NUME bis Kapitel 6.1

3. Semester/NUME/TeX_files/Ecken_und_ihre_Charakterisierung.tex

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-\section{Ecken und ihre Charakterisierung}
+\section{Ecken und ihre Charakterisierung}
+
+\begin{definition}[konvex, konvexes Polyeder]
+	Eine Menge $G\subseteq\real^n$ heißt \begriff{konvex}, wenn
+	\begin{align}
+		\lambda x + (1-\lambda)y\in G
+	\end{align}
+	für beliebige $x,y,\lambda\in G\times G\times (0,1)$ gilt. Gilt mit gewissen $d\in\real^p$ und $C\in\real^{p\times n}$, dass
+	\begin{align}
+		G=\{x\in\real^n\mid Cx\le d\}\notag
+	\end{align}
+	so heißt $G$ \begriff{konvexes Polyeder}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Ecke]
+	Seien $G\subseteq\real^n$ und $z\in G$ gegeben. Dann heißt $z$ \begriff{Ecke} von $G$, wenn 
+	\begin{align}
+		\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y = z\Rightarrow x=y=z\notag
+	\end{align}
+	für alle $x,y\in G$ gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Basislösung]
+	Sei $\rang(A)=m$. Ein Vektor $\overline{x}$ mit $A\overline{x}=b$ heißt \begriff{Basislösung} von $G_P$, wenn es Indexmengen $B,N\subseteq I=\{1,...,n\}$ gibt so dass
+	\begin{itemize}
+		\item $B\cup N=I$, $B\cap N=\emptyset$ und $\vert B\vert =m$
+		\item $A_B$ regulär und
+		\item $\overline{x}_N=0$
+	\end{itemize}
+	Eine Basislösung $\overline{x}$ heißt \begriff[Basislösung!]{zulässig}, wenn weiterhin $\overline{x}\ge 0$ gilt.
+	
+	Eine zulässige Basislösung $\overline{x}$ wird \begriff[Basislösung!]{nicht entartet} genannt, wenn $\overline{x}_B>0$ (das heißt $\overline{x}_i>0$ für $i\in B$). Andernfalls, wenn ein $j\in B$ existiert mit $\overline{x}_j=0$, so heißt $\overline{x}$ \begriff[Basislösung!]{entartet}. Die zu $i\in B$ bzw. $i\in N$ gehörenden Variablen $x_i$ werden \begriff{Basisvariable} bzw. \begriff{Nichtbasisvariable} zur Basislösung $\overline{x}$ genannt.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Sei $\rang(A)=m$. Dann ist jede zulässige Basislösung von $G_P$ eine Ecke von $G_P$ und umgekehrt.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Sei $\overline{x}$ eine zulässige Basislösung von $G_P$. Falls $\overline{x}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y$ für $x,y\in G_P$ gilt, so folgt wegen $x,y\ge 0$ und $\overline{x}_N=0$, dass
+	\begin{align}
+		\label{6.3}
+		x_N=y_N=\overline{x}_N=0
+	\end{align}
+	Damit und wegen $\overline{x}\in G_P$ sowie der Regularität von $A_B$ erhält man weiter
+	\begin{align}
+		\label{6.4}
+		\begin{split}
+			b &= A\overline{x} = A_B\overline{x}_B + A_N\overline{x}_N = A_B\overline{x}_N \\
+			\overline{x}_B &= A^{-1}_Bb
+		\end{split}
+	\end{align}
+	Analog folgt $x_B=y_B=A^{-1}_Bb$. Also ist $\overline{x}_B=x_B=y_B$. Daher und wegen \cref{6.3} muss $\overline{x}$ Ecke von $G_P$ sein. \\
+	Sei nun $\overline{x}$ Ecke von $G_P$ und $\mathcal{P}=\{i\in I\mid \overline{x}_i>0\}$. Angenommen die Spalten der Matrix $A_\mathcal{P}$ sind linear abhängig. Dann gibt es einen Vektor $w\in\real^n\backslash\{0\}$ mit $w_{I\setminus\mathcal{P}}=0$ und $Aw=0$. Für
+	\begin{align}
+		x(t) = \overline{x} + tw\notag
+	\end{align}
+	folgt $Ax(t)=A\overline{x} + tAw=b$. Wegen $\overline{x}_\mathcal{P}>0$ ergibt sich $x_\mathcal{P}(t)\ge 0$ und damit $x(t)\ge 0$ für alle $t$ mit $\vert t\vert$ hinreichend klein. Also gibt es ein $\overline{t}>0$, so dass $x(-\overline{t}),x(\overline{t})\in G_P$. Da $x(-\overline{t})\neq x(\overline{t})$ und $\frac{1}{2}x(-\overline{t}) + \frac{1}{2}x(\overline{t})=\overline{x}$ widerspricht dies der Voraussetzung, dass $\overline{x}$ Ecke von $G_P$ ist. Folglich ist die Annahme falsch, das heißt die Spalten von $A_\mathcal{P}$ sind linear unabhängig. Falls $\vert \mathcal{P}\vert=m$, setzen wir $B=\mathcal{P}$. Andernfalls kann wegen $\rang(A)=m$ die Menge $\mathcal{P}$ durch Hinzunahme von Indizes aus $I\setminus \mathcal{P}$ so zu $B$ ergänzt werden, dass die Spalten der Matrix $A_B$ linear unabhängig sind. Mit $N=I\setminus B$ sieht man, dass $\overline{x}$ alle Eigenschaften einer zulässigen Basislösung besitzt.
+\end{proof}

