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b171ecd819
261 changed files with 11032 additions and 1616 deletions
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@ -1,47 +1,3 @@
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# TUD_MATH_BA
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Skript zur Vorlesung ANAG.
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# Analysis, 1. Semester
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Wer mithelfen möchte, dieses Script zu vervollständigen, bitte melden.
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### Fortschritt Analysis
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1. Grundlagen der Mathematik ... fertig
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1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik ... fertig
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1.2 Aufbau einer mathematischen Theorie ... fertig
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1.3 Relationen und Funktionen ... fertig
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1.4 Bemerkungen zum Fundament der Mathematik ... fertig
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2. Zahlenbereiche ... wird bearbeitet
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2.1 natürliche Zahlen ... fertig
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2.2 ganze und rationale Zahlen ... fertig
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2.3 reelle Zahlen ... wird bearbeitet
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2.4 komplexe Zahlen ... fertig
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3. Metrische Räume und Konvergenz ... wird bearbeitet
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3.1 grundlegende Ungleichungen ... fertig
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3.2 Metrische Räume ... fertig
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3.3 Konvergenz ... wird bearbeitet
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3.4 Vollständigkeit ... noch nicht bearbeitet
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3.5 Kompaktheit ... noch nicht berbeitet
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3.6 Reihen ... noch nicht bearbeitet
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4. Funktionen und Stetigkeit ... noch nicht bearbeitet
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4.1 Funktionen ... noch nicht bearbeitet
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### Kapitel befinden sich im TeX folder, diese sind eingebunden via Vorlesung_ANAG.tex!!!
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E gibt eine verbesserte Version der Analysis-Vorlesung im 2. Semester, in der auch Analysis 1 inkludiert ist
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@ -1,178 +0,0 @@
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\part{Grundlagen der Mathematik}
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Mathematik besitzt eine Sonderrolle unter den Wissenschaften, da
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\begin{compactitem}
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\item Resultate nicht empirisch gezeigt werden müssen
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\item Resultate nicht durch Experimente widerlegt werden können
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\end{compactitem}
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\paragraph{Literatur}
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\begin{compactitem}
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\item Forster: Analysis 1 + 2, Vieweg
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\item Königsberger: Analysis 1 + 2, Springer
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\item Hildebrandt: Analysis 1 + 2, Springer
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\item Walter: Analysis 1 + 2, Springer
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\item Escher/Amann: Analysis 1 + 2, Birkhäuser
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\item Ebbinghaus: Einfühung in die Mengenlehre, BI-Wissenschaftsverlag
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\item Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner 1996
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\item Springer-Taschenbuch der Mathematik, Springer 2012
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\end{compactitem}
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\chapter{Grundbegriffe aus Mengelehre und Logik}
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\textbf{Mengenlehre:} Universalität von Aussagen \\
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\textbf{Logik:} Regeln des Folgerns, wahre/falsche Aussagen
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\begin{mydef}[Definition Aussage]
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Sachverhalt, dem man entweder den Wahrheitswert "wahr" oder "falsch" zuordnen kann, aber nichts anders.
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\end{mydef}
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\begin{exmp}
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||||
\item 5 ist eine Quadratzahl $\to$ falsch (Aussage)
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\item Die Elbe fließt durch Dresden $\to$ wahr (Aussage)
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\item Mathematik ist rot $\to$ ??? (keine Aussage)
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\end{exmp}
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\begin{mydef}[Menge]
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Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.\\ (\textsc{Cantor}, 1877)
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\end{mydef}
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||||
\begin{exmp}
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||||
\item $M_1 :=$ Menge aller Städte in Deutschland
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\item $M_2 := \{1;2;3\}$
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\end{exmp}
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||||
Für ein Objekt $m$ und eine Menge $M$ gilt stets $m \in M$ oder $m \notin M$ \\
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||||
Für die Mengen $M$ und $N$ gilt $M=N$, falls dieselben Elemente enthalten sind
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||||
$\{1;2;3\} = \{3;2;1\} = \{1;2;2;3\}$ \\
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||||
- $N \subseteq M$, falls $n \in M$ für jedes $n \in N$ \\
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||||
- $N \subset M$, falls zusätzlich $M \neq N$ \\
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||||
\begin{mydef}[Aussageform]
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||||
Sachverhalt mit Variablen, der durch geeignete Ersetzung der Variablen zur Aussage wird.
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\end{mydef}
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\begin{exmp}
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\begin{itemize}
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||||
\item $A(X) := $ Die Elbe fließt durch X
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||||
\item $B(X;Y;Z) := X + Y = Z$
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||||
\item aber $A(Dresden) ,B(2;3;4)$ sind Aussagen, $A(Mathematik)$ ist keine Aussage
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||||
\item $A(X)$ ist eine Aussage f\"u jedes $X \in M_1$ $\to$ Generalisierung von Aussagen durch Mengen
|
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\end{itemize}
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||||
\end{exmp}
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||||
\section*{Bildung und Verknüpfung von Aussagen}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
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\hline
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||||
$A$ & $B$ & $\lnot A$ & $A \land B$ & $A \lor B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
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||||
\hline
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||||
w & w & f & w & w & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
w & f & f & f & w & f & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & w & w & f & w & w & f\\
|
||||
\hline
|
||||
f & f & w & f & f & w & w\\
|
||||
\hline
|
||||
\end{tabular}
|
||||
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||||
\begin{exmpn}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $\lnot$(3 ist gerade) $\to$ w
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||||
\item (4 ist gerade) $\land$ (4 ist Primzahl) $\to$ f
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||||
\item (3 ist gerade) $\lor$ (3 ist Primzahl) $\to$ w
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||||
\item (3 ist gerade) $\Rightarrow$ (Mond ist Würfel) $\to$ w
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||||
\item (Die Sonne ist heiß) $\Rightarrow$ (es gibt Primzahlen) $\to$ w
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\end{itemize}
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\end{exmpn}
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||||
\noindent Auschließendes oder: (entweder $A$ oder $B$) wird realisiert durch $\lnot(A \iff B)$.\\
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||||
Aussageform $A(X)$ sei f\"ur jedes $X \in M$ Aussage: neue Aussage mittels Quantoren
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\begin{compactitem}
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||||
\item $\forall$: "für alle"
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||||
\item $\exists$: "es existiert"
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\end{compactitem}
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\begin{exmpn}
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||||
$\forall n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ f\\
|
||||
$\exists n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ w
|
||||
\end{exmpn}
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||||
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||||
\begin{mydef}[Tautologie bzw. Kontraduktion/Widerspruch]
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||||
Zusammengesetzte Aussage, die unabhängig vom Wahrheitsgehalt der Teilaussagen stest wahr bzw. falsch ist.
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||||
\end{mydef}
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||||
\begin{exmpn}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Tautologie (immer wahr):
|
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$(A) \lor (\lnot A), \lnot (A \land (\lnot A)), (A \land B) \Rightarrow A$
|
||||
\item Widerspruch (immer falsch): $A \land (\lnot A), A \iff \lnot A$
|
||||
\item besondere Tautologie: $(A \Rightarrow B) \iff (\lnot B \Rightarrow \lnot A)$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exmpn}
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\begin{satz}[Morgansche Regeln]
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||||
Folgende Aussagen sind Tautologien:
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\begin{itemize}{ }
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||||
\item $\lnot(A \land B) \iff \lnot A \lor \lnot B$
|
||||
\item $\lnot(A \lor B) \iff \lnot A \land \lnot B$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{satz}
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||||
\section*{Bildung von Mengen}
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Seien $M$ und $N$ Mengen
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\begin{compactitem}
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||||
\item Aufzählung der Elemente: $\{1;2;3\}$
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||||
\item mittels Eigenschaften: $\{X \in M \mid A(X)\}$
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||||
\item $\emptyset:=$ Menge, die keine Elemente enthält
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\begin{compactitem}
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||||
\item leere Menge ist immer Teilmenge jeder Menge $M$
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||||
\item \textbf{Warnung:} $\{\emptyset\} \neq \emptyset$
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||||
\end{compactitem}
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||||
\item Verknüpfung von Mengen wie bei Aussagen
|
||||
\end{compactitem}
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||||
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||||
\begin{mydef}[Mengensystem]
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||||
Ein Mengensystem $\mathcal M$ ist eine Menge, bestehend aus anderen Mengen.
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\begin{compactitem}
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||||
\item $\bigcup M := \{X \mid \exists M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Vereinigung aller Mengen in
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$\mathcal M$)
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||||
\item $\bigcap M := \{X \mid \forall M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Durchschnitt aller Mengen in
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||||
$\mathcal M$)
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\end{compactitem}
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||||
\end{mydef}
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\begin{mydef}[Potenzmenge]
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||||
Die Potenzmenge $\mathcal P$ enth\"alt alle Teilmengen einer Menge $M$. \\
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$\mathcal P(X) := \{\tilde M \mid \tilde M \subset M\}$
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||||
\end{mydef}
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Beispiel:
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\begin{compactitem}
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\item $M_3 := \{1;3;5\}$ \\
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$\to \mathcal P(M_3) = \{\emptyset, \{1\}, \{3\}, \{5\}, \{1;3\}, \{1;5\}, \{3;5\}, \{1;3;5\}\}$
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\end{compactitem}
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||||
\begin{framed}
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||||
\textbf{Satz (de Morgansche Regeln f\"ur Mengen):}
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item $(\mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N^C$
|
||||
\item $(\mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N^C$
|
||||
\end{compactitem}
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||||
\end{framed}
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\begin{mydef}[Kartesisches Produkt]
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$M \times N := \{m,n \mid m \in M \land n \in N\}$ \\
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||||
$(m,n)$ hei{\ss}t geordnetes Paar (Reihenfolge wichtig!) \\
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||||
allgemeiner: $M_1 \times ... \times M_k := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$ \\
|
||||
$M^k := M \times ... \times M := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$
|
||||
\end{mydef}
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||||
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||||
\begin{satz}[Auswahlaxiom]
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||||
Sei $\mathcal M$ ein Mengensystem nichtleerer paarweise disjunkter Mengen $M$.
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\begin{compactitem}
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||||
\item Es existiert eine Auswahlmenge $\tilde M$, die mit jedem $M \in \mathcal M$ genau 1 Element gemeinsam hat.
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||||
\item beachte: Die Auswahl ist nicht konstruktiv!
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\end{compactitem}
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||||
\end{satz}
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@ -1,227 +0,0 @@
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\chapter{Aufbau einer mathematischen Theorie}
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Axiome $\to$ Beweise $\to$ Sätze ("neue" wahre Aussagen) \\
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||||
$\to$ ergibt Ansammlung (Menge) wahrer Aussagen
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\paragraph*{Formulierung mathematischer Aussagen}
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\begin{compactitem}
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||||
\item typische Form eines mathematischen Satzes: "Wenn A gilt, dann gilt auch B."
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||||
\item formal: $A \Rightarrow B$ bzw. $A(X) \Rightarrow B(X)$ ist stets wahr (insbesondere falls
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A wahr ist)
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\end{compactitem}
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||||
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||||
Beispiel
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\begin{compactitem}
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||||
\item $X \in \mathbb N$ und ist durch 4 teilbar $\Rightarrow X$ ist durch 2 teilbar
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\item beachte: Implikation auch wahr, falls $X = 5$ oder $X =6$, dieser Fall ist aber
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||||
uninteressant
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||||
\item genauer meint man sogar $A \land C \Rightarrow B$, wobei $C$ aus allen bekannten wahren
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Aussagen besteht
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\item man sagt: $B$ ist \textbf{notwendig} f\"ur $A$, da $A$ nur wahr sein kann, wenn $B$
|
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wahr ist
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||||
\item man sagt: $A$ ist \textbf{hinreichend} f\"ur $B$, da $B$ stets wahr ist, wenn $A$ wahr ist
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\paragraph{Mathematische Beweise}
|
||||
\begin{compactitem}
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||||
\item \textbf{direkter Beweis:} finde Zwischenaussagen $A_1,...,A_k$, sodass f\"ur $A$ auch wahr: \\
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||||
$(A \Rightarrow A_1) \land (A_1 \Rightarrow A_2) \land ... \land (A_k \Rightarrow B)$
|
||||
\item Beispiel: Zeige $x > 2 \Rightarrow x^2-3x+2>0$ \\
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||||
$(x>2) \Rightarrow (x-2>0) \land (x-1>0) \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \Rightarrow x^2-3x+2>0$
|
||||
\item \textbf{indirekter Beweis:} auf Grundlage der Tautologie $(A \Rightarrow B) \iff
|
||||
(\lnot B \Rightarrow \lnot A)$ f\"uhrt man direkten Beweis $\lnot B \Rightarrow \lnot A$ (das
|
||||
hei{\ss}t angenommen $B$ falsch, dann auch $A$ falsch)
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||||
\item praktisch formuliert man das auch so: $(A \land \lnot B) \Rightarrow ... \Rightarrow (A
|
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\land \lnot A)$
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||||
\item Beispiel: Zeige $x^2-3x+2 \le 0$ sei wahr \\
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||||
$\lnot B \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \le 0 \Rightarrow 1 \le x \le 2 \Rightarrow x \le 2
|
||||
\Rightarrow \lnot A$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\section{Relationen und Funktionen}
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||||
\begin{mydef}[Relation]
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Seien $M$ und $N$ Mengen. Dann ist jede Teilmenge $R$ von
|
||||
$M \times N$ eine Relation. \\
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||||
$(x,y) \in R$ hei{\ss}t: $x$ und $y$ stehen in Relation zueinander
|
||||
\end{mydef}
|
||||
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||||
\begin{exmp}
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||||
$M$ ist die Menge aller Menschen. Die Liebesbeziehung $x$ liebt $y$ sieht als geordnetes Paar
|
||||
geschrieben so aus: $(x,y)$. Das hei{\ss}t die Menge der Liebespaare ist das: $L := \{(x,y) \mid
|
||||
x \; liebt \; y\}$. Und es gilt: $L \subset M \times M$.
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
Die Relation $R \subset M \times N$ hei{\ss}t \textbf{Ordnungsrelation} (kurz. Ordnung) auf M, falls f\"ur alle $a,b,c \in M$ gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (antisymetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\item z.B. $R = \{(X,Y) \in \mathcal P(Y) \times \mathcal P(Y) \mid X \subset Y\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Eine Ordnungsrelation hei{\ss}t \textbf{Totalordnung}, wenn zus\"atzlich gilt: $(a,b) \in R \lor
|
||||
(b,a) \in R$ \\
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Beispiel \\
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||||
Seien $m$, $n$ und $o$ natürliche Zahlen, dann ist $R = \{(m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}
|
||||
\mid x \le y\}$ eine Totalordnung, da
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \le m$ (reflexiv)
|
||||
\item $(m \le n \land n \le m) \Rightarrow m=n$ (antisymetrisch)
|
||||
\item $(m \le n \land n \le o) \Rightarrow m \le o$ (transitiv)
|
||||
\item $m \le n \lor n \le m$ (total)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Eine Relation auf $M$ heißt \textbf{Äquivalenzrelation}, wenn für alle $a,b,c \in M$ gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (symetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Obwohl Ordnungs- und Äquivalenzrelation die gleichen Eigenschaften haben, haben sie
|
||||
unterschiedliche Zwecke: Ordnungsrelationen ordnen Elemente in einer Menge (z.B. das Zeichen $\le$
|
||||
ordnet die Menge der natürlichen Zahlen), während Äquivalenzrelationen eine Menge in disjunkte
|
||||
Teilmengen (Äquivalenzklassen) ohne Rest aufteilen. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Wenn $R$ eine Ordnung auf M ist, so wird häufig geschrieben: \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} $a \le b$ bzw. $a \ge b$ falls $(a,b) \in \mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} $a < b$ bzw. $a > b$ falls zus\"atzlich $a \neq b$ \\
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Abbildung/Funktion]
|
||||
Eine Funktion $F$ von $M$ nach $N$
|
||||
(kurz: $F: M \to N$), ist eine Vorschrift, die jedem Argument/Urbild $m \in M$ genau einen
|
||||
Wert/Bild $F(m) \in N$ zuordnet. \\
|
||||
$D(F) := M$ heißt Definitionsbereich/Urbildmenge \\
|
||||
\noindent\hspace*{15mm} $N$ heißt Zielbild \\
|
||||
$F(M') := \{n \in N \mid n=F(m)$ f\"ur ein $m \in M' \}$ ist Bild von $M' \subset M$ \\
|
||||
$F^{-1}(N') := \{m \in M \mid n=F(m)$ für ein $N' \}$ ist Urbild von $N' \subset N$ \\
|
||||
$R(F) := F(M)$ heißt Wertebereich/Bildmenge \\
|
||||
$graph(F) := \{(m,n) \in M \times N \mid n=F(m)\}$ heißt Graph von $F$ \\
|
||||
$F_{\mid M'}$ ist Einschränkung von $F$ auf $M' \subset M$
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
Unterschied Zielmenge und Wertebereich: $f(x) = \sin(x):$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Zielmenge: $\mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Wertebereich: $[-1;1]$ \\
|
||||
|
||||
Funktionen $F$ und $G$ sind gleich, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $D(F) = D(G)$
|
||||
\item $F(m) = G(m) \quad \forall m \in D(F)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\noindent Manchmal wird auch die vereinfachende Schreibweise benutzt:
|
||||
\begin{itemize}[label={-}]
|
||||
\item $F: M \to N$, obwohl $D(F) \subsetneq M$ (z.B. $\tan: \mathbb R \to \mathbb R$, Probleme
|
||||
bei $\frac{\pi}{2}$)
|
||||
\item gelegentlich spricht man auch von "Funktion $F(m)$" statt Funktion $F$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{lem}[Komposition/Verknüpfung]
|
||||
Die Funktionen $F: M \to N$ und $G: N \to P$
|
||||
sind verknüpft, wenn \\
|
||||
$F \circ G: M \to P$ mit $(F \circ G)(m) := G(F(m))$
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Funktionen:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item injektiv: Zuordnung ist eineindeutig $\to F(m_1) = F(m_2) \Rightarrow m_1=m_2$
|
||||
\item Beispiel: $x^2$ ist nicht injektiv, da $F(2)=F(-2)=4$
|
||||
\item surjektiv: $F(M) = N \quad \forall n \in N \; \exists m \in M: F(m)=n$
|
||||
\item Beispiel: $\sin(x)$ ist nicht surjektiv, da es kein $x$ für $y=27$ gibt
|
||||
\item bijektiv: injektiv und surjektiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
Für bijektive Abbildung $F: M \mapsto N$ ist Umkehrabbildung/inverse Abbildung $F^{-1}: N \mapsto M$
|
||||
definiert durch: $F^{-1}(n) = m \iff F(m)=n$ \\
|
||||
Hinweis: Die Notation $F^{-1}(N')$ f\"ur Urbild bedeutet nicht, dass die inverse Abbildung $F^{-1}$
|
||||
existiert.
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $F: M \to N$ surjektiv. Dann existiert die Abbildung $G: N \to M$,
|
||||
sodass $F \circ G = id_N$ (d.h. $F(G(n))=n \quad \forall n \in N$)
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Rechenoperation/Verknüpfung]
|
||||
Eine Rechenoperation auf einer Menge $M$ ist
|
||||
die Abbildung $*: M \times M \to M$ d.h. $(m,n) \in M$ wird das Ergbnis $m*n \in M$ zugeordnet.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item hat neutrales Element $e \in M: m*e=m$
|
||||
\item ist kommutativ $m*n=n*m$
|
||||
\item ist assotiativ $k*(m*n)=(k*m)*n$
|
||||
\item hat ein inverses Element $m' \in M$ zu $m \in M: m*m'=e$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$e$ ist stets eindeutig, $m'$ ist eindeutig, wenn die Operation $*$ assoziativ ist. \\
|
||||
|
||||
Beispiele:
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\begin{compactitem}
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||||
\item Addition $+$: $(m,n) \mapsto m+n$ Summe, neutrales Element heißt Nullelement, inverses
|
||||
Element $-m$
|
||||
\item Multiplikation $\cdot$: $(m,n) \mapsto m \cdot n$ Produkt, neutrales Element Eins, inverses
|
||||
Element $m^{-1}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Addition und Multiplikation sind distributiv, falls $k(m+n) = k \cdot m + k \cdot n$
|
||||
|
||||
\begin{mydef}[Körper]
|
||||
Eine Menge $M$ ist ein Körper $K$, wenn man auf $K$ eine Addition
|
||||
und eine Multiplikation mit folgenden Eigenschaften durchführen kann:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es gibt neutrale Elemente 0 und 1 $\in K$
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind jeweils kommutativ und assoziativ
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind distributiv
|
||||
\item es gibt Inverse $-k$ und $k^{-1} \in K$ \\
|
||||
$\to$ die reellen Zahlen sind ein solcher Körper
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{mydef}
|
||||
|
||||
Eine Menge $M$ habe die Ordnung ``$\leq$'' und diese erlaubt die Addition und Multiplikation, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $a \le b \iff a+c \le b+c$
|
||||
\item $a \le b \iff a \cdot c \le b \cdot c \quad c > 0$ \\
|
||||
$\to$ Man kann die Gleichungen in gewohnter Weise umformen.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn er eine Totalordnung besitzt, die mit Addition
|
||||
und Multiplikation verträglich ist. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Isomorphismus} bezüglich einer Struktur ist die bijektive Abbildung $I: M_1
|
||||
\mapsto M_2$, die die vorhandene Struktur auf $M_1$ und $M_2$ erhält, z.B.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Ordnung $\le_1$ auf $M_1$, falls $a \le_1 b \iff I(a) \le_2 I(b)$
|
||||
\item Abbildung $F_i: M_i \to M_i$, falls $I(F_1(a)) = F_2(I(a))$
|
||||
\item Rechenoperation $*_i: M_i \times M_i \to M_i$, falls $I(a*_1b) = I(a) *_2 I(b)$
|
||||
\item spezielles Element $a_i \in M_i$, falls $I(a_1) = a_2$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textit{"Es gibt 2 verschiedene Arten von reellen Zahlen, meine und Prof. Schurichts. Wenn wir einen
|
||||
Isomorphismus finden, dann bedeutet das, dass unsere Zahlen strukturell die selben sind."}\\
|
||||
|
||||
Beispiele: $M_1 = \mathbb N$ und $M_2 = \{$gerade Zahlen$\}$, jeweils mit Addition, Multiplikation
|
||||
und Ordnung \\
|
||||
$\to I: M_2 \to M_2$ mit $I(k)=2k \quad \forall k \in \mathbb N$ \\
|
||||
$\to$ Isomorphismus, der die Addition, Ordnung und die Null, aber nicht die Multiplikation erh\"alt
|
||||
|
||||
\subsection*{Bemerkungen zum Fundament der Mathematik}
|
||||
Forderungen an eine mathematische Theorie:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item widerspruchsfrei: Satz und Negation nicht gleichzeitig herleitbar
|
||||
\item vollständig: alle Aussagen innerhalb der Theorie sind als wahr oder falsch beweisbar
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
zwei Unvollständigkeitssätze:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item jedes System ist nicht gleichzeitig widerspruchsfrei und vollständig
|
||||
\item in einem System kann man nicht die eigene Widerspruchsfreiheit zeigen
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
|
@ -1,111 +0,0 @@
|
|||
\part{Zahlenbereiche}
|
||||
\chapter{Natürliche Zahlen}
|
||||
$\mathbb N$ sei diejenige Menge, die die \textbf{Peano-Axiome} erfüllt, das heißt
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\mathbb N$ sei induktiv, d.h. es existiert ein Nullelement und eine injektive Abbildung
|
||||
$\mathbb N to \mathbb N$ mit $\nu(n) \neq 0 \quad \forall n$
|
||||
\item Falls $N \subset \mathbb N$ induktiv in $\mathbb N$ (0, $\nu(n) \in N$ falls $n \in N
|
||||
\Rightarrow N = \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\to \mathbb N$ ist die kleinste induktive Menge \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Nach der Mengenlehre ZF (Zermelo-Fraenkel) existiert eine solche Menge $\mathbb N$ der natürlichen
|
||||
Zahlen. Mit den üblichen Symbolen hat man:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $0 := \emptyset$
|
||||
\item $1 := \nu(0) := \{\emptyset\}$
|
||||
\item $2 := \nu(1) := \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$
|
||||
\item $3 := \nu(2) := \{\emptyset, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Damit ergibt sich in gewohnter Weise $\mathbb N = \{1; 2; 3; ...\}$ \\
|
||||
anschauliche Notation $\nu(n) = n+1$ (beachte: noch keine Addition definiert!) \\
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
Falls $\mathbb N$ und $\mathbb N'$ die Peano-Axiome erfüllen, sind sie
|
||||
isomorph bez\"uglich Nachfolgerbildung und Nullelement. Das hei{\ss}t alle solche $\mathbb N'$
|
||||
sind strukturell gleich und k\"onnen mit obigem $\mathbb N$ identifiziert werden.
