mirror of
https://github.com/vale981/TUD_MATH_BA
synced 2025-03-04 17:21:38 -05:00
steinaltes ANAG 1 entfernt, wir haben ja alles im 2. Semester
This commit is contained in:
henrydatei
parent
51cad2a0fa
commit
cc25a5011a
15 changed files with 0 additions and 1398 deletions
|
|
@ -1,178 +0,0 @@
|
|||
\part{Grundlagen der Mathematik}
|
||||
|
||||
Mathematik besitzt eine Sonderrolle unter den Wissenschaften, da
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Resultate nicht empirisch gezeigt werden müssen
|
||||
\item Resultate nicht durch Experimente widerlegt werden können
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\paragraph{Literatur}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Forster: Analysis 1 + 2, Vieweg
|
||||
\item Königsberger: Analysis 1 + 2, Springer
|
||||
\item Hildebrandt: Analysis 1 + 2, Springer
|
||||
\item Walter: Analysis 1 + 2, Springer
|
||||
\item Escher/Amann: Analysis 1 + 2, Birkhäuser
|
||||
\item Ebbinghaus: Einfühung in die Mengenlehre, BI-Wissenschaftsverlag
|
||||
\item Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner 1996
|
||||
\item Springer-Taschenbuch der Mathematik, Springer 2012
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\chapter{Grundbegriffe aus Mengelehre und Logik}
|
||||
\textbf{Mengenlehre:} Universalität von Aussagen \\
|
||||
\textbf{Logik:} Regeln des Folgerns, wahre/falsche Aussagen
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Definition Aussage]
|
||||
Sachverhalt, dem man entweder den Wahrheitswert "wahr" oder "falsch" zuordnen kann, aber nichts anders.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
\item 5 ist eine Quadratzahl $\to$ falsch (Aussage)
|
||||
\item Die Elbe fließt durch Dresden $\to$ wahr (Aussage)
|
||||
\item Mathematik ist rot $\to$ ??? (keine Aussage)
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Menge]
|
||||
Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.\\ (\textsc{Cantor}, 1877)
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
\item $M_1 :=$ Menge aller Städte in Deutschland
|
||||
\item $M_2 := \{1;2;3\}$
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
Für ein Objekt $m$ und eine Menge $M$ gilt stets $m \in M$ oder $m \notin M$ \\
|
||||
Für die Mengen $M$ und $N$ gilt $M=N$, falls dieselben Elemente enthalten sind
|
||||
$\{1;2;3\} = \{3;2;1\} = \{1;2;2;3\}$ \\
|
||||
- $N \subseteq M$, falls $n \in M$ für jedes $n \in N$ \\
|
||||
- $N \subset M$, falls zusätzlich $M \neq N$ \\
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Aussageform]
|
||||
Sachverhalt mit Variablen, der durch geeignete Ersetzung der Variablen zur Aussage wird.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $A(X) := $ Die Elbe fließt durch X
|
||||
\item $B(X;Y;Z) := X + Y = Z$
|
||||
\item aber $A(Dresden) ,B(2;3;4)$ sind Aussagen, $A(Mathematik)$ ist keine Aussage
|
||||
\item $A(X)$ ist eine Aussage f\"u jedes $X \in M_1$ $\to$ Generalisierung von Aussagen durch Mengen
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
\section*{Bildung und Verknüpfung von Aussagen}
|
||||
|
||||
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
|
||||
\hline
|
||||
$A$ & $B$ & $\lnot A$ & $A \land B$ & $A \lor B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
|
||||
\hline
|
||||
w & w & f & w & w & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
w & f & f & f & w & f & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & w & w & f & w & w & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & f & w & f & f & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\lnot$(3 ist gerade) $\to$ w
|
||||
\item (4 ist gerade) $\land$ (4 ist Primzahl) $\to$ f
|
||||
\item (3 ist gerade) $\lor$ (3 ist Primzahl) $\to$ w
|
||||
\item (3 ist gerade) $\Rightarrow$ (Mond ist Würfel) $\to$ w
|
||||
\item (Die Sonne ist heiß) $\Rightarrow$ (es gibt Primzahlen) $\to$ w
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\noindent Auschließendes oder: (entweder $A$ oder $B$) wird realisiert durch $\lnot(A \iff B)$.\\
|
||||
Aussageform $A(X)$ sei f\"ur jedes $X \in M$ Aussage: neue Aussage mittels Quantoren
|
||||
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\forall$: "für alle"
|
||||
\item $\exists$: "es existiert"
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
$\forall n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ f\\
|
||||
$\exists n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ w
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Tautologie bzw. Kontraduktion/Widerspruch]
|
||||
Zusammengesetzte Aussage, die unabhängig vom Wahrheitsgehalt der Teilaussagen stest wahr bzw. falsch ist.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Tautologie (immer wahr):
|
||||
$(A) \lor (\lnot A), \lnot (A \land (\lnot A)), (A \land B) \Rightarrow A$
|
||||
\item Widerspruch (immer falsch): $A \land (\lnot A), A \iff \lnot A$
|
||||
\item besondere Tautologie: $(A \Rightarrow B) \iff (\lnot B \Rightarrow \lnot A)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Morgansche Regeln]
|
||||
Folgende Aussagen sind Tautologien:
|
||||
\begin{itemize}{ }
|
||||
\item $\lnot(A \land B) \iff \lnot A \lor \lnot B$
|
||||
\item $\lnot(A \lor B) \iff \lnot A \land \lnot B$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\section*{Bildung von Mengen}
|
||||
Seien $M$ und $N$ Mengen
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Aufzählung der Elemente: $\{1;2;3\}$
|
||||
\item mittels Eigenschaften: $\{X \in M \mid A(X)\}$
|
||||
\item $\emptyset:=$ Menge, die keine Elemente enthält
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item leere Menge ist immer Teilmenge jeder Menge $M$
|
||||
\item \textbf{Warnung:} $\{\emptyset\} \neq \emptyset$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\item Verknüpfung von Mengen wie bei Aussagen
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Mengensystem]
|
||||
Ein Mengensystem $\mathcal M$ ist eine Menge, bestehend aus anderen Mengen.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\bigcup M := \{X \mid \exists M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Vereinigung aller Mengen in
|
||||
$\mathcal M$)
|
||||
\item $\bigcap M := \{X \mid \forall M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Durchschnitt aller Mengen in
|
||||
$\mathcal M$)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Potenzmenge]
|
||||
Die Potenzmenge $\mathcal P$ enth\"alt alle Teilmengen einer Menge $M$. \\
|
||||
$\mathcal P(X) := \{\tilde M \mid \tilde M \subset M\}$
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
Beispiel:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $M_3 := \{1;3;5\}$ \\
|
||||
$\to \mathcal P(M_3) = \{\emptyset, \{1\}, \{3\}, \{5\}, \{1;3\}, \{1;5\}, \{3;5\}, \{1;3;5\}\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz (de Morgansche Regeln f\"ur Mengen):}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(\mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N^C$
|
||||
\item $(\mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N^C$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Kartesisches Produkt]
|
||||
$M \times N := \{m,n \mid m \in M \land n \in N\}$ \\
|
||||
$(m,n)$ hei{\ss}t geordnetes Paar (Reihenfolge wichtig!) \\
|
||||
allgemeiner: $M_1 \times ... \times M_k := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$ \\
|
||||
$M^k := M \times ... \times M := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Auswahlaxiom]
|
||||
Sei $\mathcal M$ ein Mengensystem nichtleerer paarweise disjunkter Mengen $M$.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Es existiert eine Auswahlmenge $\tilde M$, die mit jedem $M \in \mathcal M$ genau 1 Element gemeinsam hat.
|
||||
\item beachte: Die Auswahl ist nicht konstruktiv!
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
|
@ -1,227 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Aufbau einer mathematischen Theorie}
|
||||
Axiome $\to$ Beweise $\to$ Sätze ("neue" wahre Aussagen) \\
|
||||
$\to$ ergibt Ansammlung (Menge) wahrer Aussagen
|
||||
|
||||
\paragraph*{Formulierung mathematischer Aussagen}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item typische Form eines mathematischen Satzes: "Wenn A gilt, dann gilt auch B."
|
||||
\item formal: $A \Rightarrow B$ bzw. $A(X) \Rightarrow B(X)$ ist stets wahr (insbesondere falls
|
||||
A wahr ist)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
Beispiel
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $X \in \mathbb N$ und ist durch 4 teilbar $\Rightarrow X$ ist durch 2 teilbar
|
||||
\item beachte: Implikation auch wahr, falls $X = 5$ oder $X =6$, dieser Fall ist aber
|
||||
uninteressant
|
||||
\item genauer meint man sogar $A \land C \Rightarrow B$, wobei $C$ aus allen bekannten wahren
|
||||
Aussagen besteht
|
||||
\item man sagt: $B$ ist \textbf{notwendig} f\"ur $A$, da $A$ nur wahr sein kann, wenn $B$
|
||||
wahr ist
|
||||
\item man sagt: $A$ ist \textbf{hinreichend} f\"ur $B$, da $B$ stets wahr ist, wenn $A$ wahr ist
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\paragraph{Mathematische Beweise}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item \textbf{direkter Beweis:} finde Zwischenaussagen $A_1,...,A_k$, sodass f\"ur $A$ auch wahr: \\
|
||||
$(A \Rightarrow A_1) \land (A_1 \Rightarrow A_2) \land ... \land (A_k \Rightarrow B)$
|
||||
\item Beispiel: Zeige $x > 2 \Rightarrow x^2-3x+2>0$ \\
|
||||
$(x>2) \Rightarrow (x-2>0) \land (x-1>0) \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \Rightarrow x^2-3x+2>0$
|
||||
\item \textbf{indirekter Beweis:} auf Grundlage der Tautologie $(A \Rightarrow B) \iff
|
||||
(\lnot B \Rightarrow \lnot A)$ f\"uhrt man direkten Beweis $\lnot B \Rightarrow \lnot A$ (das
|
||||
hei{\ss}t angenommen $B$ falsch, dann auch $A$ falsch)
|
||||
\item praktisch formuliert man das auch so: $(A \land \lnot B) \Rightarrow ... \Rightarrow (A
|
||||
\land \lnot A)$
|
||||
\item Beispiel: Zeige $x^2-3x+2 \le 0$ sei wahr \\
|
||||
$\lnot B \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \le 0 \Rightarrow 1 \le x \le 2 \Rightarrow x \le 2
|
||||
\Rightarrow \lnot A$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\section{Relationen und Funktionen}
|
||||
\begin{mydef}[Relation]
|
||||
Seien $M$ und $N$ Mengen. Dann ist jede Teilmenge $R$ von
|
||||
$M \times N$ eine Relation. \\
|
||||
$(x,y) \in R$ hei{\ss}t: $x$ und $y$ stehen in Relation zueinander
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
$M$ ist die Menge aller Menschen. Die Liebesbeziehung $x$ liebt $y$ sieht als geordnetes Paar
|
||||
geschrieben so aus: $(x,y)$. Das hei{\ss}t die Menge der Liebespaare ist das: $L := \{(x,y) \mid
|
||||
x \; liebt \; y\}$. Und es gilt: $L \subset M \times M$.
