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4. Semester/STOCH/TeX_files/Bedingte_Wheiten.tex
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@ -0,0 +1,54 @@
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\chapter{Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit}
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\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
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\begin{example}
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Das Würfeln mit zwei fairen, sechseitigen Würfeln können wir mit
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\begin{align}
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\Omega = \set{(i,j,), i,j \in \set{1,\dots,6}}\notag
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\end{align}
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und $\probp = \Gleich(\Omega)$. Da $\abs{\Omega} = 36$ gilt also
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\begin{align}
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\probp(\set{\omega}) = \frac{1}{36} \quad \forall \omega \in \Omega.\notag
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\end{align}
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Betrachte das Ereignis
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\begin{align}
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A = \set{(i,j) \in \Omega : i + j = 8},\notag
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\end{align}
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dann folgt
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\begin{align}
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\probp(A) = \frac{5}{36}.\notag
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\end{align}
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Werden die beiden Würfel nach einander ausgeführt, so kann nach dem ersten Wurf eine Neubewertung der Wahrscheinlichkeit von $A$ erfolgen.\\
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Ist z.B.:
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\begin{align}
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B = \set{(i,j) \in \Omega, i = 4}\notag
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\end{align}
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eingetreten, so kann die Summe 8 nur durch eine weitere 4 realisiert werden, also mit Wahrscheinlichkeit
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\begin{align}
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\frac{1}{6} = \frac{\abs{A \cap B}}{\abs{B}}.\notag
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\end{align}
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Das Eintreten von $B$ führt also dazu, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ durch ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_{B}$ ersetzt werden muss. Hierbei sollte gelten:
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\begin{align} %TODO add references!
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&\text{Renormierung: }\probp_{B} = 1\label{Renorm}\tag{R}\\
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&\text{Proportionalität: Für alle} A \subset \sigF \mit A \subseteq B \text{ gilt }
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\probp_{B}(A) = c_B \probp(A) \text{ mit einer Konstante } c_B.\label{Prop}\tag{P}
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\end{align}
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\end{example}
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\begin{lemma}
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Sei $(\Omega, \sigF, \probp)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $B \in \sigF$ mit $\probp(B) > 0$. Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_B$ auf $(\Omega, \sigF)$ mit den Eigenschaften \eqref{Renorm} und \eqref{Prop}. Dieses ist gegeben durch
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\begin{align}
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\probp_{B}(A) = \frac{\probp(A\cap B)}{\probp(B)} \quad \forall A \in \sigF.\notag
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\end{align}
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\end{lemma}
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\begin{proof} %TODO surpress ``Gleichung'' here?!
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Offenbar erfüllt $\probp_{B}$ wie definiert \eqref{Renorm} und \eqref{Prop}. Umgekehrt erfüllt $\probp_{B}$ \eqref{Renorm} und \eqref{Prop}. Dann folgt für $A \in \sigF$:
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\begin{align}
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\probp_{B}(A) = \probp_{B}(A\cap B) + \underbrace{\probp_{B}(A\setminus B)}_{= 0, \text{ wegen } \eqref{Renorm}} \overset{\eqref{Prop}}{=} c_B \probp(A \cap B).\notag
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\end{align}
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Für $A=B$ folgt zudem aus \eqref{Renorm}
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\begin{align}
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1 = \probp_{B}(B) = c_B \probp(B)\notag
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\end{align}
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also $c_B = \probp(B)^{-1}$.
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\end{proof}
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@ -1,17 +1,17 @@
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\chapter*{Was ist Stochastik?}
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Altgriechisch Stochastikos ($\sigma \tau o \chi \alpha \sigma \tau \iota \kappa$\`{o}$ \zeta$) und bedeutet sinngemäß ``scharfsinning in Vermuten''.\\
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||||
Fragestellung insbesondere aus Glückspiel, Versicherungs-/Finanzmathematik, überall da wo Zufall/ Risiko / Chance auftauchen.\\
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||||
Altgriechisch Stochastikos ($\sigma \tau o \chi \alpha \sigma \tau \iota \kappa$\`{o}$ \zeta$) und bedeutet sinngemäß ``scharfsinnig in Vermuten''.\\
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||||
Fragestellung insbesondere aus Glücksspiel, Versicherungs-/Finanzmathematik, überall da wo Zufall/ Risiko / Chance auftauchen.\\
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Was ist Stochastik?
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\begin{itemize}
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\item Beschreibt zufällige Phänomene in einer exakten Spache!\\
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Beispiel: ``Beim Würfeln erscheint jedes sechste Mal (im Schnitt) eine 6.'' $\longrightarrow$ Gesetz der großen Zahlen ($\nearrow$ später) %TODO set ref
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\item Lässt sich mathematische Stochastik in zwei Teilgebiete unterteilen\\
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Wahrscheinlichkeitstheorie (W-Theorie) \& Statistik
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Wahrscheinlichkeitstheorie (Wahrscheinlichkeitstheorie) \& Statistik
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\begin{itemize}
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\item \textit{W-Theorie}: Beschreibt und untersucht konkret gegebene Zufallssituationen.
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\item \textit{Wahrscheinlichkeitstheorie}: Beschreibt und untersucht konkret gegebene Zufallssituationen.
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\item \textit{Statistik}: Zieht Schlussfolgerungen aus Beobachtungen.
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\end{itemize}
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||||
Statistik benötigt Modelle der W-Theorie und W-Theorie benötigt die Bestätigung der Modelle durch Statistik.
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Statistik benötigt Modelle der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wahrscheinlichkeitstheorie benötigt die Bestätigung der Modelle durch Statistik.
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\end{itemize}
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In diesem Semester konzentrieren wir uns nur auf die Wahrscheinlichkeitstheorie!
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@ -1,37 +1,27 @@
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\chapter{Erste Standardmodelle der WTheorie} %TODO maybe a chapter have to see
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\chapter{Erste Standardmodelle der Wahrscheinlichkeitstheorie}
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%\subsection{Diskrete Verteilungen}
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\section*{Diskrete Verteilungen}
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\section{Diskrete Gleichverteilungen}
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%TODO restructure! looks like this is just a new section in the chapter Grundbegriffe der WTheorie!
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%TODO restructure! looks like this is just a new section in the chapter Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie!
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% I think that should be a new chapter, but I am not sure what to do with the unnumbered heading "Diskrete Verteilungen", especially headings "Diskrete Gleichverteilungen" and "Urnenmodelle" should have numbers 2.1 and 2.2 (so should be sections)
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Erinnerung:
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\begin{*erinnerung}[\propref{1_10}]
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Ist $\Omega$ endlich, so heißt WMaß mit Zähldichte
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Ist $\Omega$ endlich, so heißt Wahrscheinlichkeitsmaß mit Zähldichte
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\begin{align}
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||||
\rho(\omega) = \frac{1}{\omega}\quad, \omega \in \Omega\notag
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\end{align}
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\begriff{(diskrete) Gleichverteilung} auf $\Omega \to U(\Omega)$
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\end{*erinnerung}
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%\begin{repetition}[\propref{1_10}]
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||||
% Ist $\Omega$ endlich, so heißt WMaß mit Zähldichte
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% \begin{align}
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% \rho(\omega) = \frac{1}{\omega}\quad, \omega \in \Omega\notag
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% \end{align}
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||||
% \begriff{(diskrete) Gleichverteilung} auf $\Omega \to U(\Omega)$.
