ALGZTH WEEK3 finished!

4. Semester/ALGZTH/TeX_files/Korper/Alg_Korpererweiterungen.tex

@@ -186,6 +186,7 @@ Sei $L \mid K$ eine Körpererweiterung.
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
+	\proplbl{1_2_15}
 	$\tilde{K} = \set{\alpha \in L\colon \alpha \text{ algebraisch über }K}$ ist ein Körper, und ist $\alpha \in L$ algebraisch über $\tilde{K}$, so ist schon $\alpha \in \tilde{K}$.
 \end{conclusion}
 

4. Semester/ALGZTH/TeX_files/Korper/Algebraische_Abschluss.tex

@@ -1 +0,0 @@
-\section{Der algebraische Abschluss}

4. Semester/ALGZTH/TeX_files/Korper/Algebraischer_Abschluss.tex

@@ -0,0 +1,79 @@
+\section{Der algebraische Abschluss}
+Sei $L\mid K$ eine Körpererweiterung.
+\begin{definition}[algebraisch abgeschlossen]
+	$K$ ist algebraisch abgeschlossen $\Longleftrightarrow$ jedes $f \in K[X] \mit \deg(f) > 0$ hat eine Nullstelle in $K$.
+\end{definition}
+\begin{lemma}
+	\proplbl{1_4_2}
+	Es ist äquivalent:
+	\begin{enumerate}
+		\item $K$ ist algebraisch abgeschlossen. \label{aussage:1_4_2:1}
+		\item Jedes $0 \neq f \in K[X]$ zerfällt über $K$ in Linearfaktoren. \label{aussage:1_4_2:2}
+		\item $K$ hat keine echte algebraische Erweiterung. \label{aussage:1_4_2:3}
+	\end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof} %TODO ref
+	\begin{enumerate}[label=]
+		\item \ref{aussage:1_4_2:1} $\Rightarrow$ \ref{aussage:1_4_2:2}: Induktion nach $\deg(f)$ (siehe LAAG)
+		\item \ref{aussage:1_4_2:2} $\Rightarrow$ \ref{aussage:1_4_2:3}: Sei $L \mid K$ algebraisch, $\alpha \in L$. Schreibe $f = \MinPol(\alpha \mid K)$. Nach \ref{aussage:1_4_2:2} zerfällt $f$ in Linearfaktoren über $K \Rightarrow \alpha \in K$
+		\item \ref{aussage:1_4_2:3} $\Rightarrow$ \ref{aussage:1_4_2:1}: Sei $f \in K[X], \deg(f) > 0$. Nach \propref{1_3_9} existiert ein Zerfällungskörper $L$ von $f$. Da $L\overset{(*)}{=}K$ nach \ref{aussage:1_4_2:3} hat $f$ Nullstellen in $K$. \\
+		($(*)$ $L$ ist Erweiterung $\rightarrow$ die nach \ref{aussage:1_4_2:3} trivial ist)
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{definition}[\begriff{algebraisch Abgeschlossen}]
+	$L$ ist algebraischer Abschluss von $K :\Longleftrightarrow L$ ist algebraisch abgeschlossen und $L\mid K$ algebraisch.
+\end{definition}
+\begin{lemma}
+	\proplbl{1_4_4}
+	Ist $L$ algebraischer Abschluss, so ist der relative algebraische Abschluss $\tilde{K}$ ein algebraischer Abschluss von $K$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item $\tilde{K}$ ist Körper: \propref{1_2_15}
+		\item $\tilde{K} \mid K$ ist algebraisch: Definition
+		\item $\tilde{K}$ ist algebraisch abgeschlossen: Sei $f \in \tilde{K}[X] \mit \deg(f) > 0$.\\
+		$L$ algebraisch abgeschlossen $\Rightarrow$ existiert $\alpha \in L \mit f(\alpha) = 0$ und $f(\alpha) = 0 \Rightarrow \alpha$ algebraisch über $\tilde{K} \xRightarrow{\propref{1_2_15}} \alpha \in \tilde{K}$.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+\begin{example}