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
Die Relation $R \subset M \times N$ hei{\ss}t \textbf{Ordnungsrelation} (kurz. Ordnung) auf M, falls f\"ur alle $a,b,c \in M$ gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (antisymetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\item z.B. $R = \{(X,Y) \in \mathcal P(Y) \times \mathcal P(Y) \mid X \subset Y\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Eine Ordnungsrelation hei{\ss}t \textbf{Totalordnung}, wenn zus\"atzlich gilt: $(a,b) \in R \lor
|
||||
(b,a) \in R$ \\
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Beispiel \\
|
||||
Seien $m$, $n$ und $o$ natürliche Zahlen, dann ist $R = \{(m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}
|
||||
\mid x \le y\}$ eine Totalordnung, da
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \le m$ (reflexiv)
|
||||
\item $(m \le n \land n \le m) \Rightarrow m=n$ (antisymetrisch)
|
||||
\item $(m \le n \land n \le o) \Rightarrow m \le o$ (transitiv)
|
||||
\item $m \le n \lor n \le m$ (total)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Eine Relation auf $M$ heißt \textbf{Äquivalenzrelation}, wenn für alle $a,b,c \in M$ gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (symetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Obwohl Ordnungs- und Äquivalenzrelation die gleichen Eigenschaften haben, haben sie
|
||||
unterschiedliche Zwecke: Ordnungsrelationen ordnen Elemente in einer Menge (z.B. das Zeichen $\le$
|
||||
ordnet die Menge der natürlichen Zahlen), während Äquivalenzrelationen eine Menge in disjunkte
|
||||
Teilmengen (Äquivalenzklassen) ohne Rest aufteilen. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Wenn $R$ eine Ordnung auf M ist, so wird häufig geschrieben: \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} $a \le b$ bzw. $a \ge b$ falls $(a,b) \in \mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} $a < b$ bzw. $a > b$ falls zus\"atzlich $a \neq b$ \\
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Abbildung/Funktion]
|
||||
Eine Funktion $F$ von $M$ nach $N$
|
||||
(kurz: $F: M \to N$), ist eine Vorschrift, die jedem Argument/Urbild $m \in M$ genau einen
|
||||
Wert/Bild $F(m) \in N$ zuordnet. \\
|
||||
$D(F) := M$ heißt Definitionsbereich/Urbildmenge \\
|
||||
\noindent\hspace*{15mm} $N$ heißt Zielbild \\
|
||||
$F(M') := \{n \in N \mid n=F(m)$ f\"ur ein $m \in M' \}$ ist Bild von $M' \subset M$ \\
|
||||
$F^{-1}(N') := \{m \in M \mid n=F(m)$ für ein $N' \}$ ist Urbild von $N' \subset N$ \\
|
||||
$R(F) := F(M)$ heißt Wertebereich/Bildmenge \\
|
||||
$graph(F) := \{(m,n) \in M \times N \mid n=F(m)\}$ heißt Graph von $F$ \\
|
||||
$F_{\mid M'}$ ist Einschränkung von $F$ auf $M' \subset M$
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
Unterschied Zielmenge und Wertebereich: $f(x) = \sin(x):$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Zielmenge: $\mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Wertebereich: $[-1;1]$ \\
|
||||
|
||||
Funktionen $F$ und $G$ sind gleich, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $D(F) = D(G)$
|
||||
\item $F(m) = G(m) \quad \forall m \in D(F)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\noindent Manchmal wird auch die vereinfachende Schreibweise benutzt:
|
||||
\begin{itemize}[label={-}]
|
||||
\item $F: M \to N$, obwohl $D(F) \subsetneq M$ (z.B. $\tan: \mathbb R \to \mathbb R$, Probleme
|
||||
bei $\frac{\pi}{2}$)
|
||||
\item gelegentlich spricht man auch von "Funktion $F(m)$" statt Funktion $F$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Komposition/Verknüpfung]
|
||||
Die Funktionen $F: M \to N$ und $G: N \to P$
|
||||
sind verknüpft, wenn \\
|
||||
$F \circ G: M \to P$ mit $(F \circ G)(m) := G(F(m))$
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Funktionen:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item injektiv: Zuordnung ist eineindeutig $\to F(m_1) = F(m_2) \Rightarrow m_1=m_2$
|
||||
\item Beispiel: $x^2$ ist nicht injektiv, da $F(2)=F(-2)=4$
|
||||
\item surjektiv: $F(M) = N \quad \forall n \in N \; \exists m \in M: F(m)=n$
|
||||
\item Beispiel: $\sin(x)$ ist nicht surjektiv, da es kein $x$ für $y=27$ gibt
|
||||
\item bijektiv: injektiv und surjektiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
Für bijektive Abbildung $F: M \mapsto N$ ist Umkehrabbildung/inverse Abbildung $F^{-1}: N \mapsto M$
|
||||
definiert durch: $F^{-1}(n) = m \iff F(m)=n$ \\
|
||||
Hinweis: Die Notation $F^{-1}(N')$ f\"ur Urbild bedeutet nicht, dass die inverse Abbildung $F^{-1}$
|
||||
existiert.
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $F: M \to N$ surjektiv. Dann existiert die Abbildung $G: N \to M$,
|
||||
sodass $F \circ G = id_N$ (d.h. $F(G(n))=n \quad \forall n \in N$)
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Rechenoperation/Verknüpfung]
|
||||
Eine Rechenoperation auf einer Menge $M$ ist
|
||||
die Abbildung $*: M \times M \to M$ d.h. $(m,n) \in M$ wird das Ergbnis $m*n \in M$ zugeordnet.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item hat neutrales Element $e \in M: m*e=m$
|
||||
\item ist kommutativ $m*n=n*m$
|
||||
\item ist assotiativ $k*(m*n)=(k*m)*n$
|
||||
\item hat ein inverses Element $m' \in M$ zu $m \in M: m*m'=e$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$e$ ist stets eindeutig, $m'$ ist eindeutig, wenn die Operation $*$ assoziativ ist. \\
|
||||
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Addition $+$: $(m,n) \mapsto m+n$ Summe, neutrales Element heißt Nullelement, inverses
|
||||
Element $-m$
|
||||
\item Multiplikation $\cdot$: $(m,n) \mapsto m \cdot n$ Produkt, neutrales Element Eins, inverses
|
||||
Element $m^{-1}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Addition und Multiplikation sind distributiv, falls $k(m+n) = k \cdot m + k \cdot n$
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Körper]
|
||||
Eine Menge $M$ ist ein Körper $K$, wenn man auf $K$ eine Addition
|
||||
und eine Multiplikation mit folgenden Eigenschaften durchführen kann:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es gibt neutrale Elemente 0 und 1 $\in K$
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind jeweils kommutativ und assoziativ
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind distributiv
|
||||
\item es gibt Inverse $-k$ und $k^{-1} \in K$ \\
|
||||
$\to$ die reellen Zahlen sind ein solcher Körper
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
Eine Menge $M$ habe die Ordnung ``$\leq$'' und diese erlaubt die Addition und Multiplikation, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $a \le b \iff a+c \le b+c$
|
||||
\item $a \le b \iff a \cdot c \le b \cdot c \quad c > 0$ \\
|
||||
$\to$ Man kann die Gleichungen in gewohnter Weise umformen.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn er eine Totalordnung besitzt, die mit Addition
|
||||
und Multiplikation verträglich ist. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Isomorphismus} bezüglich einer Struktur ist die bijektive Abbildung $I: M_1
|
||||
\mapsto M_2$, die die vorhandene Struktur auf $M_1$ und $M_2$ erhält, z.B.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Ordnung $\le_1$ auf $M_1$, falls $a \le_1 b \iff I(a) \le_2 I(b)$
|
||||
\item Abbildung $F_i: M_i \to M_i$, falls $I(F_1(a)) = F_2(I(a))$
|
||||
\item Rechenoperation $*_i: M_i \times M_i \to M_i$, falls $I(a*_1b) = I(a) *_2 I(b)$
|
||||
\item spezielles Element $a_i \in M_i$, falls $I(a_1) = a_2$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textit{"Es gibt 2 verschiedene Arten von reellen Zahlen, meine und Prof. Schurichts. Wenn wir einen
|
||||
Isomorphismus finden, dann bedeutet das, dass unsere Zahlen strukturell die selben sind."}\\
|
||||
|
||||
Beispiele: $M_1 = \mathbb N$ und $M_2 = \{$gerade Zahlen$\}$, jeweils mit Addition, Multiplikation
|
||||
und Ordnung \\
|
||||
$\to I: M_2 \to M_2$ mit $I(k)=2k \quad \forall k \in \mathbb N$ \\
|
||||
$\to$ Isomorphismus, der die Addition, Ordnung und die Null, aber nicht die Multiplikation erh\"alt
|
||||
|
||||
\subsection*{Bemerkungen zum Fundament der Mathematik}
|
||||
Forderungen an eine mathematische Theorie:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item widerspruchsfrei: Satz und Negation nicht gleichzeitig herleitbar
|
||||
\item vollständig: alle Aussagen innerhalb der Theorie sind als wahr oder falsch beweisbar
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
zwei Unvollständigkeitssätze:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item jedes System ist nicht gleichzeitig widerspruchsfrei und vollständig
|
||||
\item in einem System kann man nicht die eigene Widerspruchsfreiheit zeigen
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
|
@ -1,111 +0,0 @@
|
|||
\part{Zahlenbereiche}
|
||||
\chapter{Natürliche Zahlen}
|
||||
$\mathbb N$ sei diejenige Menge, die die \textbf{Peano-Axiome} erfüllt, das heißt
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\mathbb N$ sei induktiv, d.h. es existiert ein Nullelement und eine injektive Abbildung
|
||||
$\mathbb N to \mathbb N$ mit $\nu(n) \neq 0 \quad \forall n$
|
||||
\item Falls $N \subset \mathbb N$ induktiv in $\mathbb N$ (0, $\nu(n) \in N$ falls $n \in N
|
||||
\Rightarrow N = \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\to \mathbb N$ ist die kleinste induktive Menge \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Nach der Mengenlehre ZF (Zermelo-Fraenkel) existiert eine solche Menge $\mathbb N$ der natürlichen
|
||||
Zahlen. Mit den üblichen Symbolen hat man:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $0 := \emptyset$
|
||||
\item $1 := \nu(0) := \{\emptyset\}$
|
||||
\item $2 := \nu(1) := \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$
|
||||
\item $3 := \nu(2) := \{\emptyset, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Damit ergibt sich in gewohnter Weise $\mathbb N = \{1; 2; 3; ...\}$ \\
|
||||
anschauliche Notation $\nu(n) = n+1$ (beachte: noch keine Addition definiert!) \\
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Falls $\mathbb N$ und $\mathbb N'$ die Peano-Axiome erfüllen, sind sie
|
||||
isomorph bez\"uglich Nachfolgerbildung und Nullelement. Das hei{\ss}t alle solche $\mathbb N'$
|
||||
sind strukturell gleich und k\"onnen mit obigem $\mathbb N$ identifiziert werden.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Prinzip der vollständigen Induktion]
|
||||
Sei $\{A_n \mid n \in N\}$ eine Menge
|
||||
von Aussagen $A_n$ mit der Eigenschaft:
|
||||
\begin{enumerate}[ ]
|
||||
\item IA: $A_0$ ist wahr
|
||||
\item IS: $\forall n \in \mathbb N$ gilt $A_n \Rightarrow A_{n+1}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$A_n$ ist wahr für alle $n \in \mathbb N$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{lem} Es gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\nu(n) \cup \{0\} = \mathbb N$
|
||||
\item $\nu(n) \neq n \quad \forall n \in \mathbb N$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}{(rekursive Definition/Rekursion)} Sei $B$ eine Menge und $b \in B$. Sei $F$ eine
|
||||
Abbildung mit $F: B \times \mathbb N \mapsto B$. Dann liefert nach Vorschrift: $f(0):= b$ und
|
||||
$f(n+1) = F(f(n),n) \quad \forall n \in \mathbb N$ genau eine Abbildung $f: \mathbb N \mapsto B$.
