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\section{Aufgabe und Lösbarkeit}
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Es seien $a,b \in \R$ mit $a < b$, eine stetige Funktion $f$: $[a,b] \times \R^m \to \R^m$ und $y^0 \in \R^m$ gegeben. Unter \begriff{Anfangswertaufgabe} (AWA) 1. Ordnung versteht man das Problem, eine stetige Funktion $y$: $[a,b] \to \R^m$ zu ermitteln, so dass $y$ auf $(a,b)$ stetig differenzierbar ist und
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\begin{align}
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y'(x) = f(x,y(x)) \quad \mit \quad y(a)=y^0 \notag
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\end{align}
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für alle $x \in [a,b]$ gilt. Eine solche Funktion wollen wir \begriff[Anfangswertaufgabe!]{Lösung} der AWA nennen. Kürzer schreibt man für die AWA auch
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\begin{align}
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\label{3_1_1}
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y'=f(x,y) \quad \mit \quad y(a)=y^0
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\end{align}
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Die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung einer AWA hängen von den Eingangsinformationen $a,b,f$ und $y^0$ ab. Es gilt folgender Satz zur (globalen) Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung auf $[a,b]$:
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\begin{proposition}[\person{Picard-Lindelöf}: eine globale Version]
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Es sein $f$: $[a,b] \times \R^m \to \R^m$ stetig und es existiere $L>0$, so dass
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\begin{align}
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\label{3_1_2}
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\norm{f(x,y)-f(x,z)} \le L \norm{y-z} \quad \forall (x,y),(x,z) \in [a,b] \times \R^m
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\end{align}
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Dann besitzt \cref{3_1_1} für jedes $y^0 \in \R^m$ eine eindeutige Lösung.
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\end{proposition}
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Die Bedingung \cref{3_1_2} ist eine globale Lipschitz-Bedingung an $f$ bezüglich der zweiten Veränderlichen. Es ist leicht, AWA anzugeben, in denen diese Bedingung nicht erfüllt ist und keine Lösung in ganz $[a,b]$ existiert, zum Beispiel
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\begin{align}
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y'= y^2 \quad \mit \quad y(0) = 1 \notag
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\end{align}
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Dafür erhält man für beliebige $x,y,z \in \R$
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\begin{align}
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\abs{f(x,y) - f(x,z)} = \abs{y^2 - z^2} = \abs{y+z} \abs{y-z} \notag
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\end{align}
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das heißt die Bedingung \cref{3_1_2} kann in diesem Beispiel (global) nicht gelten. Die Lösung der AWA lautet $y(x) = \sfrac{-1}{x-1}$ für $x \in [0,1)$. Für Intervalle $[0,b]$ mit $b \ge 1$ existiert keine Lösung. Eine Abschwächung der Lipschitz-Bedingung \cref{3_1_2} gestattet folgender
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\begin{proposition}[\person{Picard-Lindelöf}: eine lokale Version]
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Es sei $f$: $[a,b] \times \R^m \to \R^m$ stetig und zu jeder kompakten Menge $\mathcal{Y} \subset \R^m$ existiere $L_Y > 0$, so dass
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\begin{align}
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\norm{f(x,y)-f(x,z)} \le L_y \norm{y-z} \quad \forall (x,y),(x,z) \in [a,b] \times \mathcal{Y} \notag
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\end{align}
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Dann gibt es für jedes $y^0 \in \R^m$ ein Teilintervall $\mathcal{I} \subseteq [a,b]$ mit $a \in \mathcal{I}$, so dass die AWA \cref{3_1_1} auf $\mathcal{I}$ eine eindeutige Lösung besitzt.
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\end{proposition}
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Seien $g$: $[a,b]\times \R^n \to \R$ stetig und $\eta \in \R^n$. Jede explizite Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
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\begin{align}
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y^{(n)} = g(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})\notag
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\end{align}
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mit den Anfangsbedingungen
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\begin{align}
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y(a) = \eta_1, \quad y'(a) = \eta_2, \quad y''(a) = \eta_3, \quad \dots \quad y^{(n-1)}(a) = \eta_n\notag
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\end{align}
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kann mittels Substitution
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\begin{align}
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y_1 = y,\quad y_2=y', \quad y_3=y'', \quad \dots \quad y_n = y^{(n-1)}\notag
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\end{align}
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in eine AWA 1. Ordnung überführt werden:
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\begin{align}
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\begin{pmatrix}
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y_1' \\ \vdots \\ y_n'
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\end{pmatrix} =
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\begin{pmatrix}
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y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ g(x,y_1,...,y_n)
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\end{pmatrix}
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\quad \mit \quad
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\begin{pmatrix}
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y_1(a) \\ \vdots \\ y_n(a)
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\end{pmatrix} =
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\begin{pmatrix}
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\eta_1 \\ \vdots \\ \eta_n
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\end{pmatrix} \notag
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\end{align} |