Update Vorlesung LAAG.tex

Vorlesung LAAG.tex

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 			symmetrsiche Gruppe auf $X$. F\"ur $n \in \mathbb N$ schreibt man $S_n := Sym(\{1,2,...,n\})$. 
 			F\"ur $n \ge 3$ ist $S_n$ nicht abelsch.
 		\end{compactitem}
+		$\newline$
+		
+		\textbf{Bemerkung:} H\"aufig benutzte Notationen f\"ur die Gruppenverkn\"upfung $\cdot$:\\
+		\begin{compactitem}
+			\item In der multiplikativen Notation schreibt man $\cdot$ statt $*$ (oft auch $xy$ statt 
+			$x \cdot y$), bezeichnet das neutrale Element mit $1$ oder $1_G$ und das Inverse zu $x$ mit
+			$x^{-1}$.
+			\item In der additiven Notation schreibt man $x$ f\"ur $*$, bezeichnet das neutrale Element
+			mit $0$ oder $0_G$ und das Inverse zu $x$ mit $-x$. Die additive Notation wird nur verwendet,
+			wenn die Gruppe abelsch ist.
+		\end{compactitem}
+		$\newline$
+		
+		In abelschen Gruppen notiert man Ausdr\"ucke auch mit dem Summen- und Produktzeichen. \\
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Satz:} Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. F\"ur $x,y \in G$ gelten $(x^{-1})^{-1}=x$ und
+			$(xy)^{-1}=x^{-1} \cdot x^{-1}$.
+		\end{framed}
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Satz:} Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe. F\"ur $a,b \in G$ haben die Gleichungen $ax=b$ und
+			$ya=b$ eindeutige L\"osungen in $G$, n\"amlich $x=a^{-1} \cdot b$ und $y=b \cdot a^{-1}$. 
+			Insbesondere gelten die folgenden K\"urzungsregeln: $ax=ay \Rightarrow x=y$ und $xa=ya 
+			\Rightarrow x=y$.
+		\end{framed}
+		
+		\textit{Beweis: \\
+		Es ist $a \cdot a^{-1} \cdot b = 1b=b$, also ist $x=a^{-1} \cdot b$ eine L\"osung. Ist umgekehrt
+		$ax=b$ mit $x \in G$, so ist $a^{-1} \cdot b = a^{-1]} \cdot ax = 1x = x$ die L\"osung und somit
+		eindeutig. F\"ur die zweite Gleichung argumentiert man analog. Den "Insbesondere"-Fall erh\"alt
+		man durch Einsetzen von $b=ay$ bzw. $b=xa$.} \\
+		$\newline$
+		
+		\textbf{Bemerkung:} \\
+		Wenn aus dem Kontext klar ist, welche Verkn\"upfung gemeint ist, schreibt man auch einfach
+		$G$ anstatt $(G, \cdot)$ bzw. $(G,+)$. Eine Gruppe $G$ hei{\ss}t endlich, wenn die Menge $G$ endlich
+		ist. Die Mächtigkeit $|G|$ von $G$ nennt man dann die Ordnung von $G$. Eine endliche Gruppe kann 
+		durch ihre Verkn\"upfungstafel vollst\"andig beschrieben werden. \\
+		$\newline$
+		
+		\textbf{Beispiele:} \\
+		a) die triviale Gruppe $G=\{e\}$
+		\begin{center}
+			\begin{tabular}{|c|c|}
+				\hline
+				$\cdot$ & $e$\\
+				\hline
+				$e$ & $e$ \\
+				\hline
+			\end{tabular}
+		\end{center}
+		b) die Gruppe $\mu_2 = \{1,-1\}$ der Ordnung 2