|
||||
Das heißt eine solche Abbildung exstiert und ist eindeutig.
|
||||
\end{satz}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Definition Addition '$+$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb N$ auf $\mathbb N$
|
||||
durch $n+0:=n$, $n+\nu(m):=\nu(n+m) \quad \forall n,m \in \mathbb N$
|
||||
\item Definition Multiplikation '$\cdot$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb
|
||||
N$ auf $\mathbb N$ durch $n \cdot 0 := 0$, $n \cdot \nu(m) := n \cdot m + n \quad \forall
|
||||
n,m \in \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Für jedes feste $n \in \mathbb N$ sind beide Definitionen rekursiv und eindeutig definiert. \\
|
||||
$\forall n \in \mathbb N$ gilt: $n+1=n+\nu(0)=\nu(n+0) = \nu(n)$
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Addition und Multiplikation haben folgende Eigenschaften:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es existiert jeweils ein neutrales Element
|
||||
\item kommutativ
|
||||
\item assoziativ
|
||||
\item distributiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Es gilt $\forall k,m,n \in \mathbb N$:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \neq 0 \Rightarrow m+n \neq 0$
|
||||
\item $m \cdot n = 0 \Rightarrow n=0$ oder $m=0$
|
||||
\item $m+k=n+k \Rightarrow m=n$ (Kürzungsregel der Addition)
|
||||
\item $m \cdot k=n \cdot k \Rightarrow m=n$ (Kürzungsregel der Multiplikation)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
Ordnung auf $\mathbb N:$ Relation $R := \{(m,n) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m \le n\}$ \\
|
||||
wobei $m \le n \iff n=m+k$ f\"ur ein $k \in \mathbb N$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Es gilt auf $\mathbb N:$
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \le n \Rightarrow \exists ! k \in \mathbb N: n=m+k$, nenne $n-m:=k$ (Differenz)
|
||||
\item Relation $R$ (bzw. $\le$) ist eine Totalordnung auf $\mathbb N$
|
||||
\item Ordnung $\le$ ist vertr\"aglich mit der Addition und Multiplikation
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\item Sei $n=m+k=m+k' \Rightarrow k=k'$
|
||||
\item Sei $n=n+0 \Rightarrow n \le n \Rightarrow$ reflexiv \\
|
||||
sei $k\le m, m \le n \Rightarrow \exists l,j: m=k+l, n=m+j=(k+l)+j=k+(l+j) \Rightarrow
|
||||
k \le n \Rightarrow$ transitiv \\
|
||||
sei nun $m \le n und n \le m \Rightarrow n=m+j=n+l+j \Rightarrow 0=l+j \Rightarrow j=0
|
||||
\Rightarrow n=m \Rightarrow$ antisymmetrisch \\
|
||||
Totalordnung, d.h. $\forall m,n \in \mathbb N: m\le n$ oder $n\le m$ \\
|
||||
IA: $m=0$ wegen $0=n+0$ folgt $0 \le n \forall n$ \\
|
||||
IS: gelte $m\le n$ oder $n \le m$ mit festem $m$ und $\forall n \in \mathbb N$, dann \\
|
||||
falls $n \le m \Rightarrow n \le m+1$ \\
|
||||
falls $m < n \Rightarrow \exists k \in \mathbb N: n=m+(k+1)=(m+)1+k \Rightarrow m+1 \le n$ \\
|
||||
$m\le n$ oder $n \le m$ gilt für $m+1$ und $\forall n \in \mathbb N$, also $\forall n,m \in
|
||||
\mathbb N$
|
||||
\item sei $m \le n \Rightarrow \exists j: n=m+j \Rightarrow n+k=m+j+k \Rightarrow m+k \le n+k$
|
||||
\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
|
@ -1,178 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Ganze und rationale Zahlen}
|
||||
\textbf{Frage:} Existiert eine natürliche Zahl $x$ mit $n=n'+x$ für ein gegebenes $n$ und $n'$? \\
|
||||
\textbf{Antwort:} Das geht nur falls $n \le n'$, dann ist $x=n-n'$ \\
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlenbereichserweiterung, sodass die Gleichung immer lösbar ist. Ordne jedem Paar
|
||||
$(n,n') \in \mathbb N \times \mathbb N$ eine neue Zahl als L\"osung zu. Gewisse Paare liefern die
|
||||
gleiche L\"osung, z.B. $(6,4),(5,3),(7,5)$. Diese m\"ussen mittels Relation identifiziert werden. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
$\mathbb Q := \{(n_1,n_1'),(n_2,n_2') \in (\mathbb N \times \mathbb N) \times (\mathbb N \times
|
||||
\mathbb N) \mid n_1+n_2'=n_1'+n_2\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{mydef}
|
||||
$\mathbb Q$ ist die Äquivalenzrelation auf $\mathbb N \times \mathbb N$.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
$(5,3) \sim (6,4) \sim (7,5)$ bzw. $(5-3) \sim (6-4) \sim (7-5)$\\
|
||||
$(3,6) \sim (5,8)$ bzw. $(3-6) \sim (5-8)$
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
% find a way to give an example a better formating!!!
|
||||
offenbar $((n,n'),(n,n')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ reflexiv\\
|
||||
falls $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q \Rightarrow (n_2,n_2'),(n_1,n_1')) \in
|
||||
\mathbb Q \Rightarrow$ symmetrisch\\
|
||||
sei $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q$ und $((n_2,n_2'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q
|
||||
\Rightarrow n_1+n_2'=n_1'+n_2, n_2+n_3'=n_2'+n_3 \Rightarrow n_1+n_3'=n_1'+n_3 \Rightarrow
|
||||
((n_1,n_1'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ transitiv.\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\noindent setze $\overline{\mathbb{Z}} := \{[(n,n')] \mid n,n' \in \mathbb{N}\}$ Menge der ganzen Zahlen,
|
||||
[ganze Zahl] \\
|
||||
Kurzschreibweise: $\overline m := [(m,m')]$ oder $\overline n := [(n,n')]$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $[(n,n')] \in \overline{\mathbb{Z}}$. Dann existiert eindeutig $n* \in \mathbb N$ mit $(n*,0) \in [(n,n')]$, falls $n \ge n'$ bzw. $(0,n*) \in [(n,n')]$ falls $n < n'$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$n \ge n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n=n'+n* \Rightarrow (n*,0) \sim (n,n')$\\
|
||||
$n < n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n+n*=n' \Rightarrow (0,n*) \sim (n,n')$\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\noindent\textbf{Frage:} Was hat $\overline{\mathbb{Z}}$ mit $\whole$ zu tun?\\
|
||||
\textbf{Antwort:} identifiziere $(n,0)$ bzw. $(n-0)$ mit $n \in \natur$ und identifiziere $(0,n)$
|
||||
bzw. $(0-n)$ mit Symbol $-n$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ ganze Zahlen kann man eindeutig den Elementen folgender Mengen zuordnen: $\mathbb Z :=
|
||||
\natur \cup \{(-n) \mid n \in \natur\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen auf $\overline{\whole}$:} \\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Addition: $\overline m + \overline n = [(m,m')]+[(n,n')]=[(m+n,m'+n')]$
|
||||
\item Multiplikation: $\overline m \cdot \overline n = [(m,m')] \cdot [(n,n')]=[(mn+m'n',mn'+m'n)]$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Addition und Multiplikation sind eindeutig definiert, d.h. unabhängig von Repräsentant bezüglich $\mathbb Q$
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $(m_1,m_1') \sim (m_2,m_2'), (n_1,n_1') \sim (n_2,n_2')\\
|
||||
\Rightarrow m_1+m_2'=m_1'+m_2, n_1
|
||||
+n_2'=n_1'+n_2\\
|
||||
\Rightarrow m_1+n_1+m_2'+n_2'=m_1'+n_1'+m_2+n_2\\ \Rightarrow (m_1,m_1')+(n_1,n_1') \sim (m_2,m_2')+(n_2,n_2')$\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Für Addition und Multiplikation auf $\mathbb Z$ gilt $\forall\;\overline m,
|
||||
\overline{n} \in \overline{\whole}$:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item es existiert eine neutrales Element: $0:=[(0,0)]$, $1:=[(1,0)]$
|
||||
\item jeweils kommutativ, assoziativ und gemeinsam distributiv
|
||||
\item $- \overline{n} := [(n',n)] \in \whole$ ist invers bezüglich der Addition zu
|
||||
$[(n,n')] = \overline n$
|
||||
\item $(-1) \cdot \overline n = - \overline n$
|
||||
\item $\overline m \cdot \overline n = 0 \iff \overline m =0 \lor \overline n=0$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}, nolistsep]
|
||||
\item offenbar $\overline n +0=0+\overline n=\overline n$ und $\overline n \cdot 1 = 1 \cdot
|
||||
\overline n = \overline n$
|
||||
\item Fleißarbeit $\to$ SeSt
|
||||
\item offenbar $\overline n+(- \overline n) = (- \overline n)+\overline n=[(n+n',m+m')]=0$
|
||||
\item $(-1)\cdot \overline n = [(0,1)]\cdot [n,n']=[n',n]=-\overline n$
|
||||
\item ÜA \QEDA
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Für $\overline m, \overline n \in \mathbb Z$ hat die Gleichung $\overline m=\overline n + \overline x$ die Lösung $\overline x=\overline m+(-\overline n)$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\noindent Ordnung auf $\overline{\whole}:$ betrachte Relation $R := \{(\overline{m},\overline{n}) \in
