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Henry Haustein
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commit
ee08eaae00
34 changed files with 9092 additions and 1686 deletions
17
.gitattributes
vendored
Normal file
17
.gitattributes
vendored
Normal file
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@ -0,0 +1,17 @@
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# Auto detect text files and perform LF normalization
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* text=auto
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# Custom for Visual Studio
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*.cs diff=csharp
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# Standard to msysgit
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*.doc diff=astextplain
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*.DOC diff=astextplain
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*.docx diff=astextplain
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*.DOCX diff=astextplain
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*.dot diff=astextplain
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*.DOT diff=astextplain
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*.pdf diff=astextplain
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*.PDF diff=astextplain
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*.rtf diff=astextplain
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*.RTF diff=astextplain
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167
.gitignore
vendored
Normal file
167
.gitignore
vendored
Normal file
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@ -0,0 +1,167 @@
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## Core latex/pdflatex auxiliary files:
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*.aux
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*.lof
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*.log
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*.lot
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*.fls
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*.out
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*.toc
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*.fmt
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||||
*.fot
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*.cb
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*.cb2
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## Intermediate documents:
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*.dvi
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*-converted-to.*
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# these rules might exclude image files for figures etc.
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# *.ps
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# *.eps
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# *.pdf
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## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:"
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.pdf
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## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber):
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*.bbl
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*.bcf
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*.blg
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*-blx.aux
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*-blx.bib
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*.brf
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*.run.xml
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## Build tool auxiliary files:
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*.fdb_latexmk
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*.synctex
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*.synctex(busy)
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*.synctex.gz
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*.synctex.gz(busy)
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*.pdfsync
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## Auxiliary and intermediate files from other packages:
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# algorithms
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*.alg
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*.loa
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# achemso
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acs-*.bib
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# amsthm
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*.thm
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# beamer
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*.nav
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||||
*.snm
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||||
*.vrb
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# cprotect
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*.cpt
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# fixme
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*.lox
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# feynmf/feynmp
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*.mf
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||||
*.mp
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||||
*.t[1-9]
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||||
*.t[1-9][0-9]
|
||||
*.tfm
|
||||
*.[1-9]
|
||||
*.[1-9][0-9]
|
||||
#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar
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*.end
|
||||
*.?end
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||||
*.[1-9]
|
||||
*.[1-9][0-9]
|
||||
*.[1-9][0-9][0-9]
|
||||
*.[1-9]R
|
||||
*.[1-9][0-9]R
|
||||
*.[1-9][0-9][0-9]R
|
||||
*.eledsec[1-9]
|
||||
*.eledsec[1-9]R
|
||||
*.eledsec[1-9][0-9]
|
||||
*.eledsec[1-9][0-9]R
|
||||
*.eledsec[1-9][0-9][0-9]
|
||||
*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R
|
||||
# glossaries
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*.acn
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||||
*.acr
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||||
*.glg
|
||||
*.glo
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||||
*.gls
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*.glsdefs
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# gnuplottex
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*-gnuplottex-*
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# gregoriotex
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*.gaux
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*.gtex
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# hyperref
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*.brf
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# knitr
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||||
*-concordance.tex
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# TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files
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*.tikz
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*-tikzDictionary
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# listings
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*.lol
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# makeidx
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*.idx
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||||
*.ilg
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*.ind
|
||||
*.ist
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# minitoc
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*.maf
|
||||
*.mlf
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||||
*.mlt
|
||||
*.mtc[0-9]*
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||||
# minted
|
||||
_minted*
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||||
*.pyg
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# morewrites
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||||
*.mw
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# mylatexformat
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||||
*.fmt
|
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# nomencl
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||||
*.nlo
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# sagetex
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||||
*.sagetex.sage
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||||
*.sagetex.py
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*.sagetex.scmd
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# scrwfile
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||||
*.wrt
|
||||
# sympy
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||||
*.sout
|
||||
*.sympy
|
||||
sympy-plots-for-*.tex/
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||||
# pdfcomment
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||||
*.upa
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||||
*.upb
|
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# pythontex
|
||||
*.pytxcode
|
||||
pythontex-files-*/
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# thmtools
|
||||
*.loe
|
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# TikZ & PGF
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||||
*.dpth
|
||||
*.md5
|
||||
*.auxlock
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# todonotes
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*.tdo
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# easy-todo
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||||
*.lod
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# xindy
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*.xdy
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# xypic precompiled matrices
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*.xyc
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# endfloat
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*.ttt
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||||
*.fff
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# Latexian
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||||
TSWLatexianTemp*
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## Editors:
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# WinEdt
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*.bak
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||||
*.sav
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# Texpad
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||||
.texpadtmp
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# Kile
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||||
*.backup
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# KBibTeX
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*~[0-9]*
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# auto folder when using emacs and auctex
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/auto/*
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*.aux
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*.thm
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*.gz
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||||
*.toc
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Vorlesung LAAG.tex
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47
1. Semester/ANAG/README.md
Normal file
47
1. Semester/ANAG/README.md
Normal file
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@ -0,0 +1,47 @@
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# TUD_MATH_BA
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Skript zur Vorlesung ANAG.
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Wer mithelfen möchte, dieses Script zu vervollständigen, bitte melden.
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### Fortschritt Analysis
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1. Grundlagen der Mathematik ... fertig
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1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik ... fertig
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1.2 Aufbau einer mathematischen Theorie ... fertig
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1.3 Relationen und Funktionen ... fertig
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1.4 Bemerkungen zum Fundament der Mathematik ... fertig
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2. Zahlenbereiche ... wird bearbeitet
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2.1 natürliche Zahlen ... fertig
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2.2 ganze und rationale Zahlen ... fertig
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2.3 reelle Zahlen ... wird bearbeitet
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2.4 komplexe Zahlen ... fertig
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3. Metrische Räume und Konvergenz ... wird bearbeitet
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3.1 grundlegende Ungleichungen ... fertig
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3.2 Metrische Räume ... fertig
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3.3 Konvergenz ... wird bearbeitet
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3.4 Vollständigkeit ... noch nicht bearbeitet
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3.5 Kompaktheit ... noch nicht berbeitet
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3.6 Reihen ... noch nicht bearbeitet
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4. Funktionen und Stetigkeit ... noch nicht bearbeitet
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4.1 Funktionen ... noch nicht bearbeitet
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### Kapitel befinden sich im TeX folder, diese sind eingebunden via Vorlesung_ANAG.tex!!!
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@ -0,0 +1,178 @@
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\part{Grundlagen der Mathematik}
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||||
Mathematik besitzt eine Sonderrolle unter den Wissenschaften, da
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\begin{compactitem}
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||||
\item Resultate nicht empirisch gezeigt werden müssen
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||||
\item Resultate nicht durch Experimente widerlegt werden können
|
||||
\end{compactitem}
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||||
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||||
\paragraph{Literatur}
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\begin{compactitem}
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||||
\item Forster: Analysis 1 + 2, Vieweg
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||||
\item Königsberger: Analysis 1 + 2, Springer
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||||
\item Hildebrandt: Analysis 1 + 2, Springer
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||||
\item Walter: Analysis 1 + 2, Springer
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||||
\item Escher/Amann: Analysis 1 + 2, Birkhäuser
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||||
\item Ebbinghaus: Einfühung in die Mengenlehre, BI-Wissenschaftsverlag
|
||||
\item Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner 1996
|
||||
\item Springer-Taschenbuch der Mathematik, Springer 2012
|
||||
\end{compactitem}
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||||
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||||
\chapter{Grundbegriffe aus Mengelehre und Logik}
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||||
\textbf{Mengenlehre:} Universalität von Aussagen \\
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||||
\textbf{Logik:} Regeln des Folgerns, wahre/falsche Aussagen
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||||
\begin{mydef}[Definition Aussage]
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||||
Sachverhalt, dem man entweder den Wahrheitswert "wahr" oder "falsch" zuordnen kann, aber nichts anders.
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||||
\end{mydef}
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||||
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||||
\begin{exmp}
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||||
\item 5 ist eine Quadratzahl $\to$ falsch (Aussage)
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||||
\item Die Elbe fließt durch Dresden $\to$ wahr (Aussage)
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||||
\item Mathematik ist rot $\to$ ??? (keine Aussage)
|
||||
\end{exmp}
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||||
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||||
\begin{mydef}[Menge]
|
||||
Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.\\ (\textsc{Cantor}, 1877)
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
\item $M_1 :=$ Menge aller Städte in Deutschland
|
||||
\item $M_2 := \{1;2;3\}$
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||||
\end{exmp}
|
||||
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||||
Für ein Objekt $m$ und eine Menge $M$ gilt stets $m \in M$ oder $m \notin M$ \\
|
||||
Für die Mengen $M$ und $N$ gilt $M=N$, falls dieselben Elemente enthalten sind
|
||||
$\{1;2;3\} = \{3;2;1\} = \{1;2;2;3\}$ \\
|
||||
- $N \subseteq M$, falls $n \in M$ für jedes $n \in N$ \\
|
||||
- $N \subset M$, falls zusätzlich $M \neq N$ \\
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Aussageform]
|
||||
Sachverhalt mit Variablen, der durch geeignete Ersetzung der Variablen zur Aussage wird.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $A(X) := $ Die Elbe fließt durch X
|
||||
\item $B(X;Y;Z) := X + Y = Z$
|
||||
\item aber $A(Dresden) ,B(2;3;4)$ sind Aussagen, $A(Mathematik)$ ist keine Aussage
|
||||
\item $A(X)$ ist eine Aussage f\"u jedes $X \in M_1$ $\to$ Generalisierung von Aussagen durch Mengen
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
\section*{Bildung und Verknüpfung von Aussagen}
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$A$ & $B$ & $\lnot A$ & $A \land B$ & $A \lor B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
|
||||
\hline
|
||||
w & w & f & w & w & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
w & f & f & f & w & f & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & w & w & f & w & w & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & f & w & f & f & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\lnot$(3 ist gerade) $\to$ w
|
||||
\item (4 ist gerade) $\land$ (4 ist Primzahl) $\to$ f
|
||||
\item (3 ist gerade) $\lor$ (3 ist Primzahl) $\to$ w
|
||||
\item (3 ist gerade) $\Rightarrow$ (Mond ist Würfel) $\to$ w
|
||||
\item (Die Sonne ist heiß) $\Rightarrow$ (es gibt Primzahlen) $\to$ w
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\noindent Auschließendes oder: (entweder $A$ oder $B$) wird realisiert durch $\lnot(A \iff B)$.\\
|
||||
Aussageform $A(X)$ sei f\"ur jedes $X \in M$ Aussage: neue Aussage mittels Quantoren
|
||||
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\forall$: "für alle"
|
||||
\item $\exists$: "es existiert"
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
$\forall n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ f\\
|
||||
$\exists n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ w
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Tautologie bzw. Kontraduktion/Widerspruch]
|
||||
Zusammengesetzte Aussage, die unabhängig vom Wahrheitsgehalt der Teilaussagen stest wahr bzw. falsch ist.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Tautologie (immer wahr):
|
||||
$(A) \lor (\lnot A), \lnot (A \land (\lnot A)), (A \land B) \Rightarrow A$
|
||||
\item Widerspruch (immer falsch): $A \land (\lnot A), A \iff \lnot A$
|
||||
\item besondere Tautologie: $(A \Rightarrow B) \iff (\lnot B \Rightarrow \lnot A)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Morgansche Regeln]
|
||||
Folgende Aussagen sind Tautologien:
|
||||
\begin{itemize}{ }
|
||||
\item $\lnot(A \land B) \iff \lnot A \lor \lnot B$
|
||||
\item $\lnot(A \lor B) \iff \lnot A \land \lnot B$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\section*{Bildung von Mengen}
|
||||
Seien $M$ und $N$ Mengen
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Aufzählung der Elemente: $\{1;2;3\}$
|
||||
\item mittels Eigenschaften: $\{X \in M \mid A(X)\}$
|
||||
\item $\emptyset:=$ Menge, die keine Elemente enthält
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item leere Menge ist immer Teilmenge jeder Menge $M$
|
||||
\item \textbf{Warnung:} $\{\emptyset\} \neq \emptyset$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\item Verknüpfung von Mengen wie bei Aussagen
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Mengensystem]
|
||||
Ein Mengensystem $\mathcal M$ ist eine Menge, bestehend aus anderen Mengen.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\bigcup M := \{X \mid \exists M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Vereinigung aller Mengen in
|
||||
$\mathcal M$)
|
||||
\item $\bigcap M := \{X \mid \forall M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Durchschnitt aller Mengen in
|
||||
$\mathcal M$)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Potenzmenge]
|
||||
Die Potenzmenge $\mathcal P$ enth\"alt alle Teilmengen einer Menge $M$. \\
|
||||
$\mathcal P(X) := \{\tilde M \mid \tilde M \subset M\}$
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
Beispiel:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $M_3 := \{1;3;5\}$ \\
|
||||
$\to \mathcal P(M_3) = \{\emptyset, \{1\}, \{3\}, \{5\}, \{1;3\}, \{1;5\}, \{3;5\}, \{1;3;5\}\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz (de Morgansche Regeln f\"ur Mengen):}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(\mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N^C$
|
||||
\item $(\mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N^C$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Kartesisches Produkt]
|
||||
$M \times N := \{m,n \mid m \in M \land n \in N\}$ \\
|
||||
$(m,n)$ hei{\ss}t geordnetes Paar (Reihenfolge wichtig!) \\
|
||||
allgemeiner: $M_1 \times ... \times M_k := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$ \\
|
||||
$M^k := M \times ... \times M := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Auswahlaxiom]
|
||||
Sei $\mathcal M$ ein Mengensystem nichtleerer paarweise disjunkter Mengen $M$.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Es existiert eine Auswahlmenge $\tilde M$, die mit jedem $M \in \mathcal M$ genau 1 Element gemeinsam hat.
|
||||
\item beachte: Die Auswahl ist nicht konstruktiv!
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,227 @@
|
|||
\chapter{Aufbau einer mathematischen Theorie}
|
||||
Axiome $\to$ Beweise $\to$ Sätze ("neue" wahre Aussagen) \\
|
||||
$\to$ ergibt Ansammlung (Menge) wahrer Aussagen
|
||||
|
||||
\paragraph*{Formulierung mathematischer Aussagen}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item typische Form eines mathematischen Satzes: "Wenn A gilt, dann gilt auch B."
|
||||
\item formal: $A \Rightarrow B$ bzw. $A(X) \Rightarrow B(X)$ ist stets wahr (insbesondere falls
|
||||
A wahr ist)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
Beispiel
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $X \in \mathbb N$ und ist durch 4 teilbar $\Rightarrow X$ ist durch 2 teilbar
|
||||
\item beachte: Implikation auch wahr, falls $X = 5$ oder $X =6$, dieser Fall ist aber
|
||||
uninteressant
|
||||
\item genauer meint man sogar $A \land C \Rightarrow B$, wobei $C$ aus allen bekannten wahren
|
||||
Aussagen besteht
|
||||
\item man sagt: $B$ ist \textbf{notwendig} f\"ur $A$, da $A$ nur wahr sein kann, wenn $B$
|
||||
wahr ist
|
||||
\item man sagt: $A$ ist \textbf{hinreichend} f\"ur $B$, da $B$ stets wahr ist, wenn $A$ wahr ist
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\paragraph{Mathematische Beweise}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item \textbf{direkter Beweis:} finde Zwischenaussagen $A_1,...,A_k$, sodass f\"ur $A$ auch wahr: \\
|
||||
$(A \Rightarrow A_1) \land (A_1 \Rightarrow A_2) \land ... \land (A_k \Rightarrow B)$
|
||||
\item Beispiel: Zeige $x > 2 \Rightarrow x^2-3x+2>0$ \\
|
||||
$(x>2) \Rightarrow (x-2>0) \land (x-1>0) \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \Rightarrow x^2-3x+2>0$
|
||||
\item \textbf{indirekter Beweis:} auf Grundlage der Tautologie $(A \Rightarrow B) \iff
|
||||
(\lnot B \Rightarrow \lnot A)$ f\"uhrt man direkten Beweis $\lnot B \Rightarrow \lnot A$ (das
|
||||
hei{\ss}t angenommen $B$ falsch, dann auch $A$ falsch)
|
||||
\item praktisch formuliert man das auch so: $(A \land \lnot B) \Rightarrow ... \Rightarrow (A
|
||||
\land \lnot A)$
|
||||
\item Beispiel: Zeige $x^2-3x+2 \le 0$ sei wahr \\
|
||||
$\lnot B \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \le 0 \Rightarrow 1 \le x \le 2 \Rightarrow x \le 2
|
||||
\Rightarrow \lnot A$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\section{Relationen und Funktionen}
|
||||
\begin{mydef}[Relation]
|
||||
Seien $M$ und $N$ Mengen. Dann ist jede Teilmenge $R$ von
|
||||
$M \times N$ eine Relation. \\
|
||||
$(x,y) \in R$ hei{\ss}t: $x$ und $y$ stehen in Relation zueinander
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
$M$ ist die Menge aller Menschen. Die Liebesbeziehung $x$ liebt $y$ sieht als geordnetes Paar
|
||||
geschrieben so aus: $(x,y)$. Das hei{\ss}t die Menge der Liebespaare ist das: $L := \{(x,y) \mid
|
||||
x \; liebt \; y\}$. Und es gilt: $L \subset M \times M$.
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
Die Relation $R \subset M \times N$ hei{\ss}t \textbf{Ordnungsrelation} (kurz. Ordnung) auf M, falls f\"ur alle $a,b,c \in M$ gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (antisymetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\item z.B. $R = \{(X,Y) \in \mathcal P(Y) \times \mathcal P(Y) \mid X \subset Y\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Eine Ordnungsrelation hei{\ss}t \textbf{Totalordnung}, wenn zus\"atzlich gilt: $(a,b) \in R \lor
|
||||
(b,a) \in R$ \\
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Beispiel \\
|
||||
Seien $m$, $n$ und $o$ natürliche Zahlen, dann ist $R = \{(m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}
|
||||
\mid x \le y\}$ eine Totalordnung, da
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \le m$ (reflexiv)
|
||||
\item $(m \le n \land n \le m) \Rightarrow m=n$ (antisymetrisch)
|
||||
\item $(m \le n \land n \le o) \Rightarrow m \le o$ (transitiv)
|
||||
\item $m \le n \lor n \le m$ (total)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Eine Relation auf $M$ heißt \textbf{Äquivalenzrelation}, wenn für alle $a,b,c \in M$ gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (symetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Obwohl Ordnungs- und Äquivalenzrelation die gleichen Eigenschaften haben, haben sie
|
||||
unterschiedliche Zwecke: Ordnungsrelationen ordnen Elemente in einer Menge (z.B. das Zeichen $\le$
|
||||
ordnet die Menge der natürlichen Zahlen), während Äquivalenzrelationen eine Menge in disjunkte
|
||||
Teilmengen (Äquivalenzklassen) ohne Rest aufteilen. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Wenn $R$ eine Ordnung auf M ist, so wird häufig geschrieben: \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} $a \le b$ bzw. $a \ge b$ falls $(a,b) \in \mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} $a < b$ bzw. $a > b$ falls zus\"atzlich $a \neq b$ \\
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Abbildung/Funktion]
|
||||
Eine Funktion $F$ von $M$ nach $N$
|
||||
(kurz: $F: M \to N$), ist eine Vorschrift, die jedem Argument/Urbild $m \in M$ genau einen
|
||||
Wert/Bild $F(m) \in N$ zuordnet. \\
|
||||
$D(F) := M$ heißt Definitionsbereich/Urbildmenge \\
|
||||
\noindent\hspace*{15mm} $N$ heißt Zielbild \\
|
||||
$F(M') := \{n \in N \mid n=F(m)$ f\"ur ein $m \in M' \}$ ist Bild von $M' \subset M$ \\
|
||||
$F^{-1}(N') := \{m \in M \mid n=F(m)$ für ein $N' \}$ ist Urbild von $N' \subset N$ \\
|
||||
$R(F) := F(M)$ heißt Wertebereich/Bildmenge \\
|
||||
$graph(F) := \{(m,n) \in M \times N \mid n=F(m)\}$ heißt Graph von $F$ \\
|
||||
$F_{\mid M'}$ ist Einschränkung von $F$ auf $M' \subset M$
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
Unterschied Zielmenge und Wertebereich: $f(x) = \sin(x):$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Zielmenge: $\mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Wertebereich: $[-1;1]$ \\
|
||||
|
||||
Funktionen $F$ und $G$ sind gleich, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $D(F) = D(G)$
|
||||
\item $F(m) = G(m) \quad \forall m \in D(F)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\noindent Manchmal wird auch die vereinfachende Schreibweise benutzt:
|
||||
\begin{itemize}[label={-}]
|
||||
\item $F: M \to N$, obwohl $D(F) \subsetneq M$ (z.B. $\tan: \mathbb R \to \mathbb R$, Probleme
|
||||
bei $\frac{\pi}{2}$)
|
||||
\item gelegentlich spricht man auch von "Funktion $F(m)$" statt Funktion $F$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Komposition/Verknüpfung]
|
||||
Die Funktionen $F: M \to N$ und $G: N \to P$
|
||||
sind verknüpft, wenn \\
|
||||
$F \circ G: M \to P$ mit $(F \circ G)(m) := G(F(m))$
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Funktionen:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item injektiv: Zuordnung ist eineindeutig $\to F(m_1) = F(m_2) \Rightarrow m_1=m_2$
|
||||
\item Beispiel: $x^2$ ist nicht injektiv, da $F(2)=F(-2)=4$
|
||||
\item surjektiv: $F(M) = N \quad \forall n \in N \; \exists m \in M: F(m)=n$
|
||||
\item Beispiel: $\sin(x)$ ist nicht surjektiv, da es kein $x$ für $y=27$ gibt
|
||||
\item bijektiv: injektiv und surjektiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
Für bijektive Abbildung $F: M \mapsto N$ ist Umkehrabbildung/inverse Abbildung $F^{-1}: N \mapsto M$
|
||||
definiert durch: $F^{-1}(n) = m \iff F(m)=n$ \\
|
||||
Hinweis: Die Notation $F^{-1}(N')$ f\"ur Urbild bedeutet nicht, dass die inverse Abbildung $F^{-1}$
|
||||
existiert.