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Prinzip der vollständigen Induktion]
|
||||
Sei $\{A_n \mid n \in N\}$ eine Menge
|
||||
von Aussagen $A_n$ mit der Eigenschaft:
|
||||
\begin{enumerate}[ ]
|
||||
\item IA: $A_0$ ist wahr
|
||||
\item IS: $\forall n \in \mathbb N$ gilt $A_n \Rightarrow A_{n+1}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$A_n$ ist wahr für alle $n \in \mathbb N$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{lem} Es gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\nu(n) \cup \{0\} = \mathbb N$
|
||||
\item $\nu(n) \neq n \quad \forall n \in \mathbb N$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}{(rekursive Definition/Rekursion)} Sei $B$ eine Menge und $b \in B$. Sei $F$ eine
|
||||
Abbildung mit $F: B \times \mathbb N \mapsto B$. Dann liefert nach Vorschrift: $f(0):= b$ und
|
||||
$f(n+1) = F(f(n),n) \quad \forall n \in \mathbb N$ genau eine Abbildung $f: \mathbb N \mapsto B$.
|
||||
Das heißt eine solche Abbildung exstiert und ist eindeutig.
|
||||
\end{satz}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Definition Addition '$+$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb N$ auf $\mathbb N$
|
||||
durch $n+0:=n$, $n+\nu(m):=\nu(n+m) \quad \forall n,m \in \mathbb N$
|
||||
\item Definition Multiplikation '$\cdot$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb
|
||||
N$ auf $\mathbb N$ durch $n \cdot 0 := 0$, $n \cdot \nu(m) := n \cdot m + n \quad \forall
|
||||
n,m \in \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Für jedes feste $n \in \mathbb N$ sind beide Definitionen rekursiv und eindeutig definiert. \\
|
||||
$\forall n \in \mathbb N$ gilt: $n+1=n+\nu(0)=\nu(n+0) = \nu(n)$
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Addition und Multiplikation haben folgende Eigenschaften:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es existiert jeweils ein neutrales Element
|
||||
\item kommutativ
|
||||
\item assoziativ
|
||||
\item distributiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Es gilt $\forall k,m,n \in \mathbb N$:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \neq 0 \Rightarrow m+n \neq 0$
|
||||
\item $m \cdot n = 0 \Rightarrow n=0$ oder $m=0$
|
||||
\item $m+k=n+k \Rightarrow m=n$ (Kürzungsregel der Addition)
|
||||
\item $m \cdot k=n \cdot k \Rightarrow m=n$ (Kürzungsregel der Multiplikation)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
Ordnung auf $\mathbb N:$ Relation $R := \{(m,n) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m \le n\}$ \\
|
||||
wobei $m \le n \iff n=m+k$ f\"ur ein $k \in \mathbb N$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Es gilt auf $\mathbb N:$
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \le n \Rightarrow \exists ! k \in \mathbb N: n=m+k$, nenne $n-m:=k$ (Differenz)
|
||||
\item Relation $R$ (bzw. $\le$) ist eine Totalordnung auf $\mathbb N$
|
||||
\item Ordnung $\le$ ist vertr\"aglich mit der Addition und Multiplikation
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\item Sei $n=m+k=m+k' \Rightarrow k=k'$
|
||||
\item Sei $n=n+0 \Rightarrow n \le n \Rightarrow$ reflexiv \\
|
||||
sei $k\le m, m \le n \Rightarrow \exists l,j: m=k+l, n=m+j=(k+l)+j=k+(l+j) \Rightarrow
|
||||
k \le n \Rightarrow$ transitiv \\
|
||||
sei nun $m \le n und n \le m \Rightarrow n=m+j=n+l+j \Rightarrow 0=l+j \Rightarrow j=0
|
||||
\Rightarrow n=m \Rightarrow$ antisymmetrisch \\
|
||||
Totalordnung, d.h. $\forall m,n \in \mathbb N: m\le n$ oder $n\le m$ \\
|
||||
IA: $m=0$ wegen $0=n+0$ folgt $0 \le n \forall n$ \\
|
||||
IS: gelte $m\le n$ oder $n \le m$ mit festem $m$ und $\forall n \in \mathbb N$, dann \\
|
||||
falls $n \le m \Rightarrow n \le m+1$ \\
|
||||
falls $m < n \Rightarrow \exists k \in \mathbb N: n=m+(k+1)=(m+)1+k \Rightarrow m+1 \le n$ \\
|
||||
$m\le n$ oder $n \le m$ gilt für $m+1$ und $\forall n \in \mathbb N$, also $\forall n,m \in
|
||||
\mathbb N$
|
||||
\item sei $m \le n \Rightarrow \exists j: n=m+j \Rightarrow n+k=m+j+k \Rightarrow m+k \le n+k$
|
||||
\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
|
@ -1,178 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Ganze und rationale Zahlen}
|
||||
\textbf{Frage:} Existiert eine natürliche Zahl $x$ mit $n=n'+x$ für ein gegebenes $n$ und $n'$? \\
|
||||
\textbf{Antwort:} Das geht nur falls $n \le n'$, dann ist $x=n-n'$ \\
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlenbereichserweiterung, sodass die Gleichung immer lösbar ist. Ordne jedem Paar
|
||||
$(n,n') \in \mathbb N \times \mathbb N$ eine neue Zahl als L\"osung zu. Gewisse Paare liefern die
|
||||
gleiche L\"osung, z.B. $(6,4),(5,3),(7,5)$. Diese m\"ussen mittels Relation identifiziert werden. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
$\mathbb Q := \{(n_1,n_1'),(n_2,n_2') \in (\mathbb N \times \mathbb N) \times (\mathbb N \times
|
||||
\mathbb N) \mid n_1+n_2'=n_1'+n_2\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{mydef}
|
||||
$\mathbb Q$ ist die Äquivalenzrelation auf $\mathbb N \times \mathbb N$.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
$(5,3) \sim (6,4) \sim (7,5)$ bzw. $(5-3) \sim (6-4) \sim (7-5)$\\
|
||||
$(3,6) \sim (5,8)$ bzw. $(3-6) \sim (5-8)$
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
% find a way to give an example a better formating!!!
|
||||
offenbar $((n,n'),(n,n')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ reflexiv\\
|
||||
falls $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q \Rightarrow (n_2,n_2'),(n_1,n_1')) \in
|
||||
\mathbb Q \Rightarrow$ symmetrisch\\
|
||||
sei $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q$ und $((n_2,n_2'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q
|
||||
\Rightarrow n_1+n_2'=n_1'+n_2, n_2+n_3'=n_2'+n_3 \Rightarrow n_1+n_3'=n_1'+n_3 \Rightarrow
|
||||
((n_1,n_1'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ transitiv.\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\noindent setze $\overline{\mathbb{Z}} := \{[(n,n')] \mid n,n' \in \mathbb{N}\}$ Menge der ganzen Zahlen,
|
||||
[ganze Zahl] \\
|
||||
Kurzschreibweise: $\overline m := [(m,m')]$ oder $\overline n := [(n,n')]$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $[(n,n')] \in \overline{\mathbb{Z}}$. Dann existiert eindeutig $n* \in \mathbb N$ mit $(n*,0) \in [(n,n')]$, falls $n \ge n'$ bzw. $(0,n*) \in [(n,n')]$ falls $n < n'$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$n \ge n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n=n'+n* \Rightarrow (n*,0) \sim (n,n')$\\
|
||||
$n < n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n+n*=n' \Rightarrow (0,n*) \sim (n,n')$\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\noindent\textbf{Frage:} Was hat $\overline{\mathbb{Z}}$ mit $\whole$ zu tun?\\
|
||||
\textbf{Antwort:} identifiziere $(n,0)$ bzw. $(n-0)$ mit $n \in \natur$ und identifiziere $(0,n)$
|
||||
bzw. $(0-n)$ mit Symbol $-n$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ ganze Zahlen kann man eindeutig den Elementen folgender Mengen zuordnen: $\mathbb Z :=
|
||||
\natur \cup \{(-n) \mid n \in \natur\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen auf $\overline{\whole}$:} \\
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Addition: $\overline m + \overline n = [(m,m')]+[(n,n')]=[(m+n,m'+n')]$
|
||||
\item Multiplikation: $\overline m \cdot \overline n = [(m,m')] \cdot [(n,n')]=[(mn+m'n',mn'+m'n)]$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Addition und Multiplikation sind eindeutig definiert, d.h. unabhängig von Repräsentant bezüglich $\mathbb Q$
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $(m_1,m_1') \sim (m_2,m_2'), (n_1,n_1') \sim (n_2,n_2')\\
|
||||
\Rightarrow m_1+m_2'=m_1'+m_2, n_1
|
||||
+n_2'=n_1'+n_2\\
|
||||
\Rightarrow m_1+n_1+m_2'+n_2'=m_1'+n_1'+m_2+n_2\\ \Rightarrow (m_1,m_1')+(n_1,n_1') \sim (m_2,m_2')+(n_2,n_2')$\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Für Addition und Multiplikation auf $\mathbb Z$ gilt $\forall\;\overline m,
|
||||
\overline{n} \in \overline{\whole}$:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item es existiert eine neutrales Element: $0:=[(0,0)]$, $1:=[(1,0)]$
|
||||
\item jeweils kommutativ, assoziativ und gemeinsam distributiv
|
||||
\item $- \overline{n} := [(n',n)] \in \whole$ ist invers bezüglich der Addition zu
|
||||
$[(n,n')] = \overline n$
|
||||
\item $(-1) \cdot \overline n = - \overline n$
|
||||
\item $\overline m \cdot \overline n = 0 \iff \overline m =0 \lor \overline n=0$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}, nolistsep]
|
||||
\item offenbar $\overline n +0=0+\overline n=\overline n$ und $\overline n \cdot 1 = 1 \cdot
|
||||
\overline n = \overline n$
|
||||
\item Fleißarbeit $\to$ SeSt
|
||||
\item offenbar $\overline n+(- \overline n) = (- \overline n)+\overline n=[(n+n',m+m')]=0$
|
||||
\item $(-1)\cdot \overline n = [(0,1)]\cdot [n,n']=[n',n]=-\overline n$
|
||||
\item ÜA \QEDA
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Für $\overline m, \overline n \in \mathbb Z$ hat die Gleichung $\overline m=\overline n + \overline x$ die Lösung $\overline x=\overline m+(-\overline n)$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\noindent Ordnung auf $\overline{\whole}:$ betrachte Relation $R := \{(\overline{m},\overline{n}) \in
|
||||
\overline{\whole} \times \overline{\whole} \mid \overline{m} \le \overline{n}\}$
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
$R$ ist Totalordnung auf $\whole$ und verträglich mit Addition und
|
||||
Multiplikation
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\noindent Ordnung verträglich mit Addition: $\overline n < 0 \iff 0=\overline n+(-\overline n) < -\overline n
|
||||
= (-1) \cdot \overline n$ \\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{beachte:} $\mathbb Z := \mathbb N \cup \{(-n) \mid n \in \mathbb N_{>0}\}$ \\
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
$\whole$ und $\overline{\whole}$ sind isomorph bezüglich Addition, Multiplikation und Ordnung.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
betrachte Abbildung $I: \mathbb Z \to \overline{\whole} $ mit $I(k):=[(k,0)]$ und $I(-k):=[(0,k)] \quad \forall k \in \natur \Rightarrow$ ÜA \QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\noindent Notation: verwende stets $\mathbb Z$, schreibe $m,n,...$ statt $\overline m, \overline n,...$ für
|
||||
ganze Zahlen in $\mathbb Z$ \\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Frage:} Existiert eine ganze Zahl mit $n=n' \cdot x$ f\"ur $n,n' \in \mathbb Z, n' \neq 0$ \\
|
||||
\textbf{Antwort:} im Allgemeinen nicht
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlbereichserweiterung analog zu $\mathbb N \to \mathbb Z$ \\
|
||||
ordne jedem Paar $(n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z$ neue Zahl $x$ zu \\
|
||||
schreibe $(n,n')$ auch als $\frac{n}{n'}$ oder $n:n'$ \\
|
||||
identifiziere Paare wie z.B. $\frac 4 2, \frac 6 3, \frac 8 4$ durch Relation \\
|
||||
$\mathbb Q := {(\frac{n_1}{n'_2}, \frac{n_2}{n'_2}) \in (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0})
|
||||
\times (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}) \mid n_1n'_2=n'_1n_2}$ \\
|
||||
$\Rightarrow \mathbb Q$ ist eine Äquivalenzrelation auf $\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}$ \\
|
||||
|
||||
\noindent setze $\mathbb Q := {[\frac{n}{n'}] \mid (n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}}$ Menge der
|
||||
rationalen Zahlen \\
|
||||
beachte: unendlich viele Symbole $\frac{n}{n'}$ für gleiche Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
|
||||
wir schreiben später $\frac{n}{n'}$ für die Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
|
||||
\noindent offenbar gilt die Kürzungsregel: $[\frac{n}{n'}]=[\frac{kn}{kn'}] \quad \forall k \in
|
||||
\mathbb Z_{\neq 0}$ \\
|
||||
|
||||
\noindent \textbf{Rechenoperationen auf $\mathbb Q$:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Addition: $[\frac{m}{m'}]+[\frac{n}{n'}] := [\frac{mn'+m'n}{m'n'}]$
|
||||
\item Multiplikation: $[\frac{m}{m'}] \cdot [\frac{n}{n'}] := [\frac{mn}{m'n'}]$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Mit Addition und Multiplikation ist $\mathbb Q$ ein Körper mit\\
|
||||
neutralen Elementen: $0=[\frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=
|
||||
[\frac{0_{\mathbb Z}}{n_{\mathbb Z}}], 1:=[\frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=[\frac n n] \neq 0$\\
|
||||
inversen Elementen: $-[\frac{n}{n'}]=[\frac{-n}{n}], [\frac{n}{n'}]^{-1}=[\frac{n'}{n}]$\\
|
||||
\end{satz}
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\noindent Ordnung auf $\mathbb Q:$ f\"ur $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$ kann man stets $n'>0$ annehmen \\
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Realtion: $R:=\{([\frac{m}{m'}],[\frac{n}{n'}]) \in \mathbb Q \times \mathbb Q \mid mn' \le m'n,
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m',n' > 0\}$ gibt Ordnung $\le$ \\
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\begin{satz}
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$\mathbb Q$ ist ein angeordneter K\"orper (d.h. $\le$ ist eine Totalordnung undv erträglich mit Addition und Multiplikation).
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\end{satz}
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Notation: schreibe vereinfacht nur noch $\frac{n}{n'}$ für die Zahl $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$ und verwende auch Symbole $p,q,...$ für Elemente aus $\mathbb Q$ \\
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Gleichung $p \cdot x = q$ hat stets eindeutige Lösung: $x=q \cdot p^{-1}$ ($p,q \in \mathbb Q, p \neq 0$) \\
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\textbf{Frage:} $\mathbb N \subset \mathbb Z \to \mathbb Z \subset \mathbb Q$?
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\textbf{Antwort:} Sei $\mathbb Z_{\mathbb Q} := {\frac n 1 \in \mathbb Q \mid n \mathbb Z}, I:
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\mathbb Z \to \mathbb Z_{\mathbb Q}$ mit $I(n)=\frac n 1$ \\
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$\Rightarrow I$ ist Isomorphismus bez\"uglich Addition, Multiplikation und Ordnung. \\
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In diesem Sinn: $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q$ \\
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\begin{folg}
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Körper $\mathbb Q$ ist archimedisch angeordnet, d.h. f\"ur alle $q \in \mathbb Q \exists n \in \mathbb N: q<_{\mathbb Q} n.$
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\end{folg}
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\begin{proof}
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Sei $q = [\frac{k}{k'}]$ mit $k'>0$ \\
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$n := 0$ falls $k<0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{0}{k'}]=0=n$ \\
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||||
$n := k+1$ falls $k \ge 0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{k+1}{k'}]=n$ \QEDA
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||||
\end{proof}
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@ -1,56 +0,0 @@
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\chapter{Reelle Zahlen}
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\begin{description}
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\item[Frage:] Frage: algebraische Gleichung $a_0+a_1x+\dots+a_x^k=0\;(a_j\in \whole)$\\
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||||
i.A nur für $k=1$ lösbar (d.h. lin. Gl.)
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\end{description}
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\begin{exmpn}
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$x^2 - 2 = 0$ keine Lösung in $\ratio$. Angenommen es existiert eine Lösung $x = \frac{m}{n} \in \ratio$, o.B.d.A. höchstens eine der Zahlen $m,n$ gerade $\Rightarrow \frac{m^2}{n^2} = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2 \Rightarrow m$ gerade $\overset{m=2k}{\Rightarrow} 4k^2 = 2n^2 \Rightarrow 2n^2 \Rightarrow 2k^2 = n^2 \Rightarrow n$ gerade $\Rightarrow \lightning$.\QEDA
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||||
\end{exmpn}
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||||
\noindent Offenbar $1,4^2 < 2 < 1,5^2,\; 1,41^2 < 2 < 1,42^2,\;\dots,$ falls es $\sqrt{2}$ gibt, kann diese in $\ratio$ beliebig genau approximiert werden. Es folgt, dass $\ratio$ anscheinend "`Lücken"' hat.
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||||
\textbf{Fläche auf dem Einheitskreis} kann durch rationale Zahlen beliebig genau approximiert werden. Falls "`Flächenzahl"' $\pi$ existiert, ist das \textbf{nicht} Lösung einer algebraischen Gleichung (Lindemann 1882).\\
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||||
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\begin{description}
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\item[Ziel:] Konstruktion eines angeordneten Körpers, der diese Lücken füllt.
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\end{description}
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\section{Struktur von archimedisch angeordneten Körper (allg.)}
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$\field$ sei ein (bel.) Körper mit bel. Elementen $0, 1$ bzw. $0_K, 1_K$.
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\begin{satz}
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Sei $\field$ Körper. Dann gilt $\forall a,b \in \field$:
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||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}, nolistsep]
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||||
\item $0,1, (-a), b^{-1}$ sind eindeutig bestimmt
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||||
\item $(-0) = 0$, $1^{-1} = 1$
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||||
\item $-(-a) = a$, $(b^{-1})^{-1} = b$ $(b \neq 0)$
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||||
\item $-(a + b) = (-a) + (-b)$, $(a^{-1}b^{-1}) = (a^{-1}b^{-1})$ $(a,\neq 0)$
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||||
\item $-a = (-1)\cdot a$, $(-a)(-b)=ab$, $a \cdot 0 = 0$
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||||
\item $ab=0 \iff a=0 \text{ oder } b=0$
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||||
\item $a + x = b \text{ hat eindeutige Lösung } x = b + (-a) =:b-a$ Differenz\\
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||||
$ax=b \text{ hat eindeutige Lösung } x = a^{-1}b:=\frac{b}{a}$ Quotient
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{proof}
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\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
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||||
\item vgl. lin. Algebra
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\item betrachte $0 + 0 = 0$ bzw. $1 \cdot 1 = 1$
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||||
\item $(-a) + a = 0 \overset{komm}{\Rightarrow} a = -(-a)$ Rest analog
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||||
\item $a+b = ((-a) + (-b)) \Rightarrow$ Behauptung, Addition und Multiplikation analog
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||||
\item $a\cdot 0 = 0$ vgl. lin. Algebra\\
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||||
$1a + (-1)a = 0 \Leftrightarrow (1-1)a=0 \Rightarrow (-1)a=-1$, $(-a)(-b)=(-1)(-a)b\overset{3,5}{=}ab$
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||||
\item ($\Leftarrow$): nach 5)\\
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||||
($\Rightarrow$) sei $a\neq0$ (sonst klar) $\Rightarrow 0 = a^{-1}\cdot 0 \overset{ab=0}{=} a^{-1}ab = b \Rightarrow$ Beh.
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||||
\item $a+x=b \Leftrightarrow x = (-a) + a \neq x = (-a) + b$, für $ax=b$ analog \QEDA
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
Setze für alle $a, \dots a_k \in \field,n\in \natur_{\geq 1}$
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||||
\begin{itemize}
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\item[Vielfache] $n\cdot a$ (kein Produkt in $\field$!)
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||||
\item[Potenzen] $a^n=\prod_{k=1}^{n} a_k \text{für } n \in N_{\geq 1}$ damit $(-n)a:=n(-a) \text{, } 0_{\natur}a=0_{\natur} \text{ für } n\in\natur_{\geq1}\\
|
||||
a^{-n}=(a^-1)^n \text{, }a^{0_{\natur}}:=1_{\field} \text{ für } n \in \natur_{\geq 1}, a \neq 0\\
|
||||
beachte: 0^0 = (0_\natur)^{0_{\natur}} \text{ \emph{nicht} definiert!}$
|
||||
\item[Rechenregeln] $\forall\;a,b\in \field\text{, } m,n\in \whole \text{ (sofern Potenz definiert) } $
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||||
\end{itemize}
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||||
%TODO
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@ -1,27 +0,0 @@
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\chapter{Komplexe Zahlen (kurzer Überblick)}
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\begin{description}
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\item[Problem:] $x^2 = -1$ keine Lösung in $\real \Rightarrow$ Körpererweiterung $\real \to \comp$
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\item[Betrachte Menge der komplexen Zahlen] $\comp := \real \times \real = \real^2$
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||||
\item mit Addition und Multiplikation:\\
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||||
$(x,x^{'}) + (y,y^{'}) = (x+y, x^{'} + y^{'})$\\
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||||
$(x,x^{'}) \cdot (y,y^{'}) = (xy - x^{'}y^{'}, xy^{'}+x^{'}y)$
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||||
\item $\comp$ ist ein Körper mit (vgl. lin Algebra):\\
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||||
$0_{\field} = (0,0)$, $1_{\field} = (1,0)$, $-(x,y) = (-x,-y)$ and $(x,y)^{-1} = \bigg(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}\bigg)$\\
|
||||
mit imaginärer Einheit $\iota=(0,1)$\\
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||||
$z=x+\iota y$ statt $z=(x,y)$ mit $x:=\Realz(z)$ Realteil von $z$, $y:= \Imag(z)$ Imaginärteil von $z$\\
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||||
komplexe Zahl $z=x + \iota y$ wird mit reeller Zahl $x \in \real$ identifiziert\\
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||||
offenbar $\iota^2=(-1,0)=-1$, d.h. $z=\iota \in \comp$ und löst die Gleichung $z^2=-1$ (nicht eindeutig, auch $(-\iota)^2 = -1$)\\
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||||
Betrag $|\cdot|: \comp \to \real_{> 0}$ mit $|z|:= \sqrt{x^2+y^2}$ (ist Betrag/Länge des Vektors $(x,y)$)\\
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||||
es gilt:
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||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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||||
\item $\Realz(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}, \Imag(z) = \frac{z+\overline{z}}{2\iota}$
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||||
\item $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$
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||||
\item $|z| = 0 \iff z=0$
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||||
\item $|\overline{z}| = |z|$
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||||
\item $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
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||||
\item $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (Dreiecks-Ungleichung: Mikoswski-Ungleichung)
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||||
\end{enumerate}
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||||
\begin{proof}
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||||
SeSt \QEDA
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||||
\end{proof}
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\end{description}
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||||
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@ -1,132 +0,0 @@
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|||
\part{Metrische Räume und Konvergenz}
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||||
\begin{description}
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\item[Konvergenz:] grundlegender Begriff in Analysis %(benötigt Abstandsbegriff (Metrik))
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||||
\end{description}
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||||
\chapter{Grundlegen Ungleichungen}
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||||
\begin{satz}[Geometrisches und arithmetisches Mittel]\label{satz_7_1_geo_mittel}
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Seien $x_1, \dots, x_n \in \real_{>0}$\\
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||||
$\Rightarrow$
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||||
\begin{tabular}{ccc}
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||||
$ \sqrt[n]{x_1, \dots, x_n}$ & $=$ & $\frac{x_1, \dots, x_n}{n}$ \\
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||||
geoemtrisches Mittel & & arithmetisches Mittel \\
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||||
\end{tabular}\\
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||||
Gleichheit gdw $x_1 = \dots = x_n$.
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||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Zeige zunächst mit vollständiger Induktion\\
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||||
\begin{align} %% add /nonumber to have no numbering
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||||
\prod_{i=1}^{n}x_i= \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} x_i \geq n \text{, mit } x_1=\dots=x_n \label{7_1_ind}
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||||
\end{align}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item (IA) $n = 1$ klar
|
||||
\item (IS) (\ref{7_1_ind}) gelte für $n$, zeige (\ref{7_1_ind}) für $n+1$ d.h. $\prod_{i=1}^{n+1} = 1$, falls alle $x_i=1 \beha$ Sonst oBdA $x_n < 1$, $x_{n+1} > 1:$\\ mit $y_n:=x_n x_{n+1}$ gilt $x_1\cdot\dots\cdot x_{n-1}\cdot y_n=1$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Rightarrow x_1 + \dots + x_{n+1} &= \underbrace{x_1+\dots+x_{n-1}}_{\geq \text{ (IV)}} + y_n - y_n + x_n+x_{n+1}\\
|
||||
&\geq n + \underbrace{(x_{n+1} -1)}_{>n}\underbrace{(1-x_n)}_{>n}\\
|
||||
&\Rightarrow (\ref{7_1_ind}) \forall n \in \natur& \text{vollständige Induktion}\\
|
||||
\shortintertext{allgemein sei nun $g:=\big( \prod_{i=1}^{n} x_i \big)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow \prod_{i=1}^{n} \frac{x_i}{g} = 1$}
|
||||
&\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{g} \geq n \beha& \text{Satz \ref{7_1_ind}}\\
|
||||
\shortintertext{Aussage über Gleichheit nach nochmaliger Durchsicht.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\QEDA
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{satz}[allg. Bernoulli-Ungleichung]
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||||
Seien $\alpha, x \in \real$. Dann\\
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||||
\begin{align*}
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||||
1)\;(1+x)^{\alpha} &\geq 1 + \alpha x \; \forall x > -1, \alpha > 1\\
|
||||
2)\; (1+x)^{\alpha} &\leq 1+\alpha x \; \forall x \geq -1, 0 < \alpha < 1
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof} % fix alignment
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item[2)] Sei $\alpha =\frac{m}{n} \in \ratio_{<1}\text{, d.h. } m\leq n$
|
||||
\begin{align*}
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||||
&\Rightarrow (1+x)^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{(1+x)^m\cdot1^{n-m}}& \text{Definition} \\
|
||||
&\leq \frac{m(1+x)+(n-m)\cdot1}{n}&\\
|
||||
&=\frac{n + mx}{n} = 1 + \frac{m}{n}x \text{, für } \alpha \in \ratio \beha&
|
||||
\shortintertext{Sei $\alpha \in \real$ angenommen $(1+x)^{\alpha} > 1 + \alpha x$ ($x\neq 0$ sonst klar!)}
|
||||
& \Rightarrow \exists \in \ratio_{<1}
|
||||
\begin{cases*}
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||||
x > 0&$\alpha<q< \frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}$\\
|
||||
x < 0&$\alpha < q$
|
||||
\end{cases*} &\text{Satz 5.8 } \\
|
||||
&\Rightarrow 1+qx < (1+x)^{\alpha} \leq (1+x)^q \Rightarrow \lightning \beha& \text{Satz 5.20}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item[1)] Sei $1+\alpha x \geq 0$, sonst klar
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\Rightarrow \alpha x \geq -1 \overset{2)}{\Rightarrow} (1+\alpha x)^{\frac{1}{\alpha}}& \text{mit 2)}\\
|
||||
&\geq 1 +\frac{1}{\alpha}\alpha x = 1 +x &\\
|
||||
&\Rightarrow \text{ Behauptung und Gleichheit ist Selbststudium.}&
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
%
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{satz}[Young'sche Ungleichung]
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||||
Sei $p,q \in \real, p,q>1$ mit $\frac{1}{q} + \frac{1}{q} =1 \Rightarrow ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\;\forall a,b \geq 0$ (Gleichheit gdw $a^p = b^q$)\\
|
||||
Spezialfall($p=q=2$): $ab \geq \frac{a^2 + b^2}{2}$ gilt $\forall a,b \in \real$ (folgt direkt $0\leq (a-b)^2$)
|
||||
\end{satz}
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||||
|
||||
\begin{proof} %fix formating
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||||
\begin{align*}
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||||
\shortintertext{Sei $a,b > 0$ (sonst klar!)}
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||||
&\Rightarrow \big(\frac{b^q}{a^p}\big)^{\frac{p}{q}} = \big(1+\big(\frac{b^q}{a^p} -1\big)\big)^{\frac{p}{q}}&\\
|
||||
&\leq 1+ \frac{1}{q}\big(\frac{b^q}{a^p} -1\big)& \text{Bernoulli-Ungleichung}\\
|
||||
&=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{q}\frac{b^q}{a^p}-\frac{1}{q}\\
|
||||
&\Rightarrow a^p\frac{b}a^{\frac{p}{q}} = a^{p(1-\frac{1}{q})}b = ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}& \cdot a^p
|
||||
\end{align*}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Höldersche Ungleichung]
|
||||
Sei $p,q \in \real;\;p,q > 0$ mit $\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1$\\
|
||||
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} \vert x_i y_i\vert \leq \big( \sum_{i=1}^{n} \vert x_i \vert \big)^{\frac{1}{p}} \big( \sum_{i=1}^{n} \vert y_i \vert \big)^{\frac{1}{p}}\;\forall x,y \in \real$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Ungleichung gilt auch für $x_i,y_i \in \comp$ (nur Beträge gehen ein)
|
||||
\item für $p=q=2$ heißt Ungleichung Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Gleichheit gdw $\exists x \in \real x_i = \alpha y_i \text{ oder } y_i = \alpha x_i\;\forall i$)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Faktoren rechts seien $\mathcal{X} \text{ und } \mathcal{Y}$ d.h.
|
||||
\begin{align*}
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||||
\mathcal{X}^p &= \sum_{i=1}^{n} \vert x_i \vert^{\frac{1}{p}}, \mathcal{Y}^p = \sum_{i=1}^{n} \vert y_i \vert^{\frac{1}{q}}\text{, falls } \mathcal{X}=0&\\ &\Rightarrow x_i = 0\;\forall i \beha \text{, analog für } \mathcal{Y} =0&\\
|
||||
\shortintertext{Seien $\mathcal{X}, \mathcal{Y} > 0$}
|
||||
&\Rightarrow \frac{\vert x_i y_i \vert}{\mathcal{XY}} \leq \frac{1}{p}\frac{\vert x_i \vert^p}{\mathcal{X}^p}+ \frac{1}{q}\frac{\vert y_i \vert^q}{\mathcal{Y}^p} \forall i& \text{Satz 7.3}\\
|
||||
&\Rightarrow \frac{1}{\mathcal{XY}}\sum_{i=1}^{n}\vert x_i y_i \vert \leq \frac{1}{p}\frac{\mathcal{X}^p}{\mathcal{X}^p}+\frac{1}{q}\frac{\mathcal{Y}^p}{\mathcal{Y}^p} = 1 \beha & \cdot \mathcal{XY}
|
||||
\end{align*}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Minkowski-Ungleichung]
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||||
Sei $p\in \real, p \geq 1 \Rightarrow \big(\sum_{i=1}^{n} \vert x_i + y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} \leq \big(\sum_{i=1}^{n} \vert x_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} + \big(\sum_{i=1}^{n} \vert y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p}\forall x,y\in \real$
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Ungleichung gilt auch für $x_i, y_i \in \comp$ (vgl. Beweis)
|
||||
\item ist $\Delta$-Ungleichung für $p$-Normen (vgl. später)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
$p=1$ Beh. folgt aus $\Delta$-Ungleichung $\vert x_i + y_i\vert \overset{Satz 5.5}{\leq} \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$\\ $p>1$ sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $z_i:=\vert x_i + y_i\vert^{p-1}\forall i$
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||||
\begin{align*}
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||||
\mathcal{S}^p &= \sum_{i=1}^{n} \vert z_i \vert^q & q = \frac{p}{p-1}\\
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||||
& = \sum_{i=1}^{n} \vert +x_i+y_i \vert\cdot\vert z_i \vert^q & \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^{n} \vert x_i + y_i \vert + \sum_{i=1}^{n} \vert z_i \vert & \Delta\text{-Ungleichung}\\
|
||||
& \leq \big(\mathcal{X+Y}\big)\big(\sum_{i=1}^{n} \vert z_i\vert^q \big)^\frac{1}{p} & \text{Hölder-Ungleichung}\\
|
||||
& = \big(\mathcal{X+Y}\big)\mathcal{S}^\frac{p}{q} & \\
|
||||
& \beha & p=\frac{p}{q}+1
|
||||
\end{align*}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
%continue-+
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||||
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|
@ -1,306 +0,0 @@
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|||
\chapter{Metrische und normierte Räume}
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||||
\section{Metrische Räume}
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||||
\begin{mydefn}[Metrik]
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||||
Sei $X$ Menge und Abbildung $d: X \times X \to \real$ heißt \underline{Metrik} auf $X$ falls $\forall x,y,z \in X$
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$
|
||||
\item $d(x,y) = d(y,x)$ (Symmetrie)
|
||||
\item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ ($\Delta$-Ungleichung)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$(X,d)$ heißt metrischer Raum.
