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\section{Einfache Gruppen}

Sei $G$ eine Gruppe und $n \in \natur$.

\begin{definition}[Einfache Gruppe]
	Eine Gruppe $G$ heißt \begriff{einfach}, wenn $G \neq 1$ und es kein $1 \neq N \not\unlhd G$ gibt. %TODO negation of \unlhd? please FIXME!!!
\end{definition}

\begin{remark}
	Die einfachen Gruppen sind die grundlegenden "'Bausteine"' der Gruppen, siehe Kapitel 1.10.
\end{remark}

\begin{example}
	\proplbl{1_9_3}
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item $C_n$ ist einfach $\Leftrightarrow n$ ist prim, da dann $\#C_n$ keine weiteren Teiler hat, also auch keine Untergruppen
		\item Sei $G$ endlich abelsch. Dann: $G$ ist einfach $\Leftrightarrow G \cong C_p$, $p$ prim
		\item Sei $G$ eine $p$-Gruppe. Dann: $G$ ist einfach $\xLeftrightarrow{\propref{1_7_4}} G \cong C_p$, $p$ prim
		\item $A_2 = \{\id\}$ und damit einfach
		\item $A_3$ ist einfach, da $A_3 \cong C_3$
		\item $A_4$ ist nicht einfach (da $V_4 \unlhd A_4$ gilt)
	\end{enumerate}
\end{example}

\begin{definition}[Typ]
	Sei $\sigma \in S_n$. Ist $\sigma = \sigma_1\cdots \sigma_k$ eine Zerlegung in paarweise disjunkte Zykel $\sigma_i$ mit $\ord(\sigma_i)=r_i$, wobei $r_1 \geq r_2 \geq \dots \geq r_k \geq 2$, so heißt
	\begin{align}
	\Typ(\sigma) := (r_1,\dots,r_k,\underbrace{1,\dots,1}_{=\#\Fix(\sigma)})\notag
	\end{align}
	der \begriff{Typ} von $\sigma$.
\end{definition}

\begin{example}
	Sei $\sigma = (12)(25) \in S_5$. Die Zykelzerlegung ist $\sigma=(1\, 5\, 2)$. Also ist $\Typ(\sigma)=(3,1,1)$. Die beiden Fixpunkte sind 3 und 4.
\end{example}

\begin{definition}[Partition]
	Eine \begriff{Partition} von $n$ ist eine endliche Folge $(r_1,\dots,r_k)$ mit $r_1,\dots,r_k \in \natur$, $r_1\geq\dots\geq r_k$ und $n = \sum_{i=1}^{k} r_i$.
\end{definition}

