properideal jetzt auch für andere Richtung: \properidealright

3. Semester/GEO/TeX_files/Endliche_Gruppen/Aufloesbare_Gruppen.tex

@@ -8,7 +8,7 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 		\item Eine \begriff{Normalreihe} von $G$ ist eine Folge von Untergruppen
 		\begin{align}
 		\label{eq1}
-		G = G_0 \gneq G_1 \gneq ... \gneq G_n = 1\tag{$\ast$} %TODO: Normalteiler-aber-ungleich-Symbol erzeugen
+		G = G_0 \properidealright G_1 \properidealright ... \properidealright G_n = 1\tag{$\ast$}
 		\end{align}
 		Dabei ist $n$ die Länge der Normalreihe, und die Quotienten $\lnkset{G_{i-1}}{G_i}$ heißen die \begriff{Faktoren} der Normalreihe.
 		\item Eine Normalreihe $G_0, \dots, G_n$ von $G$ ist eine \begriff{Verfeinerung} einer Normalreihe $H_0,\dots,H_m$  von $G$, wenn $i_1,\dots,i_m$ mit $H_j = G_{i_{j}} \forall j$ gibt.
@@ -19,7 +19,7 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 \begin{remark}
 	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
 		\item Für eine Normalreihe \eqref{eq1} gilt nach \propref{1_3_7} + Ü27:
-		Genau dann ist $\lnkset{G_{i-1}}{G_i}$ einfach, wenn es kein $G_{i-1} \gneq N \gneq G_i$ mit $N \unrhd G_{i-1}$ gibt. Das heißt, genau dann ist eine Normalreihe eine Kompositionsreihe, wenn alle ihre Faktoren einfach sind. % different to the lecutre notes, taken from the online version, because fehm avoided using the negation of the normal subgroup symbol!
+		Genau dann ist $\lnkset{G_{i-1}}{G_i}$ einfach, wenn es kein $G_{i-1} \properidealright N \properidealright G_i$ mit $N \unrhd G_{i-1}$ gibt. Das heißt, genau dann ist eine Normalreihe eine Kompositionsreihe, wenn alle ihre Faktoren einfach sind. % different to the lecutre notes, taken from the online version, because fehm avoided using the negation of the normal subgroup symbol!
 		\item Jede Normalreihe besitzt eine Verfeinerung, die eine Kompositionsreihe ist.
 	\end{enumerate}
 \end{remark}
@@ -28,17 +28,17 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
 		\item $S_3$ hat eine Kompositionsreihe
 		\begin{align}
-			S_3 > A_3 > 1 \notag %TODO: Fix symbols
+			S_3 \properidealright A_3 \properidealright 1 \notag
 		\end{align}
 		mit Faktoren $\lnkset{S_3}{A_3} \cong C_2$, $\lnkset{A_3}{1} \cong C_3$.
 		\item $S_4$ hat die Kompositionsreihe
 		\begin{align}
-			S_4 > A_4 > V_4 > H=\langle (1\, 2)(3\, 4)\rangle > 1 \notag %TODO: Fix symbols
+			S_4 \properidealright A_4 \properidealright V_4 \properidealright H=\langle (1\, 2)(3\, 4)\rangle \properidealright 1 \notag
 		\end{align}
 		mit Faktoren $\lnkset{S_4}{A_4} \cong C_2$, $\lnkset{A_4}{V_4} \cong C_3$, $\lnkset{V_4}{H} \cong C_2$ und $\lnkset{H}{1}\cong C_2$.
 		\item $S_5$ hat die Kompositionsreihe
 		\begin{align}
-			S_5 > A_5 > 1\notag %TODO: Fix symbols
+			S_5 \properidealright A_5 \properidealright 1\notag
 		\end{align}
 		mit Faktoren $\lnkset{S_5}{A_5} \cong C_2$, $\lnkset{A_5}{1} \cong A_5$ nach \propref{1_9_11}.
 	\end{enumerate}
@@ -50,8 +50,8 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 \begin{proof}
 	 Induktion über die minimale Länge $n$ einer Kompositionsreihe: Seien
 	 \begin{align}
-	 	G &= A_0 \gneq A_1 \gneq \dotsm \gneq A_n = 1,\notag \\ %TODO: Fix symbols
+	 	G &= A_0 \properidealright A_1 \properidealright \dotsm \properidealright A_n = 1,\notag \\ %TODO: Fix symbols
-	 	G &= B_0 \gneq B_1 \gneq \dotsm \gneq B_m = 1\notag