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
Man hat $d(x,y) = 0 \forall x,y \in X$, dann
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
0 &= d(x,x) = d(x,y) + d(y,x) & \text{a), c)}\nonumber\\
|
||||
& = 2d(x,y) \forall x,y & \text{b)}\nonumber\\
|
||||
\text{nach } & \text{b), c) } &\nonumber\\
|
||||
& \vert d(x,y) -d(z,y)\vert \leq d(x,y) \forall x,y,z \in X &
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}[Standardmetrik]\label{8_1_exmp_metrik}
|
||||
$d(x,y) := \vert x-y\vert$ ist Metrik auf $X=\real$ bzw. $X=\comp$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Eig. a), b), c) klar}& &\\
|
||||
\text{c) } \vert x-z\vert& \vert (x+y)-(x-z)\vert &\\
|
||||
&\leq \vert x+y\vert + \vert y+z\vert & \Delta\text{-Ungleichung für }\real\text{, }\comp\text{-Betrag}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}[diskrete Metrik]
|
||||
Diskrete Metrik auf beliebiger Menge $X$.\\
|
||||
\[d(x,y) =
|
||||
\begin{dcases*}
|
||||
0 & x = y\\
|
||||
1 & $x \neq y$
|
||||
\end{dcases*}\]
|
||||
ist offenbar eine Metrik.
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}[induzierte Metrik]
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum, $Y \subset X$\\
|
||||
$\Rightarrow (Y,d)$ ist metrischer Raum mit \emph{induzierter Metrik} $\tilde{d}(x,y):=d(x,y)\forall x,y \in Y$
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\section{Normierte Räume}
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||||
|
||||
wichtiger Spezialfall: normierte Vektorraum(VR)
|
||||
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||||
\begin{mydefn}[Norm]
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||||
Sei $X$ Vektorraum über $K=\real$ oder $K=\comp$.\\
|
||||
Abbildung $\Vert \cdot \Vert: X \to \real$ heißt \emph{Norm} auf $X$ falls $\forall x,y \in X, \forall \lambda \in \real$ gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $\Vert x\Vert = \Leftrightarrow x=0$
|
||||
\item $\Vert \lambda x\Vert = \vert \lambda \vert \Vert x\Vert$ (Homogenität)
|
||||
\item $\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert + \Vert y\Vert$ ($\Delta$-Ungleichung)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
$(X,\Vert \cdot\Vert)$ heißt \emph{normierter Raum}.
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{align*}
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||||
\text{Metrik} &\leftarrow \text{Norm}&\\
|
||||
\text{Abbildung} & \not \rightarrow \text{VR, Abstand } x,0\\
|
||||
\text{man hat } \Vert x \Vert &\leq 0 \forall x \in X \text{, denn } 0 = \Vert x-x\Vert \leq \Vert x\Vert + \Vert -x\Vert = 2\Vert x\Vert & \text{a), c), b)}\\
|
||||
\end{align*}
|
||||
Analog Satz 5.5 folgt\\
|
||||
\begin{align}
|
||||
\vert \Vert x \Vert - \Vert y \Vert\vert &\leq \Vert x-y\Vert \forall x,y \in X
|
||||
\end{align}
|
||||
$\Vert \cdot\Vert: X \to \real_{\geq0}$ heißt \emph{Halbraum} falls nur b), c) gelten analog Beispiel \ref{8_1_exmp_metrik} folgt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}
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||||
Sei $(X,\Vert\cdot \Vert)$ normierter Raum, dann $X$ metrischer Raum mit Metrik $d(x,y):=\Vert x-y \Vert\forall x,y \in X$.
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||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}\label{8_5_exmp_Norm}
|
||||
$X=\real^n$ ist Vektorraum über $\real$, Elemente in $\real^n$\\ $x=(x_1,\dots,x_n), y=(y_1, \dots, y_n)$,\\ man hat unter anderem folgende Normen auf $\real^n$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
p\text{-Norm}: \vert x \vert_p& := \Bigg( \sum_{i=0}^{n} \vert x_i \vert^p \Bigg)^{\frac{1}{p}} & (1\leq p < \infty)\\
|
||||
\text{Maximum-Norm}: \vert x \vert_p& := \max\{\vert x_i \vert \mid i=1,\dots n\} &\\
|
||||
\text{a), b) jeweils klar, c) für } &
|
||||
\begin{cases*}
|
||||
\vert \cdot \vert_p & \text{ist Minkowski-Ungleichung}\\
|
||||
\vert \cdot \vert_{\infty} & \text{wegen } $\vert x_i + y_i \vert \leq \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$
|
||||
\end{cases*}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Standardnorm in $\real^n$:
|
||||
$\vert \cdot \vert = \vert \cdot \vert_{p=2}$ heißt \emph{eukldische Norm}.\\
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Skalarprodukt]
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||||
$\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^{n}$ heißt \emph{Skalarprodukt} (inneres Produkt) von $x,y \in \real^n$ offenbar $\langle x,y \rangle = \vert x \vert_2 \forall x \in comp$ nur für euklidische Räume gibt es Skalarprodukt (nur für euklische Norm!).\\
|
||||
Man hat $\vert \langle x,y\rangle \vert \leq \vert x \vert_2 \cdot \vert y \vert_2 \forall x,y \in \real^n$ Cauchy-Schwarsche Ungleichung (CSU), denn
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\vert \langle x,z \rangle \vert &= \vert \sum_{i=1}^{n} x_i y_i \vert \leq \sum_{i=1}^{n}\vert x_i y_i\vert & \Delta\text{-Ungleichung in } \real\\
|
||||
& \leq \vert x \vert_2 \cdot\vert y \vert_2 & \text{Hölder-Ungleichung mit } p=q=2
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
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||||
$X=\comp^n$ ist Vektorraum über $\comp$, $x=(x_1,\dots,x_n) \in\comp^n, x_i \in \comp$\\
|
||||
analog zum Bsp. \ref{8_5_exmp_Norm} sind $\vert \cdot \vert_{p} \text{ und } \vert \cdot \vert_{\infty}$ Normen auf $\comp^n$\\
|
||||
$\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^{n} \bar{x}_i y_i\forall x_i, y_i \in \comp$ heißt \emph{Skalarprodukt} von $x,y \in \comp^n$ (beachte $\langle x,y\rangle \in \comp, \langle x,x \rangle=\vert x \vert^2$) \\
|
||||
$\overset{\text{wie oben}}{\Rightarrow} \vert \langle x,y\rangle \vert \leq \vert x \vert\cdot \vert y \vert \forall x,y \in \comp^n$
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Orthogonalität]
|
||||
$x,y \in \real^n(\comp^n)$ heißen \emph{orthogonal} falls $\langle x,y\rangle =0$
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
Sei $M$ beliebige Menge, $f: M \to \real$\\
|
||||
$\Vert f\Vert:= \sup\{\vert f(x) \vert \mid x\in M\}$. Dann ist \\
|
||||
\[\mathcal{B}(M):= \{f: M \to \real \mid \Vert f\Vert < \infty\}\]
|
||||
\emph{Menge der beschränkte Funktionen} auf $M$\\
|
||||
$\mathcal{B}(M)$ ist Vektorraum auf $\real$
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item $((f+g)(x) = f(x) + g(x)$
|
||||
\item $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$
|
||||
\item Nullelement ist Nullfunktion $f(x)=0 \forall x \in M$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\shortintertext{$\Vert \cdot\Vert$ ist Norm auf $\mathcal{B}(M)$, denn a), b) klar}\\
|
||||
\Vert f+g\Vert&:=\sup\{\vert f(x)+g(x) \vert\mid x \in M\}&\\
|
||||
&\leq \sup\{\vert f(x) \vert + \vert g(x) \vert\mid x\in M \} & \Delta\text{-Ungleichung in }\real\\
|
||||
&\leq \sup\{\vert f(x) \vert\mid x \in M \} + \sup\{\vert g(x) \vert\mid x \in M \} & \text{Übungsaufgabe}\\
|
||||
&=\Vert f\Vert + \Vert g\Vert
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
$\Vert x \Vert:=\vert x_1 \vert$ auf $X=\real^n \to$ kein Nullvektor ``nur'' Halbnorm (später wichtige Halbnorm in Integraltheorie). Normen $\Vert \cdot \Vert_1,\;\Vert \cdot \Vert_2$ auf $X$ heißen äquivalent falls
|
||||
\[
|
||||
\exists \alpha,\beta > 0\;\alpha \vert x \vert_1 \leq \vert x \vert_2 \leq \beta\vert x \vert_1\qquad\forall x \in X
|
||||
\]
|
||||
(Indizes entsprechen hier keinem p, sondern es sind hier nur beliebige unterschiedliche Normen gemeint.)
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\[
|
||||
\vert x \vert_{\infty} \leq \vert x \vert_p \leq \sqrt[p]{n}\vert x \vert_{\infty}\qquad \forall x \in \real^n,\;p\geq 1\\
|
||||
\]
|
||||
$\vert \cdot \vert_\infty$ und $\vert \cdot \vert_\infty$ sind äquivalent $\forall p \geq 1$
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\vert x \vert_{\infty} &=\big(\max \{ \vert x_j \vert, \vert \dots \}^p\big)^\frac{1}{p} \leq \bigg(\sum_{j=1}^{n} \vert x_j \vert^p \bigg)^\frac{1}{p} = \vert x \vert_p\\
|
||||
\vert x \vert_{\infty} &\leq \big( n\cdot \max\{ \vert x_j \vert, \vert \dots \}^p\big)^\frac{1}{p} \leq \bigg(\sum_{j=1}^{n} \vert x_j \vert^p \bigg)^\frac{1}{p} = \sqrt[p]{n}\vert x \vert_{\infty}
|
||||
\end{align*}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{folg}
|
||||
$\vert \cdot \vert_p,\;\vert \cdot \vert_q$ äquivalent auf $\real^n\;\forall p,q \geq 1$ (siehe Aufgabe 45b))
|
||||
\end{folg}
|
||||
|
||||
\section{Begriffe im metrischen Raum}
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||||
|
||||
\begin{mydefn}[Kugel im metrischen Raum]
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $B_r(a):= \{ a \in X \mid d(a,x) <r \}$ heißt offene \underline{Kugel} um $a$ mit Radius $r>0$
|
||||
\item $B_r[a]:= \overline{B}_r(a) = \{ a \in X \mid d(a,x) \leq r \}$ heißt abgeschlossene \emph{Kugel} um $a$ mit Radius $r>0$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
Hinweis: muss keine übliche Kugel sein z.B. $\{x\in \real^n \mid d(0,x) < 1\}$ ist Quadrat $B_r(0)$.
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Menge $M\subset X$ \emph{offen} falls $\forall x \in M\;\exists \epsilon > 0\; B_{\epsilon}(x) \subset M$
|
||||
\item Menge $M$ offen falls $X\setminus M$ abgeschlossen
|
||||
\item $U \subset X$ Umgebung von $M \subset X$ falls $\exists V \subset X$ offen mit $M \subset V \subset U$
|
||||
\item $x \in M$ \emph{innerer Punkt} von $M$ falls $\exists \epsilon >0\colon B_{\epsilon}(x) \subset M$
|
||||
\item $x \in M$ \emph{äußerer Punkt} von $M$ falls $\exists \epsilon >0\colon B_{\epsilon}(x) \subset X\setminus M$
|
||||
\item $x \in X$ \emph{Randpunkt} von $M$ falls $x$ weder innerer noch äußerer Punkt ist
|
||||
\item $\inter M:=$ Menge der \emph{inneren} Punkte von $M$ heißen inneres von $M$
|
||||
\item $\ext M:=$ Menge der \emph{äußeren} Punkte von $M$ heißen äußeres von $M$
|
||||
\item $\partial M:=$ Menge der Randpunkte von $M$ heißt \emph{Rand} von $M$
|
||||
\item $\cl M:= \overline{M}:=\overline{\inter M} \cup \partial M$ heißt Abschluss von $M$ (closure)
|
||||
\item $M \subset X$ \emph{beschränkt} falls $\exists a \in X, r >0\; M \subset B_r(a)$
|
||||
\item $x \in X$ \emph{Häufungskt (Hp)} von $M$ falls $\forall \epsilon > 0$ enhält \emph{$B_{\epsilon}(x)$ unendlich viele} Elemente aus $M$
|
||||
\item $x \in M$ \emph{isolierter} Punkt von $M$ falls $x$ kein Hp von $M$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
|
||||
\begin{exmpn}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item Sei $X=\real$ mit $d(x,y)=\vert x-y \vert$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $(a,b),(-\infty,a)$ offen
|
||||
\item $[a,b], (-\infty, b]$ abgeschlossen
|
||||
\item $[a,b)$ weder abgeschlossen noch offen, aber beschränkt
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Es gilt:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\inter(a,b) = \inter[a,b] = (a,b)$
|
||||
\item $\ext(a,b) = \ext[a,b] = (-\infty,a) \cup (b, \infty)$
|
||||
\item $\partial(a,b) = \partial[a,b] = \{a,b\}$
|
||||
\item $\cl(a,b) = \cl[a,b]=[a,b]$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Speziell:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\ratio$ weder offen noch abgeschlossen in $\real$, da $\inter \ratio =\emptyset, \ext \ratio = \emptyset, \partial \ratio = \real$
|
||||
\item $\real \setminus \emptyset$ ist offen
|
||||
\item $\natur \text{ in } \real$ abgeschlossen und nicht beschränkt
|
||||
\item $[0,3]$ ist Umgebung von $[1,2], B_r(a)$ ist Umgebung von $a$ (eigentlich $\{a\}$)
|
||||
\item $a$ ist Hp von $(a,b),[a,b]$ für $a<b$, aber nicht von $[a,a]$ aller $a\in \real$ sind Hp von $\ratio$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item für $X=\real$ mit diskreter Metrik: $x\in M \Rightarrow B_{\frac{1}{2}}(x) \{x\} \Rightarrow$ alle $M \subset \real$ offen und abgeschlossen
|
||||
\item für $X=\real^n$ mit $\metric$ vgl. Übungsaufgabe
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exmpn}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $B_r(a)$ offene Menge $\forall \epsilon >0,a\in X$
|
||||
\item $M\subset X$ beschränkt $\Rightarrow \forall a \in X \exists r>0\colon M\subset B_r(a)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Sei $b \in B_r(a),\epsilon := r - a-d(a,b)>0$, dann gilt für beliebige $x \in B_{\epsilon}(b)$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
d(a,x) &\leq d(a,b) + d(b,x) & \Delta\text{-Ungleichung mit } b\\
|
||||
&<d(a,b)+r-d(a,b)&\\
|
||||
&=r \Rightarrow B_{\epsilon}(b) \subset B_{\epsilon}(a) \beha &
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Sei $M\subset B_{\rho}(b),a\in X$ beliebig, $r:=\rho + d(a,b),m\in M$\\
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Rightarrow d(m,a) &\leq d(m,b)+d(b,a)&\\
|
||||
&<\rho + d(b,a) = r \Rightarrow m\in B_{r}(a)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Offene Kugeln sind Topologie auf X]\label{8_13_satz_open_topo}
|
||||
Sei $(X,d)$ metrische Raum, $\tau:=\{ U \subset X \mid \text{ offen} \}$. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $X,\emptyset\in\tau$
|
||||
\item $\bigcap_{i=1}^{n} U_i \in \tau$ falls $U_i\in \tau \text{ für } i = 1, \dots, n$ (endlich viele)
|
||||
\item $\bigcup_{U\in\tau^{\prime}} U \in \tau$ falls $\tau^{\prime} \subset \tau$ (beliebig viele)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $X$ offen, da stets $B_{\epsilon}(x) \subset X$, Definition ``offen'' wahr für $\emptyset$
|
||||
\item Sei $X \in \bigcap_{i=0}^{n} U_i \Rightarrow \exists \epsilon_i > 0 \colon B_{\epsilon_i}(x) \subset U_i \forall i, \epsilon = \min\{\epsilon_1, \dots \epsilon_n\}$\\
|
||||
$\Rightarrow B_{\epsilon}(x) \in \bigcap_{i=0}^{n} U_i \beha$
|
||||
\item Sei $x \in \bigcup_{U\in\tau^{\prime}} U \Rightarrow \exists \tilde{U}\in \tau^{\prime}\colon x \in \tilde{U} \overset{\tilde{U} \text{ offen}}{\Rightarrow}\exists \epsilon > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset \tilde{U} \in \bigcup_{U\in\tau^{\prime}} U \beha$.
|
||||
\end{enumerate}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Hinweis: Durchschnitt beliebiger vieler offener Menge ist nicht offen!
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
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||||
$\bigcap_{n\in \natur} (-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}) = [0,1]$
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
Komplementbildung im Satz \ref{8_13_satz_open_topo} liefert:
|
||||
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||||
\begin{folg}[Abgeschlossene Kugeln sind Topologie auf X]
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum und $\sigma :=\{ V \subset X \mid V \text{ abgeschlossen}\}$. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $X,\emptyset\in\sigma$
|
||||
\item $\bigcup_{i=1}^{n} U_i \in \sigma$ falls $U_i\in \sigma \text{ für } i = 1, \dots, n$ (endlich viele)
|
||||
\item $\bigcap_{U\in\sigma^{\prime}} U \in \sigma$ falls $\sigma^{\prime} \subset \sigma$ (beliebig viele)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{folg}
|
||||
|
||||
\begin{mydefn}[Topologie]
|
||||
Sei $X$ Menge und $\tau$ Menge von Teilmengen von $X$ (d.h. $\tau \in \powerset(X)$)\\
|
||||
$\tau$ ist Topologie und $(X, \tau)$ topologischer Raum, falls 1), 2), 3) aus Satz \ref{8_13_satz_open_topo} gelten.
|
||||
\end{mydefn}
|
||||
\begin{remark}
|
||||
Menge $U\in \tau$ heißen dann offen (per Definition!). Folglich oben definierte offene Mengen in metrischen Räumen bilden ein Spezialfall für eine Topologie. Beachte! In metrischem Raum $(X,d)$ ist $\tilde{\tau} = \{\emptyset, X\}$ stets eine Topologie für beliebige Menge $X$).
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Seinen $\Vert \cdot\Vert_1, \Vert \cdot\Vert_2$ äquivalente Normen auf $X$ und $U\subset X$. Dann\\
|
||||
$U$ offen bezüglich $\Vert \cdot\Vert_1 \Leftrightarrow U \text{ offen bezüglich } \Vert \cdot\Vert_2$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Übungsaufgabe.\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum und $M\subset X$. Dann
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $\inter M, \ext M$ offen
|
||||
\item $\partial M, \inter M$ abgeschlossen
|
||||
\item $M \leq \inter M$ falls $M$ offen, \\
|
||||
$M= \cl M$ falls $M$ abgeschlossen
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item Seien $x \in \inter M$, d.h. innere Punkte von $M \Rightarrow \exists \epsilon > 0 \colon B_{\epsilon}(x) \subset M$, da $B_{\epsilon}(x)$ offene Menge, ist jedes $y \in B_{\epsilon}(x)$ eine Teilemenge von $\inter M$ $\Rightarrow B_{\epsilon}(x) \subset M \beha$ ($\ext M$ analog)
|
||||
\item $\partial X\setminus (\inter M \cup \ext M)$ ist abgeschlossen, $\cl M = X\setminus\ext M$ abgeschlossen
|
||||
\item $M$ offen: es ist stets $\int M$ und da $M$ offen $M \subset \inter M \beha$ $\Rightarrow X\setminus M = \inter(X\setminus M) = \ext M = X \setminus \cl M \beha$.
|
||||
($M$ abgeschlossen analog)
|
||||
\end{enumerate}\QEDA
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
|
@ -1,23 +0,0 @@
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|||
\chapter{Konvergenz}
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||||
Sei $(X,d)$ metrischer Raum.
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||||
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||||
\textbf{Ab jetzt alles ohne Bweise, folgen später.}
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||||
\begin{mydef}[konvergente Folge, Grenzwert]
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||||
Folge $\{a_n\}_{n\in\natur}$ (d.h. $a_n \in X$) heißt konvergent falls $a\in X$ existiert mit $\forall \epsilon > 0\exists n_0 \in \natur\colon d(a_n,a) <\epsilon \quad \forall n \geq n_0$. Dann heißt $a$ Grenzwert (Limes).\\ Schreibe $a = \lim_{n\to \infty} a_n$ bzw. $a_n \longrightarrow a$ für $n \longrightarrow \infty$ oder $a_n \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} a$.
|
||||
\end{mydef}
|
||||
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||||
Sprich: ``'Für jede Kugel um Grenzwert befinden sich ab einem gewissen Index fasst alle FOlgenglieder innerhalb der Kugel.'' Folge $\{a_n\}$ heißt divergent, falls sie nicht konvergent ist.
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||||
|
||||
\begin{folg}
|
||||
Für Folge $\{a_n\}$ gilt: $\forall > 0\quad a = \lim_{n\to \infty} a_n \Leftrightarrow$ jede Kugel $B_{\epsilon}(a)$ enthält fast alle Folgeglieder $a_n$, das heißt alle $a_n$ bis auf endlich viele.
|
||||
\end{folg}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}[Konstante Folge]
|
||||
Sei $\{a_n\} = \{a\}_{n\in \natur}$ (das heißt $a_n = a \forall n$) $\Rightarrow d(a_n,a) = d(a,a) = 0 < \epsilon \forall \epsilon > 0, n \in \natur \Rightarrow a = \lim_{n\to \infty} a_n$.
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
||||
\begin{exmp}
|
||||
|
||||
$\forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \natur\colon \frac{1}{n} = \vert \frac{1}{n} - 0 \vert = d(\frac{1}{n},0)<\epsilon \forall n \geq n_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
|
||||
\end{exmp}
|
||||
|
|
@ -1,2 +0,0 @@
|
|||
\chapter{Vollständigkeit}
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||||
%TODO
|
||||
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@ -1,2 +0,0 @@
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\chapter{Kompaktheit}
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%TODO
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@ -1,2 +0,0 @@
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\chapter{Reihen}
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%TODO
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@ -1,3 +0,0 @@
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\part{Funktionen und Stetigkeit}
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\chapter{Funktionen}
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%TODO
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||||
Binary file not shown.
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@ -1,151 +0,0 @@
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\documentclass[12pt, oneside]{book}
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||||
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=4cm,bindingoffset=5mm]{geometry}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage{paralist}
|
||||
%\usepackage{booktabs}
|
||||
%\usepackage{graphicx}
|
||||
\usepackage[ngerman]{babel}
|
||||
\usepackage{hyperref} % link chapters over name and page number
|
||||
% math/enviroments
|
||||
\usepackage{mathtools,bm}
|
||||
\usepackage{stmaryrd} % Widerspruch symbol
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{framed}
|
||||
\usepackage[framed, hyperref, thmmarks, amsmath]{ntheorem}
|
||||
\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed}
|
||||
\usepackage[autostyle]{csquotes}
|
||||
%\usepackage{lipsum}
|
||||
\usepackage{enumerate}
|
||||
\usepackage{enumitem} % compress enumerate env
|
||||
\setlist{nolistsep}
|
||||
\usepackage{titlesec} % remove page break
|
||||
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||||
%theorem enviroment
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||||
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||||
%theorem
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||||
\newframedtheorem{theorem}{Theorem}[chapter]
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||||
% example
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||||
\theoremstyle{break}
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||||
\theorembodyfont{\upshape} % no italics!
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||||
\newtheorem*{exmp}{Beispiel}
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||||
\theoremstyle{break}
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||||
\theorembodyfont{\upshape}
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||||
\newtheorem{exmpn}[theorem]{Beispiel}
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||||
% defintion
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||||
\theorembodyfont{\upshape}
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||||
\newtheorem{mydef}[theorem]{Definition}
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||||
% definition no numbering
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||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem*{mydefn}{Definition}
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||||
% corollary
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem{folg}[theorem]{Folgerung}
|
||||
% remark
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem*{remark}{Bemerkung}
|
||||
% satz
|
||||
\newtheorem{satz}[theorem]{Satz}
|
||||
% beweis
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem*{proof}{Beweis}
|
||||
% lemma
|
||||
\theorembodyfont{\upshape}
|
||||
\newtheorem{lem}[theorem]{Lemma}
|
||||
%\let\olddefinition\lem
|
||||
%\renewcommand{\lem}{\olddefinition\normalfont}
|
||||
|
||||
%General newcommands!
|
||||
\newcommand{\comp}{\mathbb{C}} % complex set C
|
||||
\newcommand{\real}{\mathbb{R}} % real set R
|
||||
\newcommand{\whole}{\mathbb{Z}} % whole number Symbol
|
||||
\newcommand{\natur}{\mathbb{N}} % natural number Symbol
|
||||
\newcommand{\ratio}{\mathbb{Q}} % rational number symbol
|
||||
\newcommand{\field}{\mathbb{K}} % general field for the others above!
|
||||
\newcommand{\diff}{\mathrm{d}} % differential d
|
||||
\newcommand{\s}{\,\,} % space after the function in the intergral
|
||||
\newcommand{\cont}{\mathcal{C}} % Contour C
|
||||
\newcommand{\fuk}{f(z) \s\diff z} % f(z) dz
|
||||
\newcommand{\diffz}{\s\diff z}
|
||||
\newcommand{\subint}{\int\limits} % lower boundaries for the integral
|
||||
\newcommand{\poly}{\mathcal{P}} % special P - polygon
|
||||
\newcommand{\defi}{\mathcal{D}} % D for the domain of a function
|
||||
\newcommand{\cover}{\mathcal{U}} % cover for a set
|
||||
\newcommand{\setsys}{\mathcal{M}} % set system M
|
||||
\newcommand{\setnys}{\mathcal{N}} % set system N
|
||||
\newcommand{\zetafunk}{f(\zeta)\s\diff \zeta} %f(zeta) d zeta
|
||||
\newcommand{\ztfunk}{f(\zeta)} % f(zeta)
|
||||
\newcommand{\bocirc}{S_r(z)}
|
||||
\newcommand{\prop}{\,|\,}
|
||||
\newcommand*{\QEDA}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}} %tombstone
|
||||
\newcommand{\emptybra}{\{\varnothing\}} % empty set with set-bracket
|
||||
\newcommand{\realpos}{\real_{>0}}
|
||||
\newcommand{\realposr}{\real_{\geq0}}
|
||||
\newcommand{\naturpos}{\natur_{>0}}
|
||||
\newcommand{\Imag}{\operatorname{Im}} % Imaginary symbol
|
||||
\newcommand{\Realz}{\operatorname{Re}} % Real symbol
|
||||
\newcommand{\norm}{\Vert \cdot \Vert}
|
||||
\newcommand{\metric}{\vert \cdot \vert}
|
||||
\newcommand{\foralln}{\forall n} %all n
|
||||
\newcommand{\forallnset}{\forall n \in \natur} %all n € |N
|
||||
\newcommand{\forallnz}{\forall n \geq _0} % all n >= n_0
|
||||
\newcommand{\conjz}{\overline{z}} % conjugated z
|
||||
\newcommand{\tildz}{\tilde{z}} % different z
|
||||
\newcommand{\lproofar}{"`$ \Lightarrow $"'} % "`<="'
|
||||
\newcommand{\rproofar}{"`$ \Rightarrow $"'} % "`=>"'
|
||||
\newcommand{\beha}{\Rightarrow \text{ Behauptung}}
|
||||
\newcommand{\powerset}{\mathcal{P}}
|
||||
|
||||
|
||||
% Math Operators
|
||||
\DeclareMathOperator{\inter}{int} % Set of inner points
|
||||
\DeclareMathOperator{\ext}{ext} % Set of outer points
|
||||
\DeclareMathOperator{\cl}{cl} % Closure
|
||||
|
||||
% Hack page break on part page.
|
||||
|
||||
\titleclass{\part}{top}
|
||||
\titleformat{\part}[display]
|
||||
{\normalfont\huge\bfseries}{\centering\partname\ \thepart}{20pt}{\Huge\centering}
|
||||
\titlespacing*{\part}{0pt}{50pt}{40pt}
|
||||
\titleclass{\chapter}{straight}
|
||||
\titleformat{\chapter}[display]
|
||||
{\normalfont\huge\bfseries}{\chaptertitlename\ \thechapter}{20pt}{\LARGE}
|
||||
\titlespacing*{\chapter} {0pt}{50pt}{40pt}
|
||||
|
||||
\setlength\parindent{0pt} % noindent whole file!
