1}=x^{-1} \cdot x^{-1}$.
		\end{framed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. F\"ur $a,b \in G$ haben die Gleichungen $ax=b$ und
			$ya=b$ eindeutige L\"osungen in $G$, n\"amlich $x=a^{-1} \cdot b$ und $y=b \cdot a^{-1}$. 
			Insbesondere gelten die folgenden K\"urzungsregeln: $ax=ay \Rightarrow x=y$ und $xa=ya 
			\Rightarrow x=y$.
		\end{framed}
		
		\textit{Beweis: \\
		Es ist $a \cdot a^{-1} \cdot b = 1b=b$, also ist $x=a^{-1} \cdot b$ eine L\"osung. Ist umgekehrt
		$ax=b$ mit $x \in G$, so ist $a^{-1} \cdot b = a^{-1} \cdot ax = 1x = x$ die L\"osung und somit
		eindeutig. F\"ur die zweite Gleichung argumentiert man analog. Den "'Insbesondere"'-Fall erh\"alt
		man durch Einsetzen von $b=ay$ bzw. $b=xa$.} \\
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} \\
		Wenn aus dem Kontext klar ist, welche Verkn\"upfung gemeint ist, schreibt man auch einfach
		$G$ anstatt $(G, \cdot)$ bzw. $(G,+)$. Eine Gruppe $G$ hei{\ss}t endlich, wenn die Menge $G$ endlich
		ist. Die Mächtigkeit $|G|$ von $G$ nennt man dann die Ordnung von $G$. Eine endliche Gruppe kann 
		durch ihre Verkn\"upfungstafel vollst\"andig beschrieben werden. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:} \\
		a) die triviale Gruppe $G=\{e\}$
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|}
				\hline
				$\cdot$ & $e$\\
				\hline
				$e$ & $e$ \\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		b) die Gruppe $\mu_2 = \{1,-1\}$ der Ordnung 2
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$\cdot$ & $1$ & $-1$\\
				\hline
				$1$ & $1$ & $-1$ \\
				\hline
				$-1$ & $-1$ & $1$ \\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		c) die Gruppe $S_2= Sym(\{1,2\}) = \{id_{\{1,2\}},f\}$, wobei $f(1)=2$ und $f(2)=1$
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$\circ$ & $id_{\{1,2\}}$ & $f$\\
				\hline
				$id_{\{1,2\}}$ & $id_{\{1,2\}}$ & $f$ \\
				\hline
				$f$ & $f$ & $id_{\{1,2\}}$ \\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Untergruppe:} Eine Untergruppe einer Gruppe $(G,\cdot)$ ist eine 
			nichtleere Teilmenge $H \subset G$, f\"ur die gilt: \\
			(UG1) F\"ur alle $x,y \in H$ ist $x \cdot y \in H$ (Abgeschlossenheit unter Multiplikation). \\
			(UG2) F\"ur alle $x \in H$ ist $x^{-1} \in H$ (Abgeschlossenheit unter Inversen).
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe und $\emptyset \neq H \subset G$. Genau dann ist
			$H$ eine Untergruppe von $G$, wenn sich die Verkn\"upfung $\cdot: G \times G \to G$ zu einer
			Abbildung $\cdot_H: H \times H \to H$ einschr\"anken l\"asst (d.h. $\cdot|_{H \times H}=
			\iota_H \circ \cdot_H$, wobei $\iota_H \cdot \cdot_H \to G$ die Inklusionsabbildung ist) und
			$(H,\cdot_H)$ eine Gruppe ist.
		\end{framed}
		
		\textit{Beweis: \\
		Hinrichtung: Sei $H$ eine Untergruppe von $G$. Nach (UG1) ist $Image(\cdot|_{H \times H}) \subset H$
		und somit l\"asst sich $\cdot$ zu einer Abbildung $\cdot_H: H \times H \ to H$ einschr\"anken. Wir 
		betrachten jetzt $H$ mit dieser Verkn\"upfung. Da $G$ (G1) erf\"ullt, erf\"ullt auch H (G1). Da
		$H \neq \emptyset$ existiert ein $x \in H$. Nach (UG1) und (UG2) ist $x \cdot x^{-1}=e \in H$. Da 
		$e_G \cdot y=y \cdot e_G=y$ f\"ur alle $y \in G$, insbesondere auch f\"ur alle $y \in H$ (G2). Wegen
		(UG2) erf\"ullt $H$ auch das Axiom (G3). $H$ ist somit eine Gruppe. \\
		R\"uckrichtung: Sei nun umgekehrt $(H,\cdot_H)$ eine Gruppe. F\"ur $x,y \in H$ ist dann $xy=x \cdot_H
		y \in H$, also er\"ullt $H$ (UG1). Aus $e_H \cdot e_H=e_H=e_H \cdot e_G$ folgt $e_H=e_G$. Ist also
		$x'$ das Inverse zu $x$ aus der Gruppe $H$, so ist $x'x=xx'=e_G=e_H$, also $x^{-1}=x' \in H$ und
		somit erf\"ullt $H$ auch (UG2). Wir haben gezeigt, dass $H$ eine Untergruppe von $G$ ist.} \\
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} \\
		Wir nennen nicht nur die Menge $H$ eine Untergruppe von $G$, sondern auch die Gruppe $(H,\cdot_H)$.
		Wir schreiben $H \le G$. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:} \\
		\begin{compactitem}
			\item Jede Gruppe $G$ hat die triviale Untergruppe $H=\{e_G\}$ und $H=G$
			\item Ist $H \le G$ und $K \le H$, so ist $K \le G$ (Transitivit\"at)
			\item Unter Addition ist $\mathbb{Z} \le \mathbb{Q} \le \mathbb{R}$ eine Kette von Untergruppen
			\item Unter Multiplikation ist $\mu_2 \le \mathbb{Q}^+ \le \mathbb{R}^+$ eine Kette von 
			Untergruppen
			\item F\"ur $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z} := \{nx \mid x \in \mathbb{Z}\} \le \mathbb{Z}$ 
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Ist $G$ eine Gruppe und $(H_i)_{i \in I}$ eine Familie von Untergruppen von $G$,
			so ist auch $H := \bigcap H_i$ eine Untergruppe von $G$.
		\end{framed}
		
		\textit{Beweis: Wir haben 3 Dinge zu zeigen\\
		\begin{compactitem}
			\item $H \neq \emptyset:$ F\"ur jedes $i \in I$ ist $e_G \in H$, also auch $e_G \in \bigcap
			H_i =H$
			\item (UG1): Seien $x,y \in H$. F\"ur jedes $i \in I$ ist $x,y \in H_i$, somit $xy \in H_i$,
			da $H_i \le G$. Folglich ist $xy \in \bigcap H_i=H$.
			\item (UG2): Sei $x \in H$. F\"ur jedes $i \in I$ ist $x \in H_i$, somit $x^{-1} \in H_i$,
			da $H_i \le G$. Folglich ist $x^{-1} \in \bigcap H_i=H$.
		\end{compactitem}
		}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Ist $G$ eine Gruppe und $X \subset G$. so gibt es eine eindeutig bestimmte
			kleinste Untergruppe $H$ von $G$, die $X$ enth\"alt, d.h. $H$ enth\"alt $X$ und ist $H'$
			eine weitere Untergruppe von $G$, die $X$ enth\"alt, so ist $H \subset H'$.
		\end{framed}
		
		\textit{Beweis: \\
		Sei $\mathcal{H}$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die $X$ enthalten. Nach dem Lemma ist $H:=
		\bigcap \mathcal{H} := \bigcap H$ eine Untergruppe von $G$. Da $X \subset H'$ f\"ur jedes $H' \in 
		\mathcal H$ ist auch $X \subset H$. Nach Definition ist $H$ in jedem $H' \le G$ mit $X \subset H'$
		enhalten.} \\
		$\newline$
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition erzeugte Untergruppe:} Ist $G$ eine Gruppe und $X \le G$, so nennt man diese
			kleinste Untergruppe von $G$, die $X$ enth\"alt, die von $X$ erzeugte Untergruppe von $G$ und
			bezeichnet diese mit $<X>$, falls $X = \{x_1,x_2,...,x_n\}$ enth\"alt auch mit $<x_1,x_2,
			...,x_n>$. Gibt es eine endliche Menge $X \subset G$ mit $G=<X>$, so nennt man $G$ endlich
			erzeugt.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Die leere Menge $X=\emptyset \le G$ erzeugt stets die trivale Untergruppe $<\emptyset>
			=\{e\} \le G$
			\item Jede endliche Gruppe $G$ ist endlich erzeugt $G=<G>$
			\item F\"ur $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z}=<n> \le \mathbb{Z}$. Ist $H \le \mathbb{Z}$
			mit $n \in H$, so ist auch $kn=nk=n+n+...+n \in H$ und somit auch $n\mathbb{Z} \le H$.
		\end{compactitem}
		
	\subsection{Ringe}
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Ring:} Ein Ring ist ein Tripel $(R,+,\cdot)$ bestehend aus einer Menge
			$R$, einer Verkn\"upfung $+: R \times R \to R$ (Addition) und einer anderen Verkn\"upfung
			$\cdot: R \times R \to R$ (Multiplikation), sodass diese zusammen die folgenden Axiome 
			erf\"ullen: \\
			(R1) $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe. \\
			(R2) $(R,\cdot)$ ist eine Halbgruppe. \\
			(R3) F\"ur $a,x,y \in R$ gelten die Distributivgesetze $a(x+y)=ax+ay$ und $(x+y)a=xa+ya$. \\
			Ein Ring hei{\ss}t kommutativ, wenn $xy=yx$ f\"ur alle $x,y \in R$.\\
			Ein neutrales Element der Multiplikation hei{\ss}t Einselement von $R$.\\
			Ein Unterrrig eines Rings $(R,+,\cdot)$ ist eine Teilmenge, die mit der geeigneten
			Einschr\"ankung von Addition und Multiplikation wieder ein Ring ist.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkungen:} \\
		Hat ein Ring ein Einselement, so ist dieses eindeutig bestimmt. Notationelle Konfektionen: Das 
		neutrale Element der Addition wird h\"aufig mit 0 bezeichnet; die Multiplikation wird nicht immer
		notiert; Multiplikation bindet st\"arker als die Addition. \\
		Wenn die Verkn\"upfungen aus dem Kontext klar sind, schreibt ma $R$ statt $(R,+,\cdot)$. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:} \\
		\begin{compactitem}
			\item Der Nullring ist $R=\{0\}$ mit den einzig m\"oglichen Verkn\"upfungen $+$ und $\cdot$
			auf $R$. Der Nullring ist sogar kommutativ und hat ein Einselement, n\"amlich die 0.
			\item $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1, ebenso
			$(\mathbb{Q},+,\cdot)$ und $(\mathbb{R},+,\cdot)$. 
			\item $(2\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist ein kommutativer Ring, aber ohne Einselement.
		\end{compactitem}
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkungen:} Ist $R$ ein Ring, dann gelten die folgenden Aussagen f\"ur $x,y \in R$\\
		\begin{compactitem}
			\item $0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$
			\item $x \cdot (-y) = (-x) \cdot y = -xy$
			\item $(-x) \cdot (-y) = xy$
		\end{compactitem}
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} \\
		Wir f\"uhren eine wichtige Klasse endlicher Ringe ein. Hierf\"ur erinnern wir uns an eine der Grundlagen
		der Arithmetik in $\mathbb{Z}$. \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Theorem:} Sei $b \neq 0 \in \mathbb{Z}$. F\"ur jedes $a \in \mathbb{Z}$ gibt es 
			eindeutig bestimmte $q,r \in \mathbb{Z}$ ($r$ ist "Rest"), mit $a=qb+r$ und $0 \le r < |b|$.
		\end{mdframed}
		\textit{Beweis: Existenz und Eindeutigkeit \\
		Existenz: oBdA nehmen wir an, dass $b>0$ (denn ist $a=qb+r$, so ist auch $a=(-q)(-b)+r$). Sei $q \in
		\mathbb{Z}$ die gr\"o{\ss}te Zahl mit $q \le \frac{a}{b}$, und sei $r=a-qb \in \mathbb{Z}$. Dann ist
		$a \le \frac{a}{b}-q < 1$, woraus $0 \le r < b$ folgt. \\
		Eindeutigkeit: Sei $a=qb+r=q'b+r'$ mit $q,q',r,r' \in \mathbb{Z}$ und $0 \le r,r' < |b|$. Dann ist
		$(q-q')b=r-r'$ und $|r-r'|<|b|$. Da $q-q' \in \mathbb{Z}$ ist, folgt $r-r'=0$ und daraus wegen 
		$b \neq 0$, dann $q-q'=0$.}\\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel (Restklassenring):} Wir fixieren $n \in \mathbb{N}$. F\"ur $a \in \mathbb{Z}$ sei
		$\overline(a) := a+n\mathbb{Z} := \{a+nx \mid x \in \mathbb{Z}\}$ die Restklasse von "$a \bmod n$". 
		F\"ur $a,a' \in \mathbb{Z}$ sind \"aquivalent:
		\begin{compactitem}
			\item $a+n\mathbb{Z}=a'+n\mathbb{Z}$
			\item $a' \in a+n\mathbb{Z}$
			\item $n$ teilt $a'-a$ (in Zeichen $n|a'-a$), d.h. $a'=a+nk$ f\"ur $k \in \mathbb{Z}$
		\end{compactitem}
		\textit{Beweis: \\
		$1) \Rightarrow 2)$: klar, denn $0 \in \mathbb{Z}$ \\
		$2) \Rightarrow 3)$: $a' \in a+n\mathbb{Z} \Rightarrow a'=a+nk$ mit $k \in \mathbb{Z}$ \\
		$3) \Rightarrow 1)$: $a'=a+nk$ mit $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow a+n\mathbb{Z}=\{a+nk+nx \mid 
		x \in \mathbb{Z}\}=\{a+n(k+x) \mid x \in \mathbb{Z}\}=a+n\mathbb{Z}$ \\
		Insbesondere besteht $a+n\mathbb{Z}$ nur aus den ganzen Zahlen, die bei der Division durch $n$ den
		selben Rest lassen wie $a$.}\\
		$\newline$
		
		Aus dem Theorem folgt weiter, dass $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} := \{\overline{a} \mid a \in \mathbb{Z}\}
		= \{\overline{0}, \overline{1},..., \overline{n-1}\}$ eine Menge der M\"achtigkeit n ist (sprich: 
		"$\mathbb{Z} \bmod n\mathbb{Z}$"). \\
		$\newline$
		
		Wir definieren Verkn\"upfungen auf $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ durch $\overline{a}+\overline{b} :=
		\overline{a+b}$, $\overline{a} \cdot \overline{b} := \overline{ab}$ $a,b \in \mathbb{Z}$. Hierbei
		muss man zeigen, dass diese Verkn\"upfungen wohldefiniert sind, also nicht von den gew\"ahlten
		Vertretern $a,b$ der Restklassen $\overline{a}$ und $\overline{b}$ abh\"angen. Ist etwa $\overline{a}
		= \overline{a'}$ und $\overline{b}= \overline{b'}$, also $a'=a+nk_1$ und $b'=b+nk_2$ mit $k_1,k_2 \in
		\mathbb{Z}$, so ist \\
		$a'+b' = a+b+n(k_1+k_2)$, also $\overline{a'+b'} = \overline{a+b}$ \\
		$a' \cdot b' = ab+n(bk_1+ak_2+nk_1k_2)$, also $\overline{a'b'} = \overline{ab}$ \\
		Man pr\"uft nun leicht nach, dass $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ mit diesen Verkn\"upfungen ein kommutativer
		Ring mit Einselement ist, da dies auch f\"ur $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ gilt. Das neutrale Element der
		Addition ist $\overline{0}$, das Einselement ist $\overline{1}$. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel:} Im Fall $n=2$ ergeben sich die folgenden Verkn\"upfungstafeln f\"ur $\mathbb{Z}
		/2\mathbb{Z} = \{\overline{0}, \overline{1}\}$ \\
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$+$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$\\
				\hline
				$\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$\\
				\hline
				$\overline{1}$ & $\overline{1}$ & $\overline{2}=\overline{0}$ \\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$\cdot$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$\\
				\hline
				$\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{0}$\\
				\hline
				$\overline{1}$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$ \\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Charakteristik:} Sei $R$ ein Ring mit Einselement. Man definiert die Charakteristik von
			$R$ als die kleinste nat\"urliche Zahl $n$ mit $1+1+...+1=0$, falls so ein $n$ existiert, andernfalls
			ist die Charakteristik $0$.
		\end{mdframed}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Nullteiler:} Sei $R$ ein Ring mit Einselement. Ein $0 \neq x \in R$ ist ein Nullteiler von 
			$R$, wenn er ein $0 \neq y \in R$ mit $xy=0$ oder $yx=0$ gibt. Ein Ring ohne Nullteiler ist
			nullteilerfrei.
		\end{mdframed}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Einheit:} Sei $R$ ein Ring mit Einselement. Ein $x \in R$ hei{\ss}t invertierbar (oder
			 Einheit von $R$), wenn es ein $x' \in R$ mit $xx'=x'x=1$ gibt. Wir bezeichnen die invertierten
			 Elemente von $R$ mit $R^{\times}$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiele:}\\
		\begin{compactitem}
			\item reelle Zahlen sind ein nullteilerfreier Ring der Charakteristik $0$ mit $\mathbb R^{\times}=
			\mathbb R\backslash\{0\}$
			\item $\mathbb Z$ ist ein nullteilerfreier Ring der Charakteristik $0$ mit $\mathbb Z^{\times}=
			\{1,-1\}$
			\item $\mathbb Z/n \mathbb Z$ ist ein Ring der Charakteristik $n$. Ist $n$ keine Primzahl, so
			ist $\mathbb Z$ nicht nullteilerfrei.
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $R$ ein Ring mit Einselement. 
			\begin{compactitem}
				\item Ist $x \in R$ invertierbar, so ist $x$ kein Nullteiler in $R$.
				\item Die invertierbaren Elemente von $R$ bilden mit der Multiplikation eine Gruppe.
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		
		\textit{Beweis: \\
		\begin{compactitem}
			\item Ist $xx'=x'x=1$ und $xy=0$ mit $x',y \in R$, so ist $0=x'\cdot 0=x\cdot xy=1\cdot y=y$, aber
			$y \neq 0$ f\"ur Nullteiler
			\item Sind $x,y \in R^{\times}$, also $xx'=x'x=yy'=y'y=1$. Dann ist $(xy)(y'x')=x\cdot 1\cdot x'=1$
			und $(y'x')(xy)=y'\cdot 1\cdot y=1$, somit $R^{\times}$ abgeschlossen unter der Multiplikation. Da 
			$1 \cdot 1=1$ gilt, ist auch $1 \in R^{\times}$. Nach Definition von $R^{\times}$ hat jedes $x \in 
			R^{\times}$ ein Inverses $x' \in R^{\times}$.
		\end{compactitem}}
		$\newline$
		
