\section{Wiederholung und Motivation} Sei $K^n$ $n$-dim. \gls{vr} über Körper mit $K=\mathbb{R}$ oder $K=\mathbb{C}, n\in\mathbb{N}_{\ge 0}$. \begin{itemize} \item Elemente sind alle $x=(x_1, \dotsc, x_n)\in K^n$ mit $x_1, \dotsc, x_n\in K$. \item \begriff{Standardbasis} ist $\{e_1, \dotsc, e_n\}$ mit $e_j=(0,\dotsc,0,\underbrace{1}_{\text{$j$-te Stelle}},0,\dotsc,0)$ \item alle Normen auf $K^n$ sind äquivalent (\propref{aeqv_norm}) \\ $\Rightarrow$ Kovergenz unabhängig von der Norm Verwende in der Regel euklidische Norm $\Vert x \Vert_2 = \vert x \vert = \sqrt{\sum\limits_{i}\vert x_i \vert^2}$ \item \begriff{Skalarprodukt} \begin{itemize} \item $\langle x,y \rangle = \sum\limits_{j=1}^{n} x_j\cdot y_j$ in $\mathbb{R}^n$ \item $\langle x,y \rangle = \sum\limits_{j=1}^{n} \overline{x}_j\cdot y_j$ in $\mathbb{C}^n$ \end{itemize} \item \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}-Ungleichung ($\vert \langle x,y\rangle \vert \le \vert x \vert \cdot \vert y \vert\,\quad\forall x,y\in K^n$) \end{itemize} \subsection{Lineare Abbildungen} \proplbl{definition_tensorprodukt} Eine \begriff{lineare Abbildung} ist homogen und additiv (siehe \propref{defLinearFunction}). \begin{itemize} \item Lineare Abbildung $A: K^n \rightarrow K^m$ ist darstellbar durch $m\times n$-Matrizen bezüglich der Standardbasis (\emph{beachte:} $A$ sowohl Abbildung als auch Matrix) \begin{itemize} \item lineare Abbildung ist stetig auf endlich-dimensionalen Räumen (unabhängig von der Norm, siehe \propref{chap_15_5}) \item transponierte Matrix: $A^T\in K^{n\times m}$ \begin{hint} $x=(x_1,\dotsc, x_n)\in K^n$ idR platzsparender als Zeilenvektor geschrieben, \emph{aber} bei Matrix-Multiplikation $x$ Spalten-Vektor, $x^T$ Zeilenvektor, d.h. \begin{align*} x^T \cdot y &= \langle x,y\rangle, &&\text{falls $m=n$} \\ x \cdot y^T &= x \otimes y\in K^{m\times n}, && \text{sog. \begriff{Tensorprodukt}} \end{align*} \end{hint} \end{itemize} \item \mathsymbol{L}{$L(K^n, K^m)$}$ = \{ A: K^n \to K^m, \text{ $A$ linear}\}$ (Menge der linearen Abbildung, ist normierter Raum) \begin{itemize} \item \mathsymbol{|A|}{$\Vert A \Vert$}$= \sup\{ \vert Ax\vert \mid \vert x \vert \le 1 \}$ (\begriff{Operatornorm}, $\Vert A \Vert$ hängt i.A. von Normen auf $K^n, K^m$ ab) \item $L(K^n, K^m)$ ist isomorph zu $K^{m\times n}$ als \gls{vr} \\ $\Rightarrow$ $L(K^n, K^m)$ ist $m\cdot n$-dim. \gls{vr} ($\Rightarrow$ alle Normen äquivalent, $\Rightarrow$ Konvergenz von $\{A_n\}$ von linearer Abbildungen in $L(K^n, K^m)$ ist normunabhängig) Nehmen in der Regel statt $\Vert A \Vert$ euklidische Norm $\vert A \vert = \sqrt{\sum\limits_{k,l} \vert a_{kl} \vert ^2}$.\\ Es gilt: \[ \vert Ax \vert \le \Vert A \Vert\cdot \vert x \vert \text{ und } \vert Ax\vert \le \vert A \vert \cdot\vert x \vert \] \end{itemize} \item Abbildung $\tilde{f}: K^n \to K^m$ heißt \begriff[linear!]