\section{Komplexe Zahlen (kurzer Überblick)}

\textbf{Frage:} Hat $x^2 = -1$  eine Lösung in $\real$? \\
\textbf{Antwort:} keine Lösung $\Rightarrow$ Körpererweiterung $\real \to \comp$

\begin{*definition}[komplexe Zahlen]
	betrachte Menge der komplexen Zahlen: $\comp := \real \times \real = \real^2$ mit Addition und Multiplikation:
	\begin{itemize}
		\item $(x,x^{'}) + (y,y^{'}) = (x+y, x^{'} + y^{'})$
		\item $(x,x^{'}) \cdot (y,y^{'}) = (xy - x^{'}y^{'}, xy^{'}+x^{'}y)$
	\end{itemize}
\end{*definition}

$\comp$ ist ein Körper mit (vgl. lin Algebra):\\
$0_{\comp} = (0,0)$,  $1_{\comp} = (1,0)$, $-(x,y) = (-x,-y)$ and $(x,y)^{-1} = \bigg(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}\bigg)$\\
mit imaginärer Einheit $\iota=(0,1)$\\
$z=x+\iota y$ statt $z=(x,y)$ mit $x:=\Realz(z)$ Realteil von $z$, $y:= \Imag(z)$ Imaginärteil von $z$\\
komplexe Zahl $z=x + \iota y$ wird mit reeller Zahl $x \in \real$ identifiziert\\
offenbar $\iota^2=(-1,0)=-1$, d.h. $z=\iota \in \comp$ und löst die Gleichung $z^2=-1$ (nicht eindeutig, auch $(-\iota)^2 = -1$)\\
Betrag $|\cdot|: \comp \to \real_{> 0}$ mit $|z|:= \sqrt{x^2+y^2}$ (ist Betrag/Länge des Vektors $(x,y)$)\\

\begin{proposition}
	Es gilt:
	\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
		\item $\Realz(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}, \Imag(z) = \frac{z+\overline{z}}{2\iota}$
		\item $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$
		\item $|z| = 0 \iff z=0$
		\item $|\overline{z}| = |z|$
		\item $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
		\item $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (Dreiecks-Ungleichung: Mikoswski-Ungleichung)
	\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
	SeSt \QEDA
\end{proof}