	\subsection{K\"orper}
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition K\"orper:} Ein K\"orper ist ein kommutativer Ring $(K,+,\cdot)$ mit Einselement 
			$1 \neq 0$, in dem jedes Element $x \neq x \in K$ invertierbar ist.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkungen:} Ein K\"orper ist stets nullteilerfrei und $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche
		Gruppe. Ein k\"orper ist also ein Tripel $(K,+,\cdot)$ bestehend aus einer Menge $K$ und 2 Verkn\"upfungen
		$+: K \times K \to K$ und $\cdot: K \times K \to K$, f\"ur die gelten: \\
		(K1): $(K,+)$ ist eine abelsche Gruppe \\
		(K2): $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element wir mit 1 bezeichnen \\
		(K3): Es gelten die Distributivgesetze. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkungen:} Sei $K$ ein K\"orper und $a,x,y \in K$. Ist $ax=ay$ und $a \neq 0$, so ist $x=y$. \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Teilk\"orper:} Ein Teilk\"orper eines K\"orpers $(K,+,\cdot)$ ist die Teilemenge $L 
			\subset K$, die mit der geeigneten Einschr\"ankung von Addition und Multiplikation wieder ein
			K\"orper ist.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Der Nullring ist kein K\"orper.
			\item Der K\"orper $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen ist ein Teilk\"orper des K\"orpers $\mathbb R$ der
			reellen Zahlen.
			\item $(\mathbb Z, + ,\cdot)$ ist kein K\"orper
		\end{compactitem}
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel (Komplexe Zahlen)} \\
		Wir definieren die Menge $\mathbb C = \mathbb R \times \mathbb R$ und darauf Verkn\"upfungen wie folgt:
		F\"ur $(x_1,y_1), (x_2,y_2) \in \mathbb C$ ist: \\
		\begin{compactitem}
			\item$(x_1,y_1)+(x_2,y_2) := (x_1+x_2,y_1+y_2)$
			\item$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2) := (x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)$
		\end{compactitem}
		Wie man nachpr\"ufen kann, ist $(\mathbb C,+,\cdot)$ ein K\"orper, genannt K\"orper der komplexen Zahlen.
		Da $(x_1,0)+(x_2,0)=(x_1+x_2,0)$ und $(x_1,0)\cdot (x_2,0)=(x_1x_2,0)$, k\"onnen wir $\mathbb R$ durch
		"$x=(x,0)$" mit dem Teilk\"orper $\mathbb R \times \{0\}$ von $\mathbb C$ identifizieren. \\
		Die imagin\"are Einheit $i=(0,1)$ erf\"ullt $i^2=-1$ und jedes $z \in \mathbb C$ kann eindeutig geschrieben
		werden als $z=x+iy$ mit $x,y \in \mathbb R$
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Sei $a \in \mathbb Z$ und sei $p$ eine Primzahl, die $a$ nicht teilt. Dann gibt es $b,k \in
			 \mathbb Z$ mit $ab+kp=1$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Sei $n \in \mathbb N$ die kleinste nat\"urliche Zahl der Form $n=ab+kp$. Angenommen, $n \ge 2$. Schreibe
		$a=qp+r$ mit $q,r \in \mathbb Z$ und $0 \le r < p$. Aus der Nichtteilbarkeit von $a$ folgt $r \neq 0$, also 
		$r \in \mathbb N$. Wegen $r=a\cdot 1-qp$ ist $n\le r$. Da $p$ Primzahl ist und $2\le n\le r < p$, gilt $n$ teilt
		nicht $p$. Schreibe $p=c\cdot n+m$ mit $c,m \in \mathbb Z$ und $0 \le m<n$. Aus $n$ teilt nicht $p$ folgt
		$m \neq 0$, also $m \in \mathbb N$. Da $m=p-cn=-abc+(1-kc)p$, ist $m<n$ ein Widerspruch zur Minimalit\"at
		 von $n$. Die Annahme $n \ge 2$ war somit falsch. Es gilt $n=1$.} \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel (Endliche Primk\"orper)} \\
		F\"ur jede Primzahl $p$ ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ ein K\"orper. Ist $\overline{a}\neq \overline{0}$, so gilt 
		$p$ teilt nicht $a$ und somit gibt es $b,k \in \mathbb Z$ mit \\
		$ab+kp=1$ \\
		$\overline{(ab+kp)}=\overline{1} = \overline{(ab)} = \overline{a} \cdot \overline{b}$ \\
		und somit ist $\overline{a}$ invertierbar in $\mathbb Z /p \mathbb Z$. Somit sind f\"ur $n \in \mathbb N$
		\"aquivalent:
		\begin{compactitem}
			\item $\mathbb Z /n \mathbb Z$ ist ein K\"orper
			\item $\mathbb Z /n \mathbb Z$ ist nullteilerfrei
			\item $n$ ist Primzahl
		\end{compactitem}
		\textit{Beweis: 1 $\to$ 2: 4.13; 2 $\to$ 3: 4.12; 3 $\to$ 1: gegeben} \\
		Insbesondere ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ nullteilerfrei, d.h. aus $p$ teilt $ab$ folgt $p$ teilt $a$ oder
		$p$ teilt $b$
		
	\subsection{Polynome}
		In diesem Abschnitt sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} Unter einem Polynom in der "'Unbekannte"' $x$ versteht man einen Ausdruck der Form
		$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n = \sum \limits_{k=0}^{n} a_kx^k$ mit $a_0,...,a_n \in R$. Fasst man $x$
		als ein beliebiges Element von $R$ auf, gelten einige offensichtliche Rechenregeln: \\
		Ist $f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kx^k$ und $g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} b_kx^k$ so ist
		\begin{compactitem}
			\item $f(x)+g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} (a_k+b_k)x^k$
			\item $f(x)\cdot g(x)=\sum \limits_{k=0}^{2n} c_kx^k$ mit $c_k=\sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
		\end{compactitem}
		Dies motiviert die folgende pr\"azise Definition f\"ur den Ring der Polynome \"uber $R$ in einer "'Unbestimmten"'
		$x$.
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Polynom:} Sei $R[X]$ die Menge der Folgen in $R$, die fast \"uberall 0 sind, also
			$R[X]:=\{(a_k)_{k \in \mathbb N_0} \mid \forall k(a_k \in R) \land \exists n_0: \forall k>n_0(a_k=0)\}$.
		\end{mdframed}
		
		Wir definieren Addition und Multiplikation auf $R[X]$:
		\begin{compactitem}
			\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}+(b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(a_k+b_k)_{k \in \mathbb N_0}$
			\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}\cdot (b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(c_k)_{k \in \mathbb N_0}$ mit 
			$c_k = \sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
		\end{compactitem}
		$\newline$
		
		Mit diesen Verkn\"upfungen wird $R[X]$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement. Diesen Ring nennt man
		Polynomring (in einer Variablen $X$) \"uber $R$. Ein $(a_k)_{k \in \mathbb N_0} \in R[X]$ hei{\ss}t Polynom mit
		den Koeffizienten $a_0,...,a_n$. Wenn wir $a \in R$ mit der Folge $(a,0,0,...,0) := (a,\delta_{k,0})_{k \in \mathbb N_0}$
		identifizieren, wird $R$ zu einem Unterrring von $R[X]$. 
		$\newline$
		
		Definiert man $X$ als die Folge $(0,1,0,..,0) := (\delta_{k,1})_{k \in \mathbb N_0}$ (die Folge hat an der $k$-ten 
		Stelle eine 1, sonst nur Nullen). Jedes $f(a_k)_{k \in \mathbb N_0}$ mit $a_k=0$ f\"ur $k>n_0$ l\"asst sich eindeutig
		schreiben als $f(X)=\sum \limits_{k=0}^{n_0} a_kX^k$.\\
		Alternativ schreiben wir auch $f=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k$ mit dem Verst\"andnis, dass diese unendliche
		Summe nur endlich von 0 verschiedene Summanden enth\"alt.
		$\newline$
		
		Sei $0 \neq f(X)=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k \in R[X]$. Der Grad von $f$ ist das gr\"o{\ss}te $k$ mit $a_k
		\neq 0$, geschrieben $deg(f):= max\{k \in \mathbb N_0 \mid a_k \neq 0\}$. Man definiert den Grad des
		Nullpolynoms als $deg(0)=-\infty$, wobei $-\infty < k \forall k \in \mathbb N_0$ gelten soll. Man nennt $a_0$
		den konstanten Term und $a_{deg(f)}$ den Leitkoeffizienten von $f$. Hat $f$ den Grad 0, 1 oder 2, so nennt
		man $f$ konstant, linear bzw. quadratisch.
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel:} Das lineare Polynom $f(X)=X-2 \in R[X]$ hat den Leitkoeffizent 1 und den konstanten Term $-2$.
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Seien $f,g \in R[X]$
			\begin{compactitem}
				\item Es ist $deg(f+g)\le max\{deg(f), deg(g)\}$.
				\item Es ist $deg(f\cdot g) \le deg(f)+deg(g)$.
				\item Ist $R$ nullteilerfrei, so ist $deg(f\cdot g) = deg(f)+deg(g)$ und auch $R[X]$ ist nullteilerfrei.
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		\begin{compactitem}
			\item offenbar
			\item Ist $deg(f)=n$ und $deg(g)=m$, $f=\sum \limits_{i \ge 0} f_iX^i$, $g=\sum \limits_{j\ge 0} g_jX^j$, 
			so ist auch $h=fg=\sum \limits_{k \ge 0} h_kX^k$ mit $h_k=\sum \limits_{i+j=k} f_i\cdot g_j$ f\"ur alle $k \ge 0$.
			Ist  $k>n+m$ und $i+j=k$, so ist $i>n$ oder $j>m$, somit $f_i=0$ oder $g_j=0$ und somit $h_k=0$. 
			Folglich ist $deg(h) \le n+m$.
			\item Ist $f=0$ oder $g=0$, so ist die Aussage klar, wir nehmen als $n,m \ge 0$ an. Nach b) ist $deg(h) \le 
			n+m$ und $h_{m+n}=\sum \limits_{i+j=n+m} f_ig_j=f_ng_m$. Ist $R$ nullteilerfrei, so folgt aus $f_n \neq 0$
			und $g_m\neq 0$ schon $f_ng_m\neq 0$, und somit $deg(h)=n+m$.
		\end{compactitem}}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Theorem (Polynomdivision):} Sei $K$ ein K\"orper und sei $0 \neq g \in K[X]$. F\"ur jedes Polynom
			 $f \in K[X]$ gibt es eindeutig bestimmte $g,h,r \in K[X]$ mit $f=gh+r$ und $deg(r)<deg(g)$. 
		\end{mdframed}
		\textit{Beweis: Existenz und Eindeutigkeit\\
		Existenz: Sei $n=deg(f)$, $m=deg(g)$, $f=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kX^k$, $g=\sum \limits_{k=0}^{m} b_kX^k$ \\
		Induktion nach $n$ bei festem $g$. \\
		IA: Ist $n<m$, so w\"ahlt man $h=0$ und $r=f$.\\
		IB: Wir nehmen an, dass die Aussage f\"ur alle Polynome vom Grad kleiner als $n$ gilt.\\
		IS: Ist $n \ge m$, so betrachtet man $f_1=f-\frac{a_n}{b_m}\cdot X^{n-m}\cdot g(X)$. Da $\frac{a_n}{b_m}\cdot 
		X^{n-m}\cdot g(X)$ ein Polynom vom Grad $n-m+deg(g)=n$ mit Leitkoeffizient $\frac{a_n}{b_m}\cdot b_m=a_n$ ist, ist
		$deg(f_1)<n$. Nach IB gibt es also $h_1, r_1 \in K[X]$ mit $f_1=gh_1+r_1$ und $deg(r)<deg(g)$. Somit ist 
		$f(X)=f_1(X)+\frac{a_n}{b_m}\cdot X^{n-m}\cdot g(X)=gh+r$ mit $h(X)=h_1(X)+\frac{a_n}{b_m}\cdot X^{n-m}, r=r_1$. \\
		Eindeutigkeit: Sei $n=deg(f), m=deg(g)$. Ist $f=gh+r=gh'+r'$ und $deg(r),deg(r')<m$, so ist $(h-h')g=r'-r$ und
		$deg(r'-r)<m$. Da $deg(h-h')=deg(h'-h)+m$ muss $deg(h-h')<0$, also $h'-h=0$ sein. Somit $h'=h$ und $r'=r$} \\
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} Der Existenzbeweis durch Induktion liefert uns ein konstruktives Verfahren, diese sogenannte
		 Polynomdivision durchzuf\"uhren. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel:} in $\mathbb Q[X]$: $(x^3+x^2+1):(x^2+1)=x+1$ Rest $-x$ \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Nullstelle:} Sei $f(X)=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k \in \mathbb R[X]$. F\"ur $\lambda \in
			\mathbb R$ definiert man die Auswertung von $f$ in $\lambda$ $f(\lambda)=\sum \limits_{k \ge 0} a_k\lambda^k
			\in \mathbb R$. Das Polynom $f$ liefert auf diese Weise eine Abbildung $\tilde f: \mathbb R \to \mathbb R$ und
			$\lambda \mapsto f(\lambda)$. \\
			Ein $\lambda \in \mathbb R$ $f(\lambda)=0$ ist eine Nullstelle von $f$.
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} F\"ur $f,g \in \mathbb R[X]$ und $\lambda \in \mathbb R$i ist $(f+g)(\lambda)=f(\lambda)+
			g(\lambda)$ und $(fg)(\lambda)=f(\lambda) \cdot g(\lambda)$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: Ist $f=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k$ und $g=\sum \limits_{k\ge 0} b_kX^k$, so ist \\
		$f(\lambda)+g(\lambda)=\sum \limits_{k \ge 0} a_k\lambda^k + \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k = \sum 
		\limits_{k\ge 0} (a_k+b_k)\lambda^k=(f+g)(\lambda)$ \\
		$f(\lambda)\cdot g(\lambda)= \sum \limits_{k\ge 0} a_k\lambda^k \cdot \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k = 
		\sum \limits_{k \ge 0} \sum \limits_{i+j=k} (a_i+b_j)\lambda^k = (fg)(\lambda)$}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Ist $K$ ein K\"orper und $\lambda \in K$ eine Nullstelle von $f \in K[X]$ so gibt es ein
			eindeutig bestimmtes $h \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Es gibt $h,r \in K[X]$ mit $f(X)=(X-\lambda)\cdot h(x)+r(x)$ und $deg(r)<deg(X-\lambda)=1$, also $r \in
		K$. Da $\lambda$ Nullstelle von $f$ ist, gilt $0=f(\lambda)=(\lambda-\lambda)\cdot h(\lambda)+r(\lambda)=
		r(\lambda)$. Hieraus folgt $r=0$. Eindeutigkeit folgt aus Eindeutigkeit der Polynomdivision.}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Sei $K$ ein K\"orper. Ein Polynom $0\neq f \in K[X]$ hat h\"ochstens $deg(f)$ viele
			Nullstellen.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Induktion nach $deg(f)=n$ \\
		Ist $n=0$, so ist $f \in K^{\times}$ und hat somit keine Nullstellen. \\
		Ist $n>0$ und hat f eine Nullstelle $\lambda \in K$, so ist $f(X)=(X-\lambda)*h(x)$ mit $h(x) \in K[X]$ und
		$deg(f)=deg(X-\lambda)+deg(h)=n-1$. Nach IV besitzt $h$ h\"ochstens $deg(h)=n-1$ viele Nullstellen. Ist
		$\lambda'$ eine Nullstelle von $f$, so ist $0=f(\lambda’)=(\lambda’-\lambda)*h(\lambda’)$, also $\lambda'=
		\lambda$ oder $\lambda'$ ist Nullstelle von $h$. Somit hat $f$ h\"ochstens $n$ viele Nullstellen in $K$.}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Ist $K$ ein unendlicher K\"orper, so ist die Abbildung $K[X] \to Abb(K,K)$ und $f \mapsto
			\tilde f$ injektiv.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Sind $f,g \in K[X]$ mit $\tilde f = \tilde g$, also $f(\lambda)=g(\lambda)$ f\"ur jedes $\lambda \in K$, so ist
		jedes $\lambda$ Nullstelle von $h:= f-g \in K[X]$. Da $|K|=\infty$ ist, so ist $h=0$, also $f=g$.}
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} Dieses Korollar besagt uns, dass man \"uber einem unendlichen K\"orper Polynome als
		polynomiale Abbildungen auffassen kann. Ist $K$ aber endlich, so ist dies im Allgemeinen nicht richtig.
		Beispiel: $K=\mathbb Z\backslash 2\mathbb Z$, $f(X)=X$, $g(X)=X^2 \Rightarrow f \neq g$, aber 
		$\tilde f=\tilde g$.
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel:} Sei $f(X)=X^2+1 \in \mathbb R[X] \subset \mathbb C[X]$ \\
		In $K=\mathbb R$ hat $f$ keine Nullstelle: Für $\lambda \in \mathbb R\; f(\lambda)=\lambda^2+1 \ge1 >0$. \\
		In $K=\mathbb C$ hat $f$ die beiden Nullstellen $\lambda_1=i$ und $\lambda_2=-i$ und zerfällt dort in Linearfaktoren:
		 $f(X)=(X-i)(X+i)$.
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Für einen Körper $K$ sind äquivalent:
			\begin{compactitem}
				\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ mit $deg(f)>0$ hat eine Nullstelle in $K$.
				\item Jedes Polynom $f \in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren, also $f(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n 
				(X-\lambda_i)$ mit $n=deg(f), a, \lambda_i \in K$.
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		$1 \Rightarrow 2:$ Induktion nach $n=deg(f)$ \\
		Ist $n\le0$, so ist nichts zu zeigen. \\
		Ist $n>0$, so hat $f$ eine Nullstelle $\lambda_n \in K$, somit $f(X)=(X-\lambda_n)\cdot g(X)$ mit $g(X) \in K[X]$
		 und $deg(g)=n-1$, Nach IV ist $g(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$. Somit ist $f(X)=a\cdot \prod 
		\limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$. \\
		$2 \Rightarrow 1:$ Sei $f \in K[X]$ mit $n=deg(f)>0$. Damit gilt $f(X)=a\cdot \prod \limits_{i=1}^n (X-\lambda_i)$.
		Da $n>0$, hat $f$ z.B. die Nullstelle $\lambda_1$.}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition algebraisch abgeschlossen:} Ein Körper $K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn er eine 
			der äquivalenten Bedingungen erfüllt. 
		\end{mdframed}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Theorem (Fundamentalsatz der Algebra):} Der Körper $\mathbb C$ ist algebraisch abgeschlossen.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkung:} Wir werden das Theorem zwar benutzen, aber nicht beweisen.
		