+	\begin{enumerate}
+		\item $\C$ ist algebraisch abgeschlossen (Fundamentalsatz der Algebra, $\nearrow$ II.) %TODO \nearrow II later
+		\item $\C$ ist algebraischer Abschluss von $\R$.
+		\item $\tilde{\Q} := \set{\alpha \in \C \mid \alpha \text{ algebraisch über }\Q}$ ist nach \propref{1_4_4} ein algebraischer Abschluss von $\Q$.
+	\end{enumerate}
+\end{example}
+\begin{lemma}
+	\proplbl{1_4_6}
+	Sei $L\mid K$ algebraisch, $E$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $\varphi \in \Hom(K,E)$. Dann existiert eine Fortsetzung von $\varphi$ auf $L$, d.h. ein $\sigma \in \Hom(L,E) \mit \sigma_{\mid K} = \varphi$.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Definiere Halbordnung.
+	\begin{align*}
+		\Halb &:= \set{(M,\sigma) : K \subseteq M \subseteq L \text{ Zwischenkörper, }\sigma\in \Hom(M,E), \sigma_{\mid K} = \varphi}\\
+		&(M,\sigma) \subseteq (M' , \sigma') :\Leftrightarrow m \subset M' \und \sigma'_{\mid M} = \sigma
+	\end{align*}
+	\begin{itemize}
+		\item $\Halb \neq \emptyset$: $(K,\varphi) \in \Halb$
+		\item Ist $(M,\sigma)_{i \in I}$ eine Kette in $\Halb$, so definieren wir $M:= \bigcup_{i\in I} M_i$ und $\sigma: M \to E$ durch $\sigma(x) = \sigma_i (x)$ falls $x \in M_i$. Dann ist $(M,\sigma) \in \Halb$ eine obere Schranke der Kette $(M_i , \sigma_i)_{i\in I}$. Nach Lemma von \person{Zorn} existiert $(M, \sigma)$ maximal. 
+		Es ist $M = L$: Sei $\alpha \in L, f= \MinPol(\alpha\mid M)$. $f \in E[X]$ hat Nullstelle $\beta \in E$, da $E$ algebraisch abgeschlossen ist.
+		$\xRightarrow{\propref{1_3_12}}$ existiert Fortsetzung $\sigma' \in \Hom(M(\alpha), E)$ von $\sigma$\\
+		$(M,\sigma) \le (M(\alpha, \sigma')) \in \Halb \xRightarrow{(M(\alpha), \sigma) \text{ max.}} M = M(\alpha), \alpha \in M.$
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+\begin{theorem}[Steinitz, 1910]
+	Jeder Körper $K$ besitzt einen bis auf $K$-Isomorphie eindeutig bestimmten algebraischen Abschluss.
+\end{theorem} %TODO tikzcd!
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item Eindeutigkeit:\\
+		Seien $L_1 , L_2$ algebraische Abschlüsse von $K$\\
+		$L_1 \mid K$, $L_2$ algebraisch abgeschlossen $\xRightarrow{\propref{1_4_6}}$ existiert $\sigma \in \Hom(L_1 , L_2)$
+		\begin{align*} %TODO find a way to have only the right curly bracket?
+		\begin{Bmatrix}
+		L_1 \text{ algebraisch abgeschlossen }\Rightarrow \sigma(L_1) \cong L_1 \text{ algebraisch abgeschlossen}\\
+		L_2 \mid K \text{ algebraisch } \Rightarrow L_2 \mid \sigma(L_1) \text{  algebraisch }
+		\end{Bmatrix}\xRightarrow{\propref{1_4_2}} L_2 = \sigma(L_1).
+		\end{align*}
+		Somit ist $\sigma: L_1 \to L_2$ ein $K$-Isomorphismus.
+	\end{itemize}
+\end{proof}