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $F: M \to N$ surjektiv. Dann existiert die Abbildung $G: N \to M$,
|
||||
sodass $F \circ G = id_N$ (d.h. $F(G(n))=n \quad \forall n \in N$)
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Rechenoperation/Verknüpfung]
|
||||
Eine Rechenoperation auf einer Menge $M$ ist
|
||||
die Abbildung $*: M \times M \to M$ d.h. $(m,n) \in M$ wird das Ergbnis $m*n \in M$ zugeordnet.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item hat neutrales Element $e \in M: m*e=m$
|
||||
\item ist kommutativ $m*n=n*m$
|
||||
\item ist assotiativ $k*(m*n)=(k*m)*n$
|
||||
\item hat ein inverses Element $m' \in M$ zu $m \in M: m*m'=e$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$e$ ist stets eindeutig, $m'$ ist eindeutig, wenn die Operation $*$ assoziativ ist. \\
|
||||
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Addition $+$: $(m,n) \mapsto m+n$ Summe, neutrales Element heißt Nullelement, inverses
|
||||
Element $-m$
|
||||
\item Multiplikation $\cdot$: $(m,n) \mapsto m \cdot n$ Produkt, neutrales Element Eins, inverses
|
||||
Element $m^{-1}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Addition und Multiplikation sind distributiv, falls $k(m+n) = k \cdot m + k \cdot n$
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Körper]
|
||||
Eine Menge $M$ ist ein Körper $K$, wenn man auf $K$ eine Addition
|
||||
und eine Multiplikation mit folgenden Eigenschaften durchführen kann:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es gibt neutrale Elemente 0 und 1 $\in K$
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind jeweils kommutativ und assoziativ
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind distributiv
|
||||
\item es gibt Inverse $-k$ und $k^{-1} \in K$ \\
|
||||
$\to$ die reellen Zahlen sind ein solcher Körper
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
Eine Menge $M$ habe die Ordnung ``$\leq$'' und diese erlaubt die Addition und Multiplikation, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $a \le b \iff a+c \le b+c$
|
||||
\item $a \le b \iff a \cdot c \le b \cdot c \quad c > 0$ \\
|
||||
$\to$ Man kann die Gleichungen in gewohnter Weise umformen.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn er eine Totalordnung besitzt, die mit Addition
|
||||
und Multiplikation verträglich ist. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Isomorphismus} bezüglich einer Struktur ist die bijektive Abbildung $I: M_1
|
||||
\mapsto M_2$, die die vorhandene Struktur auf $M_1$ und $M_2$ erhält, z.B.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Ordnung $\le_1$ auf $M_1$, falls $a \le_1 b \iff I(a) \le_2 I(b)$
|
||||
\item Abbildung $F_i: M_i \to M_i$, falls $I(F_1(a)) = F_2(I(a))$
|
||||
\item Rechenoperation $*_i: M_i \times M_i \to M_i$, falls $I(a*_1b) = I(a) *_2 I(b)$
|
||||
\item spezielles Element $a_i \in M_i$, falls $I(a_1) = a_2$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textit{"Es gibt 2 verschiedene Arten von reellen Zahlen, meine und Prof. Schurichts. Wenn wir einen
|
||||
Isomorphismus finden, dann bedeutet das, dass unsere Zahlen strukturell die selben sind."}\\
|
||||
|
||||
Beispiele: $M_1 = \mathbb N$ und $M_2 = \{$gerade Zahlen$\}$, jeweils mit Addition, Multiplikation
|
||||
und Ordnung \\
|
||||
$\to I: M_2 \to M_2$ mit $I(k)=2k \quad \forall k \in \mathbb N$ \\
|
||||
$\to$ Isomorphismus, der die Addition, Ordnung und die Null, aber nicht die Multiplikation erh\"alt
|
||||
|
||||
\subsection*{Bemerkungen zum Fundament der Mathematik}
|
||||
Forderungen an eine mathematische Theorie:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item widerspruchsfrei: Satz und Negation nicht gleichzeitig herleitbar
|
||||
\item vollständig: alle Aussagen innerhalb der Theorie sind als wahr oder falsch beweisbar
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
zwei Unvollständigkeitssätze:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item jedes System ist nicht gleichzeitig widerspruchsfrei und vollständig
|
||||
\item in einem System kann man nicht die eigene Widerspruchsfreiheit zeigen
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
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1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter03_nat_Zahlen.tex
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|||
\part{Zahlenbereiche}
|
||||
\chapter{Natürliche Zahlen}
|
||||
$\mathbb N$ sei diejenige Menge, die die \textbf{Peano-Axiome} erfüllt, das heißt
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\mathbb N$ sei induktiv, d.h. es existiert ein Nullelement und eine injektive Abbildung
|
||||
$\mathbb N to \mathbb N$ mit $\nu(n) \neq 0 \quad \forall n$
|
||||
\item Falls $N \subset \mathbb N$ induktiv in $\mathbb N$ (0, $\nu(n) \in N$ falls $n \in N
|
||||
\Rightarrow N = \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\to \mathbb N$ ist die kleinste induktive Menge \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Nach der Mengenlehre ZF (Zermelo-Fraenkel) existiert eine solche Menge $\mathbb N$ der natürlichen
|
||||
Zahlen. Mit den üblichen Symbolen hat man:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $0 := \emptyset$
|
||||
\item $1 := \nu(0) := \{\emptyset\}$
|
||||
\item $2 := \nu(1) := \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$
|
||||
\item $3 := \nu(2) := \{\emptyset, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Damit ergibt sich in gewohnter Weise $\mathbb N = \{1; 2; 3; ...\}$ \\
|
||||
anschauliche Notation $\nu(n) = n+1$ (beachte: noch keine Addition definiert!) \\
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Falls $\mathbb N$ und $\mathbb N'$ die Peano-Axiome erfüllen, sind sie
|
||||
isomorph bez\"uglich Nachfolgerbildung und Nullelement. Das hei{\ss}t alle solche $\mathbb N'$
|
||||
sind strukturell gleich und k\"onnen mit obigem $\mathbb N$ identifiziert werden.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Prinzip der vollständigen Induktion]
|
||||
Sei $\{A_n \mid n \in N\}$ eine Menge
|
||||
von Aussagen $A_n$ mit der Eigenschaft:
|
||||
\begin{enumerate}[ ]
|
||||
\item IA: $A_0$ ist wahr
|
||||
\item IS: $\forall n \in \mathbb N$ gilt $A_n \Rightarrow A_{n+1}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$A_n$ ist wahr für alle $n \in \mathbb N$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{lem} Es gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\nu(n) \cup \{0\} = \mathbb N$
|
||||
\item $\nu(n) \neq n \quad \forall n \in \mathbb N$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}{(rekursive Definition/Rekursion)} Sei $B$ eine Menge und $b \in B$. Sei $F$ eine
|
||||
Abbildung mit $F: B \times \mathbb N \mapsto B$. Dann liefert nach Vorschrift: $f(0):= b$ und
|
||||
$f(n+1) = F(f(n),n) \quad \forall n \in \mathbb N$ genau eine Abbildung $f: \mathbb N \mapsto B$.
|
||||
Das heißt eine solche Abbildung exstiert und ist eindeutig.
|
||||
\end{satz}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Definition Addition '$+$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb N$ auf $\mathbb N$
|
||||
durch $n+0:=n$, $n+\nu(m):=\nu(n+m) \quad \forall n,m \in \mathbb N$
|
||||
\item Definition Multiplikation '$\cdot$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb
|
||||
N$ auf $\mathbb N$ durch $n \cdot 0 := 0$, $n \cdot \nu(m) := n \cdot m + n \quad \forall
|
||||
n,m \in \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Für jedes feste $n \in \mathbb N$ sind beide Definitionen rekursiv und eindeutig definiert. \\
|
||||
$\forall n \in \mathbb N$ gilt: $n+1=n+\nu(0)=\nu(n+0) = \nu(n)$
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Addition und Multiplikation haben folgende Eigenschaften:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es existiert jeweils ein neutrales Element
|
||||
\item kommutativ
|
||||
\item assoziativ
|
||||
\item distributiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Es gilt $\forall k,m,n \in \mathbb N$:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \neq 0 \Rightarrow m+n \neq 0$
|
||||
\item $m \cdot n = 0 \Rightarrow n=0$ oder $m=0$
|
||||
\item $m+k=n+k \Rightarrow m=n$ (Kürzungsregel der Addition)
|
||||
\item $m \cdot k=n \cdot k \Rightarrow m=n$ (Kürzungsregel der Multiplikation)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
Ordnung auf $\mathbb N:$ Relation $R := \{(m,n) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m \le n\}$ \\
|
||||
wobei $m \le n \iff n=m+k$ f\"ur ein $k \in \mathbb N$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Es gilt auf $\mathbb N:$
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \le n \Rightarrow \exists ! k \in \mathbb N: n=m+k$, nenne $n-m:=k$ (Differenz)
|
||||
\item Relation $R$ (bzw. $\le$) ist eine Totalordnung auf $\mathbb N$
|
||||
\item Ordnung $\le$ ist vertr\"aglich mit der Addition und Multiplikation
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\item Sei $n=m+k=m+k' \Rightarrow k=k'$
|
||||
\item Sei $n=n+0 \Rightarrow n \le n \Rightarrow$ reflexiv \\
|
||||
sei $k\le m, m \le n \Rightarrow \exists l,j: m=k+l, n=m+j=(k+l)+j=k+(l+j) \Rightarrow
|
||||
k \le n \Rightarrow$ transitiv \\
|
||||
sei nun $m \le n und n \le m \Rightarrow n=m+j=n+l+j \Rightarrow 0=l+j \Rightarrow j=0
|
||||
\Rightarrow n=m \Rightarrow$ antisymmetrisch \\
|
||||
Totalordnung, d.h. $\forall m,n \in \mathbb N: m\le n$ oder $n\le m$ \\
|
||||
IA: $m=0$ wegen $0=n+0$ folgt $0 \le n \forall n$ \\
|
||||
IS: gelte $m\le n$ oder $n \le m$ mit festem $m$ und $\forall n \in \mathbb N$, dann \\
|
||||
falls $n \le m \Rightarrow n \le m+1$ \\
|
||||
falls $m < n \Rightarrow \exists k \in \mathbb N: n=m+(k+1)=(m+)1+k \Rightarrow m+1 \le n$ \\
|
||||
$m\le n$ oder $n \le m$ gilt für $m+1$ und $\forall n \in \mathbb N$, also $\forall n,m \in
|
||||
\mathbb N$
|
||||
\item sei $m \le n \Rightarrow \exists j: n=m+j \Rightarrow n+k=m+j+k \Rightarrow m+k \le n+k$
|
||||
\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
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1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter04_ganze_u_rat_Zahlen.tex
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178
1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter04_ganze_u_rat_Zahlen.tex
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|
|||
\chapter{Ganze und rationale Zahlen}
|
||||
\textbf{Frage:} Existiert eine natürliche Zahl $x$ mit $n=n'+x$ für ein gegebenes $n$ und $n'$? \\
|
||||
\textbf{Antwort:} Das geht nur falls $n \le n'$, dann ist $x=n-n'$ \\
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlenbereichserweiterung, sodass die Gleichung immer lösbar ist. Ordne jedem Paar
|
||||
$(n,n') \in \mathbb N \times \mathbb N$ eine neue Zahl als L\"osung zu. Gewisse Paare liefern die
|
||||
gleiche L\"osung, z.B. $(6,4),(5,3),(7,5)$. Diese m\"ussen mittels Relation identifiziert werden. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
$\mathbb Q := \{(n_1,n_1'),(n_2,n_2') \in (\mathbb N \times \mathbb N) \times (\mathbb N \times
|
||||
\mathbb N) \mid n_1+n_2'=n_1'+n_2\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{mydef}
|
||||
$\mathbb Q$ ist die Äquivalenzrelation auf $\mathbb N \times \mathbb N$.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
$(5,3) \sim (6,4) \sim (7,5)$ bzw. $(5-3) \sim (6-4) \sim (7-5)$\\
|
||||
$(3,6) \sim (5,8)$ bzw. $(3-6) \sim (5-8)$
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
% find a way to give an example a better formating!!!
|
||||
offenbar $((n,n'),(n,n')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ reflexiv\\
|
||||
falls $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q \Rightarrow (n_2,n_2'),(n_1,n_1')) \in
|
||||
\mathbb Q \Rightarrow$ symmetrisch\\
|
||||
sei $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q$ und $((n_2,n_2'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q
|
||||
\Rightarrow n_1+n_2'=n_1'+n_2, n_2+n_3'=n_2'+n_3 \Rightarrow n_1+n_3'=n_1'+n_3 \Rightarrow
|
||||
((n_1,n_1'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ transitiv.\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\noindent setze $\overline{\mathbb{Z}} := \{[(n,n')] \mid n,n' \in \mathbb{N}\}$ Menge der ganzen Zahlen,
|
||||
[ganze Zahl] \\
|
||||
Kurzschreibweise: $\overline m := [(m,m')]$ oder $\overline n := [(n,n')]$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $[(n,n')] \in \overline{\mathbb{Z}}$. Dann existiert eindeutig $n* \in \mathbb N$ mit $(n*,0) \in [(n,n')]$, falls $n \ge n'$ bzw. $(0,n*) \in [(n,n')]$ falls $n < n'$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
$n \ge n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n=n'+n* \Rightarrow (n*,0) \sim (n,n')$\\
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||||
$n < n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n+n*=n' \Rightarrow (0,n*) \sim (n,n')$\QEDA
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\noindent\textbf{Frage:} Was hat $\overline{\mathbb{Z}}$ mit $\whole$ zu tun?\\
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||||
\textbf{Antwort:} identifiziere $(n,0)$ bzw. $(n-0)$ mit $n \in \natur$ und identifiziere $(0,n)$
|
||||
bzw. $(0-n)$ mit Symbol $-n$ \\
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||||
$\Rightarrow$ ganze Zahlen kann man eindeutig den Elementen folgender Mengen zuordnen: $\mathbb Z :=
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||||
\natur \cup \{(-n) \mid n \in \natur\}$ \\
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$\newline$
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||||
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||||
\textbf{Rechenoperationen auf $\overline{\whole}$:} \\
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Addition: $\overline m + \overline n = [(m,m')]+[(n,n')]=[(m+n,m'+n')]$
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||||
\item Multiplikation: $\overline m \cdot \overline n = [(m,m')] \cdot [(n,n')]=[(mn+m'n',mn'+m'n)]$
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||||
\end{itemize}
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||||
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||||
\begin{satz}
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||||
Addition und Multiplikation sind eindeutig definiert, d.h. unabhängig von Repräsentant bezüglich $\mathbb Q$
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||||
\end{satz}
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||||
\begin{proof}
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||||
Sei $(m_1,m_1') \sim (m_2,m_2'), (n_1,n_1') \sim (n_2,n_2')\\
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||||
\Rightarrow m_1+m_2'=m_1'+m_2, n_1
|
||||
+n_2'=n_1'+n_2\\
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||||
\Rightarrow m_1+n_1+m_2'+n_2'=m_1'+n_1'+m_2+n_2\\ \Rightarrow (m_1,m_1')+(n_1,n_1') \sim (m_2,m_2')+(n_2,n_2')$\QEDA
|
||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
Für Addition und Multiplikation auf $\mathbb Z$ gilt $\forall\;\overline m,
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||||
\overline{n} \in \overline{\whole}$:
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item es existiert eine neutrales Element: $0:=[(0,0)]$, $1:=[(1,0)]$
|
||||
\item jeweils kommutativ, assoziativ und gemeinsam distributiv
|
||||
\item $- \overline{n} := [(n',n)] \in \whole$ ist invers bezüglich der Addition zu
|
||||
$[(n,n')] = \overline n$
|
||||
\item $(-1) \cdot \overline n = - \overline n$
|
||||
\item $\overline m \cdot \overline n = 0 \iff \overline m =0 \lor \overline n=0$
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
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||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}, nolistsep]
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||||
\item offenbar $\overline n +0=0+\overline n=\overline n$ und $\overline n \cdot 1 = 1 \cdot
|
||||
\overline n = \overline n$
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||||
\item Fleißarbeit $\to$ SeSt
|
||||
\item offenbar $\overline n+(- \overline n) = (- \overline n)+\overline n=[(n+n',m+m')]=0$
|
||||
\item $(-1)\cdot \overline n = [(0,1)]\cdot [n,n']=[n',n]=-\overline n$
|
||||
\item ÜA \QEDA
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||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{satz}
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||||
Für $\overline m, \overline n \in \mathbb Z$ hat die Gleichung $\overline m=\overline n + \overline x$ die Lösung $\overline x=\overline m+(-\overline n)$.
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||||
\end{satz}
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||||
|
||||
\noindent Ordnung auf $\overline{\whole}:$ betrachte Relation $R := \{(\overline{m},\overline{n}) \in
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||||
\overline{\whole} \times \overline{\whole} \mid \overline{m} \le \overline{n}\}$
|
||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
$R$ ist Totalordnung auf $\whole$ und verträglich mit Addition und
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||||
Multiplikation
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\end{satz}
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||||
\noindent Ordnung verträglich mit Addition: $\overline n < 0 \iff 0=\overline n+(-\overline n) < -\overline n
|
||||
= (-1) \cdot \overline n$ \\
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||||
|
||||
\noindent \textbf{beachte:} $\mathbb Z := \mathbb N \cup \{(-n) \mid n \in \mathbb N_{>0}\}$ \\
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||||
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||||
\begin{satz}
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||||
$\whole$ und $\overline{\whole}$ sind isomorph bezüglich Addition, Multiplikation und Ordnung.
|
||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
betrachte Abbildung $I: \mathbb Z \to \overline{\whole} $ mit $I(k):=[(k,0)]$ und $I(-k):=[(0,k)] \quad \forall k \in \natur \Rightarrow$ ÜA \QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\noindent Notation: verwende stets $\mathbb Z$, schreibe $m,n,...$ statt $\overline m, \overline n,...$ für
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||||
ganze Zahlen in $\mathbb Z$ \\
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||||
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||||
\noindent \textbf{Frage:} Existiert eine ganze Zahl mit $n=n' \cdot x$ f\"ur $n,n' \in \mathbb Z, n' \neq 0$ \\
|
||||
\textbf{Antwort:} im Allgemeinen nicht
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlbereichserweiterung analog zu $\mathbb N \to \mathbb Z$ \\
|
||||
ordne jedem Paar $(n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z$ neue Zahl $x$ zu \\
|
||||
schreibe $(n,n')$ auch als $\frac{n}{n'}$ oder $n:n'$ \\
|
||||
identifiziere Paare wie z.B. $\frac 4 2, \frac 6 3, \frac 8 4$ durch Relation \\
|
||||
$\mathbb Q := {(\frac{n_1}{n'_2}, \frac{n_2}{n'_2}) \in (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0})
|
||||
\times (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}) \mid n_1n'_2=n'_1n_2}$ \\
|
||||
$\Rightarrow \mathbb Q$ ist eine Äquivalenzrelation auf $\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}$ \\
|
||||
|
||||
\noindent setze $\mathbb Q := {[\frac{n}{n'}] \mid (n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}}$ Menge der
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||||
rationalen Zahlen \\
|
||||
beachte: unendlich viele Symbole $\frac{n}{n'}$ für gleiche Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
|
||||
wir schreiben später $\frac{n}{n'}$ für die Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
|
||||
\noindent offenbar gilt die Kürzungsregel: $[\frac{n}{n'}]=[\frac{kn}{kn'}] \quad \forall k \in
|
||||
\mathbb Z_{\neq 0}$ \\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Rechenoperationen auf $\mathbb Q$:} \\
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item Addition: $[\frac{m}{m'}]+[\frac{n}{n'}] := [\frac{mn'+m'n}{m'n'}]$
|
||||
\item Multiplikation: $[\frac{m}{m'}] \cdot [\frac{n}{n'}] := [\frac{mn}{m'n'}]$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Mit Addition und Multiplikation ist $\mathbb Q$ ein Körper mit\\
|
||||
neutralen Elementen: $0=[\frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=
|
||||
[\frac{0_{\mathbb Z}}{n_{\mathbb Z}}], 1:=[\frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=[\frac n n] \neq 0$\\
|
||||
inversen Elementen: $-[\frac{n}{n'}]=[\frac{-n}{n}], [\frac{n}{n'}]^{-1}=[\frac{n'}{n}]$\\
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\noindent Ordnung auf $\mathbb Q:$ f\"ur $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$ kann man stets $n'>0$ annehmen \\
|
||||
Realtion: $R:=\{([\frac{m}{m'}],[\frac{n}{n'}]) \in \mathbb Q \times \mathbb Q \mid mn' \le m'n,
|
||||
m',n' > 0\}$ gibt Ordnung $\le$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
$\mathbb Q$ ist ein angeordneter K\"orper (d.h. $\le$ ist eine Totalordnung undv erträglich mit Addition und Multiplikation).
|
||||
\end{satz}
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||||
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||||
Notation: schreibe vereinfacht nur noch $\frac{n}{n'}$ für die Zahl $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$ und verwende auch Symbole $p,q,...$ für Elemente aus $\mathbb Q$ \\
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||||
|
||||
Gleichung $p \cdot x = q$ hat stets eindeutige Lösung: $x=q \cdot p^{-1}$ ($p,q \in \mathbb Q, p \neq 0$) \\
|
||||
|
||||
\textbf{Frage:} $\mathbb N \subset \mathbb Z \to \mathbb Z \subset \mathbb Q$?
|
||||
\textbf{Antwort:} Sei $\mathbb Z_{\mathbb Q} := {\frac n 1 \in \mathbb Q \mid n \mathbb Z}, I:
|
||||
\mathbb Z \to \mathbb Z_{\mathbb Q}$ mit $I(n)=\frac n 1$ \\
|
||||
$\Rightarrow I$ ist Isomorphismus bez\"uglich Addition, Multiplikation und Ordnung. \\
|
||||
In diesem Sinn: $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q$ \\
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||||
|
||||
\begin{folg}
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||||
Körper $\mathbb Q$ ist archimedisch angeordnet, d.h. f\"ur alle $q \in \mathbb Q \exists n \in \mathbb N: q<_{\mathbb Q} n.$
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||||
\end{folg}
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||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Sei $q = [\frac{k}{k'}]$ mit $k'>0$ \\
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||||
$n := 0$ falls $k<0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{0}{k'}]=0=n$ \\
|
||||
$n := k+1$ falls $k \ge 0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{k+1}{k'}]=n$ \QEDA
|
||||
\end{proof}
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||||
56
1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter05_reelle_Zahlen.tex
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1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter05_reelle_Zahlen.tex
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@ -0,0 +1,56 @@
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\chapter{Reelle Zahlen}
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||||
\begin{description}
|
||||
\item[Frage:] Frage: algebraische Gleichung $a_0+a_1x+\dots+a_x^k=0\;(a_j\in \whole)$\\
|
||||
i.A nur für $k=1$ lösbar (d.h. lin. Gl.)
|
||||
\end{description}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
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||||
$x^2 - 2 = 0$ keine Lösung in $\ratio$. Angenommen es existiert eine Lösung $x = \frac{m}{n} \in \ratio$, o.B.d.A. höchstens eine der Zahlen $m,n$ gerade $\Rightarrow \frac{m^2}{n^2} = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2 \Rightarrow m$ gerade $\overset{m=2k}{\Rightarrow} 4k^2 = 2n^2 \Rightarrow 2n^2 \Rightarrow 2k^2 = n^2 \Rightarrow n$ gerade $\Rightarrow \lightning$.\QEDA
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\noindent Offenbar $1,4^2 < 2 < 1,5^2,\; 1,41^2 < 2 < 1,42^2,\;\dots,$ falls es $\sqrt{2}$ gibt, kann diese in $\ratio$ beliebig genau approximiert werden. Es folgt, dass $\ratio$ anscheinend "`Lücken"' hat.
|
||||
\textbf{Fläche auf dem Einheitskreis} kann durch rationale Zahlen beliebig genau approximiert werden. Falls "`Flächenzahl"' $\pi$ existiert, ist das \textbf{nicht} Lösung einer algebraischen Gleichung (Lindemann 1882).\\
|
||||
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Ziel:] Konstruktion eines angeordneten Körpers, der diese Lücken füllt.
|
||||
\end{description}
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||||
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||||
\section{Struktur von archimedisch angeordneten Körper (allg.)}
|
||||
$\field$ sei ein (bel.) Körper mit bel. Elementen $0, 1$ bzw. $0_K, 1_K$.
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $\field$ Körper. Dann gilt $\forall a,b \in \field$:
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}, nolistsep]
|
||||
\item $0,1, (-a), b^{-1}$ sind eindeutig bestimmt
|
||||
\item $(-0) = 0$, $1^{-1} = 1$
|
||||
\item $-(-a) = a$, $(b^{-1})^{-1} = b$ $(b \neq 0)$
|
||||
\item $-(a + b) = (-a) + (-b)$, $(a^{-1}b^{-1}) = (a^{-1}b^{-1})$ $(a,\neq 0)$
|
||||
\item $-a = (-1)\cdot a$, $(-a)(-b)=ab$, $a \cdot 0 = 0$
|
||||
\item $ab=0 \iff a=0 \text{ oder } b=0$
|
||||
\item $a + x = b \text{ hat eindeutige Lösung } x = b + (-a) =:b-a$ Differenz\\
|
||||
$ax=b \text{ hat eindeutige Lösung } x = a^{-1}b:=\frac{b}{a}$ Quotient
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item vgl. lin. Algebra
|
||||
\item betrachte $0 + 0 = 0$ bzw. $1 \cdot 1 = 1$
|
||||
\item $(-a) + a = 0 \overset{komm}{\Rightarrow} a = -(-a)$ Rest analog
|
||||
\item $a+b = ((-a) + (-b)) \Rightarrow$ Behauptung, Addition und Multiplikation analog
|
||||
\item $a\cdot 0 = 0$ vgl. lin. Algebra\\
|
||||
$1a + (-1)a = 0 \Leftrightarrow (1-1)a=0 \Rightarrow (-1)a=-1$, $(-a)(-b)=(-1)(-a)b\overset{3,5}{=}ab$
|
||||
\item ($\Leftarrow$): nach 5)\\
|
||||
($\Rightarrow$) sei $a\neq0$ (sonst klar) $\Rightarrow 0 = a^{-1}\cdot 0 \overset{ab=0}{=} a^{-1}ab = b \Rightarrow$ Beh.
|
||||
\item $a+x=b \Leftrightarrow x = (-a) + a \neq x = (-a) + b$, für $ax=b$ analog \QEDA
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Setze für alle $a, \dots a_k \in \field,n\in \natur_{\geq 1}$
|
||||
\begin{itemize}
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||||
\item[Vielfache] $n\cdot a$ (kein Produkt in $\field$!)