\section{Vektorräume}
	In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
	\subsection{Definition und Beispiele}
		\textbf{Beispiel:} Ist $K=\mathbb R$, so haben wir für $K^3=\mathbb R^3=\mathbb R \times \mathbb R \times \mathbb R=
		\{(a,b,c) | a,b,c \in \mathbb R\}$ eine geometrische Anschauung, nämlich den euklidischen Raum. Welche algebraische 
		Struktur können wir hierauf sinnvollerweise definieren? \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition $K$-Vektorraum:} Ein $K$-Vektorraum (auch Vektorraum über $K$) ist ein Tripel $(V,+,\cdot)$ 
			bestehend aus einer Menge $V$, einer Verknüpfung $+: V \times V \to V$, genannt Addition, und einer Abbildung 
			$\cdot: K \times V \to V$, genannt Skalarmultiplikation, für die gelten: \\
			(V1): $(V,+)$ ist eine abelsche Gruppe \\
			(V2): Addition und Skalarmultiplikation sind verträglich:
			\begin{compactitem}
				\item $\lambda(x+y)=(\lambda\cdot x)+(\lambda\cdot y)$
				\item $(\lambda+\mu)\cdot x = (\lambda\cdot x)+(\mu\cdot x)$
				\item $\lambda(\mu\cdot x)=(\lambda\cdot\mu)\cdot x$
				\item $1\cdot x = x$
			\end{compactitem}
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkung:} Wir haben sowohl im Körper $K$ als auch im Vektorraum $V$ eine Addition definiert, die wir mit 
		dem selben Symbol $+$ notieren. Ebenso benutzen wir das Symbol $\cdot$ sowohl für die Multiplikation im Körper $K$ 
		als auch für die Skalarmultiplikation. Zur Unterscheidung nennt man die Elemente von $V$ Vektoren und die Elemente 
		von $K$ Skalare. Wir werden bald auch den Nullvektor mit 0 bezeichnen, also mit dem selben Symbol wie das neutrale 
		Element im Körper $K$. Auch für Vektorräume gibt es notationelle Konvektionen: So bindet die Skalarmultiplikation 
		stärker als die Addition und wird manchmal nicht notiert. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel:} Für $n \in \mathbb N$ ist $V=K^n := \prod \limits_{i=1}^n K = \{(x_1,x_2,...,x_n) \mid x_1,x_2,..,
		x_n \in K\}$ mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation $\lambda(x_1,...,x_n)=(\lambda\cdot x_1,...,
		\lambda\cdot x_n)$ ein $K$-Vektorraum, genannt der ($n$-dimensionale) Standardraum über $K$. \\ 
		Insbesondere (Spezialfall $n=1$) ist $K$ ein $K$-Vektorraum. \\
		Für $n=0$ definiert man $K^0$ als Nullraum $V=\{0\}$, der einzig möglichen Addition und Skalarmultiplikation einen 
		$K$-Vektorraum bildet.
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Ist $V$ ein $K$-Vektorraum, so gelten für $\lambda \in K$ und $x \in V$:
			\begin{compactitem}
				\item $0\cdot x =0$
				\item $\lambda\cdot 0=0$
				\item $(-\lambda)\cdot x = \lambda\cdot(-x) = -\lambda\cdot x$. Insbesondere $(-1)x=-x$
				\item Ist $\lambda\cdot x=0$, so ist $\lambda=0$ oder $x=0$
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		\begin{compactitem}
			\item Es ist $0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x$, woraus $0=0\cdot x$
			\item Es ist $\lambda\cdot 0=\lambda(0+0)=\lambda\cdot 0+0\cdot \lambda$, woraus $0=\lambda\cdot 0$
			\item Es ist $\lambda\cdot x+(-\lambda\cdot x)=(\lambda+(-\lambda))\cdot x=0\cdot x=0$, also $(-\lambda)x=-(\lambda 
			x)$
			\item Ist $\lambda\cdot x=0$ und $\lambda\neq 0$, so ist $0=\lambda^{-1}\cdot\lambda\cdot x=1\cdot x=x$ 
		\end{compactitem}}
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Schränkt man die Multiplikation im Polynomring $K[X] \times K[X] \to K[X]$ zu einer Abbildung $K \times K[X]
			\to K[X]$ ein, so wird $K[X]$ mit dieser Skalarmultipliaktion zu einem $K$-VR. Die Skalarmultiplikation ist also
			gegen $\lambda\cdot \sum \limits_{k\ge 0} a_k\cdot X^k = \sum \limits_{k\ge 0} \lambda\cdot a_k\cdot X^k$ ersetzt
			wurden.
			\item Schränkt man die komplexe Multiplikation $\mathbb C \times \mathbb C \to \mathbb C$ zu einer Abbildung 
			$\mathbb R \times \mathbb C \to \mathbb C$ ein, so wird $\mathbb C$ mit dieser Skalarmultipliaktion zu einem
			$\mathbb R$-VR. Die Skalarmultipliaktion ist gegeben durch $\lambda(x+iy)=\lambda\cdot x + i\cdot\lambda\cdot y$.
			\item Verallgemeinerung von 1 und 2: Ist der Körper $K$ ein Unterring eines kommutativen Rings $R$ mit Einselement 
			$1_K \in K$, so wird $R$ durch Einschränkung der Multiplikation $R \times R \to R$ zu einer Abbildung $K \times R
			\to R$ zu einem $K$-VR.
			\item Ist $X$ eine Menge, so wird die Menge der Abbildungen $Abb(X,K)$ durch punktweise Addition $(f+g)(x)=f(x)+
			g(x)$ und die Skalarmultiplikation $(\lambda\cdot f)(x)=\lambda\cdot f(x)$ zu einem $K$-VR. Im Spezialfall
			$X=\{1,2,...,n\}$ erhält man den Standardraum $K^n$.
		\end{compactitem}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Untervektorraum:} Sei $V$ ein $K$-VR. Ein Untervektorraum (UVR) von $V$ ist eine nichtleere
			Teilmenge $W \subset V$ mit: \\
			(UV1): Für $x,y \in W$ ist $x+y\in W$. \\
			(UV2): Für $x \in W$ und $\lambda \in K$ ist $\lambda\cdot x\in W$.
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $V$ ein $K$-VR und $W \subset V$. Genau dann ist $W$ ein UVR von $V$, wenn $W$ mit geeigneter
			Einschränkung der Addition und Skalarmultiplikation wieder ein $K$-VR ist.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Rückrichtung: Lassen sich $+$: $V \times V \to V$ und $\cdot$: $K \times V \to V$ einschränken zur Abbildung $+_w$: $W
		\times W \to W$, $\cdot_w$: $K \times W \to W$ so gilt für $x,y \in W$ und $\lambda \in K$: $x+y=x +_w y \in W$ und
		$\lambda\cdot x=\lambda \cdot_w x \in W$. Ist $(W,+_w,\cdot_w)$ ein $K$-VR, so ist insbesodere $W$ nicht leer. Somit
		ist $W$ ein UVR. \\
		Hinrichtung: Nach (UV1) und (UV2) lassen sich $+$ und $\cdot$ einchränken zu Abbildungen $+_w$: $W \times W \to W$ und 
		$\cdot_w$: $K \times W \to W$. Nach (UV1) ist abgeschlossen und unter der Addition und für $x \in W$ ist auch $-x=
		(-1)x \in W$ nach (UV2), $W$ ist somit Untergruppe von $(V,+)$. Insbesondere ist $(W,+)$ eine abelsche Gruppe, erfüllt 
		also (V1). Die Verträglichkeit (V2) ist für $\lambda,\mu \in K$ und $x,y \in W$ gegeben, da sie auch für $x,y \in V$ 
		erfüllt ist. Somit ist $(W,+_w,\cdot_w)$ ein $K$-VR.}
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Jder $K$-VR hat triviale UVR $W=\{0\}$ und $W=V$
			\item Ist $V$ ein $K$-VR und $x \in V$, so ist $W=K\cdot x=\{\lambda\cdot x \mid \lambda \in K\}$ ein UVR von $V$. 
			Insbesondere besitzt z.B. der $\mathbb R$-VR $\mathbb R^2$ unendlich viele UVR, nämlich alle Ursprungsgeraden. Hieran 
			sehen wir auch, dass die Vereinigung zweier UVR im Allgemeinen kein UVR ist. $\mathbb R\cdot (1,0) \cup \mathbb 
			R\cdot (1,0) \subset \mathbb R^2$ verletzt (UV1).
			\item Der $K$-VR $K[X]$ hat unter anderem die folgenden UVR: \\
			- Den Raum $K$ der konstanten Polynome \\
			- Den Raum $K[X]_{\le 1}=\{aX+b \mid a,b \in K\}$ der linearen (oder konstanten) Polynome \\
			- allgemeiner den Raum $K[X]_{\le n}=\{f \in K[X] \mid deg(f) \le n\}$ der Polynome von höchstens Grad $n$
			\item In der Analysis werden Sie verschiedene UVR des $\mathbb R$-VR $Abb(\mathbb R,\mathbb R)$ kennenlernen, etwa
			den Raum $\mathcal C(\mathbb R,\mathbb R)$ der stetigen Funktionen und den Raum $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb 
			R)$ der stetig differenzierbaren Funktionen. Die Menge der Polynomfunktionen $\{\tilde f\mid \tilde f\in \mathbb R[X]\}$ bildet
			einen UVR des $\mathbb R$-VR $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb R)$
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Ist $V$ ein Vektorraum und $(W_i)_{i \in I}$ eine Familie von UVR von $V$, so ist auch $W=\bigcap W_i$ 
			ein UVR von $V$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Da $0 \in W_i$ ist auch $0 \in W$, insbesondere $W\neq\emptyset$.
		\begin{compactitem}
			\item (UV1): Sind $x,y \in W$, so ist auch $x,y \in W_i$ und deshalb $x+y\in \bigcap W_i = W$.
			\item (UV2): Ist $x \in W$ und $\lambda \in K$, so ist auch $x \in W_i$ und somit $\lambda x\in \bigcap W_i=W$.
		\end{compactitem}}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Ist $V$ ein $K$-VR und $X \subset V$, so gibt es einen eindeutig bestimmten kleinsten UVR $W$ von $V$
			mit $X \subset W$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\ Sei $\mathcal V$ die Menge aller UVR von $X$, die $X$ enthalten. Sei $W=\bigcap \mathcal V$. Damit ist 
		$W$ ein UVR von $V$ der $X$ enthält.}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Erzeugendensystem:} Ist $V$ ein $K$-VR und $X\subset V$, so nennt man den kleinsten UVR von 
			$V$, der $X$ enthält den von $X$ erzeugten UVR von $V$ und bezeichnet diesen mit $<X>$. Eine Mengen $X\subset V$ 
			mit $<X>=V$ heißt Erzeugendensystem von $V$. Der VR $V$ heißt endlich erzeugt, wenn er ein endliches Erzeugendensystem 
			besitzt.
		\end{mdframed}
		
