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@ -58,35 +58,41 @@ Sei $G$ ein Gruppe.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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\proplbl{1_4_5}
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Sei $G=(G,+)=\langle g \rangle$ zyklisch der Ordnung $n \in \natur$.
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\begin{itemize}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Zu jedem $d \in \natur$ mit $d\mid n$ hat $G$ genau eine Untergruppe der Ordnung $d$, nämlich $U_d=\langle \frac{n}{d}g\rangle$
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\item Für $d \mid n$ und $d'\mid n$ ist $U_d \leq U_{d'} \Leftrightarrow d \mid d'$
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||||
\item Für $h_1, \dots , h_k \in \whole$ ist $\langle h_1 g, \dots, h_r g \rangle = \langle eg\rangle = U_{\frac{n}{e}}$ mit $e = \ggT(h_1,\dots,h_r,n)$
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||||
\item Für $d \mid n$ und $d'\mid n$ ist $U_d \le U_{d'} \Leftrightarrow d \mid d'$
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||||
\item Für $k_1, \dots , k_k \in \whole$ ist $\langle k_1 g, \dots, k_r g \rangle = \langle eg\rangle = U_{\sfrac{n}{e}}$ mit $e = \ggT(k_1,\dots,k_r,n)$
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||||
\item Für $k \in \whole$ ist $\ord(kg)= \frac{n}{\ggT(k,n)}$
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Betrachte wieder $\phi: \begin{cases}
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\overline{k} &\to G \\
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k &\to kg
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\end{cases}$
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\begin{enumerate}
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\item Nach 3.7 und 4.3 liefert $\phi$ Bijektion $\{ e \in \natur \mid n\whole \leq e\whole \} \overset{1.1}{\rightarrow} \{ H \leq G \}$ und $n\whole \leq e\whole \Leftrightarrow e \mid n.$ Ist $H = \phi(e\whole) = \langle e\whole \rangle$, so ist $H \cong \lnkset{e\whole}{n\whole}$, also $n = (\whole \colon n \whole) = (\whole \colon e\whole)\cdot(e\whole \colon n\whole) = e \cdot \#H$
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||||
\item $U_d \leq U_{d'} \Leftrightarrow \langle \frac{n}{d}g \rangle \leq \langle \frac{n}{d'}g \rangle = \frac{n}{d}\whole \leq \frac{n}{d'}\whole \Leftrightarrow \frac{n}{d'} \mid \frac{n}{d} \Leftrightarrow d \mid d'$
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||||
\item Mit $H = \langle h_1, \dots, h_r,n \rangle \leq \whole$ ist $n\whole \leq H$, $\phi(H) = \langle h_1 g, \dots, h_r g$. Nach 4.3 ist $H = \langle e \rangle$ mit $e = \ggT(h_1, \dots, h_r, n)$, somit $\langle h_1 g, \dots, h_r g \rangle = \phi(e\whole) = U_{\frac{n}{e}}$
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\item $\ord(hg) = \#\langle hg \rangle \overset{c)}{=} \#U_{\frac{n}{e}}$ mit $e = \ggT(h,n)$
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Betrachte wieder
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\begin{align}
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\phi: \begin{cases}\overline{k} \to G \\k \mapsto kg\end{cases}\notag
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\end{align}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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||||
\item Nach \propref{1_3_7} und \propref{1_4_3} liefert $\phi$ Bijektion
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\begin{align}
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\{ e \in \natur \mid n\whole \le e\whole \} \xrightarrow{\propref{1_1_1}} \{ H \le G \}\notag
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||||
\end{align}
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und $n\whole \le e\whole \Leftrightarrow e \mid n$. Ist $H = \phi(e\whole) = \langle eg \rangle$, so ist $H \cong \lnkset{e\whole}{n\whole}$, also $n = (\whole : n \whole) = (\whole : e\whole)\cdot(e\whole : n\whole) = e \cdot \#H$