{affin} \highlight{linear}, falls $\tilde{f}(x) = Ax + a$ für lineare Abbildung $A:K^n\to K^m, a\in K^m$ \end{itemize} \subsection{\textsc{Landau}-Symbole} \begin{*anmerkung} Eine Approximation besitzt zwangsläufig immer einen Fehler. Eine gute Approximation zeichnet sich dadurch aus, dass der Fehler bzw. Rest möglichst klein wird. Dieser Fehler wird mit \person{Landau}-Symbolen beschrieben. Dabei bedeutet anschaulich: \begin{itemize} \item $f=o(g)$: $f$ wächst langsamer als $g$ \item $f=\mathcal{O}(g)$: $f$ wächst nicht wesentlich schneller als $g$ \end{itemize} \end{*anmerkung} Sei $f:D\subset K^n \to K^m$, $g:D\subset K^n \to K$, $x_0 \in \overline{D}$. Dann: \begin{itemize} \item $f(x) = o(g(x))$ für $x\to x_o$ \gls{gdw} $\lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ x\neq x_0}} \frac{\vert f(x) \vert}{g(x)} = 0$ \item $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ für $x\to x_0$ \gls{gdw} $\exists \delta > 0, c \ge 0: \frac{\vert f(x) \vert}{\vert g(x) \vert} \le c \;\forall x\in \left( B_\delta(x_0)\setminus \{ x_0\}\right) \cap D$ \emph{wichtiger Spezialfall:} $g(x) = \vert x - x_0\vert ^k, k\in\mathbb{N}$ \end{itemize} \begin{example}[gute Approximation durch konstante Funktion nahe $x=x_0$] Sei $f:D\subset K^n\to K^m$, $x_0\in D$ \gls{hp} von $D$. Dann: \begin{align} \notag f\text{ stetig in } x_0 &\Leftrightarrow \lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ x\neq x_0}} f(x) = f(x_0) \\ \notag &\Leftrightarrow \lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ x\neq x_0}} \frac{f(x) - f(x_0)}{1} = 0 \\ &\Leftrightarrow \boxed{f(x) = f(x_0) + o(1)} \text{ für }x\to x_0\proplbl{chap15specialCase} \end{align} \begin{center}\begin{tikzpicture} \begin{axis}[ xmin=0, xmax=5, xlabel=$x$, ymin=0, ymax=5, ylabel=$y$, samples=400, axis y line=middle, axis x line=middle, ] \addplot+[mark=none] {x^2}; \addlegendentry{$f$} \addplot+[mark=none] {sqrt(2)}; \addlegendentry{Apprx} \addplot+[mark=none, dashed] {x^2-sqrt(2)}; \addlegendentry{$r$} \end{axis} \end{tikzpicture}\end{center} \begin{boldenvironment}[Interpretation von \eqref{chap15specialCase}] Setze $r(x) := f(x) - f(x_0)$ \zeroAmsmathAlignVSpaces \begin{flalign} &\notag \overset{\text{(\ref{chap15specialCase})}}{\Rightarrow} r(x) = o(1) \text{ für } x\to x_0& \\ &\label{chap15interpretationSpecialCase} \Rightarrow r(x) \overset{x\to x_0}{\longrightarrow} 0,& \end{flalign} d.h. $o(1)$ ersetzt eine "`Rest-Funktion"' $r(x)$ mit Eigenschaft (\ref{chap15interpretationSpecialCase}). \end{boldenvironment} \begin{*anmerkung} Man kann als Approximation auch $x=3$ wählen, allerdings stimmt dann die Aussage $r\to 0$ für $x\to x_0$ nicht mehr. \end{*anmerkung} Wegen $o(1) = o(\vert x-x_0\vert^0)$ (d.h. $k=0$) sagt man auch, \propref{chap15specialCase} ist die Approximation 0. Ordnung der Funktion $f$ in der Nähe von $x_0$. \end{example} \begin{example}[gute Approximation durch (affin) lineare Funktion nahe $x=x_0$] Sei $f:D\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, $x_0\in D$, $D$ offen. Was bedeutet \begin{align} \proplbl{chap15meaningSpecialCase} f(x) = \underbrace{f(x_0)+A(x-x_0)}_{\tilde{f}\text{ affin lineare Funktion}} + o(\vert x-x_0\vert),\;x\to x_0? \end{align} \begin{boldenvironment}[Zentrale Frage] Wie sollte ein guter Rest