	\subsection{Linearkombination und lineare Abhängigkeit}
		Sei $V$ ein $K$-VR.
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Linearkombination:}
			\begin{compactitem}
				\item Sei $n \in \mathbb N_0$. Ein $x \in V$ ist eine Linearkombination eines n-Tupels $(x_1,...,x_n)$ von 
				Elementen von $V$, wenn es $\lambda_1,...,\lambda_n \in K$ gibt mit $x=\lambda_1\cdot x_1,...,\lambda_n \cdot
				x_n$. Der Nullvektor ist stets eine Linearkombination von $(x_1,...,x_n)$ auch wenn $n=0$.
				\item Ein $x\in V$ ist eine Linearkombination einer Familie $(x_i)$ von Elementen von $V$, wenn es $n \in \mathbb
				N_0$ und $i_1,...,i_n \in I$ gibt, für die $x$ Linearkombination von $(x\cdot i_1,...,x\cdot i_n)$ ist.
				\item Die Menge aller $x \in V$, die Linearkombination von $\mathcal F=(x_i)$ sind, wird mit $span_K(\mathcal F)$ 
				bezeichnet.
			\end{compactitem}
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkungen:}
		\begin{compactitem}
			\item Offenbar hängt die Menge der Linearkombinationen von $(x_1,...,x_n)$ nicht von der Reihenfolge der $x_i$ ab. 
			Wegen (V2)(ii) hängt sie sogar nur von der Menge $\{x_1,...,x_n\}$ ab.
			\item Deshalb stimmt 2. für endliche Familien $(x_1,...,x_n)$ mit 1. überein.
			\item Auch die Menge der Linearkombinationen einer Familie $\mathcal F=(x_1,...,x_n)$ hängt nur von der Menge $X=
			\{x_i \mid i \in I\}$ ab. Man sagt deshalb auch, $x$ ist Linearkombination von $X$ und schreibt $span_K(X)=span_K(
			\mathcal F)$, also $span_K(X)=\{\sum \limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot n_i \mid n \in \mathbb N_0, x_i \in X, \lambda_1,
			...,\lambda_n \in K\}$. Nach Definition in $0 \in span_K(X)$ auch für $X=\emptyset$.
			\item Wie schon bei Polynomen schreibt man hier gerne formal unendliche Summen $x=\sum\limits_{i \in I} \lambda_i
			\cdot x_i$, bei denen nur endlich viele $\lambda_i$ von 0 verschieden sind.
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Für jede Teilmenge $X \subset V$ ist $span_K(X)$ ein UVR von $V$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\ 
		\begin{compactitem}
			\item Sei $W=span_K(X)$. Nach Definition ist $0 \in W$, insbesondere $W\neq\emptyset$
			\item (UV1): Sind $x,y \in W$, also $x=\lambda_1\cdot x+...+\lambda_n\cdot x_n$ und $y=\mu_1\cdot x+...+
			\mu_n\cdot x_n$, so ist $x+y=(\lambda_1+\mu_1)x_1+...+(\lambda_n+\mu_n)x_n \in W$
			\item (UV2): Ist $\lambda \in K$ und $x \in W$, so ist $\lambda x=\lambda\cdot\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i=
			\sum\limits_{i=1}^n (\lambda\cdot\lambda_i)x_i \in W$
		\end{compactitem}}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Für jede Teilmenge $X \subset V$ ist $span_K(X)=<X>$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\ 
		\begin{compactitem}
			\item $span_K(X)$ ist UVR von $V$, der wegen $x=x\cdot 1$ die Menge $X$ enthält, und $<X>$ ist der kleinste solche.
			\item Ist $W\subset V$ ein UVR von $V$, der $X$ enthält, so enthält er auch wegen (UV2) alle Elemente der Form 
			$\lambda\cdot x$, und wegen (UV1) dann auch alle Linearkombinationen aus $X$. Insbesondere gilt dies auch für $W=<X>$
		\end{compactitem}}
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} Wir erhalten $span_K(X)=<X>$ auf 2 verschiedenen Wegen. Erstens "'von oben"' als Schnitt über alle UVR 
		von $V$, die $X$ enthalten und zweitens "'von unten"' als Menge der Linearkombinationen. Man nennt $span_K(X)$ auch den 
		von $X$ aufgespannten UVR oder die lineare Hülle von $X$. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Sei $V=K^n$ der Standardraum. Für $i=1,...,n$ sei $e_i=(\delta_{i,1},...,\delta_{i,n})$, also $e_1=(1,0,...0)$, 
			$e_2=(0,1,0,...,0),...,e_n=(0,...,1)$. Für $x=(x_1,...,x_n) \in V$ ist $x=\sum\limits_{i=1}^n x_i\cdot e_1$, folglich 
			$span_K(e_1,..,e_n)=V$. Insbesondere ist $K^n$ eindeutig erzeugt. Man nennt $(e_1,...,e_n)$ die Standardbasis des 
			Standardraums $K^n$.
			\item Sei $V=K[X]$ Polynomring über $K$. Da $f=\sum\limits_{i=1}^n a_i\cdot X^i$ ist $span_K((X^i)_{i \in I})=K[X]$. 
			Genauer ist $span_K(1,X,X^2,...,X^n)=K[X]_{\le n}$. Tatsächlich ist der $K$-VR $K[X]$ nicht endlich erzeugt. Sind 
			$f_1,...,f_r \in K[X]$ und ist $d=max\{deg(f_1),...,deg(f_r)\}$, so sind $f_1,...,f_r \in K[X]_{\le d}$ und somit 
			$span_K(f_1,...,f_r) \subset K[X]_{\le d}$, aber es gibt Polynome, deren Grad größer $d$ ist.
			\item Für $x \in V$ ist $<x>=span_K(x)=K\cdot x$. Im Fall $K=\mathbb R$, $V=\mathbb R^3$, $x\neq 0$ ist dies eine 
			Ursprungsgerade.
			\item Im $\mathbb R$-VR $\mathbb C$ ist $span_{\mathbb R}(1)=\mathbb R\cdot 1=\mathbb R$, aber im $\mathbb C$-VR 
			$\mathbb C$ ist $span_{\mathbb C}(1)=\mathbb C\cdot 1=\mathbb C$
		\end{compactitem}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition linear (un)abhängig:}
			\begin{compactitem}
				\item Sei $n\in \mathbb N_0$. Ein $n$-Tupel $(x_1,...,x_n)$ von Elementen von $V$ ist linear abhängig, wenn es 
				$\lambda_1,...,\lambda_n \in K$ gibt, die nicht alle 0 sind und $\lambda_1\cdot x_1+...+\lambda_n\cdot x_n=0$ (*) 
				erfüllen. Andernfalls heißt das Tupel linear unabhängig.
				\item Eine Familie $(x_i)$ von Elementen von $V$ ist linear abhängig, wenn es $n\in \mathbb N_0$ und paarweise 
				verschiedene $i_1,...,i_n \in I$ gibt, für die $(x_{i_1},...,x_{i_n})$ linear abhängig ist. Andernfalls linear 
				unabhängig.
			\end{compactitem}
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkungen:}
		\begin{compactitem}
			\item Offenbar hängt die Bedingung (*) nicht von der Reihenfolge der $x_1,...,x_n$ ab und ist $(x_1,...,x_k)$ linear 
			abhängig für ein $k \le n$, so ist auch $(x_1,...,x_n)$ linear abhängig. Deshalb stimmt die 2. Definition für 
			endliche Familien mit der 1. überein und $(x_i)$ ist genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge 
			$J \subset I$ gibt, für die $(x_j)$ linear abhängig ist.
			\item Eine Familie ist genau dann linear unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge $J\subset I$ und für jede 
			Wahl an Skalaren $(\lambda_i)_{i\in J}$ aus $\sum \lambda_i\cdot x_i=0$ schon $\lambda_i=0$ folgt, also wenn sich 
			der Nullvektor nur trivial linear kombinieren lässt. 
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Genau dann ist $(x_i)$ linear abhängig, wenn es $i_0 \in I$ gibt mit $x_{i_0} \in span_K((x_i)_{i\in 
			I\backslash\{i_0\}})$. In diesem Fall ist $span_K((x_i)_{i\in I})=span_K((x_i)_{i\in I\backslash\{i_0\}})$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: Es reicht, die Aussage für $I=\{1,...,n\}$ zu beweisen.\\
		Hinrichtung: Ist $(x_1,...,x_n)$ linear anhängig, so existieren $\lambda_1,...,\lambda_n$ mit $\sum\limits_{i=1}^n 
		\lambda_i\cdot x_i=0$. oBdA sei $\lambda_n\neq 0$. Dann ist $x_n=\lambda_n^{-1}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n-1} \lambda_i
		\cdot x_i=\sum\limits_{i=1}^{n-1} \lambda_n^{-1}\cdot\lambda_i\cdot x_i \in span_K(x_1,...,x_n)$. \\
		Rückrichtung: oBdA. $i_0=n$, also $\sum\limits_{i=0}^{n-1} \lambda_i\cdot x_i$. Mit $\lambda_n=-1$ ist $\sum
		\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i=0$, was zeigt, dass $(x_1,...,x_n)$ linear abhängig ist. \\
		Sei nun $x_n=\sum\limits_{i=1}^{n-1} \lambda_i\cdot x_i \in span_K(x_1,...,x_{n-1})$. Wir zeigen, dass $span_K(x_1,...,
		x_{n-1})=span_K(x_1,...,x_n)$
		\begin{compactitem}
			\item klar, da bei mehr Elementen die Anzahl der Linearkombinationen nicht abnimmt
			\item Ist $y=\sum\limits_{i=1}^n \mu_i\cdot x_i \in span_K(x_1,...,x_n)$, so ist $y=\sum\limits_{i=1}^{n-1} \mu_i+
			\mu_n\cdot \lambda_i\cdot x_i \in span_K(x_1,...,x_n)$
		\end{compactitem}}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Genau dann ist $(x_i)$ linear unabhängig, wenn sich jedes $x\in span_K((x_i))$ in eindeutiger Weise 
			als Linearkombination der $(x_i)$ schreiben lässt, d.h. $x=\sum\limits_{i\in I} \lambda_i\cdot x_i=\sum\limits_{i
			\in I} \lambda'_i\cdot x_i$, so ist $\lambda_i=\lambda'_i$
		\end{framed}
		\textit{Beweis: Es reicht, die Aussage für $I=\{1,...,n\}$ zu beweisen.\\
		Hinrichtung:  Ist $(x_,...,x_n)$ linear unabhängig und $x=\sum\limits_{i\in I} \lambda_i\cdot x_i=\sum\limits_{i\in I}
		 \lambda'_i\cdot x_i$, so folgt daraus $\sum\limits_{i\in I} (\lambda_i-\lambda'_i)x_i=0$ wegen der linearen 
		 Unabhängigkeit der $x_i$, dass $\lambda_i=\lambda'_i=0$\\
		Rückrichtung: Lässt sich jedes $x\in span_K(x_1,...,x_n)$ in eindeutiger Weise als Linearkombination der $x_i$ schreiben, 
		so gilt dies insbesondere für $x=0$. Ist also $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i=0$, so folgt schon $\sum\limits_{
		i=1}^n 0\cdot x_i=0$ schon $\lambda_i=0$}
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Die Standardbasis $(e_1,...,e_n)$ des $K^n$ ist linear unabhängig. Es ist $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot 
			e_i=(\lambda_1,...,\lambda_n)$
			\item Im $K$-VR $K[X]$ sind die Monome $(X^i)$ linear unabhängig.
			\item Ein einzelner Vektor $x\in V$ ist genau dann linear abhängig, wenn $x=0$.
			\item Ein Paar $(x_1,x_2)$ von Elementen von $V$ ist linear abhängig, wenn es ein skalares Vielfaches des anderen ist, also z.B. $x_1=
			\lambda\cdot x_2$.
			\item Im $\mathbb R$-VR $\mathbb R^2$ sind die beiden Vektoren $(1,2)$ und $(2,1)$ linear unabhängig. \\
			Im $\mathbb Z\backslash 3\mathbb Z$-VR $(\mathbb Z\backslash 3\mathbb Z)^2$ sind diese Vektoren linear unabhängig, da 
			$x_1+x_2=(1,2)+(2,1)=(3,3)=(0,0)=0$. 
			\item Im $\mathbb R$-VR $\mathbb C$ ist $(1,i)$ linear unabhängig, aber im $\mathbb C$-VR $\mathbb C$ ist $(1,i)$ 
			linear abhängig, denn $\lambda_1\cdot 1+\lambda_2\cdot i =0$ für $\lambda_1=1$ und $\lambda_2=i$.
		\end{compactitem}
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkungen:}
		\begin{compactitem}
			\item Ist $x_{i_0}=0$, ist $(x_i)$ linear abhängig: $1\cdot x_{i_0}=0$
			\item Gibt es $i,j\in I$ mit $i\neq j$, aber $x_i=x_j$, so ist $(x_i)$ linear abhängig: $x_i-x_j=0$
			\item Dennoch sagt man auch "'die Teilmenge $X\subset V$ ist linear abhängig"' und meint damit, dass die Familie $(x_x)
			_{x\in X}$ linear abhängig ist, d.h. es gibt ein $n\in \mathbb N_0$, $x_1,...,x_n \in X$ paarweise verschieden, mit 
			$\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i=0$.
		\end{compactitem}
		
	\subsection{Basis und Dimension}
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Basis:} Eine Familie $(x_i)$ von Elementen von $V$ ist eine Basis von $V$, wenn gilt: \\
			(B1): Die Familie ist linear unabhängig. \\
			(B2): Die Familie erzeugt $V$, also $span_K(x_i) = V$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkung:} Kurz gesagt ist eine Basis ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $(x_i)$ eine Familie von Elementen von $V$. Genau dann ist $(x_i)$ eine Basis von $V$, 
			wenn sich jedes $x \in V$ auf eindeutige Weise als Linearkombination der $(x_i)$ schreiben lässt.
		\end{framed}
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Die leere Familie ist eine Basis des Nullraums.
			\item Die Standardbasis $(e_1,...,e_n)$ ist eine Basis des Standardraums.
			\item Die Monome $(X^i)$ bilden eine Basis des $K$-VR $K[X]$.
			\item Die Basis des $\mathbb R$-VR $\mathbb C$ ist gegeben durch $(1,i)$, eine Basis des $\mathbb C$-
			VR $\mathbb C$ ist gegeben durch $(1)$
			\item Der $\mathbb C$-VR $\mathbb C$ hat viele weitere Basen.
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Für eine Familie $(x_i)$ von Elementen von $V$ sind äquivalent:
			\begin{compactitem}
				\item $B$ ist eine Basis von $V$.
				\item $B$ ist ein minimales Erzeugendensystem.
				\item $B$ ist maximal linear unabhängig, d.h. $B$ ist linear unabhängig, aber wenn Elemente zur Basis 
				hinzugefügt werden, ist diese nicht mehr linear unabhängig.
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		$1 \Rightarrow 2$: Sei $B$ eine Basis von $V$ und $J$ eine echte Teilmenge von $I$. Nach Definition ist $B$ ein 
		Erzeugendensystem. Wähle $i_0 \in I\backslash J$. Da $(x_i)$ linear unabhängig ist, ist $x_{i_0}$ keine Element 
		$span_K((x_i)_{i \in I\backslash \{i_0\}}) \ge span_K((x_i)_{i \in J})$. Insbesondere ist $(x_i)_{i\in J}$ kein 
		Erzeugendensystem von $V$. \\
		$2 \Rightarrow 3$: Sei $B$ ein minimales Erzeugendensystem und $(x_i)_{i \in J}$ eine Familie mit $J$ echter 
		Obermenge von $I$. Wäre $(x_i)$ linear abhängig, so gäbe es ein $i_0$ mit $span_K((x_i)_{i \in I\backslash 
		\{i_0\}}) = span_K((x_i)_{i \in I})=V$ im Widerspruch zur Minimalität von $B$. Also ist $B=(x_i)$ linear 
		unabhängig. Wähle $j_0 \in J\backslash I$. Dann ist $x_{j_0} \in V=span_K(x_i) \le span_K((x_i)_{i \in 
		J\backslash \{j_0\}})$ und somit ist $(x_i)_{i\in J}$ linear abhängig. \\
		$3 \Rightarrow 1$: Sei $B$ nun maximal linear unabhängig. Angenommen $B$ wäre kein Erzeugendensystem. 
		Dann gibt es ein $x\in V \backslash span_K(x_i)$. Definiere $J=I \cup \{j_0\}$ mit $j_0 \notin I$ und $x_{j_0}:=x$. 
		Aufgrund der Maximalität von $B$ ist $(x_i)$ linear abhängig, es gibt als Skalare $\lambda$, $(\lambda_i)$, nicht 
		alle gleich 0, mit $\lambda\cdot x+\sum\limits_{i \in I} \lambda_i\cdot x_i=0$. Da $(x_i)$ linear abhängig ist, 
		muss $\lambda \neq 0$ sein, woraus der Widerspruch $x=\lambda^{-1}\cdot\sum\limits_{i \in I} \lambda_i\cdot x_i 
		\in span_K(x_i)$. Somit ist $B$ ein Erzeugendensystem.} \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Theorem (Basisauswahlsatz):} Jedes endliche Erzeugendensystem von $V$ besitzt eine Basis  als 
			Teilfamilie: Ist $(x_i)$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$, so gibt es eine Teilmenge $J\subset I$, 
			für die $(x_i)_{i\in J}$ eine Basis von $V$ ist. 
		\end{mdframed}
		\textit{Beweis: \\
		Sei $(x_i)$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$. Definiere $\mathcal J:=\{J \subset I \mid (x_i)_{i\in J}\; 
		\text{J ist Erzeugendensystem von }V\}$. Da $I$ endlich ist, ist auch $\mathcal J$ endlich. Da $(x_i)$ 
		Erzeugendensystem ist, ist $I\in J$, insbesondere $\mathcal J\neq\emptyset$. Es gibt deshalb ein bezüglich 
		Inklusion minimales $J_0\in \mathcal J$, d.h. $J_1 \in \mathcal J$ so gilt nicht $J_1 \subsetneq J_0$. Deshalb 
		ist $(x_i)_{i\in J_0}$ eine Basis von $V$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Jeder endlich erzeugte $K$-VR besitzt eine endliche Basis.
		\end{framed}
		