|
||||
\item[Potenzen] $a^n=\prod_{k=1}^{n} a_k \text{für } n \in N_{\geq 1}$ damit $(-n)a:=n(-a) \text{, } 0_{\natur}a=0_{\natur} \text{ für } n\in\natur_{\geq1}\\
|
||||
a^{-n}=(a^-1)^n \text{, }a^{0_{\natur}}:=1_{\field} \text{ für } n \in \natur_{\geq 1}, a \neq 0\\
|
||||
beachte: 0^0 = (0_\natur)^{0_{\natur}} \text{ \emph{nicht} definiert!}$
|
||||
\item[Rechenregeln] $\forall\;a,b\in \field\text{, } m,n\in \whole \text{ (sofern Potenz definiert) } $
|
||||
\end{itemize}
|
||||
%TODO
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@ -0,0 +1,27 @@
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\chapter{Komplexe Zahlen (kurzer Überblick)}
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||||
\begin{description}
|
||||
\item[Problem:] $x^2 = -1$ keine Lösung in $\real \Rightarrow$ Körpererweiterung $\real \to \comp$
|
||||
\item[Betrachte Menge der komplexen Zahlen] $\comp := \real \times \real = \real^2$
|
||||
\item mit Addition und Multiplikation:\\
|
||||
$(x,x^{'}) + (y,y^{'}) = (x+y, x^{'} + y^{'})$\\
|
||||
$(x,x^{'}) \cdot (y,y^{'}) = (xy - x^{'}y^{'}, xy^{'}+x^{'}y)$
|
||||
\item $\comp$ ist ein Körper mit (vgl. lin Algebra):\\
|
||||
$0_{\field} = (0,0)$, $1_{\field} = (1,0)$, $-(x,y) = (-x,-y)$ and $(x,y)^{-1} = \bigg(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}\bigg)$\\
|
||||
mit imaginärer Einheit $\iota=(0,1)$\\
|
||||
$z=x+\iota y$ statt $z=(x,y)$ mit $x:=\Realz(z)$ Realteil von $z$, $y:= \Imag(z)$ Imaginärteil von $z$\\
|
||||
komplexe Zahl $z=x + \iota y$ wird mit reeller Zahl $x \in \real$ identifiziert\\
|
||||
offenbar $\iota^2=(-1,0)=-1$, d.h. $z=\iota \in \comp$ und löst die Gleichung $z^2=-1$ (nicht eindeutig, auch $(-\iota)^2 = -1$)\\
|
||||
Betrag $|\cdot|: \comp \to \real_{> 0}$ mit $|z|:= \sqrt{x^2+y^2}$ (ist Betrag/Länge des Vektors $(x,y)$)\\
|
||||
es gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $\Realz(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}, \Imag(z) = \frac{z+\overline{z}}{2\iota}$
|
||||
\item $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$
|
||||
\item $|z| = 0 \iff z=0$
|
||||
\item $|\overline{z}| = |z|$
|
||||
\item $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
|
||||
\item $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (Dreiecks-Ungleichung: Mikoswski-Ungleichung)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
SeSt \QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{description}
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||||
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1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter07_grundl_ungleichungen.tex
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@ -0,0 +1,132 @@
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|||
\part{Metrische Räume und Konvergenz}
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Konvergenz:] grundlegender Begriff in Analysis %(benötigt Abstandsbegriff (Metrik))
|
||||
\end{description}
|
||||
\chapter{Grundlegen Ungleichungen}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Geometrisches und arithmetisches Mittel]\label{satz_7_1_geo_mittel}
|
||||
Seien $x_1, \dots, x_n \in \real_{>0}$\\
|
||||
$\Rightarrow$
|
||||
\begin{tabular}{ccc}
|
||||
$ \sqrt[n]{x_1, \dots, x_n}$ & $=$ & $\frac{x_1, \dots, x_n}{n}$ \\
|
||||
geoemtrisches Mittel & & arithmetisches Mittel \\
|
||||
\end{tabular}\\
|
||||
Gleichheit gdw $x_1 = \dots = x_n$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Zeige zunächst mit vollständiger Induktion\\
|
||||
\begin{align} %% add /nonumber to have no numbering
|
||||
\prod_{i=1}^{n}x_i= \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} x_i \geq n \text{, mit } x_1=\dots=x_n \label{7_1_ind}
|
||||
\end{align}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item (IA) $n = 1$ klar
|
||||
\item (IS) (\ref{7_1_ind}) gelte für $n$, zeige (\ref{7_1_ind}) für $n+1$ d.h. $\prod_{i=1}^{n+1} = 1$, falls alle $x_i=1 \beha$ Sonst oBdA $x_n < 1$, $x_{n+1} > 1:$\\ mit $y_n:=x_n x_{n+1}$ gilt $x_1\cdot\dots\cdot x_{n-1}\cdot y_n=1$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Rightarrow x_1 + \dots + x_{n+1} &= \underbrace{x_1+\dots+x_{n-1}}_{\geq \text{ (IV)}} + y_n - y_n + x_n+x_{n+1}\\
|
||||
&\geq n + \underbrace{(x_{n+1} -1)}_{>n}\underbrace{(1-x_n)}_{>n}\\
|
||||
&\Rightarrow (\ref{7_1_ind}) \forall n \in \natur& \text{vollständige Induktion}\\
|
||||
\shortintertext{allgemein sei nun $g:=\big( \prod_{i=1}^{n} x_i \big)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow \prod_{i=1}^{n} \frac{x_i}{g} = 1$}
|
||||
&\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{g} \geq n \beha& \text{Satz \ref{7_1_ind}}\\
|
||||
\shortintertext{Aussage über Gleichheit nach nochmaliger Durchsicht.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[allg. Bernoulli-Ungleichung]
|
||||
Seien $\alpha, x \in \real$. Dann\\
|
||||
\begin{align*}
|
||||
1)\;(1+x)^{\alpha} &\geq 1 + \alpha x \; \forall x > -1, \alpha > 1\\
|
||||
2)\; (1+x)^{\alpha} &\leq 1+\alpha x \; \forall x \geq -1, 0 < \alpha < 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof} % fix alignment
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[2)] Sei $\alpha =\frac{m}{n} \in \ratio_{<1}\text{, d.h. } m\leq n$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\Rightarrow (1+x)^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{(1+x)^m\cdot1^{n-m}}& \text{Definition} \\
|
||||
&\leq \frac{m(1+x)+(n-m)\cdot1}{n}&\\
|
||||
&=\frac{n + mx}{n} = 1 + \frac{m}{n}x \text{, für } \alpha \in \ratio \beha&
|
||||
\shortintertext{Sei $\alpha \in \real$ angenommen $(1+x)^{\alpha} > 1 + \alpha x$ ($x\neq 0$ sonst klar!)}
|
||||
& \Rightarrow \exists \in \ratio_{<1}
|
||||
\begin{cases*}
|
||||
x > 0&$\alpha<q< \frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}$\\
|
||||
x < 0&$\alpha < q$
|
||||
\end{cases*} &\text{Satz 5.8 } \\
|
||||
&\Rightarrow 1+qx < (1+x)^{\alpha} \leq (1+x)^q \Rightarrow \lightning \beha& \text{Satz 5.20}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item[1)] Sei $1+\alpha x \geq 0$, sonst klar
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\Rightarrow \alpha x \geq -1 \overset{2)}{\Rightarrow} (1+\alpha x)^{\frac{1}{\alpha}}& \text{mit 2)}\\
|
||||
&\geq 1 +\frac{1}{\alpha}\alpha x = 1 +x &\\
|
||||
&\Rightarrow \text{ Behauptung und Gleichheit ist Selbststudium.}&
|
||||
\end{align*}
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||||
\end{enumerate}
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%
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\end{proof}
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\begin{satz}[Young'sche Ungleichung]
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||||
Sei $p,q \in \real, p,q>1$ mit $\frac{1}{q} + \frac{1}{q} =1 \Rightarrow ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\;\forall a,b \geq 0$ (Gleichheit gdw $a^p = b^q$)\\
|
||||
Spezialfall($p=q=2$): $ab \geq \frac{a^2 + b^2}{2}$ gilt $\forall a,b \in \real$ (folgt direkt $0\leq (a-b)^2$)
|
||||
\end{satz}
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||||
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\begin{proof} %fix formating
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\begin{align*}
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\shortintertext{Sei $a,b > 0$ (sonst klar!)}
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||||
&\Rightarrow \big(\frac{b^q}{a^p}\big)^{\frac{p}{q}} = \big(1+\big(\frac{b^q}{a^p} -1\big)\big)^{\frac{p}{q}}&\\
|
||||
&\leq 1+ \frac{1}{q}\big(\frac{b^q}{a^p} -1\big)& \text{Bernoulli-Ungleichung}\\
|
||||
&=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{q}\frac{b^q}{a^p}-\frac{1}{q}\\
|
||||
&\Rightarrow a^p\frac{b}a^{\frac{p}{q}} = a^{p(1-\frac{1}{q})}b = ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}& \cdot a^p
|
||||
\end{align*}\QEDA
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{satz}[Höldersche Ungleichung]
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||||
Sei $p,q \in \real;\;p,q > 0$ mit $\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1$\\
|
||||
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} \vert x_i y_i\vert \leq \big( \sum_{i=1}^{n} \vert x_i \vert \big)^{\frac{1}{p}} \big( \sum_{i=1}^{n} \vert y_i \vert \big)^{\frac{1}{p}}\;\forall x,y \in \real$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
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||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Ungleichung gilt auch für $x_i,y_i \in \comp$ (nur Beträge gehen ein)
|
||||
\item für $p=q=2$ heißt Ungleichung Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Gleichheit gdw $\exists x \in \real x_i = \alpha y_i \text{ oder } y_i = \alpha x_i\;\forall i$)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Faktoren rechts seien $\mathcal{X} \text{ und } \mathcal{Y}$ d.h.
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||||
\begin{align*}
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||||
\mathcal{X}^p &= \sum_{i=1}^{n} \vert x_i \vert^{\frac{1}{p}}, \mathcal{Y}^p = \sum_{i=1}^{n} \vert y_i \vert^{\frac{1}{q}}\text{, falls } \mathcal{X}=0&\\ &\Rightarrow x_i = 0\;\forall i \beha \text{, analog für } \mathcal{Y} =0&\\
|
||||
\shortintertext{Seien $\mathcal{X}, \mathcal{Y} > 0$}
|
||||
&\Rightarrow \frac{\vert x_i y_i \vert}{\mathcal{XY}} \leq \frac{1}{p}\frac{\vert x_i \vert^p}{\mathcal{X}^p}+ \frac{1}{q}\frac{\vert y_i \vert^q}{\mathcal{Y}^p} \forall i& \text{Satz 7.3}\\
|
||||
&\Rightarrow \frac{1}{\mathcal{XY}}\sum_{i=1}^{n}\vert x_i y_i \vert \leq \frac{1}{p}\frac{\mathcal{X}^p}{\mathcal{X}^p}+\frac{1}{q}\frac{\mathcal{Y}^p}{\mathcal{Y}^p} = 1 \beha & \cdot \mathcal{XY}
|
||||
\end{align*}\QEDA
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{satz}[Minkowski-Ungleichung]
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||||
Sei $p\in \real, p \geq 1 \Rightarrow \big(\sum_{i=1}^{n} \vert x_i + y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} \leq \big(\sum_{i=1}^{n} \vert x_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} + \big(\sum_{i=1}^{n} \vert y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p}\forall x,y\in \real$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Ungleichung gilt auch für $x_i, y_i \in \comp$ (vgl. Beweis)
|
||||
\item ist $\Delta$-Ungleichung für $p$-Normen (vgl. später)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
$p=1$ Beh. folgt aus $\Delta$-Ungleichung $\vert x_i + y_i\vert \overset{Satz 5.5}{\leq} \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$\\ $p>1$ sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $z_i:=\vert x_i + y_i\vert^{p-1}\forall i$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mathcal{S}^p &= \sum_{i=1}^{n} \vert z_i \vert^q & q = \frac{p}{p-1}\\
|
||||
& = \sum_{i=1}^{n} \vert +x_i+y_i \vert\cdot\vert z_i \vert^q & \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^{n} \vert x_i + y_i \vert + \sum_{i=1}^{n} \vert z_i \vert & \Delta\text{-Ungleichung}\\
|
||||
& \leq \big(\mathcal{X+Y}\big)\big(\sum_{i=1}^{n} \vert z_i\vert^q \big)^\frac{1}{p} & \text{Hölder-Ungleichung}\\
|
||||
& = \big(\mathcal{X+Y}\big)\mathcal{S}^\frac{p}{q} & \\
|
||||
& \beha & p=\frac{p}{q}+1
|
||||
\end{align*}\QEDA
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||||
\end{proof}
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%continue-+
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306
1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter08_metr_raeume.tex
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1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter08_metr_raeume.tex
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@ -0,0 +1,306 @@
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\chapter{Metrische und normierte Räume}
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||||
\section{Metrische Räume}
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\begin{mydefn}[Metrik]
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||||
Sei $X$ Menge und Abbildung $d: X \times X \to \real$ heißt \underline{Metrik} auf $X$ falls $\forall x,y,z \in X$
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$
|
||||
\item $d(x,y) = d(y,x)$ (Symmetrie)
|
||||
\item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ ($\Delta$-Ungleichung)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$(X,d)$ heißt metrischer Raum.
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
Man hat $d(x,y) = 0 \forall x,y \in X$, dann
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
0 &= d(x,x) = d(x,y) + d(y,x) & \text{a), c)}\nonumber\\
|
||||
& = 2d(x,y) \forall x,y & \text{b)}\nonumber\\
|
||||
\text{nach } & \text{b), c) } &\nonumber\\
|
||||
& \vert d(x,y) -d(z,y)\vert \leq d(x,y) \forall x,y,z \in X &
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}[Standardmetrik]\label{8_1_exmp_metrik}
|
||||
$d(x,y) := \vert x-y\vert$ ist Metrik auf $X=\real$ bzw. $X=\comp$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Eig. a), b), c) klar}& &\\
|
||||
\text{c) } \vert x-z\vert& \vert (x+y)-(x-z)\vert &\\
|
||||
&\leq \vert x+y\vert + \vert y+z\vert & \Delta\text{-Ungleichung für }\real\text{, }\comp\text{-Betrag}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}[diskrete Metrik]
|
||||
Diskrete Metrik auf beliebiger Menge $X$.\\
|
||||
\[d(x,y) =
|
||||
\begin{dcases*}
|
||||
0 & x = y\\
|
||||
1 & $x \neq y$
|
||||
\end{dcases*}\]
|
||||
ist offenbar eine Metrik.
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}[induzierte Metrik]
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum, $Y \subset X$\\
|
||||
$\Rightarrow (Y,d)$ ist metrischer Raum mit \emph{induzierter Metrik} $\tilde{d}(x,y):=d(x,y)\forall x,y \in Y$
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\section{Normierte Räume}
|
||||
|
||||
wichtiger Spezialfall: normierte Vektorraum(VR)
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Norm]
|
||||
Sei $X$ Vektorraum über $K=\real$ oder $K=\comp$.\\
|
||||
Abbildung $\Vert \cdot \Vert: X \to \real$ heißt \emph{Norm} auf $X$ falls $\forall x,y \in X, \forall \lambda \in \real$ gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $\Vert x\Vert = \Leftrightarrow x=0$
|
||||
\item $\Vert \lambda x\Vert = \vert \lambda \vert \Vert x\Vert$ (Homogenität)
|
||||
\item $\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert + \Vert y\Vert$ ($\Delta$-Ungleichung)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$(X,\Vert \cdot\Vert)$ heißt \emph{normierter Raum}.
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Metrik} &\leftarrow \text{Norm}&\\
|
||||
\text{Abbildung} & \not \rightarrow \text{VR, Abstand } x,0\\
|
||||
\text{man hat } \Vert x \Vert &\leq 0 \forall x \in X \text{, denn } 0 = \Vert x-x\Vert \leq \Vert x\Vert + \Vert -x\Vert = 2\Vert x\Vert & \text{a), c), b)}\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Analog Satz 5.5 folgt\\
|
||||
\begin{align}
|
||||
\vert \Vert x \Vert - \Vert y \Vert\vert &\leq \Vert x-y\Vert \forall x,y \in X
|
||||
\end{align}
|
||||
$\Vert \cdot\Vert: X \to \real_{\geq0}$ heißt \emph{Halbraum} falls nur b), c) gelten analog Beispiel \ref{8_1_exmp_metrik} folgt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $(X,\Vert\cdot \Vert)$ normierter Raum, dann $X$ metrischer Raum mit Metrik $d(x,y):=\Vert x-y \Vert\forall x,y \in X$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}\label{8_5_exmp_Norm}
|
||||
$X=\real^n$ ist Vektorraum über $\real$, Elemente in $\real^n$\\ $x=(x_1,\dots,x_n), y=(y_1, \dots, y_n)$,\\ man hat unter anderem folgende Normen auf $\real^n$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
p\text{-Norm}: \vert x \vert_p& := \Bigg( \sum_{i=0}^{n} \vert x_i \vert^p \Bigg)^{\frac{1}{p}} & (1\leq p < \infty)\\
|
||||
\text{Maximum-Norm}: \vert x \vert_p& := \max\{\vert x_i \vert \mid i=1,\dots n\} &\\
|
||||
\text{a), b) jeweils klar, c) für } &
|
||||
\begin{cases*}
|
||||
\vert \cdot \vert_p & \text{ist Minkowski-Ungleichung}\\
|
||||
\vert \cdot \vert_{\infty} & \text{wegen } $\vert x_i + y_i \vert \leq \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$
|
||||
\end{cases*}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Standardnorm in $\real^n$:
|
||||
$\vert \cdot \vert = \vert \cdot \vert_{p=2}$ heißt \emph{eukldische Norm}.\\
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Skalarprodukt]
|
||||
$\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}$ heißt \emph{Skalarprodukt} (inneres Produkt) von $x,y \in \real^n$ offenbar $\langle x,y \rangle = \vert x \vert_2 \forall x \in comp$ nur für euklidische Räume gibt es Skalarprodukt (nur für euklische Norm!).\\
|
||||
Man hat $\vert \langle x,y\rangle \vert \leq \vert x \vert_2 \cdot \vert y \vert_2 \forall x,y \in \real^n$ Cauchy-Schwarsche Ungleichung (CSU), denn
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\vert \langle x,z \rangle \vert &= \vert \sum_{i=1}^{n} x_i y_i \vert \leq \sum_{i=1}^{n}\vert x_i y_i\vert & \Delta\text{-Ungleichung in } \real\\
|
||||
& \leq \vert x \vert_2 \cdot\vert y \vert_2 & \text{Hölder-Ungleichung mit } p=q=2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
$X=\comp^n$ ist Vektorraum über $\comp$, $x=(x_1,\dots,x_n) \in\comp^n, x_i \in \comp$\\
|
||||
analog zum Bsp. \ref{8_5_exmp_Norm} sind $\vert \cdot \vert_{p} \text{ und } \vert \cdot \vert_{\infty}$ Normen auf $\comp^n$\\
|
||||
$\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^{n} \bar{x}_i y_i\forall x_i, y_i \in \comp$ heißt \emph{Skalarprodukt} von $x,y \in \comp^n$ (beachte $\langle x,y\rangle \in \comp, \langle x,x \rangle=\vert x \vert^2$) \\
|
||||
$\overset{\text{wie oben}}{\Rightarrow} \vert \langle x,y\rangle \vert \leq \vert x \vert\cdot \vert y \vert \forall x,y \in \comp^n$
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Orthogonalität]
|
||||
$x,y \in \real^n(\comp^n)$ heißen \emph{orthogonal} falls $\langle x,y\rangle =0$
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
Sei $M$ beliebige Menge, $f: M \to \real$\\
|
||||
$\Vert f\Vert:= \sup\{\vert f(x) \vert \mid x\in M\}$. Dann ist \\
|
||||
\[\mathcal{B}(M):= \{f: M \to \real \mid \Vert f\Vert < \infty\}\]
|
||||
\emph{Menge der beschränkte Funktionen} auf $M$\\
|
||||
$\mathcal{B}(M)$ ist Vektorraum auf $\real$
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $((f+g)(x) = f(x) + g(x)$
|
||||
\item $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$
|
||||
\item Nullelement ist Nullfunktion $f(x)=0 \forall x \in M$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\shortintertext{$\Vert \cdot\Vert$ ist Norm auf $\mathcal{B}(M)$, denn a), b) klar}\\
|
||||
\Vert f+g\Vert&:=\sup\{\vert f(x)+g(x) \vert\mid x \in M\}&\\
|
||||
&\leq \sup\{\vert f(x) \vert + \vert g(x) \vert\mid x\in M \} & \Delta\text{-Ungleichung in }\real\\
|
||||
&\leq \sup\{\vert f(x) \vert\mid x \in M \} + \sup\{\vert g(x) \vert\mid x \in M \} & \text{Übungsaufgabe}\\
|
||||
&=\Vert f\Vert + \Vert g\Vert
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
$\Vert x \Vert:=\vert x_1 \vert$ auf $X=\real^n \to$ kein Nullvektor ``nur'' Halbnorm (später wichtige Halbnorm in Integraltheorie). Normen $\Vert \cdot \Vert_1,\;\Vert \cdot \Vert_2$ auf $X$ heißen äquivalent falls
|
||||
\[
|
||||
\exists \alpha,\beta > 0\;\alpha \vert x \vert_1 \leq \vert x \vert_2 \leq \beta\vert x \vert_1\qquad\forall x \in X
|
||||
\]
|
||||
(Indizes entsprechen hier keinem p, sondern es sind hier nur beliebige unterschiedliche Normen gemeint.)
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\[
|
||||
\vert x \vert_{\infty} \leq \vert x \vert_p \leq \sqrt[p]{n}\vert x \vert_{\infty}\qquad \forall x \in \real^n,\;p\geq 1\\
|
||||
\]
|
||||
$\vert \cdot \vert_\infty$ und $\vert \cdot \vert_\infty$ sind äquivalent $\forall p \geq 1$
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\vert x \vert_{\infty} &=\big(\max \{ \vert x_j \vert, \vert \dots \}^p\big)^\frac{1}{p} \leq \bigg(\sum_{j=1}^{n} \vert x_j \vert^p \bigg)^\frac{1}{p} = \vert x \vert_p\\
|
||||
\vert x \vert_{\infty} &\leq \big( n\cdot \max\{ \vert x_j \vert, \vert \dots \}^p\big)^\frac{1}{p} \leq \bigg(\sum_{j=1}^{n} \vert x_j \vert^p \bigg)^\frac{1}{p} = \sqrt[p]{n}\vert x \vert_{\infty}
|
||||
\end{align*}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{folg}
|
||||
$\vert \cdot \vert_p,\;\vert \cdot \vert_q$ äquivalent auf $\real^n\;\forall p,q \geq 1$ (siehe Aufgabe 45b))
|
||||
\end{folg}
|
||||
|
||||
\section{Begriffe im metrischen Raum}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Kugel im metrischen Raum]
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $B_r(a):= \{ a \in X \mid d(a,x) <r \}$ heißt offene \underline{Kugel} um $a$ mit Radius $r>0$
|
||||
\item $B_r[a]:= \overline{B}_r(a) = \{ a \in X \mid d(a,x) \leq r \}$ heißt abgeschlossene \emph{Kugel} um $a$ mit Radius $r>0$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
Hinweis: muss keine übliche Kugel sein z.B. $\{x\in \real^n \mid d(0,x) < 1\}$ ist Quadrat $B_r(0)$.
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Menge $M\subset X$ \emph{offen} falls $\forall x \in M\;\exists \epsilon > 0\; B_{\epsilon}(x) \subset M$
|
||||
\item Menge $M$ offen falls $X\setminus M$ abgeschlossen
|
||||
\item $U \subset X$ Umgebung von $M \subset X$ falls $\exists V \subset X$ offen mit $M \subset V \subset U$
|
||||
\item $x \in M$ \emph{innerer Punkt} von $M$ falls $\exists \epsilon >0\colon B_{\epsilon}(x) \subset M$
|
||||
\item $x \in M$ \emph{äußerer Punkt} von $M$ falls $\exists \epsilon >0\colon B_{\epsilon}(x) \subset X\setminus M$
|
||||
\item $x \in X$ \emph{Randpunkt} von $M$ falls $x$ weder innerer noch äußerer Punkt ist
|
||||
\item $\inter M:=$ Menge der \emph{inneren} Punkte von $M$ heißen inneres von $M$
|
||||
\item $\ext M:=$ Menge der \emph{äußeren} Punkte von $M$ heißen äußeres von $M$
|
||||
\item $\partial M:=$ Menge der Randpunkte von $M$ heißt \emph{Rand} von $M$
|
||||
\item $\cl M:= \overline{M}:=\overline{\inter M} \cup \partial M$ heißt Abschluss von $M$ (closure)
|
||||
\item $M \subset X$ \emph{beschränkt} falls $\exists a \in X, r >0\; M \subset B_r(a)$
|
||||
\item $x \in X$ \emph{Häufungskt (Hp)} von $M$ falls $\forall \epsilon > 0$ enhält \emph{$B_{\epsilon}(x)$ unendlich viele} Elemente aus $M$
|
||||
\item $x \in M$ \emph{isolierter} Punkt von $M$ falls $x$ kein Hp von $M$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item Sei $X=\real$ mit $d(x,y)=\vert x-y \vert$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(a,b),(-\infty,a)$ offen
|
||||
\item $[a,b], (-\infty, b]$ abgeschlossen
|
||||
\item $[a,b)$ weder abgeschlossen noch offen, aber beschränkt
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Es gilt:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\inter(a,b) = \inter[a,b] = (a,b)$
|
||||
\item $\ext(a,b) = \ext[a,b] = (-\infty,a) \cup (b, \infty)$
|
||||
\item $\partial(a,b) = \partial[a,b] = \{a,b\}$
|
||||
\item $\cl(a,b) = \cl[a,b]=[a,b]$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Speziell:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\ratio$ weder offen noch abgeschlossen in $\real$, da $\inter \ratio =\emptyset, \ext \ratio = \emptyset, \partial \ratio = \real$
|
||||
\item $\real \setminus \emptyset$ ist offen
|
||||
\item $\natur \text{ in } \real$ abgeschlossen und nicht beschränkt
|
||||
\item $[0,3]$ ist Umgebung von $[1,2], B_r(a)$ ist Umgebung von $a$ (eigentlich $\{a\}$)
|
||||
\item $a$ ist Hp von $(a,b),[a,b]$ für $a<b$, aber nicht von $[a,a]$ aller $a\in \real$ sind Hp von $\ratio$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item für $X=\real$ mit diskreter Metrik: $x\in M \Rightarrow B_{\frac{1}{2}}(x) \{x\} \Rightarrow$ alle $M \subset \real$ offen und abgeschlossen
|
||||
\item für $X=\real^n$ mit $\metric$ vgl. Übungsaufgabe
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $B_r(a)$ offene Menge $\forall \epsilon >0,a\in X$
|
||||
\item $M\subset X$ beschränkt $\Rightarrow \forall a \in X \exists r>0\colon M\subset B_r(a)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Sei $b \in B_r(a),\epsilon := r - a-d(a,b)>0$, dann gilt für beliebige $x \in B_{\epsilon}(b)$
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||||
\begin{align*}
|
||||
d(a,x) &\leq d(a,b) + d(b,x) & \Delta\text{-Ungleichung mit } b\\
|
||||
&<d(a,b)+r-d(a,b)&\\
|
||||
&=r \Rightarrow B_{\epsilon}(b) \subset B_{\epsilon}(a) \beha &
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei $M\subset B_{\rho}(b),a\in X$ beliebig, $r:=\rho + d(a,b),m\in M$\\
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Rightarrow d(m,a) &\leq d(m,b)+d(b,a)&\\
|
||||
&<\rho + d(b,a) = r \Rightarrow m\in B_{r}(a)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}\QEDA
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{satz}[Offene Kugeln sind Topologie auf X]\label{8_13_satz_open_topo}
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||||
Sei $(X,d)$ metrische Raum, $\tau:=\{ U \subset X \mid \text{ offen} \}$. Dann
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||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $X,\emptyset\in\tau$
|
||||
\item $\bigcap_{i=1}^{n} U_i \in \tau$ falls $U_i\in \tau \text{ für } i = 1, \dots, n$ (endlich viele)
|
||||
\item $\bigcup_{U\in\tau^{\prime}} U \in \tau$ falls $\tau^{\prime} \subset \tau$ (beliebig viele)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
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||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $X$ offen, da stets $B_{\epsilon}(x) \subset X$, Definition ``offen'' wahr für $\emptyset$
|
||||
\item Sei $X \in \bigcap_{i=0}^{n} U_i \Rightarrow \exists \epsilon_i > 0 \colon B_{\epsilon_i}(x) \subset U_i \forall i, \epsilon = \min\{\epsilon_1, \dots \epsilon_n\}$\\
|
||||
$\Rightarrow B_{\epsilon}(x) \in \bigcap_{i=0}^{n} U_i \beha$
|
||||
\item Sei $x \in \bigcup_{U\in\tau^{\prime}} U \Rightarrow \exists \tilde{U}\in \tau^{\prime}\colon x \in \tilde{U} \overset{\tilde{U} \text{ offen}}{\Rightarrow}\exists \epsilon > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset \tilde{U} \in \bigcup_{U\in\tau^{\prime}} U \beha$.
|
||||
\end{enumerate}\QEDA
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||||
\end{proof}
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||||
Hinweis: Durchschnitt beliebiger vieler offener Menge ist nicht offen!
