STOCH lecture 10 April 2019 polish.

4. Semester/STOCH/TeX_files/Bedingte_Wheiten.tex

@@ -0,0 +1,54 @@
+\chapter{Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit}
+\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
+\begin{example}
+	Das Würfeln mit zwei fairen, sechseitigen Würfeln können wir mit 
+	\begin{align}
+		\Omega = \set{(i,j,), i,j \in \set{1,\dots,6}}\notag
+	\end{align}
+	und $\probp = \Gleich(\Omega)$. Da $\abs{\Omega} = 36$ gilt also
+	\begin{align}
+		\probp(\set{\omega}) = \frac{1}{36} \quad \forall \omega \in \Omega.\notag
+	\end{align}
+	Betrachte das Ereignis
+	\begin{align}
+		A = \set{(i,j) \in \Omega : i + j = 8},\notag
+	\end{align}
+	dann folgt
+	\begin{align}
+		\probp(A) = \frac{5}{36}.\notag
+	\end{align}
+	Werden die beiden Würfel nach einander ausgeführt, so kann nach dem ersten Wurf eine Neubewertung der Wahrscheinlichkeit von $A$ erfolgen.\\
+	Ist z.B.:
+	\begin{align}
+		B = \set{(i,j) \in \Omega, i = 4}\notag
+	\end{align}
+	eingetreten, so kann die Summe 8 nur durch eine weitere 4 realisiert werden, also mit Wahrscheinlichkeit
+	\begin{align}
+		\frac{1}{6} = \frac{\abs{A \cap B}}{\abs{B}}.\notag 
+	\end{align}
+	Das Eintreten von $B$ führt also dazu, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ durch ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_{B}$ ersetzt werden muss. Hierbei sollte gelten:
+	\begin{align} %TODO add references!
+		 &\text{Renormierung: }\probp_{B} = 1\label{Renorm}\tag{R}\\
+		 &\text{Proportionalität: Für alle} A \subset \sigF \mit A \subseteq B \text{ gilt }
+		 \probp_{B}(A) = c_B \probp(A) \text{ mit einer Konstante } c_B.\label{Prop}\tag{P}
+    \end{align}
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+	Sei $(\Omega, \sigF, \probp)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $B \in \sigF$ mit $\probp(B) > 0$. Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_B$ auf $(\Omega, \sigF)$ mit den Eigenschaften \eqref{Renorm} und \eqref{Prop}. Dieses ist gegeben durch
+	\begin{align}
+		\probp_{B}(A) = \frac{\probp(A\cap B)}{\probp(B)} \quad \forall A \in \sigF.\notag
+	\end{align}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof} %TODO surpress ``Gleichung'' here?!
+	Offenbar erfüllt $\probp_{B}$ wie definiert \eqref{Renorm} und \eqref{Prop}. Umgekehrt erfüllt $\probp_{B}$ \eqref{Renorm} und \eqref{Prop}. Dann folgt für $A \in \sigF$:
+	\begin{align}
+		\probp_{B}(A) = \probp_{B}(A\cap B) + \underbrace{\probp_{B}(A\setminus B)}_{= 0, \text{ wegen } \eqref{Renorm}} \overset{\eqref{Prop}}{=} c_B \probp(A \cap B).\notag
+	\end{align}
+	Für $A=B$ folgt zudem aus \eqref{Renorm}
+	\begin{align}
+		1 = \probp_{B}(B) = c_B \probp(B)\notag
+	\end{align}
+	also $c_B = \probp(B)^{-1}$.
+\end{proof}

4. Semester/STOCH/TeX_files/Einfuhrung.tex

@@ -1,17 +1,17 @@
 \chapter*{Was ist Stochastik?}
 
-Altgriechisch Stochastikos ($\sigma \tau o \chi \alpha \sigma \tau \iota \kappa$\`{o}$ \zeta$) und bedeutet sinngemäß ``scharfsinning in Vermuten''.\\
+Altgriechisch Stochastikos ($\sigma \tau o \chi \alpha \sigma \tau \iota \kappa$\`{o}$ \zeta$) und bedeutet sinngemäß ``scharfsinnig in Vermuten''.\\
-Fragestellung insbesondere aus Glückspiel, Versicherungs-/Finanzmathematik, überall da wo Zufall/ Risiko / Chance auftauchen.\\
+Fragestellung insbesondere aus Glücksspiel, Versicherungs-/Finanzmathematik, überall da wo Zufall/ Risiko / Chance auftauchen.\\
 Was ist Stochastik?
 \begin{itemize}
 	\item Beschreibt zufällige Phänomene in einer exakten Spache!\\
 	Beispiel: ``Beim Würfeln erscheint jedes sechste Mal (im Schnitt) eine 6.'' $\longrightarrow$ Gesetz der großen Zahlen ($\nearrow$ später) %TODO set ref
 	\item Lässt sich mathematische Stochastik in zwei Teilgebiete unterteilen\\
-	Wahrscheinlichkeitstheorie (W-Theorie) \& Statistik
+	Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitstheorie) \& Statistik
 	\begin{itemize}
-		\item \textit{W-Theorie}: Beschreibt und untersucht konkret gegebene Zufallssituationen.
+		\item \textit{Wahrscheinlichkeitstheorie}: Beschreibt und untersucht konkret gegebene Zufallssituationen.
 		\item \textit{Statistik}: Zieht Schlussfolgerungen aus Beobachtungen.
 	\end{itemize}
-	Statistik benötigt Modelle der W-Theorie und W-Theorie benötigt die Bestätigung der Modelle durch Statistik.
+	Statistik benötigt Modelle der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wahrscheinlichkeitstheorie benötigt die Bestätigung der Modelle durch Statistik.
 \end{itemize}
 In diesem Semester konzentrieren wir uns nur auf die Wahrscheinlichkeitstheorie!

4. Semester/STOCH/TeX_files/Erste_Standardmodelle.tex

@@ -1,37 +1,27 @@
-\chapter{Erste Standardmodelle der WTheorie} %TODO maybe a chapter have to see
+\chapter{Erste Standardmodelle der Wahrscheinlichkeitstheorie}
 
 %\subsection{Diskrete Verteilungen}
 \section*{Diskrete Verteilungen}
 
 \section{Diskrete Gleichverteilungen}
 
-%TODO restructure! looks like this is just a new section in the chapter Grundbegriffe der WTheorie!
+%TODO restructure! looks like this is just a new section in the chapter Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie!
 % I think that should be a new chapter, but I am not sure what to do with the unnumbered heading "Diskrete Verteilungen", especially headings "Diskrete Gleichverteilungen" and "Urnenmodelle" should have numbers 2.1 and 2.2 (so should be sections)
 