3. Semester/NUME/TeX_files/lineare_Optimierung_Vorspann.tex

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+Seien $c\in\real^n$, $c_0\in\real$, $b\in\real^m$ und $A\in\real^{m\times n}$ gegeben sowie
+\begin{align}
+	G_P = \{x\in\real^n\mid Ax=b,x\ge 0\}\notag
+\end{align}
+Die Aufgabe einen Vektor $x^\ast\in G_P$ zu finden, der
+\begin{align}
+	\label{6.1}
+	c^Tx^\ast \le c^Tx\quad\forall x\in G_P
+\end{align} 
+genügt, wird als \begriff{lineare Optmierungsaufgabe} in \begriff[lineare Optimierungsaufgabe!]{Standardform} bezeichnet. Kurz schreibt man dafür
+\begin{align}
+	\label{6.2}
+	c^Tx+c_0\to\min\quad\text{bei } Ax=b, x\ge 0
+\end{align}
+Jeder Vektor $x^\ast\in G_P$ mit der Eigenschaft \cref{6.1} heißt \begriff[lineare Optimierungsaufgabe!]{optimal} oder \begriff[lineare Optimierungsaufgabe!]{Lösung} der Aufgabe \cref{6.2}. Weiter bezeichnet man $G_P$ als \begriff{zulässigen Bereich} und die durch 
+\begin{align}
+	f(x) = c^Tx+c_0\notag
+\end{align}
+definierte Funktion $f:\real^n\to\real$ als \begriff{Zielfunktion}. Allgemein kann man eine lineare Optimierungsaufgabe auch weitere Ungleichheitsnebenbedingungen (etwa $Cx\le d$) enthalten, nicht alle Variablen müssen vorzeichenbeschränkt sein, auch kann es sein, dass die Zielfunktion nicht minimiert sondern maximiert werden soll. Jede solche Aufgabe kann durch geeignete Umformungen bzw. zusätzliche Variablen in eine Aufgabe in Standardform überführt werden.
+
+\setcounter{theorem}{0}
+\begin{example}
+	Aus 3 Heizgasen soll durch Mischen ein Gas gewonnen werden, so dass das Mischgas möglichst preiswert ist und sein Heizwert zwischen 1.7 Mcal/m$^3$ und 2 Mcal/m$^3$ sowie einen Schwefelgehalt von höchstens 2.8 g/m$^3$ besitzt. Dabei gelte
+	\begin{center}
+		\begin{tabular}{p{2.5cm}|p{2.5cm}|p{2.5cm}|p{2.5cm}}
+			Gas & Heizwert in Mcal/m$^3$ & Schwefelgehalt in g/m$^3$ & Preis in EUR/m$^3$ \\
+			\hline
+			1 & 1 & 6 & 10 \\
+			2 & 2 & 2 & 25 \\
+			3 & 1.5 & 3 & 20\\
+		\end{tabular}
+	\end{center}
+	\begin{itemize}
+		\item Variablen: $x_i$ Anteil des Gases $i$ an 1 m$^3$ Mischgas
