GEO lecture 07-12-2018 WIP

3. Semester/GEO/TeX_files/Kommutative_Ringe/Erinnerung_und_Beispiele.tex

@@ -21,14 +21,14 @@
 	\end{enumerate}
 \end{example}
 
-Sei $R$ ein Ring. (Meisten Beweise sind LAAG1+2 Skript zu entnehmen!)
+Seien $R, S$ Ringe. (Meisten Beweise sind LAAG1+2 Skript zu entnehmen!)
 
 \begin{proposition}
-	Ein Ringhomomorphismus $\phi: R \to R^{'}$ ist ein Isomorphismus (d.h. bijektiv), wenn es einen Ringhomomorphismus $\phi^{'}: R^{'} \to R$ mit $\phi^{'} \circ \phi = \id_R$ und $\phi \circ \phi^{'} = \id_{R^{'}}$.
+	Ein Ringhomomorphismus $\phi: R \to S$ ist ein Isomorphismus (d.h. bijektiv), wenn es einen Ringhomomorphismus $\psi: S \to R$ mit $\psi \circ \phi = \id_R$ und $\phi \circ \psi = \id_{S}$.
 \end{proposition}
 
 \begin{proposition}
-	Ein Ringhomomorphismus $\phi: R \to R^{'}$ ist genau dann injectiv, wenn $\ker(\phi) =\{0\}$.
+	Ein Ringhomomorphismus $\phi: R \to S$ ist genau dann injectiv, wenn $\ker(\phi) =\{0\}$.
 \end{proposition}
 
 \begin{definition}
@@ -44,9 +44,9 @@ Sei $R$ ein Ring. (Meisten Beweise sind LAAG1+2 Skript zu entnehmen!)
 \end{example}
 
 \begin{example}
-	Für eine Familie von Ringen $(R_i)$ wird $\Pi R_i$ durch komponentenweise Addition und Multiplikation zu einem Ring, genannt das \begriff{direkte Produkt} der $R_i$. Bezeichnet $1_{R_i}$ das Einselement von $R_i$, so ist $(1_{R_i})$ das Einselement von $\Pi R_i$ und 
+	Für eine Familie von Ringen $(R_i)_{i \in I}$ wird $\prod_{i \in I} R_i$ durch komponentenweise Addition und Multiplikation zu einem Ring, genannt das \begriff{direkte Produkt} der $R_i$. Bezeichnet $1_{R_i}$ das Einselement von $R_i$, so ist $(1_{R_i})$ das Einselement von $\prod_{i \in I} R_i$ und 
 	\begin{align}
-		(\Pi R_i)^{\times} = \Pi R_i \notag
+		(\prod_{i\in I} R_i)^{\times} = \prod_{i \in I}R_i \notag
 	\end{align}
 \end{example}
 
@@ -97,6 +97,7 @@ Sei $R$ ein Ring. (Meisten Beweise sind LAAG1+2 Skript zu entnehmen!)
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}[Universelle Eigenschaft des Polynomrings]
+	\proplbl{2_1_12}
 	Ist $\phi : R \to S$ ein Ringhomomorphismus und $s \in S$, so gibt es genau einen Ringhomomorphismus $\phi_s : R[x] \to S$ mit 
 	\begin{align}
 	\phi_{s}|_R = \phi \text{ und } \phi_{s} (x) = S\notag
@@ -130,6 +131,7 @@ Sei $R$ ein Ring. (Meisten Beweise sind LAAG1+2 Skript zu entnehmen!)
 \end{remark}
 
 \begin{proposition}[Polynomdivision]
+	\proplbl{2_1_14}
 	Sei $0 \neq g \in R[x]$ mit $\LC(g) \in R^{\times}$. Zu jedem Polynom $f \in R[x]$ gibt es eindeutig bestimmte $q_{1}r \in R[x]$ mit $f = qg +r$ und $\deg(r) < \deg(g)$.
 \end{proposition}
 