|
||||
\overline{\whole} \times \overline{\whole} \mid \overline{m} \le \overline{n}\}$
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
$R$ ist Totalordnung auf $\whole$ und verträglich mit Addition und
|
||||
Multiplikation
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\noindent Ordnung verträglich mit Addition: $\overline n < 0 \iff 0=\overline n+(-\overline n) < -\overline n
|
||||
= (-1) \cdot \overline n$ \\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{beachte:} $\mathbb Z := \mathbb N \cup \{(-n) \mid n \in \mathbb N_{>0}\}$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
$\whole$ und $\overline{\whole}$ sind isomorph bezüglich Addition, Multiplikation und Ordnung.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
betrachte Abbildung $I: \mathbb Z \to \overline{\whole} $ mit $I(k):=[(k,0)]$ und $I(-k):=[(0,k)] \quad \forall k \in \natur \Rightarrow$ ÜA \QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\noindent Notation: verwende stets $\mathbb Z$, schreibe $m,n,...$ statt $\overline m, \overline n,...$ für
|
||||
ganze Zahlen in $\mathbb Z$ \\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Frage:} Existiert eine ganze Zahl mit $n=n' \cdot x$ f\"ur $n,n' \in \mathbb Z, n' \neq 0$ \\
|
||||
\textbf{Antwort:} im Allgemeinen nicht
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlbereichserweiterung analog zu $\mathbb N \to \mathbb Z$ \\
|
||||
ordne jedem Paar $(n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z$ neue Zahl $x$ zu \\
|
||||
schreibe $(n,n')$ auch als $\frac{n}{n'}$ oder $n:n'$ \\
|
||||
identifiziere Paare wie z.B. $\frac 4 2, \frac 6 3, \frac 8 4$ durch Relation \\
|
||||
$\mathbb Q := {(\frac{n_1}{n'_2}, \frac{n_2}{n'_2}) \in (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0})
|
||||
\times (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}) \mid n_1n'_2=n'_1n_2}$ \\
|
||||
$\Rightarrow \mathbb Q$ ist eine Äquivalenzrelation auf $\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}$ \\
|
||||
|
||||
\noindent setze $\mathbb Q := {[\frac{n}{n'}] \mid (n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}}$ Menge der
|
||||
rationalen Zahlen \\
|
||||
beachte: unendlich viele Symbole $\frac{n}{n'}$ für gleiche Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
|
||||
wir schreiben später $\frac{n}{n'}$ für die Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
|
||||
\noindent offenbar gilt die Kürzungsregel: $[\frac{n}{n'}]=[\frac{kn}{kn'}] \quad \forall k \in
|
||||
\mathbb Z_{\neq 0}$ \\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Rechenoperationen auf $\mathbb Q$:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Addition: $[\frac{m}{m'}]+[\frac{n}{n'}] := [\frac{mn'+m'n}{m'n'}]$
|
||||
\item Multiplikation: $[\frac{m}{m'}] \cdot [\frac{n}{n'}] := [\frac{mn}{m'n'}]$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Mit Addition und Multiplikation ist $\mathbb Q$ ein Körper mit\\
|
||||
neutralen Elementen: $0=[\frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=
|
||||
[\frac{0_{\mathbb Z}}{n_{\mathbb Z}}], 1:=[\frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=[\frac n n] \neq 0$\\
|
||||
inversen Elementen: $-[\frac{n}{n'}]=[\frac{-n}{n}], [\frac{n}{n'}]^{-1}=[\frac{n'}{n}]$\\
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\noindent Ordnung auf $\mathbb Q:$ f\"ur $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$ kann man stets $n'>0$ annehmen \\
|
||||
Realtion: $R:=\{([\frac{m}{m'}],[\frac{n}{n'}]) \in \mathbb Q \times \mathbb Q \mid mn' \le m'n,
|
||||
m',n' > 0\}$ gibt Ordnung $\le$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
$\mathbb Q$ ist ein angeordneter K\"orper (d.h. $\le$ ist eine Totalordnung undv erträglich mit Addition und Multiplikation).
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Notation: schreibe vereinfacht nur noch $\frac{n}{n'}$ für die Zahl $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$ und verwende auch Symbole $p,q,...$ für Elemente aus $\mathbb Q$ \\
|
||||
|
||||
Gleichung $p \cdot x = q$ hat stets eindeutige Lösung: $x=q \cdot p^{-1}$ ($p,q \in \mathbb Q, p \neq 0$) \\
|
||||
|
||||
\textbf{Frage:} $\mathbb N \subset \mathbb Z \to \mathbb Z \subset \mathbb Q$?
|
||||
\textbf{Antwort:} Sei $\mathbb Z_{\mathbb Q} := {\frac n 1 \in \mathbb Q \mid n \mathbb Z}, I:
|
||||
\mathbb Z \to \mathbb Z_{\mathbb Q}$ mit $I(n)=\frac n 1$ \\
|
||||
$\Rightarrow I$ ist Isomorphismus bez\"uglich Addition, Multiplikation und Ordnung. \\
|
||||
In diesem Sinn: $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q$ \\
|
||||
|
||||
\begin{folg}
|
||||
Körper $\mathbb Q$ ist archimedisch angeordnet, d.h. f\"ur alle $q \in \mathbb Q \exists n \in \mathbb N: q<_{\mathbb Q} n.$
|
||||
\end{folg}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $q = [\frac{k}{k'}]$ mit $k'>0$ \\
|
||||
$n := 0$ falls $k<0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{0}{k'}]=0=n$ \\
|
||||
$n := k+1$ falls $k \ge 0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{k+1}{k'}]=n$ \QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
|
@ -1,56 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Reelle Zahlen}
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Frage:] Frage: algebraische Gleichung $a_0+a_1x+\dots+a_x^k=0\;(a_j\in \whole)$\\
|
||||
i.A nur für $k=1$ lösbar (d.h. lin. Gl.)
|
||||
\end{description}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
$x^2 - 2 = 0$ keine Lösung in $\ratio$. Angenommen es existiert eine Lösung $x = \frac{m}{n} \in \ratio$, o.B.d.A. höchstens eine der Zahlen $m,n$ gerade $\Rightarrow \frac{m^2}{n^2} = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2 \Rightarrow m$ gerade $\overset{m=2k}{\Rightarrow} 4k^2 = 2n^2 \Rightarrow 2n^2 \Rightarrow 2k^2 = n^2 \Rightarrow n$ gerade $\Rightarrow \lightning$.\QEDA
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\noindent Offenbar $1,4^2 < 2 < 1,5^2,\; 1,41^2 < 2 < 1,42^2,\;\dots,$ falls es $\sqrt{2}$ gibt, kann diese in $\ratio$ beliebig genau approximiert werden. Es folgt, dass $\ratio$ anscheinend "`Lücken"' hat.
|
||||
\textbf{Fläche auf dem Einheitskreis} kann durch rationale Zahlen beliebig genau approximiert werden. Falls "`Flächenzahl"' $\pi$ existiert, ist das \textbf{nicht} Lösung einer algebraischen Gleichung (Lindemann 1882).\\
|
||||
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Ziel:] Konstruktion eines angeordneten Körpers, der diese Lücken füllt.
|
||||
\end{description}
|
||||
|
||||
\section{Struktur von archimedisch angeordneten Körper (allg.)}
|
||||
$\field$ sei ein (bel.) Körper mit bel. Elementen $0, 1$ bzw. $0_K, 1_K$.
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $\field$ Körper. Dann gilt $\forall a,b \in \field$:
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}, nolistsep]
|
||||
\item $0,1, (-a), b^{-1}$ sind eindeutig bestimmt
|
||||
\item $(-0) = 0$, $1^{-1} = 1$
|
||||
\item $-(-a) = a$, $(b^{-1})^{-1} = b$ $(b \neq 0)$
|
||||
\item $-(a + b) = (-a) + (-b)$, $(a^{-1}b^{-1}) = (a^{-1}b^{-1})$ $(a,\neq 0)$
|
||||
\item $-a = (-1)\cdot a$, $(-a)(-b)=ab$, $a \cdot 0 = 0$
|
||||
\item $ab=0 \iff a=0 \text{ oder } b=0$
|
||||
\item $a + x = b \text{ hat eindeutige Lösung } x = b + (-a) =:b-a$ Differenz\\
|
||||
$ax=b \text{ hat eindeutige Lösung } x = a^{-1}b:=\frac{b}{a}$ Quotient
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item vgl. lin. Algebra
|
||||
\item betrachte $0 + 0 = 0$ bzw. $1 \cdot 1 = 1$
|
||||
\item $(-a) + a = 0 \overset{komm}{\Rightarrow} a = -(-a)$ Rest analog
|
||||
\item $a+b = ((-a) + (-b)) \Rightarrow$ Behauptung, Addition und Multiplikation analog
|
||||
\item $a\cdot 0 = 0$ vgl. lin. Algebra\\
|
||||
$1a + (-1)a = 0 \Leftrightarrow (1-1)a=0 \Rightarrow (-1)a=-1$, $(-a)(-b)=(-1)(-a)b\overset{3,5}{=}ab$
|
||||
\item ($\Leftarrow$): nach 5)\\
|
||||
($\Rightarrow$) sei $a\neq0$ (sonst klar) $\Rightarrow 0 = a^{-1}\cdot 0 \overset{ab=0}{=} a^{-1}ab = b \Rightarrow$ Beh.
|
||||
\item $a+x=b \Leftrightarrow x = (-a) + a \neq x = (-a) + b$, für $ax=b$ analog \QEDA
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Setze für alle $a, \dots a_k \in \field,n\in \natur_{\geq 1}$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[Vielfache] $n\cdot a$ (kein Produkt in $\field$!)