+		\item Zu minimierende Zielfunktion: $f(x)=10x_1+25x_2+20x_3$
+		\item Nebenbedingung Heizwert: $1.7\le x_1+2x_2+1.5x_3\le 2$
+		\item Nebenbedingung Schwefelgehalt: $6x_1+2x_2+3x_3\le 2.8$
+		\item Nebenbedingung Anteil zu einem m$^3$: $x_1+x_2+x_3=1$ und $x_1,x_2,x_3\ge 0$
+	\end{itemize}
+	Zur graphischen Lösung kann man $x_3=1-x_1-x_2$ eliminieren. Dies ergibt $-10x_1+5_x2+20\to\min$, bei
+	\begin{align}
+		x_1-x_2+0.4 &\le 0 \notag \\
+		-x_1+x_2-1 &\le 0 \notag \\
+		3x_1-x_2+0.2 &\le 0 \notag \\
+		x_1+x_2-1 &\le 0\notag \\
+		x_1,x_2 &\ge 0 \notag
+	\end{align}
+	Aus der graphischen Darstellung des zulässigen Bereiches und Parallelverschieben der Niveaulinie der Zielfunktion
+	\begin{align}
+		-2x_1+x_2 =c \notag
+	\end{align}
+	erhält man das minimale $c$, bei dem die Niveaulinie und der zulässige Bereich noch den gemeinsamen Punkt $(x_1^\ast,x_2^\ast)=(0.1,0.5)$ haben und $c=0.3$. Zur Überführung der Optimierungsaufgabe in Standardform fügt man nicht-negative Schlupfvariablen $y_1,...,y_4$ hinzu:
+	\begin{align}
+		x_1-x_2+y_1+0.4 &= 0 \notag \\
+		-x_1+x_2+y_2-1 &= 0 \notag \\
+		3x_1-x_2+y_3+0.2 &= 0\notag \\
+		x_1+x_2+y_4-1 &= 0\notag \\
+		x_1,x_2 &\ge 0\notag \\
+		y_1,y_2,y_3,y_4 &\ge 0 \notag
+	\end{align}
+	Eine andere gegebenenfalls erforderliche Umformung, um aus einer gegebenen linearen Optimierungsaufgabe deren Standardform zu erhalten, betrifft die Substitution von nicht vorzeichenbeschränkten Variablen, so kann $w\in\real$ etwa durch
+	\begin{align}
+		w = u-v\quad\text{mit}\quad u,v\ge 0\notag
+	\end{align}
+	ersetzt werden.
+\end{example}

3. Semester/NUME/Vorlesung NUME.tex

@@ -49,7 +49,8 @@
 \include{./TeX_files/gedaempftes_Newton-Verfahren}
 
 \chapter{lineare Optimierung}
-\input{./TeX_files/Ecken_und_ihre_Charakterisierung}
+\input{./TeX_files/lineare_Optimierung_Vorspann}
+\include{./TeX_files/Ecken_und_ihre_Charakterisierung}
 \include{./TeX_files/Simplex-Verfahren}
 \include{./TeX_files/Die_Tableauform_des_Simplex-Verfahrens}
 \include{./TeX_files/revidiertes_Simplex-Verfahren}