sein? \end{boldenvironment} $\graph\tilde{f}$ ist die $n$-dimensionale Ebene in $K^{n+m}$ (affin-lin. UR) \\ $\graph f$ sollte sich an diese Ebene anschmiegen ($\graph\tilde{f}=$Tangentialebene) \\ $\Rightarrow$ Rest sollte sich an den Grafen der Nullfunktion anschmiegen \\ \\ Sei \begin{align} \proplbl{eqvanschmiegen}g(t)=\sup\limits_{\vert x-x_0\vert \le t}\vert r(x)\vert\Rightarrow \vert r(x)\vert\le g(\vert x-x_0\vert)\quad\forall x \end{align} anschmiegen: $g(t)=o(1),t\to 0$ nicht ausreichend \\ angenommen $g(t)=o(t),t\to 0$: dann ist für ein festes $v\in K^n$ mit $\Vert v\Vert=1$ \begin{align} \vert r(x_0+tv)\vert\le g(t) &\Rightarrow\frac{\vert r(x_0+tv)-r(x_0)\vert}{t}\le \frac{g(t)}{t}\to 0 \notag\\ &\Rightarrow\text{anschmiegen}\notag \end{align} Wegen \propref{eqvanschmiegen} folgt: $\frac{\vert r(x)\vert}{\vert x-x_0\vert}\le \frac{g(\vert x-x_0\vert)}{\vert x-x_=\vert}\to 0$ \\ $\Rightarrow r(x)=o(\vert x-x_0\vert)$ für $x\to x_0=o(1)\vert x-x_0\vert$ \\ $\Rightarrow$ betrachte $\tilde f$ als gute lineare Approximation von $f$ nahe $x=x_0$ falls Fehler $=f(x)-(f(x_0)-A(x-x_0))=o(\vert x-x_0\vert)$ für $x\to x_0$ \\ man sagt: Fehler wird schneller kleiner als $\vert x-x_0\vert$! $\tilde f$ heißt Approximation 1. Ordnung von $f$ in $x_0$ \end{example} \begin{*definition}[Anschmiegen] $f(x) + \underbrace{f(x_0) + A(x-x_0)}_{\tilde{A}(x)} = o(\vert x-x_0\vert)$, \\ d.h. die Abweichung wird schneller klein als $\vert x-x_0\vert$! \end{*definition} \smiley{} Vielleicht hatten Sie eine andere Vorstellung von "'anschmiegen"', aber wir machen hier Mathematik \smiley{} \begin{proposition}[Rechenregeln für \person{Landau}-Symbole] Für $r_k,\tilde{r}_l,R_l:D\subset K^n\to K^m,x_0\in D,k,l\in\natur$ mit \\ $r_k(x)=o(\vert x-x_0\vert^k),\tilde{r}_l=o(\vert x-x_0\vert^l),R_l(x)=\mathcal{O}(\vert x-x_0\vert ^l),x\to x_0$ \begin{enumerate} \item $r_k(x)=o(\vert x-x_0\vert^j)=\mathcal{O}(\vert x-x_0\vert^j)\quad j\le k$ \\ $R_l(x)=o(\vert x-x_0\vert^j)=\mathcal{O}(\vert x-x_0\vert^j)\quad j0$ \begin{enumerate} \item $\frac{r_k(x)}{\vert x-x_0\vert^j}=\frac{r_k(x)}{\vert x-x_0\vert^k}\vert x-x_0\vert^{k-j}\to 0$, folgl. $\frac{r_k(x)}{\vert x-x_0\vert^{\delta}}$ auch beschränkt nahe $x_0$ \\ $\frac{R_l(x)}{\vert x-x_0\vert^j}=\frac{R_l(x)}{\vert x-x_0\vert^l}\vert x-x_0\vert^{l-j}\to 0$, Rest wie oben \item $\frac{r_k(x)}{\vert x-x_0\vert^j \vert x-x_0\vert^{k-j}}=\frac{r_k(x)}{\vert x-x_0\vert^k}\to 0$ \\ $\frac{R_l(x)}{\vert x-x_0\vert^j \vert x-x_0\vert^{l-j}}=\frac{R_l(x)}{\vert x-x_0\vert^l}\le c$ nahe $x_0$, Rest wie oben \item $\frac{r_k(x)}{\vert x-x_0\vert^k}\pm\frac{\tilde{r}_l(x)}{\vert x-x_0\vert^k}\overset{(2)}{=}o(1)\pm\underbrace{o(\vert x-x_0\vert^{l-k})}_{o(1)}\to 0$ \item $\frac{r_k(x)\cdot \tilde{r}_l(x)}{\vert x-x_0\vert^{k+l}}=\frac{r_k(x)}{\vert x-x_0\vert^k}\cdot\frac{\tilde{r}_l(x)}{\vert x-x_0\vert^l}\to 0$ \\ $\frac{\vert r_k(x)\cdot R_l(x)\vert}{\vert x-x_0\vert^{k+l}}=\frac{\vert r_k(x)\vert}{\vert x-x_0\vert^k}\cdot\frac{\vert R_l(x)\vert}{\vert x-x_0\vert^l}\to 0$ \end{enumerate} \end{proof}