 Erinnerung:
 \begin{*erinnerung}[\propref{1_10}]
-	Ist $\Omega$ endlich, so heißt WMaß mit Zähldichte
+	Ist $\Omega$ endlich, so heißt Wahrscheinlichkeitsmaß mit Zähldichte
 	\begin{align}
 		\rho(\omega) = \frac{1}{\omega}\quad, \omega \in \Omega\notag
 	\end{align}
 	\begriff{(diskrete) Gleichverteilung} auf $\Omega \to U(\Omega)$
 \end{*erinnerung}
-
-%\begin{repetition}[\propref{1_10}]
-%    Ist $\Omega$ endlich, so heißt WMaß mit Zähldichte
-%    \begin{align}
-%    \rho(\omega) = \frac{1}{\omega}\quad, \omega \in \Omega\notag
-%    \end{align}
-%    \begriff{(diskrete) Gleichverteilung} auf $\Omega \to U(\Omega)$.
-%\end{repetition}
-
 Es gilt das für jedes $A \in \pows(\Omega)$
 \begin{align}
 	\probp\brackets{A} = \frac{\abs{A}}{\abs{\Omega}} \notag
 \end{align}
 Anwendungsbeispiele sind faires Würfeln, fairer Münzwurf, Zahlenlotto, ...
 
-
 \section{Urnenmodelle}
 
 Ein ``Urnenmodell'' ist eine abstrakte Darstellung von Zufallsexperimenten, bei denen zufällig Stichproben aus einer gegebenen Menge ``gezogen'' werden.
@@ -55,11 +45,11 @@ Ziehe: $n$ Stichproben/Kugeln, wobei nach jedem Zug die Kugel wieder zurückgele
 \begin{align}
 	\Omega = E^n \und \sigF = \pows(\Omega) \notag
 \end{align}
-Zur Bestimmung einer geeigneten WMaßes, nummerieren wir die Kugeln mit $1,\dots, N$, so dass alle Kugeln der Farbe $a \in E$ eine Nummer aus $F_{a} \subset \set{1,\dots, N}$ tragen. Würden wir die Nummern notieren, so wäre
+Zur Bestimmung einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsmaßes, nummerieren wir die Kugeln mit $1,\dots, N$, so dass alle Kugeln der Farbe $a \in E$ eine Nummer aus $F_{a} \subset \set{1,\dots, N}$ tragen. Würden wir die Nummern notieren, so wäre
 \begin{align}
 	\overline{\Omega} = \set{1,\dots, N}^n \und \overline{\sigF} = \pows(\overline{\Omega})\notag
 \end{align}
-und wir könnten die Gleichverteilung $\overline{\probp} = U(\overline{\Omega})$ als WMaß für einem einzelnen Zug verwenden. Für den Übergang zu $\Omega$ konstruieren wir  Zufallsvariablen. Die Farbe im $i$-ten Zug wird beschrieben durch
+und wir könnten die Gleichverteilung $\overline{\probp} = \Gleich(\overline{\Omega})$ als Wahrscheinlichkeitsmaß für einem einzelnen Zug verwenden. Für den Übergang zu $\Omega$ konstruieren wir  Zufallsvariablen. Die Farbe im $i$-ten Zug wird beschrieben durch
 \begin{align}
 	X_i: \overline{\Omega} \to E \mit \overline{\omega} = \left( \overline{\omega}_1, \dots, \overline{\omega}_n \right) \mapsto a \text{ falls } \overline{\omega}_i \in F_a\notag
 \end{align}
@@ -92,15 +82,15 @@ Den Übergang $\Omega \to \hat{\Omega}$ beschreiben wir durch die Zufallsvariabl
 \end{align}
 und
 \begin{align}
-	Y = \brackets{Y_a}_{a\in E}: \Omega \to \hat{\Omega} = \set{k = (k_a)_{a\in E}\colon \sum_{i \in E} = n}\notag
+	Y = \brackets{Y_a}_{a\in E}: \Omega \to \hat{\Omega} = \set{k = (k_a)_{a\in E}\colon \sum_{a \in E} k_a = n}\notag
 \end{align}
 
 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 4th lecture % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
 
 Wir erhalten
 \begin{align}
-	\probp_{Y = k} &= \probp(Y_a = k_a, \quad a \in E)\\
+	\probp_{Y = k} &= \probp(Y_a = k_a, \quad a \in E)\notag\\
-	&= \sum_{\omega \in \Omega:Y(\omega) = k} \prod_{i=1}^{n} \rho(w)\\
+	&= \sum_{\omega \in \Omega:Y(\omega) = k} \prod_{i=1}^{n} \rho(w)\notag\\
 	&= \sum_{\omega \in \Omega:Y(\omega) = k} \prod_{a \in E} \rho(\omega) = \begin{bmatrix}
 	n \\
 	(k)_{a\in E}
@@ -117,12 +107,13 @@ wobei
 der \begriff{Multinomialkoeffizient} welcher die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, $n$ Objekte in $l$ Gruppen aufzuteilen, so dass Gruppe $i$ gerade $k_i$ Objekte beinhaltet.
 
 \begin{definition}
-	Sei $l > 2, p = (p_1, \dots, p_l)$ eine Zähldichte und $n \in \N$, dann heißt die Verteilung auf $\set{k = (k_i)_{i=1,\dots,l} \in \N_{0}^{l} : \sum_{i=1}^{l} k_i = n}$ mit Zähldichte
+	Sei $l > 2, p = (p_1, \dots, p_l)$ eine Zähldichte und $n \in \N$, dann heißt die Verteilung auf \\
+	$\set{k = (k_i)_{i=1,\dots,l} \in \N_{0}^{l} : \sum_{i=1}^{l} k_i = n}$ mit Zähldichte
 	\begin{align}
 		m((k_1,\dots,k_l)) = \binom{n}{k_1, \dots, k_l}\prod_{i=1}^{l} p_i^{k_i}\notag
 %		\end{bmatrix}
 	\end{align}
-	\begriff{Multinomialverteilung mit Parametern $n$ und $p$}. Wir schreiben auch $\Multi(n,p)$. %TODO add
+	\begriff{Multinomialverteilung mit Parametern $n$ und $p$}. Wir schreiben auch $\Multi(n,p)$.
 \end{definition}
 
