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No EOL
561 B
TeX
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TeX
\section{Faktorielle Ring}
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Sei $R$ nullteilerfrei.
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\begin{definition}[faktorielle Ringe]
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$R$ ist \begriff{faktoriell} $\iff$ jedes $0\neq x\in R\backslash R^\times$ ist ein Produkt von Primelementen.
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\end{definition}
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\begin{lemma}
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Sei $R$ faktoriell und $x\in R$. Ist $x$ irreduzibel, so auch prim.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sei $x$ irreduzibel, insbesondere $0\neq x\in R\backslash R^\times$. Da $R$ faktoriell, ist $x=p_1,...,p_n$ mit $p_1,...,p_n\in R$ prim. Da $x$ irreduzibel ist und $p_i\notin R^\times$ ist $n=1$ und somit $x=p_1$ prim.
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\end{proof} |