\section{Inverse und implizite Funktionen}\setcounter{equation}{0}

\begin{*definition}[(lokale) Lösung]
	Funktion $\tilde{y}:\tilde{D}\subset K^n\to K^m$ heißt (lokale) Lösung von in $x$ auf $\tilde{D}$ falls \begin{align}
		f(x,\tilde{y}(x)) = 0 \quad\forall x\in\tilde{D}\notag
	\end{align}
\end{*definition}

\begin{theorem}[Satz über implizite Funktionen]
	Sei $f:D\subset \mathbb{R}^m \times K^m\to K^m$, $D$ offen, $f$ stetig und \begin{enumerate}[label={\alph*)}]
		\item $f(x_0, y_0) = 0$ für ein $(x_0, y_0)\in D$
		\item die partielle Ableitung $f_y:D\to L(K^m, K^n)$ existiert, ist stetig in $(x_0, y_0)$ und $f_y(x_0, y_0)$ ist regulär
	\end{enumerate}
	Dann:\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
		\item $\exists r,\rho > 0$: $\forall x\in B_r(x_0)\;\exists! y=\tilde{y}\in B_\rho(y_0)$ mit $f(x,\tilde{y}(x)) = 0$ und $\tilde{y}:B_r(x_0)\to B_\rho(y_0)$ stetig
		\item
		falls zusätzlich $f:D\to K^m$ stetig diffbar\\
		$\Rightarrow$ auch $\tilde{y}$ stetig diffbar auf $B_r(x_0)$ mit \begin{align*}
			\tilde{y}'(x) &= -\underbrace{f_y(x,\tilde{y}(x))^{-1}}_{m\times n} \cdot \underbrace{f_x(x,\tilde{y}(x))}_{m\times n}\quad\in K^{m\times n}
		\end{align*}
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{example}
	Sei $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f(x,y) = x^2(1 - x^2) - y^2$ $\forall x,y\in\mathbb{R}$.
	
	Offenbar ist \begin{align*}
		f_x(x,y) &= 2x(1 - x^2) - 2x^3 = 2x - 4x^3 \\
		f_y(x,y) &= -2y
	\end{align*}
	
	Suche Lösungen von $f(x,y) = 0$ \\
	\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{c@{\ }l@{$\;\,$}X}
		$\bullet$ & $y_0=0$:& $f_y(x_0, 0) = 0$ nicht regulär $\Rightarrow$ Theorem nicht anwendbar \\
		$\bullet$ & $y_0\neq 0$: & $f_y(x_0, y_0)\neq 0$, also regulär.
		
		Sei $f(x_0, y_0)$ = 0 $\Rightarrow$ z.B. $(x_0, y_0) = (\frac{1}{3}, \frac{2\cdot\sqrt{2}}{9})$ ist Nullstelle von $f$  \\
		&&$\Rightarrow$ $\exists r,\rho > 0$, Funktion $\tilde{y}:f(x,\tilde{y}(x)) = 0$ $\forall x\in B_r(\frac{1}{3})$
		
		$\tilde{y}(\frac{1}{3}) = \frac{2\cdot \sqrt{2}}{9}$ und $\tilde{y}(x)$ ist einzige Lösung um $B_\rho(\frac{2\sqrt{2}}{9})$\\
		
		&& $\begin{aligned}\tilde{y}'\left(\frac{1}{3}\right) &= -f_y\left(\frac{1}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{9}\right)^{-1}\cdot f_x\left(\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{2\sqrt{2}}}{9}\right) \\
		&= -\left(-\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{2}{3} - \frac{4}{27}\right) = \frac{7}{6\sqrt{2}} \approx 0,8\end{aligned}$ \\
		
		$\bullet$ & $y_0 = 0$, $x_0 = 1$: & hier ist $f_x(1,0) = -2$, also regulär \\
		&& $\Rightarrow$ $\exists$ lokale Lösung $\tilde{x}(y)$: $f(\tilde{x}(y), y) = 0$ $\forall y\in B_{\tilde{r}}(0)$ und $\tilde{x}'(0) = 0$ \\
		
		$\bullet$ & $y_0 = 0$, $x_0 = 0$: & $f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$ nicht regulär\\
		&& $\Rightarrow$ in keiner Variante Anwendbar.
	\end{tabularx}
\end{example}

\begin{theorem}[Satz über inverse Funktionen]
	Sei $f:U\subset K^n\to K^n$, $U$ offen, $f$ stetig diffbar, $f'(x)$ regulär für ein $x_0\in U$ \\
	$\Rightarrow$ Es existiert eine offene Umgebung $U_0\subset U$ von $x_0$, sodass $V_0:= f(U_0)$ offene Umgebung von $y_0 := f(x_0)$ ist, und die auf $U_0$ eingeschränkte Abbildung $f:U_0\to V_0$ ist Diffeomorphismus.
\end{theorem}
\begin{proof}
	benutze $\tilde{f}:D\times K^n\to K^n$ und $\tilde{f}(x)=f(x)-y\Rightarrow$, $\tilde{f}$ stetig und stetig diffbar $\Rightarrow$ Satz über implizite Funktionen $\Rightarrow f'$ stetig diffbar $\Rightarrow f$ ist Diffeomorphismus
\end{proof}

\begin{proposition}[Ableitung der inversen Funktion]
	Sei $f:D\subset K^n\to K^n$, $D$ offen, $f$ injektiv und \gls{diffbar}, $f^{-1}$ \gls{diffbar} in $y\in \mathrm{int}\, f(D)$ \begin{align}
		\Rightarrow \quad\left(f^{-1}\right)'(y) &= f'\left( f^{-1}(y)\right)^{-1}\notag
	\end{align}
	(bzw. $(f^{-1})'(y) = f'(x)^{-1}$ falls $y=f(x)$)
	
	Spezialfall$ n = m = 1$: $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$
\end{proposition}

\begin{proof}
	benutze $f(f^{-1}(y))=y$ und $f^{-1}(f(x))=x$, Kettenregel, $f'(f^{-1}(y))\cdot (f^{-1})'(y)=\id$, andere Gleichung analog, gleichsetzen, Behauptung
\end{proof}

\begin{proposition}
	Sei $f:D\subset K^n\to K^n$, $D$ offen, $f$ stetig diffbar, $f'(x)$ regulär $\forall x\in D$
	\begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
		\item (Satz über offene Abbildungen) $f(D)$ ist offen
		\item (Diffeomorphiesatz) $f$ injektiv $\Rightarrow$ $f:D\to f(D)$ ist Diffeomorphismus
	\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}\hspace*{0pt}
	\begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
		\item $M\subseteq D$ offen, $y_0\in f(M)\Rightarrow\exists x_0\in M:y_0=f(x_0)\Rightarrow$ Satz über inverse Funktionen $\Rightarrow\exists V_0\subseteq f(M)$ von $y_0\beha$
		\item offenbar $\exists f^{-1}:f(D)\to D\Rightarrow$ Satz über inverse Funktionen $\Rightarrow f^{-1}$ stetig diffbar $\beha$
	\end{enumerate}
\end{proof}