 \begin{example}
@@ -136,24 +127,24 @@ der \begriff{Multinomialkoeffizient} welcher die Anzahl der Möglichkeiten besch
 \begin{definition}
 	Sei $p \in [0,1]$ un $n \in \N$, dann heißt die Verteilung mit Zähldichte
 	\begin{align}
-		\rho(k) = \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}\quad k \in \set{0,1,\dots,n}\notag
+		\rho(k) = \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k} \mit k \in \set{0,1,\dots,n}.\notag
 	\end{align}
 	\begriff{Binomialverteilung auf $\set{0, \dots,n}$ mit Parameter $p$} (auch\begriff{Erfolgswahrscheinlichkeit}). Wir schreiben auch $\Bin(n,p)$. Im Fall $n = 1$ nennen wir die Verteilung mit Zähldichte
 	\begin{align}
-		\rho(0) = 1-p \qquad \rho(1) = p\notag
+		\rho(0) = 1-p \und \rho(1) = p\notag
 	\end{align}
 	auch \begriff{Bernoulliverteilung mit Parameter $p$} und schreiben $\Ber(p)$.
 \end{definition}
 \underline{Urnenmodell ohne Zurücklegen}: \begriff{Hypergeometrische Verteilung}\\
 Gegeben: Urne mit $N$ Kugeln verschiedener Farben aus $E$,
 \begin{align}
-	\abs{E} \ge 2
+	\abs{E} \ge 2.\notag
 \end{align}
 Es werden $n \le N$ Stichproben entnommen, wobei die gezogenen Kugeln werde \emph{nicht} in die Urne zurückgelegt.
 \begin{example}
-	Eine Urne enthalte $S$ schwarze $1$ und $W$ weiße Kugeln $0$ Kugeln, $(E = \set{0,1}, S + W =N)$. Dann ist die Wahrscheinlichkeit in $n$ Zügen ohne Zurücklegen gerade $s$ schwarze und $w$ weiße Kugeln zu ziehen
+	Eine Urne enthalte $S$ schwarze ``$1$'' und $W$ weiße Kugeln ``$0$'' Kugeln, $(E = \set{0,1}, S + W =N)$. Dann ist die Wahrscheinlichkeit in $n$ Zügen ohne Zurücklegen gerade $s$ schwarze und $w$ weiße Kugeln zu ziehen
 	\begin{align}
-		\rho(w) = \frac{\binom{W}{w}\binom{S}{s}}{\binom{N}{n}}, 0 \le s \le S, 0 \le w \le W, s+w = n, S+W = N.\notag
+		\rho(w) = \frac{\binom{W}{w}\binom{S}{s}}{\binom{N}{n}} \mit 0 \le s \le S,\; 0 \le w \le W,\; s+w = n,\; S+W = N.\notag
 	\end{align}
 \end{example}
 
@@ -164,7 +155,7 @@ Es werden $n \le N$ Stichproben entnommen, wobei die gezogenen Kugeln werde \emp
 \begin{definition}
 	Seinen $N \in \N, W \le N, n \in \N$, dann heißt die Verteilung auf $\set{0,\dots,n}$ mit Zähldichte
 	\begin{align}
-		\rho(w) = \frac{\binom{wW}{w}\binom{N-W}{n-w}}{\binom{N}{n}}, w = \max\set{0,n=N+W}, \dots, \min\set{W,n},\notag
+		\rho(w) = \frac{\binom{wW}{w}\binom{N-W}{n-w}}{\binom{N}{n}} \mit w = \max\set{0,n=N+W}, \dots, \min\set{W,n},\notag
 	\end{align}
 	die \begriff{Hypergeometrische Verteilung} mit Parametern $N,W,n$. Wir schreiben $\Hyper(N,W,n)$.
 \end{definition}
@@ -176,36 +167,36 @@ $\Bin(n,p)$ ist zwar explizit und elementar definiert, jedoch für große $n$ m
 \begin{proposition}[Poisson-Approximation]
 	Sei $\lambda$ und $(p_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $[0,1]$ mit
 	\begin{align}
-		np_n \to \lambda \quad n \to \infty\notag
+		np_n \to \lambda,\quad n \to \infty.\notag
 	\end{align}
 	Dann gilt $\forall k \in \N$ für die Zähldichte der $\Bin(n,p_n)$-Verteilung
 	\begin{align}
-		\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k}p_n^k(1-p)^{n-k} = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\notag
+		\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k}p_n^k(1-p)^{n-k} = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}.\notag
 	\end{align}
 \end{proposition}
 \begin{proof}
 	Sei $k \in \N_{0}$ fix, dann
-	\begin{align}
+	\begin{align} %TODO fix alignment and now there are tags, but \notag is added?!
-		\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n^k}{k!}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\\
+		\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} &= \frac{n^k}{k!}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\notag\\
-		&= \frac{n^k}{k!}\cdot 1 (1-\frac{1}{n}\cdots \frac{1}{\frac{k-1}{n}})\\
+		&= \frac{n^k}{k!}\cdot 1 (1-\frac{1}{n}\cdots \frac{1}{\frac{k-1}{n}})\notag\\
-		\overset{n \to \infty}{~} \frac{n^k}{k!},
+		&\overset{n \to \infty}{~} \frac{n^k}{k!},\notag
 	\end{align}
-	wobei $a(l) \overset{n \to \infty}{\sim} b(l) \Leftrightarrow \frac{a(l)}{b(l)} \xRightarrow{n\to \infty} 1$. Damit
+	wobei $a(l) \overset{n \to \infty}{\sim} b(l) \Leftrightarrow \frac{a(l)}{b(l)} \xrightarrow{n\to \infty} 1$. Damit
-	\begin{align}
+	\begin{align}%TODO fix alignment
-		\binom{n}{k}p_n^k (1-p)^{n-k} &\overset{\clap{$n \to \infty$}}{\sim} \frac{n^k}{k!}p_n^k(1-p_n)^{n-k}\\
+		\binom{n}{k}p_n^k (1-p)^{n-k} &\overset{n \to \infty}{\sim} \frac{n^k}{k!}p_n^k(1-p_n)^{n-k}\notag\\
-		&\overset{n \to \infty}{\sim} \frac{\lambda^k}{k!}(1-p_n)^n\\
+		&\overset{n \to \infty}{\sim} \frac{\lambda^k}{k!}(1-p_n)^n\notag\\
-		&= \frac{\lambda^n}{k!}\brackets{1 - \frac{np_n}{n}}^n\\
+		&=\frac{\lambda^n}{k!}\brackets{1 - \frac{np_n}{n}}^n\notag\\
-		&\xRightarrow{n \to \infty} \frac{\lambda^n}{k!}e^{-\lambda}.
+		&\xrightarrow{n \to \infty} \frac{\lambda^n}{k!}e^{-\lambda}.\notag
 	\end{align}
 \end{proof}
 Der erhaltene Grenzwert liefert die Zähldichte auf $\N_{0}$, denn 
 \begin{align}
-	\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1
+	\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1\notag
 \end{align}
 \begin{definition}
-	Sei $\lambda >0$. Dann heißt das auf $(\N_{0}, \probp(\N_{0}))$ definiert WMaß mit
+	Sei $\lambda >0$. Dann heißt das auf $(\N_{0}, \probp(\N_{0}))$ definiert Wahrscheinlichkeitsmaß mit
 	\begin{align}
-		\probp(\set{k}) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad k \in \N_{0},
+		\probp(\set{k}) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad k \in \N_{0},\notag
 	\end{align}
 	\begriff{Poissonverteilung mit Parameter $\lambda$}. Schreibe $\Pois(\lambda)$.
 \end{definition}