		\textbf{Bemerkungen:}
		\begin{compactitem}
			\item Der Beweis des Theorems liefert ein konstruktives Verfahren: Ist $(x_1,...,x_n)$ ein endliches 
			Erzeugendensystem von $V$, so prüfe man, ob es ein $i_0$ mit $x_{i_0} \in span_K((x_i)_{i\neq i_0})$ gibt. 
			Falls Nein, ist $(x_1,...,x_n)$ eine Basis von $V$. Falls Ja, macht man mit $(x_1,...,x_{i_{0-1}}, x_{i_{0+1}},
			...,x_n)$ weiter.
			\item Man kann jedoch zeigen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Die Gültigkeit der Aussage hängt jedoch 
			von bestimmten mengentheoretischen Axoimen ab, auf die wir an dieser Stelle nicht eingegehen werden. Siehe dazu 
			LAAG 2. Semester.
		\end{compactitem}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{(Austausch-)Lemma:} Sei $B=(x_1,...,x_n)$  eine Basis von $V$. Sind $\lambda_1,...,\lambda_n \in K$ und 
			$y=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i$, so ist für jedes $j\in \{1,2,...,n\}$ mit $\lambda_j\neq 0$ auch 
			$B'=(x_1,...,x_{j-1},y,x_{j+1},...,x_n)$ eine Basis von $V$.
		\end{mdframed}
		\textit{Beweis: \\
		o.B.d.A. sei $j=1$, also $B'=(y,x_2,...,x_n)$. Wegen $\lambda_1\neq 0$ ist $x_1=\lambda_1^{-1}\cdot y - \sum
		\limits_{i=2}^n \lambda_i\cdot x_i \in span_K(y,x_2,...,x_n)$ und somit ist $B'$ ein Erzeugendensystem. Sind 
		$\mu_1,...,\mu_n \in K$ mit $\mu_1\cdot y - \sum\limits_{i=2}^n \mu_i\cdot x_i=0$, so folgt $0=\mu_1(\sum
		\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i + \sum\limits_{i=2}^n \mu_i\cdot x_i)=\mu_1\cdot \lambda_1\cdot x_1 + \sum
		\limits_{i=2}^n (\mu_1\cdot \lambda_i + \mu_i)x_i$ und aus der linearen Unabhängigkeit von $B$ somit $\mu_1\cdot 
		\lambda_1=0$, $\mu_1\cdot \lambda_2 + \mu_2 =0$, ..., $\mu_1\cdot\lambda_n + \mu_n=0$. Wegen $\lambda_1\neq 0$ folgt 
		$\mu_1=0$ und daraus $\mu_i=0$. Folglich ist $B'$ linear unabhängig.} \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Theorem (Steinitz'scher Austauschsatz):} Sei $B=(x_1,...,x_n)$ eine Basis von $V$ und $\mathcal F=(y_1,...
			,y_r)$ eine linear unabhängige Familie in $V$. Dann ist $r\le n$ und es gibt $i_1,...,i_{n-r} \in \{1,...,n\}$, für 
			die $B'=(y_1,...,y_r,x_{i_1},...,x_{i_{n-r}})$ eine Basis von $V$ ist. 
		\end{mdframed}
		\textit{Beweis: Induktion nach $r$\\
		Für $r=0$ ist nichts zu zeigen. \\
		Sei nun $r\ge 1$ und gelte die Aussage für $(y_1,...,y_{r-1})$. Insbesondere ist $r-1\le n$ und es gibt $i_1,..,
		i_{n-(r-1)} \in \{1,...,n\}$ für die $B'=(y_1,...,y_r,x_{i_1},...,x_{i_{n-(r-1)}})$ eine Basis von $V$ ist. Da $y_r
		\in V=span_K(B')$ ist $y_r=\sum\limits_{i=1}^{r-1} \lambda_i\cdot y_1 + \sum\limits_{j=0}^{n-(r-1)} \mu_j\cdot 
		x_{i_j}$. Da $(y_1,...,y_r)$ linear unabhängig, ist $y_r \notin span_K(y_1,...,y_{r-1})$. Folglich gibt es $j_0 \in 
		\{1,...,n-(r-1)\}$ mit $\mu_{j_0}\neq 0$. Insbesondere ist $n-(r-1)\ge 1$, also $r\le n$. o.B.d.A. $j_0=1$, dann 
		ergibt sich mit dem Austasuchlemma, dass auch $(y_1,...,y_{r-1},y_r,x_{i_2},...,x_{i_{n-(r-1)}})$ eine Basis von 
		$V$ ist.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Ist $V$ endlich erzeugt, so lässt sich jede linear unabhängige Familie zu einer Basis ergänzen: 
			Ist $(x_1,...,x_n)$ linear unabhängig, so gibt es $m\ge n$ und $x_{n+1},x_{n+2},...,x_m$ für die $(x_1,...,x_n,
			x_{n+1},...,x_m)$ eine Basis von $V$ ist.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Nach dem Basisauswahlsatz besitzt $V$ eine endliche Basis, die Behauptung folgt somit aus dem Steinitz'schen 
		Austauschsatz.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Sind $(x_i)$ und $(x_j)$ Basen von $V$ und ist $I$ endlich, so ist $|I|=|J|$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Da $(y_r)$ linear unabhängig ist, ist $|J|\le |I|$ nach dem Steinitz'schen Austauschsatz. Insbesondere ist $J$ 
		endlich, also $|I|\le |J|$ nach dem Austauschsatz.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Ist $V$ endlich erzeugt, so haben alle Basen von $V$ die gleiche Mächtigkeit.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Besitzt $V$ eine endliche Basis, so folgt deshalb die Behauptung aus dem vorherigen Korollar.} \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Dimension:} Ist $V$ endlich erzeugt, so ist die Dimension des VR $V$ die Mächtigkeit $dim_K(V)$ 
			einer Basis von $V$. Anderfalls sagt man, dass $V$ unendliche Dimensionen hat und schreibt $dim_K(V)= \infty$. 
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item $dim_K(K^n)=n$
			\item $dim_K(K[X])=\infty$
			\item $dim_K(K[X]_{\le n})=n+1$
			\item $dim_{\mathbb R}(\mathbb C)=2$
			\item $dim_{\mathbb C}(\mathbb C)=1$
		\end{compactitem}
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkungen:}
		\begin{compactitem}
			\item $V$ ist genau dann endlich erzeugt, wenn $dim_K(V)< \infty$.
			\item $dim_K(V)=min\{|B| \mid span_K(B)=V\}=max\{|B| \mid \text{B linear unabhängig}\}$
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $V$ endlich erzeugt und $W\le V$ ein UVR.
			\begin{compactitem}
				\item Es ist $dim_K(W)\le dim_K(V)$. Insbesondere ist $W$ endlich erzeugt.
				\item Ist $dim_K(W)=dim_K(V)$, so ist auch $W=V$.
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		\begin{compactitem}
			\item Ist $F$ eine linear unabhängige Familie in $W$, so ist auch $F$ linear unabhängig in $V$ und somit $|F|\le 
			dim_K(V)$. Insbesondere gibt es eine maximal linear unabhängige Familie $B$ in $W$ und es folgt $dim_K(W)=|B|
			 \le dim_K(V)$.
			\item Sei $B$ eine Basis von $W$. Dann ist $B$ auch in $V$ linear unabhängig. Ist $dim_K(W)=dim_K(V)$, so muss 
			auch $B$ in $V$ maximal linear unabhängig sein. Insbesondere ist $W=span_K(B)=V$.
		\end{compactitem}}
		
	\subsection{Summen von Vektorräumen}
		Sei $V$ ein $K$-VR und $(W_i)$ eine Familie von UVR von $V$.
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Summe von VR:} Die Summe der $W_i$ ist der UVR $\sum\limits_{i\in I} W_i := span_K(\bigcup W_i)$. 
			Im Fall $I=\{1,...,n\}$ schreibt man auch $W_1+...+W_n$ für $\sum\limits_{i=1}^n W_i$. 
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Es ist $\sum\limits_{i\in I} W_i = \{\sum\limits_{i\in I} x_i \mid x_i\in W_i\text{, fast alle 
			gleich 0}\}$. 
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		$"\ge"$: klar, $\sum x_i \in span_K(\bigcup W_i)$ \\
		$"\le"$: Die rechte Seite enthält jedes $W_i$ und ist ein UVR von $V$: \\
		Für $x_i,x'_i \in W$, fast alle gleich 0 und $\lambda \in K$ ist $\sum x_i + \sum x'_i = \sum (x_i+x'_i)$, $\lambda
		\cdot \sum x_i = \sum \lambda\cdot x_i$ $\to$ UVR}\\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition direkte Summe:} Ist jedes $x\in \sum W_i$ eindeutig als Summe von $x_i$ mit $x_i\in W_i$ 
			darstellbar, so sagt man, dass $\sum W_i$ die direkte Summe der UVR $W_i$ ist und schreibt $\oplus W_i$ für 
			$\sum W_i$. Im Fall $I=\{1,...,n\}$ schreibt man auch $W_1\oplus W_2 \oplus ... \oplus W_n$ für $\oplus W_i$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiel:} Ist $(x_1,...,x_n)$ eine Basis von $V$, so ist $V=Kx_1\oplus ... \oplus Kx_n$. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} Wir wollen uns näher mit dem wichtigen Spezialfall $I=\{1,2\}$ beschäftigen und schreiben noch 
		mal auf: 
		\begin{compactitem}
			\item $V=W_1\oplus W_2$
			\item $V=W_1 + W_2$ und $W_1 \cap W_2 = \{0\}$
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sind $W_1,W_2$ UVR von $V$ mit Basen $(x_i)_{i\in I_1}$ bzw. $(x_i)_{i\in I_2}$, wobei $I_1 \cap 
			I_2 = \emptyset$, so sind äquivalent:
			\begin{compactitem}
				\item $V=W_1 \oplus W_2$
				\item $(x_i)_{i\in I_1 \cap I_2}$ ist eine Basis von $V$
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: Sei $I=I_1 \cup I_2$\\
		$1\Rightarrow 2$: Da $span_K((x_i)_{i\in I_1})=W_1$ und $span_K((x_i)_{i\in I_2})=W_2$ ist $span_K((x_i)
		_{i\in I})=W_1+W_2=V$. Ist $\sum \lambda_ix_i=0$, so ist $\sum\limits_{i\in I_1} \lambda_ix_i = -\sum
		\limits_{i\in I_2} \lambda_ix_i \in W_1 \cap W_2 = \{0\}$. Da $(x_i)_{i\in I_1}$ linear unabhängig ist, ist 
		$\lambda_i=0$, analog für $i\in I_2$.\\
		$2\Rightarrow 1$: $W_1+W_2=span_K((x_i)_{i\in I_1})+span_K((x_i)_{i\in I_2})=span_K((x_i)_{i\in I})=V$. Ist 
		$x\in W_1 \cap W_2$, so ist $x=\sum\limits_{i\in I_1} \lambda_ix_i = \sum\limits_{i\in I_2} \lambda_ix_i$. Somit 
		$0=\sum\limits_{i\in I_1} \lambda_ix_i - \sum\limits_{i\in I_2} \lambda_ix_i$, woraus wegen $(x_i)_{i\in I}$ 
		linear unabhängig schon $\lambda_i=0$ folgt. Somit ist $x=0$.}\\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korllar:} Ist $dim_K(V)<\infty$, so ist jeder UVR ein direkter Summand: Ist $W$ ein UVR von $V$, so 
			gibt es einen UVR $W'$ von $V$ mit $V=W\oplus W'$ ($W'$ heißt das \textbf{lineare Komplement} von $W$ in $V$). Es 
			ist $dim_K(W')=dim_K(V)-dim_K(W)$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Sei $(x_1,...,x_m)$ eine Basis von $W$. Nach dem Basisergänzungssatz lässt sich diese zu einer Basis $(x_1,...,x_n)$ 
		von $V$ ergänzen. Mit $W':= span_K(x_{m+1},...,x_n)$ ist dann $V=W\oplus W'$.}\\
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} Ist $dim_K(V)<\infty$, so folgt aus $W_1\cap W_2=\{0\}$ also insbesondere $dim_K(W_1+W_2)=
		dim_K(W_1)+dim_K(W_2)$. \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Theorem (Dimensionsformel):} Sei $dim_K(V)<\infty$. Für UVR $W_1,W_2$ von $V$ gilt: $dim_K(W_1+W_2) + 
			dim_K(W_1 \cap W_2) = dim_K(W_1) + dim_K(W_2)$.
		\end{mdframed}
		\textit{Beweis: \\
		Da $dim_K(V)<\infty$ haben alle UVR von $V$ Basen. Sei also $B_0=(X_1,...,x_n)$ eine Basis von $W_1\cap W_2$. Nach 
		dem Basisergänzungssatz können wir $B_0$ zu den Basen $B_1=(x_1,...,x_n,y_1,...,y_p)$ von $W_1$ und $B_2=(x_1,...,
		x_n,z_1,...,z_q)$ von $W_2$ ergänzen. Wir behaupten, dass $B=(x_1,...,x_n,y_1,...,y_p,z_1,...,z_q)$ eine Basis von 
		$W_1+W_2$ ist. Offenbar ist $B$ ein Erzeugendensystem von $W_1+W_2$. Seien nun $\lambda_1,...,\lambda_n,\mu_1,...,
		\mu_p,\eta_1,...,\eta_q \in K$ mit $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_ix_i + \sum\limits_{j=1}^p \mu_jy_j + \sum
		\limits_{k=1}^q \eta_kz_k=0$. Dann ist $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_ix_i + \sum\limits_{j=1}^p \mu_jy_j = -\sum
		\limits_{k=1}^q \eta_kz_k \in W_1 \cap W_2$. Da $span_K(B_0)=W_1\cap W_2$ und $B_1$ linear unabhängig ist, ist 
		$\mu_j=0$. Analog zeigt man auch, dass $\eta_k=0$. Aus $B_0$ linear unabhängig folgt dann auch, dass $\lambda_i=0$. 
		Somit ist $B$ linear unabhängig. Wir haben gezeigt, dass $B$ eine Basis von $W_1+W_2$ ist. \\
		$\Rightarrow dim_K(W_1)+dim_K(W_2)=|B_1|+|B_2|=(n+p)+(n-q)=(n+p+q)+n=|B|+|B_0|=dim_K(W_1+W_2)+dim_K(W_1\cap W_2)$.}\\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition (externes) Produkt:} Das (externe) Produkt einer Familie $(V_i)$ von $K$-VR ist der $K$-VR 
			$\prod V_i$ bestehend aus dem kartesischen Produkt der $V_i$ mit komponentenweiser Addition und 
			Skalarmultiplikation, $(x_i)+(x'_i) := (x_i+x'_i)$ und $\lambda(x_i) := (\lambda x_i).$
		\end{mdframed}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition (externe) Summe:} Die (externe) Summe einer Familie $(V_i)$ von $K$-VR ist der UVR 
			$\oplus V_i := \{(x_i) \in \prod V_i \mid x_i=0 \text{; für fast alle }i\}$ des $K$-VR $\prod V_i$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkung:} Man prüft sofort nach, dass $\prod V_i$ ein $K$-VR ist und $\oplus V_i$ ein UVR davon ist. Für 
		endliche Indexmengen ist $\prod V_i = \oplus V_i$, z.B. $K^n = \prod\limits_{i=1}^n K = \oplus K$. \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Sei $(V_i)$ eine Familie von $K$-VR und sei $V=\oplus V_i$. Für jedes $j\in I$ ist $\tilde V_j :=
			V \times \prod\limits_{i\in I\backslash\{j\}} \{0\}$ ein UVR von $V$ und $V=\oplus \tilde V_j$
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Ist $x=(x_i)\in V$ mit $x_i\in V_i$, fast alle $x_i=0$, so ist $x=\sum \tilde x_i$ mit $\tilde x:=(x_i\delta_{ij})
		\in \tilde V_j$. Somit ist $V=\sum \tilde V_i$. Die Gleichung $\tilde V_i \cap \sum\limits_{j\neq i} \tilde V_j 
		=\{0\}$ folgt aus Definition der $\tilde V_i.$}\\
		
