hiro/TUD_MATH_BA
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Summary ANAG/Anag1_Summary.tex
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%\tableofcontents
\chapter{Grundlagen der Mathematik}
\section{Grundbegriffe aus Logik und Mengenlehre}
\begin{definition}[Aussage]
\begriff{Aussage} ist ein Schverhalt, dem man entweder den Warheitswert wahr ($w$) oder falsch ($f$) zuordnen kann (und nichts anderes).
\begriff{Aussage} ist ein Sachverhalt, dem man entweder den Warheitswert wahr ($w$) oder falsch ($f$) zuordnen kann (und nichts anderes).
\end{definition}
\addtocounter{theorem}{1}
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\item $\bigcup_{M\in\mathcal{M}} M := \{x \mid \exists M\in\mathcal{M}: x\in M\}$
\item $\bigcap_{M\in\mathcal{M}} M:= \{ x\mid\forall M\in\mathcal{M}: x\in M \}$
\end{itemize}
\item \begriff{Potenzmenge}: \mathsymbol{p}{$\mathcal{P}$}$(XM):=\{\tilde{M} | \tilde{M}\in M\}$
\item \begriff{Potenzmenge}: \mathsymbol{p}{$\mathcal{P}$}$(M):=\{\tilde{M} \mid \tilde{M}\subset M\}$
\item \begriff{\person{de Morgan}'sche Regeln} (für $\mathcal{N}\subset\mathcal{P}(M)$)
\begin{itemize}
\item $\left(\bigcup_{N\in\mathcal{N}} N\right)^C = \bigcap_{N\in\mathcal{N}} N^C$
\item $\left(\bigcap_{N\in\mathcal{N}} N\right)^C = \bigcup_{N\in\mathcal{N}} N^C$
\end{itemize}
\item \begriff{kartesisches Produkt} $M$\mathsymbol{x}{$\times$}$N:=\{(m,n) | m\in M \text{ und } n\in N\}$
\item \begriff{kartesisches Produkt} $M$\mathsymbol{x}{$\times$}$N:=\{(m,n) \mid m\in M \text{ und } n\in N\}$
\item $(m_1, \dotsc, m_n)$ ist \begriff{n-Tupel}
\item \begriff{Auswahlaxiom} (AC / axiom of choice)
@ -1477,7 +1478,7 @@ Menge $M\subset X$ heißt \begriff{folgenkompakt}, falls jede Folge $\{x_n\}$ au
\begin{definition}
$M\subset X, X$ normierter Raum heißt \begriff{konvex}, falls $x,y\in M \,\Rightarrow \,tx+(1-t)y \in M\,\forall t\in(0,1)$
$f:D\subset X\to \mathbb{R}$ heißt \begriff[konvex!]{strikt}\begriff{konvex}, falls $f(tx + (1-t)y) \underset{(<)}{\le} t f(x) + (1-t)f(y)\.\forall x,y\in D, t\in(0,1)$
$f:D\subset X\to \mathbb{R}$ heißt \begriff[konvex!]{strikt}\begriff{konvex}, falls $f(tx + (1-t)y) \underset{(<)}{\le} t f(x) + (1-t)f(y)\,\forall x,y\in D, t\in(0,1)$
$f$ heißt \begriff{konkav} (bzw. \begriff[konkav!]{strikt}), falls $-f$ (strikt) konvex.
\end{definition}