LAAG 1 Kapitel Hom. von Gruppen/Ringen/VR, VR der linearen Abb

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Der_VR_der_linearen_Abbildungen.tex

@@ -1 +1,142 @@
-\section{Der VR der linearen Abbildungen}
+\section{Der Vektorraum der linearen Abbildungen}
+
+Seien $V$ und $W$ zwei $K$-VR.
+
+\begin{proposition}
+	Sei $(x_i)$ eine Basis von $V$ und $(y_i)$ eine Familie in $W$. Dann gibt es genau eine lineare 
+	Abbildung $f:V\to W$ mit $f(x_i)=y_i$. Diese Abbildung ist durch $f(\sum \lambda_ix_i)=\sum \lambda_iy_i$ 
+	(*) ($\lambda_i\in K$, fast alle gleich 0) gegeben und erfüllt
+	\begin{itemize}
+		\item $\Image(f)=\Span_K(y_i)$
+		\item genau dann ist $f$ injektiv, wenn $(y_i)$ linear unabhängig ist
+	\end{itemize}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Ist $f:V\to W$ linear mit $f(x_i)=y_i$, so folgt $f(\sum \lambda_ix_i)=\sum \lambda_iy_i$. Da sich jedes 
+	$x\in V$ als $x=\sum  \lambda_ix_i$ schreiben lässt, ist $f$ dadurch schon eindeutig bestimmt. Andererseits wird 
+	durch (*) eine wohldefinierte Abbildung beschrieben, da die Darstellung von $x$ eindeutig ist (denn $x_i$ sind 
+	linear unabhängig). Es bleibt zu zeigen, dass die durch (*) definierte Abbildung $f:V\to W$ tatsächlich linear ist. 
+	Ist $x=\sum \lambda_ix_i$ und $x'=\sum \lambda'_ix_i$ so ist $f(x+x')=f(\sum (\lambda_i+\lambda'_i)x_i)=
+	\sum (\lambda_i+\lambda'_i)y_i=\sum \lambda_iy_i+\sum \lambda'_iy_i=f(x)+f(x')$. $f(\lambda x)=f(\sum \lambda
+	\lambda_ix_i)=\sum \lambda\lambda_iy_i=\lambda\sum\lambda_iy_i=\lambda f(x)$.
+	\begin{itemize}
+		\item $\Image(f)$ ist ein UVR von $W$ und $\{y_i\}\subset \Image(f)\subset \Span_K(y_i)$, somit $\Image(f)=\Span_K(y_i)$
+		\item $f$ ist injektiv $\iff \Ker(f)=\{0\}$ \\ 
+		$\iff \lambda_i\in K$ gilt: $f(\sum \lambda_ix_i)=0\Rightarrow \sum \lambda_ix_i=0$ \\ 
+		$\iff \lambda_i\in K$ gilt: $\sum\lambda_iy_i=0\Rightarrow \lambda_i=0$ \\ 
+		$\iff (y_i)$ linear unabhängig.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Sei $\dim_K<\infty$. Ist $(x_1,...,x_n)$ eine linear unabhängige Familie in $V$ und $(y_1,...,y_n)$ 
+	eine Familie in $W$, so gibt es eine lineare Abbildung $f:V\to W$ mit $f(x_i)=y_i$
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Nach dem Basisergänzungssatz können wir die Familie $(x_i)$ zu einer Basis $x_1,...,x_m$ ergänzen. Die Behauptung 
+	folgt aus dem vorherigen Satz für beliebige $y_{n+1},...,y_m\in W$.
+	%TODO: Wo ist der Basisergänzungssatz?
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	\proplbl{3_5_3}
+	Ist $(x_i)$ eine Basis von $V$ und $(y_i)$ eine Basis in $W$, so gibt es genau einen Isomorphismus 
+	$f:V\to W$ mit $f(x_i)=y_i$.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Sei $f$ wie im ersten Satz. $(y_i)$ ist Erzeugendensystem $\Rightarrow \Image(f)=\Span_K(y_i)=W$, also $f$ surjektiv. 
+	$(y_i)$ linear abhängig $\Rightarrow f$ ist injektiv.
