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@ -1106,4 +1106,143 @@
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bezeichnet.
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\end{compactitem}
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\end{framed}
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\textbf{Bemerkungen:}
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\begin{compactitem}
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\item Offenbar hängt die Menge der Linearkombinationen von $(x_1,...,x_n)$ nicht von der Reihenfolge der $x_i$ ab.
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Wegen (V2)(ii) hängt sie sogar nur von der Menge $\{x_1,...,x_n\}$ ab.
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\item Deshalb stimmt 2. für endliche Familien $(x_1,...,x_n)$ mit 1. überein.
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\item Auch die Menge der Linearkombinationen einer Familie $\mathcal F=(x_1,...,x_n)$ hängt nur von der Menge $X=
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\{x_i \mid i \in I\}$ ab. Man sagt deshalb auch, $x$ ist Linearkombination von $X$ und schreibt $span_K(X)=span_K(
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\mathcal F)$, also $span_K(X)=\{\sum \limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot n_i \mid n \in \mathbb N_0, x_i \in X, \lambda_1,
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...,\lambda_n \in K\}$. Nach Definition in $0 \in span_K(X)$ auch für $X=\emptyset$.
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\item Wie schon bei Polynomen schreibt man hier gerne formal unendliche Summen $x=\sum\limits_{i \in I} \lambda_i
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\cdot x_i$, bei denen nur endlich viele $\lambda_i$ von 0 verschieden sind.
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\end{compactitem}
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\begin{framed}
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\textbf{Lemma:} Für jede Teilmenge $X \subset V$ ist $span_K(X)$ ein UVR von $V$.
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\end{framed}
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\textit{Beweis: \\
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\begin{compactitem}
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\item Sei $W=span_K(X)$. Nach Definition ist $0 \in W$, insbesondere $W\neq\emptyset$
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\item (UV1): Sind $x,y \in W$, also $x=\lambda_1\cdot x+...+\lambda_n\cdot x_n$ und $y=\mu_1\cdot x+...+
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\mu_n\cdot x_n$, so ist $x+y=(\lambda_1+\mu_1)x_1+...+(\lambda_n+\mu_n)x_n \in W$
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\item (UV2): Ist $\lambda \in K$ und $x \in W$, so ist $\lambda x=\lambda\cdot\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i=
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\sum\limits_{i=1}^n (\lambda\cdot\lambda_i)x_i \in W$
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\end{compactitem}}
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\begin{framed}
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\textbf{Satz:} Für jede Teilmenge $X \subset V$ ist $span_K(X)=<X>$.
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\end{framed}
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\textit{Beweis: \\
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\begin{compactitem}
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\item $span_K(X)$ ist UVR von $V$, der wegen $x=x\cdot 1$ die Menge $X$ enthält, und $<X>$ ist der kleinste solche.
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\item Ist $W\subset V$ ein UVR von $V$, der $X$ enthält, so enthält er auch wegen (UV2) alle Elemente der Form
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$\lambda\cdot x$, und wegen (UV1) dann auch alle Linearkombinationen aus $X$. Insbesondere gilt dies auch für $W=<X>$
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\end{compactitem}}
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$\newline$
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\textbf{Bemerkung:} Wir erhalten $span_K(X)=<X>$ auf 2 verschiedenen Wegen. Erstens "von oben" als Schnitt über alle UVR
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von $V$, die $X$ enthalten und zweitens "von unten" als Menge der Linearkombinationen. Man nennt $span_K(X)$ auch den
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von $X$ aufgespannten UVR oder die lineare Hülle von $X$. \\
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$\newline$
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\textbf{Beispiele:}
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\begin{compactitem}
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\item Sei $V=K^n$ der Standardraum. Für $i=1,...,n$ sei $e_i=(\delta_{i,1},...,\delta_{i,n})$, also $e_1=(1,0,...0)$,
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$e_2=(0,1,0,...,0),...,e_n=(0,...,1)$. Für $x=(x_1,...,x_n) \in V$ ist $x=\sum\limits_{i=1}^n x_i\cdot e_1$, folglich
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$span_K(_1,..,e_n)=V$. Insbesondere ist $K^n$ eindeutig erzeugt. Man nennt $(e_1,...,e_n)$ die Standardbasis des
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Standardraums $K^n$.
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\item Sei $V=K[X]$ Polynomring über $K$. Da $f=\sum\limits_{i=1}^n a_i\cdot X^i$ ist $span_K((X^i)_{i \in I})=K[X]$.