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\title{\textbf{Analysis 1. Semester (WS2017/18)}}
|
||||
\author{Dozent: Prof. Dr. Friedemann Schuricht\\
|
||||
Kursassistenz: Moritz Schönherr}
|
||||
\date{Stand: \today}
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||||
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||||
\frontmatter
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||||
\maketitle
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||||
\tableofcontents
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||||
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||||
\mainmatter
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||||
% PArt 1 Grundlagen der Mathematik
|
||||
\include{./TeX_files/chapter01_grundbegriffe_aus_mengenlehre_und_logik}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter02_aufbau_einer_math_theorie}
|
||||
% Part 2 Zahlenbereiche
|
||||
\include{./TeX_files/chapter03_nat_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter04_ganze_u_rat_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter05_reelle_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter06_komplexe_zahlen}
|
||||
% Part 3 Metrische Räume und Konvergenz
|
||||
\include{./TeX_files/chapter07_grundl_ungleichungen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter08_metr_raeume}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter09_konvergenz}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter10_vollst}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter11_kompaktheit}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter12_reihen}
|
||||
% Part 4 Funktionen und Stetigkeit
|
||||
\include{./TeX_files/chapter13_funktionen}
|
||||
|
||||
\backmatter
|
||||
% bibliography, glossary and index would go here.
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
0
1. Semester/LAAG_Kraehmer/TeX_files/1.tex
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1. Semester/LAAG_Kraehmer/TeX_files/1.tex
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1. Semester/LAAG_Kraehmer/TeX_files/Vorwort.tex
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1. Semester/LAAG_Kraehmer/Vorlesung LAAG.pdf
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BIN
1. Semester/LAAG_Kraehmer/Vorlesung LAAG.pdf
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1. Semester/LAAG_Kraehmer/Vorlesung LAAG.tex
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1. Semester/LAAG_Kraehmer/Vorlesung LAAG.tex
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@ -0,0 +1,36 @@
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|||
\documentclass[ngerman,a4paper,order=firstname]{../../texmf/tex/latex/mathscript/mathscript}
|
||||
\usepackage{../../texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators}
|
||||
|
||||
\title{\textbf{Lineare Algebra und analytische Geometrie WS2018/19}}
|
||||
\author{Dozent: Prof. Dr. Ulrich Krähmer}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\pagenumbering{roman}
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
|
||||
\maketitle
|
||||
|
||||
\hypertarget{tocpage}{}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\bookmark[dest=tocpage,level=1]{Inhaltsverzeichnis}
|
||||
|
||||
\pagebreak
|
||||
\pagenumbering{arabic}
|
||||
\pagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\chapter*{Vorwort}
|
||||
\input{./TeX_files/Vorwort}
|
||||
|
||||
\chapter{1}
|
||||
\input{./TeX_files/1}
|
||||
\include{./TeX_files/2}
|
||||
|
||||
\part*{Anhang}
|
||||
\addcontentsline{toc}{part}{Anhang}
|
||||
\appendix
|
||||
|
||||
%\printglossary[type=\acronymtype]
|
||||
|
||||
\printindex
|
||||
|
||||
\end{document}
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43
1. Semester/PROG/TeX_files/Allgemeines.tex
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43
1. Semester/PROG/TeX_files/Allgemeines.tex
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|
@ -0,0 +1,43 @@
|
|||
Eine Programmiersprache ist lexikalisch, syntaktisch und semantisch eindeutig definiert. Eine \begriff{Compiler} übersetzt die \begriff{Programmiersprache} in \begriff{Maschinensprache}. Ein \begriff{Interpreter} arbeitet das Programm dann ab. Ein \begriff{Laufzeitsystem} stellt grundlegende Operationen und Funktionen zur Verfügung.
|
||||
|
||||
\section{Bereiche der Informatik}
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||||
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||||
Die Informatik untergliedert sich in 4 Bereiche:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Technische Informatik
|
||||
\item Praktische Informatik
|
||||
\item Theoretische Informatik
|
||||
\item Angewandte Informatik
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Die \begriff[Informatik!]{Technische Informatik} beschäftigt sich mit der Konstruktion der Hardware, zum Beispiel der Datenleitungen, um Informationen durch das Internet zu transportieren. Wichtige Firmen sind hier: Intel, Globalfoundries und Infineon.
|
||||
|
||||
Die \begriff[Informatik!]{Praktische Informatik} beschäftigt sich mit der Software, also Betriebssystem, Compiler, Interpreter und so weiter. In alltäglicher Software findet sich rund 1 Fehler in 100 Zeilen Quelltext. In wichtiger Software, also Raketen, Betriebssysteme, ..., ist es nur 1 Fehler pro 10.000 Zeilen Code.
|
||||
|
||||
Die \begriff[Informatik!]{Theoretische Informatik} beschäftigt sich mit Logik, formalen Sprachen, der Automatentheorie, Komplexität von Algorithmen, ...
|
||||
|
||||
Die \begriff[Informatik!]{Angewandte Informatik} beschäftigt sich mit der Praxis, dem Nutzer, der Interaktion zwischen Mensch und Maschine, ...
|
||||
|
||||
\section{Maßeinheiten und Größenordnungen}
|
||||
|
||||
Ein \begriff{bit} ist ein Kunstwort aus "'binary"' und "'digit"'. Es kann nur 2 Werte speichern: 0 und 1
|
||||
|
||||
Ein \begriff{nibble} ist eine Hexadezimalziffer, bündelt also 4 bits und kann damit 16 Werte annehmen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F.
|
||||
|
||||
Ein \begriff{byte} bündelt 2 nibble, also 8 bit. Er ist die gebräuchlichste, direkt addressierbare, kleinste Speichereinheit. Weitere Speichergrößen sind:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{c|c||c|c}
|
||||
\textbf{Name} & \textbf{Anzahl byte} & \textbf{Name} & \textbf{Anzahl byte} \\
|
||||
\hline
|
||||
1 KB & $10^3$ & 1 KiB & $2^{10}=1.024$ \\
|
||||
1 MB & $10^6$ & 1 MiB & $2^{20}=1.048.576$ \\
|
||||
1 GB & $10^9$ & 1 GiB & $2^{30}=1.073.741.824$ \\
|
||||
1 TB & $10^{12}$ & 1 TiB & $2^{40}$ \\
|
||||
1 PB & $10^{15}$ & 1 PiB & $2^{50}$ \\
|
||||
1 EB & $10^{18}$ & 1 EiB & $2^{60}$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Der \begriff{ROM} ("'read-only-memory"') speichert wichtige Informationen auch ohne Strom, wie zum Beispiel die Uhrzeit, Informationen über die Festplatte, ... Er ist nicht mehr änderbar, außer durch Belichtung.
|
||||
|
||||
Der \begriff{RAM} ("'random-access-memory"') ermöglicht den Zugriff auf alle Adressen, insbesondere im Hauptspeicher.
|
||||
62
1. Semester/PROG/TeX_files/Ausdruecke.tex
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62
1. Semester/PROG/TeX_files/Ausdruecke.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,62 @@
|
|||
\section{Ausdrücke}
|
||||
|
||||
\begin{*anmerkung}
|
||||
Beliebtes Klausuren-Thema!
|
||||
\end{*anmerkung}
|
||||
|
||||
Ein Ausdruck (= expression) wird in Fortran folgendermaßen ausgewertet:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Konstanten und Objekte werden ausgewertet
|
||||
\item geklammerte Ausdrücke werden von innen nach außen ausgewertet
|
||||
\item Funktionen werden aufgerufen
|
||||
\item Operatoren höherer Priorität werden vor Operatoren niedrigerer Priorität behandelt
|
||||
\item sind die Prioritäten gleich, so wird von links nach rechts gearbeitet (Ausnahme: \texttt{**})
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Ein \begriff{Ausdrucksbaum} zeigt auf, wie in Fortran Ausdrücke ausgewertet werden: Für den Ausdruck (auch Infix-Notation)
|
||||
\begin{align}
|
||||
\texttt{logo = i / j / x >= y .OR. - y / z < - x ** 3 ** 2 .AND. char <= 'p' // 'eter'}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
sieht der Baum folgendermaßen aus:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}[level/.style={sibling distance=60mm/#1}]
|
||||
\node[circle,draw] (root) {\texttt{.OR.}}
|
||||
child {node[circle,draw] (a) {\texttt{>=}}
|
||||
child {node[circle,draw] (b) {\texttt{/}}
|
||||
child {node[circle,draw] (c) {\texttt{/}}
|
||||
child {node[] (d) {$i$}}
|
||||
child {node[] (e) {$j$}}}
|
||||
child {node[] (f) {$x$}}}
|
||||
child {node[] (g) {$y$}}}
|
||||
child {node[circle,draw] (h) {\texttt{.AND.}}
|
||||
child {node[circle,draw] (i) {\texttt{<}}
|
||||
child {node[circle,draw] (j) {\texttt{-}}
|
||||
child {node[circle,draw] (k) {\texttt{/}}
|
||||
child {node[] (l) {$y$}}
|
||||
child {node[] (m) {$z$}}}}
|
||||
child {node[circle,draw] (q) {\texttt{-}}
|
||||
child {node[circle,draw] (p) {\texttt{**}}
|
||||
child {node[] (n) {$x$}}
|
||||
child {node[circle,draw] (o) {\texttt{**}}
|
||||
child {node[] (w) {3}}
|
||||
child {node[] (x) {2}}}}}}
|
||||
child {node[circle,draw] (r) {\texttt{<=}}
|
||||
child {node[] (s) {$char$}}
|
||||
child {node[circle,draw] (t) {\texttt{//}}
|
||||
child {node[] (u) {'p'}}
|
||||
child {node[] (v) {'eter'}}}}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Es gibt verschiedene Notationen um Ausdrücke aufzuschreiben:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \begriff{Präfix-Notation}: Task $\to$ rekursiv linke Seite $\to$ rekursiv rechte Seite
|
||||
\item \begriff{Infix-Notation}: rekursiv linke Seite $\to$ Task $\to$ rekursiv rechte Seite
|
||||
\item \begriff{Postfix-Notation}: rekursiv linke Seite $\to$ rekursiv rechte Seite $\to$ Task
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Für unseren Ausdruck bedeutet das:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Präfix-Notation: \texttt{= logo .OR. >= / / i j x y .AND. < NEG / y z NEG ** x ** 3 2 <= char // ‚p‘ ‚eter‘}
|
||||
\item Postfix-Notation: \texttt{logo i j / x / y >= y z / NEG x 3 2 ** ** NEG < char ‚p‘ ‚eter‘ // <= .AND. .OR. =}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,38 @@
|
|||
\section{Basis-Konvertierung ganzer Zahlen}
|
||||
|
||||
Die Notation $[9]_{10}$ bedeutet, dass man die Zahl 9 im Zehner-System betrachtet. Es gilt also $[9]_{10} = [1001]_2$ und $[10]_{10}=[1010]_2$.
|
||||
|
||||
Um eine Zahl von einer gegebenen Basis in eine Zielbasis $b$ zu konvertieren, so teilt man immer wieder durch $b$ und notiert den Rest als nächste Ziffer von hinten nach vorne. Am Beispiel von $[57]_{10}$ ins Zweier-System sieht das so aus:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\frac{57}{2} &= 28\text{ Rest } 1 \Rightarrow\text{ letzte Ziffer der Binärdarstellung} \notag \\
|
||||
\frac{28}{2} &= 14\text{ Rest } 0 \Rightarrow\text{ vorletzte Ziffer der Binärdarstellung} \notag \\
|
||||
\frac{14}{2} &= 7\text{ Rest } 0 \notag \\
|
||||
\frac{7}{2} &= 3\text{ Rest } 1 \notag \\
|
||||
\frac{3}{2} &= 1\text{ Rest } 1 \notag \\
|
||||
\frac{1}{2} &= 0\text{ Rest } 1 \notag
|
||||
\end{align}
|
||||
Also gilt: $[57]_{10}=[111001]_2$.
|
||||
|
||||
Die umgekehrte Richtung verläuft ähnlich:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\node at (0,0) (a) {111001\quad :\quad 1010\quad =\quad 101\; R\; 111};
|
||||
\node at (-2.35,-0.4) (b) {-1010};
|
||||
\draw (-2.9,-0.6) -- (-1.5,-0.6);
|
||||
\node at (-2.2, -0.8) (c) {01000};
|
||||
\node at (-2.27, -1.2) (d) {-00000};
|
||||
\draw (-2.9,-1.4) -- (-1.5,-1.4);
|
||||
\node at (-2.03,-1.6) (e) {10001};
|
||||
\node at (-2.1,-1.95) (f) {-01010};
|
||||
\draw (-2.9,-2.15) -- (-1.5,-2.15);
|
||||
\node at (-1.85,-2.35) (g) {111};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Also $[111001]_2$ durch $[10]_{10}=[1010]_2$ gleich $[101\text{ Rest }111]_2=[5\text{ Rest }7]_{10}\Rightarrow [57]_{10}$.
|
||||
|
||||
Von Basis 2 in Basis 4, 8 oder 16 ist dann ganz einfach: $[111100101]_2$
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Zweiergruppen von hinten nach vorne zusammenzählen: $[13211]_4$
|
||||
\item Dreiergruppen von hinten nach vorne zusammenzählen: $[745]_8$
|
||||
\item Vierergruppen von hinten nach vorne zusammenzählen: $[1E5]_{16}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,51 @@
|
|||
\section{Basis-Konversion gebrochener Zahlen}
|
||||
|
||||
Festkommadarstellung (nur Betrag der Zahl, ohne Vorzeichen):
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{rcccccccccc}
|
||||
Gewichte & $B^{k}$ & $B^{k-1}$ & ... & $B^1$ & $B^0$ & . & $B^{-1}$ & $B^{-2}$ & ... & $B^{-l}$ \\
|
||||
Ziffern & $m_k$ & $m_{k+1}$ & ... & $m_{-1}$ & $m_0$ & . & $m_{1}$ & $m_{2}$ & ... & $m_{l}$ \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
Also: $\sum\limits_{i=k}^l m_i\cdot B^{-i}$.
|
||||
|
||||
Die Konvertierung des ganzzahligen Anteils vor dem "'."' läuft wie gehabt. Um den gebrochenen Anteil zu konvertieren, multipliziert man wiederholt mit der Zielbasis $b$ und nimmt den jeweiligen ganzzahligen Anteil als Nachkommaziffern (von links nach rechts). Mit dem gebrochenen Anteil macht man weiter. Wir wollen die Zahl $[0.625]_{10}$ ins Zweiersystem konvertieren:
|
||||
\begin{align}
|
||||
0.625 \cdot 2 &= \textbf{1}.25 \notag \\
|
||||
0.25 \cdot 2 &= \textbf{0}.5 \notag \\
|
||||
0.5 \cdot 2 &= \textbf{1} \notag
|
||||
\end{align}
|
||||
Also gilt: $[0.625]_{10}=[0.101]_2$.
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||||
|
||||
Wieder anders herum:
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||||
\begin{align}
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||||
0.101 \cdot 1010 &= \textbf{110}.010 \notag \\
|
||||
0.010 \cdot 1010 &= \textbf{10}.100 \notag \\
|
||||
0.100 \cdot 1010 &= \textbf{101}.0 \notag
|
||||
\end{align}
|
||||
Also gilt $[0.101]_2 = [0.110|10|101]_2 = [0.625]_{10}$.
|
||||
|
||||
Jetzt wollen wir $[0.1]_{10}$ ins Zweiersystem konvertieren:
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||||
\begin{align}
|
||||
0.1 \cdot 2 &= \textbf{0}.2 \notag \\
|
||||
0.2 \cdot 2 &= \textbf{0}.4 \\
|
||||
0.4 \cdot 2 &= \textbf{0}.8 \notag \\
|
||||
0.8 \cdot 2 &= \textbf{1}.6 \notag \\
|
||||
0.6 \cdot 2 &= \textbf{1}.2 \notag \\
|
||||
0.2 \cdot 2 &= \textbf{0}.4
|
||||
\end{align}
|
||||
Wie man sieht, sind die Zeilen (1) und (2) gleich, das heißt, diese Konvertierung wird unendlich lange laufen. Also: $[0.1]_{10}=[0.0\overline{0011}]_2$. Aber es muss gelten: $[0.1]_{10}\cdot [10]_{10}=[1]_{10}$. Aber es stimmt: $[0.0\overline{0011}]_2\cdot [1010]_2=[0.\overline{1}]_2=[1]_2$.
|
||||
|
||||
Entsprechend gilt:
|
||||
\begin{align}
|
||||
[0.2]_{10} &= [0.\overline{0011}]_2 \notag \\
|
||||
[0.3]_{10} &= [0.01\overline{0011}]_2 \notag \\
|
||||
[0.4]_{10} &= [0.011\overline{0011}]_2 \notag \\
|
||||
[0.5]_{10} &= [0.1]_2 \notag \\
|
||||
[0.6]_{10} &= [0.1\overline{0011}]_2 \notag \\
|
||||
[0.7]_{10} &= [0.1011\overline{0011}]_2 \notag \\
|
||||
[0.8]_{10} &= [0.11\overline{0011}]_2 \notag \\
|
||||
[0.9]_{10} &= [0.111\overline{0011}]_2 \notag
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Problem: Rundungen schon bei $\frac{1}{10}\Rightarrow$ falsche Nachkommastellen. Die Lösung sind hier Gleitkommazahlen.
|
||||
43
1. Semester/PROG/TeX_files/Benutzerdefinierte_Typen.tex
Normal file
43
1. Semester/PROG/TeX_files/Benutzerdefinierte_Typen.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,43 @@
|
|||
\section{Benutzerdefinierte Typen}
|
||||
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||||
In Modulen werden häufig Datentypen vom Benutzer definiert, zum Beispiel der Datentyp \texttt{kreis}
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||||
\begin{lstlisting}
|
||||
type kreis
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||||
private !kein Zugriff auf Komponenten im Hauptprogramm
|
||||
real :: radius
|
||||
real :: mitteX
|
||||
real :: mitteY
|
||||
end type kreis
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Für diesen neuen Datentyp funktionieren die alten Operatoren wie \texttt{+} nicht mehr (was soll den die Summe aus 2 Kreisen sein?). Deswegen muss man sich eine neue Addition von Kreisen ausdenken:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
function add(kreis1, kreis2)
|
||||
type(kreis), intent(in) :: kreis1, kreis2
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||||
type(kreis) :: add
|
||||
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||||
add%raduis = kreis1%radius + kreis2%radius
|
||||
add%mitteX = (kreis1%mitteX + kreis2%mitteX) / 2
|
||||
add%mitteY = (kreis1%mitteY + kreis2%mitteY) / 2
|
||||
end function add
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Wie man sieht kann man mit \% auf die einzelnen Komponenten zugreifen. Um jetzt wirklich im Programm \texttt{kreis1 + kreis2} zu benutzen, muss man noch den Operator \texttt{+} überladen. Dazu werden generische Schnittstellen benutzt. Man kann auch das Gleichheitszeichen, also die Zuweisung \texttt{=} überladen.
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
interface operator(+)
|
||||
module procedure add
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||||
end interface operator(+)
|
||||
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||||
interface assignment(=)
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||||
module procedure gleich
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||||
end interface assignment(=)
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Diese Operatorüberladungen brauchen immer das \texttt{intent(in)}-Attribut in den Funktionen! Überladungen von \texttt{=} brauchen dagegen sowohl \texttt{inten(in)} als auch \texttt{intent(out)}.
|
||||
|
||||
Mit dem \texttt{interface}-Block kann man auch lange und sperrige Namen von Funktionen einkürzen, so dass man statt \texttt{langUndSperrig(a,b)} auch \texttt{kurz(a,b)} verwenden kann:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
interface kurz
|
||||
module procedure langUndSperrig
|
||||
end interface kurz
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
19
1. Semester/PROG/TeX_files/Dateiverwaltung.tex
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19
1. Semester/PROG/TeX_files/Dateiverwaltung.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,19 @@
|
|||
\section{Dateiverwaltung}
|
||||
|
||||
Dateien werden mit \texttt{open} geöffnet und mit \texttt{close} geschlossen. Es gibt dabei noch die Funktionen \texttt{backspace}, die den Cursor vor den aktuellen Datensatz platziert, aber möglichst nicht verwendet werden sollte, da dieser Prozess besonders bei großen Dateien sehr lange dauert. Die Funktion \texttt{rewind} setzt den Cursor an den Anfang der Datei, während \texttt{endfile} an den aktuellen Datensatz einen EOF-Datensatz anhängt.
|
||||
|
||||
Alle diese Funktionen benötigen eine I/O-Unit, eine ganze, nichtnegative Zahl zur Identifikation einer externen Datei. Dabei ist die Tastatur auch eine Datei, von der mittels \texttt{read} eingelesen werden kann. Die I/O-Unit ist hier 5. Der Bildschirm ist auch eine Datei, auf den mittels \texttt{write} geschrieben werden kann (I/O-Unit 6).
|
||||
|
||||
Häufig muss man in Fortran von einer Datei zeilenweise Zahlen einlesen. Das geht so:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
open(unit = 100, file = informationen.txt, action = "read")
|
||||
|
||||
integer, dimension(5) :: infos
|
||||
integer :: zeile
|
||||
|
||||
do zeile = 1, 5
|
||||
read(100,*) infos(zeile)
|
||||
end do
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Der zweite * in der \texttt{read}-Anweisung kann mit einer Format-Angabe gefüllt werden. Mit diesen Format-Angaben kann man den Datentransfer steuern.
|
||||
192
1. Semester/PROG/TeX_files/Datentypen.tex
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192
1. Semester/PROG/TeX_files/Datentypen.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,192 @@
|
|||
\section{Datentypen}
|
||||
|
||||
Fortran besitzt 5 Datentypen. Für jeden Datentyp gibt es spezielle dazugehörige Funktionen:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \textbf{Integer} für ganze Zahlen
|
||||
\item \textbf{Real} für reelle Zahlen
|
||||
\item \textbf{Complex} für komplexe Zahlen
|
||||
\item \textbf{Logical} für logische Werte
|
||||
\item \textbf{Character} für Strings
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{Der Datentyp \texttt{Integer}}
|
||||
\begin{tabular}{l|l}
|
||||
mögliche Argumente & \texttt{integer(kind=...)} \\
|
||||
\hline
|
||||
Darstellung & $\{\langle Z\rangle\}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
Wert & mindestens 1 Ziffer, höchstens unendlich \\
|
||||
\hline
|
||||
Wertemenge & normalerweise im 2er-Komplement: $\left[ -2^{l-1},2^{l-1}-1 \right]$ \\
|
||||
\hline
|
||||
Operationen & \texttt{+}, \texttt{-}, \texttt{*}, \texttt{/} (schneidet Nachkommastellen ab), \texttt{**} (schneidet Nachkommastellen ab)
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\textbf{Wichtige Funktionen:}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item\texttt{sign(x,y)} gibt den Betrag von $x$, wenn $y\ge 0$ und $-\vert x\vert$, wenn $y<0$
|
||||
\item\texttt{int(x)} schneidet die Nachkommastellen von $x$ ab
|
||||
\item\texttt{floor(x)} rundet ab ($\lfloor x\rfloor$)
|
||||
\item\texttt{ceiling(x)} rundet auf ($\lceil x\rceil$)
|
||||
\item\texttt{selected\_int\_kind(k)} liefert KIND-Parameter des kleinsten INTEGER-Typs, der dem alle Zahlen mit $k$ Stellen darstellen kann
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{Der Datentyp \texttt{Real}}
|
||||
\begin{tabular}{l|l}
|
||||
mögliche Argumente & \texttt{real(kind=...)} \\
|
||||
\hline
|
||||
Darstellung & $\{\langle Z\rangle\}.\{\langle Z\rangle\}E\pm\{\langle Z\rangle\}$ \\
|
||||
\hline
|
||||
Wert & mindestens 1 Ziffer, höchstens unendlich \\
|
||||
\hline
|
||||
Wertemenge & \\
|
||||
\hline
|
||||
Operationen & \texttt{+}, \texttt{-}, \texttt{*}, \texttt{/}, \texttt{**}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\textbf{Wichtige Funktionen:}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item\texttt{aint(x)} schneidet die Nachkommastellen von $x$ ab
|
||||
\item\texttt{real(x)} konvertiert zu REAL
|
||||
\item\texttt{selected\_real\_kind(p,r)} liefert KIND-Parameter mit $p$ Ziffern in der Mantisse und $r$ Ziffern im Exponenten
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{Der Datentyp \texttt{Complex}}
|
||||
\begin{tabular}{l|l}
|
||||
mögliche Argumente & \texttt{complex(kind=...)} \\
|
||||
\hline
|
||||
Darstellung & $(\langle\Re\rangle,\langle\Im\rangle)$ \\
|
||||
\hline
|
||||
Wert &$\Re$,$\Im$ vorzeichenbehaftete realle Konstanten \\
|
||||
\hline
|
||||
Wertemenge & \\
|
||||
\hline
|
||||
Operationen & \texttt{+}, \texttt{-}, \texttt{*}, \texttt{/}, \texttt{**}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\textbf{Wichtige Funktionen:}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item\texttt{abs(c)} liefert den Betrag von $c$, also $\sqrt{x^2+y^2}$
|
||||
\item\texttt{real(c)} liefert den Realteil von $c$
|
||||
\item\texttt{aimag(c)} liefert den Imaginärteil von $c$
|
||||
\item\texttt{conj(c)} liefert das konjugiert Komplexe zu $c$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{Der Datentyp \texttt{Logical}}
|
||||
\begin{tabular}{l|l}
|
||||
mögliche Argumente & \\
|
||||
\hline
|
||||
Darstellung & \texttt{.TRUE.}, \texttt{.FALSE.} \\
|
||||
\hline
|
||||
Wert & \texttt{.TRUE.} oder \texttt{.FALSE.} \\
|
||||
\hline
|
||||
Wertemenge & {\texttt{.TRUE.},\texttt{.FALSE.}} \\
|
||||
\hline
|
||||
Operationen & \texttt{.AND.}, \texttt{.OR.}, \texttt{.NOT.}, \texttt{.EQV.}, \texttt{.NEQV}
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\subsection{Der Datentyp \texttt{Character}}
|
||||
\begin{tabular}{l|l}
|
||||
mögliche Argumente & \texttt{character(len=...)} \\
|
||||
\hline
|
||||
Darstellung & Zeichen \\
|
||||
\hline
|
||||
Wert & einzelnes Zeichen oder Zeichenketten \\
|
||||
\hline
|
||||
Wertemenge & alle möglichen Zeichenfolgen mit $l$ Zeichen \\
|
||||
\hline
|
||||
Operationen & \texttt{//} (Konkardination: fügt 2 Strings zusammen)
|
||||
\end{tabular}
|
||||
|
||||
\textbf{Wichtige Funktionen:}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item\texttt{ichar(c)} gibt den internen ganzzahligen Zeichencode von $c$
|
||||
\item\texttt{char(i)} gibt den Zeichencode zu $c$
|
||||
\item $\langle\text{Zeichenkette}\rangle$\texttt{(a:b)} gibt den Teilstring vom $a$-ten bis zum $b$-ten Zeichen
|
||||
\item\texttt{len(zk)} gibt die Länge der Zeichenkette $zk$
|
||||
\item\texttt{trim(zk)} liefert die Zeichenkette ohne anhängende Leerzeichen
|
||||
\item\texttt{adjustl(zk)} Inhalt der Zeichenkette wird nach vorne geschoben
|
||||
\item\texttt{repeat(zk,copies)} gibt einen String mit $copies$-facher Zeichenkette
|
||||
\item\texttt{index, scan, verify} durchsucht einen String
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Es gibt allerdings noch eine Reihe weiterer (mathematischer) Funktionen, das Ergebnis ist selbsterklärend:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item\texttt{sin(x)}, \texttt{asin(x)}, \texttt{sinh(x)}
|
||||
\item\texttt{cos(x)}, \texttt{acos(x)}, \texttt{cosh(x)}
|
||||
\item\texttt{tan(x)}, \texttt{atan(x)}, \texttt{atan2(x,y)=atan(x/y)}
|
||||
\item\texttt{sqrt(x)}
|
||||
\item\texttt{exp(x)}
|
||||
\item\texttt{log10(x)}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{INTEGER-Division}
|
||||
|
||||
Die klassiche INTEGER-Division sieht so aus:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{ll}
|
||||
Division: & $\frac{a}{b} =$ \texttt{a/b} \\
|
||||
Rest der Division: & $a-\left(\frac{a}{b}\right)\cdot b =$ \texttt{mod(a,b)} \\
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Beispiele (Division)} & \textbf{Beispiele (Rest)} \\
|
||||
\hline
|
||||
$\frac{8}{5} \to 1$ & \texttt{mod(8,5)} $\to$ 3 \\
|
||||
$\frac{-8}{5} \to -1$ & \texttt{mod(-8,5)} $\to$ -3 \\
|
||||
$\frac{-8}{-5} \to 1$ & \texttt{mod(-8,-5)} $\to$ -3 \\
|
||||
$\frac{8}{-5} \to -1$ & \texttt{mod(8,-5)} $\to$ 3
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Das darf man aber nicht mit der nach unten abgerundeten REAL-Division verwechseln:
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{ll}
|
||||
Division: & $\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor =$ \texttt{floor(a/b)} = \texttt{floor(real(a)/real(b))} \\
|
||||
Rest der Division: & $a-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor\cdot b =$ \texttt{modulo(a,b)} \\
|
||||
\hline
|
||||
\textbf{Beispiele (Division)} & \textbf{Beispiele (Rest)} \\
|
||||
\hline
|
||||
$\frac{8.0}{5.0} \to 1$ & \texttt{modulo(8,5)} $\to$ 3 \\
|
||||
$\frac{-8.0}{5.0} \to -2$ & \texttt{modulo(-8,5)} $\to$ 2 \\
|
||||
$\frac{-8.0}{-5.0} \to 1$ & \texttt{modulo(-8,-5)} $\to$ -3 \\
|
||||
$\frac{8.0}{-5.0} \to -2$ & \texttt{modulo(8,-5)} $\to$ -2
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
\subsection{Potenzieren}
|
||||
|
||||
Die Potenz-Operation \texttt{**} ist die einzige Operation die von rechts nach links gelesen wird, bei allen anderen Operationen wird in Leserichtung, also von links nach rechts gearbeitet.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item\texttt{2**3} $=2^3=8$
|
||||
\item\texttt{2**(-3)} $\to$ \texttt{int($2^{-3}$)=int($\frac{1}{8}$)} $=0$
|
||||
\item\texttt{(-3)**2} $=(-3)^2=9$
|
||||
\item\texttt{-3**2} $=-3^2=-9$
|
||||
\item\texttt{2**3**2} $=$ \texttt{2**(3**2)} $=2^9=512$
|
||||
\item\texttt{(2**3)**2} $=(2^3)^2=64$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{Operator-Prioritäten}
|
||||
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||||
Operatoren haben in Fortran eine Priorität, die weiter gefasst ist als: "'Punktrechnung vor Strichrechnung"'. Operatoren mit der höchsten Priorität (12) werden zuerst ausgeführt; Operatoren mit der Priorität 1 zuletzt.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item selbstdefinierte Operatoren binär
|
||||
\item\texttt{.EQV.} und \texttt{.NEQV.}
|
||||
\item\texttt{.OR.}
|
||||
\item\texttt{.AND.}
|
||||
\item\texttt{.NOT.}
|
||||
\item Vergleichsoperatoren
|
||||
\item\texttt{//}
|
||||
\item\texttt{+}, \texttt{-} als Addition beziehungsweise Subtraktion
|
||||
\item\texttt{+}, \texttt{-} als Vorzeichen
|
||||
\item\texttt{*}, \texttt{/}
|
||||
\item\texttt{**}
|
||||
\item selbstdefinierte Operatoren unär
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Jetzt noch ein kurzer Abschnitt zu Variablen in imperativen Programmiersprachen. Eine Variable wird durch ein 5-Tupel (N,T,G,L,R) beschrieben, das heißt
|
||||
\begin{itemize}
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||||
\item N - Name
|
||||
\item T - Typ
|
||||
\item G - Gültigkeitsbereich
|
||||
\item L - l-Value (Zugriff auf die Variable)
|
||||
\item R - r-Value (Wert der Variable)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
9
1. Semester/PROG/TeX_files/Ein_und_Ausgabe.tex
Normal file
9
1. Semester/PROG/TeX_files/Ein_und_Ausgabe.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,9 @@
|
|||
\section{Ein- und Ausgabe}
|
||||
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||||
Die Aufgabe ist es, Dateien zu verwalten und den Datentransfer zwischen Dateien und internem Hauptspeicher zu organisieren. \begriff{Lesen} ist dabei immer von einer Datei in den Hauptspeicher, \begriff{Schreiben} von Hauptspeicher in eine Datei.