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Zwei endlichdimensionale $K$-VR sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	\propref{3_5_3} und letztes Kapitel
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Ist $B=(v_1,...,v_n)$ eine Basis von $V$, so gibt es genau einen Isomorphismus $\Phi_B:K^n\to 
+	V$ mit $\Phi_B(e_i)=v_i$. Insbesondere ist jeder endlichdimensionale $K$-VR zu einem Standardraum isomorph, nämlich zu
+	$K^n$ für $n=\dim_K(V)$.
+\end{conclusion}
+
+\begin{definition}[Koordinatensystem]
+	Die Abbildung $\Phi_B$ heißt \begriff{Koordinatensystem} zu $B$. Für $v\in V$ ist 
+	$(x_1,...,x_n)^t=\Phi^{-1}_B(v)\in K^n$ der Koordinatenvektor zu $v$ bezüglich $B$ und $(x_1,...,x_n)$ sind die 
+	Koordinaten von $v$ bezüglich $B$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Die Menge $\Hom_K(V,W)$ ist eine UVR des $K$-VR $\Abb(V,W)$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Seien $f,g\in \Hom_K(V,W)$ und $\eta \in K$.
+	\begin{itemize}
+		\item $f+g\in \Hom_K(V,W)$: Für $x,y\in V$ und $\lambda,\mu\in K$ ist $(f+g)(\lambda x+\mu y)=f(\lambda x+\mu y)+
+		g(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)+\lambda g(x)+\mu g(y)=\lambda(f+g)(x)+\mu(f+g)(y)$
+		\item $\eta f\in \Hom_K(V,W)$: Für $x,y\in V$ und $\lambda,\mu\in K$ ist $(\eta f)(\lambda x+\mu y)=\eta\cdot 
+		f(\lambda x+\mu y)=\eta(\lambda f(x)+\mu f(y))=\lambda(\eta f)(x)+\mu(\eta f)(y)$
+		\item $\Hom_K(V,W)\neq\emptyset$: $c_0\in \Hom_K(V,W)$
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+	\proplbl{3_5_8}
+	Sei $U$ ein weiterer $K$-VR. Sind $f,f_1,f_2\in \Hom_K(V,W)$ und $g,g_1,g_2\in \Hom_K(U,V)$, so ist 
+	$f\circ (g_1+g_2)=f\circ g_1+f\circ g_2$ und $(f_1+f_2)\circ g=f_1\circ g+f_2\circ g$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Für $x\in U$ ist
+	\begin{itemize}
+		\item $(f\circ(g_1+g_2))(x)=f((g_1+g_2)(x))=f(g_1(x)+g_2(x))=f(g_1(x))+f(g_2(x))=(f\circ g_1+f\circ g_2)(x)$
+		\item $((f_1+f_2)\circ g)(x)=(f_1+f_2)(g(x))=f_1(g(x))+f_2(g(x))=(f_1\circ g+f_2\circ g)(x)$
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Unter der Komposition wird $\End_K(V)$ zu einem Ring mit Einselement $\id_V$ und $\End_K(V)^{\times}=
+	\Aut_K(V)$.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	$(\End_K(V),+)$ ist eine abelsche Gruppe, die Komposition eine Verknüpfung auf $\End_K(V)$ ist assoziativ und die 
+	Distributivgesetze gelten (\propref{3_5_8}).
+\end{proof}
+
+\begin{remark}
+	Die Menge der strukturverträglichen Abbildungen zwischen $K$-VR trägt also wieder die Struktur 
+	eines $K$-VR. Wir können diesen mit unseren Mitteln untersuchen und z.B. nach Dimension und Basis fragen.