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||||
\item $U_d \le U_{d'} \Leftrightarrow \langle \frac{n}{d}g \rangle \le \langle \frac{n}{d'}g \rangle \Leftrightarrow \frac{n}{d}\whole \le \frac{n}{d'}\whole \Leftrightarrow \frac{n}{d'} \mid \frac{n}{d} \Leftrightarrow d \mid d'$
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||||
\item Mit $H = \langle k_1, \dots, k_r,n \rangle \le \whole$ ist $n\whole \le H$, $\phi(H) = \langle k_1 g, \dots, k_r g$. Nach \propref{1_4_3} ist $H = \langle e \rangle$ mit $e = \ggT(k_1, \dots, k_r, n)$, somit $\langle k_1 g, \dots, k_r g \rangle = \phi(e\whole) = U_{\sfrac{n}{e}}$
|
||||
\item $\ord(kg) = \#\langle kg \rangle \overset{c)}{=} \#U_{\sfrac{n}{e}}$ mit $e = \ggT(k,n)$
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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Seien $a,b \in G$. Kommutieren $a \text{ und } b$ und sind $\ord(a)$ und $\ord(b)$ teilerfremd, so ist
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\proplbl{1_4_6}
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Seien $a,b \in G$. Kommutieren $a$ und $b$ und sind $\ord(a)$ und $\ord(b)$ teilerfremd, so ist
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\begin{align}
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||||
\ord(a,b) = \ord(a)\cdot \ord(b) \notag
|
||||
\end{align}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Nach 2.12 ist $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = 1$. Ist $(ab)^k = 1 = a^k b^k$, so ist $a^k = b^{-k} \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle = 1$, also $a^k = b^k = 1$. Somit ist $(ab)^k = 1 \Leftrightarrow a^k = 1 \text{ und } b^k =1$ und damit $\ord(ab) = \kgV(\ord(a), \ord(b)) = \ord(a) \cdot \ord(b)$
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||||
Nach \propref{1_2_12} ist $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = 1$. Ist $(ab)^k = 1 = a^k b^k$, so ist $a^k = b^{-k} \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle = 1$, also $a^k = b^k = 1$. Somit ist $(ab)^k = 1 \Leftrightarrow a^k = 1$ und $b^k =1$ und damit $\ord(ab) = \kgV(\ord(a), \ord(b)) = \ord(a) \cdot \ord(b)$
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\end{proof}
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\begin{conclusion}
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@ -96,58 +102,68 @@ Sei $G$ ein Gruppe.
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\end{align}
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||||
\end{conclusion}
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\begin{proof}
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Schreibe $m = m_0 m'$ und $n = n_0 n'$ mit $m_0 n_0 = \kgV(m,n)$ und $\ggT(m_0, n_0) = 1 \Rightarrow \ord(a^{m'}) = m_0$, $\ord(b^{n'}) = n_0 \Rightarrow \ord(b^{n'} \cdot a^{m'}) \overset{4.6}{=} m_0 \cdot n_0 = \kgV(m,n)$.
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||||
Schreibe $m = m_0 m'$ und $n = n_0 n'$ mit $m_0 n_0 = \kgV(m,n)$ und $\ggT(m_0, n_0) = 1 \Rightarrow \ord(a^{m'}) = m_0$, $\ord(b^{n'}) = n_0 \Rightarrow \ord(b^{n'} \cdot a^{m'}) \overset{\propref{1_4_6}}{=} m_0 \cdot n_0 = \kgV(m,n)$.
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\end{proof}
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\begin{theorem}[Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen]
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Jede endliche erzeugte abelsche Gruppe $G$ ist eine direkte Summe zyklischer Gruppen
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\begin{align}
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||||
G \cong \whole^{r} \oplus\bigoplus_{i=1}^n \qraum{\whole}{d_i \whole} \notag
|
||||
G \cong \whole^{r} \oplus\bigoplus_{i=1}^k \lnkset{\whole}{d_i \whole} \notag
|
||||
\end{align}
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||||
mit eindeutig bestimmten $d_1, \dots, d_k > 1$ die $d_1 \mid d_{i+1}$ für alle $i$ erfüllen.