4. Semester/STOCH/TeX_files/Grundbegriffe_Wtheorie.tex

@@ -31,13 +31,13 @@ Oft interessieren wir uns gar nicht für das konkrete Ergenis des Zufallsexperim
 $\longrightarrow$ Teilmenge des Ereignisraums, also Element der Potenzmenge $\mathscr{P}(\Omega)$, denen eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann, d.h. welche \begriff{messbar} (mb) sind.
 
 \begin{definition}[Ereignisraum, messbarer Raum]
-	Sei $\Omega \neq \emptyset$ ein Ergebnisraum und $\mathscr{F}$ eine $\sigma$-Algebra auf $\Omega$, d.h. eine Familie von Teilmenge von $\Omega$, sodass
+	Sei $\Omega \neq \emptyset$ ein Ergebnisraum und $\sigF$ eine $\sigma$-Algebra auf $\Omega$, d.h. eine Familie von Teilmenge von $\Omega$, sodass
 	\begin{enumerate}
-		\item $\Omega \in \mathscr{F}$
+		\item $\Omega \in \sigF$
-		\item $A \in \mathscr{F} \Rightarrow A^C \in \mathscr{F}$
+		\item $A \in \sigF \Rightarrow A^C \in \sigF$
-		\item $A_1, A_2, \dots \in \mathscr{F} \Rightarrow \bigcup_{i \ge 1} \in \mathscr{F}$
+		\item $A_1, A_2, \dots \in \sigF \Rightarrow \bigcup_{i \ge 1} \in \sigF$
 	\end{enumerate}
-	Dann heißt $(\Omega, \mathscr{F})$ \begriff{Ereignisraum} bzw. \begriff{messbarer Raum}.
+	Dann heißt $(\Omega, \sigF)$ \begriff{Ereignisraum} bzw. \begriff{messbarer Raum}.
 \end{definition}
 
 \subsection*{Wahrscheinlichkeiten}
@@ -45,37 +45,36 @@ $\longrightarrow$ Teilmenge des Ereignisraums, also Element der Potenzmenge $\ma
 Ordne Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zu mittels der Abbildung
 
 \begin{align}
-	\mathbb{P}: \mathscr{F} \to [0,1]\notag
+	\probp: \sigF \to [0,1]\notag
 \end{align}
 sodass
 \begin{align}
-	\text{Normierung } \mathbb{P}(\Omega) = 1 \tag{N}\label{eq_norm}\\
+	&\text{Normierung } \probp(\Omega) = 1 \label{eq_norm}\tag{N}\\
-	\sigma\text{-Additivität für paarweise disjunkte Ereignisse} \tag{A}\label{eq_additive}\\
+	&\sigma\text{-Additivität für paarweise disjunkte Ereignisse} 
-	A_1, A_2, \dots \in \mathscr{F} \Rightarrow \mathbb{P}(\bigcup_{i \ge 1} A_i) = \sum_{i \ge 1} \mathbb{P}(A_i)\notag
+	A_1, A_2, \dots \in \sigF \Rightarrow \probp(\bigcup_{i \ge 1} A_i) = \sum_{i \ge 1} \probp(A_i) \label{eq_additive}\tag{A}
 \end{align}
-
+\eqref{eq_norm}, \eqref{eq_additive} und die Nichtnegativität von $\probp$ werden als \begriff{\person{Kolmogorov}sche Axiome} bezeichnet (nach Kolomogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, 1933)
-\cref{eq_norm}, \cref{eq_additive} und die Nichtnegativität von $\mathbb{P}$ werden als \begriff{\person{Kolmogorov}sche Axiome} bezeichnet (nach Kolomogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, 1933)
 
 \begin{definition}[Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsverteilung]
-	Sei $(\Omega, \mathscr{F})$ ein Ereignisraum und $\mathbb{P}: \mathscr{F} \to [0,1]$ eine Abbildung mit Eigenschaften \cref{eq_norm} und \cref{eq_additive}. Dann heißt $\mathbb{P}$ \begriff{Wahrscheinlichkeitsmaß} oder auch \begriff{Wahrscheinlichkeitsverteilung}.
+	Sei $(\Omega, \sigF)$ ein Ereignisraum und $\probp: \sigF \to [0,1]$ eine Abbildung mit Eigenschaften \eqref{eq_norm} und \eqref{eq_additive}. Dann heißt $\probp$ \begriff{Wahrscheinlichkeitsmaß} oder auch \begriff{Wahrscheinlichkeitsverteilung}.
 \end{definition}
 
 Aus der Definition folgen direkt:
 
 \begin{proposition}[Rechenregeln für W-Maße]
 	\proplbl{1_4}
-	Sei $\mathbb{P}$ ein W-Maß, Ereignisse $(\Omega, \mathscr{F}), A, B, A_1, A_2, \dots \in \mathscr{F}$. Dann gelten:
+	Sei $\probp$ ein W-Maß, Ereignisse $(\Omega, \sigF), A, B, A_1, A_2, \dots \in \sigF$. Dann gelten:
 	\begin{enumerate}
-		\item $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$
+		\item $\probp(\emptyset) = 0$
-		\item Monotonie: $A \subseteq B \Rightarrow \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)$
+		\item Monotonie: $A \subseteq B \Rightarrow \probp(A) \le \probp(B)$
-		\item endliche $\sigma$-Additivität: $\mathbb{P}(A\cup B) + \mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ und insbesondere $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(A^C) = 1$
+		\item endliche $\sigma$-Additivität: $\probp(A\cup B) + \probp(A\cap B) = \probp(A) + \probp(B)$ und insbesondere $\probp(A) + \probp(A^C) = 1$
 		\item $\sigma$-Subadditivität:
 		\begin{align}
-			\mathbb{P}\left(\bigcup_{i \ge 1} A_i\right) \le \sum_{i \ge 1} \mathbb{P}(A_i)\notag
+			\probp\left(\bigcup_{i \ge 1} A_i\right) \le \sum_{i \ge 1} \probp(A_i)\notag
 		\end{align}
 		\item $\sigma$-Stetigkeit: Wenn $A_n \uparrow A$ (d.h. $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots$ und $A = \bigcup_{i=1}^{\infty} (A_i)$) oder $A_n \downarrow A$, so gilt:
 		\begin{align}
-			\mathbb{P}(A_n) \longrightarrow \mathbb{P}(A), n \to \infty \notag
+			\probp(A_n) \longrightarrow \probp(A), n \to \infty \notag
 		\end{align}
 	\end{enumerate}
 \end{proposition}
@@ -94,13 +93,13 @@ Aus der Definition folgen direkt:
 		\begin{align}
 			\probp(B) = \probp(A \uplus (B \setminus A)) = \probp(A) + \probp(B \setminus A) \ge \probp(A) \label{eq_1_1_4}\tag{*}
 		\end{align}
-		\item Zerlege $A \cup B$ geschickt, dann sieht man mit oben gezeigter Aussage und \cref{eq_1_1_4}
+		\item Zerlege $A \cup B$ geschickt, dann sieht man mit oben gezeigter Aussage und \eqref{eq_1_1_4}
 		\begin{align}
 			\probp(A \cup B) + \probp(A \cap B) &= \probp(A \uplus (B \setminus (A \cap B)) + \probp(A \cap B)\notag \\
 			&= \probp(A) + \probp(B \setminus (A \cap B)) + \probp(A \cap B)\notag\\
 			&= \probp(A)+\probp(B).\notag	
 		\end{align}
-		Im letzten Schritt wurde \cref{eq_1_1_4} verwendet.
+		Im letzten Schritt wurde \eqref{eq_1_1_4} verwendet.
 		\item Folgt aus endlicher $\sigma$-Additivität, da $\probp\left(\bigcap_{i\ge 1} A_i \right) \ge 0$.
 		\item Definiere $F_1 := A_1, F_2 := A_2 \setminus A_1, \dots, F_{i+1} := A_{i+1}\setminus A_n$. Die $F_i$ Mengen sind paarweise disjunkt und damit folgt für $m \to \infty$
 		\begin{align}
@@ -114,51 +113,51 @@ Aus der Definition folgen direkt:
 \end{proof}
 