+\end{remark}
+
+\begin{lemma}
+	Seien $m,n,r\in \mathbb N$, $A\in \Mat_{m\times n}(K)$, $B\in \Mat_{n\times r}(K)$. Für die linearen 
+	Abbildungen $f_A\in \Hom_K(K^n,K^m)$, $f_B\in \Hom_K(K^r,K^n)$ gilt dann $f_{AB}=f_A\circ f_B$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Sind $A=(a_{ij})$ und $B=(b_{jk})$, so ist $(f_A\circ f_B)(e_k)=f_A(f_B(e_k))=f_A(Be_k)=f_A(b_{1k},...,b_{nk})^t=
+	A\cdot (b_{1k},...,b_{nk})^t=(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk},...,\sum_{j=1}^n a_{mj}b_{jk})^t=AB\cdot e_k=
+	f_{AB}(e_k)$ für $k=1,...,r$, also $f_A\circ f_B=f_{AB}$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Die Abbildung $A\to f_A$ liefert einen Isomorphismus von $K$-VR $F_{m\times n}: \Mat_{m\times n}(K)
+	\to \Hom_K(K^n,K^m)$ sowie einen Ringisomorphismus $F_n:\Mat_n(F)\to \End_K(K^n)$ der $\GL_n(K)$ auf $\Aut_K(K^n)$ 
+	abbildet.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Wir schreiben $F$ für $F_{m\times n}$
+	\begin{itemize}
+		\item $F$ ist linear: Sind $A,B\in Mat-{n\times m}(K)$ und $\lambda,\mu\in K$, so ist $F(\lambda A+\mu B)(x)=
+		f_{\lambda A+\mu B}(x)=(\lambda A+\mu B)x=\lambda Ax+\mu Bx=\lambda f_A(x)+\mu f_B(x)=(\lambda F(A)+\mu F(B))(x)$, 
+		also ist $F$ linear.
+		\item $F$ ist injektiv: Es genügt zu zeigen, dass $\Ker(f)=\{0\}$. Ist $A=(a_{ij})\in \Mat_{n\times m}(K)$ mit $F(A)=0$, 
+		so insbesondere $0=F(A)(e_j)=f_A(e_j)=Ae_j=(a_{1j},...,a_{mj})^t$, also $A=0$.
+		\item $F$ ist surjektiv: Sei $f\in \Hom_K(V,W)$. Schreibe $f(e_j)=(a_{1j},...,a_{mj})^t$ und setze $A=(a_{ij})\in 
+		\Mat_{n\times m}(K)$. Dann ist $f_A\in \Hom_K(K^n,K^m)$ mit $f_A(e_j)=Ae_j=f(e_j)$, also $f=f_A=F(A)\in \Image(f)$.
+		\item $F_n$ ist eine Ringhomomorphismus: \\
+		(RH1) aus (L1) \\
+		(RH2) aus $f_{AB}=f_A\circ f_B$.
+		\item Somit ist $F_n$ eine Ringisomorphismus $\Rightarrow F_n(\Mat_n(K)^{\times})=\End_K(V)^{\times}$, also $F_n(
+		\GL_n(K))=\Aut_K(V)$.
+	\end{itemize}
+\end{proof}

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Homomorphismen_von_Gruppen.tex

@@ -99,8 +99,8 @@ Seien $G,H$ zwei multiplikativ geschriebene Gruppen.
 \begin{proof}
 	\begin{itemize}
 		\item $\id_G$ ist ein Isomorphismus
-		\item \propref{2_3_7}
+		\item \propref{3_2_7}
-		\item \propref{2_3_8} und A18
+		\item \propref{3_2_8} und A18
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Homomorphismen_von_Ringen.tex

@@ -1 +1,79 @@
-\section{Homomorphismen von Ringen}
+\section{Homomorphismen von Ringen}
+
+Seien $R,S$ und $T$ Ringe.
+
+\begin{definition}[Ringhomomorphismus]
+	Eine Abbildung $f:R\to S$ ist ein \begriff{Ringhomomorphismus}, wenn für $x,y\in R$ 
+	gilt: \\
+	(RH1:) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ \\
+	(RH2:) $f(xy)=f(x)\cdot f(y)$ \\
+	Die Menge der Ringhomomorphismen $f:R\to R$ wird mit $\Hom(R,S)$ bezeichnet. Ein Homomorphismus $f:R\to S$ ist ein 
+	Mono-, Epi- oder Isomorphismus, wenn $f$ injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Gibt es einen Isomorphismus 
+	$f:R\to S$, so nennt man $R$ und $S$ isomorph und schreibt $R\cong S$. Die Elemente von $\End(R):= \Hom(R,R)$ nennt 
+	man \begriff{Endomorphismen}. Der Kern eines Ringhomomorphismus $f:R\to S$ ist $\Ker(f):= f^{-1}(\{0\})$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Ein Ringhomomorphismus $f:R\to S$ ist ein Gruppenhomomorphismus der abelschen Gruppen $(R,+)$ und 
+	$(S,+)$, der mit der Multiplikation verträglich ist, also eine strukturverträgliche Abbildung zwischen Ringen.