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%\end{repetition}
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Es gilt das für jedes $A \in \pows(\Omega)$
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\begin{align}
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\probp\brackets{A} = \frac{\abs{A}}{\abs{\Omega}} \notag
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\end{align}
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Anwendungsbeispiele sind faires Würfeln, fairer Münzwurf, Zahlenlotto, ...
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\section{Urnenmodelle}
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Ein ``Urnenmodell'' ist eine abstrakte Darstellung von Zufallsexperimenten, bei denen zufällig Stichproben aus einer gegebenen Menge ``gezogen'' werden.
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@ -55,11 +45,11 @@ Ziehe: $n$ Stichproben/Kugeln, wobei nach jedem Zug die Kugel wieder zurückgele
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\begin{align}
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\Omega = E^n \und \sigF = \pows(\Omega) \notag
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\end{align}
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||||
Zur Bestimmung einer geeigneten WMaßes, nummerieren wir die Kugeln mit $1,\dots, N$, so dass alle Kugeln der Farbe $a \in E$ eine Nummer aus $F_{a} \subset \set{1,\dots, N}$ tragen. Würden wir die Nummern notieren, so wäre
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||||
Zur Bestimmung einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsmaßes, nummerieren wir die Kugeln mit $1,\dots, N$, so dass alle Kugeln der Farbe $a \in E$ eine Nummer aus $F_{a} \subset \set{1,\dots, N}$ tragen. Würden wir die Nummern notieren, so wäre
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\begin{align}
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\overline{\Omega} = \set{1,\dots, N}^n \und \overline{\sigF} = \pows(\overline{\Omega})\notag
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\end{align}
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und wir könnten die Gleichverteilung $\overline{\probp} = U(\overline{\Omega})$ als WMaß für einem einzelnen Zug verwenden. Für den Übergang zu $\Omega$ konstruieren wir Zufallsvariablen. Die Farbe im $i$-ten Zug wird beschrieben durch
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und wir könnten die Gleichverteilung $\overline{\probp} = \Gleich(\overline{\Omega})$ als Wahrscheinlichkeitsmaß für einem einzelnen Zug verwenden. Für den Übergang zu $\Omega$ konstruieren wir Zufallsvariablen. Die Farbe im $i$-ten Zug wird beschrieben durch
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\begin{align}
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X_i: \overline{\Omega} \to E \mit \overline{\omega} = \left( \overline{\omega}_1, \dots, \overline{\omega}_n \right) \mapsto a \text{ falls } \overline{\omega}_i \in F_a\notag
|
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\end{align}
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@ -92,15 +82,15 @@ Den Übergang $\Omega \to \hat{\Omega}$ beschreiben wir durch die Zufallsvariabl
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\end{align}
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und
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\begin{align}
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Y = \brackets{Y_a}_{a\in E}: \Omega \to \hat{\Omega} = \set{k = (k_a)_{a\in E}\colon \sum_{i \in E} = n}\notag
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||||
Y = \brackets{Y_a}_{a\in E}: \Omega \to \hat{\Omega} = \set{k = (k_a)_{a\in E}\colon \sum_{a \in E} k_a = n}\notag
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\end{align}
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% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 4th lecture % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
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Wir erhalten
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\begin{align}
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\probp_{Y = k} &= \probp(Y_a = k_a, \quad a \in E)\\
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&= \sum_{\omega \in \Omega:Y(\omega) = k} \prod_{i=1}^{n} \rho(w)\\
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||||
\probp_{Y = k} &= \probp(Y_a = k_a, \quad a \in E)\notag\\
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||||
&= \sum_{\omega \in \Omega:Y(\omega) = k} \prod_{i=1}^{n} \rho(w)\notag\\
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&= \sum_{\omega \in \Omega:Y(\omega) = k} \prod_{a \in E} \rho(\omega) = \begin{bmatrix}
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n \\
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(k)_{a\in E}
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@ -117,12 +107,13 @@ wobei
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der \begriff{Multinomialkoeffizient} welcher die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, $n$ Objekte in $l$ Gruppen aufzuteilen, so dass Gruppe $i$ gerade $k_i$ Objekte beinhaltet.
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\begin{definition}
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Sei $l > 2, p = (p_1, \dots, p_l)$ eine Zähldichte und $n \in \N$, dann heißt die Verteilung auf $\set{k = (k_i)_{i=1,\dots,l} \in \N_{0}^{l} : \sum_{i=1}^{l} k_i = n}$ mit Zähldichte
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Sei $l > 2, p = (p_1, \dots, p_l)$ eine Zähldichte und $n \in \N$, dann heißt die Verteilung auf \\
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$\set{k = (k_i)_{i=1,\dots,l} \in \N_{0}^{l} : \sum_{i=1}^{l} k_i = n}$ mit Zähldichte
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\begin{align}
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||||
m((k_1,\dots,k_l)) = \binom{n}{k_1, \dots, k_l}\prod_{i=1}^{l} p_i^{k_i}\notag
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% \end{bmatrix}
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||||
\end{align}
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||||
\begriff{Multinomialverteilung mit Parametern $n$ und $p$}. Wir schreiben auch $\Multi(n,p)$. %TODO add
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\begriff{Multinomialverteilung mit Parametern $n$ und $p$}. Wir schreiben auch $\Multi(n,p)$.
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\end{definition}
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\begin{example}
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@ -136,24 +127,24 @@ der \begriff{Multinomialkoeffizient} welcher die Anzahl der Möglichkeiten besch
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\begin{definition}
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Sei $p \in [0,1]$ un $n \in \N$, dann heißt die Verteilung mit Zähldichte
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\begin{align}
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\rho(k) = \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}\quad k \in \set{0,1,\dots,n}\notag
|
||||
\rho(k) = \binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k} \mit k \in \set{0,1,\dots,n}.\notag
|
||||
\end{align}
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||||
\begriff{Binomialverteilung auf $\set{0, \dots,n}$ mit Parameter $p$} (auch\begriff{Erfolgswahrscheinlichkeit}). Wir schreiben auch $\Bin(n,p)$. Im Fall $n = 1$ nennen wir die Verteilung mit Zähldichte
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||||
\begin{align}
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||||
\rho(0) = 1-p \qquad \rho(1) = p\notag
|
||||
\rho(0) = 1-p \und \rho(1) = p\notag
|
||||
\end{align}
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||||
auch \begriff{Bernoulliverteilung mit Parameter $p$} und schreiben $\Ber(p)$.