 \begin{example}
-	Für ein beliebigen Ereignisraum $(\Omega, \mathscr{F})$ ($\Omega \neq \emptyset$) und eine beliebiges Element $\xi \in \Omega$ definiere
+	Für ein beliebigen Ereignisraum $(\Omega, \sigF)$ ($\Omega \neq \emptyset$) und eine beliebiges Element $\xi \in \Omega$ definiere
 	\begin{align}
 		\delta_{\xi}(A := \begin{cases}
 		1 & \xi \in A \\
 		0 & \text{ sonst}
 		\end{cases}\notag
 	\end{align}
-	eine (degeneriertes) W-Maß auf $(\Omega, \mathscr{F})$, welches wir als \begriff{\person{Dirac}-Maß} oder \begriff{\person{Dirac}-Verteilung} bezeichnen.
+	eine (degeneriertes) W-Maß auf $(\Omega, \sigF)$, welches wir als \begriff{\person{Dirac}-Maß} oder \begriff{\person{Dirac}-Verteilung} bezeichnen.
 \end{example}
 
 \begin{example}
-	Würfeln mit fairem, $6$-(gleich)seitigem Würfel mit Ergebnismenge $\Omega=\{1, \dots, 6\}$ und Ereignisraum $\mathscr{F} = \mathscr{P}(\Omega)$ setzen wir als Symmetriegründen
+	Würfeln mit fairem, $6$-(gleich)seitigem Würfel mit Ergebnismenge $\Omega=\{1, \dots, 6\}$ und Ereignisraum $\sigF = \mathscr{P}(\Omega)$ setzen wir als Symmetriegründen
 	\begin{align}
-		\mathbb{P}(A) = \frac{\# A}{6}.\notag
+		\probp(A) = \frac{\# A}{6}.\notag
 	\end{align}
 	(Wobei $\# A$ oder auch $\vert A \vert$ die Kardinalität von $A$ ist.) Das definiert ein W-Maß.
 \end{example}
 
 \begin{example}
 	\proplbl{1_1_7}
-	Wartezeit an der Bushaltestelle mit Ergebnisraum $\Omega = \real_{+}$ und Ereignisraum \person{Borel}sche $\sigma$-Algebra $\mathscr{B}(\real_{+}) = \mathscr{F}$. Eine mögliches W-Maß können wir dann durch
+	Wartezeit an der Bushaltestelle mit Ergebnisraum $\Omega = \real_{+}$ und Ereignisraum \person{Borel}sche $\sigma$-Algebra $\mathscr{B}(\real_{+}) = \sigF$. Eine mögliches W-Maß können wir dann durch
 	\begin{align}
-	\mathbb{P}(A) = \int_{A} \lambda e^{-\lambda x} \diff x\notag %TODO set a mathoperator for dx!!!
+	\probp(A) = \int_{A} \lambda e^{-\lambda x} \diff x\notag %TODO set a mathoperator for dx!!!
 	\end{align}
-	für einen Parameter $\lambda > 0$ festlegen. (Offenbar gilt $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ und die $\sigma$-Additivität aufgrund der Additivität des Integrals.) Wir bezeichnen diese Maß als \begriff{Exponentialverteilung}. (Warum gerade dieses Maß für Wartezeiten gut geeignet ist $\nearrow$ später) %TODO add later a ref!!!
+	für einen Parameter $\lambda > 0$ festlegen. (Offenbar gilt $\probp(\Omega) = 1$ und die $\sigma$-Additivität aufgrund der Additivität des Integrals.) Wir bezeichnen diese Maß als \begriff{Exponentialverteilung}. (Warum gerade dieses Maß für Wartezeiten gut geeignet ist $\nearrow$ später) %TODO add later a ref!!!
 \end{example}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2nd Lecture %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-\begin{proposition}[Konstruktion von WMaßen durch Dichten]
+\begin{proposition}[Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen durch Dichten]
 	\proplbl{1_8}
-	Sei $(\Omega, \mathscr{F})$ ein Eriegnisraum.
+	Sei $(\Omega, \sigF)$ ein Eriegnisraum.
 	\begin{itemize}
-		\item $\Omega$ abzählbar, $\mathscr{F} = \mathscr{P}(\Omega)$: Sei $\rho = (\rho(\omega))_{\omega \in \Omega}$ eine Folge in $[0,1]$ in $\sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega) = 1$, dann definiert
+		\item $\Omega$ abzählbar, $\sigF = \mathscr{P}(\Omega)$: Sei $\rho = (\rho(\omega))_{\omega \in \Omega}$ eine Folge in $[0,1]$ in $\sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega) = 1$, dann definiert
 		\begin{align}
-			\probp(A) = \sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega), A \in \mathscr{F} \notag
+			\probp(A) = \sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega), A \in \sigF \notag
 		\end{align}
-		ein (diskretes) WMaß $\probp$ auf $(\Omega, \mathscr{F})$. $\rho$ wird als \begriff{Zähldichte} bezeichnet.
+		ein (diskretes) Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ auf $(\Omega, \sigF)$. $\rho$ wird als \begriff{Zähldichte} bezeichnet.
-		\item Umgekehrt definiert jedes WMaß $\probp$ auf $(\Omega, \mathscr{F})$ definiert Folge $\rho(\omega) = \probp(\set{\omega}), \omega \in \Omega$ eine Folge $\rho$ mit den obigen Eigenschaften.
+		\item Umgekehrt definiert jedes Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ auf $(\Omega, \sigF)$ definiert Folge $\rho(\omega) = \probp(\set{\omega}), \omega \in \Omega$ eine Folge $\rho$ mit den obigen Eigenschaften.
-		\item $\Omega \subset \Rn, \mathscr{F} = \mathscr{B}(\Omega)$: Sei $\rho: \Omega \to [0, \infty)$ eine Funktion, sodass
+		\item $\Omega \subset \Rn, \sigF = \mathscr{B}(\Omega)$: Sei $\rho: \Omega \to [0, \infty)$ eine Funktion, sodass
 		\begin{enumerate}
 			\item $\int_{\Omega} \rho(x)\diff x = 1$
 			\item $\set{x \in \Omega \colon f(x) \le c} \in \mathscr{B}(\Omega)$ für alle $c > 0$ 
 		\end{enumerate}
-		dann definiert $\rho$ ein WMaß $\probp$ auf $(\Omega, \mathscr{F})$ durch 
+		dann definiert $\rho$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ auf $(\Omega, \sigF)$ durch 
 		\begin{align}
 		\probp(A) = \int_{A} \rho(x) \diff x = \int_{A} \rho \diff \lambda, \quad A \in \mathscr{B}(\Omega).\notag
 		\end{align}
@@ -176,30 +175,30 @@ Aus der Definition folgen direkt:
 