|
||||
mit eindeutig bestimmten $d_1, \dots, d_k > 1$ die $d_i \mid d_{i+1}$ für alle $i$ erfüllen.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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||||
\item Existenz: LAAG 2. VIII. 6.14
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||||
\item Existenz: LAAG 2: VIII. 6.14
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||||
\item Eindeutigkeit: Für $d \in \natur$ ist
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\begin{align}
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||||
\# \lnkset{G}{dG} &= \#\left( \lnkset{\whole}{d \whole}\right)^r \oplus \bigoplus_{i=1}^k \lnkset{\left(\lnkset{\whole}{d_\whole}\right)}{d\cdot\left(\lnkset{\whole}{d_i\whole}\right)} \notag \\
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||||
&\overset{4.5}{=} d^r \cdot \prod_{i=1}^{n} \frac{d_i}{\ggT(d,d_i)}\notag
|
||||
\# \lnkset{G}{dG} &= \#\left( \lnkset{\whole}{d \whole}\right)^r \oplus \bigoplus_{i=1}^k \lnkset{\left(\lnkset{\whole}{d_i\whole}\right)}{d\cdot\left(\lnkset{\whole}{d_i\whole}\right)} \notag \\
|
||||
&\overset{\propref{1_4_5}}{=} d^r \cdot \prod_{i=1}^{n} \frac{d_i}{\ggT(d,d_i)}\notag
|
||||
\end{align}
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||||
\end{itemize}
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||||
und daraus kann man $r, k, d_1, \dots , d_k$ erhalten.
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||||
\end{proof}
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\begin{lemma}
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||||
Sei $G=(G,+) = \langle g\rangle$ zyklisch der Ordnung $n \in \natur_0$. Die Endomorphismen von $G$ sind genau die
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||||
Sei $G=(G,+) = \langle g\rangle$ zyklisch der Ordnung $n \in \natur$. Die Endomorphismen von $G$ sind genau die
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||||
\begin{align}
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||||
\phi_{\overline{k}}: \begin{cases}
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||||
G &\to G \\
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||||
x &\to kx
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||||
\end{cases} \text{ für } \overline{k} = k + n\whole \in \lnkset{\whole}{n\whole}
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||||
G \to G \\
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||||
x \mapsto kx
|
||||
\end{cases} \text{ für } \overline{k} = k + n\whole \in \whole/n\whole\notag
|
||||
\end{align}
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||||
Dabei ist $\phi_{\overline{l}}\circ\phi_{\overline{k}} = \phi_{\overline{kl}}$ für $\overline{k}, \overline{l} \in \lnkset{\whole}{n\whole}$.\notag
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Dabei ist $\phi_{\overline{l}}\circ\phi_{\overline{k}} = \phi_{\overline{kl}}$.
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||||
\end{lemma}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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||||
\item $\phi_{\overline{k}}$ wohldefiniert $\overline{k_1} = \overline{k_2} \Rightarrow k_2 = k_1 +an$ mit $a \in \whole$, $k_2 x = k_1 x + a n \cdot x = k_1 x \quad\forall x \in G$
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||||
\item $\phi_{\overline{k}} \in \Hom(G,G)$: Klar, da $G$ abelsch
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||||
\item $\overline{k}=\overline{l} \phi_{\overline{k}} = \phi_{\overline{l}}$\\
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||||
$\phi_{\overline{k}} = \phi_{\overline{l}} \Rightarrow \phi_{\overline{k}}(g) = \phi_{\overline{k}}(g) \Rightarrow (k-l)g = 0 \overset{\ord(g) =n}{\Rightarrow} n \mid (k-l) \Rightarrow \overline{k} = \overline{l}$
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||||
\item $\phi \in \Hom(G,G) \Rightarrow \phi = \phi_{\overline{k}}$ für ein $k \in \whole$, $\phi(g) = kg$ für ein $k \Rightarrow \phi = \phi_{\overline{k}}$
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||||
\item $\phi_{\overline{l}} \circ \phi_{\overline{k}} = \phi_{\overline{kl}} := l(kx) = (lk)x$
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||||
\item $\phi_{\overline{k}}$ wohldefiniert $\overline{k_1} = \overline{k_2} \Rightarrow k_2 = k_1 +an$ mit $a \in \whole\Rightarrow k_2 x = k_1 x + a n \cdot x$, aber $nx=0$.