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||||
\end{definition}
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\underline{Urnenmodell ohne Zurücklegen}: \begriff{Hypergeometrische Verteilung}\\
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Gegeben: Urne mit $N$ Kugeln verschiedener Farben aus $E$,
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\begin{align}
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||||
\abs{E} \ge 2
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\abs{E} \ge 2.\notag
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||||
\end{align}
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||||
Es werden $n \le N$ Stichproben entnommen, wobei die gezogenen Kugeln werde \emph{nicht} in die Urne zurückgelegt.
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\begin{example}
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Eine Urne enthalte $S$ schwarze $1$ und $W$ weiße Kugeln $0$ Kugeln, $(E = \set{0,1}, S + W =N)$. Dann ist die Wahrscheinlichkeit in $n$ Zügen ohne Zurücklegen gerade $s$ schwarze und $w$ weiße Kugeln zu ziehen
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||||
Eine Urne enthalte $S$ schwarze ``$1$'' und $W$ weiße Kugeln ``$0$'' Kugeln, $(E = \set{0,1}, S + W =N)$. Dann ist die Wahrscheinlichkeit in $n$ Zügen ohne Zurücklegen gerade $s$ schwarze und $w$ weiße Kugeln zu ziehen
|
||||
\begin{align}
|
||||
\rho(w) = \frac{\binom{W}{w}\binom{S}{s}}{\binom{N}{n}}, 0 \le s \le S, 0 \le w \le W, s+w = n, S+W = N.\notag
|
||||
\rho(w) = \frac{\binom{W}{w}\binom{S}{s}}{\binom{N}{n}} \mit 0 \le s \le S,\; 0 \le w \le W,\; s+w = n,\; S+W = N.\notag
|
||||
\end{align}
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||||
\end{example}
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@ -164,7 +155,7 @@ Es werden $n \le N$ Stichproben entnommen, wobei die gezogenen Kugeln werde \emp
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\begin{definition}
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||||
Seinen $N \in \N, W \le N, n \in \N$, dann heißt die Verteilung auf $\set{0,\dots,n}$ mit Zähldichte
|
||||
\begin{align}
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||||
\rho(w) = \frac{\binom{wW}{w}\binom{N-W}{n-w}}{\binom{N}{n}}, w = \max\set{0,n=N+W}, \dots, \min\set{W,n},\notag
|
||||
\rho(w) = \frac{\binom{wW}{w}\binom{N-W}{n-w}}{\binom{N}{n}} \mit w = \max\set{0,n=N+W}, \dots, \min\set{W,n},\notag
|
||||
\end{align}
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||||
die \begriff{Hypergeometrische Verteilung} mit Parametern $N,W,n$. Wir schreiben $\Hyper(N,W,n)$.
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||||
\end{definition}
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||||
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@ -176,36 +167,36 @@ $\Bin(n,p)$ ist zwar explizit und elementar definiert, jedoch für große $n$ m
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|||
\begin{proposition}[Poisson-Approximation]
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||||
Sei $\lambda$ und $(p_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $[0,1]$ mit
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||||
\begin{align}
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||||
np_n \to \lambda \quad n \to \infty\notag
|
||||
np_n \to \lambda,\quad n \to \infty.\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
Dann gilt $\forall k \in \N$ für die Zähldichte der $\Bin(n,p_n)$-Verteilung
|
||||
\begin{align}
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||||
\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k}p_n^k(1-p)^{n-k} = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\notag
|
||||
\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k}p_n^k(1-p)^{n-k} = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}.\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{proposition}
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||||
\begin{proof}
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||||
Sei $k \in \N_{0}$ fix, dann
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||||
\begin{align}
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||||
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n^k}{k!}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\\
|
||||
&= \frac{n^k}{k!}\cdot 1 (1-\frac{1}{n}\cdots \frac{1}{\frac{k-1}{n}})\\
|
||||
\overset{n \to \infty}{~} \frac{n^k}{k!},
|
||||
\begin{align} %TODO fix alignment and now there are tags, but \notag is added?!
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||||
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} &= \frac{n^k}{k!}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\notag\\
|
||||
&= \frac{n^k}{k!}\cdot 1 (1-\frac{1}{n}\cdots \frac{1}{\frac{k-1}{n}})\notag\\
|
||||
&\overset{n \to \infty}{~} \frac{n^k}{k!},\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
wobei $a(l) \overset{n \to \infty}{\sim} b(l) \Leftrightarrow \frac{a(l)}{b(l)} \xRightarrow{n\to \infty} 1$. Damit
|
||||
\begin{align}
|
||||
\binom{n}{k}p_n^k (1-p)^{n-k} &\overset{\clap{$n \to \infty$}}{\sim} \frac{n^k}{k!}p_n^k(1-p_n)^{n-k}\\
|
||||
&\overset{n \to \infty}{\sim} \frac{\lambda^k}{k!}(1-p_n)^n\\
|
||||
&= \frac{\lambda^n}{k!}\brackets{1 - \frac{np_n}{n}}^n\\
|
||||
&\xRightarrow{n \to \infty} \frac{\lambda^n}{k!}e^{-\lambda}.
|
||||
wobei $a(l) \overset{n \to \infty}{\sim} b(l) \Leftrightarrow \frac{a(l)}{b(l)} \xrightarrow{n\to \infty} 1$. Damit
|
||||
\begin{align}%TODO fix alignment
|
||||
\binom{n}{k}p_n^k (1-p)^{n-k} &\overset{n \to \infty}{\sim} \frac{n^k}{k!}p_n^k(1-p_n)^{n-k}\notag\\
|
||||
&\overset{n \to \infty}{\sim} \frac{\lambda^k}{k!}(1-p_n)^n\notag\\
|
||||
&=\frac{\lambda^n}{k!}\brackets{1 - \frac{np_n}{n}}^n\notag\\
|
||||
&\xrightarrow{n \to \infty} \frac{\lambda^n}{k!}e^{-\lambda}.\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{proof}
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||||
Der erhaltene Grenzwert liefert die Zähldichte auf $\N_{0}$, denn
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||||
\begin{align}
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||||
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1
|
||||
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Sei $\lambda >0$. Dann heißt das auf $(\N_{0}, \probp(\N_{0}))$ definiert WMaß mit
|
||||
Sei $\lambda >0$. Dann heißt das auf $(\N_{0}, \probp(\N_{0}))$ definiert Wahrscheinlichkeitsmaß mit
|
||||
\begin{align}
|
||||
\probp(\set{k}) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad k \in \N_{0},
|
||||
\probp(\set{k}) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad k \in \N_{0},\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\begriff{Poissonverteilung mit Parameter $\lambda$}. Schreibe $\Pois(\lambda)$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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@ -31,13 +31,13 @@ Oft interessieren wir uns gar nicht für das konkrete Ergenis des Zufallsexperim
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$\longrightarrow$ Teilmenge des Ereignisraums, also Element der Potenzmenge $\mathscr{P}(\Omega)$, denen eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann, d.h. welche \begriff{messbar} (mb) sind.