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||||
|
||||
Eine \begriff{Datei} ist normalerweise eine externe Datei, das heißt, sie liegt nicht im Hauptspeicher. Falls explizit gewünscht, kann eine Datei auch intern sein, dafür wird eine Zeichenkettenvariable als Datei verwendet. Eine Ansammlung von Daten heißt Datei.
|
||||
|
||||
Ein \begriff{Datensatz} ist die Zeile einer Textdatei. Er kann formatiert (Daten sind Sequenzen von Zeichen) oder unformatiert (Daten sind binär) sein.
|
||||
|
||||
Der Dateizugriff kann dabei \begriff{sequenziell} erfolgen, das heißt es gibt eine lineare Anordnung der Datensätze und zu jedem Zeitpunkt gibt es eine aktuelle Position in der Datei. Der sequenzielle Zugriff geht dabei von "'begin of file"' (BOF) nach "'end of file"' (EOF). Ist der Dateizugriff direkt, so kann direkt über die Datensatznummer $i$ auf den $i$-ten Datensatz zugegriffen werden.
|
||||
146
1. Semester/PROG/TeX_files/Einfache_Syntax.tex
Normal file
146
1. Semester/PROG/TeX_files/Einfache_Syntax.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,146 @@
|
|||
\section{Begriffe}
|
||||
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||||
Eine \begriff{Sequenz} sind einzelne Anweisungen hintereinander. \\
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||||
Eine \begriff{Selektion} ist eine Verzweigung. \\
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||||
Eine \begriff{Repetition} ist eine Wiederholung.
|
||||
|
||||
\subsection{Variablen und Daten}
|
||||
|
||||
Wir sehen uns einen Biertrinker an, der nach dem Genuss noch ein paar Besorgungen machen muss. Dabei ergeben sich folgende Variablen
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Variable \textbf{Durst} von Typ \textit{LOGICAL}
|
||||
\item Variable \textbf{Geld} von Typ \textit{INTEGER}
|
||||
\item Variable \textbf{PreisDerBesorgung} von Typ \textit{INTEGER}
|
||||
\item Variable \textbf{Rest} von Typ \textit{INTEGER}
|
||||
\item Variable \textbf{Bierpreis} von Typ \textit{INTEGER}
|
||||
\item Variable \textbf{WirtschaftAnnehmbar} von Typ \textit{LOGICAL}
|
||||
\item Variable \textbf{Autofahrer} von Typ \textit{LOGICAL}
|
||||
\item Variable \textbf{AlkoholGrenzwert} von Typ \textit{REAL}
|
||||
\item Variable \textbf{AlkoholVergiftungsWert} von Typ \textit{REAL}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{Schleifen}
|
||||
|
||||
In Fortran gibt es 4 Arten von \begriff{Schleifen}:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Endlosschleife
|
||||
\item Schleife mit Anfangsbedingung
|
||||
\item Schleife mit Endbedingung
|
||||
\item Zählschleife
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Bei einer \begriff[Schleifen!]{Endlosschleife} wird der Anweisungsblock innerhalb der Schleife unendlich lange ausgeführt:
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
do
|
||||
Anweisung1
|
||||
Anweisung2
|
||||
Anweisung3
|
||||
end do
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Bei einer \begriff[Schleifen!]{Schleife mit Anfangsbedingung} wird der Anweisungsblock nur ausgeführt, wenn die Anfangsbedingung wahr ist. Ist sie wahr, so wird der Block ausgeführt und anschließend überprüft, ob die Anfangsbedingung wieder wahr ist. Ist die Anfangsbedingung nicht wahr, so wird die Schleife nicht ausgeführt.
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
do while(Anfangsbedingung)
|
||||
Anweisung1
|
||||
Anweisung2
|
||||
Anweisung3
|
||||
end do
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Hat die \begriff[Schleifen!]{Schleife eine Endbedingung}, so wird der Anweisungsblock auf jedem Fall 1-mal ausgeführt. Erst dann wird überprüft, ob die Endbedingung wahr ist. Ist sie das, wird die Schleife \textbf{verlassen}. Ist sie falsch, so wird die Schleife erneut ausgeführt.
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
do
|
||||
Anweisung1
|
||||
Anweisung2
|
||||
Anweisung3
|
||||
if(Endbedingung) exit
|
||||
end do
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Eine \begriff[Schleifen!]{Zählschleife} in Fortran ist ähnlich wie in anderen Programmiersprachen konzipiert, aber die Syntax ist deutlich verschieden. Eine Zählschleife besitzt eine Zählvariable (die auch in der Schleife benutzt werden kann, aber nicht geändert werden sollte), die von einer Anfangszahl mit bestimmter Schrittweite solange hochgezählt (oder bei negativer Schrittweite heruntergezählt) wird, bis die Zählvariable die Endzahl erreicht.
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
do i = anfang, ende, schrittweite
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||||
Anweisung1
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Anweisung2
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||||
Anweisung3
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||||
end do
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\end{lstlisting}
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Bitte beachten:
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\begin{itemize}
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||||
\item Der Zustand der Zählvariable \texttt{i} vor der Schleife geht verloren, auch wenn die Schleife 0-mal läuft.
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\item Die Zählvariable \texttt{i} darf im Inneren der Schleife nicht geändert werden.
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||||
\item Der Endzustand der Zählvariable \texttt{i} ist nach der Schleife nicht definiert.
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||||
\item Ausdrücke werden zu Beginn genau 1-mal (vor der ersten Iteration) berechnet und sind dann fest.
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||||
\item Die Anzahl der Iterationen ist: $N=\max\left\lbrace 0,\texttt{nint}\left(\frac{\texttt{ende }-\texttt{ anfang }+\texttt{ i}}{\texttt{i}}\right)\right\rbrace$
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||||
\end{itemize}
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||||
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\section{Einfache Syntax}
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Es gibt einen zulässigen Fortran-Zeichensatz. Dieser umfasst zum Beispiel die Buchstaben A-Z und a-z, sowie 0-9, Sonderzeichen und Operatoren.
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Nun einige lexikalische Einheiten (Symbole/Tokens):
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\begin{itemize}
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\item Keywords sind nicht reserviert, Variablen können also auch nach Keywords benannt werden.
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\item Identifiers (Namen) haben eine Länge von maximal 63 Zeichen. Variablen können Buchstaben, Zahlen und auch den Unterstrich enthalten.
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||||
\item Literale (Konstanten): 3 $\Rightarrow$ INTEGER, 2.876 $\Rightarrow$ REAL, .TRUE. $\Rightarrow$ LOGICAL, "'Hallo"' $\Rightarrow$ STRING
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||||
\item Labels (Marken): 00000 ... 99999 sind Sprungmarken, die mit \texttt{GOTO 99999} erreicht werden können.
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||||
\item Separatoren (Trennsymbole) sind: \texttt{()}, \texttt{/}, \texttt{/(/)}, \texttt{[]}, \texttt{=}, \texttt{=>}, \texttt{:}, \texttt{::}, \texttt{,}, \texttt{;} und \texttt{\%}.
|
||||
\item Operatoren sind: \texttt{+}, \texttt{-}, \texttt{*},\texttt{/}, \texttt{**}, \texttt{//}, \texttt{==}, \texttt{<=}, \texttt{<}, \texttt{/=}, \texttt{>}, \texttt{>=}, \texttt{.NOT.}, \texttt{.OR.}, \texttt{.AND.}, \texttt{.EQV.} und \texttt{.NEQV.}.
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||||
\end{itemize}
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In den alten Quellformen bis vor Fortran-90, also insbesondere Fortran-66 und Fortran-77 waren
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\begin{itemize}
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||||
\item Namen maximal 6 Zeichen lang und
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\item Lochkarten 80 Zeichen breit.
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\end{itemize}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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||||
\draw (0,0) -- (10,0);
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||||
\draw (0,0) -- (0,4);
|
||||
\draw (0,4) -- (1,5);
|
||||
\draw (1,5) -- (10,5);
|
||||
\draw (10,0) -- (10,5);
|
||||
|
||||
\node at (10,-0.3) (ende) {80};
|
||||
\node at (8,-0.3) (mitte) {$72\vert73$};
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||||
\node at (0.2,-0.3) (1) {1};
|
||||
\node at (0.4,-0.3) (2) {2};
|
||||
\node at (0.6,-0.3) (3) {3};
|
||||
\node at (0.8,-0.3) (4) {4};
|
||||
\node at (1,-0.3) (5) {5};
|
||||
\node at (1.3,-0.3) (6) {$\vert 6\vert$};
|
||||
|
||||
\draw (1.16,0) -- (1.16,5);
|
||||
\draw (1.43,0) -- (1.43,5);
|
||||
\draw (8,0) -- (8,5);
|
||||
|
||||
\node at (0.2,3.5) (c) {\texttt{C}};
|
||||
\node at (0.85,3.5) (Com) {\texttt{Com}};
|
||||
\node at (1.3,3.47) (m) {\texttt{m}};
|
||||
\node at (1.82,3.488) (ents) {\texttt{ents}};
|
||||
|
||||
\node at (0.2,3) (stern) {\texttt{*}};
|
||||
\node at (0.85,3) (Kom) {\texttt{Kom}};
|
||||
\node at (1.3,2.97) (m2) {\texttt{m}};
|
||||
\node at (2,2.99) (entare) {\texttt{entare}};
|
||||
|
||||
\node at (0.84,2.5) (123) {\texttt{123}};
|
||||
\node at (2.75,2.5) (myprog) {\texttt{PROGRAM MYPROG}};
|
||||
\node at (0.65,2) (99999) {\texttt{99999}};
|
||||
\node at (2.75,2) (product) {\texttt{PRODUC = X * Y}};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
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||||
Ab Fortran-90 wurden neue Quellformen entwickelt, das heißt:
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||||
\begin{itemize}
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\item Zeilen sind nun maximal 132 Zeichen lang
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\item Kommentare beginnen mit "'!"' und gehen bis zum Zeilenende
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||||
\item Eine neue Zeile ist eine neue Anweisung, außer die letzte Zeile endet mit "'\&"'
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||||
\item "'\&"' am Zeilenende bedeutet, dass die nächste nicht-Kommentar und nicht-Leerezeile die Anweisung fortsetzt.
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||||
\item Die Fortsetzung darf mit "'\&"' beginnen.
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||||
\item Es sind maximal 39 Fortsaetzungszeilen möglich
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||||
\item Leerzeichen sind signifkant $\Rightarrow$ alle lexikalischen Tokens sind am Stück zu schreiben.
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||||
\item Groß- und Kleinschreibung ist nicht signifikant in Namen und Keywords
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||||
\end{itemize}
|
||||
172
1. Semester/PROG/TeX_files/Felder.tex
Normal file
172
1. Semester/PROG/TeX_files/Felder.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,172 @@
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\section{Felder (Arrays)}
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||||
Bisher hatten wir nur Skalare als Variablen. Was aber, wenn wir nicht wissen, wie viele Variablen wir brauchen werden. Dann helfen uns Felder. Felder haben eine homogene Datenstruktur, das heißt alle Elemente haben den selben Datentyp, den \begriff{Elementtyp}. Es gibt sowohl ein- als auch mehrdimensionale Felder (die höchste Dimension ist 15), also Vektoren, Matrizen, Tensoren, ... Der lesende als auch schreibende Zugriff erfolgt mittels ganzzahliger Indizees, also \texttt{vector(3)}, \texttt{matrix(2,5)}, \texttt{tensor(3,4,6)}, ... Unzulässige Indexwerte ermöglichen beliebige Speicherzugriffe auch außerhalb des Feldes, wenn sie nicht beim Kompilieren erkannt werden. Es kann also folgender Laufzeitfehler auftreten: \texttt{Index out of bounds}.
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||||
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||||
Der Feldtyp ist charakterisiert durch
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item den Elementtyp
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||||
\item den Rang: Anzahl der Dimensionen
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\end{itemize}
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||||
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||||
Die geometrische Gestalt (= shape) eines Feldes kann entweder statisch oder dynamisch definiert werden, und zwar durch Ausdehnungen in jeder einzelnen Dimension
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||||
\begin{lstlisting}
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||||
! eine 3x3 Matrix
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||||
integer, dimension(1:3, 1:3) :: matrix
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||||
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||||
! eine dynamsiche Matrix, deren Groesse spaeter 5x5 wird
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||||
integer, dimension(:,:), allocatable :: dynMatrix
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||||
allocate(dynMatrix(1:5, 1:5))
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||||
\end{lstlisting}
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||||
|
||||
Eindimensionale Felder kann man in Fortran wie folgt füllen: (seit Fortran-03 kann man statt \texttt{(/ /)}) auch \texttt{[ ]} benutzen)
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||||
\begin{lstlisting}
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||||
(/1, 3, 5, 7, 9/) = (/(i, i=1,9,2)/) = (/(2*i+1, i=0,4)/)
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||||
\end{lstlisting}
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||||
|
||||
Die Speicherreihenfolge ist in Fortran immer spaltenweise (colum-major), das heißt der erste Index läuft am schnellsten, der letzte Index am langsamsten. Will man dagegen zeilenweise einlesen und ausgeben, so behilft man sich eines kleinen Tricks:
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||||
\begin{lstlisting}
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||||
real, dimension(3,2) :: A
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||||
integer :: i
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||||
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||||
read(*,*) A ! liesst spaltenweise ein
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||||
read(*,*) (A(i:), i=1,3) ! liesst zeilenweise ein
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||||
|
||||
do i=1, 3
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||||
write(*,*) A(i:) ! gibt A zeilenweise aus
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||||
end do
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||||
\end{lstlisting}
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||||
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||||
Es gibt auch eine Menge vordefinierter Matrix-Funktionen
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item\texttt{size(A,i)}: Anzahl der Elemente in $i$-ter Dimension
|
||||
\item\texttt{lbound(A,i)}: kleinster Indexwert in $i$-ter Dimension
|
||||
\item\texttt{ubound(A,i)}: größter Indexwert in $i$-ter Dimension
|
||||
\item\texttt{size(A)}: $\sum_{i=1}^{r}$ \texttt{size(A,i)}: Gesamtzahl aller Elemente
|
||||
\item\texttt{shape(A)}: \texttt{(/size(A,1), size(A,2), ..., size(A,r)/)}
|
||||
\item\texttt{sum(A,1)}: Summation einzelner Spalten, Ergebnis ist ein Vektor
|
||||
\item\texttt{sum(A,2)}: Summation einzelner Zeilen, Ergebnis ist ein Vektor
|
||||
\item\texttt{sum(A)}: Summe aller Elemente
|
||||
\item\texttt{prod(A)}: Produkt aller Elemente
|
||||
\item\texttt{all(A == B)}: logisches UND, überprüft, ob beide Matrizen gleich sind (durch Vergleich der Einträge). Es können auch andere logische Verknüpfungen verwendet werden
|
||||
\item\texttt{any(A == B)}: logisches ODER, überprüft ob mindesten ein Element in beiden Matrizen (an der selben Stelle) gleich ist
|
||||
\item\texttt{transpose(A)}: transponiert Matrix
|
||||
\item\texttt{dot\_product(v,w)}: Skalarprodukt der Vektoren $v$ und $w$
|
||||
\item\texttt{matmul(A,B)}: Matrizenmultiplikation, geht auch mit einem Vektor
|
||||
\item\texttt{forall(i=1:n, k=1:m)}: spart doppelte \texttt{do}-Schleifen
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{Subarrays (Teilfelder)}
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||||
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||||
Durch Angabe von Indexgrenzen kann man aus einem Feld einen Teil herausschneiden.
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||||
\begin{align}
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||||
A = \begin{pmatrix}4&5&6&7&8\end{pmatrix} \quad\texttt{A(2:4)}\Rightarrow \begin{pmatrix}5&6&7\end{pmatrix} \notag \\
|
||||
B = \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix} \quad\texttt{B(1:2,2:3)}\Rightarrow \begin{pmatrix}4&5\\7&8\end{pmatrix} \notag
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Man kann das ganze natürlich auch komplizierter machen: Sei $A$ ein Quader ($5\times 5\times 5$). Das Teilfeld \texttt{C = A(3,1:5:2,(/4,1,2/))} nimmt aus dem Quader die 3. Schicht und in dieser Matrix die 1., 3. und 5. Zeile mit der 4., 1. und 2. Zeile
|
||||
\begin{align}
|
||||
C = \begin{pmatrix}
|
||||
\text{Speicherplatz 4} & \text{Speicherplatz 7} & \text{leer} & \text{Speicherplatz 1} & \text{leer}\\
|
||||
\text{leer} & \text{leer} & \text{leer} & \text{leer} & \text{leer}\\
|
||||
\text{Speicherplatz 5} & \text{Speicherplatz 8} & \text{leer} & \text{Speicherplatz 2} & \text{leer}\\
|
||||
\text{leer} & \text{leer} & \text{leer} & \text{leer} & \text{leer}\\
|
||||
\text{Speicherplatz 6} & \text{Speicherplatz 9} & \text{leer} & \text{Speicherplatz 3} & \text{leer}
|
||||
\end{pmatrix}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
Felder können auch formale Argumente sein, aber nur, wenn sie fester Gestalt sind oder als Felder übernommener Gestalt, welche durch die Gestalt des aktuellen Arguments durch die Parameterassoziation (per Referenz) festgelegt ist. Wenn Felder Funktionsergebnisse sein sollen, so müssen die Indexbereiche zum Aufrufzeitpunkt der Funktion berechnet werden können; Indexgrenzen können beliebige Integer-Ausdrücke sein, die von den Werten und Eigenschaften der aktuellen Argumente und globalen Variablen oder Konstanten abhängen.
|
||||
|
||||
\textbf{Wichtige Regel: } Keine \texttt{allocatable}-Felder als formale Argumente (sein Fortran-03 möglich), Feld-Ergebnis einer Funktion und als Typkomponenten.
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||||
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
function fun(v,w)
|
||||
real,dimension(:), intent(in) :: v,w
|
||||
real,dimension(size(v),size(w)) :: fun
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||||
integer :: i,k
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||||
|
||||
do i = 1, size(v)
|
||||
do k = 1, size(w)
|
||||
fun(i,k) = v(i) * w(k)
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||||
end do
|
||||
end do
|
||||
end function fun
|
||||
|
||||
function fun_effizient(v,w)
|
||||
real,dimension(:), intent(in) :: v,w
|
||||
real,dimension(size(v),size(w)) :: fun
|
||||
real,dimension(size(v),size(w)) :: A,B
|
||||
|
||||
A = spread(source=v, dim=2, ncopies=size(w))
|
||||
B = spread(source=w, dim=1, ncopies=size(v))
|
||||
fun_effizient = A * B ! elementweise Multiplikation
|
||||
end function fun_effizient
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
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||||
\subsection{\texttt{pure} Prozeduren}
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||||
\begin{*anmerkung}
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||||
völlig unwichtig
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||||
\end{*anmerkung}
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||||
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||||
Ein Unterprogramm welches keine Seiteneffekte hat ist eine bloßes bzw. reines (pure) Unterprogramm. Ein Unterprogramm erzeugt dann keine Seiteneffekte, wenn es weder seine Eingabedaten, noch die Daten verändert, die außerhalb des Unterprogrammes liegen, es sei denn, es wären seine Ausgabedaten. In einem reinen Unterprogramm haben die lokalen Variablen keine \texttt{save}-Attribute, noch werden die lokalen Variablen in der Datendeklaration initialisiert.
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||||
|
||||
Das \texttt{save}-Attribut ist bei Initialisierung von Variablen impliziert, d.h. eine Initialisierung in der Typdeklaration macht die Variable automatisch statisch (Lebensdauer = gesamte Programmlaufzeit).
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||||
\begin{lstlisting}
|
||||
integer, save :: counter = 0
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
|
||||
Reine Unterprogramme sind für das \texttt{forall}-Konstrukt notwendig: das \texttt{forall}-Konstrukt wurde für das parallele Rechnen konzipiert, weshalb hier der Computer entscheidet, wie das Konstrukt abgearbeitet werden soll. Dazu ist es aber notwendig, das es egal ist in welcher Reihenfolge das Konstrukt abgearbeitet wird. Gilt dies nicht - hat das Unterprogramm also Seiteneffekte - so kann das \texttt{forall}-Konstrukt nicht verwendet werden.
|
||||
|
||||
Jedes Ein- und Ausgabeargument in einem reinen Unterprogramm muss mittels des \texttt{intent}- Attributs deklariert werden. Darüber hinaus muss jedes Unterprogramm, das von einem reinen Unterprogramm aufgerufen werden soll, ebenfalls ein reines Unterprogramm sein. Sonst ist das aufrufende Unterprogramm kein reines Unterprogramm mehr.
|
||||
|
||||
\subsection{\texttt{elemental} Prozeduren}
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||||
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||||
\begin{*anmerkung}
|
||||
völlig unwichtig
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||||
\end{*anmerkung}
|
||||
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||||
Ein Unterprogramm ist elementar, wenn es als Eingabewerte sowohl Skalare als auch Felder akzeptiert. Ist der Eingabewert ein Skalar, so liefert ein elementares Unterprogramm einen Skalar als Ausgabewert. Ist der Eingabewert ein Feld, so ist der Ausgabewert ebenfalls ein Feld.
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||||
|
||||
\texttt{sin} ist eine elementare Funktion. \texttt{sin(A)} liefert dann eine Matrix $A$ mit
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||||
\begin{align}
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||||
\begin{pmatrix}
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||||
\sin(a_{11}) & \dots & \sin(a_{1n}) \\
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||||
\vdots & \ddots & \vdots \\
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||||
\sin(a_{m1}) & \dots & \sin(a_{mn})
|
||||
\end{pmatrix}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
Der Sinus wird also \textit{elementweise} angewendet.
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||||
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||||
\subsection{Die \texttt{reshape}-Funktion}
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||||
Man kann die Gestalt von Feldern mit der \texttt{reshape}-Funktion ändern. Sei dazu
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\begin{lstlisting}
|
||||
integer, dimension(7) :: integervector = (/(i, i=1,13,2)/)
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\begin{align}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13
|
||||
\end{pmatrix}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
reshape(source = integervector, shape = (/2,3/))
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\begin{align}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 5 & 9 \\
|
||||
3 & 7 & 11
|
||||
\end{pmatrix}\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
\begin{lstlisting}
|
||||
reshape(source = integervector, shape = (/5,3/), &
|
||||
& pad = (/(i+13, i=1,8)/))
|
||||
\end{lstlisting}
|
||||
\begin{align}
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 3 & 5 \\
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||||
7 & 9 & 11 \\
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||||
13 & 14 & 15 \\
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||||
16 & 17 & 18 \\
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||||
19 & 20 & 21
|
||||
\end{pmatrix}\notag
|
||||
\end{align}
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||||
45
1. Semester/PROG/TeX_files/Gleitkommazahlen.tex
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45
1. Semester/PROG/TeX_files/Gleitkommazahlen.tex
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@ -0,0 +1,45 @@
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|||
\section{Gleitkommazahlen}
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||||
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||||
Gleitkommazahlen werden auch Fließkommazahlen, Gleitpunktzahlen, Fließpunktzahlen oder floating-point-numbers genannt.
