From e27aee5b06e873f4e2ce537da4c0c826170ee53c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ameyah Date: Fri, 12 Apr 2019 11:03:44 +0200 Subject: [PATCH] STOCH polishing II. --- .../STOCH/TeX_files/Bedingte_Wheiten.tex | 11 +++-- .../STOCH/TeX_files/Erste_Standardmodelle.tex | 42 ++++++++--------- .../TeX_files/Grundbegriffe_Wtheorie.tex | 45 ++++++++----------- 3 files changed, 45 insertions(+), 53 deletions(-) diff --git a/4. Semester/STOCH/TeX_files/Bedingte_Wheiten.tex b/4. Semester/STOCH/TeX_files/Bedingte_Wheiten.tex index 3b99080..6b381a1 100644 --- a/4. Semester/STOCH/TeX_files/Bedingte_Wheiten.tex +++ b/4. Semester/STOCH/TeX_files/Bedingte_Wheiten.tex @@ -1,7 +1,9 @@ -\chapter{Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit} +\chapter[Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (Un)-abbhängigkeit]{Bedingte Wheiten und (Un)-abbhängigkeit} +\chaptermark{Bedingte Wheiten und (Un)-abbhängigkeit} + \section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten} \begin{example} - Das Würfeln mit zwei fairen, sechseitigen Würfeln können wir mit + Das Würfeln mit zwei fairen, sechsseitigen Würfeln können wir mit \begin{align} \Omega = \set{(i,j,), i,j \in \set{1,\dots,6}}\notag \end{align} @@ -53,4 +55,7 @@ also $c_B = \probp(B)^{-1}$. \end{proof} -% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5th lecture % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % \ No newline at end of file +% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 5th lecture % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % + + +\section{(Un)-abhängigkeit} \label{sec_unabhangigkeit} \ No newline at end of file diff --git a/4. Semester/STOCH/TeX_files/Erste_Standardmodelle.tex b/4. Semester/STOCH/TeX_files/Erste_Standardmodelle.tex index a3fc115..edc03a0 100644 --- a/4. Semester/STOCH/TeX_files/Erste_Standardmodelle.tex +++ b/4. Semester/STOCH/TeX_files/Erste_Standardmodelle.tex @@ -50,25 +50,19 @@ Zur Bestimmung einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsmaßes, nummerieren wir die K \overline{\Omega} = \set{1,\dots, N}^n \und \overline{\sigF} = \pows(\overline{\Omega})\notag \end{align} und wir könnten die Gleichverteilung $\overline{\probp} = \Gleich(\overline{\Omega})$ als Wahrscheinlichkeitsmaß für einem einzelnen Zug verwenden. Für den Übergang zu $\Omega$ konstruieren wir Zufallsvariablen. Die Farbe im $i$-ten Zug wird beschrieben durch -\begin{align} - X_i: \overline{\Omega} \to E \mit \overline{\omega} = \left( \overline{\omega}_1, \dots, \overline{\omega}_n \right) \mapsto a \text{ falls } \overline{\omega}_i \in F_a\notag -\end{align} -Der Zufallsvektor -\begin{align} - X = (X_1, \dots, X_n): \overline{\Omega} \to \Omega\notag -\end{align} -beschreibt dann die Abfolge der Farben. Für jedes $\omega \in \Omega$ gilt dann -\begin{align} - \set{X = \omega} = F_{\omega_1} \times \cdots \times F_{\omega_n} = \bigtimes_{i=1}^{n} F_{\omega_i}\notag -\end{align} -und damit -\begin{align} +\begin{align*} + X_i: \overline{\Omega} \to E \mit \overline{\omega} = \left( \overline{\omega}_1, \dots, \overline{\omega}_n \right) \mapsto a \text{ falls } \overline{\omega}_i \in F_a\\ + \intertext{Der Zufallsvektor} + X = (X_1, \dots, X_n): \overline{\Omega} \to \Omega\\ + \intertext{beschreibt dann die Abfolge der Farben. Für jedes $\omega \in \Omega$ gilt dann} + \set{X = \omega} = F_{\omega_1} \times \cdots \times F_{\omega_n} = \bigtimes_{i=1}^{n} F_{\omega_i}\\ + \intertext{und damit} \probp(\set{\omega}) - &= \overline{\probp}(X^{-1}(\set{\omega})) = \probp(X=\omega)\notag\\ - &= \frac{\abs{F_{\omega_1}} \cdots \abs{F_{\omega_n}}}{\abs{\overline{\Omega}}}\notag\\ - &= \prod_{i=1}^{n} \frac{\abs{F_{\omega_i}}}{N} =: \prod_{i=1}^{n} \rho(\omega_i)\notag -\end{align} -Zähldichten, die sich als Produkt von Zähldichten schreiben lassen, werden auch als \begriff{Produktdichten} bezeichnet ($\nearrow$ \S 3 Unabhängigkeit). %TODO ref?!?!?! + &= \overline{\probp}(X^{-1}(\set{\omega})) = \probp(X=\omega)\\ + &= \frac{\abs{F_{\omega_1}} \cdots \abs{F_{\omega_n}}}{\abs{\overline{\Omega}}}\\ + &= \prod_{i=1}^{n} \frac{\abs{F_{\omega_i}}}{N} =: \prod_{i=1}^{n} \rho(\omega_i) +\end{align*} +Zähldichten, die sich als Produkt von Zähldichten schreiben lassen, werden auch als \begriff{Produktdichten} bezeichnet ($\nearrow$ \cref{sec_unabhangigkeit}). %TODO ref?!?!?! Sehr oft interessiert bei einem Urnenexperiment nicht die Reihenfolge der gezogenen Farben, sondern nur die Anzahl der Kugeln in Farbe $a \in E$ nach $n$ Zügen. Dies enspricht \begin{align*} @@ -85,16 +79,18 @@ Sehr oft interessiert bei einem Urnenexperiment nicht die Reihenfolge der gezoge Wir erhalten \begin{align*} - \probp(Y = k) &= \probp(Y_a = k_a, \enskip a \in E)\\ - &= \sum_{\omega \in \Omega: Y(\omega) = k} \prod_{i=1}^{n} \rho(\omega_i)\\ - &= \sum_{\omega \in \Omega: Y(\omega) = k} \prod_{a \in E} \rho(a) = \binom{n}{(k)_{a\in E}} + \probp(Y = k) &= \probp(Y_a = k_a, \enskip a \in E)\notag\\ + &= \sum_{\omega \in \Omega: Y(\omega) = k} \prod_{i=1}^{n} \rho(\omega_i)\notag\\ + &= \sum_{\omega \in \Omega: Y(\omega) = k} \prod_{a \in E} \rho(a) + &= \binom{n}{(k)_{a\in E}} % \begin{pmatrix} % n \\ % (k)_{a\in E} % \end{pmatrix} - \prod_{a \in E} \rho(a)^{k_a}\\ + \prod_{a \in E} \rho(a)^{k_a},\\ \intertext{wobei} - \binom{n}{(k_1, \dots, k_l)} &= + \binom{n}{(k_1, \dots, k_l)} + &= \begin{cases} \frac{n!}{k_1 ! \, k_2 ! \cdots k_l !} \sum_{i=1}^{l} k_i = n\\ 0 & \sonst diff --git a/4. Semester/STOCH/TeX_files/Grundbegriffe_Wtheorie.tex b/4. Semester/STOCH/TeX_files/Grundbegriffe_Wtheorie.tex index 74d720c..7ccc136 100644 --- a/4. Semester/STOCH/TeX_files/Grundbegriffe_Wtheorie.tex +++ b/4. Semester/STOCH/TeX_files/Grundbegriffe_Wtheorie.tex @@ -80,13 +80,13 @@ Aus der Definition folgen direkt: \end{proposition} \begin{proof} - In der Vorlesung wurde nur auf Schillings MINT Vorlesung verwiesen. Der folgende Beweis wurde ergänzt.\\ - Beweise erst folgende Aussage: $A\cap B = \emptyset \Longrightarrow \probp(A \uplus B) = \probp(A) + \probp(B)$.\\ + In der Vorlesung wurde auf Schilling MINT Satz 3.3 verwiesen. Ausserdem gab es dazu Präsenzübung 1.3. Der folgende Beweis wurde ergänzt.\\ + Beweise erst Aussage: $A\cap B = \emptyset \Longrightarrow \probp(A \uplus B) = \probp(A) + \probp(B)$.