GEO Kapitel 2.7

3. Semester/GEO/TeX_files/Kommutative_Ringe/Irreduzibilitaetskriterien.tex

@@ -19,7 +19,17 @@ Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K = \Quot(R)$.
 \end{proposition}
 
 \begin{proof}
-	to be written ...
+	Sei $f=g\cdot h$ mit $g=\sum_{i=0}^k b_ix^i$, $h=\sum_{i=0}^l c_ix^i\in R[x]$ und $n=k+l$.
+	\begin{itemize}
+		\item $p\nmid a_n = b_k\cdot c_l\Rightarrow p\nmid b_k$ und $p\nmid c_l$
+		\item $p\mid a_0 = b_0\cdot c_0$ und $p^2\mid a_0\Rightarrow$ ohne Einschränkung $p\mid b_0$, aber $p\nmid c_0$
+	\end{itemize}
+	Sei $m=\max\{i\in\natur\mid p\mid b_0,...,p\mid b_i\}\in \{0,...,k-1\}$ \\
+	$\Rightarrow a_{m+1} = \underbrace{b_0c_{m+1}+b_1c_m+...+b_mc_1}_{=0\mod p} + \underbrace{b_{m+1}c_0}_{\neq 0\mod p}$ \\
+	$\Rightarrow p\nmid a_{m+1}$ \\
+	$\Rightarrow m+1\ge n\Rightarrow k\ge m+1\ge n = k+l\Rightarrow k=n$ und $l=0$ \\
+	$\Rightarrow h\in R\xRightarrow{f\text{ primitiv}} h\in R^\times \subseteq R[x]^\times$ \\
+	Somit ist $f$ irreduzibel in $R[x]$ und mit \propref{2_6_10} und $f\notin R$ folgt, dass $f$ irreduzibel in $K[x]$ ist.
 \end{proof}
 
 \begin{example}
@@ -31,5 +41,68 @@ Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K = \Quot(R)$.
 \end{example}
 