4. Semester/ALGZTH/TeX_files/Korper/Wurzelkorper_Zerfallungskorper.tex

@@ -40,10 +40,10 @@ Sei $K$ ein Körper, $f \in K[X]$ mit $n = \deg(f) > 0$.
 		\item Existenz gibt \propref{1_3_4}
 		\item \propref{1_3_3} liefert Isomorphismus
 		\begin{align*}
-			\begin{matrix}
+			\begin{Bmatrix} %TODO find a way to only have the right curly bracket!
 				L_1 \xleftarrow[\varphi_1]{\cong} & \lnkset{K[X]}{(f)} & \xrightarrow[\varphi_2]{\cong} L_2\\
 				\alpha_1 \mapsfrom & X + (f) & \mapsto \alpha_2\\
-			\end{matrix}
+			\end{Bmatrix}
 			\Rightarrow \varphi_2 \circ \varphi_1 : L_1 \xrightarrow{\cong}_K L_2 \mit \alpha_1 \mapsto \alpha_2
 		\end{align*}
 		Umgekehrt ist jeder $K$-Isomorphismus $\varphi: L_1 \to_K L_2$ wegen $L_1 = K(\alpha_1)$ schon durch $\varphi(\alpha_1)$ festgelegt.
@@ -74,6 +74,7 @@ Sei $K$ ein Körper, $f \in K[X]$ mit $n = \deg(f) > 0$.
 	Ein \begriff{Zerfällungskörper} von $K$ ist eine Erweiterung $L\mid K$ der Form $L = K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ mit $f=c\mal \prod_{i=1}^n (x-\alpha_i) \mit c \in K^{\times}$.
 \end{definition}
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_3_9}
 	Ein Zerfällungskörper von $f$ existiert.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
@@ -84,7 +85,7 @@ Sei $K$ ein Körper, $f \in K[X]$ mit $n = \deg(f) > 0$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Sei $L = K(\alpha_1,\dots,\alpha_n), f = c\prod_{i=1}^n (x-\alpha_i)$.\\
-	Induktion nach $n$:\\
+	Induktion nach $n$:
 	\begin{itemize}
 		\item $n=1:$ $L=K, [K:K] = 1$
 		\item $n>1:$ $L_1 = K(\alpha_1)$ ist Wurzelkörper von $f \xRightarrow{\propref{1_3_3}} [L_1:K] \le n$ und schreibe $f=c\mal (x-\alpha_1)\mal f_1, f_1 = \prod_{i=2}^n (x-\alpha_i) \in L_1[X]$\\
@@ -137,7 +138,7 @@ Sei $K$ ein Körper, $f \in K[X]$ mit $n = \deg(f) > 0$.
 			\begin{cases}
 				K[X] &\to L'\\
 				g &\to g^{\varphi}(\beta) 
-			\end{cases}\qquad \to \text{ sind Homomorphismen nach universeller Eigenschaft}
+			\end{cases}\qquad \to \text{ sind Homomorphismen nach univer. Eigenschaft}
 		\end{align*}
 		(Bemerke: $\eta$ surjektiv: $\eta_{\mid K} = \id \to K \in \Image(\eta) \mit \eta(x) = \alpha \to \alpha \in \Image(\eta)$)\\
 		$Ker(\eta)=(f)$ ist Isomorphismus und $\bar{\eta}: \lnkset{K[X]}{(f)} \xrightarrow{\cong}L$ und\\
@@ -149,16 +150,26 @@ Sei $K$ ein Körper, $f \in K[X]$ mit $n = \deg(f) > 0$.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 \begin{proposition}
+	\proplbl{1_3_13}
 	Der Zerfällungskörper von $f$ ist eindeutig bestimmt bis auf $K$-Isomorphie.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	\begin{enumerate} %TODO no label!
-		\item Behauptung: Ist $\varphi:K \to K'$ ein Isomorphismus, $L$ ein Zerfällungskörper, $L'$ ein Zerfällungskörper von $f^{\varphi}$, so setzt sich $\varphi$ zu einem Isomorphismus $L \to L'$ fort.
-		\item Beweis: Induktion nach $n = \deg(f)$\\
-			\begin{itemize} %TODO maybe use enum here without label?
+	\begin{enumerate}[label=]
+		\item Behauptung: Ist $\varphi:K \to K'$ ein Isomorphismus, $L$ ein Zerfällungskörper, $L'$ ein Zerfällungs- körper von $f^{\varphi}$, so setzt sich $\varphi$ zu einem Isomorphismus $L \to L'$ fort.
+		\item Beweis: Induktion nach $n = \deg(f)$
+			\begin{enumerate}[label=] %TODO maybe use enum here without label?
 				\item (IA) $n=1:$ $L = K \xrightarrow[\varphi]{\cong} K' = L'$ \checkmark
-				\item (IS) $n>1:$ $ $ %TODO finish proof here, then is the section done!
-			\end{itemize}
+				\item (IS) $n>1:$ Schreibe $f = cg_1\cdots g_r$ mit $g_i \in K[x]$ normiert und irreduzibel, $c \in K^{\times}$\\
+				$\Rightarrow f^{\varphi} = c^{\varphi}g_1^{\varphi}\cdots g_r^{\varphi}$ mit $c^{\varphi}\in (K')^{\varphi}$ und $g_i^{\varphi}\in K' [X]$ normiert und irreduzibel (weil $\varphi$ Isomorphismus ist). Sei $\alpha_1 \in L$ mit $g_1 (\alpha_1) = 0, \alpha'_1 \in L'$ mit $g_1^{\varphi}(\alpha'_1) = 0$\\
+				$\xRightarrow{\propref{1_3_12}} \varphi$ setzt man zu einem Isomorphismus
+				\begin{align*}
+					\sigma: K_1 := K(\alpha_1) \to K' (\alpha'_1) \mit \sigma(\alpha_1) = \alpha'_1
+				\end{align*} 
+				fort. Schreibe $f=(x - \alpha_1)\cdot f_1^{\sigma}$ mit $f_1 \in K_1 [X]$ \\
+				$\Rightarrow f^{\varphi} = (x - \underbrace{\sigma(\alpha_1)} _{\alpha'_1})\cdot f_1^{\sigma}$ mit $f_1^{\sigma}\in K'_1 [X]$. $L$ ist Zerfällungskörper von $f_1,L'$ ist Zerfällungskörper von $f_1^{\sigma}$\\
+				$\Rightarrow \sigma$ setzt sich fort zu einem Isomorphismus $L \to L'$
+			\end{enumerate}
+		Die Behauptung im Fall $\varphi = \id_K$ ist genau die Aussage von \propref{1_3_13}.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 \begin{remark}