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Genauer ist $span_K(1,X,X^2,...,X^n)=K[X]_{\le n}$. Tatsächlich ist der $K$-VR $K[X]$ nicht endlich erzeugt. Sind
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$f_1,...,f_r \in K[X]$ und ist $d=max\{deg(f_1),...,deg(f_r)\}$, so sind $f_1,...,f_r \in K[X]_{\le d}$ und somit
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$span_K(f_1,...,f_r) \subset K[X]_{\le d}$, aber es gibt Polynome, deren Grad größer $d$ ist.
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\item Für $x \in V$ ist $<x>=span_K(x)=K\cdot x$. Im Fall $K=\mathbb R$, $V=\mathbb R^3$, $x\neq 0$ ist dies eine
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Ursprungsgerade.
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\item Im $\mathbb R$-VR $\mathbb C$ ist $span_{\mathbb R}(1)=\mathbb R\cdot 1=\mathbb R$, aber im $\mathbb C$-VR
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$\mathbb C$ ist $span_{\mathbb C}(1)=\mathbb C\cdot 1=\mathbb C$
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\end{compactitem}
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\begin{framed}
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\textbf{Definition linear (un)abhängig:}
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\begin{compactitem}
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\item Sei $n\in \mathbb N_0$. Ein $n$-Tupel $(x_1,...,x_n)$ von Elementen von $V$ ist linear abhängig, wenn es
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$\lambda_1,...,\lambda_n \in K$ gibt, die nicht alle 0 sind und $\lambda_1\cdot x_1+...+\lambda_n\cdot x_n=0$ (*)
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erfüllen. Andernfalls heißt das Tupel linear unabhängig.
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\item Eine Familie $(x_i)$ von Elementen von $V$ ist linear abhängig, wenn es $n\in \mathbb N_0$ und paarweise
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verschiedene $i_1,...,i_n \in I$ gibt, für die $(x_{i_1},...,x_{i_n})$ linear abhängig ist. Andernfalls linear
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unabhängig.
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\end{compactitem}
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\end{framed}
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\textbf{Bemerkungen:}
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\begin{compactitem}
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\item Offenbar hängt die Bedingung (*) nicht von der Reihenfolge der $x_1,...,x_n$ ab und ist $(x_1,...,x_k)$ linear
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abhängig für ein $k \le n$, so ist auch $(x_1,...,x_n)$ linear abhängig. Deshalb stimmt die 2. Definition für
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endliche Familien mit der 1. überein und $(x_i)$ ist genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge
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$J \subset I$ gibt, für die $(x_j)$ linear abhängig ist.
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\item Eine Familie ist genau dann linear unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge $J\subset I$ und für jede
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Wahl an Skalaren $(\lambda_i)_{i\in J}$ aus $\sum \lambda_i\cdot x_i=0$ schon $\lambda_i=0$ folgt, also wenn sich
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der Nullvektor nur trivial linear kombinieren lässt.
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\end{compactitem}
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\begin{framed}
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\textbf{Satz:} Genau dann ist $(x_i)$ linear abhängig, wenn es $i_0 \in I$ gibt mit $x_{i_0} \in span_K((x_i)_{i\in
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I\backslash\{i_0\}})$. In diesem Fall ist $span_K((x_i)_{i\in I})=span_K((x_i)_{i\in I\backslash\{i_0\}})$.
