\section{Teilbarkeit}

\begin{definition}[Teilbarkeit]
	Seien $a,b\in R$.
	\begin{enumerate}
		\item $a$ \begriff{teilt} $b$ (in Zeichen $a\mid b$): Es existiert $x\in R$ mit $b=ax$.
		\item $a$ und $b$ sind \begriff{assoziiert} (in Zeichen $a\sim b$): Es existiert $x\in R^{\times}$ mit $b=ax$.
	\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
	Für $a,b,c,d\in R$ gelten
	\begin{enumerate}
		\item $a\mid a$
		\item $a\mid b$ und $b\mid c$ $\Rightarrow$ $a\mid c$
		\item $a\mid b$ und $a\mid c$ $\Rightarrow$ $a\mid (b+c)$
		\item $a\mid b$ und $c\mid d$ $\Rightarrow$ $(ac)\mid (bd)$
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	klar
\end{proof}

\begin{lemma}
	Für $a,b,c,d\in R$ gelten
	\begin{enumerate}
		\item $a\sim a$
		\item $a\sim b$ und $b\sim c$ $\Rightarrow$ $a\sim c$
		\item $a\sim b$ $\Rightarrow$ $b\sim a$
		\item $a\sim b$ und $c\sim d$ $\Rightarrow$ $(ac)\sim (bd)$
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	klar, da $(R^\times,\cdot)$ eine Gruppe ist.
\end{proof}

\begin{remark}
	Teilbarkeit auf $R$ ist insbesondere eine \begriff{Präordnung}, das heißt reflexiv und transitiv, und Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation.
\end{remark}

\begin{lemma}
	\proplbl{4_2_5}
	Sei $R$ nullteilerfrei und seien $a,b\in R$. Genau dann ist $a\sim b$, wenn $a\mid b$ und $b\mid a$.
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item Hinrichtung: $b=ax$ mit $x\in R^\times$ $\Rightarrow a=bx^{-1}$.
		\item Rückrichtung: $b=ax$, $a=by$ mit $x,y\in R^\times$
		\begin{align}
			a=by&=axy \notag \\
			a(1-xy)&= 0 \notag
		\end{align}
		Also $a=0$ und damit $b=0$ oder $xy=1$, also $x,y\in R^\times$. In beiden Fällen folgt $a\sim b$.
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{*example}
	Offenbar $2\mid -2$ und $-2\mid 2$. Es gilt $2\sim -2$ und $-2\sim 2$.
\end{*example}

\begin{proposition}
	Sie $R$ nullteilerfrei. Mit $[a] := \{a'\in R\mid a\sim a'\}$
	wird durch $[a][b]\iff a\mid b$ eine wohldefinierte Halbordnung auf $R/\sim\; := \{[a]\mid a\in R\}$
	gegeben.
\end{proposition}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item wohldefiniert: $a\mid b$, $a\sim a'$, $b\sim b'$ $\Rightarrow a'\mid b'$: $ax=b$, $au=a'$, $bv=b$ mit $x\in R$ und $u,v\in R^\times$
		\begin{align}
			b'=bv=axv=a'\underbrace{u^{-1}vx}_{\in R}\notag
		\end{align}
		also $a'\mid b'$.
		\item reflexiv: klar
		\item transitiv: aus Transitivität von $\mid$
		\item antisymmetrisch: \propref{4_2_5}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{definition}[größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches]
	Seien $a,b\in R$. Ein $c\in R$ ist ein \begriff{größter gemeinsamer Teiler} von $a$ und $b$ in Zeichen $c=\ggT(a,b)$, wenn gilt: $c\mid a$ und $c\mid b$ und ist $d\in R$ mit $d\mid a$ und $d\mid b$, so auch $d\mid c$.
	