\section{Lineare Abbildungen}
	Sei $K$ ein Körper.
	\subsection{Matrizen}
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Matrix:} Seien $m,n \in \mathbb N_0$. Eine $m\times n$-Matrix über $K$ ist ein rechteckiges 
			Schema:
			\begin{center}
			$\begin{pmatrix}
				a_{11} & ... & a_{1n}\\
				... &  & ...\\
				a_{m1} & ... & a_{mn}\\
			\end{pmatrix}$
			\end{center}
			Man schreibt dies auch als $A=(a_{ij})_{i=1,...,n \; j=1,...,m}$ oder $A=(a_{ij})_{i,j}$, wenn $m$ und $n$ 
			aus dem Kontext hervorgehen. Die $a_{ij}$ heißen die Koeffizienten der Matrix $A$ und wir definieren $A_{i,j}=
			a_{ij}$. Die Menge der $m\times n$-Matrizen über $K$ wird mit $Mat_{m\times n}(K)$ oder $K^{m\times n}$ 
			bezeichnet. Man nennt das Paar $(m,n)$ auch den Typ von $A$. Ist $m=n$, so spricht man von quadratischen 
			Matrizen und schreibt $Mat_n(K)$. Zu einer Matrix $A=(a_{ij}) \in Mat_{m\times n}(K)$ definiert man die zu $A$ 
			transponierte Matrix $A^t := (a_{ij})_{j,i} \in Mat_{n\times m}(K)$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Die Nullmatrix ist $0=(0)_{i,j} \in Mat_{m\times n}(K)$.
			\item Für $k,l \in \{1,...,n\}$ ist die $(k,l)$-Basismatrix gegeben durch $E_{kl}=(\delta_{jk}\delta_{jl})\in 
			Mat_{m\times n}(K)$.
			\item Die Einheitsmatrix ist $1_n=(\delta_{ii})\in Mat_n(K)$.
			\item Für $a_i,...,a_n \in K$ definiert man eine Diagonalmatrix $diag(a_1,...,a_n)=(\delta_{ij}\cdot a_i)$.
			\item Für eine Permutation $\sigma\in S_n$ definiert man die Permutationsmatrix $P_\sigma := (\delta_{\sigma
			(i),j})$.
			\item Für $a_1,...,a_n$ definiert man einen Zeilenvektor $(a_1,...,a_n)\in Mat_{1\times n}(K)$ bzw. einen 
			Spaltenvektor $(a_1,...,a_n)^t$.
		\end{compactitem}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Addition und Skalarmultiplikation:} Seien $A=(a_{ij})$ und $B=(b_{ij})$ desselben Typs und 
			$\lambda \in K$. Man definiert auf $Mat_{m\times n}(K)$ eine koeffizientenweise Addition und Skalarmultiplikation.
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} $(Mat_{m\times n},+,\cdot)$ ist ein $K$-VR der Dimension $dim_K(Mat_{m\times n})=n\cdot m$ mit 
			Basismatrix als Basis.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Dies ist klar, weil wir $Mat_{m\times n}$ mit dem Standardraum $K^{mn}$ identifizieren können. Wir haben die 
		Elemente nur als $m\times n$-Matrix statt als $mn$-Tupel geschrieben.} \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Matrizenmultiplikation:} Seien $m,n,r \in \mathbb N_0$. Sind $A=(a_{ij})\in Mat_{m\times n}(K)$, 
			$B=(b_{jk})\in Mat_{n\times r}(K)$ so definieren wir $C=AB$ als die Matrix $C=(c_{ik})\in Mat_{m\times r}(K)$ mit 
			$c_{ik}=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}\cdot b_{jk}$. Kurz geschrieben "'Zeile $\cdot$ Spalte"'.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Für $A\in Mat_n(K)$ ist $0\cdot A=0$ und $1\cdot A=A$.
			\item Für $\sigma \in S_n$ und $A\in Mat_{n\times r}(K)$ geht $P_{\sigma}\cdot A$ aus $A$ durch Permutation der 
			Zeilen hervor.
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Für $m,n,r \in \mathbb N_0$ und $A=(a_{ij})\in Mat_{m\times n}(K)$, $B=(b_{jk})\in Mat_
			{n\times r}(K)$ und $\lambda\in K$ gilt: $A(\lambda B)=(\lambda A)B=\lambda(AB)$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Schreibe $A=(a_{ij})$, $B=(b_{jk})$. Dann ist $A(\lambda B)=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}\cdot \lambda b_{jk}=\sum
		\limits_{j=1}^n \lambda a_{ij} \cdot b_{jk}=(\lambda A)B=\lambda \cdot \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}=\lambda
		(AB)$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Matrizenmultiplikation ist assoziativ: $A(BC)=(AB)C$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Sei $D=BC\in Mat_{n\times s}(K)$, $E=AB \in Mat_{m\times r}(K)$. Schreibe $A=(a_{ij})$ usw. Für $i,l$ ist $(AD)=
		\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}d_{jl}=\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}\cdot \sum\limits_{k=1}^r b_{jk}c_{kl}=\sum
		\limits_{j=1}^n \sum\limits_{k=1}^n a_{ij}b_{jk}c_{kl}$. \\
		$(EC)=\sum\limits_{k=1}^n e_{ik}c_{kl}=\sum\limits_{k=1}^r \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}c_{kl}$. Also ist 
		$AD=EC$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Für $m,n,r\in \mathbb N_0$ und $A,A'\in Mat_{m\times n}(K)$, $B,B'\in Mat_{n\times r}(K)$ ist 
			$(A+A')B=AB+A'B$ und $A(B'+B)=AB'+AB$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Schreibe $A=(a_{ij})$ etc. Dann ist $(A+A')B=\sum\limits_{j=1}^n (a_{ij}+a'{ij})b_{jk}=\sum\limits_{j=1}^n 
		a_{ij}+b_{jk} + \sum\limits_{j=1}^n a'_{ij}+b_{jk}=(AB+A'B)$. Rest analog.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Mit der Matrizenmultiplikation wird $Mat_n(K)$ zu einem Ring mit Einselement $1$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Die vorherigen Sätze und Lemmas.} \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Für $n=1$ können wir dem Ring $Mat_n(K)$ mit $K$ identifizieren, der Ring ist also ein Körper, 
			insbesondere ist er kommutativ.
			\item Für $n\ge 2$ ist $Mat_n(K)$ nicht kommutativ.
		\end{compactitem}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition invertierbar:} Eine Matrix $A\in Mat_n(K)$ heißt invertierbar oder regulär, wenn sie im Ring 
			$Mat_n(K)$ invertierbar ist, sonst singulär. Die Gruppe $GL_n(K)=Mat_n(K)^{\times}$ der invertierbaren $n\times n$
			-Matrizen heißt allgemeine Gruppe.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiel:} Sei $n=2$. Zu $A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\\\end{pmatrix} \in Mat_2(K)$ definiert man $\tilde A=
		\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\\\end{pmatrix}\in Mat_2(K)$. Man prüft nach, dass $A\cdot \tilde A=\tilde A\cdot A=
		(ad-bc)\cdot 1_2$. Definiert man nun $det(A)=ad-bc$ so sieht man: Ist $det(A)\neq 0$, so ist $A$ invertierbar mit 
		$A^{-1}=det(A)^{-1}\cdot \tilde A$. Ist $det(A)=0$ so $A$ ist Nullteiler und somit nicht invertierbar. \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Für $A,A_1,A_2\in Mat_{m\times n}(K)$ und $B=Mat_{n\times r}(K)$ ist 
			\begin{compactitem}
				\item $(A^t)^t=A$
				\item $(A_1+A_2)^t=A_1^t + A_2^t$
				\item $(AB)^t=B^tA^t$
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Übung} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Für $A\in Gl_n(K)$ ist $A^t\in GL_n(K)$ und $(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Aus $AA^{-1}=1$ folgt, dass $(A^{-1})^tA^t=1_n^t=1_n$. Somit ist $(A^{-1})^t$ das Inverse zu $A^t$.} \\
	
	\subsection{Homomorphismen von Gruppen}
		Seien $G,H$ zwei multiplikativ geschriebene Gruppen. \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Gruppenhomomorphismus:} Eine Abbildung $f: G \to H$ ist ein Gruppenhomomorphismus, wenn gilt: \\
			(GH): $f(xy)=f(x)\cdot f(y)$ \\
			Die Menge der Homomorphismen $f:G\to H$ bezeichnet man mit $Hom(G,H)$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkung:} Ein Gruppenhomomorphismus ist also eine Abbildung, welche mit der Verknüpfung, also der Struktur 
		der Gruppe, verträglich ist. Man beachte: für additiv geschriebe Gruppen lautet die Bedingung: $f(x+y)=f(x)+f(y)$. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele von Gruppenhomomorphismen:}
		\begin{compactitem}
			\item $id_G: G \to G$
			\item $c_1:G\to H$ mit $x\mapsto 1_H$
			\item $G_0\le G$ Untergruppe, $\iota:G_0\to G$
			\item $(A,+)$ abelsche Gruppe, $k\in \mathbb Z$, $A\to A$ mit $a\mapsto ka$
			\item $\mathbb Z \to \mathbb Z\backslash n\mathbb Z$ mit $\overline a \mapsto a+n\mathbb Z$
			\item $\mathbb R \to \mathbb R^{\times}$ mit $x\mapsto e^x$
			\item $Mat_n(K)\to Mat_n(K)$ mit $A\mapsto A^t$
			\item $\mathbb C\to \mathbb R^{\times}$ mit $z\mapsto |z|$
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $f\in Hom(G,H)$. Dann gilt: 
			\begin{compactitem}
				\item $f(1_G)\to 1_H$
				\item Für $x\in G$ ist $f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$.
				\item Für $x_1,...,x_n\in G$ ist $f(x_1,...,x_n)=f(x_1)\cdot ... \cdot f(x_n)$.
				\item Ist $G_0\le G$, so ist $f(G_0)\le H$.
				\item Ist $H_0\le H$, so ist $f^{-1}(H_0)\le G$.
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: 
		\begin{compactitem}
			\item $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1) \Rightarrow$ kürzen, weil $H$ Gruppe $\Rightarrow 1=f(1)$
			\item $f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(1)=1$
			\item Induktion nach $n$
			\item $x,y\in G_0\Rightarrow f(x)\cdot f(y)=f(xy)\in f(G_0)$, $f^{-1}(x)=f(x^{-1})\in f(G_0)$
			\item $x,y\in f^{-1}(H_0)\Rightarrow f(x)\cdot f(y)=f(xy)\in H_0\Rightarrow xy\in f^{-1}(H_0)$, $f(x^{-1})=(f(x))
			^{-1}\in H_0\Rightarrow x^{-1}\in f^{-1}(H_0)$, $f(1)=1\in H_0\Rightarrow 1\in f^{-1}(H_0)$, insbesondere 
			$f^{-1}(H_0)\neq \emptyset$
		\end{compactitem}}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Seien $G_1,G_2,G_3$ Gruppen. Sind $f_1:G_1\to G_2$, $f_2:G_2\to G_3$ Homomorphismen, so ist auch 
			$f_2\circ f_1:G_1\to G_3$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Für $x,y\in G_1$ ist $(f_2\circ f_1)(xy)=f_2(f_1(xy))=f_2(f_1(x)\cdot f_1(y))=f_2(f_1(x))\cdot f_2(f_1(y))=(f_2
		\circ f_1)(x)\cdot (f_2\circ f_1)(y)$} \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Arten von Homomorphismen:} Ein Homomorphismus ist \\
			ein Monomorphismus, wenn $f$ injektiv ist, \\
			ein Epimorphismus, wenn $f$ surjektiv ist, \\
			ein Isomorphismus, wenn $f$ bijektiv ist. Die Gruppen $G$ und $H$ heißen isomorph, in Zeichen $G\cong H$, wenn 
			es einen Isomorphismus $G\to H$ gibt.
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Ist $f:G\to H$ ein Isomorphismus, so ist auch $f^{-1}:H\to G$ ein Isomorphismus.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Da $f^{-1}$ wieder bijektiv ist, müssen wir nur zeigen, dass $f^{-1}$ ein Homomorphismus ist. Seien $x,y\in H$. Dann 
		ist $f(f^{-1}(x)\cdot f^{-1}(y))=f(f^{-1}(x))\cdot f(f^{-1}(y))=xy$, somit $f^{-1}(xy)=f^{-1}(x)\cdot f^{-1}(y)$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $f:G\to H$ ein Homomorphismus. Genau dann ist $f$ ein Isomorphismus, wenn es einen Homomorphismus 
			$f':H\to G$ mit $f'\circ f=id_G$ und $f\circ f'=id_H$ gibt.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Ist $f$ ein Isomorphismus, so erfüllt $f':=f^{-1}$ das Gewünschte. Ist umgekehrt $f'$ wie angegeben, so muss $f$ 
		bijektiv sein:
		\begin{compactitem}
			\item $f'\circ f=id_G$ injektiv $\Rightarrow f$ injektiv
			\item $f\circ f'=id_H$ surjektiv $\Rightarrow f$ surjektiv
		\end{compactitem}}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Isomorphie von Gruppen ist eine Äquivalenzrelation: Sind $G,G_1,G_2,G_3$ Gruppen, so gilt:
			\begin{compactitem}
				\item $G\cong G$ (Reflexivität)
				\item Ist $G_1\cong G_2$, so ist auch $G_2\cong G_1$ (Symmetrie)
				\item Ist $G_1\cong G_2$ und $G_2\cong G_3$, dann ist auch $G_1\cong G_3$ (Transitivität)
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: 
		\begin{compactitem}
			\item $id_G$ ist ein Isomorphismus
			\item vorheriges Lemma
			\item vorletzer Satz und A18
		\end{compactitem}}
		
		\textbf{Bemerkung:} Der letzte Satz erklärt die Bedeutung des Isomorphismus: Eine mit der Struktur verträgliche 
		Abbildung, die eine mit der Struktur verträgliche Umkehrabbildung besitzt, also eine strukturerhaltende Abbildung. 
		Tatsächlich können wir uns einen Isomorphismus $f: G\to H$ so vorstellen, dass wir nur die Elemente von $G$ umbenennen. 
		Alle Aussagen, die sich nur aus der Struktur selbst ergeben, bleiben damit wahr. Zum Beispiel: Ist $G\cong H$ und ist 
		$G$ abelsch, so auch $H$ und umgekehrt. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item Es ist $\mathbb Z^{\times} = \mu_2 \cong \mathbb Z\backslash 2\mathbb Z\cong (\mathbb Z\backslash 3\mathbb Z)
			^{\times}\cong S_2$. Je zwei beliebige Gruppen der Ordnung 2 sind zueinander isomorph.
			\item $e: \mathbb R \to \mathbb R_{>0}$, $x\mapsto e^x$ liefert einen Isomorphismus, da $(\mathbb R,+)\to 
			(\mathbb R,\cdot)$.
		\end{compactitem}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Kern:} Der Kern eines Gruppenhomomorphismus $f:G\to H$ ist $Ker(f):= f^{-1}(\{1\})=\{x\in G \mid
			f(x)=1_H\}$.
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Ist $f:G\to H$ ein Homomorphismus, so ist $N:=Ker(f)$ eine Untergruppe von $G$ mit $x\cdot y\cdot 
			x^{-1}\in N$ für alle $x\in G$ und $y\in N$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Es ist $N\le G$. Für $x\in G$ und $y\in N$ ist $f(xyx^{-1})=f(x)\cdot f(y)\cdot f(x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1}) \cdot 1=
		f(x)\cdot f(x^{-1})=1$, also $xyx^{-1}\in N$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $f\in Hom(G,H)$. Genau dann ist $f$ injektiv, wenn $Ker(f)=\{1_G\}$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Schreibe $N=Ker(f)$. \\
		Hinrichtung: Ist $f$ injetiv, so ist $N\le G$ mit $|N|\le 1$, also $N=\{1_G\}$. \\
		Rückrichtung: Sei $N=\{1_G\}$. Sind $x,y\in G$ mir $f(x)=f(y)$, so ist $1=(f(x))^{-1}\cdot f(y)=f(x^{-1}\cdot y)$, 
		also $x^{-1}\cdot y\in N=\{1\}$ und somit $x=y$. Folglich ist $f$ injetiv.} \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Normalteiler:} Ist $N\le G$ mit $x^{-1}y\in N$ für alle $x\in G$ und $y\in N$, so nennt man $N$ 
			einen Normalteiler von $G$ und schreibt $N\vartriangleleft G$.
		\end{mdframed}
		
	\subsection{Homomorphismen von Ringen}
		Seien $R,S$ und $T$ Ringe.
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Ringhomomorphismus:} Eine Abbildung $f:R\to S$ ist ein Ringhomomorphismus, wenn für $x,y\in R$ 
			gilt: \\
			(RH1:) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ \\
			(RH2:) $f(xy)=f(x)\cdot f(y)$ \\
			Die Menge der Ringhomomorhismen $f:R\to R$ wird mit $Hom(R,S)$ bezeichnet. Ein Homomorphismus $f:R\to S$ ist ein 
			Mono-, Epi- oder Isomorphismus, wenn $f$ injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Gibt es einen Isomorphismus 
			$f:R\to S$, so nennt man $R$ und $S$ isomorph und schreibt $R\cong S$. Die Elemente von $End(R):= Hom(R,R)$ nennt 
			man Endomorphismen. Der Kern eines Ringhomorphismus $f:R\to S$ ist $Ker(f):= f^{-1}(\{0\})$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkung:} Ein Ringhomomorphismus $f:R\to S$ ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppen $(R,+)$ und 
		$(S,+)$, der mit der Multiplikation verträglich ist, also eine strukturverträgliche Abbildung zwischen Ringen. \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:}
		\begin{compactitem}
			\item $id_R:R\to R$ ist ein Ringisomorphismus
			\item Ist $R_0\le R$ ein Unterring von $R$, so ist $\iota: R_0 \to R$ ein Ringmonomorphismus
			\item $\mathbb Z \to \mathbb Z\backslash n\mathbb Z$ mit $\overline a\mapsto a+n\mathbb Z$ it ein Ringepimorphismus
			\item Sei $R$ kommutativ mit Einselement. Für $\lambda\in R$ ist die Auswertungsabbildung $R[X]\to R$ mit $f\mapsto 
			f(\lambda)$ ein Ringepimorphismus.
			\item $\mathbb C \to \mathbb C$ mit $z\mapsto \overline z$ ist ein Ringisomorphismus
		\end{compactitem}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sind $f:R\to S$ und $g:S\to T$ Ringhomomorphismen, so auch $g\circ f:R\to T$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Übung, analog zu Gruppen} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Ist $f:R\to S$ ein Ringisomorphismus, so auch $f^{-1}: S\to R$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Von den Gruppen wissen wir: $f^{-1}$ ist ein Isomorphismus der abelschen Gruppen $(S,+)\to (R,+)$. Die Verträglichkeit 
		mit der Multiplikation zeigt man analog.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $f\in Hom(R,S)$. Genau dann ist $f$ ein Ringisomorphismus, wenn es $f'\in Hom(S,R)$ mit $f'\circ 
			f=id_R$ und $f\circ f'=id_S$ gibt.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		analog zu Gruppen} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Der Kern $I:=Ker(f)$ eines Ringhomomorphismus $f:R\to S$ ist eine Untergruppe von $(R,+)$ mit 
			$x\cdot a, a\cdot x \in I$ für alle $a\in I$ und $x\in R$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Von den Gruppen wissen wir: $I$ ist eine Untergruppe von $(R,+)$. Für $x\in R$ und $a \in I$ ist $f(xa)=f(x)\cdot 
		f(a)=f(x)\cdot 0=0$. Somit ist $xa\in I$. Analog ist $ax\in I$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $f\in Hom(R,S)$. Genau dann ist $f$ injektiv, wenn $Ker(f)=\{0\}$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Die Aussage folgt aus dem entsprechenden Satz für Gruppen, da $f:(R,+)\to (S,+)$ ein Gruppenhomomorphismus ist.} \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Ideal:} Ist $I$ eine Untergruppe von $(R,+)$ und $xa,ax\in I$ mit $x\in R$ und $a\in I$, so nennt 
			man $I$ ein Ideal von $R$ und schreibt $I\vartriangleleft R$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Beispiel:} Der Kern des Ringhomomorphismus $\mathbb Z\to \mathbb Z\backslash n\mathbb Z$ mit $a\mapsto 
		\overline a$ ist das Ideal $I=n\mathbb Z\vartriangleleft \mathbb Z$.
		