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\end{framed}
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\textit{Beweis: Es reicht, die Aussage für $I=\{1,...,n\}$ zu beweisen.\\
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Hinrichtung: Ist $(x_1,...,x_n)$ linear anhängig, so existieren $\lambda_1,...,\lambda_n$ mit $\sum\limits_{i=1}^n
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\lambda_i\cdot x_i=0$. oBdA sei $\lambda_n\neq 0$. Dann ist $x_n=\lambda_n^{-1}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n-1} \lambda_i
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\cdot x_i=\sum\limits_{i=1}^{n-1} \lambda_n^{-1}\cdot\lambda_i\cdot x_i \in span_K(x_1,...,x_n)$. \\
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Rückrichtung: oBdA. $i_0=n$, also $\sum\limits_{i=0}^{n-1} \lambda_i\cdot x_i$. Mit $\lambda_n=-1$ ist $\sum
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\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i=0$, was zeigt, dass $(x_1,...,x_n)$ linear abhängig ist. \\
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Sei nun $x_n=\sum\limits_{i=1}^{n-1} \lambda_i\cdot x_i \in span_K(x_1,...,x_{n-1})$. Wir zeigen, dass $span_K(x_1,...,
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x_{n-1})=span_K(x_1,...,x_n)$
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\begin{compactitem}
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\item klar, da bei mehr Elementen die Anzahl der Linearkombinationen nicht abnimmt
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\item Ist $y=\sum\limits_{i=1}^n \mu_i\cdot x_i \in span_K(x_1,...,x_n)$, so ist $y=\sum\limits_{i=1}^{n-1} \mu_i+
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\mu_n\cdot \lambda_i\cdot x_i \in span_K(x_1,...,x_n)$
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\end{compactitem}}
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\begin{framed}
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\textbf{Satz:} Genau dann ist $(x_i)$ linear unabhängig, wenn sich jedes $x\in span_K((x_i))$ in eindeutiger Weise
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als Linearkombination der $(x_i)$ schreiben lässt, d.h. $x=\sum\limits_{i\in I} \lambda_i\cdot x_i=\sum\limits_{i
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\in I} \lambda'_i\cdot x_i$, so ist $\lambda_i=\lambda'_i$
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\end{framed}
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\textit{Beweis: Es reicht, die Aussage für $I=\{1,...,n\}$ zu beweisen.\\
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Hinrichtung: Ist $(x_,...,x_n)$ linear unabhängig und $x=\sum\limits_{i\in I} \lambda_i\cdot x_i=\sum\limits_{i\in I}
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\lambda'_i\cdot x_i$, so folgt daraus $\sum\limits_{i\in I} (\lambda_i-\lambda'_i)x_i=0$ wegen der linearen
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Unabhängigkeit der $x_i$, dass $\lambda_i=\lambda'_i=0$\\
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Rückrichtung: Lässt sich jedes $x\in span_K(x_1,...,x_n)$ in eindeutiger Weise als Linearkombination der $x_i$ schreiben,
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so gilt dies insbesondere für $x=0$. Ist also $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i=0$, so folgt schon $\sum\limits_{
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i=1}^n 0\cdot x_i=0$ schon $\lambda_i=0$}
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$\newline$
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\textbf{Beispiele:}
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\begin{compactitem}
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\item Die Standardbasis $(e_1,...,e_n)$ des $K^n$ ist linear unabhängig. Es ist $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot
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e_i=(\lambda_i,...,\lambda_n)$
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\item Im $K$-VR $K[X]$ sind die Monome $(X^i)$ linear unabhängig.
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\item Ein einzelner Vektor $x\in V$ ist genau dann linear abhängig, wenn $x=0$.
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\item Ein Paar $(x_1,x_2)$ von Elementen von $V$, wenn es ein skalares Vielfaches des anderen ist, also z.B. $x_1=
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\lambda\cdot x_2$.
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\item Im $\mathbb R$-VR $\mathbb R^2$ sind die beiden Vektoren $(1,2)$ und $(2,1)$ linear unabhängig. \\
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Im $\mathbb Z\backslash 3\mathbb Z$-VR $(\mathbb Z\backslash 3\mathbb Z)^2$ sind diese Vektoren linear unabhängig, da
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$x_1+x_2=(1,2)+(2,1)=(3,3)=(0,0)=0$.
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\item Im $\mathbb R$-VR $\mathbb C$ ist $(1,i)$ linear unabhängig, aber im $\mathbb C$-VR $\mathbb C$ ist $(1,i)$
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linear abhängig, denn $\lambda_1\cdot 1+\lambda_2\cdot i =0$ für $\lambda_1=1$ und $\lambda_2=i$.
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\end{compactitem}
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\textbf{Bemerkungen:}
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\begin{compactitem}
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\item Ist $x_{i_0}=0$, ist $(x_i)$ linear abhängig: $1\cdot x_{i_0}=0$
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\item Gibt es $i,j\in I$ mit $i\neq j$, aber $x_i=x_j$, so ist $(x_i)$ linear abhängig: $x_i-x_j=0$
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\item Dennoch sagt man auch "die Teilmenge $X\subset V$ ist linear abhängig" und meint damit, dass die Familie $(x_x)
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_{x\in X}$ linear abhängig ist, d.h. es gibt ein $n\in \mathbb N_0$, $x_1,...,x_n \in X$ paarweise verschieden, mit
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$\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i=0$.
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\end{compactitem}
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\subsection{Basis und Dimension}
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\end{document}
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