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||||
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||||
\begin{exmp}
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||||
$\bigcap_{n\in \natur} (-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}) = [0,1]$
|
||||
\end{exmp}
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||||
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||||
Komplementbildung im Satz \ref{8_13_satz_open_topo} liefert:
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||||
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||||
\begin{folg}[Abgeschlossene Kugeln sind Topologie auf X]
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum und $\sigma :=\{ V \subset X \mid V \text{ abgeschlossen}\}$. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $X,\emptyset\in\sigma$
|
||||
\item $\bigcup_{i=1}^{n} U_i \in \sigma$ falls $U_i\in \sigma \text{ für } i = 1, \dots, n$ (endlich viele)
|
||||
\item $\bigcap_{U\in\sigma^{\prime}} U \in \sigma$ falls $\sigma^{\prime} \subset \sigma$ (beliebig viele)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{folg}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Topologie]
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||||
Sei $X$ Menge und $\tau$ Menge von Teilmengen von $X$ (d.h. $\tau \in \powerset(X)$)\\
|
||||
$\tau$ ist Topologie und $(X, \tau)$ topologischer Raum, falls 1), 2), 3) aus Satz \ref{8_13_satz_open_topo} gelten.
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Menge $U\in \tau$ heißen dann offen (per Definition!). Folglich oben definierte offene Mengen in metrischen Räumen bilden ein Spezialfall für eine Topologie. Beachte! In metrischem Raum $(X,d)$ ist $\tilde{\tau} = \{\emptyset, X\}$ stets eine Topologie für beliebige Menge $X$).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
Seinen $\Vert \cdot\Vert_1, \Vert \cdot\Vert_2$ äquivalente Normen auf $X$ und $U\subset X$. Dann\\
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||||
$U$ offen bezüglich $\Vert \cdot\Vert_1 \Leftrightarrow U \text{ offen bezüglich } \Vert \cdot\Vert_2$.
|
||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Übungsaufgabe.\QEDA
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{satz}
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||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum und $M\subset X$. Dann
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||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
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||||
\item $\inter M, \ext M$ offen
|
||||
\item $\partial M, \inter M$ abgeschlossen
|
||||
\item $M \leq \inter M$ falls $M$ offen, \\
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||||
$M= \cl M$ falls $M$ abgeschlossen
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
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||||
\item Seien $x \in \inter M$, d.h. innere Punkte von $M \Rightarrow \exists \epsilon > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset M$, da $B_{\epsilon}(x)$ offene Menge, ist jedes $y \in B_{\epsilon}(x)$ eine Teilemenge von $\inter M$ $\Rightarrow B_{\epsilon}(x) \subset M \beha$ ($\ext M$ analog)
|
||||
\item $\partial X\setminus (\inter M \cup \ext M)$ ist abgeschlossen, $\cl M = X\setminus\ext M$ abgeschlossen
|
||||
\item $M$ offen: es ist stets $\int M$ und da $M$ offen $M \subset \inter M \beha$ $\Rightarrow X\setminus M = \inter(X\setminus M) = \ext M = X \setminus \cl M \beha$.
|
||||
($M$ abgeschlossen analog)
|
||||
\end{enumerate}\QEDA
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||||
\end{proof}
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||||
23
1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter09_konvergenz.tex
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23
1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter09_konvergenz.tex
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@ -0,0 +1,23 @@
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\chapter{Konvergenz}
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Sei $(X,d)$ metrischer Raum.
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||||
\textbf{Ab jetzt alles ohne Bweise, folgen später.}
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||||
\begin{mydef}[konvergente Folge, Grenzwert]
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||||
Folge $\{a_n\}_{n\in\natur}$ (d.h. $a_n \in X$) heißt konvergent falls $a\in X$ existiert mit $\forall \epsilon > 0\exists n_0 \in \natur\colon d(a_n,a) <\epsilon \quad \forall n \geq n_0$. Dann heißt $a$ Grenzwert (Limes).\\ Schreibe $a = \lim_{n\to \infty} a_n$ bzw. $a_n \longrightarrow a$ für $n \longrightarrow \infty$ oder $a_n \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} a$.
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||||
\end{mydef}
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||||
Sprich: ``'Für jede Kugel um Grenzwert befinden sich ab einem gewissen Index fasst alle FOlgenglieder innerhalb der Kugel.'' Folge $\{a_n\}$ heißt divergent, falls sie nicht konvergent ist.
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||||
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||||
\begin{folg}
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||||
Für Folge $\{a_n\}$ gilt: $\forall > 0\quad a = \lim_{n\to \infty} a_n \Leftrightarrow$ jede Kugel $B_{\epsilon}(a)$ enthält fast alle Folgeglieder $a_n$, das heißt alle $a_n$ bis auf endlich viele.
|
||||
\end{folg}
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||||
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||||
\begin{exmp}[Konstante Folge]
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||||
Sei $\{a_n\} = \{a\}_{n\in \natur}$ (das heißt $a_n = a \forall n$) $\Rightarrow d(a_n,a) = d(a,a) = 0 < \epsilon \forall \epsilon > 0, n \in \natur \Rightarrow a = \lim_{n\to \infty} a_n$.
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
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||||
|
||||
$\forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \natur\colon \frac{1}{n} = \vert \frac{1}{n} - 0 \vert = d(\frac{1}{n},0)<\epsilon \forall n \geq n_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
|
||||
\end{exmp}
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2
1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter10_vollst.tex
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\chapter{Vollständigkeit}
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%TODO
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1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter11_kompaktheit.tex
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\chapter{Kompaktheit}
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%TODO
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1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter12_reihen.tex
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1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter12_reihen.tex
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\chapter{Reihen}
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%TODO
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3
1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter13_funktionen.tex
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3
1. Semester/ANAG/TeX_files/chapter13_funktionen.tex
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\part{Funktionen und Stetigkeit}
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\chapter{Funktionen}
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%TODO
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1. Semester/ANAG/Vorlesung_ANAG.pdf
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1. Semester/ANAG/Vorlesung_ANAG.pdf
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1. Semester/ANAG/Vorlesung_ANAG.tex
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|||
\documentclass[12pt, oneside]{book}
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||||
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=4cm,bindingoffset=5mm]{geometry}
|
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{paralist}
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%\usepackage{booktabs}
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%\usepackage{graphicx}
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\usepackage[ngerman]{babel}
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\usepackage{hyperref} % link chapters over name and page number
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% math/enviroments
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\usepackage{mathtools,bm}
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\usepackage{stmaryrd} % Widerspruch symbol
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{framed}
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\usepackage[framed, hyperref, thmmarks, amsmath]{ntheorem}
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed}
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\usepackage[autostyle]{csquotes}
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||||
%\usepackage{lipsum}
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||||
\usepackage{enumerate}
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||||
\usepackage{enumitem} % compress enumerate env
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||||
\setlist{nolistsep}
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||||
\usepackage{titlesec} % remove page break
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||||
%theorem enviroment
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%theorem
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||||
\newframedtheorem{theorem}{Theorem}[chapter]
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% example
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\theoremstyle{break}
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\theorembodyfont{\upshape} % no italics!
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\newtheorem*{exmp}{Beispiel}
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\theoremstyle{break}
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\theorembodyfont{\upshape}
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\newtheorem{exmpn}[theorem]{Beispiel}
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% defintion
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\theorembodyfont{\upshape}
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\newtheorem{mydef}[theorem]{Definition}
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% definition no numbering
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\theorembodyfont{\upshape}
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\newtheorem*{mydefn}{Definition}
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% corollary
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\theorembodyfont{\upshape}
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\newtheorem{folg}[theorem]{Folgerung}
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% remark
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\theorembodyfont{\upshape}
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\newtheorem*{remark}{Bemerkung}
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% satz
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\newtheorem{satz}[theorem]{Satz}
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% beweis
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\theorembodyfont{\upshape}
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||||
\newtheorem*{proof}{Beweis}
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||||
% lemma
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||||
\theorembodyfont{\upshape}
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\newtheorem{lem}[theorem]{Lemma}
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||||
%\let\olddefinition\lem
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%\renewcommand{\lem}{\olddefinition\normalfont}
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||||
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||||
%General newcommands!
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||||
\newcommand{\comp}{\mathbb{C}} % complex set C
|
||||
\newcommand{\real}{\mathbb{R}} % real set R
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||||
\newcommand{\whole}{\mathbb{Z}} % whole number Symbol
|
||||
\newcommand{\natur}{\mathbb{N}} % natural number Symbol
|
||||
\newcommand{\ratio}{\mathbb{Q}} % rational number symbol
|
||||
\newcommand{\field}{\mathbb{K}} % general field for the others above!
|
||||
\newcommand{\diff}{\mathrm{d}} % differential d
|
||||
\newcommand{\s}{\,\,} % space after the function in the intergral
|
||||
\newcommand{\cont}{\mathcal{C}} % Contour C
|
||||
\newcommand{\fuk}{f(z) \s\diff z} % f(z) dz
|
||||
\newcommand{\diffz}{\s\diff z}
|
||||
\newcommand{\subint}{\int\limits} % lower boundaries for the integral
|
||||
\newcommand{\poly}{\mathcal{P}} % special P - polygon
|
||||
\newcommand{\defi}{\mathcal{D}} % D for the domain of a function
|
||||
\newcommand{\cover}{\mathcal{U}} % cover for a set
|
||||
\newcommand{\setsys}{\mathcal{M}} % set system M
|
||||
\newcommand{\setnys}{\mathcal{N}} % set system N
|
||||
\newcommand{\zetafunk}{f(\zeta)\s\diff \zeta} %f(zeta) d zeta
|
||||
\newcommand{\ztfunk}{f(\zeta)} % f(zeta)
|
||||
\newcommand{\bocirc}{S_r(z)}
|
||||
\newcommand{\prop}{\,|\,}
|
||||
\newcommand*{\QEDA}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}} %tombstone
|
||||
\newcommand{\emptybra}{\{\varnothing\}} % empty set with set-bracket
|
||||
\newcommand{\realpos}{\real_{>0}}
|
||||
\newcommand{\realposr}{\real_{\geq0}}
|
||||
\newcommand{\naturpos}{\natur_{>0}}
|
||||
\newcommand{\Imag}{\operatorname{Im}} % Imaginary symbol
|
||||
\newcommand{\Realz}{\operatorname{Re}} % Real symbol
|
||||
\newcommand{\norm}{\Vert \cdot \Vert}
|
||||
\newcommand{\metric}{\vert \cdot \vert}
|
||||
\newcommand{\foralln}{\forall n} %all n
|
||||
\newcommand{\forallnset}{\forall n \in \natur} %all n € |N
|
||||
\newcommand{\forallnz}{\forall n \geq _0} % all n >= n_0
|
||||
\newcommand{\conjz}{\overline{z}} % conjugated z
|
||||
\newcommand{\tildz}{\tilde{z}} % different z
|
||||
\newcommand{\lproofar}{"`$ \Lightarrow $"'} % "`<="'
|
||||
\newcommand{\rproofar}{"`$ \Rightarrow $"'} % "`=>"'
|
||||
\newcommand{\beha}{\Rightarrow \text{ Behauptung}}
|
||||
\newcommand{\powerset}{\mathcal{P}}
|
||||
|
||||
|
||||
% Math Operators
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\DeclareMathOperator{\inter}{int} % Set of inner points
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||||
\DeclareMathOperator{\ext}{ext} % Set of outer points
|
||||
\DeclareMathOperator{\cl}{cl} % Closure
|
||||
|
||||
% Hack page break on part page.
|
||||
|
||||
\titleclass{\part}{top}
|
||||
\titleformat{\part}[display]
|
||||
{\normalfont\huge\bfseries}{\centering\partname\ \thepart}{20pt}{\Huge\centering}
|
||||
\titlespacing*{\part}{0pt}{50pt}{40pt}
|
||||
\titleclass{\chapter}{straight}
|
||||
\titleformat{\chapter}[display]
|
||||
{\normalfont\huge\bfseries}{\chaptertitlename\ \thechapter}{20pt}{\LARGE}
|
||||
\titlespacing*{\chapter} {0pt}{50pt}{40pt}
|
||||
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||||
\setlength\parindent{0pt} % noindent whole file!
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
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||||
\title{\textbf{Analysis 1. Semester (WS2017/18)}}
|
||||
\author{Dozent: Prof. Dr. Friedemann Schuricht\\
|
||||
Kursassistenz: Moritz Schönherr}
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||||
\date{Stand: \today}
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||||
\frontmatter
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\maketitle
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\tableofcontents
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\mainmatter
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% PArt 1 Grundlagen der Mathematik
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\include{./TeX_files/chapter01_grundbegriffe_aus_mengenlehre_und_logik}
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||||
\include{./TeX_files/chapter02_aufbau_einer_math_theorie}
|
||||
% Part 2 Zahlenbereiche
|
||||
\include{./TeX_files/chapter03_nat_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter04_ganze_u_rat_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter05_reelle_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter06_komplexe_zahlen}
|
||||
% Part 3 Metrische Räume und Konvergenz
|
||||
\include{./TeX_files/chapter07_grundl_ungleichungen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter08_metr_raeume}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter09_konvergenz}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter10_vollst}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter11_kompaktheit}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter12_reihen}
|
||||
% Part 4 Funktionen und Stetigkeit
|
||||
\include{./TeX_files/chapter13_funktionen}
|
||||
|
||||
\backmatter
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||||
% bibliography, glossary and index would go here.
|
||||
|
||||
\end{document}
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59
1. Semester/LAAG/README.md
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59
1. Semester/LAAG/README.md
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@ -0,0 +1,59 @@
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# TUD_MATH_BA
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Skript zur Vorlesung LAAG.
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Wer mithelfen möchte, dieses Script zu vervollständigen, bitte melden.
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### Fortschritt Lineare Algebra
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1. Grundlagen der Linearen Algebra ... fertig
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1.1 Logik und Mengen ... fertig
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1.2 Abbildungen ... fertig
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1.3 Gruppen ... fertig
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1.4 Ringe ... fertig
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1.5 Körper ... fertig
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1.6 Polynome ... fertig
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2. Vektorräume ... fertig
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2.1 Definitionen und Beispiele ... fertig
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2.2 Linearkombinationen und lineare Abhängigkeit ... fertig
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2.3 Basis und Dimension ... fertig
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2.4 Summe von Vektorräumen ... fertig
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3. Lineare Abbildungen ... fertig
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3.1 Matrizen ... fertig
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3.2 Homomorphismen von Gruppen ... fertig
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||||
3.3 Homomorphismen von Ringen ... fertig
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3.4 Homomorphismen von Vektorräumen ... fertig
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3.5 Der Vektorraum der linearen Abbildungen ... fertig
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3.6 Koordinatendarstellug linearer Abbildungen ... fertig
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3.7 Quotientenräume ... fertig
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3.8 Rang ... fertig
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3.9 Lineare Gleichungssysteme ... fertig
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4. Determinanten ... fertig
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4.1 Das Vorzeichen einer Permutation ... fertig
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4.2 Die Determinante einer Matrix ... fertig
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4.3 Minoren ... fertig
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||||
4.4 Determinante und Spur von Endomorphismen ... fertig
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||||
BIN
1. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.pdf
Normal file
BIN
1. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.pdf
Normal file
Binary file not shown.
3070
1. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex
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3070
1. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load diff
BIN
1. Semester/Summary ANAG/Anag1_Summary.pdf
Normal file
BIN
1. Semester/Summary ANAG/Anag1_Summary.pdf
Normal file
Binary file not shown.
2134
1. Semester/Summary ANAG/Anag1_Summary.tex
Normal file
2134
1. Semester/Summary ANAG/Anag1_Summary.tex
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load diff
45
1. Semester/Summary ANAG/README.md
Normal file
45
1. Semester/Summary ANAG/README.md
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@ -0,0 +1,45 @@
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# TUD_MATH_BA
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||||
Zusammenfassung ANAG:
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||||
Definitionen, Theoreme, Sätze, Lemmas, Korollars - alles ohne Beweis
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||||
als Übersicht mit Index.
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### Fortschritt ZUsammenfassung Analysis
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1. Grundlagen der Mathematik ... noch nicht bearbeitet
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1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik ... noch nicht bearbeitet
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1.2 Aufbau einer mathematischen Theorie ... noch nicht bearbeitet
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1.3 Relationen und Funktionen ... noch nicht bearbeitet
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1.4 Bemerkungen zum Fundament der Mathematik ... noch nicht bearbeitet
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2. Zahlenbereiche ... noch nicht bearbeitet
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2.1 natürliche Zahlen ... noch nicht bearbeitet
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||||
2.2 ganze und rationale Zahlen ... noch nicht bearbeitet
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2.3 reelle Zahlen ... noch nicht bearbeitet
|
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2.4 komplexe Zahlen ... noch nicht bearbeitet
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3. Metrische Räume und Konvergenz ... noch nicht bearbeitet
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3.1 grundlegende Ungleichungen ... noch nicht bearbeitet
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3.2 Metrische Räume ... noch nicht bearbeitet
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3.3 Konvergenz ... noch nicht bearbeitet
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3.4 Vollständigkeit ... noch nicht bearbeitet
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3.5 Kompaktheit ... noch nicht berbeitet
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3.6 Reihen ... noch nicht bearbeitet
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4. Funktionen und Stetigkeit ... noch nicht bearbeitet
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4.1 Funktionen ... noch nicht bearbeitet
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BIN
1. Semester/Summary LAAG/LAAG1_Summary.pdf
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BIN
1. Semester/Summary LAAG/LAAG1_Summary.pdf
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Binary file not shown.
1692
1. Semester/Summary LAAG/LAAG1_Summary.tex
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1692
1. Semester/Summary LAAG/LAAG1_Summary.tex
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File diff suppressed because it is too large
Load diff
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2. Semester/ANAG/README.md
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7
2. Semester/ANAG/README.md
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# TUD_MATH_BA
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Skript zur Vorlesung ANAG.
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### Fortschritt Analysis
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2. Semester/ANAG/platzhalter
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0
2. Semester/ANAG/platzhalter
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2. Semester/LAAG/README.md
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6
2. Semester/LAAG/README.md
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# TUD_MATH_BA
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Skript zur Vorlesung LAAG.
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Wer mithelfen möchte, dieses Script zu vervollständigen, bitte melden.
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### Fortschritt Lineare Algebra
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119
2. Semester/LAAG/test laag.tex
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119
2. Semester/LAAG/test laag.tex
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{stmaryrd} % Widerspruch symbol
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\usepackage[framed, hyperref, thmmarks, amsmath]{ntheorem}
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed}
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\usepackage[autostyle]{csquotes}
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\usepackage{lipsum}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{pgf,tikz}
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\usetikzlibrary{matrix}
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\usetikzlibrary{arrows}
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\usepackage{mdframed}
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\usepackage{xcolor}
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||||
\newcommand{\qraum}[2]{\textsuperscript{#1}/\textsubscript{#2}}
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\usepackage{color}
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\setlength{\parindent}{0pt}
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\newcounter{Nummer}
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\newcounter{Kapitel}
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|
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\newenvironment {korollar} {\stepcounter{Nummer}\begin{mdframed}[innertopmargin=10,innerbottommargin=10,innerleftmargin=25,
|
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|
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\newenvironment {lemma} {\stepcounter{Nummer}\begin{mdframed}[innertopmargin=10,innerbottommargin=10,innerleftmargin=25,
|
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|
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\newenvironment {satzname} [1] {\stepcounter{Nummer}\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20,innertopmargin=10,innerbottommargin=10,innerleftmargin=25,
|
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innerrightmargin=25,skipabove=20] \textbf{\arabic{Kapitel}.\arabic{Nummer} Satz #1:} } {\end{mdframed}}
|
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|
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innerrightmargin=25,skipabove=20] \textbf{\arabic{Kapitel}.\arabic{Nummer} Korollar #1:} } {\end{mdframed}}
|
||||
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|
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innerrightmargin=25,skipabove=20] \textbf{\arabic{Kapitel}.\arabic{Nummer} Lemma #1:} } {\end{mdframed}}
|
||||
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\newenvironment {definition} [1] {\stepcounter{Nummer}\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20,innertopmargin=10,innerbottommargin=10,innerleftmargin=25,
|
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|
||||
\newenvironment {theorem} [1] {\stepcounter{Nummer}\begin{mdframed}[backgroundcolor=blue!20,innertopmargin=10,innerbottommargin=10,innerleftmargin=25,
|
||||
innerrightmargin=25,skipabove=20] \textbf{\arabic{Kapitel}.\arabic{Nummer} Theorem #1:} } {\end{mdframed}}
|
||||
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\newenvironment {beweis} {\begin{itshape} Beweis: \\} {\end{itshape}}
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\newenvironment {beispiel} {\stepcounter{Nummer}\textbf{Beispiel: }} {}
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\newenvironment {bemerkung} {\stepcounter{Nummer}\textbf{Bemerkung: }} {}
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\begin{document}
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\section{Test}
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\subsection{noch mehr Test}
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\stepcounter{Kapitel}
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\setcounter{Nummer}{0}
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\begin{satz}
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||||
richtig wichtiger Satz.
|
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\end{satz}
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\begin{beweis}
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klar
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||||
\end{beweis}
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||||
\begin{definition} {Fehlstand}
|
||||
Ein Fehlstand ist ...
|
||||
\end{definition}
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\begin{korollar}
|
||||
richtig wichtiges Korolar.
|
||||
\end{korollar}
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\begin{beweis}
|
||||
klar
|
||||
\end{beweis}
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||||
\subsection{Test Nummer 2}
|
||||
\stepcounter{Kapitel}
|
||||
\setcounter{Nummer}{0}
|
||||
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$\newline$
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\begin{beispiel}
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||||
Beispiel zur Visualisierung des vorherigen Contents
|
||||
\end{beispiel}
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\begin{theorem} {Gauss'sches Elimierungsverfahren}
|
||||
ganz wichtiges Verfahren um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Noch etwas Fülltext: bla bla bla bla bla bla bla bla
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bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla bla.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
klar
|
||||
\end{beweis}
|
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|
||||
\begin{lemma}
|
||||
richtig wichtiges lemma.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
klar
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{lemmaname} {extrem wichtig}
|
||||
muss ich für die Prüfung lernen
|
||||
\end{lemmaname}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
klar
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\begin{theorem} {}
|
||||
noch ein Theorem, aber diesmal ohne Namen
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\begin{beweis}
|
||||
klar
|
||||
\end{beweis}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
327
Material/Template/template.tex
Normal file
327
Material/Template/template.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,327 @@
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\usepackage[top=1cm,bottom=1.5cm,left=1cm,right=1cm]{geometry}
|
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\usepackage{bbm} %unitary matrix 1
|
||||
|
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|
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\makeindex
|
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\makeindex[name=symbols,title=Symbolverzeichnis]
|
||||
|
||||
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|
||||
\usepackage{enumitem} %customize label
|
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|
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|
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\usepackage{xfrac}%sfrac -> fractions e.g. 3/4
|
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\usepackage{parskip}%split paragraphs by vspace instead of intendations
|
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|
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|
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|
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|
||||
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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\newcommand{\coloredRule}[3][black]{\textcolor{#1}{\rule{#2}{#3}}}
|
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\theoremstyle{break}
|
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|
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|
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|
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|
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|
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||||
]{trueexample}[dummy]{Beispiel}
|
||||
|
||||
|
||||
\NewDocumentCommand{\begriff}{s O{} m O{}}{
|
||||
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|
||||
{\index{#2#3#4}}
|
||||
{\uline{#3}\index{#2#3#4}}
|
||||
}
|
||||
\NewDocumentCommand{\mathsymbol}{s O{} m m O{}}{
|
||||
\IfBooleanTF{#1}
|
||||
{\index[symbols]{#2#3@\detokenize{#4}#5}}
|
||||
{#4\index[symbols]{#2#3@\detokenize{#4}#5}}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\newcommand{\person}[1]{\textsc{#1}}
|
||||
\newcommand{\highlight}[1]{\emph{#1}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\realz}{\mathfrak{Re}}
|
||||
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|
||||
|
||||
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|
||||
|
||||
\numberwithin{dummy}{section}
|
||||
\counterwithout{section}{chapter}
|
||||
%\counterwithout{theorem}{section}
|
||||
|
||||
\author{Dozent: Prof. F Schuricht}
|
||||
\title{Analysis Grundlagen 1 \& 2} % add WS & SS
|
||||
\date{Updated: \today}
|
||||
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
|
||||
% for splitting file
|
||||
%\include{./TeX_files/chapter01}
|
||||
%\include{./TeX_files/chapter02}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
\tableofcontents
|
||||
|
||||
\chapter{Funktionen und Stetigkeit}
|
||||
|
||||
\section{Anwendungen}
|
||||
|
||||
\begin{truetheorem}[Mit Titel]
|
||||
test
|
||||
\end{truetheorem}
|
||||
|
||||
\begin{trueproposition}[Incl. Titel]
|
||||
Und Inhalt.
|
||||
\end{trueproposition}
|
||||
|
||||
\subsection{Partialbruchzerlegung}
|
||||
|
||||
\begin{truetheorem}[Mit Titel]
|
||||
test
|
||||
\end{truetheorem}
|
||||
|
||||
\begin{trueproposition}[Incl. Titel]
|
||||
Und Inhalt.
|
||||
\end{trueproposition}
|
||||
|
||||
\section{noch mehr Anwendungen}
|
||||
|
||||
\begin{truedefinition}[Und Name]
|
||||
Tada
|
||||
\end{truedefinition}
|
||||
|
||||
\begin{trueexample}[Einschließlich Überschrift]
|
||||
Verständnisfördernd...
|
||||
\end{trueexample}
|
||||
|
||||
\begin{trueconclusion}[Ergänzung]
|
||||
Einfache Schlussfolgerung
|
||||
\end{trueconclusion}
|
||||
|
||||
\begin{truelemma}
|
||||
nur Müll
|
||||
\end{truelemma}
|
||||
|
||||
\begin{truelemmaName}[Kurze, aber wichtige, Aussage]
|
||||
Klein aber fein.
|
||||
\end{truelemmaName}
|
||||
|
||||
\begin{trueremark}[Hossa]
|
||||
Dumdidum
|
||||
\end{trueremark}
|
||||
|
||||
\begin{trueexample}[Test]
|
||||
Ohne Nummer
|
||||
\end{trueexample}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Ein Beweis.