\\ %TODO add reference for the claim. Es kann $\sigma$-Additivität verwendet werden, indem ``fehlende'' Mengen durch $\emptyset$ ergänzt werden: \begin{align} \probp(A \uplus B) = \probp(A \uplus B \uplus \emptyset \uplus \emptyset \dots) = \probp(A) + \probp(B) + \probp(\emptyset) + \dots = \probp(A) + \probp(B),\notag \end{align} - wobei Maßeigenschaften verwendet wurden. + wobei Maßeigenschaften verwendet werden. \begin{enumerate} \item Definition des Maßes. \item Da $A \subseteq B$ ist auch $B = A \uplus (B \setminus A) = A \uplus (B \setminus (A \cap B))$. Wende wieder Aussage von oben an, damit folgt @@ -133,7 +133,7 @@ Aus der Definition folgen direkt: \begin{example} \proplbl{1_1_7} - Wartezeit an der Bushaltestelle mit Ergebnisraum $\Omega = \real_{+}$ und Ereignisraum \person{Borel}sche $\sigma$-Algebra $\mathscr{B}(\real_{+}) = \sigF$. Eine mögliches W-Maß können wir dann durch + Wartezeit an der Bushaltestelle mit Ergebnisraum $\Omega = \real_{+}$ und Ereignisraum \person{Borel}sche $\sigma$-Algebra $\borel(\real_{+}) = \sigF$. Eine mögliches W-Maß können wir dann durch \begin{align} \probp(A) = \int_{A} \lambda e^{-\lambda x} \diff x\notag %TODO set a mathoperator for dx!!! \end{align} @@ -152,14 +152,14 @@ Aus der Definition folgen direkt: \end{align} ein (diskretes) Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ auf $(\Omega, \sigF)$. $\rho$ wird als \begriff{Zähldichte} bezeichnet. \item Umgekehrt definiert jedes Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ auf $(\Omega, \sigF)$ definiert Folge $\rho(\omega) = \probp(\set{\omega}),\; \omega \in \Omega$ eine Folge $\rho$ mit den obigen Eigenschaften. - \item $\Omega \subset \Rn, \sigF = \mathscr{B}(\Omega)$: Sei $\rho: \Omega \to [0, \infty)$ eine Funktion, sodass + \item $\Omega \subset \Rn, \sigF = \borel(\Omega)$: Sei $\rho: \Omega \to [0, \infty)$ eine Funktion, sodass \begin{enumerate} \item $\int_{\Omega} \rho(x)\diff x = 1$ - \item $\set{x \in \Omega \colon f(x) \le c} \in \mathscr{B}(\Omega)$ für alle $c > 0$ + \item $\set{x \in \Omega \colon f(x) \le c} \in \borel(\Omega)$ für alle $c > 0$ \end{enumerate} dann definiert $\rho$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\probp$ auf $(\Omega, \sigF)$ durch \begin{align} - \probp(A) = \int_{A} \rho(x) \diff x = \int_{A} \rho \diff \lambda, \quad A \in \mathscr{B}(\Omega).\notag + \probp(A) = \int_{A} \rho(x) \diff x = \int_{A} \rho \diff \lambda, \quad A \in \borel(\Omega).\notag \end{align} Das Integral interpretieren wir stets als Lebesgue-Integral bzw. Lebesgue-Maß $\lambda$. $\rho$ bezeichnet wir als \begriff{Dichte}, \begriff{Dichtefunktion}/\begriff{Wahrscheinlichkeitsdichte} von $\probp$ und nennen ein solches $\probp$ \begriff{(absolut)stetig (bzgl. denn Lebesgue-Maß)}. @@ -177,43 +177,34 @@ Aus der Definition folgen direkt: \begin{itemize} \item Die eineindeutige Beziehung zwischen Dichte und Wahrscheinlichkeitsmaß überträgt sich nicht auf den stetigen Fall. \begin{itemize} - \item Nicht jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathscr{B}(\Omega)),\; \Omega \subset \Rn$ besitzt eine Dichte. - \item Zwei Dichtefunktionen definieren dasselbe Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie sich nur auf einer Menge von Lebesgue-Maß $0$ unterscheiden. + \item Nicht jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \borel(\Omega)) \mit \Omega \subset \Rn$ besitzt eine Dichte. + \item Zwei Dichtefunktionen definieren dasselbe Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie sich nur auf einer Menge vom \person{Lebesgue}-Maß $0$ unterscheiden. \end{itemize} - \item Jede auf $\Omega \subset \Rn$ definiert Dichtefunktion $\rho$ lässt sich auf ganz $\Rn$ fortsetzen durch $\rho(x) = 0,\; x \not\in \Omega$. Das erzeugte Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Rn, \mathscr{B}(\Omega))$ lässt mit den Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathscr{\Omega})$ identifizieren. - \item Mittels Dirac-Maß $\delta_{x}$ können auch jedes diskrete Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\Omega \subset \Rn$ als Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Rn, \mathscr{B}(\Rn))$ intepretieren - \begin{align} - \probp(A) = \sum_{\omega \in A} \rho(\omega) = \int_{A} \diff \left( \sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega)\delta_{\omega} \right)\notag - \end{align} - stetige und diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich kombinieren z.B. - \begin{align} - \probp(A) = \frac{1}{2} \delta_{0} + \frac{1}{2} \int_{A}\indi_{[0,1]}(x)\diff x, A \in \mathscr{B}(\R)\notag - \end{align} - ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\R, \mathscr{B}(\R))$. + \item Jede auf $\Omega \subset \Rn$ definiert Dichtefunktion $\rho$ lässt sich auf ganz $\Rn$ fortsetzen durch $\rho(x) = 0\mit x \not\in \Omega$. Das erzeugte Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Rn, \borel(\Omega))$ lässt mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \borel(\Omega)$ identifizieren. + \item Mittels Dirac-Maß $\delta_{x}$ können auch jedes diskrete Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\Omega \subset \Rn$ als Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Rn, \borel(\Rn))$ intepretieren + \begin{align*} + \probp(A) = \sum_{\omega \in A} \rho(\omega) = \int_{A} \diff \left( \sum_{\omega \in \Omega} \rho(\omega)\delta_{\omega} \right)\\ + \intertext{stetige und diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich kombinieren z.B.} + \probp(A) = \frac{1}{2} \delta_{0} + \frac{1}{2} \int_{A}\indi_{[0,1]}(x)\diff x, A \in \borel(\R) + \end{align*} + ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\R, \borel(\R))$. \end{itemize} \end{*remark} - Abschließend erinnern wir uns an: - \begin{proposition}[Eindeutigkeitssatz für Wahrscheinlichkeitsmaße] \proplbl{1_9} Sei $(\Omega, \sigF)$ Ereignisraum und $\probp$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \sigF)$. Sei $\sigF = \omega(\mathscr{G})$ für ein $\cap$-stabiles Erzeugendensystem $\mathscr{G} \subset \mathscr{P}(\Omega)$. Dann ist $\probp$ bereits durch seine Einschränkung $\probp_{\mid \mathscr{G}}$ eindeutig bestimmt. \end{proposition} - \begin{proof} - $\nearrow$ Schhiling MINT, Satz 4.5. + $\nearrow$ Schilling MINT, Satz 4.5. \end{proof} - Insbesondere definiert z.B. - \begin{align} \probp([0,a]) = \int_{0}^{a} \lambda e^{-\lambda x}\diff x = 1 - e^{-\lambda a}, a > 0 \notag \end{align} - bereits die Exponentialverteilung aus \propref{1_1_7}. - \begin{definition}[Gleichverteilung] \proplbl{1_10} Ist $\Omega$ endlich, so heißt das Wahrscheinlichkeitsmaß mit konstanter Zähldichte $\rho(\omega) = \sfrac{1}{\abs{\Omega}}$ die \begriff{(diskrete) Gleichverteilung} auf $\Omega$ und wird mit $\Gleich(\Omega)$ notiert (U = Uniform).