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||||
|
||||
\begin{definition}[Ereignisraum, messbarer Raum]
|
||||
Sei $\Omega \neq \emptyset$ ein Ergebnisraum und $\mathscr{F}$ eine $\sigma$-Algebra auf $\Omega$, d.h. eine Familie von Teilmenge von $\Omega$, sodass
|
||||
Sei $\Omega \neq \emptyset$ ein Ergebnisraum und $\sigF$ eine $\sigma$-Algebra auf $\Omega$, d.h. eine Familie von Teilmenge von $\Omega$, sodass
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\Omega \in \mathscr{F}$
|
||||
\item $A \in \mathscr{F} \Rightarrow A^C \in \mathscr{F}$
|
||||
\item $A_1, A_2, \dots \in \mathscr{F} \Rightarrow \bigcup_{i \ge 1} \in \mathscr{F}$
|
||||
\item $\Omega \in \sigF$
|
||||
\item $A \in \sigF \Rightarrow A^C \in \sigF$
|
||||
\item $A_1, A_2, \dots \in \sigF \Rightarrow \bigcup_{i \ge 1} \in \sigF$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Dann heißt $(\Omega, \mathscr{F})$ \begriff{Ereignisraum} bzw. \begriff{messbarer Raum}.
|
||||
Dann heißt $(\Omega, \sigF)$ \begriff{Ereignisraum} bzw. \begriff{messbarer Raum}.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\subsection*{Wahrscheinlichkeiten}
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@ -45,37 +45,36 @@ $\longrightarrow$ Teilmenge des Ereignisraums, also Element der Potenzmenge $\ma
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Ordne Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zu mittels der Abbildung
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\begin{align}
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||||
\mathbb{P}: \mathscr{F} \to [0,1]\notag
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||||
\probp: \sigF \to [0,1]\notag
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||||
\end{align}
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sodass
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||||
\begin{align}
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||||
\text{Normierung } \mathbb{P}(\Omega) = 1 \tag{N}\label{eq_norm}\\
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||||
\sigma\text{-Additivität für paarweise disjunkte Ereignisse} \tag{A}\label{eq_additive}\\
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||||
A_1, A_2, \dots \in \mathscr{F} \Rightarrow \mathbb{P}(\bigcup_{i \ge 1} A_i) = \sum_{i \ge 1} \mathbb{P}(A_i)\notag
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||||
&\text{Normierung } \probp(\Omega) = 1 \label{eq_norm}\tag{N}\\
|
||||
&\sigma\text{-Additivität für paarweise disjunkte Ereignisse}
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||||
A_1, A_2, \dots \in \sigF \Rightarrow \probp(\bigcup_{i \ge 1} A_i) = \sum_{i \ge 1} \probp(A_i) \label{eq_additive}\tag{A}
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||||
\end{align}
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||||
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||||
\cref{eq_norm}, \cref{eq_additive} und die Nichtnegativität von $\mathbb{P}$ werden als \begriff{\person{Kolmogorov}sche Axiome} bezeichnet (nach Kolomogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, 1933)
|
||||
\eqref{eq_norm}, \eqref{eq_additive} und die Nichtnegativität von $\probp$ werden als \begriff{\person{Kolmogorov}sche Axiome} bezeichnet (nach Kolomogorov: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie, 1933)
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||||
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||||
\begin{definition}[Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsverteilung]
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||||
Sei $(\Omega, \mathscr{F})$ ein Ereignisraum und $\mathbb{P}: \mathscr{F} \to [0,1]$ eine Abbildung mit Eigenschaften \cref{eq_norm} und \cref{eq_additive}. Dann heißt $\mathbb{P}$ \begriff{Wahrscheinlichkeitsmaß} oder auch \begriff{Wahrscheinlichkeitsverteilung}.
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||||
Sei $(\Omega, \sigF)$ ein Ereignisraum und $\probp: \sigF \to [0,1]$ eine Abbildung mit Eigenschaften \eqref{eq_norm} und \eqref{eq_additive}. Dann heißt $\probp$ \begriff{Wahrscheinlichkeitsmaß} oder auch \begriff{Wahrscheinlichkeitsverteilung}.
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||||
\end{definition}
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||||
Aus der Definition folgen direkt:
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\begin{proposition}[Rechenregeln für W-Maße]
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\proplbl{1_4}
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||||
Sei $\mathbb{P}$ ein W-Maß, Ereignisse $(\Omega, \mathscr{F}), A, B, A_1, A_2, \dots \in \mathscr{F}$. Dann gelten:
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||||
Sei $\probp$ ein W-Maß, Ereignisse $(\Omega, \sigF), A, B, A_1, A_2, \dots \in \sigF$. Dann gelten:
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$
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||||
\item Monotonie: $A \subseteq B \Rightarrow \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)$
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||||
\item endliche $\sigma$-Additivität: $\mathbb{P}(A\cup B) + \mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ und insbesondere $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(A^C) = 1$
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||||
\item $\probp(\emptyset) = 0$
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||||
\item Monotonie: $A \subseteq B \Rightarrow \probp(A) \le \probp(B)$
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||||
\item endliche $\sigma$-Additivität: $\probp(A\cup B) + \probp(A\cap B) = \probp(A) + \probp(B)$ und insbesondere $\probp(A) + \probp(A^C) = 1$
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||||
\item $\sigma$-Subadditivität:
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||||
\begin{align}
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||||
\mathbb{P}\left(\bigcup_{i \ge 1} A_i\right) \le \sum_{i \ge 1} \mathbb{P}(A_i)\notag
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||||
\probp\left(\bigcup_{i \ge 1} A_i\right) \le \sum_{i \ge 1} \probp(A_i)\notag
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||||
\end{align}
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||||
\item $\sigma$-Stetigkeit: Wenn $A_n \uparrow A$ (d.h. $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots$ und $A = \bigcup_{i=1}^{\infty} (A_i)$) oder $A_n \downarrow A$, so gilt:
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||||
\begin{align}
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||||
\mathbb{P}(A_n) \longrightarrow \mathbb{P}(A), n \to \infty \notag
|
||||
\probp(A_n) \longrightarrow \probp(A), n \to \infty \notag
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||||
\end{align}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proposition}
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@ -94,13 +93,13 @@ Aus der Definition folgen direkt:
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\begin{align}
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||||
\probp(B) = \probp(A \uplus (B \setminus A)) = \probp(A) + \probp(B \setminus A) \ge \probp(A) \label{eq_1_1_4}\tag{*}
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||||
\end{align}
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||||
\item Zerlege $A \cup B$ geschickt, dann sieht man mit oben gezeigter Aussage und \cref{eq_1_1_4}
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||||
\item Zerlege $A \cup B$ geschickt, dann sieht man mit oben gezeigter Aussage und \eqref{eq_1_1_4}
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||||
\begin{align}
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||||
\probp(A \cup B) + \probp(A \cap B) &= \probp(A \uplus (B \setminus (A \cap B)) + \probp(A \cap B)\notag \\
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||||
&= \probp(A) + \probp(B \setminus (A \cap B)) + \probp(A \cap B)\notag\\
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||||
&= \probp(A)+\probp(B).\notag
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||||
\end{align}
|
||||
Im letzten Schritt wurde \cref{eq_1_1_4} verwendet.
|
||||
Im letzten Schritt wurde \eqref{eq_1_1_4} verwendet.