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
f = f(x) \text{ (mit Formelnnummer)}
|
||||
\end{align}
|
||||
und inline-math $\hbar$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\chapter{its you}
|
||||
|
||||
\section{or me?}
|
||||
|
||||
\begin{truetheorem}[Mit Titel]
|
||||
test
|
||||
\end{truetheorem}
|
||||
|
||||
\begin{trueproposition}[Incl. Titel]
|
||||
Und Inhalt.
|
||||
\end{trueproposition}
|
||||
|
||||
\begin{truedefinition}[Und Name]
|
||||
Tada
|
||||
\end{truedefinition}
|
||||
|
||||
\begin{trueexample}[Einschließlich Überschrift]
|
||||
Verständnisfördernd...
|
||||
\end{trueexample}
|
||||
|
||||
\begin{trueconclusion}[Ergänzung]
|
||||
Einfache Schlussfolgerung
|
||||
\end{trueconclusion}
|
||||
|
||||
\begin{truelemma}[Kurze Aussage]
|
||||
Klein aber fein.
|
||||
\end{truelemma}
|
||||
|
||||
\begin{trueremark}[Hossa]
|
||||
Dumdidum
|
||||
\end{trueremark}
|
||||
|
||||
\begin{trueexample}[Test]
|
||||
Ohne Nummer
|
||||
\end{trueexample}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Ein Beweis.
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
f = f(x) \text{ (mit Formelnnummer)}
|
||||
\end{align}
|
||||
und inline-math $\hbar$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\theoremlisttype{allname}
|
||||
\listtheorems{truetheorem}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
49
README.md
49
README.md
|
|
@ -1,49 +1,8 @@
|
|||
# TUD_MATH_BA
|
||||
Script zu den Vorlesungen ANAG, LAAG und PROG in Latex
|
||||
Skript zu den Vorlesungen Analysis (Prof. Dr. Schuricht) und Lineare Algebra (Prof. Dr. Arno Fehm) der TU Dresden
|
||||
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||||
Wer mithelfen möchte, dieses Script zu vervollständigen, bitte melden.
|
||||
Wer mithelfen möchte, dieses Skript zu vervollständigen, bitte melden.
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||||
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||||
### Fortschritt Analysis
|
||||
1. Grundlagen der Mathematik ... fertig
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### Fortschritt Analysis (2. Semester, SS2018)
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1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik ... fertig
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1.2 Aufbau einer mathematischen Theorie ... fertig
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1.3 Relationen und Funktionen ... fertig
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1.4 Bemerkungen zum Fundament der Mathematik ... fertig
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2. Zahlenbereiche ... wird bearbeitet
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2.1 natürliche Zahlen ... fertig
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2.2 ganze und rationale Zahlen ... fertig
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2.3 reelle Zahlen ... wird bearbeitet
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### Fortschritt Lineare Algebra
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1. Grundlagen der Linearen Algebra ... wird bearbeitet
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1.1 Logik und Mengen ... fertig
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1.2 Abbildungen ... fertig
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1.3 Gruppen ... fertig
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1.4 Ringe ... fertig
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1.5 Körper ... fertig
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1.6 Polynome ... wird bearbeitet
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2. Vektorräume ... noch nicht bearbeitet
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2.1 Definitionen und Beispiele ... noch nicht bearbeitet
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2.2 Linearkombinationen und lineare Abhängigkeit ... noch nicht bearbeitet
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2.3 Basis und Dimension ... noch nicht bearbeitet
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2.4 Summen von Vektorräumen ... noch nicht bearbeitet
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### Fortschritt Lineare Algebra (2. Semester, SS2018)
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@ -1,763 +0,0 @@
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=4cm,bindingoffset=5mm]{geometry}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{framed}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{booktabs}
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\title{\textbf{Analysis 1. Semester (WS2017/18)}}
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\author{Dozent: Prof. Dr. Friedemann Schuricht\\
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||||
Kursassistenz: Moritz Sch\"onherr}
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||||
\date{}
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\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\renewcommand*{\arraystretch}{1.4}
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||||
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||||
\raggedright
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||||
Mathematik besitzt eine Sonderrolle unter den Wissenschaften, da
|
||||
\begin{compactitem}
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||||
\item Resultate nicht empirisch gezeigt werden m\"ussen
|
||||
\item Resultate nicht durch Experimente widerlegt werden k\"onnen
|
||||
\end{compactitem}
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||||
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||||
\paragraph{Literatur}
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item Forster: Analysis 1 + 2, Vieweg
|
||||
\item K\"onigsberger: Analysis 1 + 2, Springer
|
||||
\item Hildebrandt: Analysis 1 + 2, Springer
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||||
\item Walter: Analysis 1 + 2, Springer
|
||||
\item Escher/Amann: Analysis 1 + 2, Birkh\"auser
|
||||
\item Ebbinghaus: Einf\"uhung in die Mengenlehre, BI-Wissenschaftsverlag
|
||||
\item Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner 1996
|
||||
\item Springer-Taschenbuch der Mathematik, Springer 2012
|
||||
\end{compactitem}
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||||
|
||||
\section{Grundlagen der Mathematik}
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||||
\subsection{Grundbegriffe aus Mengenlehre und Logik}
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||||
\textbf{Mengenlehre:} Universalit\"at von Aussagen \\
|
||||
\textbf{Logik:} Regeln des Folgerns, wahre/falsche Aussagen
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Aussage:} Sachverhalt, dem man entweder den Wahrheitswert "wahr" oder "falsch" zuordnen kann, aber nichts anders.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item 5 ist eine Quadratzahl $\to$ falsch (Aussage)
|
||||
\item Die Elbe flie{\ss}t durch Dresden $\to$ wahr (Aussage)
|
||||
\item Mathematik ist rot $\to$ ??? (keine Aussage)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Menge:} Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen. (\textsc{Cantor}, 1877)
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $M_1 :=$ Menge aller St\"adte in Deutschland
|
||||
\item $M_2 := \{1;2;3\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
F\"ur ein Objekt $m$ und eine Menge $M$ gilt stets $m \in M$ oder $m \notin M$ \\
|
||||
F\"ur die Mengen $M$ und $N$ gilt $M=N$, falls dieselben Elemente enthalten sind
|
||||
$\{1;2;3\} = \{3;2;1\} = \{1;2;2;3\}$ \\
|
||||
- $N \subseteq M$, falls $n \in M$ f\"ur jedes $n \in N$ \\
|
||||
- $N \subset M$, falls zus\"atzlich $M \neq N$ \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Aussageform:} Sachverhalt mit Variablen, der durch geeignete Ersetzung der Variablen zur Aussage wird.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $A(X) := $ Die Elbe flie{\ss}t durch X
|
||||
\item $B(X;Y;Z) := X + Y = Z$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
- aber $A(Dresden) ,B(2;3;4)$ sind Aussagen, $A(Mathematik)$ ist keine Aussage \\
|
||||
- $A(X)$ ist eine Aussage f\"u jedes $X \in M_1$ $\to$ Generalisierung von Aussagen durch Mengen
|
||||
|
||||
\paragraph{Bildung und Verkn\"upfung von Aussagen}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$A$ & $B$ & $\lnot A$ & $A \land B$ & $A \lor B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
|
||||
\hline
|
||||
w & w & f & w & w & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
w & f & f & f & w & f & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & w & w & f & w & w & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & f & w & f & f & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\lnot$(3 ist gerade) $\to$ w
|
||||
\item (4 ist gerade) $\land$ (4 ist Primzahl) $\to$ f
|
||||
\item (3 ist gerade) $\lor$ (3 ist Primzahl) $\to$ w
|
||||
\item (3 ist gerade) $\Rightarrow$ (Mond ist W\"urfel) $\to$ w
|
||||
\item (Die Sonne ist hei{\ss}) $\Rightarrow$ (es gibt Primzahlen) $\to$ w
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
Auschlie{\ss}endes oder: (entweder $A$ oder $B$) wird realisiert durch $\lnot(A \iff B)$.
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Aussageform $A(X)$ sei f\"ur jedes $X \in M$ Aussage: neue Aussage mittels Quantoren
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\forall$: "f\"ur alle"
|
||||
\item $\exists$: "es existiert"
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\forall n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ f
|
||||
\item $\exists n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ w
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Tautologie bzw. Kontraduktion/Widerspruch:} zusammengesetzte Aussage, die
|
||||
unabh\"angig vom Wahrheitsgehalt der Teilaussagen stest wahr bzw. falsch ist.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Tautologie (immer wahr):
|
||||
$(A) \lor (\lnot A), \lnot (A \land (\lnot A)), (A \land B) \Rightarrow A$
|
||||
\item Widerspruch (immer falsch): $A \land (\lnot A), A \iff \lnot A$
|
||||
\item besondere Tautologie: $(A \Rightarrow B) \iff (\lnot B \Rightarrow \lnot A)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz (de Morgansche Regeln):} Folgende Aussagen sind Tautologien:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\lnot(A \land B) \iff \lnot A \lor \lnot B$
|
||||
\item $\lnot(A \lor B) \iff \lnot A \land \lnot B$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\paragraph{Bildung von Mengen}
|
||||
Seien $M$ und $N$ Mengen
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Aufz\"ahlung der Elemente: $\{1;2;3\}$
|
||||
\item mittels Eigenschaften: $\{X \in M \mid A(X)\}$
|
||||
\item $\emptyset:=$ Menge, die keine Elemente enth\"alt
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item leere Menge ist immer Teilmenge jeder Menge $M$
|
||||
\item \textbf{Warnung:} $\{\emptyset\} \neq \emptyset$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\item Verkn\"upfung von Mengen wie bei Aussagen
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Mengensystem:} Ein Mengensystem $\mathcal M$ ist eine Menge, bestehend aus anderen Mengen.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\bigcup M := \{X \mid \exists M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Vereinigung aller Mengen in
|
||||
$\mathcal M$)
|
||||
\item $\bigcap M := \{X \mid \forall M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Durchschnitt aller Mengen in
|
||||
$\mathcal M$)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Potenzmenge:} Die Potenzmenge $\mathcal P$ enth\"alt alle Teilmengen einer Menge $M$. \\
|
||||
$\mathcal P(X) := \{\tilde M \mid \tilde M \subset M\}$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Beispiel:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $M_3 := \{1;3;5\}$ \\
|
||||
$\to \mathcal P(M_3) = \{\emptyset, \{1\}, \{3\}, \{5\}, \{1;3\}, \{1;5\}, \{3;5\}, \{1;3;5\}\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz (de Morgansche Regeln f\"ur Mengen):}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(\mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N^C$
|
||||
\item $(\mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N^C$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Kartesisches Produkt:}
|
||||
$M \times N := \{m,n \mid m \in M \land n \in N\}$ \\
|
||||
$(m,n)$ hei{\ss}t geordnetes Paar (Reihenfolge wichtig!) \\
|
||||
allgemeiner: $M_1 \times ... \times M_k := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$ \\
|
||||
$M^k := M \times ... \times M := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz (Auswahlaxiom): } Sei $\mathcal M$ ein Mengensystem nichtleerer paarweise disjunkter Mengen $M$.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Es existiert eine Auswahlmenge $\tilde M$, die mit jedem $M \in \mathcal M$ genau 1 Element gemeinsam hat.
|
||||
\item beachte: Die Auswahl ist nicht konstruktiv!
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Aufbau einer mathematischen Theorie}
|
||||
Axiome $\to$ Beweise $\to$ S\"atze ("neue" wahre Aussagen) \\
|
||||
$\to$ ergibt Ansammlung (Menge) wahrer Aussagen
|
||||
|
||||
\paragraph{Formulierung mathematischer Aussagen}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item typische Form eines mathematischen Satzes: "Wenn A gilt, dann gilt auch B."
|
||||
\item formal: $A \Rightarrow B$ bzw. $A(X) \Rightarrow B(X)$ ist stets wahr (insbesondere falls
|
||||
A wahr ist)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Beispiel
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $X \in \mathbb N$ und ist durch 4 teilbar $\Rightarrow X$ ist durch 2 teilbar
|
||||
\item beachte: Implikation auch wahr, falls $X = 5$ oder $X =6$, dieser Fall ist aber
|
||||
uninteressant
|
||||
\item genauer meint man sogar $A \land C \Rightarrow B$, wobei $C$ aus allen bekannten wahren
|
||||
Aussagen besteht
|
||||
\item man sagt: $B$ ist \textbf{notwendig} f\"ur $A$, da $A$ nur wahr sein kann, wenn $B$
|
||||
wahr ist
|
||||
\item man sagt: $A$ ist \textbf{hinreichend} f\"ur $B$, da $B$ stets wahr ist, wenn $A$ wahr ist
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\paragraph{Mathematische Beweise}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item \textbf{direkter Beweis:} finde Zwischenaussagen $A_1,...,A_k$, sodass f\"ur $A$ auch wahr: \\
|
||||
$(A \Rightarrow A_1) \land (A_1 \Rightarrow A_2) \land ... \land (A_k \Rightarrow B)$
|
||||
\item Beispiel: Zeige $x > 2 \Rightarrow x^2-3x+2>0$ \\
|
||||
$(x>2) \Rightarrow (x-2>0) \land (x-1>0) \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \Rightarrow x^2-3x+2>0$
|
||||
\item \textbf{indirekter Beweis:} auf Grundlage der Tautologie $(A \Rightarrow B) \iff
|
||||
(\lnot B \Rightarrow \lnot A)$ f\"uhrt man direkten Beweis $\lnot B \Rightarrow \lnot A$ (das
|
||||
hei{\ss}t angenommen $B$ falsch, dann auch $A$ falsch)
|
||||
\item praktisch formuliert man das auch so: $(A \land \lnot B) \Rightarrow ... \Rightarrow (A
|
||||
\land \lnot A)$
|
||||
\item Beispiel: Zeige $x^2-3x+2 \le 0$ sei wahr \\
|
||||
$\lnot B \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \le 0 \Rightarrow 1 \le x \le 2 \Rightarrow x \le 2
|
||||
\Rightarrow \lnot A$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\subsection{Relationen und Funktionen}
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Relation:} Seien $M$ und $N$ Mengen. Dann ist jede Teilmenge $R$ von
|
||||
$M \times N$ eine Relation. \\
|
||||
$(x,y) \in R$ hei{\ss}t: $x$ und $y$ stehen in Relation zueinander
|
||||
\end{framed}
|
||||
Beispiele
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $M$ ist die Menge aller Menschen. Die Liebesbeziehung $x$ liebt $y$ sieht als geordnetes Paar
|
||||
geschrieben so aus: $(x,y)$. Das hei{\ss}t die Menge der Liebespaare ist das: $L := \{(x,y) \mid
|
||||
x \; liebt \; y\}$. Und es gilt: $L \subset M \times M$.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
Die Relation $R \subset M \times N$ hei{\ss}t \textbf{Ordnungsrelation} (kurz. Ordnung) auf M, falls f\"ur alle $a,b,c \in M$ gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (antisymetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\item z.B. $R = \{(X,Y) \in \mathcal P(Y) \times \mathcal P(Y) \mid X \subset Y\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Eine Ordnungsrelation hei{\ss}t \textbf{Totalordnung}, wenn zus\"atzlich gilt: $(a,b) \in R \lor
|
||||
(b,a) \in R$ \\
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Beispiel \\
|
||||
Seien $m$, $n$ und $o$ nat\"urliche Zahlen, dann ist $R = \{(m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}
|
||||
\mid x \le y\}$ eine Totalordnung, da
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \le m$ (reflexiv)
|
||||
\item $(m \le n \land n \le m) \Rightarrow m=n$ (antisymetrisch)
|
||||
\item $(m \le n \land n \le o) \Rightarrow m \le o$ (transitiv)
|
||||
\item $m \le n \lor n \le m$ (total)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Eine Relation auf $M$ hei{\ss}t \textbf{\"Aquivalenzrelation}, wenn f\"ur alle $a,b,c \in M$ gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (symetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Obwohl Ordnungs- und \"Aquivalenzrelation die gleichen Eigenschaften haben, haben sie
|
||||
unterschiedliche Zwecke: Ordnungsrelationen ordnen Elemente in einer Menge (z.B. das Zeichen $\le$
|
||||
ordnet die Menge der nat\"urlichen Zahlen), w\"ahrend \"Aquivalenzrelationen eine Menge in disjunkte
|
||||
Teilmengen (\"Aquivalenzklassen) ohne Rest aufteilen. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Wenn $R$ eine Ordnung auf M ist, so wird h\"aufig geschrieben: \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} $a \le b$ bzw. $a \ge b$ falls $(a,b) \in \mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} $a < b$ bzw. $a > b$ falls zus\"atzlich $a \neq b$ \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Abbildung/Funktion:} Eine Funktion $F$ von $M$ nach $N$
|
||||
(kurz: $F: M \mapsto N$), ist eine Vorschrift, die jedem Argument/Urbild $m \in M$ genau einen
|
||||
Wert/Bild $F(m) \in N$ zuordnet. \\
|
||||
$D(F) := M$ hei{\ss}t Definitionsbereich/Urbildmenge \\
|
||||
\noindent\hspace*{15mm} $N$ hei{\ss}t Zielbild \\
|
||||
$F(M') := \{n \in N \mid n=F(m)$ f\"ur ein $m \in M' \}$ ist Bild von $M' \subset M$ \\
|
||||
$F^{-1}(N') := \{m \in M \mid n=F(m)$ f\"ur ein $N' \}$ ist Urbild von $N' \subset N$ \\
|
||||
$R(F) := F(M)$ hei{\ss}t Wertebereich/Bildmenge \\
|
||||
$graph(F) := \{(m,n) \in M \times N \mid n=F(m)\}$ hei{\ss}t Graph von $F$ \\
|
||||
$F_{\mid M'}$ ist Einchr\"ankungvon $F$ auf $M' \subset M$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Unterschied Zielmenge und Wertebereich: $f(x) = sin(x):$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Zielmenge: $\mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Wertebereich: $[-1;1]$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Funktionen $F$ und $G$ sind gleich, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $D(F) = D(G)$
|
||||
\item $F(m) = G(m) \quad \forall m \in D(F)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Manchaml wird auch die vereinfachende Schreibweise benutzt: \\
|
||||
- $F: M \mapsto N$, obwohl $D(F) \subsetneq M$ (z.B. $tan: \mathbb R \mapsto \mathbb R$, Probleme
|
||||
bei $\frac{\pi} {2}$) \\
|
||||
- gelegentlich spricht man auch von "Funktion $F(m)$" statt Funktion $F$ \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Komposition/Verkn\"upfung:} Die Funktionen $F: M \mapsto N$ und $G: N \mapsto P$
|
||||
sind verkn\"upft, wenn \\
|
||||
$F \circ G: M \mapsto P$ mit $(F \circ G)(m) := G(F(m))$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Funktionen:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item injektiv: Zuordnung ist eineindeutig $\to F(m_1) = F(m_2) \Rightarrow m_1=m_2$
|
||||
\item Beispiel: $x^2$ ist nicht injektiv, da $F(2)=F(-2)=4$
|
||||
\item surjektiv: $F(M) = N \quad \forall n \in N \; \exists m \in M: F(m)=n$
|
||||
\item Beispiel: $sin(x)$ ist nicht surjektiv, da es kein $x$ f\"ur $y=27$ gibt
|
||||
\item bijektiv: injektiv und surjektiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
F\"ur bijektive Abbildung $F: M \mapsto N$ ist Umkehrabbildung/inverse Abbildung $F^{-1}: N \mapsto M$
|
||||
definiert durch: $F^{-1}(n) = m \iff F(m)=n$ \\
|
||||
Hinweis: Die Notation $F^{-1}(N')$ f\"ur Urbild bedeutet nicht, dass die inverse Abbildung $F^{-1}$
|
||||
existiert.
