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\section{Die Tableauform des Simplex-Verfahrens}
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\section{Die Tableauform des Simplex-Verfahrens}
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Der Übergang von der Ecke $\overline{x}$ zur Ecke $\hat{x}$ zieht den Wechsel von $(B,N)$ zu $\hat{B} = (B\setminus \{l\})\cup \{k\}$ und $ \hat{N} = (N\setminus \{k\})\cup \{l\}$ nach sich. Das zu $\overline{x}$ gehörende Tableau
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\begin{center}
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\begin{tabular}{c|c|c}
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& $x_N^T$ & 1 \\
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\hline
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$x_B=$ & $P$ & $p$ \\
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\hline
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$z = $ & $q^T$ & $q_0$ \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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ist zeilenweise zu lesen, das heißt
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\begin{align}
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x_i &= \sum_{j\in N} p_{ij}x_j + p_i \notag \\
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z &= \sum_{j\in N} q_jx_j + q_0 \notag
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\end{align}
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Das Element $p_{lk}$ heißt \begriff{Pivot}. Die Zeile zu $l\in B$ heißt \begriff{Pivotzeile}, die Spalte zu $k\in N$ \begriff{Pivotspalte}. Zur Vereinfachung bei Handrechnung kann man das Tableau auch durch eine sogenannte Kellerzeile ergänzen:
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\begin{align}
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\text{Kellerzeile} = -\frac{\text{Pivotzeile (ohne Pivot)}}{\text{Pivot}}\notag
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\end{align}
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Durch Austausch von $x_l$ gegen $x_k$ erhält man das zu $\hat{x}$ gehörende Tableau
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\begin{center}
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\begin{tabular}{c|c|c}
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& $x_{\hat{N}}^T$ & 1 \\
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\hline
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$x_{\hat{B}}=$ & $\hat{P}$ & $\hat{p}$ \\
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\hline
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$z = $ & $\hat{q}^T$ & $\hat{q}_0$ \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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mit
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\begin{center}
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\begin{tabular}{p{6cm}|p{8cm}}
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\textbf{Stellung im Tableau} & \textbf{Wert im neuen Tableau} \\
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\hline
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Element (außer Pivotzeile und -spalte) & $\text{Element} + \text{Pivotspaltenelement}\cdot \text{Kellerzeilenelement}$ \\
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Pivotzeile (ohne Pivot) & Kellerzeile (ohne Pivot) \\
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Pivotspalte (ohne Pivot) & $\frac{\text{Pivotspalte (ohne Pivot)}}{\text{Pivot}}$ \\
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Pivot & $\frac{1}{\text{Pivot}}$ \\
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{example}
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\begin{align}
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-13x_1 + 37x_2 + 12x_3 + 48\to\min \notag \\
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\text{bei } x_1-2x_2-x_3 &\le 2 \notag \\
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2x_1-5x_2-x_3 &\le 4 \notag \\
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x_1-3x_2-x_3&\le 1 \notag \\
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x_1,x_2,x_3 &\ge 0 \notag
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||||
\end{align}
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Durch Einführen der Schlupfvariablen $x_4,x_5,x_6\ge 0$ ergibt sich ein Problem in Standardform
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\begin{align}
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-13x_1 + 37x_2 + 12x_3 + 48\to\min \notag \\
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||||
\text{bei } x_1-2x_2-x_3+x_4 &= 2 \notag \\
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2x_1-5x_2-x_3 + x_5 &= 4 \notag \\
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||||
x_1-3x_2-x_3 + x_6&= 1 \notag \\
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||||
x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6 &\ge 0 \notag
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||||
\end{align}
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Offenbar kann man einer erste zulässige Basislösung $x^0$ ablesen. Das zugehörige Tableau (mit Pivot \textcolor{red}{-1} und Kellerzeile) lautet dann \\
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\begin{minipage}[c]{0.6\textwidth}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{c|ccc|c}
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$T_0$ & $x_1$ & $x_2$ & $x_3$ & 1 \\
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\hline
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$x_4=$ & -1 & 2 & 1 & 2 \\
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\hline
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$x_5=$ & -2 & 5 & 1 & 4 \\
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\hline
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$x_6=$ & \textcolor{red}{-1} & 3 & 1 & 1 \\
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\hline
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$z=$ & -13 & 37 & 12 & 48 \\
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\hline
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& $\times$ & 3 & 1 & 1
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\end{tabular}
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\end{center}
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||||
\end{minipage}
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||||
\begin{minipage}[c]{0.3\textwidth}
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\begin{align}
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x^0 &= (0,0,0,2,4,1)^T\notag \\