\begin{lemma}
	$\{\Typ(\sigma) \mid \sigma \in S_n\}$ ist genau die Menge der Partitionen von $n$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item Hinrichtung: klar
		\item Rückrichtung: Ist $(r_1,...,r_k)$ eine Partition von $n$, so ist $(r_1,...,r_k)=\Typ(\sigma)$ für
		\begin{align}
			\sigma = (1\, ...\, r_1)(r_1+1\, ...\, r_1+r_2)...(1+\sum_{i=1}^{k-1}r_i \, ...\, n)\notag
		\end{align}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{proposition}
	\proplbl{1_9_8}
	Für $\sigma, \sigma' \in S_n$ sind äquivalent:
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item $\sigma, \sigma'$ sind konjugiert in $S_n$.
		\item $\Typ(\sigma) = \Typ(\sigma')$
	\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
	Schreibe $\sigma=\sigma_1...\sigma_k$ paarweise disjunkte Zykel, $r_\nu = \ord(\sigma_\nu)$, $r_1\ge ...\ge r_k$, $\sigma_\nu=(i_{\nu,1}\, ...\, i_{\nu,r_\nu})$, $\{1,...,n\}=\{i_{\nu,\mu} \mid \nu,\mu\}$
	\begin{itemize}
		\item (a) $\Rightarrow$ (b): Ist $\sigma'=\sigma^\tau$ mit $\tau\in S_n$, so ist
		\begin{align}
			\sigma^\tau = \sigma_1^\tau...\sigma_k^\tau \quad\text{und}\quad \sigma_\nu^\tau = (i_{\nu,1}^\tau\, ...\, i_{\nu,r_\nu}^\tau)\notag
		\end{align}
		Insbesondere $\Typ(\sigma)=\Typ(\sigma')$.
		\item (b) $\Rightarrow$ (a): Ist $\Typ(\sigma)=\Typ(\sigma')$, so ist $\sigma'=\sigma_1'...\sigma_k'$ mit paarweise disjunkten Zykeln mit $\ord(\sigma_\nu')=r_\nu$ und $\sigma_\nu'=(i_{\nu,1}'\, ...\, i_{\nu,r_\nu}')$ und deshalb wieder $\{1,...,n\}=\{i_{\nu,\mu}' \mid \nu=1,...,k,\mu=1,...,r_\nu\}$. Mit $\tau\in S_n$ definiert durch 
		\begin{align}
			i_{\nu,\mu}^\tau = i_{\nu,\mu}'\notag
		\end{align}
		ist dann $\sigma^\tau=\sigma_1^\tau...\sigma_k^\tau$ mit $\sigma_\nu^\tau = (i_{\nu,1}^\tau\, ...\, i_{\nu,r_\nu}^\tau)=(i_{\nu,1}'\, ...\, i_{\nu,r_\nu}')=\sigma_\nu'$.
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{lemma}
	\proplbl{1_9_9}
	Ist $n \geq 5$, so sind je zwei $3$-Zykel konjugiert in $A_n$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Seien $\sigma=(i_1\, i_2\, i_3)$ und $\sigma'=(i_1'\, i_2'\, i_3')$. Nach \propref{1_9_8} existiert $\tau\in S_n$ mit $\sigma'=\sigma^\tau$. Ist $\tau\in A_n$, so sind wir fertig. Andernfalls gibt es wegen $n\ge 5$ $j_1\neq j_2\in\{1,...,n\}\setminus \{i_1',i_2',i_3'\}$. Dann ist $\tau(j_1,j_2)\in A_n$ und
	\begin{align}
		\sigma^{\tau(j_1,j_2)} = (\sigma^\tau)^{(j_1,j_2)} = (\sigma')^{(j_1,j_2)} = \sigma'\notag
	\end{align}
\end{proof}