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+	\begin{itemize}
+		\item $\id_R:R\to R$ ist ein Ringisomorphismus
+		\item Ist $R_0\le R$ ein Unterring von $R$, so ist $\iota: R_0 \to R$ ein Ringmonomorphismus
+		\item $\mathbb Z \to \mathbb Z\backslash n\mathbb Z$ mit $\overline a\mapsto a+n\mathbb Z$ it ein Ringepimorphismus
+		\item Sei $R$ kommutativ mit Einselement. Für $\lambda\in R$ ist die Auswertungsabbildung $R[X]\to R$ mit $f\mapsto 
+		f(\lambda)$ ein Ringepimorphismus.
+		\item $\mathbb C \to \mathbb C$ mit $z\mapsto \overline z$ ist ein Ringisomorphismus
+	\end{itemize}
+\end{example}
+
+\begin{proposition}
+	Sind $f:R\to S$ und $g:S\to T$ Ringhomomorphismen, so auch $g\circ f:R\to T$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Übung, analog zu Gruppen
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+	Ist $f:R\to S$ ein Ringisomorphismus, so auch $f^{-1}: S\to R$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Von den Gruppen wissen wir: $f^{-1}$ ist ein Isomorphismus der abelschen Gruppen $(S,+)\to (R,+)$. Die Verträglichkeit 
+	mit der Multiplikation zeigt man analog.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Sei $f\in \Hom(R,S)$. Genau dann ist $f$ ein Ringisomorphismus, wenn es $f'\in \Hom(S,R)$ mit $f'\circ 
+	f=\id_R$ und $f\circ f'=\id_S$ gibt.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	analog zu Gruppen
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+	Der Kern $I:=\Ker(f)$ eines Ringhomomorphismus $f:R\to S$ ist eine Untergruppe von $(R,+)$ mit 
+	$x\cdot a, a\cdot x \in I$ für alle $a\in I$ und $x\in R$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Von den Gruppen wissen wir: $I$ ist eine Untergruppe von $(R,+)$. Für $x\in R$ und $a \in I$ ist $f(xa)=f(x)\cdot 
+	f(a)=f(x)\cdot 0=0$. Somit ist $xa\in I$. Analog ist $ax\in I$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Sei $f\in \Hom(R,S)$. Genau dann ist $f$ injektiv, wenn $\Ker(f)=\{0\}$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Die Aussage folgt aus dem entsprechenden Satz für Gruppen, da $f:(R,+)\to (S,+)$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Ideal]
+	Ist $I$ eine Untergruppe von $(R,+)$ und $xa,ax\in I$ mit $x\in R$ und $a\in I$, so nennt 
+	man $I$ ein \begriff{Ideal} von $R$ und schreibt $I\vartriangleleft R$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	Der Kern des Ringhomomorphismus $\mathbb Z\to \mathbb Z\backslash n\mathbb Z$ mit $a\mapsto 
+	\overline a$ ist das Ideal $I=n\mathbb Z\vartriangleleft \mathbb Z$.