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||||
\item Folgt aus endlicher $\sigma$-Additivität, da $\probp\left(\bigcap_{i\ge 1} A_i \right) \ge 0$.
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||||
\item Definiere $F_1 := A_1, F_2 := A_2 \setminus A_1, \dots, F_{i+1} := A_{i+1}\setminus A_n$. Die $F_i$ Mengen sind paarweise disjunkt und damit folgt für $m \to \infty$
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||||
\begin{align}
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||||
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@ -114,51 +113,51 @@ Aus der Definition folgen direkt:
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\end{proof}
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||||
\begin{example}
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||||
Für ein beliebigen Ereignisraum $(\Omega, \mathscr{F})$ ($\Omega \neq \emptyset$) und eine beliebiges Element $\xi \in \Omega$ definiere
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||||
Für ein beliebigen Ereignisraum $(\Omega, \sigF)$ ($\Omega \neq \emptyset$) und eine beliebiges Element $\xi \in \Omega$ definiere
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||||
\begin{align}
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||||
\delta_{\xi}(A := \begin{cases}
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||||
1 & \xi \in A \\
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||||
0 & \text{ sonst}
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||||
\end{cases}\notag
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||||
\end{align}
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||||
eine (degeneriertes) W-Maß auf $(\Omega, \mathscr{F})$, welches wir als \begriff{\person{Dirac}-Maß} oder \begriff{\person{Dirac}-Verteilung} bezeichnen.
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||||
eine (degeneriertes) W-Maß auf $(\Omega, \sigF)$, welches wir als \begriff{\person{Dirac}-Maß} oder \begriff{\person{Dirac}-Verteilung} bezeichnen.
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||||
\end{example}
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||||
\begin{example}
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||||
Würfeln mit fairem, $6$-(gleich)seitigem Würfel mit Ergebnismenge $\Omega=\{1, \dots, 6\}$ und Ereignisraum $\mathscr{F} = \mathscr{P}(\Omega)$ setzen wir als Symmetriegründen
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||||
Würfeln mit fairem, $6$-(gleich)seitigem Würfel mit Ergebnismenge $\Omega=\{1, \dots, 6\}$ und Ereignisraum $\sigF = \mathscr{P}(\Omega)$ setzen wir als Symmetriegründen
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||||
\begin{align}
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||||
\mathbb{P}(A) = \frac{\# A}{6}.\notag
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||||
\probp(A) = \frac{\# A}{6}.\notag
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||||
\end{align}
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||||
(Wobei $\# A$ oder auch $\vert A \vert$ die Kardinalität von $A$ ist.) Das definiert ein W-Maß.
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\end{example}
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\begin{example}
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\proplbl{1_1_7}
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Wartezeit an der Bushaltestelle mit Ergebnisraum $\Omega = \real_{+}$ und Ereignisraum \person{Borel}sche $\sigma$-Algebra $\mathscr{B}(\real_{+}) = \mathscr{F}$. Eine mögliches W-Maß können wir dann durch
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Wartezeit an der Bushaltestelle mit Ergebnisraum $\Omega = \real_{+}$ und Ereignisraum \person{Borel}sche $\sigma$-Algebra $\mathscr{B}(\real_{+}) = \sigF$. Eine mögliches W-Maß können wir dann durch
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\begin{align}
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||||
\mathbb{P}(A) = \int_{A} \lambda e^{-\lambda x} \diff x\notag %TODO set a mathoperator for dx!!!
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\probp(A) = \int_{A} \lambda e^{-\lambda x} \diff x\notag %TODO set a mathoperator for dx!!!
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||||
\end{align}
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||||
für einen Parameter $\lambda > 0$ festlegen. (Offenbar gilt $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ und die $\sigma$-Additivität aufgrund der Additivität des Integrals.) Wir bezeichnen diese Maß als \begriff{Exponentialverteilung}. (Warum gerade dieses Maß für Wartezeiten gut geeignet ist $\nearrow$ später) %TODO add later a ref!!!
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für einen Parameter $\lambda > 0$ festlegen. (Offenbar gilt $\probp(\Omega) = 1$ und die $\sigma$-Additivität aufgrund der Additivität des Integrals.) Wir bezeichnen diese Maß als \begriff{Exponentialverteilung}. (Warum gerade dieses Maß für Wartezeiten gut geeignet ist $\nearrow$ später) %TODO add later a ref!!!
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\end{example}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2nd Lecture %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{proposition}[Konstruktion von WMaßen durch Dichten]
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\begin{proposition}[Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen durch Dichten]
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\proplbl{1_8}
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Sei $(\Omega, \mathscr{F})$ ein Eriegnisraum.
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||||
Sei $(\Omega, \sigF)$ ein Eriegnisraum.
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\begin{itemize}
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||||
\item $\Omega$ abzählbar, $\mathscr{F} = \mathscr{P}(\Omega)$: Sei $\rho = (\rho(\omega))_{\omega \in \Omega}$ eine Folge in $[0,1]$ in $\sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega) = 1$, dann definiert
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||||
\item $\Omega$ abzählbar, $\sigF = \mathscr{P}(\Omega)$: Sei $\rho = (\rho(\omega))_{\omega \in \Omega}$ eine Folge in $[0,1]$ in $\sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega) = 1$, dann definiert
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||||
\begin{align}
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||||
\probp(A) = \sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega), A \in \mathscr{F} \notag
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||||
\probp(A) = \sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega), A \in \sigF \notag
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||||
\end{align}
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||||
ein (diskretes) WMaß $\probp$ auf $(\Omega, \mathscr{F})$. $\rho$ wird als \begriff{Zähldichte} bezeichnet.
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||||
\item Umgekehrt definiert jedes WMaß $\probp$ auf $(\Omega, \mathscr{F})$ definiert Folge $\rho(\omega) = \probp(\set{\omega}), \omega \in \Omega$ eine Folge $\rho$ mit den obigen Eigenschaften.
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||||
\item $\Omega \subset \Rn, \mathscr{F} = \mathscr{B}(\Omega)$: Sei $\rho: \Omega \to [0, \infty)$ eine Funktion, sodass
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||||
ein (diskretes) Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ auf $(\Omega, \sigF)$. $\rho$ wird als \begriff{Zähldichte} bezeichnet.
