mirror of
https://github.com/vale981/TUD_MATH_BA
synced 2025-03-06 01:51:38 -05:00
95 lines
No EOL
3.7 KiB
TeX
95 lines
No EOL
3.7 KiB
TeX
\section{p-Gruppen}
|
|
|
|
Sei $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl.
|
|
|
|
\begin{definition}[$p$-Gruppe]
|
|
$G$ ist eine \begriff{$p$-Gruppe} $\Leftrightarrow\#G=p^n$ für ein $n\in\natur_0$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
\proplbl{1_7_2}
|
|
Sei $G$ eine $p$-Gruppe und $X$ eine endliche $G$-Menge. Dann ist
|
|
\begin{align}
|
|
\#\Fix_X(G) \equiv \#X\mod p\notag
|
|
\end{align}
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $x\in X$.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $x\in\Fix_X(G)\Rightarrow (G:G_x)=1$
|
|
\item $x\notin\Fix_X(G)\Rightarrow 1\neq (G:G_x)\mid \#G=p^n\Rightarrow (G:G_x)\equiv 0\mod p$
|
|
\item Ist $X=\biguplus_{i=1}^n x_i^G$, so ist
|
|
\begin{align}
|
|
\#X = \sum_{i=1}^n (G:G_i) \equiv \#\Fix_X(G)\mod p\notag
|
|
\end{align}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{conclusion}[Satz von \person{Cauchy}]
|
|
\proplbl{1_7_3}
|
|
Teilt $p$ die Ordnung von $G$, so hat $G$ ein Element der Ordnung $p$.
|
|
\end{conclusion}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $X=\{g_1,...,g_p\in G^p\mid g_1\cdot ...\cdot g_p=1 \}$. Es ist $\#X=(\#P)^{p-1}$ und $C_p=\langle (1\, 2\, ...\, p)\rangle\le S_p$ wird auf $X$ durch $(g_1,...,g_p)^{\sigma}=(g_{\sigma(1)},...,g_{\sigma(p)})$ beschrieben. Mit \propref{1_7_2} gilt:
|
|
\begin{align}
|
|
\#\Fix_X(C_p) \equiv \#X \equiv (\#G)^{p-1} \equiv 0\mod p\notag
|
|
\end{align}
|
|
Da $(1,...,1)\in \Fix_X(C_p)$ folgt $\#\Fix_X(C_p)\ge p\ge 2$, es existiert also $1\neq g\in G$ mit $(g,...,g)\in X$, das heißt $\ord(g)=p$.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{conclusion}
|
|
\proplbl{1_7_4}
|
|
Jede nicht-triviale $p$-Gruppe hat eine nicht-triviales Zentrum.
|
|
\end{conclusion}
|
|
\begin{proof}
|
|
Betrachte Wirkung von $G$ auf $X=G$ durch Konjugation (\propref{1_6_2} c). Dann
|
|
\begin{align}
|
|
\#\Z(G) \equiv \Fix_X(G)\overset{\propref{1_7_2}}{\equiv} \#G\equiv 0\mod p\notag
|
|
\end{align}
|
|
insbesondere ist $\Z(G)\neq 1$.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\proplbl{1_7_5}
|
|
$\#G=p\Rightarrow G$ ist zyklisch.
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $1\neq g\in G\Rightarrow 1\neq\ord(g)\mid \# G\Rightarrow \ord(g)=p\Rightarrow G=\langle g\rangle$ ist zyklisch.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\proplbl{1_7_6}
|
|
$\lnkset{G}{\Z(G)}$ zyklisch $\Rightarrow G$ ist abelsch.
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $a \in G$ mit $\lnkset{G}{\Z(G)} = \langle a\Z(G)\rangle$. Dann ist
|
|
\begin{align}
|
|
G = \bigcup_{k \in \whole} a^k \Z(G).\notag
|
|
\end{align}
|
|
Sind nun $x,y \in G$, so ist $x=a^k c$, $y=a^l d$ mit $k,l\in\whole,c,d \in \Z(G)\Rightarrow x\cdot y=a^k c\cdot a^l d = a^l d\cdot a^k c = y\cdot x$
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
Ist $\#G = p^2$, so ist $G$ abelsch.
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
Nach \propref{1_7_4} ist $\Z(G) \neq 1$. $\Rightarrow \#\lnkset{G}{\Z(G)} \mid p\xRightarrow{\propref{1_7_5}} \lnkset{G}{\Z(G)}$ ist zyklisch $\xRightarrow{\propref{1_7_6}} G$ ist abelsch.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{remark}
|
|
Mit dem Struktursatz \propref{1_4_8} erhalten wir
|
|
\begin{align}
|
|
\#G = p &\Rightarrow G \cong \whole/p\whole\notag \\
|
|
\#G = p^2 &\Rightarrow G \cong \whole/p^2\whole \text{ oder } G \cong \whole / p\whole \oplus \whole /p\whole \notag
|
|
\end{align}
|
|
\end{remark}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
\proplbl{1_7_9}
|
|
Ist $\#G = p^k$ und $l \leq k$, so gibt es $H \leq G$ mit $\#H = p^l.$
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
Induktion nach $l$: \\
|
|
\emph{$l=0$:} trivial Untergruppe! \\
|
|
\emph{$l-1\to l$:} Nach $\propref{1_7_4}$ ist $\#\Z(G) = p^a, a > 0$, nach \propref{1_7_3} (\person{Cauchy}) existiert somit ein $g \in \Z(G)$ mit $\ord(g) = p$. Da $g \in \Z(G)$ ist $\langle g \rangle \unlhd G$ und $\# \lnkset{G}{\langle g\rangle} = p^{k-1}$. Nach Induktionshypothese ist Untergruppe $H_0 \leq \lnkset{G}{\langle p\rangle}$ mit $\#H_0 = p^{l-1}$. Betrachte den $\hom \pi_{\langle g \rangle} : G \to \lnkset{G}{\langle p\rangle} \Rightarrow H:= \pi_{\langle g \rangle}^{-1}(H_0) \leq G$, $\#H = \# \Ker (\pi_{\langle g \rangle}) \cdot \#H_0 = p\cdot p^{l-1} = p^l$.
|
|
\end{proof} |