+\end{example}

1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Homomorphismen_von_VR.tex

@@ -1 +1,131 @@
-\section{Homomorphismen von VR}
+\section{Homomorphismen von Vektorräumen}
+
+Seien $U,V,W$ drei $K$-VR. \\
+
+\begin{definition}[linear]
+	Eine Abbildung $f: V \to W$ heißt $K$-\begriff{linear}er Homomorphismus von $K$-VR, wenn für 
+	alle $x,y\in V$ und $\lambda\in K$ gilt: \\
+	(L1): $f(x+y)=f(x)+f(y)$ \\
+	(L2): $f(\lambda x)=\lambda \cdot f(x)$ \\
+	Die Menge der $K$-linearen Abbildungen $f: V\to W$ wird mit $\Hom_K(V,W)$ bezeichnet. Die Elemente von $\End_K(V)
+	:= \Hom_K(V,V)$ nennt man die Endomorphismen von $V$. Ein $f\in \Hom_K(V,W)$ ist ein Mono-, Epi- bzw. Isomorphismus, 
+	falls $f$ injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ist. Einen Endomorphismus der auch ein Isomorphismus ist, nennt man 
+	\begriff{Automorphismus} von $V$ und bezeichnet die Menge der Automorphismen von $V$ mit $\Aut_K(V)$. Der Kern einer linearen 
+	Abbildung $f: V\to W$ ist $\Ker(f):= f^{-1}(\{0\})$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Eine $K$-lineare Abbildung $f: V\to W$ ist also ein Homomorphismus der abelschen Gruppen $(V,+) 
+	\to(W,+)$, der mit der Skalarmultiplikation verträglich ist, d.h. eine strukturverträgliche Abbildung zwischen VR.
+\end{remark}
+
+\begin{proposition}
+	Eine Abbildung $f: V\to W$ ist genau dann $K$-linear, wenn für alle $x,y\in V$ und $\lambda,
+	\mu\in K$ gilt: \\
+	(L): $f(\lambda x +\mu y)=\lambda f(x) + \mu f(y)$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item Hinrichtung: $f(\lambda x +\mu y)=f(\lambda x) + f(\mu y)=\lambda f(x) + \mu f(y)$
+		\item Rückrichtung: (L1): $f(x+y)=f(1x+1y)=1f(x)+1f(y)$, (L2): $f(\lambda x)=f(\lambda x+0y)=\lambda f(x)$.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	\begin{itemize}
+		\item $\id_V: V\to V$ ist ein Automorphismus von $V$
+		\item $c_0:V\to W$ mit $x\mapsto 0$ ist $K$-linear
+		\item Für einen UVR $V_0\le V$ ist $\iota: V_0\to V$ ein Monomorphismus
+		\item Im $K$-VR $K[X]$ kann man die (formale) Ableitung definieren: $(\sum_{i=0}^n a_iX^i)' := \sum
+		_{i=1}^n ia_iX^{i-1}$. Diese Abbildung $K[X]\to K[X]$ mit $f\mapsto f'$ ist ein $K$-Endomorphismus von $K[X]$.
+	\end{itemize}
+\end{example}
+
+\begin{example}
+	\proplbl{3_4_5}
+	Sei $V=K^n$ und $W=K^m$. Wir fassen die Elemente von $V$ und $W$ als Spaltenvektoren auf. Zu einer 
+	Matrix $A\in \Mat_{m\times n}(K)$ definieren wir die Abbildung $f_A:V\to W$ mit $x\mapsto Ax$. \\
+	Ausgeschrieben: Ist $A=(a_{ij})$ und $x=(x_1,...,x_n)^t$ so ist
+	\begin{align}
+		f_A(x)=Ax=
+		\begin{pmatrix}
+		a_{11} & ... & a_{1n}\\
+		... &  & ...\\
+		a_{m1} & ... & a_{mn}\\
+		\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n\end{pmatrix} = 
+		\begin{pmatrix}
+		a_{11}\cdot x_1 + ... + a_{1n}\cdot x_n\\
+		...\\
+		a_{m1}\cdot x_1 + ... + a_{mn}\cdot x_n\\
+		\end{pmatrix}\notag
+	\end{align} 
+	Diese Abbildung ist $K$-linear.
+\end{example}
+
+\begin{proposition}
+	Für ein $f\in \Hom_K(V,W)$. Dann gilt:
+	\begin{itemize}
+		\item $f(0)=0$
+		\item Für $x,y\in V$ ist $f(x-y)=f(x)-f(y)$.
+		\item Sind $(x_1)$ aus $V$, $(\lambda_i)$ aus $K$, fast alle gleich 0, so ist $f(\sum_{i\in I} \lambda_i
+		\cdot x_i)=\sum_{i\in I} \lambda_i\cdot f(x)$.