+	 	G &= B_0 \properidealright B_1 \properidealright \dotsm \properidealright B_m = 1\notag
 	\end{align}
 	\begin{center}
 		\begin{tikzpicture}
@@ -92,7 +92,7 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 	 		\lnkset{G}{A_1} &= \lnkset{A_1 B_1}{A_1} \overset{\propref{1_3_10}}{\cong} \lnkset{B_1}{A_1 \cap B_1} = \lnkset{B_1}{N} \notag \\
 	 		\lnkset{G}{B_1} &\cong \lnkset{A_1}{N} \notag
 	 	\end{align}
-		Insbesondere sind $\lnkset{A_1}{N}$ und $\lnkset{B_1}{N}$ einfach. Sei $N=N_0 > N_1 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe. Dann ist auch $A_1 > N > N_1 > \dots > N_l$ ist Kompositionsreihe der Länge $l+1$. Da $A_1 > A_2 > \dots > A_n$ Kompositionsreihe minimaler Länge $n-1$ ist. Es folgt aus der Induktionshypothese, dass $n-1 = l+1$ und dass die Faktoren übereinstimmen. Ebenso sind $B_1 > B_2 > \dots > B_m$ und $B_1 > N_0 > N_1 > \dots > N_l$ Kompositionsreihe mit Länge $m-1$ und $l+1$. Da $l+1 = n-1 < n$ folgt aus der Induktionshypothese, dass $l+1 = m-1$ und dass die Faktoren übereinstimmen. Also $m = l+2 = n$ und $A_0 > \dots > A_n$ und $B_0 > \dots > B_n$ haben Faktoren $\lnkset{G}{A_1} \cong \lnkset{B_1}{N}$, $\lnkset{A_1}{N} \cong \lnkset{G}{B_2}$, $\lnkset{N}{N_1}$, $\lnkset{N_1}{N_2}$, $\dots$, $\lnkset{N_{l-1}}{N_l}$
+		Insbesondere sind $\lnkset{A_1}{N}$ und $\lnkset{B_1}{N}$ einfach. Sei $N=N_0 \properidealright N_1 \properidealright \dots \properidealright N_l = 1$ Kompositionsreihe. Dann ist auch $A_1 \properidealright N \properidealright N_1 \properidealright \dots \properidealright N_l$ ist Kompositionsreihe der Länge $l+1$. Da $A_1 \properidealright A_2 \properidealright \dots \properidealright A_n$ Kompositionsreihe minimaler Länge $n-1$ ist. Es folgt aus der Induktionshypothese, dass $n-1 = l+1$ und dass die Faktoren übereinstimmen. Ebenso sind $B_1 \properidealright B_2 \properidealright \dots \properidealright B_m$ und $B_1 \properidealright N_0 \properidealright N_1 \properidealright \dots \properidealright N_l$ Kompositionsreihe mit Länge $m-1$ und $l+1$. Da $l+1 = n-1 < n$ folgt aus der Induktionshypothese, dass $l+1 = m-1$ und dass die Faktoren übereinstimmen. Also $m = l+2 = n$ und $A_0 \properidealright \dots \properidealright A_n$ und $B_0 \properidealright \dots \properidealright B_n$ haben Faktoren $\lnkset{G}{A_1} \cong \lnkset{B_1}{N}$, $\lnkset{A_1}{N} \cong \lnkset{G}{B_2}$, $\lnkset{N}{N_1}$, $\lnkset{N_1}{N_2}$, $\dots$, $\lnkset{N_{l-1}}{N_l}$
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
@@ -121,8 +121,8 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	\begin{itemize}
-		\item Hinrichtung: Ist $N = N_0 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe, so kann $G > N_0 > \dots > N_l = 1$ zu einer Kompositionsreihe von $G$ verfeinert werden, Kompositionsfaktoren von $N$ sind die Kompositionsfaktoren von $G$. Somit ist $N$ auflösbar. Ist $\lnkset{G}{H} = H_0 > \dots > H_k$ Kompositionsreihe von $\lnkset{G}{N}$, so kann $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \pi^{-1}_{N}(H_1) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > 1$ zu einer Kompositionsreihe verfeinert werden, die Kompositionsfaktoren von $\lnkset{G}{N}$ sind also Kompositionsfaktoren von $G$. Somit ist $\lnkset{G}{N}$ auflösbar.