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||||
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||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Sei $F: M \mapsto N$ surjektiv. Dann existiert die Abbildung $G: N \mapsto M$,
|
||||
sodass $F \circ G = id_N$ (d.h. $F(G(n))=n \quad \forall n \in N$)
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Rechenoperation/Verkn\"upfung:} Eine Rechenoperation auf einer Menge $M$ ist
|
||||
die Abbildung $*: M \times M \mapsto M$ d.h. $(m,n) \in M$ wird das Ergbnis $m*n \in M$ zugeordnet.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item hat neutrales Element $e \in M: m*e=m$
|
||||
\item ist kommutativ $m*n=n*m$
|
||||
\item ist assotiativ $k*(m*n)=(k*m)*n$
|
||||
\item hat ein inverses Element $m' \in M$ zu $m \in M: m*m'=e$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$e$ ist stets eindeutig, $m'$ ist eindeutig, wenn die Operation $*$ assoziativ ist. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
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||||
\item Addition $+$: $(m,n) \mapsto m+n$ Summe, neutrales Element hei{\ss}t Nullelement, inverses
|
||||
Element $-m$
|
||||
\item Multiplikation $\cdot$: $(m,n) \mapsto m \cdot n$ Produkt, neutrales Element Eins, inverses
|
||||
Element $m^{-1}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Addition und Multiplikation sind distributiv, falls $k(m+n) = k \cdot m + k \cdot n$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition K\"orper:} Eine Menge $M$ ist ein K\"orper $K$, wenn man auf $K$ eine Addition
|
||||
und eine Multiplikation mit folgenden Eigenschaften durchf\"uhren kann:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es gibt neutrale Elemente 0 und 1 $\in K$
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind jeweils kommutativ und assoziativ
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind distributiv
|
||||
\item es gibt Inverse $-k$ und $k^{-1} \in K$ \\
|
||||
$\to$ die reellen Zahlen sind ein solcher K\"orper
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Eine Menge $M$ habe die Ordnung "$\le$" und diese erlaubt die Addition und Multiplikation, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $a \le b \iff a+c \le b+c$
|
||||
\item $a \le b \iff a \cdot c \le b \cdot c \quad c >0$ \\
|
||||
$\to$ Man kann die Gleichungen in gewohnter Weise umformen.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ein K\"orper $K$ hei{\ss}t angeordnet, wenn er eine Totalordnung besitzt, die mit Addition
|
||||
und Multiplikation vertr\"aglich ist. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Isomorphismus} bez\"uglich einer Struktur ist die bijektive Abbildung $I: M_1
|
||||
\mapsto M_2$, die die vorhandene Struktur auf $M_1$ und $M_2$ erh\"alt, z.B.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Ordnung $\le_1$ auf $M_1$, falls $a \le_1 b \iff I(a) \le_2 I(b)$
|
||||
\item Abbildung $F_i: M_i \mapsto M_i$, falls $I(F_1(a)) = F_2(I(a))$
|
||||
\item Rechenoperation $*_i: M_i \times M_i \mapsto M_i$, falls $I(a*_1b) = I(a) *_2 I(b)$
|
||||
\item spezielles Element $a_i \in M_i$, falls $I(a_1) = a_2$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textit{"Es gibt 2 verschiedene Arten von reellen Zahlen, meine und Prof. Schurichts. Wenn wir einen
|
||||
Isomorphismus finden, dann bedeutet das, dass unsere Zahlen strukturell die selben sind."}\\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Beispiele: $M_1 = \mathbb N$ und $M_2 = \{$gerade Zahlen$\}$, jeweils mit Addition, Multiplikation
|
||||
und Ordnung \\
|
||||
$\to I: M_2 \mapsto M_2$ mit $I(k)=2k \quad \forall k \in \mathbb N$ \\
|
||||
$\to$ Isomorphismus, der die Addition, Ordnung und die Null, aber nicht die Multiplikation erh\"alt
|
||||
|
||||
\subsection{Bemerkungen zum Fundament der Mathematik}
|
||||
Forderungen an eine mathematische Theorie:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item widerspruchsfrei: Satz und Negation nicht gleichzeitig herleitbar
|
||||
\item vollst\"andig: alle Aussagen innerhalb der Theorie sind als wahr oder falsch beweisbar
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
2 Unvollst\"andigkeitss\"atze:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item jedes System ist nicht gleichzeitig widerspruchsfrei und vollst\"andig
|
||||
\item in einem System kann man nicht die eigene Widerspruchsfreiheit zeigen
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\section{Zahlenbereiche}
|
||||
\subsection{Nat\"urliche Zahlen}
|
||||
$\mathbb N$ sei diejenige Menge, die die \textbf{Peano-Axiome} erf\"ullt, das hei{\ss}t
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\mathbb N$ sei induktiv, d.h. es existiert ein Nullelement und eine injektive Abbildung
|
||||
$\mathbb N \mapsto \mathbb N$ mit $\nu(n) \neq 0 \quad \forall n$
|
||||
\item Falls $N \subset \mathbb N$ induktiv in $\mathbb N$ (0, $\nu(n) \in N$ falls $n \in N
|
||||
\Rightarrow N = \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\to \mathbb N$ ist die kleinste induktive Menge \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Nach der Mengenlehre ZF (Zermelo-Fraenkel) existiert eine solche Menge $\mathbb N$ der nat\"urlichen
|
||||
Zahlen. Mit den \"ublichen Symbolen hat man:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $0 := \emptyset$
|
||||
\item $1 := \nu(0) := \{\emptyset\}$
|
||||
\item $2 := \nu(1) := \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$
|
||||
\item $3 := \nu(2) := \{\emptyset, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Damit ergibt sich in gewohnter Weise $\mathbb N = \{1; 2; 3; ...\}$ \\
|
||||
anschauliche Notation $\nu(n) = n+1$ (beachte: noch keine Addition definiert!) \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Theorem:} Falls $\mathbb N$ und $\mathbb N'$ die Peano-Axiome erf\"ullen, sind sie
|
||||
isomorph bez\"uglich Nachfolgerbildung und Nullelement. Das hei{\ss}t alle solche $\mathbb N'$
|
||||
sind strukturell gleich und k\"onnen mit obigem $\mathbb N$ identifiziert werden.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz (Prinzip der vollst\"andigen Induktion):} Sei $\{A_n \mid n \in N\}$ eine Menge
|
||||
von Aussagen $A_n$ mit der Eigenschaft \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm}IA: $A_0$ ist wahr \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm}IS: $\forall n \in \mathbb N$ gilt $A_n \Rightarrow A_{n+1}$ \\
|
||||
$A_n$ ist wahr f\"ur alle $n \in \mathbb N$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Lemma:} Es gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\nu(n) \cup \{0\} = \mathbb N$
|
||||
\item $\nu(n) \neq n \quad \forall n \in \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz (rekursive Definition/Rekursion):} Sei $B$ eine Menge und $b \in B$. Sei $F$ eine
|
||||
Abbildung mit $F: B \times \mathbb N \mapsto B$. Dann liefert nach Vorschrift: $f(0) := b$ und
|
||||
$f(n+1) = F(f(n),n) \quad \forall n \in \mathbb N$ genau eine Abbildung $f: \mathbb N \mapsto B$.
|
||||
Das hei{\ss}t eine solche Abbildung exstiert und ist eindeutig.
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Definition Addition '$+$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb N$ auf $\mathbb N$
|
||||
durch $n+0:=n$, $n+\nu(m):=\nu(n+m) \quad \forall n,m \in \mathbb N$
|
||||
\item Definition Multiplikation '$\cdot$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb
|
||||
N$ auf $\mathbb N$ durch $n \cdot 0 := 0$, $n \cdot \nu(m) := n \cdot m + n \quad \forall
|
||||
n,m \in \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
F\"ur jedes feste $n \in \mathbb N$ sind beide Definitionen rekursiv und eindeutig definiert. \\
|
||||
$\forall n \in \mathbb N$ gilt: $n+1=n+\nu(0)=\nu(n+0) = \nu(n)$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Addition und Multiplikation haben folgende Eigenschaften:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es existiert jeweils ein neutrales Element
|
||||
\item kommutativ
|
||||
\item assoziativ
|
||||
\item distributiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Es gilt $\forall k,m,n \in \mathbb N$:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \neq 0 \Rightarrow m+n \neq 0$
|
||||
\item $m \cdot n = 0 \Rightarrow n=0$ oder $m=0$
|
||||
\item $m+k=n+k \Rightarrow m=n$ (K\"urzungsregel der Addition)
|
||||
\item $m \cdot k=n \cdot k \Rightarrow m=n$ (K\"urzungsregel der Multiplikation)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ordnung auf $\mathbb N:$ Relation $R := \{(m,n) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m \le n\}$ \\
|
||||
wobei $m \le n \iff n=m+k$ f\"ur ein $k \in \mathbb N$ \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Es gilt auf $\mathbb N:$
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \le n \Rightarrow \exists ! k \in \mathbb N: n=m+k$, nenne $n-m:=k$ (Differenz)
|
||||
\item Relation $R$ (bzw. $\le$) ist eine Totalordnung auf $\mathbb N$
|
||||
\item Ordnung $\le$ ist vertr\"aglich mit der Addition und Multiplikation
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Bweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Sei $n=m+k=m+k' \Rightarrow k=k'$
|
||||
\item Sei $n=n+0 \Rightarrow n \le n \Rightarrow$ reflexiv \\
|
||||
sei $k\le m, m \le n \Rightarrow \exists l,j: m=k+l, n=m+j=(k+l)+j=k+(l+j) \Rightarrow
|
||||
k \le n \Rightarrow$ transitiv \\
|
||||
sei nun $m \le n und n \le m \Rightarrow n=m+j=n+l+j \Rightarrow 0=l+j \Rightarrow j=0
|
||||
\Rightarrow n=m \Rightarrow$ antisymmetrisch \\
|
||||
Totalordnung, d.h. $\forall m,n \in \mathbb N: m\le n$ oder $n\le m$ \\
|
||||
IA: $m=0$ wegen $0=n+0$ folgt $0 \le n \forall n$ \\
|
||||
IS: gelte $m\le n$ oder $n \le m$ mit festem $m$ und $\forall n \in \mathbb N$, dann \\
|
||||
falls $n \le m \Rightarrow n \le m+1$ \\
|
||||
falls $m < n \Rightarrow \exists k \in \mathbb N: n=m+(k+1)=(m+)1+k \Rightarrow m+1 \le n$ \\
|
||||
$m\le n$ oder $n \le m$ gilt für $m+1$ und $\forall n \in \mathbb N$, also $\forall n,m \in
|
||||
\mathbb N$
|
||||
\item sei $m \le n \Rightarrow \exists j: n=m+j \Rightarrow n+k=m+j+k \Rightarrow m+k \le n+k$
|
||||
\end{compactitem}}
|
||||
|
||||
\subsection{Ganze und rationale Zahlen}
|
||||
\textbf{Frage:} Existiert eine natürliche Zahl $x$ mit $n=n'+x$ für ein gegebenes $n$ und $n'$? \\
|
||||
\textbf{Antwort:} Das geht nur falls $n \le n'$, dann ist $x=n-n'$ \\
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlenbereichserweiterung, sodass die Gleichung immer l\"osbar ist. Ordne jedem Paar
|
||||
$(n,n') \in \mathbb N \times \mathbb N$ eine neue Zahl als L\"osung zu. Gewisse Paare liefern die
|
||||
gleiche L\"osung, z.B. $(6,4),(5,3),(7,5)$. Diese m\"ussen mittels Relation identifiziert werden. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
$\mathbb Q := \{(n_1,n_1'),(n_2,n_2') \in (\mathbb N \times \mathbb N) \times (\mathbb N \times
|
||||
\mathbb N) \mid n_1+n_2'=n_1'+n_2\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} $\mathbb Q$ ist die \"Aquivalenzrelation auf $\mathbb N \times \mathbb N$
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(5,3) \sim (6,4) \sim (7,5)$ bzw. $(5-3) \sim (6-4) \sim (7-5)$
|
||||
\item $(3,6) \sim (5,8)$ bzw. $(3-6) \sim (5-8)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item offenbar $((n,n'),(n,n')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ reflexiv
|
||||
\item falls $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q \Rightarrow (n_2,n_2'),(n_1,n_1')) \in
|
||||
\mathbb Q \Rightarrow$ symmetrisch
|
||||
\item sei $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q$ und $((n_2,n_2'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q
|
||||
\Rightarrow n_1+n_2'=n_1'+n_2, n_2+n_3'=n_2'+n_3 \Rightarrow n_1+n_3'=n_1'+n_3 \Rightarrow
|
||||
((n_1,n_1'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ transitiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
setze $\overline \mathbb Z := \{[(n,n')] \mid n,n' \in \mathbb N\}$ Menge der ganzen Zahlen,
|
||||
[ganze Zahl] \\
|
||||
Kurzschreibweise: $\overline m := [(m,m')]$ oder $\overline n := [(n,n')]$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Sei $[(n,n')] \in \overline \mathbb Z$. Dann existiert eindeutig $n* \in
|
||||
\mathbb N$ mit
|
||||
$(n*,0) \in [(n,n')]$, falls $n \ge n'$ bzw. $(0,n*) \in [(n,n')]$ falls $n < n'$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $n \ge n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n=n'+n* \Rightarrow (n*,0) \sim (n,n')$
|
||||
\item $n < n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n+n*=n' \Rightarrow (0,n*) \sim (n,n')$
|
||||
\end{compactitem}}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Frage:} Was hat $\overline \mathbb Z$ mit $\mathbb Z$ zu tun?\\
|
||||
\textbf{Antwort:} identifiziere $(n,0)$ bzw. $(n-0)$ mit $n \in \mathbb N$ und identifiziere $(0,n)$
|
||||
bzw. $(0-n)$ mit Symbol $-n$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ ganze Zahlen kann man eindeutig den Elementen folgender Mengen zuordnen: $\mathbb Z :=
|
||||
\mathbb N \cup \{(-n) \mid n \in \mathbb N\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen auf $\overline \mathbb Z$:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Addition: $\overline m + \overline n = [(m,m')]+[(n,n')]=[(m+n,m'+n')]$
|
||||
\item Multiplikation: $\overline m \cdot \overline n = [(m,m')] \cdot [(n,n')]=[(mn+m'n',mn'+m'n)]$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Addition und Multiplikation sind eindeutig definiert, d.h. unabh\"angig von
|
||||
Repr\"asentant bez\"uglich $\mathbb Q$
|
||||
\end{framed}
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
Sei $(m_1,m_1') \sim (m_2,m_2'), (n_1,n_1') \sim (n_2,n_2') \Rightarrow m_1+m_2'=m_1'+m_2, n_1
|
||||
+n_2'=n_1'+n_2 \Rightarrow m_1+n_1+m_2'+n_2'=m_1'+n_1'+m_2+n_2 \Rightarrow (m_1,m_1')+(n_1,n_1')
|
||||
\sim (m_2,m_2')+(n_2,n_2')$} \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} F\"ur Addition und Multiplikation auf $\mathbb Z$ gilt $\forall \overline m,
|
||||
\overline n \in \overline \mathbb Z$:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es existiert eine neutrales Element: $0:=[(0,0)]$, $1:=[(1,0)]$
|
||||
\item jeweils kommutativ, assoziativ und gemeinsam distributiv
|
||||
\item $- \overline n := [(n',n)] \in \mathbb Z$ ist invers bez\"uglich der Addition zu
|
||||
$[(n,n')] = \overline n$
|
||||
\item $(-1) \cdot \overline n = - \overline n$
|
||||
\item $\overline m \cdot \overline n = 0 \iff \overline m =0 \lor \overline n=0$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item offenbar $\overline n +0=0+\overline n=\overline n$ und $\overline n \cdot 1 = 1 \cdot
|
||||
\overline n = \overline n$
|
||||
\item Flei{\ss}arbeit
|
||||
\item offenbar $\overline n+(- \overline n) = (- \overline n)+\overline n=[(n+n',m+m')]=0$
|
||||
\item $(-1)\cdot \overline n = [(0,1)]\cdot [n,n']=[n',n]=-\overline n$
|
||||
\item \"Ubungsaufgabe
|
||||
\end{compactitem}}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} F\"ur $\overline m, \overline n \in \mathbb Z$ hat die Gleichung $\overline m=
|
||||
\overline n + \overline x$ die L\"osung $\overline x=\overline m+(-\overline n)$
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ordnung auf $\overline \mathbb Z:$ betrachte Relation $R := \{(\overline m,\overline n) \in
|
||||
\overline \mathbb Z \times \overline \mathbb Z \mid \overline m \le \overline n\}$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} $R$ ist Totalordnung auf $\mathbb Z$ und vertr\"aglich mit Addition und
|
||||
Multiplikation
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ordnung vertr\"aglich mit Addition: $\overline n < 0 \iff 0=\overline n+(-\overline n) < -\overline n
|
||||
= (-1) \cdot \overline n$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
beachte: $\mathbb Z := \mathbb N \cup \{(-n) \mid n \in \mathbb N_{>0}\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} $\mathbb Z$ und $\overline \mathbb Z$ sind isomorph bez\"uglich Addition,
|
||||
Multiplikation und Ordnung.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
betrachte Abbildung $I: \mathbb Z \to \overline \mathbb Z$ mit $I(k):=[(k,0)]$ und $I(-k):=[(0,k)]
|
||||
\quad \forall k \in \mathbb N \Rightarrow$ \"Ubungsaufgabe}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Notation: verwende stets $\mathbb Z$, schreibe $m,n,...$ statt $\overline m, \overline n,...$ f\"ur
|
||||
ganze Zahlen in $\mathbb Z$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Frage:} Existiert eine ganze Zahl mit $n=n' \cdot x$ f\"ur $n,n' \in \mathbb Z, n' \neq 0$ \\
|
||||
\textbf{Antwort:} im Allgemeinen nicht
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlbereichserweiterung analog zu $\mathbb N \to \mathbb Z$ \\
|
||||
ordne jedem Paar $(n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z$ neue Zahl $x$ zu \\
|
||||
schreibe $(n,n')$ auch als $\frac{n}{n'}$ oder $n:n'$ \\
|
||||
identifiziere Paare wie z.B. $\frac 4 2, \frac 6 3, \frac 8 4$ durch Relation \\
|
||||
$\mathbb Q := {(\frac{n_1}{n'_2}, \frac{n_2}{n'_2}) \in (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0})
|
||||
\times (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}) \mid n_1n'_2=n'_1n_2}$ \\
|
||||
$\Rightarrow \mathbb Q$ ist eine \"Aquivalenzrelation auf $\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}$ \\
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$\newline$
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||||
setze $\mathbb Q := {[\frac{n}{n'}] \mid (n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}}$ Menge der
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rationalen Zahlen \\
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beachte: unendlich viele Symbole $\frac{n}{n'}$ f\"ur gleiche Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
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wir schreiben sp\"ater $\frac{n}{n'}$ f\"ur die Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
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$\newline$
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offenbar gilt die K\"urzungsregel: $[\frac{n}{n'}]=[\frac{kn}{kn'}] \quad \forall k \in
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\mathbb Z_{\neq 0}$ \\
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$\newline$
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||||
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\textbf{Rechenoperationen auf $\mathbb Q$:} \\
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item Addition: $[\frac{m}{m'}]+[\frac{n}{n'}] := [\frac{mn'+m'n}{m'n'}]$
|
||||
\item Multiplikation: $[\frac{m}{m'}] \cdot [\frac{n}{n'}] := [\frac{mn}{m'n'}]$
|
||||
\end{compactitem}
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$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Mit Addition und Multiplikation ist $\mathbb Q$ ein K\"orper mit
|
||||
\begin{compactitem}
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||||
\item neutralen Elementen: $0=[\frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=
|
||||
[\frac{0_{\mathbb Z}}{n_{\mathbb Z}}], 1:=[\frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=[\frac n n]
|
||||
\neq 0$
|
||||
\item inversen Elementen: $-[\frac{n}{n'}]=[\frac{-n}{n}], [\frac{n}{n'}]^{-1}=[\frac{n'}{n}]$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
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$\newline$
|
||||
|
||||
Ordnung auf $\mathbb Q:$ f\"ur $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$ kann man stets $n'>0$ annehmen \\
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||||
Realtion: $R:=\{([\frac{m}{m'}],[\frac{n}{n'}]) \in \mathbb Q \times \mathbb Q \mid mn' \le m'n,
|
||||
m',n' > 0\}$ gibt Ordnung $\le$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} $\mathbb Q$ ist ein angeordneter K\"orper (d.h. $\le$ ist eine Totalordnung und
|
||||
vertr\"aglich mit Addition und Multiplikation)
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
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||||
|
||||
Notation: schreibe vereinfacht nur noch $\frac{n}{n'}$ f\"ur die Zahl $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$
|
||||
und verwende auch Symbole $p,q,...$ f\"ur Elemente aus $\mathbb Q$ \\
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||||
$\newline$
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||||
|
||||
Gleichung $p \cdot x = q$ hat stets eindeutige L\"osung: $x=q \cdot p^{-1}$ ($p,q \in \mathbb Q,
|
||||
p \neq 0$) \\
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||||
$\newline$
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||||
|
||||
\textbf{Frage:} $\mathbb N \subset \mathbb Z \to \mathbb Z \subset \mathbb Q$?
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||||
\textbf{Antwort:} Sei $\mathbb Z_{\mathbb Q} := {\frac n 1 \in \mathbb Q \mid n \mathbb Z}, I:
|
||||
\mathbb Z \to \mathbb Z_{\mathbb Q}$ mit $I(n)=\frac n 1$ \\
|
||||
$\Rightarrow I$ ist Isomorphismus bez\"uglich Addition, Multiplikation und Ordnung. \\
|
||||
In diesem Sinn: $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Folgerung:} K\"orper $\mathbb Q$ ist archimedisch angeordnet, d.h. f\"ur alle $q \in
|
||||
\mathbb Q \exists n \in \mathbb N: q<_{\mathbb Q} n$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
Sei $q = [\frac{k}{k'}]$ mit $k'>0$ \\
|
||||
$n := 0$ falls $k<0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{0}{k'}]=0=n$ \\
|
||||
$n := k+1$ falls $k \ge 0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{k+1}{k'}]=n$}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\subsection{reelle Zahlen}
|
||||
\end{document}
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||||
|
|
@ -1,878 +0,0 @@
|
|||
\documentclass[11pt]{article}
|
||||
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=4cm,bindingoffset=5mm]{geometry}
|
||||
\usepackage{scrpage2}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{paralist}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{framed}
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||||
\usepackage{booktabs}
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||||
\title{\textbf{Lineare Algebra 1. Semester (WS2017/18)}}
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||||
\author{Dozent: Prof. Dr. Arno Fehm}
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\date{}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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||||
\renewcommand*{\arraystretch}{1.4}
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||||
\raggedright
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||||
\section{Grundgegriffe der Linearen Algebra}
|
||||
\subsection{Logik und Mengen}
|
||||
Wir werden die Grundlagen der Logik und der Mengenlehre kurz ansprechen.
|
||||
\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Aussagenlogik}
|
||||
Jede mathematisch sinnvolle Aussage ist entweder wahr oder falsch, aber nie beides!
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item "$1+1=2$" $\to$ wahr
|
||||
\item "$1+1=3$" $\to$ falsch
|
||||
\item "Es gibt unendlich viele Primzahlen" $\to$ wahr
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Man ordnet jeder mathematischen Aussage $A$ einen Wahrheitswert "wahr" oder "falsch" zu. Aussagen
|
||||
lassen sich mit logischen Verkn\"upfungen zu neuen Aussagen zusammensetzen.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\lor \to$ oder
|
||||
\item $\land \to$ und
|
||||
\item $\lnot \to$ nicht
|
||||
\item $\Rightarrow \to$ impliziert
|
||||
\item $\iff \to$ \"aquivalent
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Sind also $A$ und $B$ zwei Aussagen, so ist auch $A \lor B$, $A \land B$, $\lnot A$,
|
||||
$A \Rightarrow B$ und $A \iff B$ Aussagen. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzen Aussage ist
|
||||
eindeutig bestimmt durch die Wahrheitswerte ihrer Einzelaussagen.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\lnot (1+1=3) \to$ wahr
|
||||
\item "2 ist ungerade" $\Rightarrow$ "3 ist gerade" $\to$ wahr
|
||||
\item "2 ist gerade" $\Rightarrow$ "Es gibt unendlich viele Primzahlen" $\to$ wahr
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$A$ & $B$ & $A \lor B$ & $A \land B$ & $\lnot A$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
|
||||
\hline
|
||||
w & w & w & w & f & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
w & f & w & f & f & f & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & w & w & f & w & w & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & f & f & f & w & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Pr\"adikatenlogik}
|
||||
Wir werden die Quantoren
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\forall$ (Allquantor, "f\"ur alle") und
|
||||
\item $\exists$ (Existenzquantor, "es gibt") verwenden.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Ist $P(x)$ eine Aussage, deren Wahrheitswert von einem unbestimmten $x$ abh\"angt, so ist \\
|
||||
$\forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ f\"ur alle $x$ wahr ist, \\
|
||||
$\exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ f\"ur mindestens ein $x$ wahr ist. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
Insbesondere ist $\lnot \forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\exists x: \lnot P(x)$ wahr ist. \\
|
||||
Analog ist $\lnot \exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\forall x: \lnot P(x)$ wahr ist.
|
||||
|
||||
\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Beweise}
|
||||
Unter einem Beweis verstehen wir die l\"uckenlose Herleitung einer mathematischen Aussage aus einer
|
||||
Menge von Axiomen, Vorraussetzungen und schon fr\"uher bewiesenen Aussagen. \\
|
||||
Einige Beweismethoden:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item \textbf{Widerspruchsbeweis} \\
|
||||
Man nimmt an, dass eine zu beweisende Aussage $A$ falsch sei und leitet daraus ab, dass eine
|
||||
andere Aussage sowohl falsch als auch wahr ist. Formal nutzt man die G\"ultigkeit der Aussage
|
||||
$\lnot A \Rightarrow (B \land \lnot B) \Rightarrow A$.
|
||||
\item \textbf{Kontraposition} \\
|
||||
Ist eine Aussage $A \Rightarrow B$ zu beweisen, kann man stattdessen die Implikation
|
||||
$\lnot B \Rightarrow \lnot A$ beweisen.
|
||||
\item \textbf{vollst\"andige Induktion} \\
|
||||
Will man eine Aussage $P(n)$ f\"ur alle nat\"urlichen Zahlen zeigen, so gen\"ugt es, zu zeigen,
|
||||
dass $P(1)$ gilt und dass unter der Induktionsbehauptung $P(n)$ stets auch $P(n+1)$ gilt
|
||||
(Induktionschritt). Dann gilt $P(n)$ f\"ur alle $n$. \\
|
||||
Es gilt also das Induktionsschema: $P(1) \land \forall n: (P(n) \Rightarrow P(n+1)) \Rightarrow
|
||||
\forall n: P(n)$.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Mengenlehre}
|
||||
Jede Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Eine
|
||||
Menge enth\"alt also solche Objekte, die Elemente der Menge. Die Menge ist durch ihre Elemente
|
||||
vollst\"andig bestimmt. Diese Objekte k\"onnen f\"ur uns verschiedene mathematische Objekte, wie
|
||||
Zahlen, Funktionen oder andere Mengen sein. Man schreibt $x \in M$ bzw. $x \notin M$, wenn x ein
|
||||
bzw. kein Element der Menge ist. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
Ist $P(x)$ ein Pr\"adikat, so bezeichnet man eine Menge mit $X := \{x \mid P(x)\}$. Hierbei muss
|
||||
man vorsichtig sein, denn nicht immer lassen sich alle $x$ f\"ur die $P(x)$ gilt, widerspruchsfrei
|
||||
zu einer Menge zusammenfassen. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiel: endliche Mengen} \\
|
||||
Eine Menge hei{\ss}t endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente enth\"alt. Endliche Mengen
|
||||
notiert man oft in aufz\"ahlender Form: $M = \{1;23;4;5;6\}$. Hierbei ist die Reihenfolge
|
||||
der Elemente nicht relevant, auch nicht die H\"aufigkeit eines Elements. \\
|
||||
Sind die Elemente paarweise verschieden, dann ist die Anzahl der Elemente die M\"achtigkeit
|
||||
(oder Kardinalit\"at) der Menge, die wir mit $|M|$ bezeichnen. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
\textbf{Beispiel: unendliche Mengen} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Menge der nat\"urlichen Zahlen: $\mathbb N := \{1,2,3,4,...\}$
|
||||
\item Menge der nat\"urlichen Zahlen mit der 0: $\mathbb N_0 := \{0,1,2,3,4,...\}$
|
||||
\item Menge der ganzen Zahlen: $\mathbb Z := \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$
|
||||
\item Menge der rationalen Zahlen: $\mathbb Q := \{\frac p q \mid p,q \in \mathbb Z, q
|
||||
\neq 0\}$
|
||||
\item Menge der reellen Zahlen: $\mathbb R := \{x \mid x$ ist eine reelle Zahl$\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Ist $M$ eine Menge, so gilt $|M|=\infty$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiel: leere Mengen} \\
|
||||
Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente hat, die leere Menge $0 := \{\}$.