 \begin{proposition}[Reduktionskriterium]
-	Sei $0 \neq f = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \in R[x]\setminus R$ und $p \in R$ prim mit $p \nmid a_n$. Ist $\bar{f} \in (R[x]/(p))[x]$
+	Sei $0 \neq f = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \in R[x]\setminus R$ und $p \in R$ prim mit $p \nmid a_n$. Ist $\bar{f} \in \left(\lnkset{R}{(p)} \right)[x]$ irreduzibel, so auch $f$ irreduzibel in $K[x]$.
-\end{proposition}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Schreibe $f=c\cdot f_0$, $c\in R$ und $f_0\in R[x]$ primitiv. Wenn $p\nmid a_n$, dann folgt $p\nmid c$ und $p\nmid \LC(f_0)$. Sei also ohne Einschränkung $f=f_0$ primitiv. Sei $f=g\cdot h$ mit $g=\sum_{i =0}^k b_ix^i$, $h=\sum_{i =0}^l c_ix^i\in R[x]$ und $k+l=n$. Wenn $p\nmid a_n$, dann $p\nmid b_k$ und $p\nmid c_l$. \\
+	$\Rightarrow\bar{f} = \bar{g}\cdot\bar{h}$, wobei $\deg(\bar{f})=n$, $\deg(\bar{g})=k$ und $\deg(\bar{h})=l$ \\
+	$\xRightarrow{\bar{f}\text{ irreduzibel}}$ ohne Einschränkung $\bar{g}\in\left(\lnkset{R}{(p)}\right)[x]^\times$, insbesondere $k=0\Rightarrow l=n$ \\
+	$\Rightarrow g\in R\xRightarrow{f\text{ primitiv}} g\in R^\times$ \\
+	$\Rightarrow f$ irreduzibel in $K[x]$
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	$R=\whole$: $f=x^3+3x^2+2x+1$ ist irreduzibel in $\ratio[x]$, denn
+	\begin{align}
+		\bar{f} = x^3+x^2+1\in \mathbb{F}_2[x]\notag
+	\end{align}
+	hat keine Nullstellen in $\mathbb{F}_2=\{0,1\}$.
+\end{example}
+
+\begin{remark}
+	Die Nullstellen von $x^n-1$ in $\comp$, also die $n$-Torsion $\comp^\times[n]$ von $\comp^\times$ nennt man die $n$-ten \begriff{Einheitswurzeln}. Diesel bilden eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$, erzeugt von $\zeta_n = e^{\frac{2\pi i}{n}}$. Elemente von $\comp^\times$ der Ordnung genau $n$ nennt man \begriff[Eineheitswurzeln!]{primitive $n$-te Einheitswurzel}.
+	
+	\begin{center}
+		\begin{tikzpicture}
+			\draw[->] (-1.5,0) --(1.5,0);
+			\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5);
+			\draw (0,0) circle (1);
+			\draw[fill=black] (0.707,0.707) circle (0.05);
+			\node at (1.2,0.8) (a) {$e^{\frac{2\pi i}{n}}$};
+			\draw[fill=black] (1,0) circle (0.05);
+			\node at (1.1,-0.2) (b) {1};
+		\end{tikzpicture}
+	\end{center}
+\end{remark}
+
+\begin{definition}[$p$-tes Kreisteilungspolynom]
+	Für $p\in\natur$ prim ist
+	\begin{align}
+		\Phi_p = \frac{x^p-1}{x-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + ... + x + 1\in\whole[x]\notag
+	\end{align}
+	das $p$-te \begriff{Kreisteilungspolynom}.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Die Nullstellen von $\Phi_p$ sind genau die primitiven Einheitswurzeln:
+	\begin{align}
+		\Phi_p = \prod_{k=1}^{p-1} (x-\zeta_p^k)\notag
+	\end{align}
+\end{remark}
+
+\begin{proposition}
+	Für $p\in\natur$ prim ist $\Phi_p$ irreduzibel in $\ratio[x]$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Das Polynom $\Phi_p(x+1)$ ist ein Eisensteinpolynom zur Primzahl $p$, also irreduzibel nach \propref{2_6_2}. Da $f(x)\mapsto f(x+1)$ ein Automorphismus von $\ratio[x]$ ist, ist damit auch $\Phi_p(x)$ irreduzibel.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	\proplbl{2_7_10}
+	Sei $f=2x^7-100\in \ratio[x]\Rightarrow$ Multiplikation mit Einheit $2^{-1}\Rightarrow x^7-50\Rightarrow$ \person{Eisenstein}. \\
+	\textbf{Achtung:} $2x^7-100\in\real[x]$ ist nicht irreduzibel!
+\end{example}
+
+\begin{*anmerkung}
+	In \propref{2_7_10} ist \person{Eisenstein} im ersten Schritt nicht anwendbar, da $2\mid 100$, aber auch $2\mid \LC(f)=2$ und $5\mid 100$, aber auch $5\mid 100^2$.
+\end{*anmerkung}

3. Semester/GEO/TeX_files/Kommutative_Ringe/Satz_von_Gauss.tex

@@ -26,6 +26,7 @@ Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K= \Quot(R)$ und $p \in R$ prim.
 \end{remark}
 
 \begin{definition}
+	\proplbl{2_6_2}
 	Für $f = \sum_{i \ge 0} a_i x^i \in K[x]$. Sei $v_p(f) := \min_{i \ge 0} v_p(a_i) \in \whole \cup \{\infty\}$.
 \end{definition}
 
@@ -120,6 +121,7 @@ Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K= \Quot(R)$ und $p \in R$ prim.
 \end{remark}
 
 \begin{theorem}[Satz von \person{Gauss}]
+	\proplbl{2_6_10}
 	Sei $R$ faktorieller Ring und $K = \Quot(R)$. Dann ist auch $R[x]$ faktoriell. Ein $f \in R[x]$ ist genau dann prim, wenn
 	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
 	\item $f$ ist ein Primelement von $R$ \textbf{oder}