diff --git a/3. Semester/GDIM/TeX_files/Integral_auf_Mannigfaltigkeiten.tex b/3. Semester/GDIM/TeX_files/Integral_auf_Mannigfaltigkeiten.tex new file mode 100644 index 0000000..0f8f1ea --- /dev/null +++ b/3. Semester/GDIM/TeX_files/Integral_auf_Mannigfaltigkeiten.tex @@ -0,0 +1,70 @@ +\section{Integral auf Mannigfaltigkeiten} + +\begin{underlinedenvironment}[Frage] + $\displaystyle \int_M f\,\mathrm{d}a$ für Mannigfaltigkeit $M$? +\end{underlinedenvironment} + +\begin{underlinedenvironment}[Idee] + Überdecke $M$ mit Kartengebieten $U_{\beta}$ ($\beta \in \xi$) und suche Integrale $\int_{U_\beta}f\,\mathrm{d}a$ geeignet zusammen. +\end{underlinedenvironment} + +\begin{underlinedenvironment}[Problem] + $U_\beta$ überlappen sich im Allgemeinem +\end{underlinedenvironment} + +\begin{underlinedenvironment}[Ausweg] + Zerlege die Funktion $\alpha=1$ geeignet als $1 = \sum_{j=1}^\infty \alpha_j$. +\end{underlinedenvironment} + +\begin{*definition} + Die Menge der stetigen Funktionen $\alpha_j\colon M\to[0,1]$, $j\in\mathbb{N}$ heißt \begriff{Zerlegung der Eins} (ZdE) auf $M\subset\mathbb{R}^n$, falls \begin{enumerate}[label={\roman*)}] + \item $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \alpha_j(u) = 1$ $\forall u\in M$ + \item Zerlegung ist lokal-endlich, d.h. $\forall u\in M$ existiert eine Umgebung $U(u)$ bezüglich $M$ mit \begin{align*} + \alpha_j = 0\text{ auf }U(u)\text{ für f.a. }j\in\mathbb{N} + \end{align*} + \end{enumerate} +\end{*definition} +\begin{*definition} + Sei $\mathcal{U}$ eine bezüglich $M$ offene Überdeckung von $M\subset\mathbb{R}^n$. Die Zerlegung der Eins $\{\alpha_j \}$ ist $\mathcal{U}$ untergeordnet, falls $\forall j$ $\exists U_j\in \mathcal{U}\colon$ $\supp \alpha_j\subset U_j$. $\supp \alpha_j := \overline{\{ u\in M \mid \alpha_j(u)\neq 0\}}$ ist der \begriff{Träger} von $\alpha_j$. +\end{*definition} + +\begin{proposition}[Existenz der Zerlegung der Eins] + Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ und sei $\mathcal{U}$ eine bezüglich $M$ offene Überdeckung von $M$\\ + \hspace*{0.5em}$\Rightarrow$ es existiert eine Zerlegung der Eins $\{\alpha_j\}$ von $M$, die $\mathcal{U}$ untergeordnet ist. +\end{proposition} +\begin{remark}\hspace*{0.5em} + \vspace*{-1.5em} + \begin{itemize} + \item Betrachte später die Überdeckung $\mathcal{U}$ einer Mannigfaltigkeit $M$ mit Kartengebieten + \item $\alpha_j$ in Wahrheit in $C^\infty$ + \end{itemize} +\end{remark} + +\begin{proof} + Sei $\mathcal{U} = \bigcup_{\alpha\in A} U_\alpha$. + \vspace*{-0.8\baselineskip} + \begin{enumerate}[label={\alph*)}] + \item $U_\alpha\in\mathcal{U}$ offen bezüglich $M$ $\Rightarrow$ $\exists W_\alpha\subset\mathbb{R}^n\colon U_\alpha = W_\alpha\cap M$. Setzte $W = \bigcup_{\alpha\in A} W_\alpha$ offen im $\mathbb{R}^n$. + + Sei $K_{j} := \{ u\in W \mid \mathrm{dist}_{W^\complement} u \ge \frac{1}{j} \} \cap \overline{B_j(0)}$. Offenbar sind die $K_j$ kompakt \\ + \hspace*{0.5em} $\Rightarrow$ $K_j \subset K_{j+1}$ $\forall j\in\mathbb{N}$ und $\bigcup_{i\in\mathbb{N}} K_j = W$. ($\{K_j\}$ heißt kompakte Ausschöpfung von $W$). + + \item Sei $u\in K_{j+1}\setminus \inn K_{j+1}$ (kompakt) $\subset \inn K_{j+2}\setminus K_{j-1}$ (offen) \\\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{$\;\;$}X} + $\Rightarrow$ & $\exists \alpha\in A$: $u\in W_\alpha$ \\ + $\Rightarrow$ & $\exists$ Kugel $B_r(u)$, offen im $\mathbb{R}^n$ ($r > 0$): $B_r(u) \subset W_\alpha \cap (\inn K_{j+2}\setminus K_{j-1})$ \\ + $\Rightarrow$ & $K_{j+1}\setminus \inn K_j$ wird von endlich vielen Kugeln $B_r(u)$ überdeckt \\ + $\Rightarrow$ & $\exists$ Folge $\{u_j\}$ in $W$ mit $\bigcup_{j=1}^\infty B_{r_j}(u_j) = W$ und für $u\in W$ gilt: + + \hspace*{0.5em}$\exists$ Umgebung $U$ mit $U\cap B_{r_j}(u_j)\neq \emptyset$ nur für endlich viele $j$ + \end{tabularx} + \item Betrachte $\gamma_j\colon W\to [0,1]$ mit\begin{align*} + \gamma_j (v) := \begin{cases} + e^{\frac{1_j}{\vert v - u_j\vert - v_j}}, & \text{für }\vert v - u_j\vert \le r_j,\\ + 0, & \text{sonst} + \end{cases} + \end{align*} + Offenbar gilt $\gamma_j(r)>0$ auf $B_{r_j}(u_j)$, $\gamma_j\in C^\infty(W)$. Setzte $\gamma(u) = \sum_{j=1}^\infty \gamma_j(u)$, $\alpha_j(u) := \frac{\gamma_j(u)}{\gamma(u)}$ $\forall u\in W$. + + Offenbar ist $\{\alpha_j \}$ eine Zerlegung der Eins von $W$, damit auch von $M$ und ist offenbar $\mathcal{U}$ untergeordnet. + \end{enumerate} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/3. Semester/GDIM/TeX_files/Integration_auf_Kartengebieten.tex b/3. Semester/GDIM/TeX_files/Integration_auf_Kartengebieten.tex index 712522d..e44bef9 100644 --- a/3. Semester/GDIM/TeX_files/Integration_auf_Kartengebieten.tex +++ b/3. Semester/GDIM/TeX_files/Integration_auf_Kartengebieten.tex @@ -260,6 +260,7 @@ \end{underlinedenvironment} \begin{example} + \proplbl{integration_mf_beispiel_3} Halbspähre $S_{+}^{n-1} = \{ x\in\mathbb{R}^n\mid \vert x \vert = 1, x_4 > 0 \}$. Offenbar ist $S_+^{n-1}$ Graph von $g(x) = \sqrt{1 - \vert x \vert^2}$ $\forall x\in B_1(0)$ @@ -279,8 +280,114 @@ &= \sum^n \kappa_n \end{aligned}& \end{flalign*} - Sei $\omega_n = v_{n-1}(S_{n-1}) = 2v_{n-1}(S_+^{n-1})$ Oberfläche, dann $\omega_n = n\cdot\kappa_n$, z.B. \begin{enumerate}[label={\uline{$n$=\arabic*:}},start=2,leftmargin=4em] + Sei $\omega_n = v_{n-1}(S_{n-1}) = 2v_{n-1}(S_+^{n-1})$ Oberfläche, dann gilt \begin{align}\omega_n = n\cdot\kappa_n, + \end{align} + z.B. \begin{enumerate}[label={\uline{$n$=\arabic*:}},start=2,leftmargin=4em] \item $2\pi = 2\cdot \pi$ \item $4\pi = 3\cdot \frac{4}{3}\pi$ \end{enumerate} -\end{example} \ No newline at end of file +\end{example} + +\begin{underlinedenvironment}[Hinweis] + $v_n(B_r(0)) = \mathcal{L}^n(B_r(0)) =r^n \kappa_n$ (verwende Trafosatz),\\ + $v_{n-1}(\partial B_r(0)) = r^{n-1}\omega_n = r^{n-1}n\kappa_n$ (\propref{integration_mf_beispiel_3} mit $B_r(0)$ statt $B_1(0)$) +\end{underlinedenvironment} + +\begin{example}[Kurvenintegral] + Betrachte Kurve $\phi\colon I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$, $I$ offenes Intervall, sodass $C:= \phi(I)$ $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (beachte: $\phi$ regulär für $\phi'(x)\neq 0$). + + Offenbar ist $\det (\transpose{\phi'(t)}\phi'(t)) = \vert \phi'(t)\vert^2$. Für $f\colon C\to\mathbb{R}^n$ ist (falls es existiert) \begin{align} + \proplbl{eq:integration_mf_11} + \int_C f \mathrm{d}a = \int_a^b f(\phi(t))\vert\phi'(t)\vert \,\mathrm{d}t. + \end{align} + Das Integral heißt \begriff{Kurvenintegral} von $f$ über $C$. Der $1$-dimensionale Inhalt \begin{align} + \proplbl{eq:integration_mf_12} + v_1(C) = \int_a^b \vert \phi'(t)\vert\,\mathrm{d}t + \end{align} + heißt \begriff{Bogenlänge} der Kurve $C$. + + Falls $\vert\phi'(t)\vert = 1$ $\forall t\in I$ heißt $\phi$ \begriff{Bogenlänge-Parametrisierung} von $C$ (denn: $v_1(\phi(t_2-t_1)) = t_2 - t_1$, d.h. die Parameter liefern die Bogenlänge). + + Mit \begin{align} + \proplbl{eq:integration_mf_star} + \tag{\star}\sigma(s) := \int_a^b \vert \phi'(t)\vert\mathrm{d}t + \end{align} + ist $\psi\colon (0,v_1(C))\to\mathbb{R}^n$ mit $\psi(I) = \phi(\sigma^{-1}(I))$ stets die Bogenlängenparametrisierung von $C$. Denn: Offenbar ist $\sigma\in C^1$ und streng monoton wachsend $\Rightarrow$ $\sigma^{-1}\in C^1$ existiert. + \begin{flalign*} + \Rightarrow\;\; & \vert\psi'(\tau)\vert = \vert\psi'(\sigma^{-1}(\tau))\cdot\left(\sigma^{-1}\right)'(\tau)\vert = \vert \phi'(\sigma^{-1}(\tau))\vert\cdot \frac{1}{\vert \sigma'(\sigma^{-1}(\tau))} \overset{\eqref{eq:integration_mf_star}}{=} 1, + \end{flalign*} + d.h. ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man die Kurve stets als Bogenlängenparametrisierung angeben. +\end{example} + +\begin{*definition} + Eine beliebige stetige Kurve $\phi\colon [a,b]\to\mathbb{R}^n$, $C= \phi([a,b])$, heißt \begriff{rektifizierbar}, falls \begin{align*} + l(C) := \sup\limits_{Z} \left\lbrace \left. \sum_{j=1}^k \vert \phi(t_j) - \phi(t_{j-1})\vert\;\right|\; \{ t_0,\dotsc, t_k\} \in Z\right\rbrace < \infty, + \end{align*} + wobei $Z$ die Menge der Zerlegungen $a = t_0 < t_1 < \dotsc < t_k = t_1$, $k\in\mathbb{N}$ ist. +\end{*definition} + +\begin{proposition}[Rektifizierbare Kurven] + Sei $\phi\colon [a,b]\to \mathbb{R}^n$ stetig differenzierbar. Dann: \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] + \item $\phi$ ist rektifizierbar + \item $C:= \phi([a,b])$ sei $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Parametrisierung $\phi$ \\ + \hspace*{0.5em} $\Rightarrow$ $l(C) = v_d(C)$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof}\hspace*{0pt} + \vspace*{-0.8\baselineskip} + \begin{enumerate}[label={zu \arabic*)},leftmargin=4.5em] + \item $\phi$ ist Lipschitz-stetig auf $[a,b]$ mit Lipschitz-Konstante $L = \max_{t\in [a,b]} \vert\phi'(t)\vert$ {\zeroAmsmathAlignVSpaces*\begin{flalign*} + \;\;\Rightarrow\;\;&\sum_{j=1}^k \vert\phi(t_j) - \phi(t_{j-1})\vert \le L\sum_{j=1}^k \vert t_j - t_{j-1}\vert = L\vert b - a\vert \text{ für jede Zerlegung $\{t_0,\dotsc,t_k\}\in Z$} \\ + \Rightarrow\;\;& l(\phi([a,b])) < L(b-a)\\ + \Rightarrow\;\;&\phi\text{ rektifizierbar}& + \end{flalign*}} + \item Für beliebige Zerlegung $\{t_0,\dotsc,t_k\}$ gilt \begin{flalign} + \notag&\sum_{j=1}^k \vert\phi(t_j)-\phi(t_{j-1})\vert = \sum_{j=1}^k \left\vert \int_{t_{j-1}}^{t_j} \phi'(t)\mathrm{d}t\right\vert \le \sum_{j=1}^k \int_{t_{j-1}}^{t_j} \vert\phi'(t)\vert\,\mathrm{d}t = \int_a^b \vert\phi'(t)\vert\,\mathrm{d}t& \\ + \proplbl{eq:integration_mf_star_star} + \tag{\star\star}\;\;\Rightarrow\;\;&´l(C) \le \int_a^b \vert\phi'(t)\vert \,\mathrm{d}t = v_1(C) + \end{flalign} + Sei $l(t) := l(\phi([a,b]))$ $\forall t\in[a,b]$ und sei $h\in\mathbb{R}$, $t+h\in [a,b]$ {\allowdisplaybreaks\zeroAmsmathAlignVSpaces\begin{flalign*} + \;\;\xRightarrow{h>0} \;\; & \left.\left\vert \int_t^{t+h}\phi'(\tau)\mathrm{d}\tau\right\vert = \vert\phi(t+h)-\phi(t)\vert \le \underbrace{l(t+h) - l(t)}_{\mathclap{l(\phi([t,t+h]))}} \overset{\eqref{eq:integration_mf_star_star}}{\le} \int_t^{t+h}\vert\phi'(\tau)\vert\,\mathrm{d}\tau\qquad\right| \cdot\frac{1}{h} & \\ + \Rightarrow\;\;& l \text{ ist differenzierbar mit }l'(t) = \vert\phi'(t)\vert \\ + \Rightarrow\;\;& l(b) = \int_a^b l'(t)\mathrm{d}t = \int_a^b \vert\phi'(t)\vert\,\mathrm{d}t = v_1(C) + \end{flalign*} + } + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{example}[Umfang des Einheitskreises] + Betrachte $\phi\colon (-\pi,\pi)\to\mathbb{R}^2$ mit $\phi(t) = \binom{\cos t}{\sin t}$. Dann ist $C:= \phi((-\pi,\pi))$ eine $1$-dimensionale Mannigfaltigkeit (der Einheitskreis ohne den Punkt $(-1\mid 0)$). + \begin{align*} + v_1(C) = \int_{-\pi}^\pi \vert\phi'(t)\vert\,\mathrm{d}t = \int_{-\pi}^\pi \left\vert\begin{pmatrix} + -\sin t\\\cos t + \end{pmatrix}\right\vert\,\mathrm{d}t = \int_{-\pi}^\pi \mathrm{d}t = 2\pi + \end{align*} + (beachte: $\phi$ ist Bogenlängenparametrisierung) +\end{example} + +\begin{proposition}[Eigenschaften des Integrals] + \proplbl{integration_mf_7} + Seien $f$, $g$, $f_k\colon U\to \mathbb{R}$, $U$ Kartengebiet der Mannigfaltigkeit $M\subset\mathbb{R}^n$. Dann: \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] + \item $f$ integrierbar auf $U$ $\Leftrightarrow$ $\vert f \vert$ integrierbar auf $M$ $\Leftrightarrow$ $f^+$ und $f^-$ integrierbar auf $U$ + \item $f$, $g$ integrierbar, $c\in\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$ $\int_U cf \pm g\mathrm{d}a = c\int_Uf\mathrm{d}a \pm\int_U g\mathrm{d}a$ + \item $f$, $g$ integrierbar auf $U$, $g$ beschränkt auf $U$ $\Rightarrow$ $\cdot g$ integrierbar auf $U$ + \item $f$, $g$ integrierbar, $f\le g$ auf $U$ $\Rightarrow$ $\int_Uf\,\mathrm{d}a\le\int_Ug\,\mathrm{d}a$ + \item (Monotone Konvergenz) + + Seien $f_k$ integrierbar auf $U$, $f_1\le f_2\le \dotsc$, Folge $\int_U f_k\,\mathrm{d}a$ beschränkt und $f(u) = \lim_{k\to\infty} f_k(u)$ $\forall u\in U$ \\ + \hspace*{0.5em}$\Rightarrow$ $f$ integrierbar auf $U$ mit $\int_U f\,\mathrm{d}a = \lim_{k\to\infty} \int f_k\,\mathrm{d}a$ + \item (Majorisierte Konvergenz) + + Seien $f_k$, $g$ integrierbar auf $U$, $\vert f_k\vert\le g$ $\forall k$, $f(u) = \lim_{k\to\infty} f_k(u)$ $\forall u\in U$ \\ + \hspace*{0.5em}$\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar auf $U$ mit $\int_U f\,\mathrm{d}a = \lim_{k\to\infty} \int_U f_k\,\mathrm{d}a$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + Sei $\phi\colon V\to U$ Parametrisierung des Kartengebiets $U$. Somit:\begin{itemize} + \item $f$ integrierbar auf $U$ $\Leftrightarrow$ $f(\phi(\,\cdot\,))\sqrt{g^\phi(\,\cdot\,)}$ integrierbar auf $V$, und \item $f\le g$ auf $U$ $\Leftrightarrow$ $f(\phi(\,\cdot\,))\sqrt{g^\phi(\,\cdot\,)} \le g(\phi(\,\cdot\,))\sqrt{g^\phi(\,\cdot\,)}$ auf $V$, + \item $f(u) = \lim_{k\to\infty} f_k(u)\in U$ $\Leftrightarrow$ $f(\phi(x)) = \lim_{k\to\infty} f_k(x)$ $\forall x\in V$, + \end{itemize} + somit folgen die Behauptungen direkt aus den Eigenschaften des Lebesgue-Integrals (Kapitel 22). +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/3. Semester/GDIM/Vorlesung GDIM.tex b/3. Semester/GDIM/Vorlesung GDIM.tex index f112740..db8cbf8 100644 --- a/3. Semester/GDIM/Vorlesung GDIM.tex +++ b/3. Semester/GDIM/Vorlesung GDIM.tex @@ -29,6 +29,7 @@ \chapter{Integration auf Mannigfaltigkeiten}\label{chap:mf} \input{./TeX_files/Mannigfaltikeiten} \include{./TeX_files/Integration_auf_Kartengebieten} +\include{./TeX_files/Integral_auf_Mannigfaltigkeiten} \part*{Anhang} \addcontentsline{toc}{part}{Anhang} diff --git a/cwl/mathoperators.cwl b/cwl/mathoperators.cwl index 89be7bd..0ae7735 100644 --- a/cwl/mathoperators.cwl +++ b/cwl/mathoperators.cwl @@ -61,6 +61,7 @@ \id#*\math \graph#*\math \diam#*\math +\supp#*\math \End#*\math \Aff#*\math \Aut#*\math diff --git a/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty b/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty index b26ce34..d97ac2b 100644 --- a/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty +++ b/texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty @@ -87,6 +87,7 @@ \DeclareMathOperator{\Int}{int} \DeclareMathOperator{\Ext}{ext} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} +\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}