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||||
|
||||
Das \begriff{Gleitkommaformat} $R=(b,l,\underline{e},\overline{e})$ besteht aus
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item einer Basis $b$
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||||
\item einer Mantissenlänge $l$
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||||
\item einem Exponentenbereich von $\underline{e}$ bis $\overline{e}$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Eine \begriff{Gleitkommazahl} ist entweder 0 oder $x=(-1)^s\cdot m\cdot b^e$ mit
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Vorzeichenbit $s\in \{0,1\}$
|
||||
\item Mantisse $m=[0.m_1m_2m_3...m_l]_b$ mit Mantissenziffern $m_i\in\{0,1,2,...,b-1\}$
|
||||
\item $e\in\{\underline{e},\underline{e}+1,\underline{e}+2,...,\overline{e}\}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
Schauen wir uns das Beispiel $R(2,3,-1,+2)$ an. Eine solche Zahl benötigt 1 bit für $s$, 2 bits für $e$ und 3 bits für $m$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabular}{l|cccccccc}
|
||||
$m=$\textbf{ 0.} & \textbf{111} & \textbf{110} & \textbf{101} & \textbf{100} & \textbf{011} & \textbf{010} & \textbf{001} & \textbf{000} \\
|
||||
\hline
|
||||
$e=-1$ & \textcolor{Green}{$\frac{7}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{6}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{5}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{4}{16}$} & \textcolor{red}{$\frac{3}{16}$} & \textcolor{red}{$\frac{2}{16}$} & \textcolor{red}{$\frac{1}{16}$} & 0 \\
|
||||
$e=0$ & \textcolor{Green}{$\frac{14}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{12}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{10}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{8}{16}$} & \textcolor{Cyan}{$\frac{6}{16}$} & \textcolor{Cyan}{$\frac{4}{16}$} & \textcolor{Cyan}{$\frac{2}{16}$} & \textcolor{Cyan}{0} \\
|
||||
$e=1$ & \textcolor{Green}{$\frac{28}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{24}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{20}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{16}{16}$} & \textcolor{Cyan}{$\frac{12}{16}$} & \textcolor{Cyan}{$\frac{8}{16}$} & \textcolor{Cyan}{$\frac{4}{16}$} & \textcolor{Cyan}{0} \\
|
||||
$e=2$ & \textcolor{Green}{$\frac{56}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{48}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{40}{16}$} & \textcolor{Green}{$\frac{32}{16}$} & \textcolor{Cyan}{$\frac{24}{16}$} & \textcolor{Cyan}{$\frac{16}{16}$} & \textcolor{Cyan}{$\frac{8}{16}$} & \textcolor{Cyan}{0} \\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Es gibt also auch mehrere Darstellungen für eine Zahl! Die \textcolor{Cyan}{Cyan} eingefärbten Zahlen können auch anders dargestellt werden.
|
||||
|
||||
\textcolor{Green}{Grüne} Zahlen sind sogenannte \begriff[Gleitkommazahl!]{normalisierte Gleitkommazahlen}, ihre erste Mantissenziffer ist $\neq 0$. Die \textcolor{red}{roten} Zahlen sind \begriff[Gleitkommazahl!]{denormalisierte Gleitkommazahlen}: Ihre ersten Mantissenziffer ist $m_1=0$ und ihr Exponent $e=\underline{e}$. Da das erste Mantissenbit häufig eine 1 ist, wird angenommen, dass das erste Mantissenbit eine 1 ist und wird deswegen nicht gespeichert (hidden bit). Das sorgt dafür, dass bei 3 bit Genauigkeit mit 4 bit Genauigkeit gerechnet werden kann. Ist das erste Mantissenbit eine 0, gibt es dafür eine spezielle Exponentenkennung.
|
||||
|
||||
Ein Zahlenstrahl mit diesen Zahlen ist besonders dicht um 0, aber ab 2 werden die Abstände sehr groß.
|
||||
|
||||
Die größte darstellbare Zahl ist $x_{max}=0.1111...1=(1-b^l)\cdot b^{\overline{e}}$. \\
|
||||
Der kleinste darstellbare normalisierte Betrag ist $x_{min,N} = 0.10000...0=b^{\underline{e}-1}$. \\
|
||||
Der kleinste darstellbare denormalisierte Betrag ist $x_{min,D} = 0.0000...1=b^{\underline{e}-l}$.
|
||||
|
||||
Doch es gibt eine Probleme:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item absolute/relative Fehler bei Zahlen, die zwischen 2 darstellbaren Zahlen liegen $\Rightarrow$ Rundungen bei nahezu jeder Rechnung!
|
||||
\item Grundrechenarten können nicht darstellbare Zahlen erzeugen
|
||||
\end{itemize}
|
||||
26
1. Semester/PROG/TeX_files/Rundung.tex
Normal file
26
1. Semester/PROG/TeX_files/Rundung.tex
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,26 @@
|
|||
\section{Rundung}
|
||||
|
||||
Eine \begriff{Rundung} ist eine Funktion $O:\real\to\text{Gleitkomma-Raster }R$.
|
||||
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||||
Eine Rundung $O$ hat folgende Eigenschaften:
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $O(x)=x$ wenn $x\in R$
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||||
\item $x,y\in\real$ mit $x<y\Rightarrow O(x)<O(y)$
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||||
\item \textcolor{Gray}{$O(-x)=-O(x)$, nur manche Rundungen haben diese Eigenschaft}
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\end{enumerate}
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Es gibt verschiedene Rundungsmodi:
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\begin{itemize}
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\item "'to nearest"': zur nächsten Gleitkommazahl, wenn 2 Gleitkommazahlen gleich weit weg sind, wird abwechselnd auf- und abgerundet
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\item "'trancation"': Abschneiden der Nachkommastellen $\Rightarrow$ betragskleiner runden
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\item "'augmentation"': zusätzliche Stellen hinzufügen $\Rightarrow$ betragsgrößer runden
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\item "'upward"': nach oben runden
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\item "'downward"': nac unten runden
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\end{itemize}
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Wenn $O$ eine Rundung mit einem Rundungsmodus, also $O\in \{\text{Rundungsmodi}\}$, ist und $\circ$ eine Grundrechenart, also $\circ\in\{+,-,\cdot,\div\}$, dann gilt für eine Gleitkommaoperation $\odot$
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\begin{align}
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x,y\in R: x\odot y := O(x\circ y)\notag
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||||
\end{align}
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\textbf{Auslöschung} in Summen von Gleitkommazahlen tritt auf, wenn die Größenordnung der exakten Summe wesentlich kleiner ist als die Größenordnung der Summanden (bzw. der Zwischenergebnisse).
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121
1. Semester/PROG/TeX_files/Unterprogramme.tex
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121
1. Semester/PROG/TeX_files/Unterprogramme.tex
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@ -0,0 +1,121 @@
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\section{Unterprogramme}
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In Fortran gibt es 2 Arten von Unterprogrammen: Funktionen und Subroutinen. \begriff{Funktionen} berechnen aus übergebenen Argumenten einen neuen Wert, während \begriff{Subroutinen} auch Anweisungen wie \texttt{write(*,*)} ausführen können. Eine Funktion sieht in Fortran folgendermaßen aus:
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\begin{lstlisting}
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function funcName(x,y,z)
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Anweisung1
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Anweisung2
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Anweisung3
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end function funcName
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\end{lstlisting}
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Eine Subroutine so:
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\begin{lstlisting}
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subroutine subName(x,y,z)
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Anweisung1
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Anweisung2
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Anweisung3
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end subroutine subName
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\end{lstlisting}
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Der Aufruf von Funktionen oder Subroutinen geht so:
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\begin{lstlisting}
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ergebnis = funcName(bla, bla, blub)
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call subName(bla, bla, blub)
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\end{lstlisting}
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Die Variablen \texttt{x}, \texttt{y} und \texttt{z} sind sogenannte \begriff{formale Argumente}, die beim Aufruf des Unterprogramms im Hauptprogramm mit den \begriff{aktuellen Argumenten} \texttt{bla} und \texttt{blub} assoziiert werden. In vielen anderen Programmiersprachen (\textbf{Also nicht in Fortran!}) wird diese Assoziation als \begriff{call-by-value} realisiert, das heißt
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\begin{itemize}
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||||
\item Das aktuelle Argument wird ausgewertet und das Ergebnis wird in den korrekten Typ konvertiert.
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\item Der Ergebniswert wird als Initialwert an das formale Argument im Unterprogramm übergeben.
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||||
\item Änderungen des formalen Arguments im Unterprogramm haben \textbf{keine} Auswirkungen auf das aktuelle Argument.
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\end{itemize}
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||||
Fortran assoziiert hingegen mit \begriff{call-by-reference}, das heißt:
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\begin{itemize}
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||||
\item Das formale Argument wird für die gesamte Ausführungsdauer des Unterprogramms mit der Variable, die als aktuelles Argument übergeben wurde, assoziiert.
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||||
\item Das heißt, dass das formale Argument ein Alias für die als aktuelles Argument übergebene Variable ist \\
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$\Rightarrow$ für die Dauer der Ausführung des Unterprogramms haben formales Argument und aktuelles Argument denselben l-Value \\
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||||
$\Rightarrow$ Änderungen des formales Arguments bewirken die \textbf{gleichen} Änderungen des aktuelles Arguments.
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\end{itemize}
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||||
In Fortran wird immer call-by-reference benutzt, allerdings darf das aktuelle aktuelle Argument auch ein Ausdruck sein, für dessen Ergebnis eine versteckte Variable angelegt wird, die per Referenz an das formale Argument übergeben wird. $\Rightarrow$ In diesem Fall sollen keine Änderungen am formalen Argument vorgenommen werden.
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||||
Unterprogramme werden in Fortran in 4 Schritten aufgerufen:
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\begin{enumerate}
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\item Auswertung/Bestimmung des aktuellen Arguments
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||||
\item Assoziation der aktuellen Argumente mit den formalen Argumente (per Referenz)
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||||
\item Unterprogramm-Sprung
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\item Rücksprung an die Aufrufstelle bei erreichen einer \texttt{return}-Anweisung oder \texttt{end} im aufgerufenen Unterprogramm
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\end{enumerate}
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||||
Da Fortran per call-by-reference assoziiert, gibt es verbotene Seiteneffekte (side effects). Diese dürfen \texttt{nicht} in Unterprogrammen verwendet werden.
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\begin{itemize}
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||||
\item Veränderungen von Variablen im Ausdruck durch Funktionsauswertung in demselben Ausdruck ($\Rightarrow$ die Auswertung ist abhängig von der Auswertungsreihenfolge) \\
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\texttt{Y = X + X * F(X)} $\to$ Zuerst werden alte \texttt{X} addiert, dann wird \texttt{X} modifiziert \\
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||||
\texttt{Z = F(X) * X + X} $\to$ \texttt{X} wird verändert, dann werden neue \texttt{X} addiert. \\
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||||
\texttt{if(x < f(x))} $\to$ besser wäre: \texttt{y = x; if(x < f(y))}
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||||
\item Assoziation mehrerer formaler Argumente mit demselben aktuellen Argument, wenn eines dieser formalen Argumente innerhalb des Unterprogramms verändert wird:
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\begin{lstlisting}
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subroutine sub(a,b)
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integer :: a, b
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b = a + b
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end subroutine sub
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call sub(x,x)
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||||
\end{lstlisting}
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\end{itemize}
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Um solche Probleme zu vermeiden kann man formale Argumente mit einen Schreib- bzw. Leseschutz ausstatten. Dafür gibt es in Fortran das sogenannte \texttt{intent}-Attribut.
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\begin{lstlisting}
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subroutine test(a, input, output)
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integer, intent(inout) :: a
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integer, intent(in) :: input
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||||
integer, intent(out) :: output
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||||
end subroutine test
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\end{lstlisting}
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\begin{itemize}
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\item \texttt{a} muss einen definierten Anfangszustand haben
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\item \texttt{input} hat einen Schreibschutz, es darf nur gelesen werden
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\item \texttt{output} hat einen Leseschutz, es darf nur geschrieben werden
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\end{itemize}
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Das \texttt{optional}-Attribut kann für formale Argumente benutzt werden, die nicht zwingend für die korrekte Funktionsweise des Unterprogramms notwendig sind. Im Unterprogramm muss man dann prüfen, ob dieses Argument übergeben wurde:
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\begin{lstlisting}
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subroutine sub(a,b,opt)
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integer :: a,b
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integer, optional :: opt
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if(present(opt))
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b = a + opt
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else
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b = a
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end if
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||||
end subroutine sub
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\end{lstlisting}
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Ein Unterprogramm kann sich auch selbst aufrufen, wenn das Unterprogramm das Attribut \texttt{recursive} besitzt. Diese sind charakterisiert durch: Mehrere Instanzen (Aktivierungen) des rekursiven Unterprogramms sind gleichzeitig aktiv, das heißt mehrere Instanzen seines Aktivierungsblocks können gleichzeitig auf dem Laufzeitstapel liegen. Im Aktivierungsblock liegen alle Parameter, lokalen Variablen, eventuell. ich andere Informationen zur Aufrufverwaltung (z.B. Rücksprungadresse, ...); jede Aktivierungsblockinstanz ist eine vollständige Kopie mit eigenem Speicher.
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||||
\begin{lstlisting}
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recursive function fakultaet(n) result (res)
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||||
integer, intent(in) :: n
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integer :: res
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if(n == 0) then
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||||
res = 1
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else
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||||
res = n * fakultaet(n-1)
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end if
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||||
end function fakultaet
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||||
\end{lstlisting}
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\begin{lstlisting}
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||||
recursive function ggt(a,b) result (g)
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||||
integer :: a, b, g
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||||
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||||
if(b == 0) then
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||||
g = a
|
||||
else
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g = ggt(b, mod(a,b))
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||||
end if
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end function ggt
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\end{lstlisting}
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Man kann viele Funktionen und Subroutinen auch in sogenannten \begriff{Modulen} zusammenfassen, die dann im Hauptprogramm mit \texttt{use modulname} eingebunden werden können. Beim Kompilieren ist darauf zu achten, dass immer von "'unten nach oben"' kompiliert wird, also vom untersten Modul bis zum Hauptprogramm.
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Ein Modul definiert in der Regel einen ADT (abstrakter Datentyp), das heißt mindestens einen öffentlichen Datentyp samt aller notwendigen Grundoperationen auf/mit Objekten dieses Typs. Häufig wird die innere Struktur der Objekte (bzw. des Typs) vor Zugriffen von außen geschützt (Datenkapselung, information/data hiding, ...), um Fehler im Umgang mit diesen Objekten zu vermeiden (z.B. inkonsistente innere Zustände, ...).
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19
1. Semester/PROG/TeX_files/Vorwort.tex
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1. Semester/PROG/TeX_files/Vorwort.tex
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@ -0,0 +1,19 @@
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Schön, dass du unser Skript für die Vorlesung \textit{Programmieren für Mathematiker 1} bei Prof. Dr. Wolfgang Walter im WS2017/18 gefunden hast!
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Wir verwalten dieses Skript mittels Github \footnote{Github ist eine Seite, mit der man Quelltext online verwalten kann. Dies ist dahingehend ganz nützlich, dass man die Quelltext-Dateien relativ einfach miteinander synchronisieren kann, wenn man mit mehren Leuten an einem Projekt arbeitet.}, d.h. du findest den gesamten \LaTeX-Quelltext auf \url{https://github.com/henrydatei/TUD_MATH_BA}. Unser Ziel ist, für alle Pflichtveranstaltungen von \textit{Mathematik-Bachelor} ein gut lesbares Skript anzubieten. Für die Programme, die in den Übungen zur Vorlesung \textit{Programmieren für Mathematiker} geschrieben werden sollen, habe ich ein eigenes Repository eingerichtet; es findet sich bei \url{https://github.com/henrydatei/TU_PROG}.
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Es lohnt sich auf jeden Fall während des Studiums die Skriptsprache \LaTeX{} zu lernen, denn Dokumente, die viele mathematische oder physikalische Formeln enthalten, lassen sich sehr gut mittels \LaTeX{} darstellen, in Word oder anderen Office-Programmen sieht so etwas dann eher dürftig aus.
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\LaTeX{} zu lernen ist gar nicht so schwierig, ich habe dafür am Anfang des ersten Semesters wenige Wochen benötigt, dann kannte ich die wichtigsten Befehle und konnte mein erstes Skript schreiben (\texttt{1. Semester/LAAG}, Vorsicht: hässlich, aber der Quelltext ist relativ gut verständlich). Inzwischen habe ich das Skript überarbeitet, lasse es aber noch für Interessenten online.
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Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen (wie in jedem anderem Skript auch \smiley{}), dass dieses Skript nicht den Besuch der Vorlesungen ersetzen kann. Prof. Walter hat nicht wirklich eine Struktur in seiner Vorlesung, ich habe deswegen einiges umstrukturiert und ergänzt, damit es überhaupt lesbar wird. Wenn du Pech hast, ändert Prof. Walter seine Vorlesung grundlegend, aber egal wie: Wenn du noch nicht programmieren kannst, wirst du es durch die Vorlesung auch nicht lernen, sondern nur durch die Übungen; die Vorlesung ist da wenig hilfreich.
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Wir möchten deswegen ein Skript bereitstellen, dass zum einen übersichtlich ist, zum anderen \textit{alle} Inhalte aus der Vorlesung enthält, das sind insbesondere Diagramme, die sich nicht im offiziellen Skript befinden, aber das Verständnis des Inhalts deutlich erleichtern. Ich denke, dass uns dies erfolgreich gelungen ist.
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Trotz intensivem Korrekturlesen können sich immer noch Fehler in diesem Skript befinden. Es wäre deswegen ganz toll von dir, wenn du auf unserer Github-Seite \url{https://github.com/henrydatei/TUD_MATH_BA} ein neues Issue erstellst und damit auch anderen hilfst, dass dieses Skript immer besser wird.
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Und jetzt viel Spaß bei \textit{Programmieren für Mathematiker}!
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\begin{flushright}
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Henry, Pascal und Daniel
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\end{flushright}
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1. Semester/PROG/Vorlesung PROG alt.pdf
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1. Semester/PROG/Vorlesung PROG alt.pdf
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1. Semester/PROG/Vorlesung PROG.tex
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53
1. Semester/PROG/Vorlesung PROG.tex
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@ -0,0 +1,53 @@
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\documentclass[ngerman,a4paper,order=firstname]{../../texmf/tex/latex/mathscript/mathscript}
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\usepackage{../../texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators}
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\title{\textbf{Programmieren für Mathematiker WS2017/18}}
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\author{Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Walter}
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\begin{document}
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\pagenumbering{roman}
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\pagestyle{plain}
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\maketitle
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\hypertarget{tocpage}{}
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\tableofcontents
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\bookmark[dest=tocpage,level=1]{Inhaltsverzeichnis}
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\pagebreak
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\pagenumbering{arabic}
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\pagestyle{fancy}
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\chapter*{Vorwort}
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\input{./TeX_files/Vorwort}
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\chapter{allgemeine Informationen}
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\input{./TeX_files/Allgemeines}
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\chapter{Zahldarstellungen}
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\input{./TeX_files/Basis-Konversion_ganzer_Zahlen}
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\include{./TeX_files/Basis-Konversion_gebrochener_Zahlen}
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\include{./TeX_files/Gleitkommazahlen}
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\include{./TeX_files/Rundung}
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\chapter{Grundstrukturen von Algorithmen}
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\input{./TeX_files/Einfache_Syntax}
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\include{./TeX_files/Datentypen}
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\include{./TeX_files/Ausdruecke}
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\include{./TeX_files/Unterprogramme}
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\include{./TeX_files/Benutzerdefinierte_Typen}
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\include{./TeX_files/Felder}
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||||
\chapter{Ein- und Ausgabe}
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\input{./TeX_files/Ein_und_Ausgabe}
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||||
\include{./TeX_files/Dateiverwaltung}
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||||
\part*{Anhang}
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||||
\addcontentsline{toc}{part}{Anhang}
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\appendix
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%\printglossary[type=\acronymtype]
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\printindex
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\end{document}
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3
2. Semester/ANAG 1+2 Semester/README.md
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3
2. Semester/ANAG 1+2 Semester/README.md
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@ -0,0 +1,3 @@
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# Analysis, 2. Semester
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Wir arbeiten daran, dass Skript zu verbessern. Aktuell ist eher noch auf dem Stand von 2014 und es sind noch ein paar Fehler drin.
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@ -56,7 +56,7 @@ Sei stets $f: D \subset X \to Y,X,Y$ metrische Räume, $D = \mathcal{D}(f)$.
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|||
\begin{example}
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||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
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||||
\item $x \in [0,2\pi] \to (x,\sin x) \in \mathbb{R}^2$ ist Kurve in $\mathbb{R}^2$
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||||
\item $x \in [0,1] \to e^{î\pi x} \in \mathbb{C}$ oder $x \in [0,\pi]\to e^{i\pi} \in \mathbb{C}$ sind Kurven in $\mathbb{C}$
|
||||
\item $x \in [0,1] \to e^{i\pi x} \in \mathbb{C}$ oder $x \in [0,\pi]\to e^{i\pi} \in \mathbb{C}$ sind Kurven in $\mathbb{C}$
|
||||
\item Sei $Y$ normierter Raum, $a,b \in Y,f:[0,1] \to Y$ mit $f(t) = (1-t)\cdot a + t\cdot b$ ist Kurve (Strecke von $a$ nach $b$)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
|
@ -178,10 +178,10 @@ Sei stets $f: D \subset X \to Y,X,Y$ metrische Räume, $D = \mathcal{D}(f)$.
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|||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $R: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ rationale Funktion, $z_0 \in \mathbb{C}$ Pol der Ordnung $k\geq 1 \Rightarrow \,\exists ! a_1,\dots,a_k \in \mathbb{C},a_k\neq 0$ und $\exists !$ Polynom $\tilde{p}$ mit
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||||
\[
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||||
R(z) = \sum_{i=1}^{k}
|
||||
\frac{a_i}{(z-z_0)^{î}} + \frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)} = H(z) +\frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)}
|
||||
\]
|
||||
\begin{align}
|
||||
R(z) = \sum_{i=1}^{k}
|
||||
\frac{a_i}{(z-z_0)^{i}} + \frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)} = H(z) +\frac{\tilde{p}(z)}{\tilde{g}(z)}
|
||||
\end{align}
|
||||
$H(z)$ heißt Hauptteil von $R \text{ in } z_0$. Beachte das $\frac{\tilde{p}}{\tilde{g}}$ keine Pole in $z_0$ hat.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
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||||
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@ -75,7 +75,7 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x,
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|||
\vert M \vert = \int_Y \psi \D y
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\item Falls $\vert M \vert = 0$, folgt $\psi(y) = 0$ \gls{fü} auf $Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
\item Falls $\vert M \vert = 0$, folgt $\psi(y) = 0$ \gls{fue} auf $Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & \propref{fubini_folgerung_nullmenge} bewiesen.
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
|
@ -83,12 +83,12 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x,
|
|||
\rule{0.5\linewidth}{0.1pt}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\{ \chi_{R_k}\}$ monoton fallend mit $\psi_{R_k}\to\chi_M$ \gls{fü} auf $X\times Y$ und $\chi_{R_k}$ integrierbar auf $X\times Y$ \\
|
||||
\item $\{ \chi_{R_k}\}$ monoton fallend mit $\psi_{R_k}\to\chi_M$ \gls{fue} auf $X\times Y$ und $\chi_{R_k}$ integrierbar auf $X\times Y$ \\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\{ \chi_{R_k}\}$ ist $L^1$-CF zu $\chi_M$ und \[\int_{X\times Y} \psi_{R_k} \D (x,y) \to \int_{X\times Y} \chi_M \D (x,y).\]
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
|
||||
\item Nach \propref{fubini_folgerung_nullmenge} existiert Nullmenge $\tilde{N}\subset Y$ mit $\chi_{R_k}(\,\cdot\, , y)\to \chi_M(\,\cdot \, , y)$ \gls{fü} auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\
|
||||
\item Nach \propref{fubini_folgerung_nullmenge} existiert Nullmenge $\tilde{N}\subset Y$ mit $\chi_{R_k}(\,\cdot\, , y)\to \chi_M(\,\cdot \, , y)$ \gls{fue} auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\xRightarrow{\eqref{fubini_fubini_beweis_3},\eqref{fubini_fubini_beweis_4}}$ & $\chi_{R_k} (\,\cdot\, , y)$ integrierbar auf $X$ $\forall k\in \mathbb{N}$, $y\in Y\setminus\tilde{N}$ \\
|
||||
$\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{majorisierte}}$ & $\chi_M(\,\cdot\, ,y)$ integrierbar auf $X$ $\forall y\in Y\setminus\tilde{N}$ mit
|
||||
|
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@ -106,7 +106,7 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x,
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|||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle \int_{X\times Y} h_k(x,y) \D (x,y) \overset{\text{a)}}{=} \int_Y \left( \int_X h_k \D x\right) \D y$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
|
||||
Analog zu \ref{fubini_fubini_beweis_teil_a} folgt: $h_k(\,\cdot\, , y)\to f(\,\cdot\,,y)$ \gls{fü} auf $X$ für \gls{fa} $y\in Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
Analog zu \ref{fubini_fubini_beweis_teil_a} folgt: $h_k(\,\cdot\, , y)\to f(\,\cdot\,,y)$ \gls{fue} auf $X$ für \gls{fa} $y\in Y$ \\ \begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\xRightarrow[\text{Konvergenz}]{\text{Majorisierte}}$ & Behauptung für $f$.
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
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||||
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@ -140,7 +140,7 @@ Betrachte Integrale auf $X\times Y$ mit $X=\mathbb{R}^p$, $Y=\mathbb{R}^q$, $(x,
|
|||
$\Rightarrow$ & $f$ ist integrierbar auf $X\times Y$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
|
||||
Offenbar sind die $\{ f_k \}$ wachsend, $f_k\to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $X\times Y$. Falls oberes Integral in \eqref{fubini_tonelli_eq} existiert, gilt \begin{align*}
|
||||
Offenbar sind die $\{ f_k \}$ wachsend, $f_k\to \vert f \vert$ \gls{fue} auf $X\times Y$. Falls oberes Integral in \eqref{fubini_tonelli_eq} existiert, gilt \begin{align*}
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||||
\int_{X\times Y} f(x,y) \D(x,y) \overset{\text{Fubini}}{=} \int_Y \left( \int_X f_k \D x\right) \D y \le \int_Y \left( \int_X \vert f \vert \D x \right)\D y < \infty
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
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|
@ -1,3 +1,4 @@
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\addtocounter{section}{12}
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\section{Funktionen}
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\begin{*definition}
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||||
$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ \begriff{monoton}\begriff[monoton!]{falled}/\begriff[monoton!]{wachsend}, falls $x < y, x,y\in M \,\Rightarrow \,f(x) \le f(y)$ bzw. $f(x) \ge f(y)$
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@ -1,3 +1,4 @@
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\addtocounter{section}{7}
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\section{Grundlegende Ungleichungen}
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\begin{proposition}[geoemtrisches / arithemtisches Mittel]
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\proplbl{ungleichung_arithmetisches_geometrisches_mittel}
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@ -39,7 +40,7 @@
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&\leq \frac{m(1+x)+(n-m)\cdot1}{n}&\\
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&=\frac{n + mx}{n} = 1 + \frac{m}{n}x \text{, für } \alpha \in \ratio \beha&
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||||
\shortintertext{Sei $\alpha \in \real$ angenommen $(1+x)^{\alpha} > 1 + \alpha x$ ($x\neq 0$ sonst klar!)}
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||||
& \overset{\text{\propref{k_archimedisch_angeordneter_körper}}}{\Rightarrow} \exists \in \ratio_{<1}
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||||
& \overset{\text{\propref{k_archimedisch_angeordneter_koerper}}}{\Rightarrow} \exists \in \ratio_{<1}
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||||
\begin{cases*}
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x > 0&$\alpha<q< \frac{(1+x)^{\alpha}-1}{x}$\\
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x < 0&$\alpha < q$
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@ -102,7 +103,7 @@
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$\Rightarrow \big(\sum\limits_{i=1}^{n} \vert x_i + y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} \leq \big(\sum\limits_{i=1}^{n} \vert x_i \vert^p \big)^\frac{1}{p} + \big(\sum\limits_{i=1}^{n} \vert y_i \vert^p \big)^\frac{1}{p}\,\forall x,y\in \mathbb{R}$
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||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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$p=1$ Beh. folgt aus $\Delta$-Ungleichung $\vert x_i + y_i\vert \overset{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}}{\leq} \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$\\ $p>1$ sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\Rightarrow q = \frac{p}{p-1}$, $z_i:=\vert x_i + y_i\vert^{p-1}\forall i$
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||||
$p=1$ Beh. folgt aus $\Delta$-Ungleichung $\vert x_i + y_i\vert \overset{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}}{\leq} \vert x_i \vert + \vert y_i \vert \forall i$\\ $p>1$ sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\Rightarrow q = \frac{p}{p-1}$, $z_i:=\vert x_i + y_i\vert^{p-1}\forall i$
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||||
\begin{align*}
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||||
\mathcal{S}^{p\cdot q} &= \sum_{i=1}^{n} \vert z_i \vert^q\\
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||||
& = \sum_{i=1}^{n} \vert x_i+y_i \vert\cdot\vert z_i \vert^q\\
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||||
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@ -28,7 +28,7 @@ Man verifiziert leicht
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|||
(Beschränktheit) Es ist $\vert \int_M h\D x \vert \le \int _M \vert h \vert \D x$ $\forall h\in T^{1}(M)$
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||||
\item Für $h\in T^1(M)$ gilt: \\
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||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{X@{\ \ }c@{\ \ }X}
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||||
\hfill $\displaystyle \int_M \vert h \vert \D x = 0$ & $\Leftrightarrow$ & $h=0$ \gls{fü} auf $M$
|
||||
\hfill $\displaystyle \int_M \vert h \vert \D x = 0$ & $\Leftrightarrow$ & $h=0$ \gls{fue} auf $M$
|
||||
\end{tabularx}
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||||
\end{enumerate}
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@ -48,7 +48,7 @@ sinnvoll:
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\proplbl{integral_messbare_funktion_forderung}
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h_k\to f\text{ in geeigneter Weise }\;\; &\Rightarrow\;\;\int_M h_k \D x \to \int_m f \D x
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||||
\end{align}
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||||
nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} eine Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ mit $h_k(x)\to f(x)$ \gls{fü} auf $M$ betrachten, \emph{aber} es gibt zu viele konvergente Folgen für einen konsistenten Integralbegriff.
|
||||
nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} eine Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ mit $h_k(x)\to f(x)$ \gls{fue} auf $M$ betrachten, \emph{aber} es gibt zu viele konvergente Folgen für einen konsistenten Integralbegriff.