 \begin{*remark}
 	\begin{itemize}
-		\item Die Eineindeutige Beziehung zwischen Dichte und WMaß überträgt sich nicht auf den stetigen Fall.
+		\item Die Eineindeutige Beziehung zwischen Dichte und Wahrscheinlichkeitsmaß überträgt sich nicht auf den stetigen Fall.
 		\begin{itemize}
-			\item Nicht jedes WMaß auf $(\Omega, \mathscr{B}(\Omega)), \Omega \subset \Rn$ besitzt eine Dichte.
+			\item Nicht jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathscr{B}(\Omega)), \Omega \subset \Rn$ besitzt eine Dichte.
-			\item Zwei Dichtefunktionen definieren dasselbe WMaß, wenn sie sich nur auf einer Menge von Lebesgue-Maß $0$ unterscheiden.
+			\item Zwei Dichtefunktionen definieren dasselbe Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie sich nur auf einer Menge von Lebesgue-Maß $0$ unterscheiden.
 		\end{itemize}
-		\item Jede auf $\Omega \subset \Rn$ definiert Dichtefunktion $\rho$ lässt sich auf ganz $\Rn$ fortsetzen durch $\rho(x) = 0, x \not\in \Omega$. Das erzeugte WMaß auf $(\Rn, \mathscr{B}(\Omega))$ lässt mit den WMaß auf $(\Omega, \mathscr{\Omega})$ identifizieren.
+		\item Jede auf $\Omega \subset \Rn$ definiert Dichtefunktion $\rho$ lässt sich auf ganz $\Rn$ fortsetzen durch $\rho(x) = 0, x \not\in \Omega$. Das erzeugte Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Rn, \mathscr{B}(\Omega))$ lässt mit den Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathscr{\Omega})$ identifizieren.
-		\item Mittels Dirac-Maß $\delta_{x}$ können auch jedes diskrete WMaß auf $\Omega \subset \Rn$ als WMaß auf $\Rn, \mathscr{B}(\Rn)$ intepretieren
+		\item Mittels Dirac-Maß $\delta_{x}$ können auch jedes diskrete Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\Omega \subset \Rn$ als Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\Rn, \mathscr{B}(\Rn)$ intepretieren
 		\begin{align}
 			\probp(A) = \sum_{\omega \in A} \rho(\omega) = \int_{A} \diff \left( \sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega)\delta_{\omega} \right)\notag
 		\end{align}
-		stetige und diskrete WMaße lassen sich kombiniere z.B.
+		stetige und diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich kombiniere z.B.
 		\begin{align}
 			\probp(A) = \frac{1}{2} \delta_{0} + \frac{1}{2} \int_{A}\indi_{[0,1]}(x)\diff x, A \in \mathscr{B}(\R)\notag
 		\end{align}
-		ein WMaß auf $(\R, \mathscr{B}(\R))$.
+		ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\R, \mathscr{B}(\R))$.
 	\end{itemize}
 \end{*remark}
 
 Abschließend erinnern wir uns an:
 
-\begin{proposition}[Eindeutigkeitssatz für WMaße]
+\begin{proposition}[Eindeutigkeitssatz für Wahrscheinlichkeitsmaße]
 	\proplbl{1_9}
-	Sei $(\Omega, \mathscr{F})$ Ereignisraum und $\probp$ ein WMaß auf $(\Omega, \mathscr{F})$. 
+	Sei $(\Omega, \sigF)$ Ereignisraum und $\probp$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \sigF)$. 
-	Sei $\mathscr{F} = \omega(\mathscr{G})$ für ein $\cap$-stabiles Erzeugendensystem $\mathscr{G} \subset \mathscr{P}(\Omega)$. 
+	Sei $\sigF = \omega(\mathscr{G})$ für ein $\cap$-stabiles Erzeugendensystem $\mathscr{G} \subset \mathscr{P}(\Omega)$. 
 	Dann ist $\probp$ bereits durch seine Einschränkung $\probp_{\mid \mathscr{G}}$ eindeutig bestimmt.
 \end{proposition}
 
@@ -217,33 +216,33 @@ bereits die Exponentialverteilung aus \propref{1_1_7}.
 
 \begin{definition}[Gleichverteilung]
     \proplbl{1_10}
-	Ist $\Omega$ endlich, so heißt das WMaß mit konstanter Zähldichte $\rho(\omega) = \sfrac{1}{\abs{\Omega}}$ die \begriff{(diskrete) Gleichverteilung} auf $\Omega$ und wird mit $U(\Omega)$ notiert (U = Uniform).
+	Ist $\Omega$ endlich, so heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß mit konstanter Zähldichte $\rho(\omega) = \sfrac{1}{\abs{\Omega}}$ die \begriff{(diskrete) Gleichverteilung} auf $\Omega$ und wird mit $\Gleich(\Omega)$ notiert (U = Uniform).
-	Ist $\Omega \subset \Rn$ eine Borelmenge mit Lebesgue-Maß $0 < \lambda^n(\Omega) < \infty$ so heißt das WMaß auf $(\Omega, \borel(\Omega))$ mit konstanter Dichtefunktion $\rho(x) = \sfrac{1}{\lambda^n(x)}$ die \begriff{(stetige)  Gleichverteilung} auf $\Omega$. 
+	Ist $\Omega \subset \Rn$ eine Borelmenge mit Lebesgue-Maß $0 < \lambda^n(\Omega) < \infty$ so heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \borel(\Omega))$ mit konstanter Dichtefunktion $\rho(x) = \sfrac{1}{\lambda^n(x)}$ die \begriff{(stetige)  Gleichverteilung} auf $\Omega$. 
 	Sie wird ebenso mit $U(\Omega)$ notiert.
 \end{definition}
 