+		\begin{center}
+			\begin{tabular}{|c|c|c|}
+				\hline
+				$\cdot$ & $1$ & $-1$\\
+				\hline
+				$1$ & $1$ & $-1$ \\
+				\hline
+				$-1$ & $-1$ & $1$ \\
+				\hline
+			\end{tabular}
+		\end{center}
+		c) die Gruppe $S_2= Sym(\{1,2\}) = \{id_{\{1,2\}},f\}$, wobei $f(1)=2$ und $f(2)=1$
+		\begin{center}
+			\begin{tabular}{|c|c|c|}
+				\hline
+				$\circ$ & $id_{\{1,2\}}$ & $f$\\
+				\hline
+				$id_{\{1,2\}}$ & $id_{\{1,2\}}$ & $f$ \\
+				\hline
+				$f$ & $f$ & $id_{\{1,2\}}$ \\
+				\hline
+			\end{tabular}
+		\end{center}
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Definition Untergruppe:} Eine Untergruppe einer Gruppe $(G,\cdot)$ ist eine 
+			nichtleere Teilmenge $H \subset G$, f\"ur die gilt: \\
+			(UG1) F\"ur alle $x,y \in H$ ist $x \cdot y \in H$ (Abgeschlossenheit unter Multiplikation) \\
+			(UG2) F\"ur alle $x \in H$ ist $x^{-1} \in H$ (Abgeschlossenheit unter Inversen)
+		\end{framed}
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Satz:} Sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe und $\emptyset \neq H \subset G$. Genau dann ist
+			$H$ eine Untergruppe von $G$, wenn sich die Verkn\"upfung $\cdot: G \times G \to G$ zu einer
+			Abbildung $\cdot_H: H \times H \to H$ einschr\"anken lässt (d.h. $\cdot|_{H \times H}=
+			\iota_H \circ \cdot_H$, wobei $\iota_H \cdot \cdot_H \to G$ die Inklusionsabbildung ist) und
+			$(H,\cdot_H)$ eine Gruppe ist.
+		\end{framed}
+		
+		\textit{Beweis: \\
+		Hinrichtung: Sei $H$ eine Untergruppe von $G$. Nach (UG1) ist $Image(\cdot|_{H \times H}) \subset H$
+		und somit l\"asst sich $\cdot$ zu einer Abbildung $\cdot_H: H \times H \ to H$ einschr\"anken. Wir 
+		betrachten jetzt $H$ mit dieser Verkn\"upfung. Da $G$ (G1) erf\"ullt, erf\"ullt auch H (G1). Da
+		$H \neq \emptyset$ existiert ein $x \in H$. Nach (UG1) und (UG2) ist $x \cdot x^{-1}=e \in H$. Da 
+		$e_G \cdot y=y \cdot e_G=y$ f\"ur alle $y \in G$, insbesondere auch f\"ur alle $y \in H$ (G2). Wegen
+		(UG2) erf\"ullt $H$ auch das Axiom (G3). $H$ ist somit eine Gruppe. \\
+		R\"uckrichtung: Sei nun umgekehrt $(H,\cdot_H)$ eine Gruppe. F\"ur $x,y \in H$ ist dann $xy=x \cdot_H
+		y \in H$, also er\"ullt $H$ (UG1). Aus $e_H \cdot e_H=e_H=e_H \cdot e_G$ folgt $e_H=e_G$. Ist also
+		$x'$ das Inverse zu $x$ aus der Gruppe $H$, so ist $x'x=xx'=e_G=e_H$, also $x^{-1}=x' \in H$ und
+		somit erf\"ullt $H$ auch (UG2). Wir haben gezeigt, dass $H$ eine Untergruppe von $G$ ist.} \\
+		$\newline$
+		
+		\textbf{Bemerkung:} \\
+		Wir nennen nicht nur die Menge $H$ eine Untergruppe von $G$, sondern auch die Gruppe $(H,\cdot_H)$.
