diff --git a/3. Semester/GEO/TeX_files/Abelsche_Gruppen.tex b/3. Semester/GEO/TeX_files/Abelsche_Gruppen.tex index c26d4b4..63d8bf7 100644 --- a/3. Semester/GEO/TeX_files/Abelsche_Gruppen.tex +++ b/3. Semester/GEO/TeX_files/Abelsche_Gruppen.tex @@ -187,6 +187,7 @@ und daraus kann man $r, k, d_1, \dots , d_k$ erhalten. \end{proof} \begin{conclusion} + \proplbl{1_4_14} Für $p \in \natur$ prime ist \begin{align} \Aut(C_p) \cong (\whole / p \whole)^{\times} \cong C_{p-1}.\notag diff --git a/3. Semester/GEO/TeX_files/Die_Sylow-Saetze.tex b/3. Semester/GEO/TeX_files/Die_Sylow-Saetze.tex index 76073d1..99e792f 100644 --- a/3. Semester/GEO/TeX_files/Die_Sylow-Saetze.tex +++ b/3. Semester/GEO/TeX_files/Die_Sylow-Saetze.tex @@ -1 +1,84 @@ -\section{Die \person{Sylow}-Sätze} \ No newline at end of file +\section{Die \person{Sylow}-Sätze} +Sei $G$ eine endliche Gruppe und $p \in \natur$ prime. +\begin{definition} + Sei $H \leq G$. + \begin{enumerate} + \item $H$ ist $p$-Sylow-Untergruppe von $G$ (oder $p$-Sylowgruppe von $G$) $:\Leftrightarrow H$ ist $p$-Gruppe und $p \nmid (G \colon H)$ + \item $\Syl_p(G) = \{H \leq G \colon \text{ ist } p\text{-Sylowgruppe von } G\}$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{remark} + Schreib $\#G = p^k \cdot m$ mit $p \nmid m$. Dann gilt für $H \leq G$. $H \in \Syl_p(G) \Leftrightarrow \#H=p^k$. +\end{remark} + +\begin{example} + \begin{itemize} + \item $\Syl_3(S_3) = \{A_3\}$ + \item $\Syl_2(S_3) = \{\langle(12)\rangle , \langle(13)\rangle, \langle(23)\rangle\}$ + \item $Syl_2(S_4) \ni D_4$ + \end{itemize} +\end{example} + +\begin{proposition} + \proplbl{1_8_4} + Es gilt $\Syl_p(G) \neq \emptyset$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Induktion nach $n:=\#G=p^k\cdot m, p\nmid m.$ + \begin{itemize} + \item $n=1$: $1 \in \Syl_2(1)$! + \item $n>1$: Ist $p\nmid n$, so ist $1 \in \Syl_p(G)$. Sei also $k \geq 1$. + \begin{itemize} + \item 1. Fall: Es existiert $H \lneqq G$ mit $p \nmid (G:H)$. Nach Induktionhypothese existiert $S \in \Syl_p(H)$. Da $p \nmid (G:S)=(G:H)(H:S)$ ist $S \in \Syl_p(G)$. + \item 2. Fall: Es ist $p \mid (G:H)$ für alle $H \lneqq G$. Nach Klassengleichung \propref{1_6_16} ist $0 \equiv n = \#(Z(G)) + \sum_{i=1}^{r} (G:C_G(x_i)) = \ord{Z(G)} \mod p$, wobei $G \ Z(G) = \biguplus_{i=1}^{r}x_i^G$, also $p \mid \#Z(G)$. Nach \propref{1_7_3} (Cauchy) $g \in Z(G)$ mit $\ord(g) = p$. \\ + $\Rightarrow N:=\langle g \rangle \unlhd G$, $\#N = p$, $\# G /N = p^{k-1}m$. Nach Induktionshyptothese existiert $\bar{S}\in \Syl_p(G/N)$, d.h. setze $S:= \pi_N^{-1}(\bar{S}) \leq G$. Dann ist $\#S = \#\ker(\pi_N)\#\bar{(S}=p\cdot p^{k-1} = p^k$, d.h. $S \in \Syl_p(G)$. + \end{itemize} + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{conclusion} + Ist $k \in \natur$ mit $p^k \mid \#G$, so existiert $H \leq G$ mit $\#H = p^k$. +\end{conclusion} + +\begin{proof} + \propref{1_8_4} und \propref{1_7_9}. +\end{proof} + +\begin{theorem}[\person{Sylow}-Sätze] + Sei $G$ eine endliche Gruppe. + \begin{enumerate} + \item Jede $p$-Gruppe $H \leq G$ ist in einer $p-$Sylowgruppe von $G$ enthalten. + \item Je zwei $p$-Sylowgruppen von $G$ konjugieren. + \item Für die Anzahl $s_p := \#\Syl_p(G)$ gilt $s_p = (G:N_G(S)) = 1 \mod p$, wobei $S \in \Syl_p(G)$ beliebig. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Wird noch ergänzt! +\end{proof} + +\begin{conclusion} + \proplbl{1_8_7} + Sei $S \in \Syl_p(G)$. Genau dann ist $S\leq G$, wenn $s_p = 1$. +\end{conclusion} + +\begin{conclusion} + Schreibe $\#G = p^k m$, $p \nmid m$. Dann gilt $s_p\mid m$ und $p \mid s_{p-1}$. +\end{conclusion} + +\begin{example} + Sei $\#G = pq$, mit Primzahlen $p