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||||
\item $\phi_{\overline{k}} \in \Hom(G,G)$: klar, da $G$ abelsch
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||||
\item $\overline{k}=\overline{l}\Leftrightarrow \phi_{\overline{k}} = \phi_{\overline{l}}$: $\phi_{\overline{k}}(g) = \phi_{\overline{l}}(g) \Rightarrow (k-l)g = 0 \xRightarrow[=n]{\ord(g)} n \mid (k-l) \Rightarrow \overline{k} = \overline{l}$
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||||
\item $\phi \in \Hom(G,G) \Rightarrow \phi = \phi_{\overline{k}}$ für ein $k \in \whole$: $\phi(g) = kg$ für ein $k \Rightarrow \phi = \phi_{\overline{k}}$
|
||||
\item $\phi_{\overline{k}} \circ \phi_{\overline{l}} = \phi_{\overline{kl}}$: $l(kx) = (lk)x$
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{proof}
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\begin{proposition}
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Ist $G$ zyklisch von Ordnung $n \in \natur$, so ist
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||||
\begin{align}
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||||
\Aut(G) \cong \left( \lnkset{\whole}{\whole}\right)^{\times}\notag
|
||||
\Aut(G) \cong (\whole/n\whole)^{\times}\notag
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||||
\end{align}
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||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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$\Aut(G) \subseteq \Hom(G,G) = \{ \phi_{\overline{k}} \colon k \in \lnkset{\whole}{n\whole} \}$\\
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||||
$\Aut(G) \subseteq \Hom(G,G) = \{ \phi_{\overline{k}} \mid \overline{k} \in \whole/n\whole\}$, $\phi_{\overline{k}}\in\Aut(G)\Leftrightarrow$ es existiert ein $\overline{l}\in\whole/n\whole$ mit $\phi_{\overline{l}}\circ\phi_{\overline{k}}=\phi_{\overline{1}}$ also existiert ein $\overline{l}\in\whole/n\whole$ mit $\overline{kl}=1\Leftrightarrow\overline{k}\in (\whole/n\whole)^\times$ und
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||||
\begin{align}
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||||
\phi_{\overline{k}} \in \Aut(G) &\Leftrightarrow \text{ existiert } \overline{l} \in \lnkset{\whole}{n\whole} \text{ mit }\notag\\ \phi_{\overline{l}} \circ \phi_{\overline{k}} = \phi_{\overline{1}} &\Leftrightarrow \text{ existiert } \overline{l} \in \lnkset{\whole}{n\whole}
|
||||
\begin{cases}
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||||
(\whole/n\whole)^\times&\to \Aut(G) \\
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||||
\overline{k}&\mapsto \phi_{\overline{k}}
|
||||
\end{cases}\notag
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||||
\end{align}
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||||
ist ein Isomorphismus.
|
||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{definition}[\person{Euler}'sche Phi-Funktion]
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||||
\begin{align}
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||||
\Phi(n) = \#(\whole/n\whole)^\times\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
ist die \begriff{\person{Euler}'sche Phi-Funktion}.
|
||||
\end{definition}
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3. Semester/GEO/TeX_files/Direkte_und_semidirekte_Produkte.tex
Normal file
174
3. Semester/GEO/TeX_files/Direkte_und_semidirekte_Produkte.tex
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@ -0,0 +1,174 @@
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\section{Direkte und semidirekte Produkte}
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Sei $G$ eine Gruppe und $n\in\natur$.
