set projection math operator

2. Semester/LAAG/TeX_files/Orthogonalitaet.tex

@@ -60,17 +60,17 @@ Sei $V$ ein euklidischer bzw. unitärer VR.
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
-	Sei $U\subseteq V$ ein UVR und $B=(x_1,...,x_k)$ eine ONB von $U$. Es gibt genau einen Epimorphismus $pr_U:V\to U$ mit $pr_U\vert_U=\id_U$ und $\Ker(pr_U)\perp U$, insbesondere also $x-pr_U\perp U$ für alle $x\in V$, genannt die \begriff{orthogonale Projektion} auf $U$, und dieser ist geben durch
+	Sei $U\subseteq V$ ein UVR und $B=(x_1,...,x_k)$ eine ONB von $U$. Es gibt genau einen Epimorphismus $\pr_U:V\to U$ mit $\pr_U\vert_U=\id_U$ und $\Ker(\pr_U)\perp U$, insbesondere also $x-\pr_U\perp U$ für alle $x\in V$, genannt die \begriff{orthogonale Projektion} auf $U$, und dieser ist geben durch
 	\begin{align}
 		x\mapsto\sum_{i=1}^k \skalar{x}{x_i}x_i
 	\end{align}
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Sei zunächst $pr_U$ durch (1) gegeben. Die Linearität von $pr_U$ folgt aus (S1) und (S3). Für $u=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i\in U$ ist $\skalar{u}{x_j}=\skalar{\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i}{x_j}=\sum_{i=1}^k \lambda_i\skalar{x_i}{x_j}=\lambda_j$, woraus $pr_U(u)=u$. Somit ist $pr_U\vert_U=\id_U$, und insbesondere ist $pr_U$ surjektiv. Ist $pr_U(x)=0$, so ist $\skalar{x}{x_i}=0$ für alle $i$., woraus mit (S2) und (S4) sofort $x\perp U$ folgt. Somit ist $\Ker(pr_U)\perp U$. \\
-	Für $x\in V$ ist $pr_U(x-pr_U(x))=pr_U(x)-pr_U(pr_U(x))=pr_U(x)-pr_U(x)=0$, also $x-pr_U(x)\in\Ker(pr_U)\subseteq U^\perp$. \\
+	Sei zunächst $pr_U$ durch (1) gegeben. Die Linearität von $pr_U$ folgt aus (S1) und (S3). Für $u=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i\in U$ ist $\skalar{u}{x_j}=\skalar{\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i}{x_j}=\sum_{i=1}^k \lambda_i\skalar{x_i}{x_j}=\lambda_j$, woraus $\pr_U(u)=u$. Somit ist $\pr_U\vert_U=\id_U$, und insbesondere ist $pr_U$ surjektiv. Ist $\pr_U(x)=0$, so ist $\skalar{x}{x_i}=0$ für alle $i$., woraus mit (S2) und (S4) sofort $x\perp U$ folgt. Somit ist $\Ker(\pr_U)\perp U$. \\
+	Für $x\in V$ ist $pr_U(x-\pr_U(x))=\pr_U(x)-\pr_U(\pr_U(x))=\pr_U(x)-\pr_U(x)=0$, also $x-\pr_U(x)\in\Ker(\pr_U)\subseteq U^\perp$. \\
 	Ist $f:V\to U$ ein weiterer Epimorphismus mit $f\vert_U=\id_U$ und $\Ker(f)\perp U$, so ist 
 	\begin{align}
-		\underbrace{pr_U(x)}_{\in U}-\underbrace{f(x)}_{\in U}=\underbrace{pr_U(x)-x}_{\in U^\perp}-\underbrace{f(x)-x}_{\in U^\perp}\in U\cap U^\perp =\{0\}\notag
+		\underbrace{\pr_U(x)}_{\in U}-\underbrace{f(x)}_{\in U}=\underbrace{\pr_U(x)-x}_{\in U^\perp}-\underbrace{f(x)-x}_{\in U^\perp}\in U\cap U^\perp =\{0\}\notag
 	\end{align}
-	für jedes $x\in V$, somit $f=pr_U$.
+	für jedes $x\in V$, somit $f=\pr_U$.
 \end{proof}

2. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex

@@ -533,6 +533,7 @@
 \DeclareMathOperator{\Span}{span}
 \DeclareMathOperator{\Image}{Im}
 \DeclareMathOperator{\Hau}{Hau}
+\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
 
 %change headings:
 \titlelabel{\thetitle.\quad}%. behind section/sub... (3. instead of 3)