 \subsection*{WRäume}
 
 \begin{definition}[Wahrscheinlichkeitsraum]
-	Ein Tripel $(\Omega, \mathscr{F}, \probp)$ mit $\Omega, \mathscr{F}$ Ereignisraum und $\probp$ WMaß auf $(\Omega, \mathscr{F})$, nennen wir \\ \begriff{Wahrscheinlichkeitsraum}.
+	Ein Tripel $(\Omega, \sigF, \probp)$ mit $\Omega, \sigF$ Ereignisraum und $\probp$ Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \sigF)$, nennen wir \\ \begriff{Wahrscheinlichkeitsraum}.
 \end{definition}
 
 \section{Zufallsvariablen}
 
-Zufallsvariablen dienen dazu von einen gegebenen Ereignisraum $(\Omega, \mathscr{F})$ zu einem Modellausschnitt $\Omega', \mathscr{F}'$ überzugehen. 
+Zufallsvariablen dienen dazu von einen gegebenen Ereignisraum $(\Omega, \sigF)$ zu einem Modellausschnitt $\Omega', \sigF'$ überzugehen. 
 Es handelt sich also um Abbildungen $X: \Omega \to \Omega'$.
-Damit wir auch jedem Ereignis in $\mathscr{F}'$ eine Wheit zuordnen können, benötigen wir	
+Damit wir auch jedem Ereignis in $\sigF'$ eine Wheit zuordnen können, benötigen wir	
 \begin{align}
-	A' \in \mathscr{F}' \Rightarrow X' A' \in \mathscr{F} \notag		
+	A' \in \sigF' \Rightarrow X' A' \in \sigF \notag		
 \end{align}
 d.h. $X$ sollte messbar sein.
 
 \begin{definition}[Zufallsvariable]
-	Seien $(\Omega, \mathscr{F})$ und $(\Omega', \mathscr{F}')$ Ereignisräume. Dann heißt jede messbare Abbildung
+	Seien $(\Omega, \sigF)$ und $(\Omega', \sigF')$ Ereignisräume. Dann heißt jede messbare Abbildung
 	\begin{align}
 		X: \Omega \to \Omega'\notag
 	\end{align}
-	Zufallsvariable (von $(\Omega, \mathscr{F})$) nach $(\Omega', \sigF')$/ auf $(\Omega', \sigF')$ oder \begriff{Zufallselement}.
+	Zufallsvariable (von $(\Omega, \sigF)$) nach $(\Omega', \sigF')$/ auf $(\Omega', \sigF')$ oder \begriff{Zufallselement}.
 \end{definition}
 
 \begin{example}
@@ -258,7 +257,7 @@ d.h. $X$ sollte messbar sein.
 	\begin{align}
 		\probp'(A') := \probp\left(X^{-1}(A')\right) = \probp\left(\set{X \in A'}\right), A' \in \sigF'\notag
 	\end{align}
-	ein WMaß auf $(\Omega', \sigF')$ auf $(\Omega', \sigF')$, welches wir als \begriff{WVerteilung von X unter $\probp$} bezeichnet.
+	ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega', \sigF')$ auf $(\Omega', \sigF')$, welches wir als \begriff{Wahrscheinlichkeitsverteilung von X unter $\probp$} bezeichnet.
 \end{proposition}
 
 \begin{proof}
@@ -274,16 +273,16 @@ d.h. $X$ sollte messbar sein.
 	\end{align}
 	da auch $X^{-1}A_1', X^{-1}A_2', \dots$ paarweise disjunkt
 	\begin{align}
-		&= \sum_{i \ge 1} \probp'(A_i')\notag
+		&= \sum_{i \ge 1} \probp'(A_i').\notag
 	\end{align}
-	Also ist $\probp'$ ein WMaß. %TODO put in 1 align to have everything aligned?
+	Also ist $\probp'$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. %TODO put in 1 align to have everything aligned?
 \end{proof}
 
 \begin{*remark}
 	\begin{itemize}
 		\item Aus Gründen der Lesbarkeit schreiben wir in der Folge $\probp(X \in A) = \probp(\set{\omega \colon X(\omega) \in A})$
-		\item Ist $X$ die Identität, so fallen die Begriffe WMaß und WVerteilung zusammen.
+		\item Ist $X$ die Identität, so fallen die Begriffe Wahrscheinlichkeitsmaß und Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.
-		\item In der (weiterführenden) Literatur zu WTheorie wird oft auf die Angabe eines zugrundeliegenden WRaumes verzichtet und stattdessen eine ``Zufalsvariable mit Verteilung $\probp$ auf $\Omega$'' eingeführt.
+		\item In der (weiterführenden) Literatur zu Wahrscheinlichkeitstheorie wird oft auf die Angabe eines zugrundeliegenden WRaumes verzichtet und stattdessen eine ``Zufalsvariable mit Verteilung $\probp$ auf $\Omega$'' eingeführt.
 		Gemeint ist (fast) immer $X$ als Identität auf $(\Omega, \sigF, \probp)$ mit $\sigF = \pows(\Omega) / \borel(\Omega)$.
 		\item Für die Verteilung von $X$ unter $\probp$ schreibe $\probp_{X}$ und $X \sim \probp_{X}$ für die Tatsache, dass $X$ gemäß $\probp_{X}$ verteilt ist.
 	\end{itemize}
@@ -316,7 +315,7 @@ Da die halboffenen Intervalle $\borel(\R)$ erzeugen, ist die Verteilung eine ree
 	\proplbl{2_2_6}
 	Sei $(\R, \borel(\R),\probp)$ mit $\probp$ Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda > 0$
 	\begin{align}
-		\probp(A) = \int_{A \cap [0,\infty)}\lambda e^{-\lambda x} \diff x \quad A \in \borel(\R)\notag
+		\probp(A) = \int_{A \cap [0,\infty)}\lambda e^{-\lambda x} \diff x \quad A \in \borel(\R).\notag
 	\end{align}
 	Dann ist
 	\begin{align}
@@ -341,7 +340,7 @@ Da die halboffenen Intervalle $\borel(\R)$ erzeugen, ist die Verteilung eine ree
 	modelliert werden. Es folgt als Verteilungsfunktion
 	\begin{align}
 		F(x) &= \probp'(X \le x) = \probp(X^{-1}(-\infty,x]) = \probp((-\infty,x])\notag\\
-		&= \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} \indi_{i \le x}\notag
+		&= \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} \indi_{i \le x}.\notag
 	\end{align}
 \end{example}
 