	Ein $c\in R$ ist ein \begriff{kleinstes gemeinsames Vielfaches} von $a$ und $b$, in Zeichen $c=\kgV(a,b)$, wenn gilt: $a\mid c$ und $b\mid c$ und ist $d\in R$ mit $a\mid d$ und $b\mid d$, so ist $c\mid d$.
\end{definition}

\begin{remark}
	Wenn $\ggT$ und $\kgV$ in einem nullteilerfreien Ring $R$ existieren, sind sie eindeutig bestimmt, aber nur bis auf Assoziiertheit (\propref{4_2_5}).
\end{remark}

\begin{definition}[Primzahl, irreduzibel]
	Sei $x\in R$. 
	\begin{itemize}
		\item $x$ ist \begriff{prim} $\iff x\notin R^\times\cup \{0\}$ und $\forall a,b\in R$ gilt $x\mid (ab)\Rightarrow x\mid a\lor x\mid b$.
		\item $x$ ist \begriff{irreduzibel} $\iff x\notin R^\times\cup \{0\}$ und $\forall a,b\in R$ gilt $x=ab\Rightarrow a\in R^\times \lor b\in R^\times$.
	\end{itemize}
\end{definition}

\begin{remark}
	Leicht sieht man: Ist $p\in R$ prim und $a_1,...,a_n\in R$ mit $p\mid (a_1\dots a_n)$, so gilt $p\mid a_i$ für ein $i$.
\end{remark}

\begin{example}
	\begin{itemize}
		\item In $R=\whole$ gilt: $p$ prim $\iff p$ irreduzibel
		\item Sei $f\in R=\ratio[t]$.
		\begin{itemize}
			\item $\deg(f)=1\Rightarrow f\sim (t-a)$ ist irreduzibel und prim (denn $(t-a)\mid g\iff g(a)=0$)
			\item $\deg(f)=2$: $f=t^2-1$ ist nicht irreduzibel, $t^2-2$ ist irreduzibel
		\end{itemize}
	\end{itemize}
\end{example}

\begin{proposition}
	\proplbl{4_2_12}
	Sei $R$ nullteilerfrei und $0\neq p\in R\backslash R^\times$. Ist $p$ prim, so ist es auch irreduzibel.
\end{proposition}
\begin{proof}
	Sei $p=ab$ mit $a,b\in R$. Da insbesondere $p\mid ab$ und $p$ prim ist, folgt $p\mid a$ oder $p\mid b$. Sei ohne Einschränkung $p\mid a$, das heißt $a=pa'$ mit $a'\in R$.
	\begin{align}
		&\Rightarrow p=ab = pa'b\notag \\
		&\Rightarrow p(1-ab) = 0\notag \\
		&\Rightarrow a'b=1\text{, insbesondere }b\in R^\times\notag
	\end{align}
	Somit ist $p$ irreduzibel.
\end{proof}

\begin{remark}
	Erinnerung: Ein Ideal von $R$ ist eine Untergruppe $I\subseteq (R,+)$ mit 
	\begin{align}
		a\in I,r\in R\Rightarrow ra\in I\notag
	\end{align}
	also genau ein Untermodul des $R$-Moduls $R$.
\end{remark}

\begin{definition}[erzeugtes Ideal, Hauptideal]
	Sei $A\subseteq R$. Das von $A$ \begriff[Ideal!]{erzeugte Ideal} mit
	\begin{align}
		\langle A\rangle :=\left\lbrace \sum_{i=1}^n r_ia_i\mid n\in \natur_0,a_1,...,a_n\in A,r_1,...,r_n\in R\right\rbrace \notag
	\end{align}
	Ist $A=\{a_1,...,a_n\}$, so schreibt man auch $(a_1,...,a_n)$ für $\langle A\rangle$. Ein Ideal der Form $I=(a)$ ist ein \begriff{Hauptideal}.
\end{definition}

\begin{remark}
	Das von $A$ erzeugte Ideal $\langle A\rangle$ ist gleich dem von $A$ erzeugten Untermodul des $R$-Moduls $R$, und ist das kleinste Ideal von $R$, das $A$ enthält.
\end{remark}

\begin{remark}
	Für $a\in R$ ist $(a)=Ra$ und für $a,b\in R$ sind äquivalent:
	\begin{enumerate}
		\item $a\mid b$
		\item $b\in (a)$
		\item $(b)\subseteq (a)$
	\end{enumerate}
	Für $R$ nullteilerfrei sind zudem äquivalent:
	\begin{enumerate}
		\item $a\sim b$
		\item $(a)=(b)$
	\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{example}
	Jeder Ring hat die Ideale $(0)=\{0\}$ und $(1)=R$. Für jedes $a\in R^\times$ ist $(a)=(1)$, ist $R$ also ein Körper, so hat $R$ keine weiteren Ideale.
\end{example}

\begin{example}
	In $R=\whole$: Für $n\in\whole$ ist $(n)=\whole\cdot n=n\whole$.
\end{example}