4. Semester/ALGZTH/Vorlesung ALGZTH.tex

@@ -1,6 +1,9 @@
 \documentclass[ngerman,a4paper,order=firstname]{../../texmf/tex/latex/mathscript/mathscript}
 \usepackage{../../texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators}
 
+% % % local commands
+\newcommand{\Halb}{\mathfrak{X}}            % Halbordnung
+
 \title{\textbf{Algebra und Zahlentheorie SS 2019}}
 \author{Dozent: Prof. Dr. \person{Arno Fehm}}
 
@@ -26,7 +29,7 @@
 \input{./TeX_files/Korper/Korpererweiterungen}
 \include{./TeX_files/Korper/Alg_Korpererweiterungen}
 \include{./TeX_files/Korper/Wurzelkorper_Zerfallungskorper}
-\include{./TeX_files/Korper/Algebraische_Abschluss}
+\include{./TeX_files/Korper/Algebraischer_Abschluss}
 
 \part*{Anhang}
 \addcontentsline{toc}{part}{Anhang}

Material/CAT/cop.tex

@@ -0,0 +1,23 @@
+\documentclass{standalone}
+
+
+\usepackage{tikz, amsmath}
+	\usepackage{tikz-qtree}
+	\usetikzlibrary{cd}
+	\usetikzlibrary{arrows}
+	\usetikzlibrary{automata}
+	\usetikzlibrary{babel}
+	\usetikzlibrary{calc}
+	\usetikzlibrary{fit}
+	\usetikzlibrary{matrix}
+	\usetikzlibrary{positioning}
+	\usetikzlibrary{shapes.geometric}
+	\usetikzlibrary{arrows.meta,bending}
+
+\begin{document}
+	\begin{tikzcd}[ampersand replacement=\&] %TODO fix the orientation of the one identity arrow!
+		A \arrow[out=160,in=200, distance=3em] \arrow[rr, bend right] \&                                 \& B \arrow[loop]%\arrow[loop, distance=3em, start anchor={[yshift=1ex]east}, end anchor={[yshift=-1ex]east}]{}{} \arrow[ll, bend right] \\
+		\&                                 \&                                \\
+		\& C\arrow[out=260,in=300,loop, distance=3em] \arrow[luu] \arrow[ruu] \&                               
+	\end{tikzcd}
+\end{document}