\begin{lemma}
	\proplbl{1_9_10}
	Ist $n\geq 3$ wird $A_n$ von den $3$-Zykeln erzeugt.
\end{lemma}
\begin{proof}
	Sei $\sigma \in A_n$. Schreibe $\sigma=\tau_1 \dots \tau_{2r}$ mit Transpositionen $\tau_1,\dots,\tau_{2r} \in S_n$ (siehe \propref{1_1_11}). Es genügt zu zeigen, dass $\tau_1\tau_2$ Produkt ist von $3$-Zykeln. Ohne Einschränkung sei $\tau_1=(1\, 2)$.
	\begin{itemize}
		\item $\tau_2 = (1\, 2) = \tau_1$: $\tau_1\tau_2 = (1\, 2\, 3)(2\, 1\, 3)$
		\item $\tau_2 = (1\, k)$ für ein $k>2$: $\tau_1\tau_2 = (1\, 2\, k)$
		\item $\tau_2 = (2\, k)$ für ein $k>2$: analog
		\item $\tau_2 = (k\, l)$ für $l>k>2$: $\tau_1\tau_2 = (1\, k\, l)(1\, k\, 2)$
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{theorem}
	\proplbl{1_9_11}
	Für $n\geq 5$ ist $A_n$ einfach.
\end{theorem}
\begin{proof}
	Sei $1 \neq N \unlhd A_n$. Enthält $N$ ein $3$-Zykel, somit nach \propref{1_9_9} schon alle $3$-Zykel, daraus folgt mit \propref{1_9_10} $N = A_n$. Sei $1 \neq \sigma \in N$ ist mit Zykelzerlegung $\sigma = \sigma_1\dots \sigma_k$.
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Fall 1:} Zykelzerlegung enthält 2 Transpositionen, etwa $\sigma_1 = (1\, 2)$, $\sigma_2 = (3\, 4)$\\
		$\Rightarrow \sigma' := \sigma^{(1\, 2\, 3)} = (1\, 2\, 3)^{-1}(1\, 2)(3\, 4)\sigma_3\dots\sigma_k(1\, 2\, 3) = (2\, 3)(1\, 4)\sigma_3\dots\sigma_k \in N$\\
		$\Rightarrow \sigma'\cdot\sigma^{-1} = (1\, 3)(2\, 4) \in N$\\
		$\Rightarrow \sigma'' := (\sigma'\sigma^{-1})^{(1\, 5\, 3)} = (1\, 5)(2\, 4) \in N$\\
		$\Rightarrow \sigma'\sigma^{-1}\sigma''= (1\, 3\, 5) \in N$
		\item \textbf{Fall 2:} Zykelzerlegung von $\sigma$ enthält Zykel der Länge $m \geq 4$, etwa $\sigma_1 = (1\dots m)$\\
		$\Rightarrow \sigma':=\sigma^{(1\, 2\, 3)} = (2\, 3\, 1\, 4\, 5\, \dots\,  m)\sigma_2\sigma_k \in N$\\
		$\Rightarrow \sigma^{-1}\sigma' :=(2\, 4\, 1)\in N$
		\item \textbf{Fall 3:} Zykelzerlegung besteht aus $3$-Zykeln, etwa $\sigma_1 = (1\, 2\, 3)$, $\sigma_2=(4\, 5\, 6)$ ($\sigma_1 \cap \sigma_2 = \emptyset$) (dieser Fall existiert nur für $n \geq 6$)\\
		$\Rightarrow \sigma' := \sigma^{(2\, 3\, 4)} = (1\, 3\, 4)(2\, 5\, 6)\sigma\dots\sigma_k \in N$\\
		$\Rightarrow \sigma^{-1}\sigma' = (1\, 4\, 2\, 3\, 5) \in N$\\
		$\Rightarrow$ Fertig nach \text{Fall 2}!
	\end{itemize} 
\end{proof}

\begin{conclusion}
	Für $n\neq 4$ hat $S_n$ nur die Normalteiler $1$, $A_n$, $S_n$.
\end{conclusion}
\begin{proof}
	Sei $N \unlhd S_n$.
	\begin{itemize}
		\item $n\leq 3$: klar mit V5 + \propref{1_9_8}
		\item $n\geq 5$: $N \cap A_n \unlhd A_n \xRightarrow{\propref{1_9_11}} N \cap A_n \in \{1,A_n\}$
		\begin{itemize}
			\item $N \cap A_n = A_n$: $A_n \leq N \leq S_n \xRightarrow{(S_n: A_n) =2} N \in \{A_n,S_n\}$
			\item $N \cap A_n = 1$: $NA_n = N \times A_n \Rightarrow \#N \leq 2$, denn $\#N:\#A_n = \#NA_n \leq \#S_n = 2 \#A_n$. Wäre $N \neq 1$, so existiert $1\neq \sigma \in N$ mit $\ord(\sigma)=2$, also $\Typ(\sigma) = (2,\dots,2,1,\dots,1)$ im Widerspruch zu \propref{1_9_8}, denn es existiert $1\neq \sigma' \neq \sigma$ konjugiert zu $\sigma$, insbesondere $\sigma' \in N$, also ist $\#N \geq 3$.
		\end{itemize}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{remark}
	\begin{itemize}
		\item Man kann zeigen, dass es keine nicht zyklische einfachen Gruppen der Ordnung $\#G <\#A_5 = 60$ gibt! (Kann mit den \person{Sylow}-Sätzen (\propref{1_8_6}) gezeigt werden oder mit \person{Burnside}'s Lemma, welches wir in dieser Vorlesung nicht behandelt haben.)
		\item Die endlichen einfachen Gruppen sind vollständig klassifiziert:
		\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
			\item $C_p$ mit $p$ prim
			\item $A_n$ mit $n \geq 5$
			\item Einfache Gruppen von \person{Lie}-Typ
			\item $26$ "'sporadische"' einfache Gruppen (z.B. Monster Gruppe mit Ordnung ca. $10^{53}$)
		\end{enumerate}
	\end{itemize}
\end{remark}