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||||
\item Umgekehrt definiert jedes Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ auf $(\Omega, \sigF)$ definiert Folge $\rho(\omega) = \probp(\set{\omega}), \omega \in \Omega$ eine Folge $\rho$ mit den obigen Eigenschaften.
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||||
\item $\Omega \subset \Rn, \sigF = \mathscr{B}(\Omega)$: Sei $\rho: \Omega \to [0, \infty)$ eine Funktion, sodass
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\int_{\Omega} \rho(x)\diff x = 1$
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||||
\item $\set{x \in \Omega \colon f(x) \le c} \in \mathscr{B}(\Omega)$ für alle $c > 0$
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||||
\end{enumerate}
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||||
dann definiert $\rho$ ein WMaß $\probp$ auf $(\Omega, \mathscr{F})$ durch
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||||
dann definiert $\rho$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ auf $(\Omega, \sigF)$ durch
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||||
\begin{align}
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||||
\probp(A) = \int_{A} \rho(x) \diff x = \int_{A} \rho \diff \lambda, \quad A \in \mathscr{B}(\Omega).\notag
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||||
\end{align}
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||||
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@ -176,30 +175,30 @@ Aus der Definition folgen direkt:
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|||
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||||
\begin{*remark}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Die Eineindeutige Beziehung zwischen Dichte und WMaß überträgt sich nicht auf den stetigen Fall.
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||||
\item Die Eineindeutige Beziehung zwischen Dichte und Wahrscheinlichkeitsmaß überträgt sich nicht auf den stetigen Fall.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Nicht jedes WMaß auf $(\Omega, \mathscr{B}(\Omega)), \Omega \subset \Rn$ besitzt eine Dichte.
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||||
\item Zwei Dichtefunktionen definieren dasselbe WMaß, wenn sie sich nur auf einer Menge von Lebesgue-Maß $0$ unterscheiden.
|
||||
\item Nicht jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathscr{B}(\Omega)), \Omega \subset \Rn$ besitzt eine Dichte.
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||||
\item Zwei Dichtefunktionen definieren dasselbe Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie sich nur auf einer Menge von Lebesgue-Maß $0$ unterscheiden.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Jede auf $\Omega \subset \Rn$ definiert Dichtefunktion $\rho$ lässt sich auf ganz $\Rn$ fortsetzen durch $\rho(x) = 0, x \not\in \Omega$. Das erzeugte WMaß auf $(\Rn, \mathscr{B}(\Omega))$ lässt mit den WMaß auf $(\Omega, \mathscr{\Omega})$ identifizieren.
|
||||
\item Mittels Dirac-Maß $\delta_{x}$ können auch jedes diskrete WMaß auf $\Omega \subset \Rn$ als WMaß auf $\Rn, \mathscr{B}(\Rn)$ intepretieren
|
||||
\item Jede auf $\Omega \subset \Rn$ definiert Dichtefunktion $\rho$ lässt sich auf ganz $\Rn$ fortsetzen durch $\rho(x) = 0, x \not\in \Omega$. Das erzeugte Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Rn, \mathscr{B}(\Omega))$ lässt mit den Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathscr{\Omega})$ identifizieren.
|
||||
\item Mittels Dirac-Maß $\delta_{x}$ können auch jedes diskrete Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\Omega \subset \Rn$ als Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\Rn, \mathscr{B}(\Rn)$ intepretieren
|
||||
\begin{align}
|
||||
\probp(A) = \sum_{\omega \in A} \rho(\omega) = \int_{A} \diff \left( \sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega)\delta_{\omega} \right)\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
stetige und diskrete WMaße lassen sich kombiniere z.B.
|
||||
stetige und diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich kombiniere z.B.
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||||
\begin{align}
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||||
\probp(A) = \frac{1}{2} \delta_{0} + \frac{1}{2} \int_{A}\indi_{[0,1]}(x)\diff x, A \in \mathscr{B}(\R)\notag
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||||
\end{align}
|
||||
ein WMaß auf $(\R, \mathscr{B}(\R))$.
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||||
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\R, \mathscr{B}(\R))$.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{*remark}
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||||
Abschließend erinnern wir uns an:
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\begin{proposition}[Eindeutigkeitssatz für WMaße]
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||||
\begin{proposition}[Eindeutigkeitssatz für Wahrscheinlichkeitsmaße]
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||||
\proplbl{1_9}
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||||
Sei $(\Omega, \mathscr{F})$ Ereignisraum und $\probp$ ein WMaß auf $(\Omega, \mathscr{F})$.
|
||||
Sei $\mathscr{F} = \omega(\mathscr{G})$ für ein $\cap$-stabiles Erzeugendensystem $\mathscr{G} \subset \mathscr{P}(\Omega)$.
|
||||
Sei $(\Omega, \sigF)$ Ereignisraum und $\probp$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \sigF)$.
|
||||
Sei $\sigF = \omega(\mathscr{G})$ für ein $\cap$-stabiles Erzeugendensystem $\mathscr{G} \subset \mathscr{P}(\Omega)$.
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||||
Dann ist $\probp$ bereits durch seine Einschränkung $\probp_{\mid \mathscr{G}}$ eindeutig bestimmt.
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
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@ -217,33 +216,33 @@ bereits die Exponentialverteilung aus \propref{1_1_7}.
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||||
\begin{definition}[Gleichverteilung]
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||||
\proplbl{1_10}
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||||
Ist $\Omega$ endlich, so heißt das WMaß mit konstanter Zähldichte $\rho(\omega) = \sfrac{1}{\abs{\Omega}}$ die \begriff{(diskrete) Gleichverteilung} auf $\Omega$ und wird mit $U(\Omega)$ notiert (U = Uniform).
|
||||
Ist $\Omega \subset \Rn$ eine Borelmenge mit Lebesgue-Maß $0 < \lambda^n(\Omega) < \infty$ so heißt das WMaß auf $(\Omega, \borel(\Omega))$ mit konstanter Dichtefunktion $\rho(x) = \sfrac{1}{\lambda^n(x)}$ die \begriff{(stetige) Gleichverteilung} auf $\Omega$.
|
||||
Ist $\Omega$ endlich, so heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß mit konstanter Zähldichte $\rho(\omega) = \sfrac{1}{\abs{\Omega}}$ die \begriff{(diskrete) Gleichverteilung} auf $\Omega$ und wird mit $\Gleich(\Omega)$ notiert (U = Uniform).
|
||||
Ist $\Omega \subset \Rn$ eine Borelmenge mit Lebesgue-Maß $0 < \lambda^n(\Omega) < \infty$ so heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \borel(\Omega))$ mit konstanter Dichtefunktion $\rho(x) = \sfrac{1}{\lambda^n(x)}$ die \begriff{(stetige) Gleichverteilung} auf $\Omega$.
|
||||
Sie wird ebenso mit $U(\Omega)$ notiert.