+		Wir schreiben $H \le G$. \\
+		$\newline$
+		
+		\textbf{Beispiele:} \\
+		\begin{compactitem}
+			\item Jede Gruppe $G$ hat die triviale Untergruppe $H=\{e_G\}$ und $H=G$
+			\item Ist $H \le G$ und $K \le H$, so ist $K \le G$ (Transitivit\"at)
+			\item Unter Addition ist $\mathbb{Z} \le \mathbb{Q} \le \mathbb{R}$ eine Kette von Untergruppen
+			\item Unter Multiplikation ist $\mu_2 \le \mathbb{Q}^+ \le \mathbb{R}^+$ eine Kette von 
+			Untergruppen
+			\item F\"ur $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z} := \{nx \mid x \in \mathbb{Z}\} \le \mathbb{Z}$ 
+		\end{compactitem}
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Lemma:} Ist $G$ eine Gruppe und $(H_i)_{i \in I}$ eine Familie von Untergruppen von $G$,
+			so ist auch $H := \bigcap H_i$ eine Untergruppe von $G$.
+		\end{framed}
+		
+		\textit{Beweis: Wir haben 3 Dinge zu zeigen\\
+		\begin{compactitem}
+			\item $H \neq \emptyset:$ F\"ur jedes $i \in I$ ist $e_G \in H$, also auch $e_G \in \bigcap
+			H_i =H$
+			\item (UG1): Seien $x,y \in H$. F\"ur jedes $i \in I$ ist $x,y \in H_i$, somit $xy \in H_i$,
+			da $H_i \le G$. Folglich ist $xy \in \bigcap H_i=H$.
+			\item (UG2): Sei $x \in H$. F\"ur jedes $i \in I$ ist $x \in H_i$, somit $x^{-1} \in H_i$,
+			da $H_i \le G$. Folglich ist $x^{-1} \in \bigcap H_i=H$.
+		\end{compactitem}
+		}
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Satz:} Ist $G$ eine Gruppe und $X \subset G$. so gibt es eine eindeutig bestimmte
+			kleinste Untergruppe $H$ von $G$, die $X$ enth\"alt, d.h. $H$ enth\"alt $X$ und ist $H'$
+			eine weitere Untergruppe von $G$, die $X$ enth\"alt, so ist $H \subset H'$.
+		\end{framed}
+		
+		\textit{Beweis: \\
+		Sei $\mathcal{H}$ die Menge aller Untergruppen von $G$, die $X$ enthalten. Nach dem Lemma ist $H:=
+		\bigcap \mathcal{H} := \bigcap H$ eine Untergruppe von $G$. Da $X \subset H'$ f\"ur jedes $H' \in 
+		\mathcal H$ ist auch $X \subset H$. Nach Definition ist $H$ in jedem $H' \le G$ mit $X \subset H'$
+		enhalten.} \\
+		$\newline$
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Definition erzeugte Untergruppe:} Ist $G$ eine Gruppe und $X \le G$, so nennt man diese
+			kleinste Untergruppe von $G$, die $X$ enth\"alt, die von $X$ erzeugte Untergruppe von $G$ und
+			bezeichnet diese mit $<X>$, falls $X = \{x_1,x_2,...,x_n\}$ enth\"alt auch mit $<x_1,x_2,
+			...,x_n>$. Gibt es eine endliche Menge $X \subset G$ mit $G=<X>$, so nennt man $G$ endlich
+			erzeugt.
+		\end{framed}
+		
+		\textbf{Beispiele:}
+		\begin{compactitem}
+			\item Die leere Menge $X=\emptyset \le G$ erzeugt stets die trivale Untergruppe $<\emptyset>
+			=\{e\} \le G$
+			\item Jede endliche Gruppe $G$ ist endlich erzeugt $G=<G>$
+			\item F\"ur $n \in \mathbb{N}_0$ ist $n\mathbb{Z}=<n> \le \mathbb{Z}$. Ist $H \le \mathbb{Z}$
+			mit $n \in H$, so ist auch $kn=nk=n+n+...+n \in H$ und somit auch $n\mathbb{Z} \le H$.
+		\end{compactitem}
+		
+	\subsection{Ringe}
 \end{document}