+		\item Hinrichtung: Ist $N = N_0 \properidealright \dots \properidealright N_l = 1$ Kompositionsreihe, so kann $G \properidealright N_0 \properidealright \dots \properidealright N_l = 1$ zu einer Kompositionsreihe von $G$ verfeinert werden, Kompositionsfaktoren von $N$ sind die Kompositionsfaktoren von $G$. Somit ist $N$ auflösbar. Ist $\lnkset{G}{H} = H_0 \properidealright \dots \properidealright H_k$ Kompositionsreihe von $\lnkset{G}{N}$, so kann $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) \properidealright \pi^{-1}_{N}(H_1) \properidealright \dots \properidealright \pi^{-1}_{N}(H_k) = N \properidealright 1$ zu einer Kompositionsreihe verfeinert werden, die Kompositionsfaktoren von $\lnkset{G}{N}$ sind also Kompositionsfaktoren von $G$. Somit ist $\lnkset{G}{N}$ auflösbar.
-		\item Rückrichtung: Sind $N = N_0 > \dots > N_l$ und $\lnkset{G}{N}=H_0 > \dots > H_k$ Kompositionsreihen, so ist $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > N_1 > \dots > N_l$ eine Kompositionsreihe von $G$ und ist damit auflösbar.
+		\item Rückrichtung: Sind $N = N_0 \properidealright \dots \properidealright N_l$ und $\lnkset{G}{N}=H_0 \properidealright \dots \properidealright H_k$ Kompositionsreihen, so ist $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) \properidealright \dots \properidealright \pi^{-1}_{N}(H_k) = N \properidealright N_1 \properidealright \dots \properidealright N_l$ eine Kompositionsreihe von $G$ und ist damit auflösbar.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
@@ -185,7 +185,7 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 \begin{definition}[Kommutatorreihe]
 	Wir definieren die \begriff{Kommutatorreihe}
 	\begin{align}
-	G = G^{(0)} \geq G^{(1)} \geq \dots\notag
+	G = G^{(0)} \properidealright G^{(1)} \properidealright \dots\notag
 	\end{align}
 	induktiv durch $G^{(0)} = G$ und $G^{(n+1)} = (G^{(n)})'$.
 \end{definition}
@@ -201,8 +201,8 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 	\emph{$n-1 \to n$:} Nach Induktionshypothese ist $G^{(n-1)} \leq G_{n-1}$, $\lnkset{G_{n-1}}{G_n}$ abelsch $\Rightarrow G^{(n)} = (G^{(n-1)})' \leq (G_{n-1})' \overset{\propref{1_10_12}}{\leq} G_n$.\\
 	Für den "'Insbesondere"'-Fall gilt:
 	\begin{itemize}
-		\item Hinrichtung: Kompositionsreihe $G = G_0 > G_1 > \dots G_n$ ist Normalreihe mit abelschen Faktoren $\Rightarrow G^{(n)} \leq G_n = 1 \Rightarrow G^{(n)} = 1$
+		\item Hinrichtung: Kompositionsreihe $G = G_0 \properidealright G_1 \properidealright \dots \properidealright G_n$ ist Normalreihe mit abelschen Faktoren $\Rightarrow G^{(n)} \leq G_n = 1 \Rightarrow G^{(n)} = 1$
-		\item Rückrichtung: $G = G^{(0)} > G^{(1)} > \dots > G^{(n)} = 1$ mit $n$ minimal ist Normalreihe mit abelschen Faktoren $\xRightarrow{\propref{1_10_8}} G$ ist auflösbar.
+		\item Rückrichtung: $G = G^{(0)} \properidealright G^{(1)} \properidealright \dots \properidealright G^{(n)} = 1$ mit $n$ minimal ist Normalreihe mit abelschen Faktoren $\xRightarrow{\propref{1_10_8}} G$ ist auflösbar.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 

texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators.sty

@@ -24,6 +24,11 @@
   \ooalign{$\lneq$\cr\raise.22ex\hbox{$\lhd$}\cr}%
 }
 
+\DeclareRobustCommand{\properidealright}{\mathrel{\text{$\m@th\proper@idealright$}}}
+\newcommand{\proper@idealright}{%
+	\ooalign{$\gneq$\cr\raise.22ex\hbox{$\rhd$}\cr}%
+}
+
 %General newcommands!
 \newcommand{\comp}{\mathbb{C}} % complex set C
 \newcommand{\real}{\mathbb{R}} % real set R