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2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Lemma_von_Zorn.tex

@@ -66,7 +66,7 @@ Sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume. Zudem sei $X$ eine Menge
 	Sei $(X,\le)$ eine Halbordnung, die nicht leer ist. Wenn jede Kette eine obere Schranke hat, dann hat $X$ ein maximales Element.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-	Dieses Lemma ist äquivalent zum Auswahlaxiom. \frownie{}
+	Dieses Theorem ist äquivalent zum Auswahlaxiom. \frownie{}
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
@@ -74,4 +74,4 @@ Sei $K$ ein Körper und $U,V,W$ seien $K$-Vektorräume. Zudem sei $X$ eine Menge
 	\begin{align}
 		f: I\to \bigcup X_i\text{ mit } f(i)\in X_i\quad\forall i\notag
 	\end{align}
-\end{conclusion}
+\end{conclusion}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Quadriken.tex

@@ -44,20 +44,20 @@ Sei $n\in\natur$.
 	Ist $Q\subseteq\real^n$ eine Quadrik, so ist $f(Q)$ eine Quadrik, für $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-	$f=\tau_z\circ f_T$ mit $T\in\GL_n(\real)$ und $z\in\real^n$. Schreibe $S=T^{-1}\in\GL_n(\real)$, $\tilde{S}=\begin{henrysmatrix}S&0\\0&1\end{henrysmatrix}$. Es gilt $\tilde{S}\tilde{x}=\tilde{Sx}$.
+	$f=\tau_z\circ f_T$ mit $T\in\GL_n(\real)$ und $z\in\real^n$. Schreibe $S=T^{-1}\in\GL_n(\real)$, $\tilde{S}=\begin{henrysmatrix}S&0\\0&1\end{henrysmatrix}$. Es gilt $\tilde{S}\tilde{x}=\widetilde{Sx}$.
 	\begin{align}
 		f_T(Q)&=\{Tx\in\real^n\mid \tilde{x}^t\tilde{A}\tilde{x}=0\}\notag \\
 		&=\{y\in\real^n\mid (\tilde{S}\tilde{y})^t\tilde{A}\tilde{S}\tilde{y}=0\}\notag \\
 		&=\{y\in\real^n\mid \tilde{y}^t\underbrace{\tilde{S}^t\tilde{A}\tilde{S}}_{\begin{pmatrix}S^tAS&S^tb\\b^tS&c\end{pmatrix}}\tilde{y}=0\}\notag
 	\end{align}
-	Jetzt für $\tau_z$. Sei $U_z=\begin{henrysmatrix}\mathbbm{1}&z\\0&1\end{henrysmatrix}$. $U_z\tilde{x}=\tilde{\tau_z(x)}$. Man folgert analog, dass 
+	Jetzt für $\tau_z$. Sei $U_z=\begin{henrysmatrix}\mathbbm{1}&z\\0&1\end{henrysmatrix}$. $U_z\tilde{x}=\tilde{\tau}_z(x)$. Man folgert analog, dass 
 	\begin{align}
 		\tau_z(Q)=\{y\in\real^n\mid \tilde{y}^t\underbrace{U_z^t\tilde{A}U_z}_{\begin{pmatrix} A&Az+b\\z^tA+b&z^tAz+b^tz+z^tb+c\end{pmatrix}}\tilde{y}=0\}\notag
 	\end{align}
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Typen von Quadriken]
-	Sei $Q$ gebeben durch $(A,b,c)$ wie in \propref{2_8_1}. $Q$ heißt
+	Sei $Q$ gegeben durch $(A,b,c)$ wie in \propref{2_8_1}. $Q$ heißt
 	\begin{itemize}
 		\item vom \begriff[Quadrik!]{kegeligen Typ}, wenn $\rk(A)=\rk(A,b)=\rk(\tilde{A})$
 		\item eine \begriff[Quadrik!]{Mittelpunktsquadrik}, wenn $\rk(A)=\rk(A,b)<\rk(\tilde{A})$
@@ -78,14 +78,14 @@ Sei $n\in\natur$.
 	\begin{align}
 		f(x)=Ax+b\notag
 	\end{align}
-	mit $b\in\real^n$ und $A\in\GL_n(\real)$ ist orthogonal
+	mit $b\in\real^n$ und $A\in\GL_n(\real)$ ist orthogonal.
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
 	$f:\real^n\to\real^n$ ist eine Isometrie genau dann, wenn $\Vert f(x)-f(y)\Vert=\Vert x-y\Vert$ für alle $x,y\in\real^n.$
 \end{remark}
 
-\begin{theorem}[Klassifikation bis aus Isometrien]
+\begin{theorem}[Klassifikation bis auf Isometrien]
 	Sei $Q$ eine Quadrik. Es gibt eine Isometrie $f\in\Aff_{\real}(\real^n)$ mit $f(Q)$, die eine der folgenden Formen annimmt:
 	\begin{itemize}
 		\item \itemEq{f(Q)=\left\lbrace x\in\real^n\mid \sum_{i=1}^k \left( \frac{x_i}{a_i}\right)^2 -\sum_{i=k+1}^{n} \left( \frac{x_i}{a_i}\right)^2=0\right\rbrace \quad k\ge r-k\notag}
@@ -133,4 +133,4 @@ Sei $n\in\natur$.
 
 \begin{remark}
 	$\real^n$ und "'Punkte im Unendlichen"' $\to \mathbb{P}^n(\real^n)$, der \begriff{projektive Raum}
-\end{remark}
+\end{remark}

README.md

@@ -56,14 +56,26 @@ Tafel-Bilder gibt es [hier](http://protagon.space/Anag.zip).
     
     7. Die Jordan-Normalform ... fertig
 
-2. Skalarprodukte ... wird bearbeitet
+2. Skalarprodukte ... fertig
 
     1. Das Standardskalarprodukt ... fertig
     
     2. Bilinearformen und Sesquilinearformen ... fertig
     
-    3. Euklidische und unitäre VR ... wird bearbeitet
+    3. Euklidische und unitäre VR ... fertig
+    
+    4. Orthononalität ... fertig
+    
+    5. Orthogonale und unitäre Endomorphismen ... fertig
+    
+    6. Selbstadjungierte Endomorphismen ... fertig
+    
+    7. Hauptachsentransformation ... fertig
+    
+    8. Quadriken ... fertig
 
-3. Dualität ... noch nicht bearbeitet
+3. Dualität ... wird bearbeitet
+
+    1. Das Lemma von Zorn ... wird bearbeitet
 
 4. Moduln ... noch nicht bearbeitet