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\subsection*{WRäume}
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||||
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||||
\begin{definition}[Wahrscheinlichkeitsraum]
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||||
Ein Tripel $(\Omega, \mathscr{F}, \probp)$ mit $\Omega, \mathscr{F}$ Ereignisraum und $\probp$ WMaß auf $(\Omega, \mathscr{F})$, nennen wir \\ \begriff{Wahrscheinlichkeitsraum}.
|
||||
Ein Tripel $(\Omega, \sigF, \probp)$ mit $\Omega, \sigF$ Ereignisraum und $\probp$ Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \sigF)$, nennen wir \\ \begriff{Wahrscheinlichkeitsraum}.
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\section{Zufallsvariablen}
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||||
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||||
Zufallsvariablen dienen dazu von einen gegebenen Ereignisraum $(\Omega, \mathscr{F})$ zu einem Modellausschnitt $\Omega', \mathscr{F}'$ überzugehen.
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||||
Zufallsvariablen dienen dazu von einen gegebenen Ereignisraum $(\Omega, \sigF)$ zu einem Modellausschnitt $\Omega', \sigF'$ überzugehen.
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||||
Es handelt sich also um Abbildungen $X: \Omega \to \Omega'$.
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||||
Damit wir auch jedem Ereignis in $\mathscr{F}'$ eine Wheit zuordnen können, benötigen wir
|
||||
Damit wir auch jedem Ereignis in $\sigF'$ eine Wheit zuordnen können, benötigen wir
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||||
\begin{align}
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||||
A' \in \mathscr{F}' \Rightarrow X' A' \in \mathscr{F} \notag
|
||||
A' \in \sigF' \Rightarrow X' A' \in \sigF \notag
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||||
\end{align}
|
||||
d.h. $X$ sollte messbar sein.
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||||
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||||
\begin{definition}[Zufallsvariable]
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||||
Seien $(\Omega, \mathscr{F})$ und $(\Omega', \mathscr{F}')$ Ereignisräume. Dann heißt jede messbare Abbildung
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||||
Seien $(\Omega, \sigF)$ und $(\Omega', \sigF')$ Ereignisräume. Dann heißt jede messbare Abbildung
|
||||
\begin{align}
|
||||
X: \Omega \to \Omega'\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
Zufallsvariable (von $(\Omega, \mathscr{F})$) nach $(\Omega', \sigF')$/ auf $(\Omega', \sigF')$ oder \begriff{Zufallselement}.
|
||||
Zufallsvariable (von $(\Omega, \sigF)$) nach $(\Omega', \sigF')$/ auf $(\Omega', \sigF')$ oder \begriff{Zufallselement}.
|
||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
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@ -258,7 +257,7 @@ d.h. $X$ sollte messbar sein.
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|||
\begin{align}
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||||
\probp'(A') := \probp\left(X^{-1}(A')\right) = \probp\left(\set{X \in A'}\right), A' \in \sigF'\notag
|
||||
\end{align}
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||||
ein WMaß auf $(\Omega', \sigF')$ auf $(\Omega', \sigF')$, welches wir als \begriff{WVerteilung von X unter $\probp$} bezeichnet.
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||||
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega', \sigF')$ auf $(\Omega', \sigF')$, welches wir als \begriff{Wahrscheinlichkeitsverteilung von X unter $\probp$} bezeichnet.
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
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@ -274,16 +273,16 @@ d.h. $X$ sollte messbar sein.
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|||
\end{align}
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||||
da auch $X^{-1}A_1', X^{-1}A_2', \dots$ paarweise disjunkt
|
||||
\begin{align}
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||||
&= \sum_{i \ge 1} \probp'(A_i')\notag
|
||||
&= \sum_{i \ge 1} \probp'(A_i').\notag
|
||||
\end{align}
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||||
Also ist $\probp'$ ein WMaß. %TODO put in 1 align to have everything aligned?
|
||||
Also ist $\probp'$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. %TODO put in 1 align to have everything aligned?
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{*remark}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Aus Gründen der Lesbarkeit schreiben wir in der Folge $\probp(X \in A) = \probp(\set{\omega \colon X(\omega) \in A})$
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||||
\item Ist $X$ die Identität, so fallen die Begriffe WMaß und WVerteilung zusammen.
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||||
\item In der (weiterführenden) Literatur zu WTheorie wird oft auf die Angabe eines zugrundeliegenden WRaumes verzichtet und stattdessen eine ``Zufalsvariable mit Verteilung $\probp$ auf $\Omega$'' eingeführt.
|
||||
\item Ist $X$ die Identität, so fallen die Begriffe Wahrscheinlichkeitsmaß und Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.
|
||||
\item In der (weiterführenden) Literatur zu Wahrscheinlichkeitstheorie wird oft auf die Angabe eines zugrundeliegenden WRaumes verzichtet und stattdessen eine ``Zufalsvariable mit Verteilung $\probp$ auf $\Omega$'' eingeführt.
|
||||
Gemeint ist (fast) immer $X$ als Identität auf $(\Omega, \sigF, \probp)$ mit $\sigF = \pows(\Omega) / \borel(\Omega)$.
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||||
\item Für die Verteilung von $X$ unter $\probp$ schreibe $\probp_{X}$ und $X \sim \probp_{X}$ für die Tatsache, dass $X$ gemäß $\probp_{X}$ verteilt ist.
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||||
\end{itemize}
|
||||
|
|
@ -316,7 +315,7 @@ Da die halboffenen Intervalle $\borel(\R)$ erzeugen, ist die Verteilung eine ree
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|||
\proplbl{2_2_6}
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||||
Sei $(\R, \borel(\R),\probp)$ mit $\probp$ Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda > 0$
|
||||
\begin{align}
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||||
\probp(A) = \int_{A \cap [0,\infty)}\lambda e^{-\lambda x} \diff x \quad A \in \borel(\R)\notag
|
||||
\probp(A) = \int_{A \cap [0,\infty)}\lambda e^{-\lambda x} \diff x \quad A \in \borel(\R).\notag
|
||||
\end{align}
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||||
Dann ist
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||||
\begin{align}
|
||||
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@ -341,7 +340,7 @@ Da die halboffenen Intervalle $\borel(\R)$ erzeugen, ist die Verteilung eine ree
|
|||
modelliert werden. Es folgt als Verteilungsfunktion
|
||||
\begin{align}
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||||
F(x) &= \probp'(X \le x) = \probp(X^{-1}(-\infty,x]) = \probp((-\infty,x])\notag\\
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||||
&= \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} \indi_{i \le x}\notag
|
||||
&= \frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6} \indi_{i \le x}.\notag
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\end{align}
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\end{example}
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@ -354,13 +353,13 @@ Da die halboffenen Intervalle $\borel(\R)$ erzeugen, ist die Verteilung eine ree
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Allgemein:
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\begin{proposition}
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Ist $\probp$ ein WMaß auf $(\R, \borel(\R))$ und $F$ die zugehörige Verteilungsfunktion, so gelten
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Ist $\probp$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\R, \borel(\R))$ und $F$ die zugehörige Verteilungsfunktion, so gelten
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\begin{enumerate}
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\item $F$ ist monoton wachsend
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\item $F$ ist rechtsseitig stetig
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\item $\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0$, $\lim_{x\to \infty} F(x) = 1$
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\item $\lim\limits_{x\to -\infty} F(x) = 0$, $\lim\limits_{x\to \infty} F(x) = 1$
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\end{enumerate}
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Umgekehrt existiert zu jeder Funktion $F: \R \to [0,1]$ mit Eigenschaften 1-3 eine reelle Zufallsvariable auf $((0,1), \borel((0,1)), \mathrm{U}((0,1))$ mit Verteilungsfunktion $F$.