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Teilmenge:} Sind $X$ und $Y$ zwei Mengen, so heißt $X$ eine Teilmenge von
|
||||
$Y$, wenn jedes Element von $X$ auch Element von $Y$ ist, dass heißt wenn für alle
|
||||
$x$ $(x \in X \Rightarrow x \in Y)$ gilt.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Da eine Menge durch ihre Elemente bestimmt ist, gilt $X = Y \Rightarrow (X \subset Y)\land
|
||||
(Y \subset X)$. Will man Mengengleichheit beweisen, so gen\"ugt es, die beiden Inklusionen
|
||||
$X \subset Y$ und $Y \subset X$ zu beweisen. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ist $X$ eine Menge und $P(x)$ ein Pr\"adikat, so bezeichnet man mit $Y:= \{x \in X \mid
|
||||
P(x)\}$ die Teilmenge von $X$, die das Pr\"adikat $P(x)$ erf\"ullen. \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Mengenoperationen:} Seien $X$ und $Y$ Mengen. Man definiert daraus
|
||||
weitere Mengen wie folgt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $X \cup Y := \{x \mid x \in X \lor x \in Y\}$
|
||||
\item $X \cap Y := \{x \mid x \in X \land x \in Y\}$
|
||||
\item $X \backslash Y := \{x \in X \mid x \notin Y\}$
|
||||
\item $X \times Y := \{(x,y) \mid x \in X \land y \in Y\}$
|
||||
\item $\mathcal P(X) := \{Y \mid Y \subset X\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Neben den offensichtlichen Mengengesetzen, wie dem Kommutaivgesetz, gibt es auch weniger
|
||||
offensichtliche Gesetze, wie die Gesetze von de Morgan: F\"ur $X_1, X_2 \subset X$ gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $X \backslash (X_1 \cup X_2) = (X \backslash X_1) \cap (X \backslash X_2)$
|
||||
\item $X \backslash (X_1 \cap X_2) = (X \backslash X_1) \cup (X \backslash X_2)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen, so gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $|X \times Y| = |X| \cdot |Y|$
|
||||
\item $|\mathcal P(X)| = 2^{|X|}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\subsection{Abbildungen}
|
||||
\subsubsection{\"Uberblick \"uber Abbildungen}
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||||
Eine Abbildung $f$ von eine Menge $X$ in einer Menge $Y$ ist eine Vorschrift, die jedem $x \in X$
|
||||
auf eindeutige Weise genau ein Element $f(x) \in Y$ zuordnet. Man schreibt dies als
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
f:
|
||||
\begin{cases}
|
||||
X \to Y \\ x \mapsto y
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
oder $f: X \to Y, x \mapsto y$ oder noch einfacher $f: X \to Y$. Dabei hei{\ss}t $X$ die
|
||||
Definitions- und $Y$ die Zielmenge von $f$. Zwei Abbildungen heißen gleich, wenn ihre
|
||||
Definitionsmengen und Zielmengen gleich sind und sie jedem $x \in X$ das selbe Element
|
||||
$y \in Y$ zuordnen. Die Abbildungen von $X$ nach $Y$ bilden wieder eine Menge, welche wir
|
||||
mit \textbf{Abb($X$,$Y$)} bezeichnen. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Beispiele: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Abbildungen mit Zielmenge $\mathbb R$ nennt man Funktion: $f: \mathbb R \to \mathbb
|
||||
R, x \mapsto x^2$
|
||||
\item Abbildungen mit Zielmenge $\subset$ Definitionsmenge: $f: \mathbb R \to \mathbb
|
||||
R_{\le 0}, x \mapsto x^2$ \\
|
||||
$\to$ Diese Abbildungen sind verschieden, da sie nicht die selbe Zielmenge haben.
|
||||
\item $f: \{0,1\} \to \mathbb R, x \mapsto x^2$
|
||||
\item $f: \{0,1\} \to \mathbb R, x \mapsto x$ \\
|
||||
$\to$ Diese Funktionen sind gleich. Sie haben die gleichen Definitions- und Zielmengen
|
||||
und sie ordnen jedem Element der Definitionsmenge das gleiche Element der Zielmenge zu.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Beispiele: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item auf jeder Menge $X$ gibt es die identische Abbildung (Identit\"at) \\ $id: X \to X, x
|
||||
\mapsto x$
|
||||
\item allgemein kann man zu jeder Teilmenge $A \subset X$ die Inklusionsabbildung zuordnen
|
||||
$\iota_A: A \to X, x \mapsto x$
|
||||
\item zu je zwei Mengen $X$ und $Y$ und einem festen $y_0 \in Y$ gibt es die konstante
|
||||
Abbildung $c_{y_0}: X \to Y x \mapsto y_0$
|
||||
\item zu jder Menge $X$ und Teilmenge $A \subset X$ definiert man die charackteristische
|
||||
Funktion\\ $\chi_A: X \to \mathbb R,
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x \mapsto 1 \quad(x \in A) \\ x \mapsto 0 \quad(x \notin A)
|
||||
\end{cases}
|
||||
$
|
||||
\item zu jeder Menge $X$ gibt es die Abbildung \\ $f: X \times X \to \mathbb R, (x,y) \mapsto
|
||||
\delta_{x,y} \begin{cases} 1 \quad (x=y) \\ 0 \quad (x \neq y) \end{cases}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Funktionen:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item injektiv: Zuordnung ist eindeutig: $F(m_1) = F(m_2) \Rightarrow m_1=m_2$ \\
|
||||
Bsp: $x^2$ ist nicht injektiv, da $F(-2)=F(2)=4$
|
||||
\item surjektiv: $F(M)=N$ ($\forall n \in N \; \exists m \in M \mid F(m)=n$) \\
|
||||
Bsp: $sin(x)$ ist nicht surjektiv, da es kein $x$ f\"ur $y=27$ gibt
|
||||
\item bijektiv: injektiv und surjektiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Einschr\"ankung:} Sei $f: x \mapsto y$ eine Abbildung. F\"ur $A \subset X$
|
||||
definiert man die Einschr\"ankung/Restrikton von $f$ auf $A$ als die Abbildung $f \mid_A
|
||||
A \to Y, a \mapsto f(a)$. \\
|
||||
Das Bild von $A$ unter $f$ ist $f(A) := \{f(a): a \in A\}$. \\
|
||||
Das Urbild einer Menge $B \subset Y$ unter $f$ ist $f^{-1} := \{x \in X: f(x) \in B\}$. \\
|
||||
Man nennt $Image(f) := f(X)$ das Bild von $f$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkungen zur abstrakteren Betrachtungsweise:} \\
|
||||
Man ordnet der Abbildung $f: X \to Y$ auch die Abbildungen $\mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ und
|
||||
$\mathcal P(Y) \to \mathcal P(X)$ auf den Potenzmengen zu. Man benutzt hier das gleiche
|
||||
Symbol $f(…)$ sowohl für die Abbildung $f: X \to Y$ als auch f\"ur $f: P(X) \to P(Y)$, was
|
||||
unvorsichtig ist, aber keine Probleme bereiten sollte. \\
|
||||
In anderen Vorlesungen wird f\"ur $y \in Y$ auch $f^{-1}(y)$ statt $f^{-1}(\{y\})$ geschrieben. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkungen:} \\
|
||||
Genau dann ist $f: X \to Y$ surjektiv, wenn $Image(f)=Y$ \\
|
||||
Genau dann ist $f: X \to Y \begin{cases} $injektiv$ \\ $surjektiv$ \\ $bijektiv$ \end{cases}$, wenn
|
||||
$|f^{-1}(\{y\})| = \begin{cases} \le 1 \\ \ge 1 \\ =1 \end{cases} \quad \forall y \in Y$ \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Komposition:} Sind $f: X \to Y$ und $g: Y \to Z$ Abbildungen, so ist die
|
||||
Komposition $g \circ f$ die Abbildung $g \circ f := X \to Z, x \mapsto g(f(x))$. Man kann
|
||||
die Komposition auffassen als eine Abbildung $\circ: Abb(Y,Z) \times Abb(X,Y) \to Abb(X,Z)$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Die Abbildung von Kompositionen ist assotiativ, d.h. es gilt: $h \circ (g
|
||||
\circ f) = (h \circ g)\circ f$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Umkehrabbildung:} Ist $f: X \to Y$ bijektiv, so gibt es zu jedem $y \in Y$
|
||||
genau ein $x_y \in X$ mit $f(x_y)=y$, durch $f^{-1}: Y \to X, y \mapsto x_y$ wird also eine
|
||||
Abbildung definiert, die Umkehrabbildung zu $f$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Ist die Abbildung $f: X \to Y$ bijektiv, so gilt $f^{-1} \circ f = id_x$ und
|
||||
$f \circ f^{-1} = id_y$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung:} \\
|
||||
Achtung, wir verwenden hier das selbe Symbol $f^{-1}$ f\"ur zwei verschiedene Dinge: Die Abbildung
|
||||
$f^{-1}: \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)$ existiert f\"ur jede Abbildung $f: X \to Y$, aber die
|
||||
Umkehrabbildung $f^{-1}: Y \to X$ existiert nur f\"ur bijektive Abbildungen $f: X \to Y$. \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Familie:} Seien $I$ und $X$ Mengen. Eine Abbildung $x: I \to X, i \mapsto
|
||||
x_i$ nennt man Familie von Elementen von $X$ mit einer Indexmenge I (oder I-Tupel von
|
||||
Elementen von $X$) und schreibt diese auch als $(x_i)_{i \in I}$. Im Fall $I=\{1,2,...,n\}$
|
||||
identifiziert man die I-Tupel auch mit den n-Tupeln. Ist $(x_i)_{i \in I}$ eine Familie von
|
||||
Teilmengen einer Menge $X$, so ist
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item $\bigcup X_i = \{x \in X \mid \exists i \in I(x \in X)\}$
|
||||
\item $\bigcap X_i = \{x \in X \mid \forall i \in I(x \in X)\}$
|
||||
\item $\prod X_i = \{f \in Abb(I,X) \mid \forall i \in I(f(i) \in X_i)\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Die Elemente von $\prod X_i$ schreibt man in der Regel als Familien $(x_i)_{i \in I}$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiel: } Eine Folge ist eine Familie $(x_i)_{i \in I}$ mit der Indexmenge $\mathbb N_0$.
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||||
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||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Graph:} Der Graph einer Abbildung $f: X \to Y$ ist die Menge $\Gamma f:
|
||||
\{(x,y) \in X \times Y \mid y=f(x)\}$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung: Formal korrekte Definition einer Abbildung:} \\
|
||||
Eine Abbildung $f$ ist ein Tripel $(X,Y,\Gamma)$, wobei $\Gamma \subset X \times Y \quad \forall
|
||||
x \in X$ genau ein Paar $(x,y)$ mit $y \in Y$ enth\"alt. Die Abbildungsvorschrift schickt dann
|
||||
$x \in X$ auf das eindeutig bestimmte $y \in Y$ mit $(x,y) \in \Gamma$. Es ist dann $\Gamma =
|
||||
\Gamma_f$.
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||||
|
||||
\subsection{Gruppen}
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||||
\begin{framed}
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||||
\textbf{Definition Gruppe:} Sei $G$ eine Menge. Eine (innere, zweistellige) Verkn\"upfung
|
||||
auf $G$ ist eine Abbildung $*: G \times G \to G, (x,y) \mapsto x*y$. Das Paar $(G,*)$ ist eine
|
||||
Halbgruppe, wenn das folgende Axiom erf\"ullt ist: \\
|
||||
(G1) F\"ur $x,y,z \in G$ ist $(x*y)*z=x*(y*z)$. \\
|
||||
Eine Halbgruppe $(G,*)$ ist ein Monoid, wenn zus\"atzlich das folgende Axiom gilt: \\
|
||||
(G2) Es gibt ein Element $e \in G$, welches f\"ur alle $x \in G$ die Gleichung $x*e=e*x=x$
|
||||
erf\"ullt. Dieses Element hei{\ss}t dann neutrales Element der Verkn\"upfung $*$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:} \\
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item F\"ur jede Menge $X$ ist $(Abb(X,Y), \circ)$ eine Halbgruppe mit dem neutralen Element
|
||||
$id_x$, also ein Monoid.
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||||
\item $\mathbb N$ bildet mit der Addition eine Halbgruppe $(\mathbb N,+)$, aber kein Monoid,
|
||||
da die 0 nicht in Fehm's Definition der nat\"urlichen Zahlen geh\"orte
|
||||
\item $\mathbb N_0$ bildet mit der Addition ein Monoid $(\mathbb N_0,+)$
|
||||
\item $\mathbb N$ bildet mit der Multiplikation ein Monoid $(\mathbb N, \cdot)$
|
||||
\item $\mathbb Z$ bildet mit der Multiplikation ein Monoid $(\mathbb Z, \cdot)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz: (Eindeutigkeit des neutralen Elements)} Ein Monoid $(G,*)$ hat genau ein neutrales
|
||||
Element.
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||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition abelsche Gruppe:} Eine Gruppe ist ein Monoid $(G,*)$ mit dem neutralen Element
|
||||
$e$, in dem zus\"atzlich das folgende Axiom gilt: \\
|
||||
(G3) F\"ur jedes $x \in G$ gibt es ein $x' \in G$ mit $x'*x=x*x'=e$. \\
|
||||
Gilt weiterhin \\
|
||||
(G4) F\"ur alle $x,y \in G$ gilt $x*y=y*x$, so hei{\ss}t diese Gruppel abelsch.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Ein $x'$ hei{\ss}t inverses Element zu $x$. \\
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||||
$\newline$
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||||
|
||||
\textbf{Beispiele:} \\
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item $\mathbb N_0$ bildet mit der Addition keine Gruppe $(\mathbb N_=,+)$
|
||||
\item $\mathbb Z$ bildet mit der Addition eine abelsche Gruppe $(\mathbb Z,+)$
|
||||
\item Auch $(\mathbb Q,+)$ und $(\mathbb R,+)$ sind abelsche Gruppen
|
||||
\item $(\mathbb Q,\cdot)$ ist keine Gruppe, aber $(\mathbb Q\backslash\{0\},\cdot)$ schon
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz: (Eindeutigkeit des Inversen)} Ist $(G,*)$ eine Gruppe, so hat jedes $x \in G$
|
||||
genau ein inverses Element.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Eine triviale Gruppe besteht nur aus ihrem neutralen Element. Tats\"achlich ist $G=\{e\}$ mit
|
||||
$e*e=e$ eine Gruppe.
|
||||
\item Sei $X$ eine Menge. Die Menge $Sym(X) := \{f \in Abb(X,X) \mid f$ ist bijektiv$\}$ der
|
||||
Permutationen von $X$ bildet mit der Komposition eine Gruppe $(Sym(X),\circ)$, die
|
||||
symmetrsiche Gruppe auf $X$. F\"ur $n \in \mathbb N$ schreibt man $S_n := Sym(\{1,2,...,n\})$.
|
||||
F\"ur $n \ge 3$ ist $S_n$ nicht abelsch.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung:} H\"aufig benutzte Notationen f\"ur die Gruppenverkn\"upfung $\cdot$:\\
|
||||
\begin{compactitem}
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||||
\item In der multiplikativen Notation schreibt man $\cdot$ statt $*$ (oft auch $xy$ statt
|
||||
$x \cdot y$), bezeichnet das neutrale Element mit $1$ oder $1_G$ und das Inverse zu $x$ mit
|
||||
$x^{-1}$.
|
||||
\item In der additiven Notation schreibt man $x$ f\"ur $*$, bezeichnet das neutrale Element
|
||||
mit $0$ oder $0_G$ und das Inverse zu $x$ mit $-x$. Die additive Notation wird nur verwendet,
|
||||
wenn die Gruppe abelsch ist.
|
||||
\end{compactitem}
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||||
$\newline$
|
||||
|
||||
In abelschen Gruppen notiert man Ausdr\"ucke auch mit dem Summen- und Produktzeichen. \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. F\"ur $x,y \in G$ gelten $(x^{-1})^{-1}=x$ und
|
||||
$(xy)^{-1}=x^{-1} \cdot x^{-1}$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. F\"ur $a,b \in G$ haben die Gleichungen $ax=b$ und
|
||||
$ya=b$ eindeutige L\"osungen in $G$, n\"amlich $x=a^{-1} \cdot b$ und $y=b \cdot a^{-1}$.
|
||||
Insbesondere gelten die folgenden K\"urzungsregeln: $ax=ay \Rightarrow x=y$ und $xa=ya
|
||||
\Rightarrow x=y$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
Es ist $a \cdot a^{-1} \cdot b = 1b=b$, also ist $x=a^{-1} \cdot b$ eine L\"osung. Ist umgekehrt
|
||||
$ax=b$ mit $x \in G$, so ist $a^{-1} \cdot b = a^{-1]} \cdot ax = 1x = x$ die L\"osung und somit
|
||||
eindeutig. F\"ur die zweite Gleichung argumentiert man analog. Den "Insbesondere"-Fall erh\"alt
|
||||
man durch Einsetzen von $b=ay$ bzw. $b=xa$.} \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung:} \\
|
||||
Wenn aus dem Kontext klar ist, welche Verkn\"upfung gemeint ist, schreibt man auch einfach
|
||||
$G$ anstatt $(G, \cdot)$ bzw. $(G,+)$. Eine Gruppe $G$ hei{\ss}t endlich, wenn die Menge $G$ endlich
|
||||
ist. Die Mächtigkeit $|G|$ von $G$ nennt man dann die Ordnung von $G$. Eine endliche Gruppe kann
|
||||
durch ihre Verkn\"upfungstafel vollst\"andig beschrieben werden. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:} \\
|
||||
a) die triviale Gruppe $G=\{e\}$
|
||||
\begin{center}
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||||
\begin{tabular}{|c|c|}
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||||
\hline
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||||
$\cdot$ & $e$\\
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||||
\hline
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||||
$e$ & $e$ \\
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||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
b) die Gruppe $\mu_2 = \{1,-1\}$ der Ordnung 2
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$\cdot$ & $1$ & $-1$\\
|
||||
\hline
|
||||
$1$ & $1$ & $-1$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$-1$ & $-1$ & $1$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
c) die Gruppe $S_2= Sym(\{1,2\}) = \{id_{\{1,2\}},f\}$, wobei $f(1)=2$ und $f(2)=1$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$\circ$ & $id_{\{1,2\}}$ & $f$\\
|
||||
\hline
|
||||
$id_{\{1,2\}}$ & $id_{\{1,2\}}$ & $f$ \\
|
||||
\hline
|
||||
$f$ & $f$ & $id_{\{1,2\}}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Untergruppe:} Eine Untergruppe einer Gruppe $(G,\cdot)$ ist eine
|
||||
nichtleere Teilmenge $H \subset G$, f\"ur die gilt: \\
|
||||
(UG1) F\"ur alle $x,y \in H$ ist $x \cdot y \in H$ (Abgeschlossenheit unter Multiplikation) \\
|
||||
(UG2) F\"ur alle $x \in H$ ist $x^{-1} \in H$ (Abgeschlossenheit unter Inversen)
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe und $\emptyset \neq H \subset G$. Genau dann ist
|
||||
$H$ eine Untergruppe von $G$, wenn sich die Verkn\"upfung $\cdot: G \times G \to G$ zu einer
|
||||
Abbildung $\cdot_H: H \times H \to H$ einschr\"anken l\"asst (d.h. $\cdot|_{H \times H}=
|
||||
\iota_H \circ \cdot_H$, wobei $\iota_H \cdot \cdot_H \to G$ die Inklusionsabbildung ist) und
|
||||
$(H,\cdot_H)$ eine Gruppe ist.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
Hinrichtung: Sei $H$ eine Untergruppe von $G$. Nach (UG1) ist $Image(\cdot|_{H \times H}) \subset H$
|
||||
und somit l\"asst sich $\cdot$ zu einer Abbildung $\cdot_H: H \times H \ to H$ einschr\"anken. Wir
|
||||
betrachten jetzt $H$ mit dieser Verkn\"upfung. Da $G$ (G1) erf\"ullt, erf\"ullt auch H (G1). Da
|
||||
$H \neq \emptyset$ existiert ein $x \in H$. Nach (UG1) und (UG2) ist $x \cdot x^{-1}=e \in H$. Da
|
||||
$e_G \cdot y=y \cdot e_G=y$ f\"ur alle $y \in G$, insbesondere auch f\"ur alle $y \in H$ (G2). Wegen
|
||||
(UG2) erf\"ullt $H$ auch das Axiom (G3). $H$ ist somit eine Gruppe. \\
|
||||
R\"uckrichtung: Sei nun umgekehrt $(H,\cdot_H)$ eine Gruppe. F\"ur $x,y \in H$ ist dann $xy=x \cdot_H
|
||||
y \in H$, also er\"ullt $H$ (UG1). Aus $e_H \cdot e_H=e_H=e_H \cdot e_G$ folgt $e_H=e_G$. Ist also
|
||||
$x'$ das Inverse zu $x$ aus der Gruppe $H$, so ist $x'x=xx'=e_G=e_H$, also $x^{-1}=x' \in H$ und
|
||||
somit erf\"ullt $H$ auch (UG2). Wir haben gezeigt, dass $H$ eine Untergruppe von $G$ ist.} \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung:} \\
|
||||
Wir nennen nicht nur die Menge $H$ eine Untergruppe von $G$, sondern auch die Gruppe $(H,\cdot_H)$.
|
||||
Wir schreiben $H \le G$. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Jede Gruppe $G$ hat die triviale Untergruppe $H=\{e_G\}$ und $H=G$
|
||||
\item Ist $H \le G$ und $K \le H$, so ist $K \le G$ (Transitivit\"at)
|
||||
\item Unter Addition ist $\mathbb{Z} \le \mathbb{Q} \le \mathbb{R}$ eine Kette von Untergruppen
|
||||
\item Unter Multiplikation ist $\mu_2 \le \mathbb{Q}^+ \le \mathbb{R}^+$ eine Kette von
|
||||
Untergruppen
|
||||
\item F\"ur $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z} := \{nx \mid x \in \mathbb{Z}\} \le \mathbb{Z}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Lemma:} Ist $G$ eine Gruppe und $(H_i)_{i \in I}$ eine Familie von Untergruppen von $G$,
|
||||
so ist auch $H := \bigcap H_i$ eine Untergruppe von $G$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: Wir haben 3 Dinge zu zeigen\\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $H \neq \emptyset:$ F\"ur jedes $i \in I$ ist $e_G \in H$, also auch $e_G \in \bigcap
|
||||
H_i =H$
|
||||
\item (UG1): Seien $x,y \in H$. F\"ur jedes $i \in I$ ist $x,y \in H_i$, somit $xy \in H_i$,
|
||||
da $H_i \le G$. Folglich ist $xy \in \bigcap H_i=H$.
|
||||
\item (UG2): Sei $x \in H$. F\"ur jedes $i \in I$ ist $x \in H_i$, somit $x^{-1} \in H_i$,
|
||||
da $H_i \le G$. Folglich ist $x^{-1} \in \bigcap H_i=H$.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Ist $G$ eine Gruppe und $X \subset G$. so gibt es eine eindeutig bestimmte
|
||||
kleinste Untergruppe $H$ von $G$, die $X$ enth\"alt, d.h. $H$ enth\"alt $X$ und ist $H'$
|
||||
eine weitere Untergruppe von $G$, die $X$ enth\"alt, so ist $H \subset H'$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
Sei $\mathcal{H}$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die $X$ enthalten. Nach dem Lemma ist $H:=
|
||||
\bigcap \mathcal{H} := \bigcap H$ eine Untergruppe von $G$. Da $X \subset H'$ f\"ur jedes $H' \in
|
||||
\mathcal H$ ist auch $X \subset H$. Nach Definition ist $H$ in jedem $H' \le G$ mit $X \subset H'$
|
||||
enhalten.} \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition erzeugte Untergruppe:} Ist $G$ eine Gruppe und $X \le G$, so nennt man diese
|
||||
kleinste Untergruppe von $G$, die $X$ enth\"alt, die von $X$ erzeugte Untergruppe von $G$ und
|
||||
bezeichnet diese mit $<X>$, falls $X = \{x_1,x_2,...,x_n\}$ enth\"alt auch mit $<x_1,x_2,
|
||||
...,x_n>$. Gibt es eine endliche Menge $X \subset G$ mit $G=<X>$, so nennt man $G$ endlich
|
||||
erzeugt.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Die leere Menge $X=\emptyset \le G$ erzeugt stets die trivale Untergruppe $<\emptyset>
|
||||
=\{e\} \le G$
|
||||
\item Jede endliche Gruppe $G$ ist endlich erzeugt $G=<G>$
|
||||
\item F\"ur $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z}=<n> \le \mathbb{Z}$. Ist $H \le \mathbb{Z}$
|
||||
mit $n \in H$, so ist auch $kn=nk=n+n+...+n \in H$ und somit auch $n\mathbb{Z} \le H$.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\subsection{Ringe}
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Ring:} Ein Ring ist ein Tripel $(R,+,\cdot)$ bestehend aus einer Menge
|
||||
$R$, einer Verkn\"upfung $+: R \times R \to R$ (Addition) und einer anderen Verkn\"upfung
|
||||
$\cdot: R \times R \to R$ (Multiplikation), sodass diese zusammen die folgenden Axiome
|
||||
erf\"ullen: \\
|
||||
(R1) $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe \\
|
||||
(R2) $(R,\cdot)$ ist eine Halbgruppe \\
|
||||
(R3) F\"ur $a,x,y \in R$ gelten die Distributivgesetze $a(x+y)=ax+ay$ und $(x+y)a=xa+ya$. \\
|
||||
Ein Ring hei{\ss}t kommutativ, wenn $xy=yx$ f\"ur alle $x,y \in R$.\\
|
||||
Ein neutrales Element der Multiplikation hei{\ss}t Einselement von $R$.\\
|
||||
Ein Unterrrig eines Rings $(R,+,\cdot)$ ist eine Teilmenge, die mit der geeigneten
|
||||
Einschr\"ankung von Addition und Multiplikation wieder ein Ring ist.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkungen:} \\
|
||||
Hat ein Ring ein Einselement, so ist dieses eindeutig bestimmt. Notationelle Konfektionen: Das
|
||||
neutrale Element der Addition wird h\"aufig mit 0 bezeichnet; die Multiplikation wird nicht immer
|
||||
notiert; Multiplikation bindet st\"arker als die Addition. \\
|
||||
Wenn die Verkn\"upfungen aus dem Kontext klar sind, schreibt ma $R$ statt $(R,+,\cdot)$. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Der Nullring ist $R=\{0\}$ mit den einzig m\"oglichen Verkn\"upfungen $+$ und $\cdot$
|
||||
auf $R$. Der Nullring ist sogar kommutativ und hat ein Einselement, n\"amlich die 0.