|
||||
\item[Potenzen] $a^n=\prod_{k=1}^{n} a_k \text{für } n \in N_{\geq 1}$ damit $(-n)a:=n(-a) \text{, } 0_{\natur}a=0_{\natur} \text{ für } n\in\natur_{\geq1}\\
|
||||
a^{-n}=(a^-1)^n \text{, }a^{0_{\natur}}:=1_{\field} \text{ für } n \in \natur_{\geq 1}, a \neq 0\\
|
||||
beachte: 0^0 = (0_\natur)^{0_{\natur}} \text{ \emph{nicht} definiert!}$
|
||||
\item[Rechenregeln] $\forall\;a,b\in \field\text{, } m,n\in \whole \text{ (sofern Potenz definiert) } $
|
||||
\end{itemize}
|
||||
%TODO
|
||||
|
|
@ -1,27 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Komplexe Zahlen (kurzer Überblick)}
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Problem:] $x^2 = -1$ keine Lösung in $\real \Rightarrow$ Körpererweiterung $\real \to \comp$
|
||||
\item[Betrachte Menge der komplexen Zahlen] $\comp := \real \times \real = \real^2$
|
||||
\item mit Addition und Multiplikation:\\
|
||||
$(x,x^{'}) + (y,y^{'}) = (x+y, x^{'} + y^{'})$\\
|
||||
$(x,x^{'}) \cdot (y,y^{'}) = (xy - x^{'}y^{'}, xy^{'}+x^{'}y)$
|
||||
\item $\comp$ ist ein Körper mit (vgl. lin Algebra):\\
|
||||
$0_{\field} = (0,0)$, $1_{\field} = (1,0)$, $-(x,y) = (-x,-y)$ and $(x,y)^{-1} = \bigg(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}\bigg)$\\
|
||||
mit imaginärer Einheit $\iota=(0,1)$\\
|
||||
$z=x+\iota y$ statt $z=(x,y)$ mit $x:=\Realz(z)$ Realteil von $z$, $y:= \Imag(z)$ Imaginärteil von $z$\\
|
||||
komplexe Zahl $z=x + \iota y$ wird mit reeller Zahl $x \in \real$ identifiziert\\
|
||||
offenbar $\iota^2=(-1,0)=-1$, d.h. $z=\iota \in \comp$ und löst die Gleichung $z^2=-1$ (nicht eindeutig, auch $(-\iota)^2 = -1$)\\
|
||||
Betrag $|\cdot|: \comp \to \real_{> 0}$ mit $|z|:= \sqrt{x^2+y^2}$ (ist Betrag/Länge des Vektors $(x,y)$)\\
|
||||
es gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $\Realz(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}, \Imag(z) = \frac{z+\overline{z}}{2\iota}$
|
||||
\item $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$
|
||||
\item $|z| = 0 \iff z=0$
|
||||
\item $|\overline{z}| = |z|$
|
||||
\item $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
|
||||
\item $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (Dreiecks-Ungleichung: Mikoswski-Ungleichung)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
SeSt \QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{description}
|
||||
|
|
@ -1,132 +0,0 @@
|
|||
\part{Metrische Räume und Konvergenz}
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Konvergenz:] grundlegender Begriff in Analysis %(benötigt Abstandsbegriff (Metrik))
|
||||
\end{description}
|
||||
\chapter{Grundlegen Ungleichungen}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Geometrisches und arithmetisches Mittel]\label{satz_7_1_geo_mittel}
|
||||
Seien $x_1, \dots, x_n \in \real_{>0}$\\
|
||||
$\Rightarrow$
|
||||
\begin{tabular}{ccc}
|
||||
$ \sqrt[n]{x_1, \dots, x_n}$ & $=$ & $\frac{x_1, \dots, x_n}{n}$ \\
|
||||
geoemtrisches Mittel & & arithmetisches Mittel \\
|
||||
\end{tabular}\\
|
||||
Gleichheit gdw $x_1 = \dots = x_n$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Zeige zunächst mit vollständiger Induktion\\
|
||||
\begin{align} %% add /nonumber to have no numbering
|
||||
\prod_{i=1}^{n}x_i= \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} x_i \geq n \text{, mit } x_1=\dots=x_n \label{7_1_ind}
|
||||
\end{align}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item (IA) $n = 1$ klar
|
||||
\item (IS) (\ref{7_1_ind}) gelte für $n$, zeige (\ref{7_1_ind}) für $n+1$ d.h. $\prod_{i=1}^{n+1} = 1$, falls alle $x_i=1 \beha$ Sonst oBdA $x_n < 1$, $x_{n+1} > 1:$\\ mit $y_n:=x_n x_{n+1}$ gilt $x_1\cdot\dots\cdot x_{n-1}\cdot y_n=1$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Rightarrow x_1 + \dots + x_{n+1} &= \underbrace{x_1+\dots+x_{n-1}}_{\geq \text{ (IV)}} + y_n - y_n + x_n+x_{n+1}\\
|
||||
&\geq n + \underbrace{(x_{n+1} -1)}_{>n}\underbrace{(1-x_n)}_{>n}\\
|
||||
&\Rightarrow (\ref{7_1_ind}) \forall n \in \natur& \text{vollständige Induktion}\\
|
||||
\shortintertext{allgemein sei nun $g:=\big( \prod_{i=1}^{n} x_i \big)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow \prod_{i=1}^{n} \frac{x_i}{g} = 1$}
|
||||
&\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{g} \geq n \beha& \text{Satz \ref{7_1_ind}}\\
|
||||
\shortintertext{Aussage über Gleichheit nach nochmaliger Durchsicht.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[allg. Bernoulli-Ungleichung]
|
||||
Seien $\alpha, x \in \real$. Dann\\
|
||||
\begin{align*}
|
||||
1)\;(1+x)^{\alpha} &\geq 1 + \alpha x \; \forall x > -1, \alpha > 1\\
|
||||
2)\; (1+x)^{\alpha} &\leq 1+\alpha x \; \forall x \geq -1, 0 < \alpha < 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof} % fix alignment
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item[2)] Sei $\alpha =\frac{m}{n} \in \ratio_{<1}\text{, d.h. } m\leq n$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\Rightarrow (1+x)^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{(1+x)^m\cdot1^{n-m}}& \text{Definition} \\
|
||||
&\leq \frac{m(1+x)+(n-m)\cdot1}{n}&\\
|
||||
&=\frac{n + mx}{n} = 1 + \frac{m}{n}x \text{, für } \alpha \in \ratio \beha&
|
||||
\shortintertext{Sei $\alpha \in \real$ angenommen $(1+x)^{\alpha} > 1 + \alpha x$ ($x\neq 0$ sonst klar!)}
|
||||
& \Rightarrow \exists \in \ratio_{<1}
|
||||
\begin{cases*}
|
||||
x > 0&$\alpha<q< \frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}$\\
|
||||
x < 0&$\alpha < q$
|
||||
\end{cases*} &\text{Satz 5.8 } \\
|
||||
&\Rightarrow 1+qx < (1+x)^{\alpha} \leq (1+x)^q \Rightarrow \lightning \beha& \text{Satz 5.20}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item[1)] Sei $1+\alpha x \geq 0$, sonst klar
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\Rightarrow \alpha x \geq -1 \overset{2)}{\Rightarrow} (1+\alpha x)^{\frac{1}{\alpha}}& \text{mit 2)}\\
|
||||
&\geq 1 +\frac{1}{\alpha}\alpha x = 1 +x &\\
|
||||
&\Rightarrow \text{ Behauptung und Gleichheit ist Selbststudium.}&
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Young'sche Ungleichung]
|
||||
Sei $p,q \in \real, p,q>1$ mit $\frac{1}{q} + \frac{1}{q} =1 \Rightarrow ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\;\forall a,b \geq 0$ (Gleichheit gdw $a^p = b^q$)\\
|
||||
Spezialfall($p=q=2$): $ab \geq \frac{a^2 + b^2}{2}$ gilt $\forall a,b \in \real$ (folgt direkt $0\leq (a-b)^2$)
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof} %fix formating
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\shortintertext{Sei $a,b > 0$ (sonst klar!)}
|
||||
&\Rightarrow \big(\frac{b^q}{a^p}\big)^{\frac{p}{q}} = \big(1+\big(\frac{b^q}{a^p} -1\big)\big)^{\frac{p}{q}}&\\
|
||||
&\leq 1+ \frac{1}{q}\big(\frac{b^q}{a^p} -1\big)& \text{Bernoulli-Ungleichung}\\
|
||||
&=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{q}\frac{b^q}{a^p}-\frac{1}{q}\\
|
||||
&\Rightarrow a^p\frac{b}a^{\frac{p}{q}} = a^{p(1-\frac{1}{q})}b = ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}& \cdot a^p
|
||||
\end{align*}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Höldersche Ungleichung]
|
||||
Sei $p,q \in \real;\;p,q > 0$ mit $\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1$\\
|
||||
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} \vert x_i y_i\vert \leq \big( \sum_{i=1}^{n} \vert x_i \vert \big)^{\frac{1}{p}} \big( \sum_{i=1}^{n} \vert y_i \vert \big)^{\frac{1}{p}}\;\forall x,y \in \real$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Ungleichung gilt auch für $x_i,y_i \in \comp$ (nur Beträge gehen ein)
|
||||
\item für $p=q=2$ heißt Ungleichung Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Gleichheit gdw $\exists x \in \real x_i = \alpha y_i \text{ oder } y_i = \alpha x_i\;\forall i$)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Faktoren rechts seien $\mathcal{X} \text{ und } \mathcal{Y}$ d.h.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mathcal{X}^p &= \sum_{i=1}^{n} \vert x_i \vert^{\frac{1}{p}}, \mathcal{Y}^p = \sum_{i=1}^{n} \vert y_i \vert^{\frac{1}{q}}\text{, falls } \mathcal{X}=0&\\ &\Rightarrow x_i = 0\;\forall i \beha \text{, analog für } \mathcal{Y} =0&\\
|
||||
\shortintertext{Seien $\mathcal{X}, \mathcal{Y} > 0$}
|
||||
&\Rightarrow \frac{\vert x_i y_i \vert}{\mathcal{XY}} \leq \frac{1}{p}\frac{\vert x_i \vert^p}{\mathcal{X}^p}+ \frac{1}{q}\frac{\vert y_i \vert^q}{\mathcal{Y}^p} \forall i& \text{Satz 7.3}\\
|
||||
&\Rightarrow \frac{1}{\mathcal{XY}}\sum_{i=1}^{n}\vert x_i y_i \vert \leq \frac{1}{p}\frac{\mathcal{X}^p}{\mathcal{X}^p}+\frac{1}{q}\frac{\mathcal{Y}^p}{\mathcal{Y}^p} = 1 \beha & \cdot \mathcal{XY}
|
||||
\end{align*}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Minkowski-Ungleichung]
|
||||
Sei $p\in \real, p \geq 1 \Rightarrow \big(\sum_{i=1}^{n} \vert x_i + y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} \leq \big(\sum_{i=1}^{n} \vert x_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} + \big(\sum_{i=1}^{n} \vert y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p}\forall x,y\in \real$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Ungleichung gilt auch für $x_i, y_i \in \comp$ (vgl. Beweis)
|
||||
\item ist $\Delta$-Ungleichung für $p$-Normen (vgl. später)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$p=1$ Beh. folgt aus $\Delta$-Ungleichung $\vert x_i + y_i\vert \overset{Satz 5.5}{\leq} \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$\\ $p>1$ sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $z_i:=\vert x_i + y_i\vert^{p-1}\forall i$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mathcal{S}^p &= \sum_{i=1}^{n} \vert z_i \vert^q & q = \frac{p}{p-1}\\
|
||||
& = \sum_{i=1}^{n} \vert +x_i+y_i \vert\cdot\vert z_i \vert^q & \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^{n} \vert x_i + y_i \vert + \sum_{i=1}^{n} \vert z_i \vert & \Delta\text{-Ungleichung}\\
|
||||
& \leq \big(\mathcal{X+Y}\big)\big(\sum_{i=1}^{n} \vert z_i\vert^q \big)^\frac{1}{p} & \text{Hölder-Ungleichung}\\
|
||||
& = \big(\mathcal{X+Y}\big)\mathcal{S}^\frac{p}{q} & \\
|
||||
& \beha & p=\frac{p}{q}+1
|
||||
\end{align*}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
%continue-+
|
||||
|
|
@ -1,306 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Metrische und normierte Räume}
|
||||
\section{Metrische Räume}
|
||||
\begin{mydefn}[Metrik]
|
||||
Sei $X$ Menge und Abbildung $d: X \times X \to \real$ heißt \underline{Metrik} auf $X$ falls $\forall x,y,z \in X$
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$
|
||||
\item $d(x,y) = d(y,x)$ (Symmetrie)
|
||||
\item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ ($\Delta$-Ungleichung)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$(X,d)$ heißt metrischer Raum.