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||||
Umgekehrt existiert zu jeder Funktion $F: \R \to [0,1]$ mit Eigenschaften 1-3 eine reelle Zufallsvariable auf $((0,1), \borel((0,1)), \Gleich((0,1))$ mit Verteilungsfunktion $F$.
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%TODO refs for the enum above
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\end{proposition}
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@ -404,13 +403,13 @@ Allgemein:
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\end{align}
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und zudem
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\begin{align}
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\set{X \le x} = (0, F(x)) \cap (0,1) \in \borel((0,1))\notag
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\set{X \le x} = (0, F(x)) \cap (0,1) \in \borel((0,1)).\notag
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\end{align}
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Da diese halboffene Mengen ein Erzeugendensystem von $\borel(\R)$ bilden, folgt bereits die Messbarkeit von $X$, also ist $X$ eine ZV. Insbesondere hat die Menge $\set{X \le x}$ gerade \person{Lebesgue}-Maß $F(x)$ und damit hat $X$ die Verteilungsfunktion $F$.
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\end{proof}
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\begin{conclusion}
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Ist $\probp$ WMaß auf $(\R, \borel(\R))$ und $F$ die zugehörige Verteilungsfunktion. Dann besitzt $\probp$ genau eine Dichtefunktion $\rho$, wenn $F$ stetig differenzierbar ist, denn dann gelten
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Ist $\probp$ Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\R, \borel(\R))$ und $F$ die zugehörige Verteilungsfunktion. Dann besitzt $\probp$ genau eine Dichtefunktion $\rho$, wenn $F$ stetig differenzierbar ist, denn dann gelten
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\begin{align}
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F(x) = \int_{-\infty}^{x} \rho(x) \diff x, \bzw \rho(x) = F'(x)\notag
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\end{align}
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@ -1,9 +1,8 @@
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\chapter{Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit}
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\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
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\begin{example}
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Das Würfeln mit $2$ fairen, sechseitigen Würfeln können wir mit
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Das Würfeln mit zwei fairen, sechseitigen Würfeln können wir mit
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\begin{align}
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\Omega = \set{(i,j,), i,j \in \set{1,\dots,6}}\notag
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\end{align}
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@ -24,32 +23,36 @@
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\begin{align}
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B = \set{(i,j) \in \Omega, i = 4}\notag
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\end{align}
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eingetreten, so kann die Summe $8$ nur durch eine weitere $4$ realisiert werden, also mit Wahrscheinlichkeit
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eingetreten, so kann die Summe 8 nur durch eine weitere 4 realisiert werden, also mit Wahrscheinlichkeit
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\begin{align}
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\frac{1}{6} = \frac{\abs{A \cap B}}{\abs{B}}\notag
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\frac{1}{6} = \frac{\abs{A \cap B}}{\abs{B}}.\notag
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\end{align}
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Diese Eintreten von $B$ führt also dazu, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ durch ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_{B}$ ersetzt werden muss. Hierbei sollte gelten:
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\begin{itemize}
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\item[(R)] Renormierung: $\probp_{B} = 1$
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Das Eintreten von $B$ führt also dazu, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ durch ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_{B}$ ersetzt werden muss. Hierbei sollte gelten:
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\begin{enumerate} %TODO add references!
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\item[(R)] Renormierung: $\probp_{B} = 1$
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\item[(P)] Proportionalität: Für alle $A \subset \sigF$ mit $A \subseteq B$ gilt
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\begin{align}
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\probp_{B}(A) = c_B \probp(A)\notag
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\end{align}
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eine Konstante $c_B$.
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\end{itemize}
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mit einer Konstante $c_B$.
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\end{enumerate}
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\end{example}
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\begin{lemma}
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Sei $(\Omega, \sigF, \probp)$ WRaum und $B \in \sigF$ mit $\probp(B) > 0$. Dann gibt es genau ein WMaß $\probp_B$ auf $(\Omega, \sigF)$ mit den Eigenschaften (R) und (P). Dieses ist gegeben durch
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Sei $(\Omega, \sigF, \probp)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $B \in \sigF$ mit $\probp(B) > 0$. Dann gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp_B$ auf $(\Omega, \sigF)$ mit den Eigenschaften (R) und (P). Dieses ist gegeben durch
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\begin{align}
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\probp_{B}(A) = \frac{\probp(A\cap B)}{\probp(B)} \quad \forall A \in \sigF.\notag
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\end{align}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Offenbar erfüllt $\probp_{B}$ wie definiert (R) und (P). Umgekehrt erfülle $\probp_{B}$ (R) und (P). Dann folgt für $A \in \sigF$:
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Offenbar erfüllt $\probp_{B}$ wie definiert (R) und (P). Umgekehrt erfüllt $\probp_{B}$ (R) und (P). Dann folgt für $A \in \sigF$:
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\begin{align}
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\probp_{B}(A) = \probp_{B}(A\cap B) + \underbrace{\probp_{B}(A\setminus B)}_{0, \text{ wegen } (R)} \overset{(P)}{=}
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\probp_{B}(A) = \probp_{B}(A\cap B) + \underbrace{\probp_{B}(A\setminus B)}_{= 0, \text{ wegen } (R)} \overset{(P)}{=} c_B \probp(A \cap B).\notag
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\end{align}
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%TODO finish the proof from eric.
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Für $A=B$ folgt zudem aus (R)
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\begin{align}
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1 = \probp_{B}(B) = c_B \probp(B)\notag
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\end{align}
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also $c_B = \probp(B)^{-1}$.
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\end{proof}
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@ -23,9 +23,12 @@
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\chapter*{Literatur}
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\input{./TeX_files/Lit}
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\input{./TeX_files/Einfuhrung}
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% Grundbegriffe der WTheorie
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\input{./TeX_files/Grundbegriffe_Wtheorie}
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% Erste Standardmodelle der Wahrscheinlichkeitstheorie
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\input{./TeX_files/Erste_Standardmodelle}
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\input{./TeX_files/chap}
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% Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit}
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\input{./TeX_files/Bedingte_Wheiten}
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\chapter{Test}
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