	\subsection{Homomorphismen von Vektorräumen}
		Seien $U,V,W$ drei $K$-VR. \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition $K$-linear:} Eine Abbildung $f: V \to W$ heißt $K$-linearer Homomorphismus von $K$-VR, wenn für 
			alle $x,y\in V$ und $\lambda\in K$ gilt: \\
			(L1): $f(x+y)=f(x)+f(y)$ \\
			(L2): $f(\lambda x)=\lambda \cdot f(x)$ \\
			Die Menge der $K$-linearen Abbildungen $f: V\to W$ wird mit $Hom_K(V,W)$ bezeichnet. Die Elemente von $End_K(V)
			:= Hom_K(V,V)$ nennt man die Endomorphismen von $V$. Ein $f\in Hom_K(V,W)$ ist ein Mono-, Epi- bzw. Isomorphismus, 
			falls $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ist. Einen Endomorphismus der auch ein Isomorphismus ist, nennt man 
			Automorphismus von $V$ und bezeichnet die Menge der Automorphismen von $V$ mit $Aut_K(V)$. Der Kern einer linearen 
			Abbildung $f: V\to W$ ist $Ker(f):= f^{-1}(\{0\})$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkung:} Eine $K$-lineare Abbildung $f: V\to W$ ist also ein Homomorphismus der abelschen Gruppen $(V,+) 
		\to(W,+)$, der mit der Skalarmultiplikation verträglich ist, d.h. eine strukturverträgliche Abbildung zwischen VR. \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Eine Abbildung $f: V\to W$ ist genau dann $K$-linear, wenn für alle $x,y\in V$ und $\lambda,
			\mu\in K$ gilt: \\
			(L): $f(\lambda x +\mu y)=\lambda f(x) + \mu f(y)$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Hinrichtung: $f(\lambda x +\mu y)=f(\lambda x) + f(\mu y)=\lambda f(x) + \mu f(y)$ \\
		Rückrichtung: (L1): $f(x+y)=f(1x+1y)=1f(x)+1f(y)$, (L2): $f(\lambda x)=f(\lambda x+0y)=\lambda f(x)$.} \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiele:} 
		\begin{compactitem}
			\item $id_V: V\to V$ ist ein Automorphismus von $V$
			\item $c_0:V\to W$ mit $x\mapsto 0$ ist $K$-linear
			\item Für einen UVR $V_0\le V$ ist $\iota: V_0\to V$ ein Monomorphismus
			\item Im $K$-VR $K[X]$ kann man die (formale) Ableitung definieren: $(\sum\limits_{i=0}^n a_iX^i)' := \sum\limits
			_{i=1}^n ia_iX^{i-1}$. Diese Abbildung $K[X]\to K[X]$ mit $f\mapsto f'$ ist ein $K$-Endomorphismus von $K[X]$.
		\end{compactitem}
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel:} Sei $V=K^n$ und $W=K^m$. Wir fassen die Elemente von $V$ und $W$ als Spaltenvektoren auf. Zu einer 
		Matrix $A\in Mat_{m\times n}(K)$ definieren wir die Abbildung $f_A:V\to W$ mit $x\mapsto Ax$. \\
		Ausgeschrieben: Ist $A=(a_{ij})$ und $x=(x_1,...,x_n)^t$ so ist $f_A(x)=Ax=
		\begin{pmatrix}
		a_{11} & ... & a_{1n}\\
		... &  & ...\\
		a_{m1} & ... & a_{mn}\\
		\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n\end{pmatrix} = 
		\begin{pmatrix}
		a_{11}\cdot x_1 + ... + a_{1n}\cdot x_n\\
		...\\
		a_{m1}\cdot x_1 + ... + a_{mn}\cdot x_n\\
		\end{pmatrix}$. Diese Abbildung ist $K$-linear. \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Für ein $f\in Hom_K(V,W)$. Dann gilt:
			\begin{compactitem}
				\item $f(0)=0$
				\item Für $x,y\in V$ ist $f(x-y)=f(x)-f(y)$.
				\item Sind $(x_1)$ aus $V$, $(\lambda_i)$ aus $K$, fast alle gleich 0, so ist $f(\sum\limits_{i\in I} \lambda_i
				\cdot x_i)=\sum\limits_{i\in I} \lambda_i\cdot f(x)$.
				\item Ist $(x_i)$ linear abhängig in $V$, so ist $f(x_i)$ linear abhängig in $W$.
				\item Ist $V_0\le V$ ein UVR von $V$, so ist $f(V_0)\le W$ ein UVR.
				\item Ist $W_0\le W$ ein UVR von $W$, so ist $f^{-1}(W_0)\le V$ ein UVR.
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis:
		\begin{compactitem}
			\item klar
			\item klar
			\item Induktion
			\item $\sum \lambda_i\cdot x_i=0\Rightarrow 0=f(0)=f(\sum \lambda_i\cdot x_i)=\sum \lambda_i\cdot f(x_i)$
			\item $x,y\in V_0\Rightarrow f(x)+f(y)=f(x+y)\in f(V_0)$ \\ 
			$x\in V_0,\lambda\in K\Rightarrow f(x\cdot \lambda= f(\lambda x)\in f(V_0))$
			\item $f(0)=0\in W_0\Rightarrow 0\in f^{-1}(W_0)$, insbesondere ist $f^{-1}(W_0)\neq \emptyset$ \\ 
			$x,y\in f^{-1}(W_0)\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)\in W_0$, also $x+y\in f^{-1}(W_0)$ \\
			$x\in f^{-1}(W_0)$ und $\lambda\in K\Rightarrow f(\lambda x)=\lambda f(x)\in W_0$, also $\lambda x\in f^{-1}(W_0)$
		\end{compactitem}}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sind $f:V\to W$ und $g:W\to U$ $K$-linear, so auch $g\circ f: V\to U$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Für $x,y\in V$ und $\lambda,\mu\in K$ ist $(g\circ f)(\lambda x + \mu y)=g(f(\lambda x + \mu y))=g(\lambda f(x) + 
		\mu f(y))=\lambda (g\circ f)(x) + \mu (g\circ f)(y)$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Ist $f:V\to W$ ein Isomorphismus, so auch $f^{-1}:W\to V$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Wir müssen nur zeigen, dass $f^{-1}$ linear ist. Für $x,y\in V$ und $\lambda,\mu\in K$ ist $f(\lambda f^{-1}(x) + 
		\mu f^{-1}(y))=\lambda (f\circ f^{-1})(x) + \mu (f\circ f^{-1})(y)=\lambda x + \mu y$, also $f^{-1}(\lambda x + 
		\mu y)=\lambda f^{-1}(x) + \mu f^{-1}(y)$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $f:V\to W$ linear. Genau dann ist $f$ ein Isomorphismus, wenn es eine lineare Abbildung $f':W
			\to V$ gibt mit $(f'\circ f)=id_V$ und $(f\circ f')=id_W$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Ist $f$ ein Isomorphismus, so erfüllt $f'=f^{-1}$ die Behauptung. Existiert umgekehrt $f'$ wie angegeben, so muss 
		$f$ bijektiv sein.} \\
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} Wie auch bei Gruppen sehen wir hier bei VR, dass Isomorphismen genau die strukturerhaltenden 
		Abbildungen sind. Wieder können wir uns einen Isomorphismus $f:V\to W$ so vorstellen, dass wir nur die Elemente von 
		$V$ umbennen. Alle Aussagen, die sich nur aus der Struktur selbst ergeben, bleiben damit wahr, wie z.B. $dim_K(V)=
		dim_K(W)\iff V=W$. Insbesondere ist $K^n \cong K^m$ für $n=m$. \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung, so ist $Ker(f)$ ein UVR von $V$. Genau dann ist $f$ ein 
			Monomorphismus, wenn $Ker(f)=\{0\}$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Der erste Teil folgt aus dem letzten Beispiel, der zweite folgt aus den Gruppen, da $f:(V,+)\to (W,+)$ ein 
		Gruppenhomomorphismus ist.} \\
		
	\subsection{Der Vektorraum der linearen Abbildungen}
		Seien $V$ und $W$ zwei $K$-VR.
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $(x_i)$ eine Basis von $V$ und $(y_i)$ eine Familie in $W$. Dann gibt es genau eine lineare 
			Abbildung $f:V\to W$ mit $f(x_i)=y_i$. Diese Abbildung ist durch $f(\sum \lambda_ix_i)=\sum \lambda_iy_i$ 
			(*) ($\lambda_i\in K$, fast alle gleich 0) gegeben und erfüllt
			\begin{compactitem}
				\item $Image(f)=span_K(y_i)$
				\item genau dann ist $f$ injektiv, wenn $(y_i)$ linear unabhängig ist
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Ist $f:V\to W$ linear mit $f(x_i)=y_i$, so folgt $f(\sum \lambda_ix_i)=\sum \lambda_iy_i$. Da sich jedes 
		$x\in V$ als $x=\sum  \lambda_ix_i$ schreiben lässt, ist $f$ dadurch schon eindeutig bestimmt. Andererseits wird 
		durch (*) eine wohldefinierte Abbildung beschrieben, da die Darstellung von $x$ eindeutig ist (denn $x_i$ sind 
		linear unabhängig). Es bleibt zu zeigen, dass die durch (*) definierte Abbildung $f:V\to W$ tatsächlich linear ist. 
		Ist $x=\sum \lambda_ix_i$ und $x'=\sum \lambda'_ix_i$ so ist $f(x+x')=f(\sum (\lambda_i+\lambda'_i)x_i)=
		\sum (\lambda_i+\lambda'_i)y_i=\sum \lambda_iy_i+\sum \lambda'_iy_i=f(x)+f(x')$. $f(\lambda x)=f(\sum \lambda
		\lambda_ix_i)=\sum \lambda\lambda_iy_i=\lambda\sum\lambda_iy_i=\lambda f(x)$.
		\begin{compactitem}
			\item $Image(f)$ ist ein UVR von $W$ und $\{y_i\}\subset Image(f)\subset span_K(y_i)$, somit $Image(f)=span_K(y_i)$
			\item $f$ ist injektiv $\iff Ker(f)=\{0\}$ \\ 
			$\iff \lambda_i\in K$ gilt: $f(\sum \lambda_ix_i)=0\Rightarrow \sum \lambda_ix_i=0$ \\ 
			$\iff \lambda_i\in K$ gilt: $\sum\lambda_iy_i=0\Rightarrow \lambda_i=0$ \\ 
			$\iff (y_i)$ linear unabhängig.
		\end{compactitem}}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Sei $dim_K<\infty$. Ist $(x_1,...,x_n)$ eine linear unabhängige Familie in $V$ und $(y_1,...,y_n)$ 
			eine Familie in $W$, so gibt es eine lineare Abbildung $f:V\to W$ mit $f(x_i)=y_i$
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Nach dem Basisergänzungssatz können wir die Familie $(x_i)$ zu einer Basis $x_1,...,x_m$ ergänzen. Die Behauptung 
		folgt aus dem vorherigen Satz für beliebige $y_{n+1},...,y_m\in W$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Ist $(x_i)$ eine Basis von $V$ und $(y_i)$ eine Basis in $W$, so gibt es genau einen Isomorphismus 
			$f:V\to W$ mit $f(x_i)=y_i$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Sei $f$ wie im ersten Satz. $(y_i)$ ist Erzeugendensystem $\Rightarrow Image(f)=span_K(y_i)=W$, also $f$ surjektiv. 
		$(y_i)$ linear abhängig $\Rightarrow f$ ist injektiv.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Zwei endlichdimensionale $K$-VR sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		letztes Korllar und letztes Kapitel} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Ist $B=(v_1,...,v_n)$ eine Basis von $V$, so gibt es genau einen Isomorphismus $\Phi_B:K^n\to 
			V$ mit $f(e_i)=v_i$. Insbesondere ist jeder endlichdimensionale $K$-VR zu einem Standardraum isomorph, nämlich zu
			$K^n$ für $n=dim_K(V)$.
		\end{framed}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Koordinatensystem:} Die Abbildung $\Phi_B$ heißt Koordinatensystem zu $B$. Für $v\in V$ ist 
			$(x_1,...,x_n)^t=\Phi^{-1}_B(v)\in K^n$ der Koordinatenvekor zu $v$ bezüglich $B$ und $(x_1,...,x_n)$ sind die 
			Koordinaten von $v$ bezüglich $B$.
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Die Menge $Hom_K(V,W)$ ist eine UVR des $K$-VR $Abb(V,W)$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Seien $f,g\in Hom_K(V,W)$ und $\eta \in K$.
		\begin{compactitem}
			\item $f+g\in Hom_K(V,W)$: Für $x,y\in V$ und $\lambda,\mu\in K$ ist $(f+g)(\lambda x+\mu y)=f(\lambda x+\mu y)+
			g(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)+\lambda g(x)+\mu g(y)=\lambda(f+g)(x)+\mu(f+g)(y)$
			\item $\eta f\in Hom_K(V,W)$: Für $x,y\in V$ und $\lambda,\mu\in K$ ist $(\eta f)(\lambda x+\mu y)=\eta\cdot 
			f(\lambda x+\mu y)=\eta(\lambda f(x)+\mu f(y))=\lambda(\eta f)(x)+\mu(\eta f)(y)$
			\item $Hom_K(V,W)\neq\emptyset$: $c_0\in Hom_K(V,W)$
		\end{compactitem}}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Sei $U$ ein weiterer $K$-VR. Sind $f,f_1,f_2\in Hom_K(V,W)$ und $g,g_1,g_2\in Hom_K(U,V)$, so ist 
			$f\circ (g_1+g_2)=f\circ g_1+f\circ g_2$ und $(f_1+f_2)\circ g=f_1\circ g+f_2\circ g$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Für $x\in U$ ist
		\begin{compactitem}
			\item $(f\circ(g_1+g_2))(x)=f((g_1+g_2)(x))=f(g_1(x)+g_2(x))=f(g_1(x))+f(g_2(x))=(f\circ g_1+f\circ g_2)(x)$
			\item $((f_1+f_2)\circ g)(x)=(f_1+f_2)(g(x))=f_1(g(x))+f_2(g(x))=(f_1\circ g+f_2\circ g)(x)$
		\end{compactitem}}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Unter der Komposition wird $End_K(V)$ zu einem Ring mit Einselement $id_V$ und $End_K(V)^{\times}=
			Aut_K(V)$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		$(End_K(V),+)$ ist eine abelsche Gruppe, die Komposition eine Verknüpfung auf $End_K(V)$ ist assoziativ und die 
		Distributivgesetze gelten (vorheriges Lemma).} \\
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} Die Menge der strukturverträglichen Abbildungen zwischen $K$-VR trägt also wieder die Struktur 
		eines $K$-VR. Wir können diesen mit unseren Mitteln untersuchen und z.B. nach Dimension und Basis fragen. \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Seien $m,n,r\in \mathbb N$, $A\in Mat_{m\times n}(K)$, $B\in Mat_{n\times r}(K)$. Für die linearen 
			Abbildungen $f_A\in Hom_K(K^n,K^m)$, $f_B\in Hom_K(K^r,K^n)$ gilt dann $f_{AB}=f_A\circ f_B$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Sind $A=(a_{ij})$ und $B=(b_{jk})$, so ist $(f_A\circ f_B)(e_k)=f_A(f_B(e_k))=f_A(Be_k)=f_A(b_{1k},...,b_{nk})^t=
		A\cdot (b_{1k},...,b_{nk})^t=(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{jk},...,\sum\limits_{j=1}^n a_{mj}b_{jk})^t=AB\cdot e_k=
		f_{AB}(e_k)$ für $k=1,...,r$, also $f_A\circ f_B=f_{AB}$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Die Abbildung $A\to f_A$ liefert einen Isomorphismus von $K$-VR $F_{m\times n}: Mat_{m\times n}(K)
			\to Hom_K(K^n,K^m)$ sowie einen Ringisomorphismus $F_n:Mat_n(F)\to End_K(K^n)$ der $GL_n(K)$ auf $Aut_K(K^n)$ 
			abbildet.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: Wir schreiben $F$ für $F_{m\times n}$\\
		\begin{compactitem}
			\item $F$ ist linear: Sind $A,B\in Mat-{n\times m}(K)$ und $\lambda,\mu\in K$, so ist $F(\lambda A+\mu B)(x)=
			f_{\lambda A+\mu B}(x)=(\lambda A+\mu B)x=\lambda Ax+\mu Bx=\lambda f_A(x)+\mu f_B(x)=(\lambda F(A)+\mu F(B))(x)$, 
			also ist $F$ linear.
			\item $F$ ist injektiv: Es genügt zu zeigen, dass $Ker(f)=\{0\}$. Ist $A=(a_{ij})\in Mat_{n\times m}(K)$ mit $F(A)=0$, 
			so insbesondere $0=F(A)(e_j)=f_A(e_j)=Ae_j=(a_{1j},...,a_{mj})^t$, also $A=0$.
			\item $F$ ist surjektiv: Sei $f\in Hom_K(V,W)$. Schreibe $f(e_j)=(a_{1j},...,a_{mj})^t$ und setze $A=(a_{ij})\in 
			Mat_{n\times m}(K)$. Dann ist $f_A\in Hom_K(K^n,K^m)$ mit $f_A(e_j)=Ae_j=f(e_j)$, also $f=f_A=F(A)\in Image(f)$.
			\item $F_n$ ist eine Ringhomomorphismus: \\
			(RH1) aus (L1) \\
			(RH2) aus $f_{AB}=f_A\circ f_B$.
			\item Somit ist $F_n$ eine Ringisomorphismus $\Rightarrow F_n(Mat_n(K)^{\times})=End_K(V)^{\times}$, also $F_n(
			GL_n(K))=Aut_K(V)$.
		\end{compactitem}}
		