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\begin{definition}[direktes Produkt]
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||||
Das \begriff{direkte Produkt} von Gruppen $G_1,...,G_n$ ist das kartesische Produkt
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||||
\begin{align}
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||||
G=\prod_{i=1}^n G_1 = G_1\times ...\times G_n=\bigtimes_{i=1}^n G_1\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
mit komponentenweiser Multiplikation.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
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||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
|
||||
\item Wir identifizieren $G_j$ mit der Untergruppe
|
||||
\begin{align}
|
||||
G_j = \prod_{i\neq j} 1 = 1\times ...\times 1\times G_j\times 1 \times ...\times 1\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
von $\prod_{i=1}^n G_j$.
|
||||
\item Für $i\neq j$, $g_i\in G_i$, $g_j\in G_j$ gilt dann
|
||||
\begin{align}
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||||
\label{1.1}
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||||
g_ig_j=g_jg_i
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{remark}
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||||
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||||
\begin{definition}[internes direktes Produkt]
|
||||
Seien $H_1,...,H_n\le G$. Dann ist $G$ das \begriff{interne direkte Produkt} von $H_1,...,H_n$, in Zeichen
|
||||
\begin{align}
|
||||
G = \prod_{i=1}^n H_i = H_1\times ...\times H_n=\bigtimes_{i=1}^n H_i\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
wenn
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||||
\begin{align}
|
||||
\begin{cases}
|
||||
H_1\times ...\times H_n &\to G \\
|
||||
(g_1,...,g_n) &\mapsto g_1\cdot ...\cdot g_n
|
||||
\end{cases}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
ein Gruppenisomorphismus ist.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\proplbl{1_5_4}
|
||||
Seien $U,V\le G$. Dann sind äquivalent:
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
||||
\item $G=U\times V$
|
||||
\item $U\unlhd G$, $V\unlhd G$, $U\cap V=1$, $UV=G$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(i)\Rightarrow (ii)$: Im externen direkten Produkt $U\times V$ gilt:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $UV=U\times V$: Für $u\in U$, $v\in V$ ist $(u,v)=(u,1)\cdot (1,v)\in UV$
|
||||
\item $U\cap V=1$: klar
|
||||
\item $U\unlhd U\times V$: Für $g=(u,v)\in U\times V$ und $u_0=(u_0,1)\in U$ ist
|
||||
\begin{align}
|
||||
u_0^g = g^{-1}u_0g=(u^{-1},v^{-1})(u_0,1)(u,v)=(u_0^u,1)\in U\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item $(ii)\Rightarrow (i)$: betrachte
|
||||
\begin{align}
|
||||
\phi: \begin{cases}
|
||||
U\times V\to G \\ (u,v)\mapsto w
|
||||
\end{cases}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \cref{1.1} gilt: Für $u\in U$, $v\in V$ gilt in $G$:
|
||||
\begin{align}
|
||||
u^{-1}v^{-1}uv=\underbrace{(v^{-1})^uv}_{\in V} = \underbrace{u^{-1}u^v}_{\in U}\cap V=1\Rightarrow uv=vu\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\item $\phi$ ist Homomorphismus: $\phi((u_1,v_1)(u_2,v_2)) = \phi(u_1u_2,v_1v_2) = u_1u_2v_1v2 \overset{\cref{1.1}}{=} u_1v_1u_2v_2 = \phi(u_1,v_1)\cdot \phi(u_2,v_2)$
|
||||
\item $\phi$ surjektiv: $\Image(\phi)=UV=G$
|
||||
\item $\phi$ injektiv: $1=\phi(u,v) = uv\Rightarrow u=v^{-1}\in U\cap V = 1\Rightarrow (u,v) = (1,1)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{conclusion}
|
||||
Seien $H_1,...,H_n\le G$. Dann sind äquivalent:
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
||||
\item $G=H_1\times ...\times H_n$
|
||||
\item $G=H_1...H_n$ und $\forall i$: $H_i\unlhd G$ und $H_{i-1}\cap H_i=1$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Induktion nach $n$. \\
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||||
\emph{$n=1$:} trivial \\
|
||||
\emph{$n>1$:} Setze $U=H_1...H_{n-1}$ und $V=H_n$. Dann ist $U\unlhd G$ (\propref{1_3_3} c) und $V\unlhd G$, $UV=H_1...H_n=G$, $U\cap V=1$. Somit ist $\phi: U\times V\to G$ ein Isomorphismus nach \propref{1_5_4}. Da $H_i\unlhd U$ für $i<n$ folgt nach Induktionshypothese, dass
|
||||
\begin{align}
|
||||
\phi':\begin{cases}
|
||||
H_1...H_{n-1} &\to U \\ (h_1,...,h_{n-1}) &\mapsto h_1...h_{n-1}
|
||||
\end{cases}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
Somit ist
|
||||
\begin{align}
|
||||