|
||||
\item $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1, ebenso
|
||||
$(\mathbb{Q},+,\cdot)$ und $(\mathbb{R},+,\cdot)$.
|
||||
\item $(2\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist ein kommutativer Ring, aber ohne Einselement.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkungen:} Ist $R$ ein Ring, dann gelten die folgenden Aussagen f\"ur $x,y \in R$\\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$
|
||||
\item $x \cdot (-y) = (-x) \cdot y = -xy$
|
||||
\item $(-x) \cdot (-y) = xy$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung:} \\
|
||||
Wir f\"uhren eine wichtige Klassen endlicher Ringe ein. Hierf\"ur erinnern wir uns eine der Grundlagen
|
||||
der Arithmetik in $\mathbb{Z}$. \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Theorem:} Sei $b \neq 0 \in \mathbb{Z}$. F\"ur jedes $a \in \mathbb{Z}$ gibt es
|
||||
eindeutig bestimmte $q,r \in \mathbb{Z}$ ($r$ ist "Rest"), mit $a=qb+r$ und $0 \le r < |b|$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
\textit{Beweis: Existenz und Eindeutigkeit \\
|
||||
Existenz: oBdA nehmen wir an, dass $b>0$ (denn ist $a=qb+r$, so ist auch $a=(-q)(-b)+r$). Sei $q \in
|
||||
\mathbb{Z}$ die gr\"o{\ss}te Zahl mit $q \le \frac{a}{b}$, und sei $r=a-qb \in \mathbb{Z}$. Dann ist
|
||||
$a \le \frac{a}{b}-q < 1$, woraus $0 \le r < b$ folgt. \\
|
||||
Eindeutigkeit: Sei $a=qb+r=q'b+r'$ mit $q,q',r,r' \in \mathbb{Z}$ und $0 \le r,r' < |b|$. Dann ist
|
||||
$(q-q')b=r-r'$ und $|r-r'|<|b|$. Da $q-q' \in \mathbb{Z}$ ist, folgt $r-r'=0$ und daraus wegen
|
||||
$b \neq 0$, dann $q-q'=0$.}\\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiel (Restklassenring):} Wir fixieren $n \in \mathbb{N}$. F\"ur $a \in \mathbb{Z}$ sei
|
||||
$\overline(a) := a+n\mathbb{Z} := \{a+nx \mid x \in \mathbb{Z}\}$ die Restklasse von "$a \bmod n$".
|
||||
F\"ur $a,a' \in \mathbb{Z}$ sind \"aquivalent:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $a+n\mathbb{Z}=a'+n\mathbb{Z}$
|
||||
\item $a' \in a+n\mathbb{Z}$
|
||||
\item $n$ teilt $a'-a$ (in Zeichen $n|a'-a$), d.h. $a'=a+nk$ f\"ur $k \in \mathbb{Z}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
$1) \Rightarrow 2)$: klar, denn $0 \in \mathbb{Z}$ \\
|
||||
$2) \Rightarrow 3)$: $a' \in a+n\mathbb{Z} \Rightarrow a'=a+nk$ mit $k \in \mathbb{Z}$ \\
|
||||
$3) \Rightarrow 1)$: $a'=a+nk$ mit $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow a+n\mathbb{Z}=\{a+nk+nx \mid
|
||||
x \in \mathbb{Z}\}=\{a+n(k+x) \mid x \in \mathbb{Z}\}=a+n\mathbb{Z}$ \\
|
||||
Insbesondere besteht $a+n\mathbb{Z}$ nur aus den ganzen Zahlen, die bei der Division durch $n$ den
|
||||
selben Rest lassen wie $a$.}\\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Aus dem Theorem folgt weiter, dass $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} := \{\overline{a} \mid a \in \mathbb{Z}\}
|
||||
= \{\overline{0}, \overline{1},..., \overline{n-1}\}$ eine Menge der M\"achtigkeit n ist (sprich:
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||||
"$\mathbb{Z} \bmod n\mathbb{Z}$"). \\
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$\newline$
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||||
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||||
Wir definieren Verkn\"upfungen auf $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ durch $\overline{a}+\overline{b} :=
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||||
\overline{a+b}$, $\overline{a} \cdot \overline{b} := \overline{ab}$ $a,b \in \mathbb{Z}$. Hierbei
|
||||
muss man zeigen, dass diese Verkn\"upfungen wohldefiniert sind, also nicht von den gew\"ahlten
|
||||
Vertretern $a,b$ der Restklassen $\overline{a}$ und $\overline{b}$ abh\"angen. Ist etwa $\overline{a}
|
||||
= \overline{a'}$ und $\overline{b}= \overline{b'}$, also $a'=a+nk_1$ und $b'=b+nk_2$ mit $k_1,k_2 \in
|
||||
\mathbb{Z}$, so ist \\
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||||
$a'+b' = a+b+n(k_1+k_2)$, also $\overline{a'+b'} = \overline{a+b}$ \\
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||||
$a' \cdot b' = ab+n(bk_1+ak_2+nk_1k_2)$, also $\overline{a'b'} = \overline{ab}$ \\
|
||||
Man pr\"uft nun leicht nach, dass $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ mit diesen Verkn\"upfungen ein kommutativer
|
||||
Ring mit Einselement ist, da dies auch f\"ur $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ gilt. Das neutrale Element der
|
||||
Addition ist $\overline{0}$, das Einselement ist $\overline{1}$. \\
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$\newline$
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||||
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||||
\textbf{Beispiel:} Im Fall $n=2$ ergeben sich die folgenden Verkn\"upfungstafeln f\"ur $\mathbb{Z}
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||||
/2\mathbb{Z} = \{\overline{0}, \overline{1}\}$ \\
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||||
\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|c|c|}
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\hline
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$+$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$\\
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||||
\hline
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||||
$\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$\\
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||||
\hline
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||||
$\overline{1}$ & $\overline{1}$ & $\overline{2}=\overline{0}$ \\
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||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$\cdot$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$\\
|
||||
\hline
|
||||
$\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{0}$\\
|
||||
\hline
|
||||
$\overline{1}$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
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||||
\textbf{Definition Charakteristik:} Sei $R$ ein Ring mit Einselement. Man definiert die Charakteristik von
|
||||
$R$ als die kleinste nat\"urliche Zahl $n$ mit $1+1+...+1=0$, falls so ein $n$ existiert, andernfalls
|
||||
ist die Charakteristik $0$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Nullteiler:} Sei $R$ ein Ring mit Einselement. Ein $0 \neq x \in R$ ist ein Nullteiler von
|
||||
$R$, wenn er ein $0 \neq y \in R$ mit $xy=0$ oder $yx=0$ gibt. Ein Ring ohne Nullteiler ist
|
||||
nullteilerfrei.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Einheit:} Sei $R$ ein Ring mit Einselement. Ein $x \in R$ hei{\ss}t invertierbar (oder
|
||||
Einheit von $R$), wenn es ein $x' \in R$ mit $xx'=x'x=1$ gibt. Wir bezeichnen die invertierten
|
||||
Elemente von $R$ mit $R^{\times}$
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||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:}\\
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\begin{compactitem}
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||||
\item reelle Zahlen ist ein nullteilerfreier Ring der Charakteristik $0$ mit $\mathbb R^{\times}=
|
||||
\mathbb R\backslash\{0\}$
|
||||
\item $\mathbb Z$ ist ein nullteilerfreier Ring der Charakteristik $0$ mit $\mathbb Z^{\times}=
|
||||
\{1,-1\}$
|
||||
\item $\mathbb Z/n \mathbb Z$ ist ein Ring der Charakteristik $n$. Ist $n$ keine Primzahl, so
|
||||
ist $\mathbb Z$ nicht nullteilerfrei.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Sei $R$ ein Ring mit Einselement.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Ist $x \in R$ invertierbar, so ist $x$ kein Nullteiler in $R$
|
||||
\item Die invertierbaren Elemente von $R$ bilden mit der Multiplikation eine Gruppe
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Ist $xx'=x'x=1$ und $xy=0$ mit $x',y \in R$, so ist $0=x'\cdot 0=x\cdot xy=1\cdot y=y$, aber
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||||
$y \neq 0$ f\"ur Nullteiler
|
||||
\item Sind $x,y \in R^{\times}$, also $xx'=x'x=yy'=y'y=1$. Dann ist $(xy)(y'x')=x\cdot 1\cdot x'=1$
|
||||
und $(y'x')(xy)=y'\cdot 1\cdot y=1$, somit $R^{\times}$ abgeschlossen unter der Multiplikation. Da
|
||||
$1 \cdot 1=1$ gilt, ist auch $1 \in R^{\times}$. Nach Definition von $R^{\times}$ hat jedes $x \in
|
||||
R^{\times}$ ein Inverses $x' \in R^{\times}$.
|
||||
\end{compactitem}}
|
||||
$\newline$
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||||
|
||||
\subsubsection{K\"orper}
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||||
\begin{framed}
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||||
\textbf{Definition K\"orper:} Ein K\"orper ist ein kommutativer Ring $(K,+,\cdot)$ mit Einselement
|
||||
$1 \neq 0$, in dem jedes Element $x \neq x \in K$ invertierbar ist.
|
||||
\end{framed}
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||||
|
||||
\textbf{Bemerkungen:} Ein K\"orper ist stets nullteilerfrei und $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche
|
||||
Gruppe. Ein k\"orper ist also ein Tripel $(K,+,\cdot)$ bestehend aus einer Menge $K$ und 2 Verkn\"upfungen
|
||||
$+: K \times K \to K$ und $\cdot: K \times K \to K$, f\"ur die gelten: \\
|
||||
(K1): $(K,+)$ ist eine abelsche Gruppe \\
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||||
(K2): $(K\backslash\{0\}, \cdot)$ ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element wir mit 1 bezeichnen \\
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||||
(K3): Es gelten die Distributivgesetze. \\
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||||
$\newline$
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||||
|
||||
\textbf{Bemerkungen:} Sei $K$ ein K\"orper und $a,x,y \in K$. Ist $ax=ay$ und $a \neq 0$, so ist $x=y$. \\
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||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Teilk\"orper:} Ein Teilk\"orper eines K\"orpers $(K,+,\cdot)$ ist die Teilemenge $L
|
||||
\subset K$, die mit der geeigneten Einschr\"ankung von Addition und Multiplikation wieder ein
|
||||
K\"orper ist.
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||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:}
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\begin{compactitem}
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||||
\item Der Nullring ist kein K\"orper.
|
||||
\item Der K\"orper $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen ist ein Teilk\"orper des K\"orpers $\mathbb R$ der
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||||
reellen Zahlen.
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||||
\item $(\mathbb Z, + ,\cdot)$ ist kein K\"orper
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiel (Komplexe Zahlen)} \\
|
||||
Wir definieren die Menge $\mathbb C = \mathbb R \times \mathbb R$ und darauf Verkn\"upfungen wie folgt:
|
||||
F\"ur $(x_1,y_1), (x_2,y_2) \in \mathbb C$ ist: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item$(x_1,y_1)+(x_2,y_2) := (x_1+x_2,y_1+y_2)$
|
||||
\item$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2) := (x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Wie man nachpr\"ufen kann, ist $(\mathbb C,+,\cdot)$ ein K\"orper, genannt K\"orper der komplexen Zahlen.
|
||||
Da $(x_1,0)+(x_2,0)=(x_1+x_2,0)$ und $(x_1,0)\cdot (x_2,0)=(x_1x_2,0)$, k\"onnen wir $\mathbb R$ durch
|
||||
"$x=(x,0)$" mit dem Teilk\"orper $\mathbb R \times \{0\}$ von $\mathbb C$ identifizieren. \\
|
||||
Die imagin\"are Einheit $i=(0,1)$ erf\"ullt $i^2=-1$ und jedes $z \in \mathbb C$ kann eindeutig geschrieben
|
||||
werden als $z=x+iy$ mit $x,y \in \mathbb R$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Lemma:} Sei $a \in \mathbb Z$ und sei $p$ eine Primzahl, die $a$ nicht teilt. Dann gibt es $b,k \in
|
||||
\mathbb Z$ mit $ab+kp=1$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
\textit{Beweis: \\
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||||
Sei $n \in \mathbb N$ die kleinste nat\"urliche Zahl der Form $n=ab+kp$. Angenommen, $n \ge 2$. Schreibe
|
||||
$a=qp+r$ mit $q,r \in \mathbb Z$ und $0 \le r < p$. Aus der Nichtteilbarkeit von $a$ folgt $r \neq 0$, also
|
||||
$r \in \mathbb N$. Wegen $r=a\cdot 1-qp$ ist $n\le r$. Da $p$ Primzahl ist und $2\le n\le r < p$, gilt $n$ teilt
|
||||
nicht $p$. Schreibe $p=c\cdot n+m$ mit $c,m \in \mathbb Z$ und $0 \le m<n$. Aus $n$ teilt nicht $p$ folgt
|
||||
$m \neq 0$, also $m \in \mathbb N$. Da $m=p-cn=-abc+(1-kc)p$, ist $m<n$ ein Widerspruch zur Minimalit\"at
|
||||
von $n$. Die Annahme $n \ge 2$ war somit falsch. Es gilt $n=1$.} \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiel (Endliche Primk\"orper)} \\
|
||||
F\"ur jede Primzahl $p$ ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ ein K\"orper. Ist $\overline{a}\neq \overline{0}$, so gilt
|
||||
$p$ teilt nicht $a$ und somit gibt es $b,k \in \mathbb Z$ mit \\
|
||||
$ab+kp=1$ \\
|
||||
$\overline{(ab+kp)}=\overline{1} = \overline{(ab)} = \overline{a} \cdot \overline{b}$ \\
|
||||
und somit ist $\overline{a}$ invertierbar in $\mathbb Z /p \mathbb Z$. Somit sind f\"ur $n \in \mathbb N$
|
||||
\"aquivalent:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\mathbb Z /n \mathbb Z$ ist ein K\"orper
|
||||
\item $\mathbb Z /n \mathbb Z$ ist nullteilerfrei
|
||||
\item $n$ ist Primzahl
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\textit{Beweis: 1 $\to$ 2: 4.13; 2 $\to$ 3: 4.12; 3 $\to$ 1: gegeben} \\
|
||||
Insbesondere ist $\mathbb Z /p \mathbb Z$ nullteilerfrei, d.h. aus $p$ teilt $ab$ folgt $p$ teilt $a$ oder
|
||||
$p$ teilt $b$
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||||
|
||||
\subsubsection{Polynome}
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||||
In diesem Abschnitt sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement. \\
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||||
$\newline$
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||||
|
||||
\textbf{Bemerkung:} Unter einem Polynom in der "Unbekannte" $x$ versteht man einen Ausdruck der Form
|
||||
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n = \sum \limits_{k=0}^{n} a_kx^k$ mit $a_0,...,a_n \in R$. Fasst man $x$
|
||||
als ein beliebiges Element von $R$ auf, gelten einige offensichtliche Rechenregeln: \\
|
||||
Ist $f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kx^k$ und $g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} b_kx^k$ so ist
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $f(x)+g(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} (a_k+b_k)x^k$
|
||||
\item $f(x)\cdot g(x)=\sum \limits_{k=0}^{2n} c_kx^k$ mit $c_k=\sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Dies motiviert die folgende pr\"azise Definition f\"ur den Ring der Polynome \"uber $R$ in einer "Unbestimmten"
|
||||
$x$.
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||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Polynom:} Sei $R[X]$ die Menge der Folgen in $R$, die fast \"uberall 0 sind, also
|
||||
$R[X]:=\{(a_k)_{k \in \mathbb N_0} \mid \forall k(a_k \in R) \land \exists n_0: \forall k>n_0(a_k=0)\}$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Wir definieren Addition und Multiplikation auf $R[X]$:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}+(b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(a_k+b_k)_{k \in \mathbb N_0}$
|
||||
\item $(a_k)_{k \in \mathbb N_0}\cdot (b_k)_{k \in \mathbb N_0}=(c_k)_{k \in \mathbb N_0}$ mit
|
||||
$c_k = \sum \limits_{j=0}^{k} a_jb_{k-j}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Mit diesen Verkn\"upfungen wird $R[X]$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement. Diesen Ring nennt man
|
||||
Polynomring (in einer Variablen $X$) \"uber $R$. Ein $(a_k)_{k \in \mathbb N_0} \in R[X]$ hei{\ss}t Polynom mit
|
||||
den Koeffizienten $a_0,...,a_n$. Wenn wir $a \in R$ mit der Folge $(a,0,0,...,0) := (a,\delta_{k,0})_{k \in \mathbb N_0}$
|
||||
identifizieren, wird $R$ zu einem Unterrring von $R[X]$.
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Definiert man $X$ als die Folge $(0,1,0,..,0) := (\delta_{k,1})_{k \in \mathbb N_0}$ (die Folge hat an der $k$-ten
|
||||
Stelle eine 1, sonst nur Nullen). Jedes $f(a_k)_{k \in \mathbb N_0}$ mit $a_k=0$ f\"ur $k>n_0$ l\"asst sich eindeutig
|
||||
schreiben als $f(X)=\sum \limits_{k=0}^{n_0} a_kX^k$.\\
|
||||
Alternativ schreiben wir auch $f=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k$ mit dem Verst\"andnis, dass diese unendliche
|
||||
Summe nur endlich von 0 verschiedene Summanden enth\"alt.
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Sei $0 \neq f(X)=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k \in R[X]$. Der Grad von $f$ ist das gr\"o{\ss}te $k$ mit $a_k
|
||||
\neq 0$, geschrieben $deg(f):= max\{k \in \mathbb N_0 \mid a_k \neq 0\}$. Man definiert den Grad des
|
||||
Nullpolynoms als $deg(0)=-\infty$, wobei $-\infty < k \forall k \in \mathbb N_0$ gelten soll. Man nennt $a_0$
|
||||
den konstanten Term und $a_{deg(f)}$ den Leitkoeffizienten von $f$. Hat $f$ den Grad 0, 1 oder 2, so nennt
|
||||
man $f$ konstant, linear bzw. quadratisch.
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiel:} Das lineare Polynom $f(X)=X-2 \in R[X]$ hat den Leitkoeffizent 1 und den konstanten Term $-2$.
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Seien $f,g \in R[X]$
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Es ist $deg(f+g)\le max\{deg(f), deg(g)\}$
|
||||
\item Es ist $deg(f\cdot g) \le deg(f)+deg(g)$
|
||||
\item Ist $R$ nullteilerfrei, so ist $deg(f\cdot g) = deg(f)+deg(g)$ und auch $R[X]$ ist nullteilerfrei.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item offenbar
|
||||
\item Ist $deg(f)=n$ und $deh(g)=m$, $f=\sum \limits_{i \ge 0} f_iX^i$, $g=\sum \limits_{ij\ge 0} g_jX^j$,
|
||||
so ist auch $h=fg=\sum \limits_{k \ge 0} h_kX^k$ mit $h_k=\sum \limits_{i+j=k} f_i\cdot g_j$ f\"ur alle $k \ge 0$.
|
||||
Ist $k>n+m$ und $i+j=k$, so ist $i>n$ oder $j>m$, somit $f_i=0$ oder $g_k=0$ und somit $h_k=0$.
|
||||
Folglich ist $deg(h) \le n+m$.
|
||||
\item Ist $f=0$ oder $g=0$, so ist die Aussage klar, wir nehmen als $n,m \ge 0$ an. Nach b) ist $deg(h) \le
|
||||
n+m$ und $h_{m+n}=\sum \limits_{i+j=n+m} f_ig_j=f_ng_m$. Ist $R$ nullteilerfrei, so folgt aus $f_n \neq 0$
|
||||
und $g_m\neq 0$ schon $f_ng_m\neq 0$, und somit $deg(h)=n+m$.
|
||||
\end{compactitem}}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Theorem (Polynomdivision):} Sei $K$ ein K\"orper und sei $0 \neq g \in K[X]$. F\"ur jedes Polynom
|
||||
$f \in K[X]$ gibt es eindeutig bestimmte $g,h,r \in K[X]$ mit $f=gh+r$ und $deg(r)<deg(g)$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
\textit{Beweis: Existenz und Eindeutigkeit\\
|
||||
Existenz: Sei $n=deg(f)$, $m=deg(g)$, $f=\sum \limits_{k=0}^{n} a_kX^k$, $g=\sum \limits_{k=0}^{m} b_kX^k$ \\
|
||||
Induktion nach $n$ bei festem $g$. \\
|
||||
IA: Ist $n<m$, so w\"ahlt man $h=0$ und $r=f$.\\
|
||||
IB: Wir nehmen an, dass die Aussage f\"ur alle Polynome vom Grad kleiner als $n$ gilt.\\
|
||||
IS: Ist $n \ge m$, so betrachtet man $f_1=f-\frac{a_n}{b_m}\cdot X^{n-m}\cdot g(X)$. Da $\frac{a_n}{b_m}\cdot
|
||||
X^{n-m}\cdot g(X)$ ein Polynom vom Grad $n-m+deg(g)=n$ mit Leitkoeffizient $\frac{a_n}{b_m}\cdot b_m=a_n$ ist, ist
|
||||
$deg(f_1)<n$. Nach IB gibt es also $h_1, r_1 \in K[X]$ mit $f_1=gh_1+r_1$ und $deg(r)<deg(g)$. Somit ist
|
||||
$f(X)=f_1(X)+\frac{a_n}{b_m}\cdot X^{n-m}\cdot g(X)=gh+r$ mit $h(X)=h_1(X)+\frac{a_n}{b_m}\cdot X^{n-m}, r=r_1$. \\
|
||||
Eindeutigkeit: Sei $n=deg(f), m=deg(g)$. Ist $f=gh+r=gh'+r'$ und $deg(r),deg(r')<m$, so ist $(h-h')g=r'-r$ und
|
||||
$deg(r'-r)<m$. Da $deg(h-h')=deg(h'-h)+m$ muss $deg(h-h')<0$, also $h'-h=0$ sein. Somit $h'=h$ und $r'=r$} \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Bemerkung:} Der Existenzbeweis durch Induktion liefert uns ein konstruktives Verfahren, diese sogenannte
|
||||
Polynomdivision durchzuf\"uhren. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiel:} in $\mathbb Q[X]$: $(x^3+x^2+1):(x^2+1)=x+1$ Rest $-x$ \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Nullstelle:} Sei $f(X)=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k \in \mathbb R[X]$. F\"ur $\lambda \in
|
||||
\mathbb R$ definiert man die Auswertung von $f$ in $\lambda$ $f(\lambda)=\sum \limits_{k \ge 0} a_k\lambda^k
|
||||
\in \mathbb R$. Das Polynom $f$ liefert auf diese Weise eine Abbildung $\tilde f: \mathbb R \to \mathbb R$ und
|
||||
$\lambda \mapsto f(\lambda)$. \\
|
||||
Ein $\lambda \in \mathbb R$ $f(\lambda)=0$ ist eine Nullstelle von $f$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Lemma:} F\"ur $f,g \in \mathbb R[X]$ und $\lambda \in \mathbb R$i ist $(f+g)(\lambda)=f(\lambda)+
|
||||
g(\lambda)$ und $(fg)(\lambda)=f(\lambda) \cdot g(\lambda)$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
\textit{Beweis: Ist $f=\sum \limits_{k \ge 0} a_kX^k$ und $g=\sum \limits_{k\ge 0} b_kX^k$, so ist \\
|
||||
$f(\lambda)+g(\lambda)=\sum \limits_{k \ge 0} a_k\lambda^k + \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k = \sum
|
||||
\limits_{k\ge 0} (a_k+b_k)\lambda^k=(f+g)(\lambda)$ \\
|
||||
$f(\lambda)\cdot g(\lambda)= \sum \limits_{k\ge 0} a_k\lambda^k \cdot \sum \limits_{k\ge 0} b_k\lambda^k =
|
||||
\sum \limits_{k \ge 0} \sum \limits_{i+j=k} (a_i+b_j)\lambda^k = (fg)(\lambda)$)}
|
||||
\end{document}
|
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