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||||
B &= \{4,5,6\},\, N=\{1,2,3\}\notag \\
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||||
z(x^0) &= c^Tx^0 + c_0 = 48 \notag \\
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||||
&\text{nicht entscheidbar} \notag
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\end{align}
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\end{minipage}
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Dabei ist die Wahl der Pivotspalte $k=1\in N$ eindeutig, da nur ein negativer Zielfunktionskoeffizient vorhanden ist. Die Wahl der Pivotzeile $l=6\in B$ ist auch eindeutig, da unter den Quotienten $\frac{p_i}{-p_{i,1}}$ mit $i\in \{B\mid p_{i,1}<0\}$ der Quotient $\frac{p_6}{-p_{6,1}}=\frac{1}{-(-1)}=1$ am kleinsten ist. Der Fortgang des Simplex-Verfahrens in Tableauform ist nun wie folgt: \\
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\begin{minipage}[c]{0.6\textwidth}
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||||
\begin{center}
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\begin{tabular}{c|ccc|c}
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$T_1$ & $x_6$ & $x_2$ & $x_3$ & 1 \\
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\hline
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$x_4=$ & 1 & \textcolor{red}{-1} & 0 & 1 \\
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\hline
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$x_5=$ & 2 & -1 & -1 & 2 \\
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\hline
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$x_1=$ & -1 & 3 & 1 & 1 \\
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\hline
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$z=$ & 13 & -2 & -1 & 35 \\
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\hline
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& 1 & $\times$ & 0 & 1
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\end{tabular}
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\end{center}
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||||
\end{minipage}
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||||
\begin{minipage}[c]{0.3\textwidth}
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||||
\begin{align}
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||||
x^1 &= (1,0,0,1,2,0)^T\notag \\
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||||
B &= \{1,4,5\},\, N=\{2,3,6\}\notag \\
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||||
z(x^1) &= c^Tx^1 + c_0 = 35 \notag \\
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||||
&\text{nicht entscheidbar} \notag
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||||
\end{align}
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||||
\end{minipage} \\
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\begin{minipage}[c]{0.6\textwidth}
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||||
\begin{center}
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\begin{tabular}{c|ccc|c}
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||||
$T_2$ & $x_6$ & $x_4$ & $x_3$ & 1 \\
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\hline
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||||
$x_2=$ & 1 & -1 & 0 & 1 \\
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\hline
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$x_5=$ & 1 & 1 & \textcolor{red}{-1} & 1 \\
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\hline
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$x_1=$ & 2 & -3 & 1 & 4 \\
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\hline
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||||
$z=$ & 11 & 2 & -1 & 33 \\
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\hline
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||||
& 1 & 1 & $\times$ & 1
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{center}
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||||
\end{minipage}
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\begin{minipage}[c]{0.3\textwidth}
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||||
\begin{align}
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||||
x^2 &= (4,1,0,0,1,0)^T\notag \\
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||||
B &= \{1,2,5\},\, N=\{3,4,6\}\notag \\
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||||
z(x^2) &= c^Tx^2 + c_0 = 33 \notag \\
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||||
&\text{nicht entscheidbar} \notag
|
||||
\end{align}
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||||
\end{minipage} \\
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\begin{minipage}[c]{0.6\textwidth}
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||||
\begin{center}
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\begin{tabular}{c|ccc|c}
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$T_3$ & $x_6$ & $x_4$ & $x_5$ & 1 \\
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\hline
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$x_2=$ & 1 & -1 & 0 & 1 \\
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\hline
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$x_3=$ & 1 & 1 & -1 & 1 \\
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\hline
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$x_1=$ & 3 & -2 & -1 & 5 \\
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\hline
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$z=$ & 10 & 1 & 1 & 32 \\
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\hline
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& & & &
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\end{tabular}
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||||
\end{center}
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||||
\end{minipage}
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\begin{minipage}[c]{0.3\textwidth}
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\begin{align}
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||||
x^3 &= (5,1,1,0,0,0)^T\notag \\
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||||
B &= \{1,2,3\},\, N=\{4,5,6\}\notag \\
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z(x^3) &= c^Tx^3 + c_0 = 32 \notag \\
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&\text{entscheidbar, } x^3 \text{ ist Lösung} \notag
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\end{align}
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||||
\end{minipage}
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\end{example}
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