@@ -354,13 +353,13 @@ Da die halboffenen Intervalle $\borel(\R)$ erzeugen, ist die Verteilung eine ree
 Allgemein:
 
 \begin{proposition}
-	Ist $\probp$ ein WMaß auf $(\R, \borel(\R))$ und $F$ die zugehörige Verteilungsfunktion, so gelten
+	Ist $\probp$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\R, \borel(\R))$ und $F$ die zugehörige Verteilungsfunktion, so gelten
 	\begin{enumerate}
 		\item $F$ ist monoton wachsend
 		\item $F$ ist rechtsseitig stetig
-		\item $\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0$, $\lim_{x\to \infty} F(x) = 1$
+		\item $\lim\limits_{x\to -\infty} F(x) = 0$, $\lim\limits_{x\to \infty} F(x) = 1$
 	\end{enumerate}
-	Umgekehrt existiert zu jeder Funktion $F: \R \to [0,1]$ mit Eigenschaften 1-3 eine reelle Zufallsvariable auf $((0,1), \borel((0,1)), \mathrm{U}((0,1))$ mit Verteilungsfunktion $F$.
+	Umgekehrt existiert zu jeder Funktion $F: \R \to [0,1]$ mit Eigenschaften 1-3 eine reelle Zufallsvariable auf $((0,1), \borel((0,1)), \Gleich((0,1))$ mit Verteilungsfunktion $F$.
 	%TODO refs for the enum above 
 \end{proposition}
 
@@ -404,13 +403,13 @@ Allgemein:
 	\end{align}
 	und zudem
 	\begin{align}
-		\set{X \le x} = (0, F(x)) \cap (0,1) \in \borel((0,1))\notag
+		\set{X \le x} = (0, F(x)) \cap (0,1) \in \borel((0,1)).\notag
 	\end{align}
 	Da diese halboffene Mengen ein Erzeugendensystem von $\borel(\R)$ bilden, folgt bereits die Messbarkeit von $X$, also ist $X$ eine ZV. Insbesondere hat die Menge $\set{X \le x}$ gerade \person{Lebesgue}-Maß $F(x)$ und damit hat $X$ die Verteilungsfunktion $F$.
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
-	Ist $\probp$ WMaß auf $(\R, \borel(\R))$ und $F$ die zugehörige Verteilungsfunktion. Dann besitzt $\probp$ genau eine Dichtefunktion $\rho$, wenn $F$ stetig differenzierbar ist, denn dann gelten
+	Ist $\probp$ Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\R, \borel(\R))$ und $F$ die zugehörige Verteilungsfunktion. Dann besitzt $\probp$ genau eine Dichtefunktion $\rho$, wenn $F$ stetig differenzierbar ist, denn dann gelten
 	\begin{align}
 		F(x) = \int_{-\infty}^{x} \rho(x) \diff x, \bzw \rho(x) = F'(x)\notag
 	\end{align}

4. Semester/STOCH/TeX_files/chap0.tex

@@ -1,9 +1,8 @@
 \chapter{Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit}
 
 \section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
-
 \begin{example}
-	Das Würfeln mit $2$ fairen, sechseitigen Würfeln können wir mit 
+	Das Würfeln mit zwei fairen, sechseitigen Würfeln können wir mit 
 	\begin{align}
 		\Omega = \set{(i,j,), i,j \in \set{1,\dots,6}}\notag
 	\end{align}
@@ -24,32 +23,36 @@
 	\begin{align}
 		B = \set{(i,j) \in \Omega, i = 4}\notag
 	\end{align}
-	eingetreten, so kann die Summe $8$ nur durch eine weitere $4$ realisiert werden, also mit Wahrscheinlichkeit
+	eingetreten, so kann die Summe 8 nur durch eine weitere 4 realisiert werden, also mit Wahrscheinlichkeit
 	\begin{align}
-		\frac{1}{6} = \frac{\abs{A \cap B}}{\abs{B}}\notag 
+		\frac{1}{6} = \frac{\abs{A \cap B}}{\abs{B}}.\notag 
 	\end{align}
-	Diese Eintreten von $B$ führt also dazu, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ durch ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_{B}$ ersetzt werden muss. Hierbei sollte gelten:
+	Das Eintreten von $B$ führt also dazu, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ durch ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_{B}$ ersetzt werden muss. Hierbei sollte gelten:
-	\begin{itemize}
+	\begin{enumerate} %TODO add references!
 		\item[(R)] Renormierung: $\probp_{B} = 1$ 
 		\item[(P)] Proportionalität: Für alle $A \subset \sigF$ mit $A \subseteq B$ gilt
 		\begin{align}
 			\probp_{B}(A) = c_B \probp(A)\notag
 		\end{align}
-		eine Konstante $c_B$.
+		mit einer Konstante $c_B$. 
-	\end{itemize}
+	\end{enumerate}
 \end{example}
 
 \begin{lemma}
-	Sei $(\Omega, \sigF, \probp)$ WRaum und $B \in \sigF$ mit $\probp(B) > 0$. Dann gibt es genau ein WMaß $\probp_B$ auf $(\Omega, \sigF)$ mit den Eigenschaften (R) und (P). Dieses ist gegeben durch
+	Sei $(\Omega, \sigF, \probp)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $B \in \sigF$ mit $\probp(B) > 0$. Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_B$ auf $(\Omega, \sigF)$ mit den Eigenschaften (R) und (P). Dieses ist gegeben durch
 	\begin{align}
 		\probp_{B}(A) = \frac{\probp(A\cap B)}{\probp(B)} \quad \forall A \in \sigF.\notag
 	\end{align}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-	Offenbar erfüllt $\probp_{B}$ wie definiert (R) und (P). Umgekehrt erfülle $\probp_{B}$ (R) und (P). Dann folgt für $A \in \sigF$:
+	Offenbar erfüllt $\probp_{B}$ wie definiert (R) und (P). Umgekehrt erfüllt $\probp_{B}$ (R) und (P). Dann folgt für $A \in \sigF$:
 	\begin{align}
-		\probp_{B}(A) = \probp_{B}(A\cap B) + \underbrace{\probp_{B}(A\setminus B)}_{0, \text{ wegen } (R)} \overset{(P)}{=}
+		\probp_{B}(A) = \probp_{B}(A\cap B) + \underbrace{\probp_{B}(A\setminus B)}_{= 0, \text{ wegen } (R)} \overset{(P)}{=} c_B \probp(A \cap B).\notag
 	\end{align}
-	%TODO finish the proof from eric.
+	Für $A=B$ folgt zudem aus (R)
+	\begin{align}
+		1 = \probp_{B}(B) = c_B \probp(B)\notag
+	\end{align}
+	also $c_B = \probp(B)^{-1}$.
 \end{proof}

4. Semester/STOCH/Vorlesung STOCH.tex

@@ -23,9 +23,12 @@
 \chapter*{Literatur}
 \input{./TeX_files/Lit}
 \input{./TeX_files/Einfuhrung}
+% Grundbegriffe der WTheorie
 \input{./TeX_files/Grundbegriffe_Wtheorie}
+% Erste Standardmodelle der Wahrscheinlichkeitstheorie
 \input{./TeX_files/Erste_Standardmodelle}
-\input{./TeX_files/chap}
+% Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit}
+\input{./TeX_files/Bedingte_Wheiten}
 
 \chapter{Test}