	\subsection{Koordinatendarstellung linearer Abbildungen}
		Seien $V,W$ endlichdimensionale $K$-VR mit den Basen $B=(x_1,...,x_n)$ und $C=(y_1,...,y_m)$.
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition darstellende Matrix:} Sei $f\in Hom_K(V,W)$. Für $j=1,...,n$ schreiben wir $f(x_j)=\sum\limits_{
			i=1}^m a_{ij}y_i$ mit eindeutig bestimmten $a_{ij}\in K$. Die Matrix $M_C^B(f)=(a_{ij})\in Mat_{m\times n}(K)$ 
			heißt die darstellende Matrix von $f$ bezüglich der Basen $B$ und $C$.
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Sei $f\in Hom_K(V,W)$. Die darstellende Matrix $M_C^B(f)$ ist die eindeutig bestimmte Matrix $A\in 
			Mat_{n\times m}(K)$, für die das folgenden Diagramm kommutiert: \\
			\begin{center}\begin{tikzpicture}
  				\matrix (m) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em]
  				{K^n & K^m \\ V & W \\};
  				\path[-stealth]
    			(m-1-1) edge node [left] {$\Phi_B$} (m-2-1)
            			edge node [above] {$f_A$} (m-1-2)
    			(m-2-1) edge node [below] {$f$} (m-2-2)
    			(m-1-2) edge node [right] {$\Phi_C$} (m-2-2);
			\end{tikzpicture}\end{center}
			d.h. $f\circ \Phi_B=\Phi_C\circ f_A$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Sei zunächst $A=M_C^B(f)$. Für $j=1,...,n$ ist $\Phi_C(f_A(e_j))=\Phi_C((a_{1j},...,a_{mj})^t)=\sum\limits_{i=1}^m 
		a_{ij}\cdot y_i=f(x_j)=f(\Phi_B(e_j))$, also $\Phi_C\circ f_A=f \circ \Phi_B$. \\
		Sei umgekehrt $A\in Mat_{m\times n}(K)$ mit $\Phi_C\circ f_A=f\circ\Phi_B$. Da $\Phi_B$ und $\Phi_C$ Isomorphismen 
		sind, ist $f_A$ eindeutig bestimmt: $f_A=\Phi_C^{-1}\circ f \circ \Phi_B$ und deshalb auch $A$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Die Abbildung $M_C^B$: $Hom_K(V,W)\to Mat_{m\times n}(K)$ ist ein Isomorphismus von $K$-VR.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Definiere $A$: $Hom_K(V,W)\to Mat_{m\times n}(K)$ mit $f\mapsto \Phi_C^{-1}\circ f \circ \Phi_B$. $A(f)=F_{m\times n}
		(M_C^B(f))$, also $A=F_{m\times n}\circ M_C^B$. Die Abbildung ist bijektiv, da $\Phi_B$ und $\Phi_C$ bijektiv sind, 
		und linear, da $\Phi_B$ und $\Phi_C$ linear sind. Also ist $A$ ein Isomorphismus. Da auch $F_{m\times n}^{-1}$ ein 
		Isomorphismus ist, ist folglich auch $M_C^B=F_{m\times n}^{-1}\circ A$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Sei $U$ ein weitere $K$-VR mit endlicher Basis $D$. Für $f\in Hom_K(V,W)$ und $g\in Hom_K(U,V)$ ist 
			$M_C^B(f)\cdot M_B^D(g)=M_C^D(f\circ g)$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Sei $r=dim_K(U)$ und $A=M_B^D(g)$ und $B=M_C^B(f)$. Nach dem letzen Satz kommutieren die beiden kleinen Quadrate in: }\\
		\begin{center}\begin{tikzpicture}
  				\matrix (n) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em]
  				{K^r & K^n & K^m \\ U & V & W \\};
  				\path[-stealth]
    			(n-1-1) edge node [left] {$\Phi_D$} (n-2-1)
            			edge node [above] {$f_A$} (n-1-2)
    			(n-2-1) edge node [below] {$g$} (n-2-2)
    			(n-2-2) edge node [below] {$f$} (n-2-3)
    			(n-1-2) edge node [right] {$\Phi_B$} (n-2-2)
    			(n-1-2) edge node [above] {$f_B$} (n-1-3)
    			(n-1-3) edge node [right] {$\Phi_C$} (n-2-3);
		\end{tikzpicture}\end{center}
		\textit{Deshalb kommutiert auch:} \\
		\begin{center}\begin{tikzpicture}
  				\matrix (m) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em]
  				{K^r & K^m \\ U & W \\};
  				\path[-stealth]
    			(m-1-1) edge node [left] {$\Phi_D$} (m-2-1)
            			edge node [above] {$f_B \circ f_A$} (m-1-2)
    			(m-2-1) edge node [below] {$f\circ g$} (m-2-2)
    			(m-1-2) edge node [right] {$\Phi_C$} (m-2-2);
		\end{tikzpicture}\end{center}
		\textit{Die Eindeutigkeit impliziert deshalb, dass $F_{m\times n}(M_C^B(f))\circ F_{r\times m}(M_B^D(g))=F_{r\times n}
		(M_C^D(f\circ g))$. Da $F_{r\times n}$ injektiv ist, folgt $M_C^B(f)\cdot M_B^D(g)=M_C^D(f\circ g)$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Sei $f\in Hom_K(V,W)$. Genau dann ist $f$ ein Isomorphismus, wenn $m=n$ und $M_C^B(f)=GL_n(K)$. In 
			diesem Fall ist $M_B^C(f^{-1})=M_C^B(f)^{-1}$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Sei $A=M_C^B(f)$. $f$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $f_A$ einer ist, und in diesem Fall ist $m=n$. Zudem ist 
		$f_A$ genau dann ein Isomorphimus, wenn $A\in GL_n(K)$. Ist $f$ ein Isomorphismus, so ist $M_B^C(f^{-1})\cdot 
		M_C^B(f)=M_C^C(f^{-1}\circ f)=1_n$, also $M_B^C(f^{-1})=M_C^B(f)^{-1}$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Die Abbildung $M_B:=M_B^B$: $End_K(V)\to Mat_n(K)$ ist ein Ringisomorphismus, der $Aut_K(V)$ auf 
			$GL_n(K)$ abbildet.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		Die vorherigen Korollare und das Lemma.} \\
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Transformationsmatrix:} Sind $B$ und $B'$ Basen von $V$, so nennt man $T_{B'}^B:=M_{B'}^B(id_V)\in 
			GL_n(K)$ die Transformationsmatrix des Basiswechsels von $B$ nach $B'$.
		\end{mdframed}
		
		\textbf{Bemerkung:} Nach dem letzen Satz ist $T_{B'}^B$, also die Matrix $A$, die $f_A=\Phi_B^{-1}\circ \Phi_B$ 
		erfüllt. Ist $x=\Phi_B^{-1}(v)\in K^n$ der Koordinatenvektor von $v$ bezüglich $B$, so ist $T_{B'}^B\cdot 
		x=f_{T_{B'}^B}(x)=(\Phi_{B'}\circ \Phi_B)(\Phi_B^{-1}(v))=\Phi_{B'}^{-1}(v)$ der Koordinatenvektor von $v$ 
		bezüglich $B'$. \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz (Transformationsformel):} Seien $B,B'$ Basen von $V$ und $C,C'$ Basen von $W$. Für $f\in Hom_K(V,W)$ ist 
			$M_C'^B(f)=T_C'^C\cdot M_C^B(f)\cdot (T_B'^B)^{-1}$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		$f=id_W\circ f \circ id_V$ mit den Basen $B',B,C,C'$ und erhält $M_{C'}^{B'}(f)=M_{C'}^C(id_W)\cdot M_C^B(f)\cdot
		M_B^{B'}(id_V)=T_{C'}^C\cdot M_C^B(f)\cdot T_B^{B'}$ und $T_B^{B'}=M_B^{B'}(id_V)=M_B^{B'}(id_V^{-1})=M_{B'}^B(id_V)^
		{-1}=(T_{B'}^B)^{-1}$.} \\
		
		\begin{framed}
			\textbf{Korollar:} Sind $B$ und $B'$ Basen von $V$ und $f\in End_K(V)$, so gilt $M_{B'}(f)=T_{B'}^B \cdot M_B(f)
			\cdot (T_{B'}^B)^{-1}$.
		\end{framed}
		
	\subsection{Quotientenräume}
		Seien $V,W$ $K$-VR und $U\subset V$ ein UVR.
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition affiner Unterraum:} Ein affiner Unterrraum von $V$ ist eine Teilmenge der Form $x+U:=\{x+u\mid u \in U\}\subset 
			V$, wobei $U\subset V$ ein beliebiger UVR von $V$ ist und $x\in V$.
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Für $x,x'\in V$ sind äquivalent:
			\begin{compactitem}
				\item $x+U=x'+U$
				\item $x'\in x+U$
				\item $x'-x\in U$
			\end{compactitem}
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		$1\Rightarrow 2$: $x'=x'+0\in x'+U=x+U$ \\
		$2\Rightarrow 3$: $x'\in x+U \Rightarrow x'=x+u$ mit $u\in U\Rightarrow x'-x=u\in U$ \\
		$3\Rightarrow 1$: Sei $u_0:=x'-x\in U$. Für $u\in U$ ist \\
		$x+u=x'-u_0+u\in x'+U$, also $x'+U\subset x+U$, \\
		$x'+u=x+u_0+u\in x+U$, also $x+U\subset x'+U$.}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Sei $f\in Hom_K(V,W)$ und $U=Ker(f)$. Für $y\in f(V)$ ist die Faser $f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\})$ von $f$ der affine 
			Unterraum $x_0+U$ für ein beliebiges $x_0\in f^{-1}(y)$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		$f^{-1}(y)=\{x\in V \mid f(x)=f(x_0)\}=\{x\in V \mid f(x-x_0)=0\} = \{x\in V \mid x-x_0\in U\}=x_0+U$} \\
		$\newline$
		
		\textbf{Beispiel:} Sind $K=\mathbb R$, $V=\mathbb R^2$, $W=\mathbb R$ und $f(x,y)=x-2y$ so sind die Fasern von $f$ die Geraden $L\subset 
		\mathbb R^2$ der Steigung $\frac 1 2$.
		
		\begin{framed}
			\textbf{Lemma:} Seien $x_1,x'_1,x_2,x'_2\in V$ und $\lambda \in K$. Ist $x_1+U=x'_1+U$ und $x_2+U=x'_2+U$, so ist $(x_1+x_2)+U=
			(x'_1+x'_2)+U$, und $\lambda x_1+U=\lambda x'_1+U$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		\begin{compactitem}
			\item $x_1+U=x'_1+U$, $x_2+U=x'_2+U\Rightarrow x'_1-x_1,x'_2-x_2\in U\Rightarrow (x'_1+x'_2)-(x_1+x_2)=(x'_1-x_1)-(x'_2-x_2)\in U
			\Rightarrow (x_1+x_2)+U=(x'_1+x'_2)+U$
			\item $x_1+U=x'_1+U\Rightarrow x'_1-x_1\in U\Rightarrow \lambda x'_1-\lambda x_1\in U\Rightarrow \lambda x'_1+U=\lambda x_1+U$
		\end{compactitem}}
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Definition Quotientenraum:} Der Quotientenraum von $V$ modulo $U$ ist die Menge der affinen Unterräume \qraum{$V$}{$U$} 
			$:=\{x+U\mid x\in V\}$ mit der Addition $(x_1+U)+(x_2+U)=(x_1+x_2)+U$ und der Multiplikation $\lambda(x+U)=\lambda x+U$. Dies ist 
			wohldefiniert nach dem letzten Lemma. \\
			Wir definieren die Abbildung $\pi_U:V\to$ \qraum{$V$}{$U$} durch $\pi_U(x)=x+U$.
		\end{mdframed}
		
		\begin{framed}
			\textbf{Satz:} Der Quotientenraum \qraum{$V$}{$U$} ist ein $K$-VR und $\pi_U$ ein Epimorphismus mit Kern $U$.
		\end{framed}
		\textit{Beweis: \\
		\begin{compactitem}
			\item $($\qraum{$V$}{$U$}$,+)$ ist eine abelsche Gruppe: \\
			Assoziativität un Kommutativität: überträgt sich von $(V,+)$ \\
			neutrales Element: $0+U=U$ \\
			inverses Element: $-(x+U)=(-x)+U$
			\item $($\qraum{$V$}{$U$}$,+)$ ist $K$-VR: (V2) überträgt sich von $(V,+,\cdot)$
			\item $\pi_U$ surjektiv: nach Definition von \qraum{$V$}{$U$}
			\item $\pi_U$ linear: nach Definition von $+$ und $\cdot$ auf \qraum{$V$}{$U$}
			\item $Ker(\pi_U)=\{x\in V \mid x+U=U\}=\{x\in V \mid x\in 0+U\}=U$
		\end{compactitem}}
		$\newline$
		
		\textbf{Bemerkung:} Die UVR sind also genau die Kerne linearer Abbildungen! Ist $f:V\to W$ linear, so ist $Ker(f)\subset V$ ein UVR. 
		Ist $U\subset V$ ein UVR, so ist $\pi_U:V\to$\qraum{$V$}{$U$} linear mit Kern $U$.
		
		\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20]
			\textbf{Theorem (Homomorphiesatz):} Sei $f\in Hom_K(V,W)$ mit $U\subset Ker(f)$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung $\tilde f:$
			\qraum{$V$}{$U$}$\to W$ mit $f=\tilde f \circ \pi_U$, d.h. es kommutiert: \\
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
   				\node (V) at (0,0) {$V$};
    			\node (W) at (3,0) {$W$};
    			\node (R) at (1.5,-1.5) {\qraum{$V$}{$U$}};
    			\draw[->, above] (V) to node {$f$} (W);
    			\draw[->, below] (V)  to node {$\pi_U$} (R);
    			\draw[->, right, dashed] (W)  to node {$\tilde f$} (R);
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			Diese erfüllt $Ker(\tilde f)=$\qraum{$Ker(f)$}{U}$=\{x+U\mid x\in Ker(f)\}\subset$\qraum{$V$}{$U$}.
		\end{mdframed}
		\textit{Beweis: \\
		Ist $f=\tilde f\circ \pi_U$, so gilt $\tilde f(x+U)=\tilde f(\pi_U)=f(x)\; (*)$, somit ist $\tilde f$ dann eindeutig bestimmt. Umgekehrt 
		wird durch $(*)$ eine wohldefinierte Abbildung $\tilde f$ erklärt: Sind $x,x'\in V$ mit $x+U=x'+U$, so ist $x-x'\in U\subset Ker(f)$ und 
		deshalb $f(x)=f(x')$. \\
		Linearität: Für $x,y\in V$ und $\lambda\in K$ ist $\tilde f(\lambda(x+U)+\mu(y+U))=\tilde f(\lambda\pi_U(x)+\mu\pi_U(y))=\lambda\tilde f
		(x+U)+\mu\tilde f(y+U)$. \\
		Kern: $\tilde f(x+U)=0\iff f(x)=0 \iff x\in Ker(f)$.}
\end{document}