+		\item Ist $(x_i)$ linear abhängig in $V$, so ist $f(x_i)$ linear abhängig in $W$.
+		\item Ist $V_0\le V$ ein UVR von $V$, so ist $f(V_0)\le W$ ein UVR.
+		\item Ist $W_0\le W$ ein UVR von $W$, so ist $f^{-1}(W_0)\le V$ ein UVR.
+	\end{itemize}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item klar
+		\item klar
+		\item Induktion
+		\item $\sum \lambda_i\cdot x_i=0\Rightarrow 0=f(0)=f(\sum \lambda_i\cdot x_i)=\sum \lambda_i\cdot f(x_i)$
+		\item $x,y\in V_0\Rightarrow f(x)+f(y)=f(x+y)\in f(V_0)$ \\ 
+		$x\in V_0,\lambda\in K\Rightarrow f(x\cdot \lambda= f(\lambda x)\in f(V_0))$
+		\item $f(0)=0\in W_0\Rightarrow 0\in f^{-1}(W_0)$, insbesondere ist $f^{-1}(W_0)\neq \emptyset$ \\ 
+		$x,y\in f^{-1}(W_0)\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)\in W_0$, also $x+y\in f^{-1}(W_0)$ \\
+		$x\in f^{-1}(W_0)$ und $\lambda\in K\Rightarrow f(\lambda x)=\lambda f(x)\in W_0$, also $\lambda x\in f^{-1}(W_0)$
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Sind $f:V\to W$ und $g:W\to U$ $K$-linear, so auch $g\circ f: V\to U$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Für $x,y\in V$ und $\lambda,\mu\in K$ ist $(g\circ f)(\lambda x + \mu y)=g(f(\lambda x + \mu y))=g(\lambda f(x) + 
+	\mu f(y))=\lambda (g\circ f)(x) + \mu (g\circ f)(y)$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+	Ist $f:V\to W$ ein Isomorphismus, so auch $f^{-1}:W\to V$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Wir müssen nur zeigen, dass $f^{-1}$ linear ist. Für $x,y\in V$ und $\lambda,\mu\in K$ ist $f(\lambda f^{-1}(x) + 
+	\mu f^{-1}(y))=\lambda (f\circ f^{-1})(x) + \mu (f\circ f^{-1})(y)=\lambda x + \mu y$, also $f^{-1}(\lambda x + 
+	\mu y)=\lambda f^{-1}(x) + \mu f^{-1}(y)$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Sei $f:V\to W$ linear. Genau dann ist $f$ ein Isomorphismus, wenn es eine lineare Abbildung $f':W
+	\to V$ gibt mit $(f'\circ f)=\id_V$ und $(f\circ f')=\id_W$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Ist $f$ ein Isomorphismus, so erfüllt $f'=f^{-1}$ die Behauptung. Existiert umgekehrt $f'$ wie angegeben, so muss 
+	$f$ bijektiv sein.
+\end{proof}
+
+\begin{remark}
+	Wie auch bei Gruppen sehen wir hier bei VR, dass Isomorphismen genau die strukturerhaltenden 
+	Abbildungen sind. Wieder können wir uns einen Isomorphismus $f:V\to W$ so vorstellen, dass wir nur die Elemente von 
+	$V$ umbenennen. Alle Aussagen, die sich nur aus der Struktur selbst ergeben, bleiben damit wahr, wie z.B. $\dim_K(V)=
+	\dim_K(W)\iff V=W$. Insbesondere ist $K^n \cong K^m$ für $n=m$.
+\end{remark}
+
+\begin{proposition}
+	Ist $f:V\to W$ eine lineare Abbildung, so ist $\Ker(f)$ ein UVR von $V$. Genau dann ist $f$ ein 
+	Monomorphismus, wenn $\Ker(f)=\{0\}$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Der erste Teil folgt aus \propref{3_4_5}, der zweite folgt aus den Gruppen, da $f:(V,+)\to (W,+)$ ein 
+	Gruppenhomomorphismus ist.
+\end{proof}