\phi\circ (\phi'\times \id_{H_n}):\begin{cases}
|
||||
H_1...H_n &\to G \\ (h_1...h_n) &\mapsto \phi(\phi'((h_1,...,h_{n-1}),h))=h_1...h_n
|
||||
\end{cases}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
ein Isomorphismus.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[internes semidirektes Produkt]
|
||||
Seien $H,N\le G$. Dann ist $G$ das \begriff{interne semidirekte Produkt} von $H$ und $N$, in Zeichen
|
||||
\begin{align}
|
||||
G=H\ltimes N = N\rtimes H\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
wenn $N\unlhd G$, $H\cap N=1$ und $NH=G$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\proplbl{1_5_7}
|
||||
Ist $G=H \ltimes N$, so ist
|
||||
\begin{align}
|
||||
\alpha: \begin{cases}
|
||||
H\to \Aut(N) \\ h \mapsto \Int(h)\vert_N
|
||||
\end{cases}\notag
|
||||
\end{align}
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||||
ein Gruppenhomomorphismus. Im Fall $G=H\times N$ ist $\alpha(h)=\id_N$ für alle $h\in H$. Für $h_1,h_2\in H$ und $n_1,n_2\in N$ ist
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\begin{align}
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h_1n_1\cdot h_2n_2 &= h_1h_2h_2^{-1}n_1h_2n_2 \notag \\
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&= h_1h_2\cdot \underbrace{n_1^{h_2}}_{\in N}\cdot n_2 \notag \\
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\label{1.2}
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&= h_1h_2\cdot n_1^{\alpha(h_2)}\cdot n_2
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\end{align}
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\end{remark}
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\begin{definition}[semidirektes Produkt]
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Seien $H,N$ Gruppen und $\alpha\in\Hom(H,\Aut(N))$. Das \begriff{semidirekte Produkt} $H\ltimes_{\alpha}N$ von $H$ und $N$ bezüglich $\alpha$ ist das kartesische Produkt $H\times N$ mit der Multiplikation
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\begin{align}
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(h_1,n_1)\cdot (h_2,n_2) = (h_1h_2,n_1^{\alpha(h_2)}n_2)\notag
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\end{align}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Wir identifizieren $H,N$ mit der Teilmenge $H\times 1$ bzw. $N\times 1$ von $H\ltimes_{\alpha} N$.
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\item Ist $\alpha\in\Hom(H,\Aut(N))$ trivial, also $\alpha(h)=\id_N$ für alle $h\in H$, so ist $H\ltimes_{\alpha} N=H \times N$, das direkte Produkt.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Seien $H,N$ Gruppen, $\alpha\in\Hom(H,\Aut(N))$. Dann ist $G=H\ltimes_{\alpha} N$ eine Gruppe, und diese ist das interne semidirekte Produkt von $H\le G$ und $N\unlhd G$, wobei
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\begin{align}
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\Int(h)\vert_N = \alpha(h)\quad\forall h\in H\notag
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\end{align}
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\end{proposition}
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\begin{conclusion}
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Sei $G=H\ltimes N$ und $\alpha$ wie in\propref{1_5_7}. Dann ist
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\begin{align}
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\phi :\begin{cases}
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H\ltimes_{\alpha} N &\to G \\ (h,n) &\mapsto hn
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\end{cases}\notag
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\end{align}
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ein Isomorphismus. Insbesondere ist $G$ durch $H$, $N$ und $\alpha$ bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
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\end{conclusion}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item $\phi$ ist Homomorphismus: $\phi((h_1,n_1)\cdot (h_2,n_2)) = \phi(h_1h_2,n_1^{\alpha(h_2)}n_2) = h_1h_2n_1^{\alpha(h_2)}n_2 \overset{\cref{1.2}}{=} h_1h_2n_1n_2 = \phi(h_1,n_1)\cdot \phi(h_2,n_2)$
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\item $\phi$ ist surjektiv: $\Image(\phi)=HN=G$
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\item $\phi$ ist injektiv: $H\cap N=1$
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{example}
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Sei $G=H\ltimes N$.