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
Man hat $d(x,y) = 0 \forall x,y \in X$, dann
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
0 &= d(x,x) = d(x,y) + d(y,x) & \text{a), c)}\nonumber\\
|
||||
& = 2d(x,y) \forall x,y & \text{b)}\nonumber\\
|
||||
\text{nach } & \text{b), c) } &\nonumber\\
|
||||
& \vert d(x,y) -d(z,y)\vert \leq d(x,y) \forall x,y,z \in X &
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}[Standardmetrik]\label{8_1_exmp_metrik}
|
||||
$d(x,y) := \vert x-y\vert$ ist Metrik auf $X=\real$ bzw. $X=\comp$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Eig. a), b), c) klar}& &\\
|
||||
\text{c) } \vert x-z\vert& \vert (x+y)-(x-z)\vert &\\
|
||||
&\leq \vert x+y\vert + \vert y+z\vert & \Delta\text{-Ungleichung für }\real\text{, }\comp\text{-Betrag}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}[diskrete Metrik]
|
||||
Diskrete Metrik auf beliebiger Menge $X$.\\
|
||||
\[d(x,y) =
|
||||
\begin{dcases*}
|
||||
0 & x = y\\
|
||||
1 & $x \neq y$
|
||||
\end{dcases*}\]
|
||||
ist offenbar eine Metrik.
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}[induzierte Metrik]
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum, $Y \subset X$\\
|
||||
$\Rightarrow (Y,d)$ ist metrischer Raum mit \emph{induzierter Metrik} $\tilde{d}(x,y):=d(x,y)\forall x,y \in Y$
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\section{Normierte Räume}
|
||||
|
||||
wichtiger Spezialfall: normierte Vektorraum(VR)
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Norm]
|
||||
Sei $X$ Vektorraum über $K=\real$ oder $K=\comp$.\\
|
||||
Abbildung $\Vert \cdot \Vert: X \to \real$ heißt \emph{Norm} auf $X$ falls $\forall x,y \in X, \forall \lambda \in \real$ gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $\Vert x\Vert = \Leftrightarrow x=0$
|
||||
\item $\Vert \lambda x\Vert = \vert \lambda \vert \Vert x\Vert$ (Homogenität)
|
||||
\item $\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert + \Vert y\Vert$ ($\Delta$-Ungleichung)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$(X,\Vert \cdot\Vert)$ heißt \emph{normierter Raum}.
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Metrik} &\leftarrow \text{Norm}&\\
|
||||
\text{Abbildung} & \not \rightarrow \text{VR, Abstand } x,0\\
|
||||
\text{man hat } \Vert x \Vert &\leq 0 \forall x \in X \text{, denn } 0 = \Vert x-x\Vert \leq \Vert x\Vert + \Vert -x\Vert = 2\Vert x\Vert & \text{a), c), b)}\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Analog Satz 5.5 folgt\\
|
||||
\begin{align}
|
||||
\vert \Vert x \Vert - \Vert y \Vert\vert &\leq \Vert x-y\Vert \forall x,y \in X
|
||||
\end{align}
|
||||
$\Vert \cdot\Vert: X \to \real_{\geq0}$ heißt \emph{Halbraum} falls nur b), c) gelten analog Beispiel \ref{8_1_exmp_metrik} folgt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $(X,\Vert\cdot \Vert)$ normierter Raum, dann $X$ metrischer Raum mit Metrik $d(x,y):=\Vert x-y \Vert\forall x,y \in X$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}\label{8_5_exmp_Norm}
|
||||
$X=\real^n$ ist Vektorraum über $\real$, Elemente in $\real^n$\\ $x=(x_1,\dots,x_n), y=(y_1, \dots, y_n)$,\\ man hat unter anderem folgende Normen auf $\real^n$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
p\text{-Norm}: \vert x \vert_p& := \Bigg( \sum_{i=0}^{n} \vert x_i \vert^p \Bigg)^{\frac{1}{p}} & (1\leq p < \infty)\\
|
||||
\text{Maximum-Norm}: \vert x \vert_p& := \max\{\vert x_i \vert \mid i=1,\dots n\} &\\
|
||||
\text{a), b) jeweils klar, c) für } &
|
||||
\begin{cases*}
|
||||
\vert \cdot \vert_p & \text{ist Minkowski-Ungleichung}\\
|
||||
\vert \cdot \vert_{\infty} & \text{wegen } $\vert x_i + y_i \vert \leq \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$
|
||||
\end{cases*}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Standardnorm in $\real^n$:
|
||||
$\vert \cdot \vert = \vert \cdot \vert_{p=2}$ heißt \emph{eukldische Norm}.\\
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Skalarprodukt]
|
||||
$\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}$ heißt \emph{Skalarprodukt} (inneres Produkt) von $x,y \in \real^n$ offenbar $\langle x,y \rangle = \vert x \vert_2 \forall x \in comp$ nur für euklidische Räume gibt es Skalarprodukt (nur für euklische Norm!).\\
|
||||
Man hat $\vert \langle x,y\rangle \vert \leq \vert x \vert_2 \cdot \vert y \vert_2 \forall x,y \in \real^n$ Cauchy-Schwarsche Ungleichung (CSU), denn
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\vert \langle x,z \rangle \vert &= \vert \sum_{i=1}^{n} x_i y_i \vert \leq \sum_{i=1}^{n}\vert x_i y_i\vert & \Delta\text{-Ungleichung in } \real\\
|
||||
& \leq \vert x \vert_2 \cdot\vert y \vert_2 & \text{Hölder-Ungleichung mit } p=q=2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
$X=\comp^n$ ist Vektorraum über $\comp$, $x=(x_1,\dots,x_n) \in\comp^n, x_i \in \comp$\\
|
||||
analog zum Bsp. \ref{8_5_exmp_Norm} sind $\vert \cdot \vert_{p} \text{ und } \vert \cdot \vert_{\infty}$ Normen auf $\comp^n$\\
|
||||
$\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^{n} \bar{x}_i y_i\forall x_i, y_i \in \comp$ heißt \emph{Skalarprodukt} von $x,y \in \comp^n$ (beachte $\langle x,y\rangle \in \comp, \langle x,x \rangle=\vert x \vert^2$) \\
|
||||
$\overset{\text{wie oben}}{\Rightarrow} \vert \langle x,y\rangle \vert \leq \vert x \vert\cdot \vert y \vert \forall x,y \in \comp^n$
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Orthogonalität]
|
||||
$x,y \in \real^n(\comp^n)$ heißen \emph{orthogonal} falls $\langle x,y\rangle =0$
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
Sei $M$ beliebige Menge, $f: M \to \real$\\
|
||||
$\Vert f\Vert:= \sup\{\vert f(x) \vert \mid x\in M\}$. Dann ist \\
|
||||
\[\mathcal{B}(M):= \{f: M \to \real \mid \Vert f\Vert < \infty\}\]
|
||||
\emph{Menge der beschränkte Funktionen} auf $M$\\
|
||||
$\mathcal{B}(M)$ ist Vektorraum auf $\real$
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $((f+g)(x) = f(x) + g(x)$
|
||||
\item $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$
|
||||
\item Nullelement ist Nullfunktion $f(x)=0 \forall x \in M$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\shortintertext{$\Vert \cdot\Vert$ ist Norm auf $\mathcal{B}(M)$, denn a), b) klar}\\
|
||||
\Vert f+g\Vert&:=\sup\{\vert f(x)+g(x) \vert\mid x \in M\}&\\
|
||||
&\leq \sup\{\vert f(x) \vert + \vert g(x) \vert\mid x\in M \} & \Delta\text{-Ungleichung in }\real\\
|
||||
&\leq \sup\{\vert f(x) \vert\mid x \in M \} + \sup\{\vert g(x) \vert\mid x \in M \} & \text{Übungsaufgabe}\\
|
||||
&=\Vert f\Vert + \Vert g\Vert
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
$\Vert x \Vert:=\vert x_1 \vert$ auf $X=\real^n \to$ kein Nullvektor ``nur'' Halbnorm (später wichtige Halbnorm in Integraltheorie). Normen $\Vert \cdot \Vert_1,\;\Vert \cdot \Vert_2$ auf $X$ heißen äquivalent falls
|
||||
\[
|
||||
\exists \alpha,\beta > 0\;\alpha \vert x \vert_1 \leq \vert x \vert_2 \leq \beta\vert x \vert_1\qquad\forall x \in X
|
||||
\]
|
||||
(Indizes entsprechen hier keinem p, sondern es sind hier nur beliebige unterschiedliche Normen gemeint.)