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||||
\begin{example}
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||||
\proplbl{integral_funktion_beispiel_striktere_konvergenz}
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@ -57,7 +57,7 @@ nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_
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|||
k\cdot \alpha_k&\text{auf }(0,\frac{1}{k}) \\ 0&\text{sonst}
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||||
\end{cases}
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||||
\end{align*}
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||||
Offenbar konvergiert $h_k$ gegen $0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$ und man hat $h_k\to 0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$ und $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x = \alpha_k$
|
||||
Offenbar konvergiert $h_k$ gegen $0$ \gls{fue} auf $\mathbb{R}$ und man hat $h_k\to 0$ \gls{fue} auf $\mathbb{R}$ und $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x = \alpha_k$
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||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
$\Rightarrow$ & je nach Wahl der Folge $\alpha_n$ liegt ganz unterschiedliches Konvergenzverhalten der Folge $\int_{\mathbb{R}} h_k \D x$ vor \\
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||||
$\Rightarrow$ & kein eindeutiger Grenzwert in \eqref{integral_messbare_funktion_forderung} möglich \\
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||||
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@ -90,7 +90,7 @@ nach \propref{messbarkeit_funktion_approximation} sollte man in \eqref{integral_
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|||
\end{align*}
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||||
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||||
\stepcounter{equation}
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||||
Messbare Funktion $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ heißt \begriff{integrierbar} auf $M\subset D$, falls Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ in $T^1(M)$ existiert mit $\{ h_k\}$ ist $L1$-CF auf $M$ und $H_k\to f$ \gls{fü} auf $M$.\marginnote{\leqnos\begin{align}\proplbl{integral_funktion_definition}\,\end{align}Formel (3) unbekannt}[-1.5\baselineskip]
|
||||
Messbare Funktion $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ heißt \begriff{integrierbar} auf $M\subset D$, falls Folge von Treppenfunktionen $\{ h_k\}$ in $T^1(M)$ existiert mit $\{ h_k\}$ ist $L1$-CF auf $M$ und $H_k\to f$ \gls{fue} auf $M$.\marginnote{\leqnos\begin{align}\proplbl{integral_funktion_definition}\,\end{align}Formel (3) unbekannt}[-1.5\baselineskip]
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||||
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||||
Für integrierbare Funktion $f$ heißt eine solche Folge $\{h_k\}$ \begriff{zugehörige $L^1$-CF} auf $M$.
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||||
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@ -122,7 +122,7 @@ Menge der auf $M$ integrierbaren Funktionen ist \mathsymbol*{L1}{$L^1$} \begin{a
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\begin{remark}\vspace*{0pt}
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||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax]
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||||
\item Integral in \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} kann als vorzeichenbehaftetes Volumen des Zylinders im $\mathbb{R}^{n+1}$ unter (über) dem Graphen von $f$ interpretiert werden.
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||||
\item Sei $0\le h_1 \le h_2 \le \dotsc$ monotone Folge von integrierbaren Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $M$ und sei Folge $\{ \int_M h_k\D x\}$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\
|
||||
\item Sei $0\le h_1 \le h_2 \le \dotsc$ monotone Folge von integrierbaren Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fue} auf $M$ und sei Folge $\{ \int_M h_k\D x\}$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\
|
||||
$\Rightarrow$ \eqref{integral_lebesque_funktion_definition} gilt und monotone Folge $\{ \int_m h_k \D x \}$ konvergiert in $\mathbb{R}$ (d.h. $\{ h_k \}$ ist $L^1$-CF zu $f$)
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||||
\item $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_beispiel_striktere_konvergenz} ist nur dann $L^1$-CF, falls $\alpha_k\to 0$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
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@ -159,10 +159,10 @@ $\xRightarrow[\eqref{integral_lebesque_funktion_definition}]{\propref{integral_f
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|||
\item Sei $f:M\subset\mathbb{R}\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar und seien $\{ h_k\}$, $\{ \tilde{h}_k \}$ zugehörigen $L^1$-CF in $T^1(M)$.\\
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\forall \epsilon > 0$ $\exists k_0$ mit \[ \int_M \vert (h_k + \tilde{h}_k) - (h_l + \tilde{h}_l)\vert \D x \le \int_M \vert h_k - h_l\vert + \vert \tilde{h}_k - \tilde{h}_l \vert \D x < \epsilon \quad\forall k,l\ge k_0 \] \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $\{ h_k - \tilde{h}_k \}$ ist $L^1$-CF mit $(h_k - \tilde{h}_k)\to 0$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
$\Rightarrow$ & $\{ h_k - \tilde{h}_k \}$ ist $L^1$-CF mit $(h_k - \tilde{h}_k)\to 0$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
|
||||
Da $\{ \int_M h_k \D x\}$, $\{ \int_M \tilde{h}_k \D x \}$ in $\mathbb{R}$ konvergieren, bleibt zu zeigen: $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF in $T^1(M)$ mit $h_k\to 0$ \gls{fü} auf $M$
|
||||
Da $\{ \int_M h_k \D x\}$, $\{ \int_M \tilde{h}_k \D x \}$ in $\mathbb{R}$ konvergieren, bleibt zu zeigen: $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF in $T^1(M)$ mit $h_k\to 0$ \gls{fue} auf $M$
|
||||
\begin{flalign}
|
||||
\Rightarrow &\int_M h_k \D x \xrightarrow{k\to\infty} 0&
|
||||
\end{flalign}
|
||||
|
|
@ -216,7 +216,7 @@ $\xRightarrow[\eqref{integral_lebesque_funktion_definition}]{\propref{integral_f
|
|||
\int_M f \D x &= \int_{M_1} f \D x + \int_{M_2} f \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item\proplbl{integral_funktion_rechenregeln_d}
|
||||
Sei $f = \tilde{f}$ \gls{fü} auf $M$ \\\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
Sei $f = \tilde{f}$ \gls{fue} auf $M$ \\\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
|
||||
$\Rightarrow$ & $\tilde{f}$ ist integrierbar auf $M$ mit
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -235,7 +235,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
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|||
Seien $\{ h_k\}$ und $\{ \tilde{h}_k \}$ aus $T^1(\mathbb{R})^n$ $L^1$-CF zu $f$ und $g$.
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||||
|
||||
\begin{enumerate}[label={zu \alph*)},leftmargin=\widthof{\texttt{zu a) }},topsep=\dimexpr-\baselineskip/2\relax]
|
||||
\item Es ist $h_k + \tilde{h}_k\to f + g$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
\item Es ist $h_k + \tilde{h}_k\to f + g$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
|
||||
Wegen \begin{align*}
|
||||
\int_M \vert (h_k + \tilde{h}_k) - (h_l + \tilde{h}_l)\vert \D x &\le \underbrace{\int_M \vert h_k - h_l\vert \D x}_{=\text{$L^1$-CF, $<\epsilon$}} + \underbrace{\int_M \vert \tilde{h}_k - \tilde{h}_l \vert \D x}_{=\text{$L^1$-CF, $<\epsilon$}}
|
||||
|
|
@ -275,11 +275,11 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
|
|||
\item\proplbl{integral_funktion_eigenschaften_monotonie}
|
||||
(Monotonie)
|
||||
Seien $f$, $g$ integrierbar auf $M$. Dann \begin{center}
|
||||
$f\le g$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle\int_M f\D x \le \int_M g \D x$
|
||||
$f\le g$ \gls{fue} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle\int_M f\D x \le \int_M g \D x$
|
||||
\end{center}
|
||||
\item\proplbl{integral_funktion_eigenschaften_nullfunktion}
|
||||
Sei $f$ integrierbar auf $M$, dann \begin{center}
|
||||
$\displaystyle \int_M \vert f \vert \D x = 0$\ \ $\Leftrightarrow$ \ \ $f = 0$ \gls{fü}
|
||||
$\displaystyle \int_M \vert f \vert \D x = 0$\ \ $\Leftrightarrow$ \ \ $f = 0$ \gls{fue}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
In Analogie zur Treppenfunktion ist $\Vert f\Vert _1 := \int_M \vert f \vert \D x$ auf $L^1(M)$ eine Halbnorm, aber keine Norm ($\Vert f \Vert = 0$ $\cancel{\Leftrightarrow}$ $f = 0$). $\Vert f\Vert_1$ heißt \begriff{$L^1$-Halbnorm} von $f$.
|
||||
|
|
@ -293,7 +293,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
|
|||
\NoEndMark
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||||
\begin{enumerate}[label={zu \alph*)},topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax,leftmargin=\widthof{\texttt{zu b)\ }}]
|
||||
\item Sei $f$ integrierbar auf $M$ und sei $\{ h_k \}$ $L^1$-CF zu $f$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $\vert h_k \vert\to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
\ $\Rightarrow$ $\vert h_k \vert\to \vert f \vert$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
|
||||
Wegen $\int_M \left\vert \vert h_k \vert - \vert h_l \vert\right\vert \D x$\marginnote{$\vert\vert \alpha\vert - \vert\beta\vert\vert \le \vert \alpha - \beta\vert$ $\forall \alpha,\beta\in\mathbb{R}$} $\overset{\cref{integral_treppenfunktion_grundlegende_folgerung}}{\le}$ $\int_M \vert h_k - h_l \vert \D x$ ist $\{ \vert h_k\vert \}$ $L^1$-CF zu $\vert f \vert$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $\vert f \vert$ ist integrierbar.
|
||||
|
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@ -305,14 +305,14 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
|
|||
\end{align*}
|
||||
Da $\{ \vert h_k \vert \}$ $L^1$-CF zu $\vert f \vert$ ist, folgt die Behauptung durch Grenzübergang.
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||||
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||||
\item Nach den Rechenregeln ist $g - f$ integrierbar, wegen $\vert g - f\vert = g - f$ \gls{fü} auf $M$ folgt \begin{align*}
|
||||
\item Nach den Rechenregeln ist $g - f$ integrierbar, wegen $\vert g - f\vert = g - f$ \gls{fue} auf $M$ folgt \begin{align*}
|
||||
0 \le \left\vert \int_M g - f\D x\right\vert\overset{\ref{integral_funktion_eigenschaften_beschraenktheit}}{\le} \int_M \vert g - f\vert \D x \overset{ \cref{integral_funktion_rechenregeln}\;\ref{integral_funktion_rechenregeln_a}}{=} \int_M g \D x - \int_M f \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
$\Rightarrow$ Behauptung
|
||||
|
||||
\item[zu a)] für "`$\Leftarrow$"' wähle $f^\pm$ ($ f = f^+ - f^-$) jeweils eine monotone Folge von \gls{tf} $\{ h_k^\pm \}$ gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}. Folglich liefert $H_k = h_k^+ - h_k^-$ eine Folge von \gls{tf} mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
\item[zu a)] für "`$\Leftarrow$"' wähle $f^\pm$ ($ f = f^+ - f^-$) jeweils eine monotone Folge von \gls{tf} $\{ h_k^\pm \}$ gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}. Folglich liefert $H_k = h_k^+ - h_k^-$ eine Folge von \gls{tf} mit $h_k\to f$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
|
||||
Wegen $\vert h_k \vert \le \vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$ ist $\int_M \vert h_k\vert \D x \le \int_M \vert f \vert \D x$.
|
||||
Wegen $\vert h_k \vert \le \vert f \vert$ \gls{fue} auf $M$ ist $\int_M \vert h_k\vert \D x \le \int_M \vert f \vert \D x$.
|
||||
|
||||
Folglich ist die monotone Folge $\int_M \vert h_k\vert \D x$ in $\mathbb{R}$ beschränkt \\
|
||||
$\Rightarrow$ konvergent.
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||||
|
|
@ -325,7 +325,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
|
|||
\end{align*}
|
||||
Als konvergente Folge ist $\{ \int_M \vert h_k \vert \D x \}$ \person{Cauchy}-Folge in $\mathbb{R}$ und folglich ist $\{ h_k \}$ $L^1$-CF und sogar $L^1$-CF zu $f$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ $f$ integrierbar
|
||||
\item Für $f=0$ \gls{fü} auf $M$ ist offenbar $\int_M \vert f\vert \D x = 0$.
|
||||
\item Für $f=0$ \gls{fue} auf $M$ ist offenbar $\int_M \vert f\vert \D x = 0$.
|
||||
|
||||
Sei nun $\int_M \vert f \vert \D x = 0$, mit $M_k := \{ x\in M \mid \vert f \vert \ge \frac{1}{k} \}$ $\forall k\in\mathbb{N}$ ist \begin{align*}
|
||||
0 = \int_{M\setminus M_k} \vert f \vert \D x + \int_{M_k} \vert f \vert \D x \ge \int_{M\setminus M_k}0 \D x + \int_{M_k}\frac{1}{k}\D x \ge \frac{1}{k}\vert M_k\vert \ge 0
|
||||
|
|
@ -342,10 +342,10 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
|
|||
\proplbl{integral_funktion_lemma_weitere_eigenschaften}
|
||||
Sei $f$ auf $M$ integrierbar\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
|
||||
\item Für $\alpha_1$, $\alpha_2\in\mathbb{R}$ gilt:\begin{center}
|
||||
$\alpha_1\le f \le \alpha_2$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \alpha_1 \vert M \vert \le \int_M f \D x \le \alpha_2 \vert M \vert$
|
||||
$\alpha_1\le f \le \alpha_2$ \gls{fue} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \alpha_1 \vert M \vert \le \int_M f \D x \le \alpha_2 \vert M \vert$
|
||||
\end{center}
|
||||
\item Es gilt $f\ge 0$ \gls{fü} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\int_M f \D x\ge 0$
|
||||
\item Es gilt: $\tilde{M}\subset M$ messbar, $f\ge 0$ \gls{fü} auf $M$ \\
|
||||
\item Es gilt $f\ge 0$ \gls{fue} auf $M$ \ \ $\Rightarrow$ \ \ $\int_M f \D x\ge 0$
|
||||
\item Es gilt: $\tilde{M}\subset M$ messbar, $f\ge 0$ \gls{fue} auf $M$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ \ \ $\displaystyle \int_{\tilde{M}} f \D x \le \int_M f \D x$
|
||||
|
||||
(linkes Integral nach \propref{integral_funktion_rechenregeln} \ref{integral_funktion_rechenregeln_b})
|
||||
|
|
@ -358,7 +358,7 @@ Aussage \ref{integral_funktion_rechenregeln_d} bedeutet, dass eine Änderung der
|
|||
\item
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||||
Wegen $\int_M \alpha_j \D x = \alpha_j \vert M \vert $ für $\vert M \vert$ endlich folgt a) direkt aus der Monotonie des Integrals.
|
||||
\item folgt mit $\alpha_1=0$ aus a)
|
||||
\item folgt, da $\chi_{\tilde{M}}\cdot f \le f$ \gls{fü} auf $M$ und aus der Monotonie\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\item folgt, da $\chi_{\tilde{M}}\cdot f \le f$ \gls{fue} auf $M$ und aus der Monotonie\hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
|
@ -369,7 +369,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
|
|||
& \lim\limits_{k\to\infty} \int_M \vert f_k - f\vert \D x = 0 \quad(\Vert f_k - f\Vert\to0)\\
|
||||
\Rightarrow\;\;&\lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x = \int_M f\D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
Weiterhin gibt es eine Teilfolge $\{ f_{k'}\}$ mit $f_{k'}\to f$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
Weiterhin gibt es eine Teilfolge $\{ f_{k'}\}$ mit $f_{k'}\to f$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
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@ -386,13 +386,13 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
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|||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle M_\epsilon \subset\bigcup_{l=j}^\infty \{ \vert f_{k_l} - f \vert > \epsilon \}$ $\forall j\in\mathbb{N}$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $\displaystyle M_\epsilon \le \sum_{l=j}^\infty \left\vert \left\{ f_{k_l} - f\vert > \epsilon \right\} \right\vert \le \frac{1}{\epsilon} \sum_{l=j}^\infty \int _M \vert f_{k_l} - f\vert \D x \le \frac{1}{\epsilon} \sum_{l=j}^\infty \frac{1}{2^{l+1}} = \frac{1}{2^j \epsilon}\quad\forall j\in\mathbb{N}$\\
|
||||
$\Rightarrow$ & $M_\epsilon = 0$ $\forall\epsilon > 0$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ & $f_{k_l} \xrightarrow{l\to\infty} f$ \gls{fü} auf $M$ \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
$\Rightarrow$ & $f_{k_l} \xrightarrow{l\to\infty} f$ \gls{fue} auf $M$ \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[Majorantenkriterium]
|
||||
\proplbl{integral_funktion_majorantenkriterium}
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||||
Seien $f$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar, $M$ messbar, $\vert f \vert \le g$ \gls{fü} auf $M$, $g$ integrierbar auf $M$ \\
|
||||
Seien $f$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar, $M$ messbar, $\vert f \vert \le g$ \gls{fue} auf $M$, $g$ integrierbar auf $M$ \\
|
||||
$\;\Rightarrow$ $f$ integrierbar auf $M$
|
||||
|
||||
Man nennt $g$ auch \begriff{integrierbare Majorante} von $f$.
|
||||
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|
@ -404,7 +404,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
|
|||
\proplbl{integral_funktion_lemma_majorante_eq}
|
||||
0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f\quad \text{ und }\quad \int_M h_k \D x\text{ beschränkt}
|
||||
\end{align}
|
||||
$\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ und falls $\{ h_k\}\to f$ \gls{fü} auf $M$ ist $f$ integrierbar (vgl \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen})
|
||||
$\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ und falls $\{ h_k\}\to f$ \gls{fue} auf $M$ ist $f$ integrierbar (vgl \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen})
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
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@ -414,7 +414,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
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|||
Da $\{ \int_M h_k \D x \}$ konvergent ist in $\mathbb{R}$ als monoton beschränkte Folge ist diese CF in $\mathbb{R}$ \\
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||||
$\Rightarrow$ $\{ h_k\}$ ist $L^1$-CF
|
||||
|
||||
Falls noch $h_k\to f$ \gls{fü} $\Rightarrow$ $\{h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar
|
||||
Falls noch $h_k\to f$ \gls{fue} $\Rightarrow$ $\{h_k\}$ ist $L^1$-CF zu $f$ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar
|
||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{proof}[\propref{integral_funktion_majorantenkriterium}]
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||||
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@ -424,7 +424,7 @@ In der Vorüberlegung zum Integral wurde eine gewisse Stetigkeit der Integralabb
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|||
Es existiert eine Folge $\{ h_k \}$ von Treppenfunktionen mit \begin{align*}
|
||||
0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le \vert f \vert \le g
|
||||
\end{align*}
|
||||
auf $M$ und $\{ h_k\}\to\vert f \vert$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
auf $M$ und $\{ h_k\}\to\vert f \vert$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
|
||||
Da $\{ \int_M h_k \D x \}$ beschränkt ist in $\mathbb{R}$ da $g$ integrierbar ist \\
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||||
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
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||||
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@ -480,7 +480,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
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|||
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||||
Alle $g_k$ sind messbar nach \propref{messbarkeit_funktionen_komposition}, \propref{integral_funktion_majorantenkriterium}
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||||
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||||
Für jedes $k\in\mathbb{N}$ wählen wir gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen} eine Folge $\{ h_{k_l} \}_l$ von Treppenfunktionen mit $0\le h_{k_1} \le h_{k_2} \le \dotsc \le g_k$, $h_{k_l}\xrightarrow{l\to\infty} g_k$ \gls{fü} auf $M$.
|
||||
Für jedes $k\in\mathbb{N}$ wählen wir gemäß \propref{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen} eine Folge $\{ h_{k_l} \}_l$ von Treppenfunktionen mit $0\le h_{k_1} \le h_{k_2} \le \dotsc \le g_k$, $h_{k_l}\xrightarrow{l\to\infty} g_k$ \gls{fue} auf $M$.
|
||||
|
||||
Nach \propref{integral_funktion_lemma_majorante} ist $\{ h_{k_l}\}_l$ $L^1$-CF zu $g_k$.
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||||
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||||
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@ -497,14 +497,14 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
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|||
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||||
Mit $\tilde{A}_l := \bigcup_{k=l}^\infty A_k$ folgt $\vert \tilde{A}_l\vert \le \frac{1}{2^{l-1}}$ und $\vert \tilde{h}_k - f \vert \le \frac{2}{k}$ auf $(B_k(0)\cap M)\setminus \tilde{A}_l$ $\forall k>l$.
|
||||
|
||||
Folglich $\tilde{h}_l\to f$ \gls{fü} auf $M$ und wegen der Monotonie ist $\{ \tilde{h}_k\}$ $L^1$-CF zu $f$ \\
|
||||
Folglich $\tilde{h}_l\to f$ \gls{fue} auf $M$ und wegen der Monotonie ist $\{ \tilde{h}_k\}$ $L^1$-CF zu $f$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ $\int_M f \D x \overset{\text{Def}}{=} \lim\limits_{k\to\infty} \int_M \tilde{h}_k \D x \overset{\text{Monotonie}}{\le}\liminf\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x$\\
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||||
$\Rightarrow$ Behauptung
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{theorem}[Monotone Konvergenz]
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||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz}
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||||
Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar auf $M\subset D$ $\forall k\in\mathbb{N}$ mit $f_1 \le f_2 \le \dotsc $ \gls{fü} auf $M$ \\
|
||||
Seien $f_k:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ integrierbar auf $M\subset D$ $\forall k\in\mathbb{N}$ mit $f_1 \le f_2 \le \dotsc $ \gls{fue} auf $M$ \\
|
||||
\ $\Rightarrow$ $f$ ist integrierbar auf $M$ und \begin{align*}
|
||||
\left( \int_M f \D x = \right) \int_M \lim\limits_{k\to\infty} f_k(x) \D x &= \lim\limits_{k\to\infty} \int_M f_k \D x
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
|
@ -512,7 +512,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
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|||
\end{theorem}
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||||
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||||
\begin{remark}
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||||
\propref{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz} bleibt richtig, falls man $f_1 \ge f_2 \ge \dotsc$ \gls{fü} auf $M$ hat.
|
||||
\propref{integral_grenzwertsatz_monotone_konvergenz} bleibt richtig, falls man $f_1 \ge f_2 \ge \dotsc$ \gls{fue} auf $M$ hat.
|
||||
|
||||
Ferner ist wegen der Monotonie die Beschränktheit der Folge $\{ \int_M f_k \D x \}$ für die Existenz des Grenzwertes ausreichend.
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
|
@ -529,7 +529,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
|
|||
|
||||
\begin{theorem}[Majorisierte Konvergenz]
|
||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz}
|
||||
Seien $f_k$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar für $k\in\mathbb{N}$ und sei $g$ integrierbar auf $M\subset D$ mit $\vert f_k\vert \le g$ \gls{fü} auf $M$ $\forall k\in\mathbb{N}$ und $f_k\to:f$ \gls{fü} auf $M$
|
||||
Seien $f_k$, $g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar für $k\in\mathbb{N}$ und sei $g$ integrierbar auf $M\subset D$ mit $\vert f_k\vert \le g$ \gls{fue} auf $M$ $\forall k\in\mathbb{N}$ und $f_k\to:f$ \gls{fue} auf $M$
|
||||
\begin{align}
|
||||
\proplbl{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz_eq}
|
||||
\Rightarrow\;\;\lim\limits_{k\to\infty} \int_M \vert f_k - f\vert \D x = 0
|
||||
|
|
@ -541,7 +541,7 @@ Keine Gleichheit hat man z.B. für $\{ h_k\}$ aus \propref{integral_funktion_bei
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|||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
Nach dem Majorantenkriterium sind alle $f_k$ \gls{fü} integrierbar auf $M$.
|
||||
Nach dem Majorantenkriterium sind alle $f_k$ \gls{fue} integrierbar auf $M$.
|
||||
|
||||
Nach \propref{integral_grenzwertsatz_fatou} gilt:\begin{align*}
|
||||
\int_M 2g \D x = \int_M \liminf\limits_{k\to\infty} \vert 2g - \vert f_k - f\vert \vert \D x \le \liminf\limits_{k\to\infty} \int_M 2g - \vert f_k - f \vert \D x
|
||||
|
|
@ -276,7 +276,7 @@ Nach \propref{messbarkeit_satz_grundlegende_messbare_mengen} \ref{messbarkeit_sa
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|||
0 & \text{auf $(a, \alpha_k)$}
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||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Offenbar ist $\vert f_k\vert \le \vert f\vert$, $f_k\to f$, $\vert f_k\vert \to \vert f \vert$ \gls{fü} auf $(a,b)$.
|
||||
Offenbar ist $\vert f_k\vert \le \vert f\vert$, $f_k\to f$, $\vert f_k\vert \to \vert f \vert$ \gls{fue} auf $(a,b)$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item["`$\Rightarrow$"'] $f$ integrierbar auf $(a,b)$. Mit \propref{integral_grenzwertsatz_majorisierte_konvergenz} (Majorisierte Konvergenz) folgt \begin{align*}
|
||||
\lim\limits_{k\to\infty} \int_{\alpha_k}^b \vert f \vert \D x &= \lim\limits_{k\to\infty} \int_a^b \vert f_k\vert \D x = \int_a^b \vert f \vert \D x
|
||||
|
|
@ -1,3 +1,4 @@
|
|||
\addtocounter{section}{20}
|
||||
\section{Messbarkeit}\setcounter{equation}{0}
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||||
Wir führen zunächst das \lebesque-Maß ein und behandeln dann messbare Mengen und messbare Funktionen.
|
||||
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||||
|
|
@ -120,7 +121,7 @@ Nach \eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} und \eqref{messbarkeit
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|||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{*definition}
|
||||
Eine Eigenschaft gilt \gls{fü} auf $M\subset\mathbb{R}^n$, falls eine Nullmenge existiert, sodass die Eigenschaft $\forall x\in M\setminus N$ gilt. Man sagt auch, dass die Eigenschaft für \gls{fa} $x\in M$ gilt.
|
||||
Eine Eigenschaft gilt \gls{fue} auf $M\subset\mathbb{R}^n$, falls eine Nullmenge existiert, sodass die Eigenschaft $\forall x\in M\setminus N$ gilt. Man sagt auch, dass die Eigenschaft für \gls{fa} $x\in M$ gilt.
|
||||
\end{*definition}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
|
|
@ -130,7 +131,7 @@ Nach \eqref{messbarkeit_satz_teilmenge_kleineres_mass_eq} und \eqref{messbarkeit
|
|||
1, &x\in\mathbb{Q} \\ 0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
ist $f=0$ \gls{fü} auf $\mathbb{R}$.
|
||||
ist $f=0$ \gls{fue} auf $\mathbb{R}$.
|
||||
\end{example}
|
||||
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||||
\subsection{Messbare Mengen}
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||||
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|
@ -387,14 +388,14 @@ Man sieht leicht
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|||
Es gilt:\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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||||
\item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar. Dann ist auch die Nullfortsetzung $\overline{f}:\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar
|
||||
\item Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar und $D'\subset D$ messbar. Dann ist $f$ auf $D'$ messbar, d.h. insbesondere $\left. f\right|_{D'}$ ist messbar.
|
||||
\item Seien $f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$. Sei $f$ messbar und $f=g$ \gls{fü} auf $D$. Dann ist $g$ messbar.
|
||||
\item Seien $f,g:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$. Sei $f$ messbar und $f=g$ \gls{fue} auf $D$. Dann ist $g$ messbar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
Die \person{Dirichlet}-Funktion ist auf $\mathbb{R}$ messbar.