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $H=N=C_2$: $\Aut(N)=\{\id_{C_2}\}\Rightarrow\alpha\in\Hom(C_2,\Aut(C_2))=1$ (konstante Abbildung) $\Rightarrow G = H\ltimes_{\alpha} N=H\times N\cong C_2\times C_2\cong V_4$
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||||
\item $H=C_2$, $N=C_3$: $\Aut(N)\cong (\whole/n\whole)^\times\cong C_2 \Rightarrow \alpha\in\Hom(C_2,\Aut(C_3))=\{\id_{C_2}, 1\}\Rightarrow H\ltimes_{\alpha} N = H\times N\cong C_6$ oder $H\ltimes_{\id_{C_2}}N\cong S_3$
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\end{enumerate}
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\end{example}
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@ -1,6 +1,7 @@
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\section{Erinnerung und Beispiele}
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\begin{erinnerung}
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\proplbl{1_1_1}
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Eine \begriff{Gruppe} ist ein Paar $(G,\ast)$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer Verknüpfung $\ast: G\times G\to G$, dass die Axiome Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz von Inversen erfüllt, und wir schreiben auch $G$ für die Gruppe $(G,\ast)$. Die Gruppe $G$ ist \begriff[Gruppe!]{abelsch}, wenn $g\ast h=h\ast g$ für alle $g,h\in G$. Eine allgemeine Gruppe schreiben wir multiplikativ mit neutralem Element 1, abelsche Gruppen auch additiv mit neutralem Element 0.
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Eine Teilmenge $H\subseteq G$ ist eine \begriff{Untergruppe} von $G$, in Zeichen $H\le G$, wenn $H\neq\emptyset$ und $H$ abgeschlossen ist unter der Verknüpfung und den Bilden von Inversen. Wir schreiben 1 (bzw. 0) auch für die triviale Untergruppe $\{1\}$ (bzw. $\{0\}$) von $G$.
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@ -65,6 +65,7 @@ Sei $G$ eine Gruppe.
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\end{definition}
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\begin{lemma}
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\proplbl{1_3_7}
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Sei $N\unlhd G$. Für $H\le G$ ist $\pi_N(H)=\lnkset{HN}{N}\le\lnkset{G}{N}$, und $H\mapsto \pi(H)$ liefert eine Bijektion zwischen
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\begin{itemize}
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\item den $H\le G$ mit $N\le H$ und
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Binary file not shown.
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@ -26,6 +26,7 @@
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\include{./TeX_files/Ordnung_und_Index}
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\include{./TeX_files/Normalteiler_und_Quotientengruppen}
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\include{./TeX_files/Abelsche_Gruppen}
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\include{./TeX_files/Direkte_und_semidirekte_Produkte}
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\chapter{Kommutative Ringe}
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@ -35,6 +36,16 @@
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\addcontentsline{toc}{part}{Anhang}
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\appendix
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\chapter{Listen}
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\section{Liste der Theoreme}
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\theoremlisttype{allname}
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\listtheorems{theorem}
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\pagebreak
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\section{Liste der benannten Sätze, Lemmata und Folgerungen}
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\theoremlisttype{optname}
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\listtheorems{proposition,lemma,conclusion}
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%\printglossary[type=\acronymtype]
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\printindex
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