@@ -159,5 +161,53 @@ Sei $R$ ein Ring. (Meisten Beweise sind LAAG1+2 Skript zu entnehmen!)
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
+	\proplbl{2_1_16}
 	Ist $R$ nullteilerfrei, so hat $0 = f \in R[x]$ höchstens $\deg(f)$ viele Nullstellen in $R$.
-\end{conclusion}
+\end{conclusion}
+
+\begin{definition}[Polynomring in kommutieren Variablen]
+	Für eine Menge $I$ definieren wir den Monoid
+	\begin{align}
+	\natur_{0}^{(I)} : = \left\{ (\mu_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \natur_{0} \colon \mu_i = 0 \text{ für fast alle } i \right\}\notag
+	\end{align}
+	mit Addition
+	\begin{align}
+		(\mu_i)_{i \in I} + (\nu_i)_{i \in I} :=(\mu_i+\nu_i)_{i \in I}, \notag
+	\end{align}
+	sowie den Ring
+	\begin{align}
+		R[x_i \colon i \in I] = \{ (_{\mu})_{\mu \in \natur_{0}} \colon a_{\mu} \in R, \text{ fast alle gleich } 0\} \notag
+	\end{align}
+	mit Addition
+	\begin{align}
+		(a_{\mu})_{\mu \in \natur_{0}}^{(I)} + (b_{\mu})_{\mu \in \natur_{0}}^{(I)} := (a_{\mu} + b_{\mu})_{\mu \in \natur_{0}}^{(I)} \notag
+	\end{align}
+	und Multiplikation
+	\begin{align}
+		(a_{\lambda})_{\lambda \in \natur_{0}^{(I)}}\cdot (b_{\nu})_{\nu \in \natur_{0}^{(I)}} = \left( \sum_{\lambda + \nu = \mu} a_{\lambda}b_{\mu}\right)_{\mu \in \natur_{0}}^{(I)}, \notag
+	\end{align}
+	gennant \begriff{Polynomring in kommutierenden Variablen} $x_i, i \in I$. Wir identifizieren den Ring $R$ mit den Unterring
+	\begin{align}
+		\{ (r\delta_{\mu,\underline{0}})_{\mu \in \natur_{0}}^{(I)}\colon r \in R \}. \notag
+	\end{align}
+	Wir schreiben $x_i := (\delta_{\mu\nu})_{\mu \in \natur_{0}}^{(I)},\quad \mu := (\delta_{ij})_{i \in I}$ und $x^{\mu} := \prod_{i \in I}x_i^{\mu_i}$. Damit ist dann
+	\begin{align}
+		(a_{\mu})_{\mu \in \natur_{0}}^{(I)} = \sum_{\mu \in \natur_{0}}^{(I)} a_{\mu} x^{\mu}. \notag
+	\end{align}
+	Weiter schreiben wir
+	\begin{align}
+		R[x_1, \dots, x_n] := R[x_i \colon i \in \{ i, \dots, n \}]. \notag
+	\end{align}
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	Sei $R = \whole$ und $I = \{1,2\}$, dann
+	\begin{align}
+		\left( x_1 x_2 + x_2^2 \right)^2 = a_{(2,1)}x_1^2 x_2^2 + a_{(1,3)}x_1 x_2^2 + a_{(0,4)}x_2^4\notag	
+	\end{align}
+	mit $a_{(2,1)} = 1$, $a_{(1,3)} = 2$ und $a_{(0,4)} = 1$
+\end{example}
+
+\begin{remark}
+	\propref{2_1_10} und \propref{2_1_12} kann man allgemein für $R[x_i \colon i \in I]$ anstatt $R[x]$ formulieren. Für \propref{2_1_14} - \propref{2_1_16} gibt es keine Verallgeminerung. So hat z.B. $f = x_1 - x_2$ unendlich viele Nullstellen, da $f(a,a) = 0$ für alle $a \in \whole$.
+\end{remark}

3. Semester/GEO/Vorlesung GEO.tex

@@ -22,16 +22,16 @@
 \input{./TeX_files/Vorwort}
 
 \chapter{Endliche Gruppen}
-\input{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Erinnerung_und_Beispiele}
-\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Ordnung_und_Index}
-\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Normalteiler_und_Quotientengruppen}
-\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Abelsche_Gruppen}
-\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Direkte_und_semidirekte_Produkte}
-\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Gruppenwirkungen}
-\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/p-Gruppen}
-\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Die_Sylow-Saetze}
-\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Einfache_Gruppen}
-\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Aufloesbare_Gruppen}
+%\input{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Erinnerung_und_Beispiele}
+%\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Ordnung_und_Index}
+%\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Normalteiler_und_Quotientengruppen}
+%\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Abelsche_Gruppen}
+%\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Direkte_und_semidirekte_Produkte}
+%\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Gruppenwirkungen}
+%\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/p-Gruppen}
+%\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Die_Sylow-Saetze}
+%\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Einfache_Gruppen}
+%\include{./TeX_files/Endliche_Gruppen/Aufloesbare_Gruppen}
 
 \chapter{Kommutative Ringe}
 \input{./TeX_files/Kommutative_Ringe/Erinnerung_und_Beispiele}