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||||
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||||
$h=0$ ist messbare Treppenfunktion auf $\mathbb{R}$ und stimmt mit der \person{Dirichlet}-Funktion \gls{fü} überein.
|
||||
$h=0$ ist messbare Treppenfunktion auf $\mathbb{R}$ und stimmt mit der \person{Dirichlet}-Funktion \gls{fue} überein.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{proof}\hspace*{0pt}
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||||
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@ -423,7 +424,7 @@ f:=\max(f_1, f_2):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\;\;f(x) = \max \{ f_1(x), f_2(x) \}
|
|||
\end{align*}
|
||||
und analog: $\min(f_1, f_2)$, $\sup\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$, $\inf\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$, $\limsup\limits_{k\to\infty} f_k$, $\liminf\limits_{k\in\mathbb{N}} f_k$
|
||||
|
||||
Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man auch $f_k\to f$ \gls{fü} auf $D$.
|
||||
Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man auch $f_k\to f$ \gls{fue} auf $D$.
|
||||
\end{*definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[zusammengesetzte messbare Funktionen]
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||||
|
|
@ -494,7 +495,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$, $D$ messbar. Dann
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||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }c@{\ \ }X}
|
||||
\hspace*{0.19\linewidth} $f$ messbar & $\Leftrightarrow$ & $\exists$ Folge $\{ h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fü} auf $D$
|
||||
\hspace*{0.19\linewidth} $f$ messbar & $\Leftrightarrow$ & $\exists$ Folge $\{ h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $h_k\to f$ \gls{fue} auf $D$
|
||||
\end{tabularx}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
|
@ -521,10 +522,10 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\item["`$\Leftarrow$"']
|
||||
Sei $\tilde{f}(x) := \limsup\limits_{k\to\infty} h_k(x)$ $\forall x\in D$ $\Rightarrow$ $f(x) = \tilde{f}(x)$ \gls{fü} auf $D$ \\
|
||||
Sei $\tilde{f}(x) := \limsup\limits_{k\to\infty} h_k(x)$ $\forall x\in D$ $\Rightarrow$ $f(x) = \tilde{f}(x)$ \gls{fue} auf $D$ \\
|
||||
Nach \propref{messbarkeit_funktionen_komposition}: $h_k$ messbar $\Rightarrow$ $\tilde{f}$ messbar
|
||||
|
||||
Da $f=\tilde{f}$ \gls{fü} folgt $f$ messbar.
|
||||
Da $f=\tilde{f}$ \gls{fue} folgt $f$ messbar.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
|
@ -532,7 +533,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
\proplbl{messbarkeit_funktion_existenz_monotone_treppenfunktionen}
|
||||
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to\overline{\mathbb{R}}$ messbar mit $f\ge 0$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow$ $\exists$ Folge $\{h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f$ auf $D$ und $h_k\to f$ \gls{fü} auf $D$.
|
||||
$\Rightarrow$ $\exists$ Folge $\{h_k\}$ von Treppenfunktionen mit $0 \le h_1 \le h_2 \le \dotsc \le f$ auf $D$ und $h_k\to f$ \gls{fue} auf $D$.
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
|
|
@ -557,7 +558,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
Folgende Funktionen sind messbar
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Stetige Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen (wähle $N=\emptyset$ im obigen Satz), insbesondere konstante Funktionen sind messbar
|
||||
\item Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen, die \gls{fü} mit einer stetigen Funktion übereinstimmen
|
||||
\item Funktionen auf offenen und abgeschlossenen Mengen, die \gls{fue} mit einer stetigen Funktion übereinstimmen
|
||||
\item $\tan$, $\cot$ auf $\mathbb{R}$ (setzte z.b. $\tan\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right) = \cot(k\pi) = 0$ $\forall k$)
|
||||
\item $x\to \sin\frac{1}{x}$ auf $[-1,1]$ (setzte beliebigen Wert in $x=0$)
|
||||
\item $\chi_M:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ist für $\vert\partial M\vert = 0$ messbar auf $\mathbb{R}$ (dann ist $\chi$ auf $\inn M$, $\ext M$ stetig)
|
||||
|
|
@ -565,7 +566,7 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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||||
Die \person{Dirichlet}-Funktion ist stetig auf $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ und somit nach \propref{messbarkeit_funktion_funktion_messbar} messbar. Man beachte aber, das dies nicht bedeutet, dass die \person{Dirichlet}-Funktion auf $\mathbb{R}$ \gls{fü} stetig ist! (sie ist nirgends stetig auf $\mathbb{R}$)
|
||||
Die \person{Dirichlet}-Funktion ist stetig auf $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ und somit nach \propref{messbarkeit_funktion_funktion_messbar} messbar. Man beachte aber, das dies nicht bedeutet, dass die \person{Dirichlet}-Funktion auf $\mathbb{R}$ \gls{fue} stetig ist! (sie ist nirgends stetig auf $\mathbb{R}$)
|
||||
\end{underlinedenvironment}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}[Egorov]
|
||||
|
|
@ -599,5 +600,5 @@ Bei punktweiser Konvergenz $f_k(x)\to f(x)$ für \gls{fa} $x\in D$ schreibt man
|
|||
\begin{example}
|
||||
Betrachte $f_k(x) = x^k$ auf $[0,1]$.
|
||||
|
||||
Man hat $f_k(x) \to 0$ \gls{fü} auf $[0,1]$ und gleichmäßige Konvergenz auf $[0,\alpha]$ $\forall \alpha\in (0,1)$.
|
||||
Man hat $f_k(x) \to 0$ \gls{fue} auf $[0,1]$ und gleichmäßige Konvergenz auf $[0,\alpha]$ $\forall \alpha\in (0,1)$.
|
||||
\end{example}
|
||||
|
|
@ -1,3 +1,4 @@
|
|||
\addtocounter{section}{2}
|
||||
\section{Natürliche Zahlen}
|
||||
\begin{*definition}[Peano Axiome]
|
||||
$\mathbb{N}$ sei Menge, die die \begriff{\person{Peano}-Axiome} erfüllen, d.h.
|
||||
|
|
@ -47,7 +47,7 @@
|
|||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
ÜA
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||||
ÜA %TODO schreibe Beweis aus Übung ab!
|
||||
\end{proof}
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
Sei $K$ angeordneter Körper. Dann gilt $\forall a,b,c,d\in K$:
|
||||
|
|
@ -85,7 +85,7 @@
|
|||
\end{*definition}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\proplbl{k_angeordneter_körper}
|
||||
\proplbl{k_angeordneter_koerper}
|
||||
Sei $K$ angeordneter Körper. Dann gilt $\forall a,b\in K$:
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
|
||||
\item $\vert a\vert\ge 0, \vert a\vert\ge a$
|
||||
|
|
@ -115,7 +115,7 @@
|
|||
\item[3)] Fallunterscheidung SeSt
|
||||
\item[4)] Fallunterscheidung SeSt
|
||||
\item[5)] $a = \frac{a}{b}\cdot a \overset{\text{4)}}{\Rightarrow} \vert a \vert = \vert \vert \frac{a}{b} \vert \cdot \vert b \vert \vert \overset{\cdot \vert b \vert^{-1}}{\Rightarrow} \frac{\vert a \vert}{\vert b \vert} = \vert \frac{a}{b} \vert$
|
||||
\item[6)] nach 1) $a \leq \vert a \vert, b \leq \vert b \vert \xRightarrow{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}} a+b \leq \vert a \vert + \vert b \vert$ analog $-a-b \leq \vert a + \vert b\vert \Rightarrow$ Behauptung
|
||||
\item[6)] nach 1) $a \leq \vert a \vert, b \leq \vert b \vert \xRightarrow{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}} a+b \leq \vert a \vert + \vert b \vert$ analog $-a-b \leq \vert a + \vert b\vert \Rightarrow$ Behauptung
|
||||
\item[7)] $\vert a \vert = \vert a+b-b \vert \overset{\text{6)}}{\leq} \vert a+ b \vert + \vert b \vert \Rightarrow \vert a \vert - \vert b \vert \leq \vert a + b \vert $ analog $\vert b \vert - \vert a \vert \leq \vert a + b \vert \Rightarrow$ Behauptung
|
||||
\item[8)] für $n = 0,1$, $a = 0$ klar\\
|
||||
Zeige: $(1+a)^n > 1 + na \forall n \leq 2, a \neq 0$ durch voll. Induktion ÜA
|
||||
|
|
@ -137,8 +137,8 @@
|
|||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[a)] $0_K \overset{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}}{<} 1 \overset{\text{voll. Ind.}}{\Rightarrow} 0_k < n 1_k \forall n \in \mathbb{N}
|
||||
\xRightarrow[\text{Vielfache}]{\text{\propref{k_angeordneter_körper}}}(-n)1_K = -(n1_k) < 0_K \Rightarrow n 1_K \neq 0_K \forall n \in \mathbb{Z}_{\neq 0} \Rightarrow f$ auf $\mathbb{Q}$ definiert
|
||||
\item[a)] $0_K \overset{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}}{<} 1 \overset{\text{voll. Ind.}}{\Rightarrow} 0_k < n 1_k \forall n \in \mathbb{N}
|
||||
\xRightarrow[\text{Vielfache}]{\text{\propref{k_angeordneter_koerper}}}(-n)1_K = -(n1_k) < 0_K \Rightarrow n 1_K \neq 0_K \forall n \in \mathbb{Z}_{\neq 0} \Rightarrow f$ auf $\mathbb{Q}$ definiert
|
||||
\item[b)] Sei $f(\frac{m}{m^{'}}) = f(\frac{n}{n^{'}}) \Rightarrow \frac{m1_K}{m^{'}1_K} = \frac{n 1_K}{n^{'}1_K} \Rightarrow (m1_K)(n^{'}1_K) = (n 1_K)(m^{'}1_K)$\\
|
||||
$\Rightarrow (mn^{'})1_K = (nm^{'})1_K \Rightarrow (mn^{'}-m^{'}n)1_K = 0_K \xRightarrow{\text{a)}} mn^{'} = m^{'}n =_{\mathbb{Z}} 0 \Rightarrow \frac{m}{m^{'}} =_{\mathbb{Q}} \frac{n}{n^{'}} \Rightarrow f$ injektiv
|
||||
\item[c)] $f(\frac{m}{m^{'}}+\frac{n}{n^{'}}) = f(\frac{mn^{'} + m^{'}n}{m{'}n^{'}}) = \frac{mn^{'} + m^{'}n}{m{'}n^{'}}\frac{1_K}{1_K} \overset{\text{b)}}{=} \frac{m1_K}{m^{'}1_K} + \frac{n1_K}{n^{'}1_K} \overset{f\text{ inj}}{=} f(\frac{m}{m^{'}}) + f(\frac{n}{n^{'}})$\\
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||||
|
|
@ -172,7 +172,7 @@
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|||
Angeordneter Körper heißt \begriff[Körper!]{archimedisch}, falls $\forall a\in K\,\exists n\in\mathbb{N}\subset K: a < n$.
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||||
\end{*definition}
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||||
\begin{proposition}
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||||
\proplbl{k_archimedisch_angeordneter_körper}
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||||
\proplbl{k_archimedisch_angeordneter_koerper}
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||||
Sei $K$ archimedisch angeordneter Körper. Dann\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
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||||
\item $\forall a,b\in K$ mit $a,b>0\,\exists n\in\mathbb{N}: n\cdot a > b$
|
||||
\item $\forall a\in K\,\exists!\,[a]\in\mathbb{Z}: [a]\le a \le [a] +1$, \mathsymbol{a}{$[a]$} heißt \begriff{ganzer Anteil} von $a$
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||||
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|
@ -237,10 +237,15 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele
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|||
\end{*definition}
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||||
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||||
\begin{lemma}
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||||
\proplbl{intervallschacht_angeord_koerper}
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||||
Sei $\mathcal{X} = \{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ Intervallschachtelung im angeordneten Körper $K$\\
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||||
$\Rightarrow \bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n$ enthält höchstens ein Element.
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||||
\end{lemma}
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\begin{proof}
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||||
Angenommen $a,b \in \bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n$ mit $\epsilon := b-a > 0 \Rightarrow l(X_n) > \epsilon \forall n \Rightarrow $ Widerspruch.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{*definition}
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||||
Archimedisch angeordneter Körper heißt \begriff[Körper]{vollständig}, falls $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n\neq \emptyset$ für jede Intervallschachtelung $\mathcal{X} = \{x_n\}$ in $K$.
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||||
\end{*definition}
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||||
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|
@ -253,6 +258,12 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele
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|||
$Q$ ist Äquivalenzrelation auf $I_\mathbb{Q}$.
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
$Q$ offenbar reflexiv und symmetrisch. Sei nun $\{X_n\} \sim \{Y_n\}$, \\
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||||
$\{Y_n\} \sim \{Z_n\}$, d.h. $X_n \cap Y_n \neq \emptyset$, $Y_n \cap Z_n \neq \emptyset \forall n$.
|
||||
Angenommen $\exists m: X_m \cap Z_m = \emptyset$ und $[x_m, x_m^{'}], [z_m,z_m^{'}] \xRightarrow{o.B.d.A} l(Y_n) \Rightarrow$ Widerspruch $\Rightarrow [X_n] \sim [Z_n] \Rightarrow Q$ transitiv.
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{*definition}
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||||
setze $\mathbb{R} := \{ [\mathcal{X}] \mid \mathcal{X}\in I_\mathbb{Q} \}$ Menge der \begriff{reellen Zahlen}.
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||||
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||||
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@ -287,24 +298,99 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele
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|||
\end{enumerate}
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||||
\end{proposition}
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||||
|
||||
\begin{proof}
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||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
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||||
\item für Addition (Multiplikation, Inverse Analog (eventuell Fallunterscheidung)) ÜA/SeSt
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||||
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
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||||
\item Zeige $\{X_n + Y_n\} \in I_{\ratio}$: offenbar $X_n + Y_n \neq \emptyset$, $X_{n+1} + Y_{n+1} \subset X_n + Y_n \forall n \in \natur$
|
||||
|
||||
Sei $\epsilon > 0 \Rightarrow \exists m\colon l(X_n) < \frac{\epsilon}{2}, l(Y_n) <\frac{\epsilon}{2}$ (beachte: $l(X_{m+1}) \le l(X_m)$)
|
||||
|
||||
$\Rightarrow l(X_m + Y_m) = x_m^{'} + y_m^{'} - x_m - y_m = l(X_m) + l(Y_m) < \epsilon \beha$
|
||||
\item Addition unabhängig vom Repräsentaten: $\mathcal{X} \sim \tilde{\mathcal{X}}, \mathcal{Y}\sim \tilde{\mathcal{Y}} \Rightarrow x_n \le \tilde{x}_n^{'}, \tilde{x}_n \le x_n^{'}$ und $y_n \le \tilde{y}_n^{'}, \tilde{y}_n^{'} \le y_n^{'}$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow x_n + y_n \le \tilde{x}_n^{'}$, $\tilde{x}_n + \tilde{y}_n \le x_n^{'} + y_n^{'} \Rightarrow \mathcal{X} + \mathcal{Y} \sim \tilde{\mathcal{X}} + \tilde{\mathcal{Y}} \Rightarrow 1)$
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\item
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item offenbar $0_{\real}, 1_{\real}$ neutrale Elemente $0_{\real} \neq 1_{\real}$
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||||
\item Addition, Multiplikation, Kommutativität, Distributivität, Assoziativität (Nachrechnenen für Intervalle SeSt)
|
||||
\item $X = [x,x^{'}]$ für $x=x^{'}$ ist stets $0 \in [x-x^{'}, x^{'}-x], 1\in [\frac{x}{x^{'}}, \frac{x^{'}}{x}] \xRightarrow{SeSt} -[\mathcal{X}], [\mathcal{X}]^{-1}$ invers.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\subsection{Ordnung auf \texorpdfstring{$\mathbb{R}$}{R}}
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||||
\begin{*definition}
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||||
Betr. Relation "`$\le$"': $R:=\{ ([\{x_n\}],[\{y_n\}])\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} | x_n \le y_n\,\forall n\in\mathbb{N}\}$
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||||
\end{*definition}
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||||
\begin{proposition}
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||||
$\mathbb{R}$ ist mit "`$\le$"' angeordneter Körper.
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||||
$\mathbb{R}$ ist mit "`$\le$"' angeordneter Körper. (d.h Totalordnung $R$ ist verträglich mit Addition und Multiplikation.)
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||||
\end{proposition}
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||||
\begin{proof}
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||||
$R=$ ist offenbar reflexiv, antisymmetrisch, transitiv (ÜA/SeSt).
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||||
Sei $\mathcal{X} \sim \tilde{\mathcal{X}}, \mathcal{Y} \sim \tilde{\mathcal{Y}} \Rightarrow $ insbesondere $\tilde{x}_n \le x_n^{'}, \tilde{y}_n \le y_n^{'}$.
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||||
Sei $[\mathcal{X}] \le [Y]$ d.h. $x_n \le y_n^{'} \forall n$ und angenommen $\exists m\colon \tilde{X}_m > \tilde{Y}_m$
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||||
$\Rightarrow l(X_n) + l(Y_n) = x_n^{'} - \underset{\ge 0}{\tilde{x}_n \le x_n^{'}} - y_n \ge \tilde{x}_n - \tilde{y}_n^{'} \ge \tilde{x}_m - \tilde{y}_m^{'} > 0 \forall n \Rightarrow$ Widerspruch.
|
||||
$\Rightarrow \tilde{x}_n \le \tilde{y}_n^{'} \forall n \Rightarrow R$ unabhängig vom Repräsentaten $\Rightarrow R$ Ordnung auf $\real$.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Angenommen $[\mathcal{X}] \not \le [\mathcal{Y}] \Rightarrow \exists m\colon y_n \le y_m^{'} < x_n \le x_n^{'} \forall n$
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||||
$\Rightarrow [\mathcal{Y}] \le [\mathcal{X}] \Rightarrow R$ Totalordnung
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||||
\item Ordnung verträglich mit Addition, Multiplikation ÜA/SeSt
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{proposition}
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||||
$\mathbb{R}$ ist archimedisch angeordneter Körper.
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Sei $[\{X_n\}] = [\{ [x_n,x_n^{'}]\}] \in \real$. (beachte $x_n, x_n^{'} \in \ratio$)
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||||
$\xRightarrow[\text{angeordneter Körper}]{\ratio \text{ archimedisch}} \exists k \in \natur: k >_{\ratio} x_n^{'} >_{\ratio} > x_n \forall n$
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||||
$\Rightarrow [\{X_n\}] < [\{[k,k]\}] \in \natur_{\real}.$
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{theorem}
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||||
$\mathbb{R}$ ist vollständiger, archimedisch angeordneter Körper.
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||||
\end{theorem}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Sei $\{X_n\} = \{[x_n, x_n^{'}]\}$ Intervallschachtelung in $\real$, d.h. $x_n,x_n^{'} \in \real$
|
||||
(beachte $x_n, x_n^{'}$ sind Äquivalenzrelationen von Intervallverschachtelungen in $\ratio$!)
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||||
Zu zeigen: $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n \neq \emptyset:$
|
||||
Sei $x_n = \left[ \{ [p_{nk},q_{nk}]\}_k \right], x_n^{'} = \left[ \{ [p_{nk},q_{nk}]\}_k \right]$.
|
||||
Setze $p_n := p_{nk^{'}}, q_n := q_{nn^{'}}, p^{'}_n := p_{nn}^{'}, q_n^{'} := q_{nn}$
|
||||
oBdA $l([p_n,q_n]), l([p_n^{'}, q_{n}^{'}]) < \frac{1}{n}$
|
||||
$p_{n-1} < p_n< q_n < q_{n-1} \Rightarrow x := \left[ \{[p_k,q_k^{'}]\}_k\right] \in \real$ (denn $\{Q_k\} \subset I_{\ratio}$),
|
||||
da $Q_{k+1} < Q_k \neq \emptyset, l(Q_k) \le l([p_k,q_k]) + l([p_k^{'},q_k^{'}]) \overset{k \text{ groß}}{<} \epsilon)$
|
||||
$\Rightarrow x_n \le x \le x_{''}$ da $f(p_nk) \le_K{\real} x_n \le x_k^{'} \le f(q_{kk}^{'})$
|
||||
$\Rightarrow p_{nk} \le_K{\epsilon} q_{kk}^{'}$, analog $p_{kk} \le_{\ratio} q_{nk}^{'}$
|
||||
$\Rightarrow x \in \bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n \Rightarrow \real $ vollständig.
|
||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{theorem}
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||||
Sei $K$ vollständiger, archimedisch angeordneter Körper\\
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||||
$\Rightarrow K$ ist isomorph zu $\mathbb{R}$ bzgl. Körperstruktur und Ordnung.
|
||||
$\Rightarrow K$ ist isomorph zu $\mathbb{R}$ bzgl. Körperstruktur und Ordnung. (d.h. $\real$ strukturell eindeutig)
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||||
\end{theorem}
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||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $x \in K \xRightarrow[\ref{k_archimedisch_angeordneter_koerper}]{\ref{intervallschacht_angeord_koerper}} \exists$ Intervallverschatelung $\{X_n\} \in I_{\ratio}\colon \{x\} = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n$
|
||||
|
||||
Definiere Abbildung $I: K \to \real$ mit $I(x) = \left[ \{ X_n \}\right]$ ist injektiv (vergleiche Äquivalenzrelation Intervallschachtelung) und surjektiv da $K$ vollständig ist.
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||||
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||||
$I$ erhält Körperstruktur und Ordnung (analoge Argumente zu bisherigen $\to$ SeSt!)
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\underline{Notation in $\real$:}
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\begin{itemize}
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||||
\item Variable $x$ statt $\left[ \{x_n \} \right]$ bzw. $\left[\{[x_n,x_n^{'}]\}\right]$ (rationale Zahlen auch als $\frac{m}{m^{'}}$)
|
||||
\item konkrete Zahl Dezimaldarstellung (Approximation analog zu Intervallschachtelungen in $I_{\ratio} \Rightarrow$ Reihen)
|
||||
\item Brüche für rationale Zahlen $\frac{3}{5}$ (einige wenige Symbole für spezielle irrationale Zahlen ($\sqrt{2}, \pi, \dots$))
|
||||
\end{itemize}
|
||||
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||||
\begin{*definition}
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||||
Sei $M\subset K$, $K$ angeordneter Körper.
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||||
\begin{itemize}
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||||
|
|
@ -335,11 +421,50 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele
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|||
\end{enumerate}
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||||
\end{proposition}
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||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
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||||
\item Sei $s,\tilde{s}$ Supremum von $M \Rightarrow s \le \tilde{s}, \tilde{s} \le s \Rightarrow s = \tilde{s}$
|
||||
\item Angenommen $\exists \epsilon > 0: \sup M > x + \epsilon \forall x \in M$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow \sup M-\epsilon $ ist obere Schranke $< \sup M \Rightarrow$ Widerspruch $\beha$
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $K=\real$:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $b = \sup[a,b) = \sup[a,b] = \max[a,b] = \max[-\infty,b]$
|
||||
\item $a = \inf(a,b) = \inf(0,\infty)$ kein Minimum!
|
||||
\item $M = \{\frac{1}{n} \in \real \mid n \in \natur_{\neq 0}\} \Rightarrow \inf M = 0, \max M = 1$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item $K = \ratio$:
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||||
$M = \{q \in \ratio \mid q^2 <2\} \Rightarrow \sup M$ existiert nicht in $\ratio$!
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{example}
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||||
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||||
\begin{theorem}
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||||
Sei $K$ archimedisch angeordneter Körper. Dann
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||||
\[ K \text{ vollständig } \Leftrightarrow \sup M \slash \inf M \text{ ex. }\forall M\in K, M\neq \emptyset \text{ nach oben \slash unten beschränkt} \]
|
||||
\begin{align}
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||||
K \text{ vollständig } \Leftrightarrow \sup M \slash \inf M \text{ ex. }\forall M\in K, M\neq \emptyset \text{ nach oben \slash unten beschränkt}\notag
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||||
\end{align}
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||||
\end{theorem}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
$sup$ $\inf$ analog!
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||||
$\Rightarrow$: $M \subset K$ nach oben beschränkt, $\neq \emptyset \to \exists x_0 \in M$ und obere Schranke $x^{'} \in K$. Definiere $X_n = [x_n, x_n^{'}] \subset K$ rekursiv.
|
||||
$Y_n := \frac{x_n + x_n^{'}}{2}$ (Mittelpunkt zwischen den zwei Schranken)$\begin{cases}
|
||||
\text{obere Schranke }x_{n+1}:= x_n, x_{n+1}^{'} := y_n\\
|
||||
\text{sonst } x_{n+1}:= y_n, x_{n+1}^{'} := x_n^{'}
|
||||
\end{cases}$
|
||||
|
||||
$\Rightarrow \forall n x_n^{'}$ obere Schranke, $x_n$ nicht, $l(X_n) = \frac{1}{2^n}(x_0^{'}-x_0)$
|
||||
|
||||
$\xRightarrow{\ref{k_archimedisch_angeordneter_koerper}} \{X_n\}$ ist Intervallschachtelung $\xRightarrow{\text{ vollst.}} x \in \bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n$. Angenommen $\exists y \in M\colon x < y \to \exists m: l(X_n) < y - x > 0$
|
||||
|
||||
$\xRightarrow{y \le x_m^{'}}$ Widerspruch $\Rightarrow$ obere Schranke von ... für später!!!
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\subsection{Anwendung: Wurzeln, Potenzen, Logarithmen in \texorpdfstring{$\mathbb{R}$}{R}}
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\begin{proposition}[Wurzeln]
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@ -1,3 +1,4 @@
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\addtocounter{section}{24}
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\section{Höhere Ableitungen und \person{Taylor}-scher Satz} \proplbl{section_taylor} \setcounter{equation}{0}
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||||
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||||
\begin{boldenvironment}[Vorbetrachtung] Sei $X$ endlich dimensionaler, normierter Raum über $K$ (d.. Vektorraum über $K$ mit Norm $\Vert \,\cdot \Vert$, $\dim X =l\in\mathbb{N}$).
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||||
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|
@ -1,3 +1,4 @@
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|||
\addtocounter{section}{15}
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||||
\section{Wiederholung und Motivation}
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||||
Sei $K^n$ $n$-dim. \gls{vr} über Körper mit $K=\mathbb{R}$ oder $K=\mathbb{C}, n\in\mathbb{N}_{\ge 0}$.
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||||
\begin{itemize}
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||||
BIN
2. Semester/ANAG 1+2 Semester/Vorlesung ANAG.pdf
Normal file
BIN
2. Semester/ANAG 1+2 Semester/Vorlesung ANAG.pdf
Normal file
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@ -17,7 +17,7 @@
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|||
\newacronym{vr}{VR}{Vektorraum}
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\newacronym{diffbar}{diffbar}{differenzierbar}
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\newacronym{mws}{MWS}{Mittelwertsatz}
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\newacronym{fü}{f.ü.}{fast überall}
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||||
%\newacronym{fü}{f.ü.}{fast überall}
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||||
\title{\textbf{Analysis (WS2017/18 + SS2018)}}
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||||
\author{Dozent: Prof. Dr. Friedemann Schuricht\\
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