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\[
|
||||
\vert x \vert_{\infty} \leq \vert x \vert_p \leq \sqrt[p]{n}\vert x \vert_{\infty}\qquad \forall x \in \real^n,\;p\geq 1\\
|
||||
\]
|
||||
$\vert \cdot \vert_\infty$ und $\vert \cdot \vert_\infty$ sind äquivalent $\forall p \geq 1$
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\vert x \vert_{\infty} &=\big(\max \{ \vert x_j \vert, \vert \dots \}^p\big)^\frac{1}{p} \leq \bigg(\sum_{j=1}^{n} \vert x_j \vert^p \bigg)^\frac{1}{p} = \vert x \vert_p\\
|
||||
\vert x \vert_{\infty} &\leq \big( n\cdot \max\{ \vert x_j \vert, \vert \dots \}^p\big)^\frac{1}{p} \leq \bigg(\sum_{j=1}^{n} \vert x_j \vert^p \bigg)^\frac{1}{p} = \sqrt[p]{n}\vert x \vert_{\infty}
|
||||
\end{align*}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{folg}
|
||||
$\vert \cdot \vert_p,\;\vert \cdot \vert_q$ äquivalent auf $\real^n\;\forall p,q \geq 1$ (siehe Aufgabe 45b))
|
||||
\end{folg}
|
||||
|
||||
\section{Begriffe im metrischen Raum}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Kugel im metrischen Raum]
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $B_r(a):= \{ a \in X \mid d(a,x) <r \}$ heißt offene \underline{Kugel} um $a$ mit Radius $r>0$
|
||||
\item $B_r[a]:= \overline{B}_r(a) = \{ a \in X \mid d(a,x) \leq r \}$ heißt abgeschlossene \emph{Kugel} um $a$ mit Radius $r>0$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
Hinweis: muss keine übliche Kugel sein z.B. $\{x\in \real^n \mid d(0,x) < 1\}$ ist Quadrat $B_r(0)$.
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Menge $M\subset X$ \emph{offen} falls $\forall x \in M\;\exists \epsilon > 0\; B_{\epsilon}(x) \subset M$
|
||||
\item Menge $M$ offen falls $X\setminus M$ abgeschlossen
|
||||
\item $U \subset X$ Umgebung von $M \subset X$ falls $\exists V \subset X$ offen mit $M \subset V \subset U$
|
||||
\item $x \in M$ \emph{innerer Punkt} von $M$ falls $\exists \epsilon >0\colon B_{\epsilon}(x) \subset M$
|
||||
\item $x \in M$ \emph{äußerer Punkt} von $M$ falls $\exists \epsilon >0\colon B_{\epsilon}(x) \subset X\setminus M$
|
||||
\item $x \in X$ \emph{Randpunkt} von $M$ falls $x$ weder innerer noch äußerer Punkt ist
|
||||
\item $\inter M:=$ Menge der \emph{inneren} Punkte von $M$ heißen inneres von $M$
|
||||
\item $\ext M:=$ Menge der \emph{äußeren} Punkte von $M$ heißen äußeres von $M$
|
||||
\item $\partial M:=$ Menge der Randpunkte von $M$ heißt \emph{Rand} von $M$
|
||||
\item $\cl M:= \overline{M}:=\overline{\inter M} \cup \partial M$ heißt Abschluss von $M$ (closure)
|
||||
\item $M \subset X$ \emph{beschränkt} falls $\exists a \in X, r >0\; M \subset B_r(a)$
|
||||
\item $x \in X$ \emph{Häufungskt (Hp)} von $M$ falls $\forall \epsilon > 0$ enhält \emph{$B_{\epsilon}(x)$ unendlich viele} Elemente aus $M$
|
||||
\item $x \in M$ \emph{isolierter} Punkt von $M$ falls $x$ kein Hp von $M$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item Sei $X=\real$ mit $d(x,y)=\vert x-y \vert$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(a,b),(-\infty,a)$ offen
|
||||
\item $[a,b], (-\infty, b]$ abgeschlossen
|
||||
\item $[a,b)$ weder abgeschlossen noch offen, aber beschränkt
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Es gilt:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\inter(a,b) = \inter[a,b] = (a,b)$
|
||||
\item $\ext(a,b) = \ext[a,b] = (-\infty,a) \cup (b, \infty)$
|
||||
\item $\partial(a,b) = \partial[a,b] = \{a,b\}$
|
||||
\item $\cl(a,b) = \cl[a,b]=[a,b]$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Speziell:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\ratio$ weder offen noch abgeschlossen in $\real$, da $\inter \ratio =\emptyset, \ext \ratio = \emptyset, \partial \ratio = \real$
|
||||
\item $\real \setminus \emptyset$ ist offen
|
||||
\item $\natur \text{ in } \real$ abgeschlossen und nicht beschränkt
|
||||
\item $[0,3]$ ist Umgebung von $[1,2], B_r(a)$ ist Umgebung von $a$ (eigentlich $\{a\}$)
|
||||
\item $a$ ist Hp von $(a,b),[a,b]$ für $a<b$, aber nicht von $[a,a]$ aller $a\in \real$ sind Hp von $\ratio$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item für $X=\real$ mit diskreter Metrik: $x\in M \Rightarrow B_{\frac{1}{2}}(x) \{x\} \Rightarrow$ alle $M \subset \real$ offen und abgeschlossen
|
||||
\item für $X=\real^n$ mit $\metric$ vgl. Übungsaufgabe
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $B_r(a)$ offene Menge $\forall \epsilon >0,a\in X$
|
||||
\item $M\subset X$ beschränkt $\Rightarrow \forall a \in X \exists r>0\colon M\subset B_r(a)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Sei $b \in B_r(a),\epsilon := r - a-d(a,b)>0$, dann gilt für beliebige $x \in B_{\epsilon}(b)$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
d(a,x) &\leq d(a,b) + d(b,x) & \Delta\text{-Ungleichung mit } b\\
|
||||
&<d(a,b)+r-d(a,b)&\\
|
||||
&=r \Rightarrow B_{\epsilon}(b) \subset B_{\epsilon}(a) \beha &
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei $M\subset B_{\rho}(b),a\in X$ beliebig, $r:=\rho + d(a,b),m\in M$\\
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Rightarrow d(m,a) &\leq d(m,b)+d(b,a)&\\
|
||||
&<\rho + d(b,a) = r \Rightarrow m\in B_{r}(a)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Offene Kugeln sind Topologie auf X]\label{8_13_satz_open_topo}
|
||||
Sei $(X,d)$ metrische Raum, $\tau:=\{ U \subset X \mid \text{ offen} \}$. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $X,\emptyset\in\tau$
|
||||
\item $\bigcap_{i=1}^{n} U_i \in \tau$ falls $U_i\in \tau \text{ für } i = 1, \dots, n$ (endlich viele)
|
||||
\item $\bigcup_{U\in\tau^{\prime}} U \in \tau$ falls $\tau^{\prime} \subset \tau$ (beliebig viele)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $X$ offen, da stets $B_{\epsilon}(x) \subset X$, Definition ``offen'' wahr für $\emptyset$
|
||||
\item Sei $X \in \bigcap_{i=0}^{n} U_i \Rightarrow \exists \epsilon_i > 0 \colon B_{\epsilon_i}(x) \subset U_i \forall i, \epsilon = \min\{\epsilon_1, \dots \epsilon_n\}$\\
|
||||
$\Rightarrow B_{\epsilon}(x) \in \bigcap_{i=0}^{n} U_i \beha$
|
||||
\item Sei $x \in \bigcup_{U\in\tau^{\prime}} U \Rightarrow \exists \tilde{U}\in \tau^{\prime}\colon x \in \tilde{U} \overset{\tilde{U} \text{ offen}}{\Rightarrow}\exists \epsilon > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset \tilde{U} \in \bigcup_{U\in\tau^{\prime}} U \beha$.
|
||||
\end{enumerate}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Hinweis: Durchschnitt beliebiger vieler offener Menge ist nicht offen!
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
$\bigcap_{n\in \natur} (-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}) = [0,1]$
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
Komplementbildung im Satz \ref{8_13_satz_open_topo} liefert:
|
||||
|
||||
\begin{folg}[Abgeschlossene Kugeln sind Topologie auf X]
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum und $\sigma :=\{ V \subset X \mid V \text{ abgeschlossen}\}$. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $X,\emptyset\in\sigma$
|
||||
\item $\bigcup_{i=1}^{n} U_i \in \sigma$ falls $U_i\in \sigma \text{ für } i = 1, \dots, n$ (endlich viele)
|
||||
\item $\bigcap_{U\in\sigma^{\prime}} U \in \sigma$ falls $\sigma^{\prime} \subset \sigma$ (beliebig viele)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{folg}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Topologie]
|
||||
Sei $X$ Menge und $\tau$ Menge von Teilmengen von $X$ (d.h. $\tau \in \powerset(X)$)\\
|
||||
$\tau$ ist Topologie und $(X, \tau)$ topologischer Raum, falls 1), 2), 3) aus Satz \ref{8_13_satz_open_topo} gelten.
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Menge $U\in \tau$ heißen dann offen (per Definition!). Folglich oben definierte offene Mengen in metrischen Räumen bilden ein Spezialfall für eine Topologie. Beachte! In metrischem Raum $(X,d)$ ist $\tilde{\tau} = \{\emptyset, X\}$ stets eine Topologie für beliebige Menge $X$).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Seinen $\Vert \cdot\Vert_1, \Vert \cdot\Vert_2$ äquivalente Normen auf $X$ und $U\subset X$. Dann\\
|
||||
$U$ offen bezüglich $\Vert \cdot\Vert_1 \Leftrightarrow U \text{ offen bezüglich } \Vert \cdot\Vert_2$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Übungsaufgabe.\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum und $M\subset X$. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $\inter M, \ext M$ offen
|
||||
\item $\partial M, \inter M$ abgeschlossen
|
||||
\item $M \leq \inter M$ falls $M$ offen, \\
|
||||
$M= \cl M$ falls $M$ abgeschlossen
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Seien $x \in \inter M$, d.h. innere Punkte von $M \Rightarrow \exists \epsilon > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset M$, da $B_{\epsilon}(x)$ offene Menge, ist jedes $y \in B_{\epsilon}(x)$ eine Teilemenge von $\inter M$ $\Rightarrow B_{\epsilon}(x) \subset M \beha$ ($\ext M$ analog)
|
||||
\item $\partial X\setminus (\inter M \cup \ext M)$ ist abgeschlossen, $\cl M = X\setminus\ext M$ abgeschlossen
|
||||
\item $M$ offen: es ist stets $\int M$ und da $M$ offen $M \subset \inter M \beha$ $\Rightarrow X\setminus M = \inter(X\setminus M) = \ext M = X \setminus \cl M \beha$.
|
||||
($M$ abgeschlossen analog)
|
||||
\end{enumerate}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
|
@ -1,23 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Konvergenz}
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum.
|
||||
|
||||
\textbf{Ab jetzt alles ohne Bweise, folgen später.}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[konvergente Folge, Grenzwert]
|
||||
Folge $\{a_n\}_{n\in\natur}$ (d.h. $a_n \in X$) heißt konvergent falls $a\in X$ existiert mit $\forall \epsilon > 0\exists n_0 \in \natur\colon d(a_n,a) <\epsilon \quad \forall n \geq n_0$. Dann heißt $a$ Grenzwert (Limes).\\ Schreibe $a = \lim_{n\to \infty} a_n$ bzw. $a_n \longrightarrow a$ für $n \longrightarrow \infty$ oder $a_n \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} a$.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
Sprich: ``'Für jede Kugel um Grenzwert befinden sich ab einem gewissen Index fasst alle FOlgenglieder innerhalb der Kugel.'' Folge $\{a_n\}$ heißt divergent, falls sie nicht konvergent ist.
|
||||
|
||||
\begin{folg}
|
||||
Für Folge $\{a_n\}$ gilt: $\forall > 0\quad a = \lim_{n\to \infty} a_n \Leftrightarrow$ jede Kugel $B_{\epsilon}(a)$ enthält fast alle Folgeglieder $a_n$, das heißt alle $a_n$ bis auf endlich viele.
|
||||
\end{folg}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}[Konstante Folge]
|
||||
Sei $\{a_n\} = \{a\}_{n\in \natur}$ (das heißt $a_n = a \forall n$) $\Rightarrow d(a_n,a) = d(a,a) = 0 < \epsilon \forall \epsilon > 0, n \in \natur \Rightarrow a = \lim_{n\to \infty} a_n$.
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
|
||||
$\forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \natur\colon \frac{1}{n} = \vert \frac{1}{n} - 0 \vert = d(\frac{1}{n},0)<\epsilon \forall n \geq n_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
|
@ -1,2 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Vollständigkeit}
|
||||
%TODO
|
||||
|
|
@ -1,2 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Kompaktheit}
|
||||
%TODO
|
||||
|
|
@ -1,2 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Reihen}
|
||||
%TODO
|
||||
|
|
@ -1,3 +0,0 @@
|
|||
\part{Funktionen und Stetigkeit}
|
||||
\chapter{Funktionen}
|
||||
%TODO
|
||||
Binary file not shown.
|
|
@ -1,151 +0,0 @@
|
|||
\documentclass[12pt, oneside]{book}
|
||||
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=4cm,bindingoffset=5mm]{geometry}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage{paralist}
|
||||
%\usepackage{booktabs}
|
||||
%\usepackage{graphicx}
|
||||
\usepackage[ngerman]{babel}
|
||||
\usepackage{hyperref} % link chapters over name and page number
|
||||
% math/enviroments
|
||||
\usepackage{mathtools,bm}
|
||||
\usepackage{stmaryrd} % Widerspruch symbol
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{framed}
|
||||
\usepackage[framed, hyperref, thmmarks, amsmath]{ntheorem}
|
||||
\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed}
|
||||
\usepackage[autostyle]{csquotes}
|
||||
%\usepackage{lipsum}
|
||||
\usepackage{enumerate}
|
||||
\usepackage{enumitem} % compress enumerate env
|
||||
\setlist{nolistsep}
|
||||
\usepackage{titlesec} % remove page break
|
||||
|
||||
%theorem enviroment
|
||||
|
||||
%theorem
|
||||
\newframedtheorem{theorem}{Theorem}[chapter]
|
||||
% example
|
||||
\theoremstyle{break}
|
||||
\theorembodyfont{\upshape} % no italics!
|
||||
\newtheorem*{exmp}{Beispiel}
|
||||
\theoremstyle{break}
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem{exmpn}[theorem]{Beispiel}
|
||||
% defintion
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem{mydef}[theorem]{Definition}
|
||||
% definition no numbering
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem*{mydefn}{Definition}
|
||||
% corollary
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem{folg}[theorem]{Folgerung}
|
||||
% remark
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem*{remark}{Bemerkung}
|
||||
% satz
|
||||
\newtheorem{satz}[theorem]{Satz}
|
||||
% beweis
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem*{proof}{Beweis}
|
||||
% lemma
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem{lem}[theorem]{Lemma}
|
||||
%\let\olddefinition\lem
|
||||
%\renewcommand{\lem}{\olddefinition\normalfont}
|
||||
|
||||
%General newcommands!
|
||||
\newcommand{\comp}{\mathbb{C}} % complex set C
|
||||
\newcommand{\real}{\mathbb{R}} % real set R
|
||||
\newcommand{\whole}{\mathbb{Z}} % whole number Symbol
|
||||
\newcommand{\natur}{\mathbb{N}} % natural number Symbol
|
||||
\newcommand{\ratio}{\mathbb{Q}} % rational number symbol
|
||||
\newcommand{\field}{\mathbb{K}} % general field for the others above!
|
||||
\newcommand{\diff}{\mathrm{d}} % differential d
|
||||
\newcommand{\s}{\,\,} % space after the function in the intergral
|
||||
\newcommand{\cont}{\mathcal{C}} % Contour C
|
||||
\newcommand{\fuk}{f(z) \s\diff z} % f(z) dz
|
||||
\newcommand{\diffz}{\s\diff z}
|
||||
\newcommand{\subint}{\int\limits} % lower boundaries for the integral
|
||||
\newcommand{\poly}{\mathcal{P}} % special P - polygon
|
||||
\newcommand{\defi}{\mathcal{D}} % D for the domain of a function
|
||||
\newcommand{\cover}{\mathcal{U}} % cover for a set
|
||||
\newcommand{\setsys}{\mathcal{M}} % set system M
|
||||
\newcommand{\setnys}{\mathcal{N}} % set system N
|
||||
\newcommand{\zetafunk}{f(\zeta)\s\diff \zeta} %f(zeta) d zeta
|
||||
\newcommand{\ztfunk}{f(\zeta)} % f(zeta)
|
||||
\newcommand{\bocirc}{S_r(z)}
|
||||
\newcommand{\prop}{\,|\,}
|
||||
\newcommand*{\QEDA}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}} %tombstone
|
||||
\newcommand{\emptybra}{\{\varnothing\}} % empty set with set-bracket
|
||||
\newcommand{\realpos}{\real_{>0}}
|
||||
\newcommand{\realposr}{\real_{\geq0}}
|
||||
\newcommand{\naturpos}{\natur_{>0}}
|
||||
\newcommand{\Imag}{\operatorname{Im}} % Imaginary symbol
|
||||
\newcommand{\Realz}{\operatorname{Re}} % Real symbol
|
||||
\newcommand{\norm}{\Vert \cdot \Vert}
|
||||
\newcommand{\metric}{\vert \cdot \vert}
|
||||
\newcommand{\foralln}{\forall n} %all n
|
||||
\newcommand{\forallnset}{\forall n \in \natur} %all n € |N
|
||||
\newcommand{\forallnz}{\forall n \geq _0} % all n >= n_0
|
||||
\newcommand{\conjz}{\overline{z}} % conjugated z
|
||||
\newcommand{\tildz}{\tilde{z}} % different z
|
||||
\newcommand{\lproofar}{"`$ \Lightarrow $"'} % "`<="'
|
||||
\newcommand{\rproofar}{"`$ \Rightarrow $"'} % "`=>"'
|
||||
\newcommand{\beha}{\Rightarrow \text{ Behauptung}}
|
||||
\newcommand{\powerset}{\mathcal{P}}
|
||||
|
||||
|
||||
% Math Operators
|
||||
\DeclareMathOperator{\inter}{int} % Set of inner points
|
||||
\DeclareMathOperator{\ext}{ext} % Set of outer points
|
||||
\DeclareMathOperator{\cl}{cl} % Closure
|
||||
|
||||
% Hack page break on part page.
|
||||
|
||||
\titleclass{\part}{top}
|
||||
\titleformat{\part}[display]
|
||||
{\normalfont\huge\bfseries}{\centering\partname\ \thepart}{20pt}{\Huge\centering}
|
||||
\titlespacing*{\part}{0pt}{50pt}{40pt}
|
||||
\titleclass{\chapter}{straight}
|
||||
\titleformat{\chapter}[display]
|
||||
{\normalfont\huge\bfseries}{\chaptertitlename\ \thechapter}{20pt}{\LARGE}
|
||||
\titlespacing*{\chapter} {0pt}{50pt}{40pt}
|
||||
|
||||
\setlength\parindent{0pt} % noindent whole file!
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\title{\textbf{Analysis 1. Semester (WS2017/18)}}
|
||||
\author{Dozent: Prof. Dr. Friedemann Schuricht\\
|
||||
Kursassistenz: Moritz Schönherr}
|
||||
\date{Stand: \today}
|
||||
|
||||
\frontmatter
|
||||
\maketitle
|
||||
\tableofcontents
|
||||
|
||||
\mainmatter
|
||||
% PArt 1 Grundlagen der Mathematik
|
||||
\include{./TeX_files/chapter01_grundbegriffe_aus_mengenlehre_und_logik}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter02_aufbau_einer_math_theorie}
|
||||
% Part 2 Zahlenbereiche
|
||||
\include{./TeX_files/chapter03_nat_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter04_ganze_u_rat_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter05_reelle_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter06_komplexe_zahlen}
|
||||
% Part 3 Metrische Räume und Konvergenz
|
||||
\include{./TeX_files/chapter07_grundl_ungleichungen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter08_metr_raeume}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter09_konvergenz}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter10_vollst}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter11_kompaktheit}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter12_reihen}
|
||||
% Part 4 Funktionen und Stetigkeit
|
||||
\include{./TeX_files/chapter13_funktionen}
|
||||
|
||||
\backmatter
|
||||
% bibliography, glossary and index would go here.
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Loading…
Add table
Reference in a new issue