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\chapter{Grundbegriffe aus Mengelehre und Logik}
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\textbf{Mengenlehre:} Universalität von Aussagen \\
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\textbf{Logik:} Regeln des Folgerns, wahre/falsche Aussagen
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\begin{framed}
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\textbf{Definition Aussage:} Sachverhalt, dem man entweder den Wahrheitswert "wahr" oder "falsch" zuordnen kann, aber nichts anders.
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\end{framed}
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Beispiele:
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\begin{compactitem}
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\item 5 ist eine Quadratzahl $\to$ falsch (Aussage)
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\item Die Elbe flie{\ss}t durch Dresden $\to$ wahr (Aussage)
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\item Mathematik ist rot $\to$ ??? (keine Aussage)
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\end{compactitem}
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\begin{framed}
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\textbf{Definition Menge:} Zusammenfassung von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen. (\textsc{Cantor}, 1877)
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\end{framed}
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Beispiele:
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\begin{compactitem}
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\item $M_1 :=$ Menge aller St\"adte in Deutschland
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\item $M_2 := \{1;2;3\}$
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\end{compactitem}
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$\newline$
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F\"ur ein Objekt $m$ und eine Menge $M$ gilt stets $m \in M$ oder $m \notin M$ \\
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F\"ur die Mengen $M$ und $N$ gilt $M=N$, falls dieselben Elemente enthalten sind
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$\{1;2;3\} = \{3;2;1\} = \{1;2;2;3\}$ \\
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- $N \subseteq M$, falls $n \in M$ f\"ur jedes $n \in N$ \\
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- $N \subset M$, falls zus\"atzlich $M \neq N$ \\
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\begin{framed}
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\textbf{Definition Aussageform:} Sachverhalt mit Variablen, der durch geeignete Ersetzung der Variablen zur Aussage wird.
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\end{framed}
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Beispiele:
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\begin{compactitem}
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\item $A(X) := $ Die Elbe flie{\ss}t durch X
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\item $B(X;Y;Z) := X + Y = Z$
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\end{compactitem}
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- aber $A(Dresden) ,B(2;3;4)$ sind Aussagen, $A(Mathematik)$ ist keine Aussage \\
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- $A(X)$ ist eine Aussage f\"u jedes $X \in M_1$ $\to$ Generalisierung von Aussagen durch Mengen
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\paragraph{Bildung und Verkn\"upfung von Aussagen}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
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\hline
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$A$ & $B$ & $\lnot A$ & $A \land B$ & $A \lor B$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
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\hline
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w & w & f & w & w & w & w\\
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\hline
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||||
w & f & f & f & w & f & f\\
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||||
\hline
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||||
f & w & w & f & w & w & f\\
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||||
\hline
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||||
f & f & w & f & f & w & w\\
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||||
\hline
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||||
\end{tabular}
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$\newline$
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Beispiele:
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\begin{compactitem}
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\item $\lnot$(3 ist gerade) $\to$ w
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\item (4 ist gerade) $\land$ (4 ist Primzahl) $\to$ f
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||||
\item (3 ist gerade) $\lor$ (3 ist Primzahl) $\to$ w
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||||
\item (3 ist gerade) $\Rightarrow$ (Mond ist W\"urfel) $\to$ w
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||||
\item (Die Sonne ist hei{\ss}) $\Rightarrow$ (es gibt Primzahlen) $\to$ w
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\end{compactitem}
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$\newline$
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Auschlie{\ss}endes oder: (entweder $A$ oder $B$) wird realisiert durch $\lnot(A \iff B)$.
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$\newline$
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Aussageform $A(X)$ sei f\"ur jedes $X \in M$ Aussage: neue Aussage mittels Quantoren
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\begin{compactitem}
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\item $\forall$: "f\"ur alle"
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||||
\item $\exists$: "es existiert"
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\end{compactitem}
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Beispiele:
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\begin{compactitem}
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\item $\forall n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ f
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||||
\item $\exists n \in \mathbb{N}: n$ ist gerade $\to$ w
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\end{compactitem}
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\begin{framed}
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\textbf{Definition Tautologie bzw. Kontraduktion/Widerspruch:} zusammengesetzte Aussage, die
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unabh\"angig vom Wahrheitsgehalt der Teilaussagen stest wahr bzw. falsch ist.
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\end{framed}
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||||
Beispiele:
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\begin{compactitem}
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\item Tautologie (immer wahr):
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$(A) \lor (\lnot A), \lnot (A \land (\lnot A)), (A \land B) \Rightarrow A$
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||||
\item Widerspruch (immer falsch): $A \land (\lnot A), A \iff \lnot A$
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||||
\item besondere Tautologie: $(A \Rightarrow B) \iff (\lnot B \Rightarrow \lnot A)$
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\end{compactitem}
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\begin{framed}
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||||
\textbf{Satz (de Morgansche Regeln):} Folgende Aussagen sind Tautologien:
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\begin{compactitem}
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||||
\item $\lnot(A \land B) \iff \lnot A \lor \lnot B$
|
||||
\item $\lnot(A \lor B) \iff \lnot A \land \lnot B$
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\end{compactitem}
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\end{framed}
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\paragraph{Bildung von Mengen}
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Seien $M$ und $N$ Mengen
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\begin{compactitem}
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\item Aufz\"ahlung der Elemente: $\{1;2;3\}$
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\item mittels Eigenschaften: $\{X \in M \mid A(X)\}$
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\item $\emptyset:=$ Menge, die keine Elemente enth\"alt
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\begin{compactitem}
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||||
\item leere Menge ist immer Teilmenge jeder Menge $M$
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\item \textbf{Warnung:} $\{\emptyset\} \neq \emptyset$
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\end{compactitem}
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||||
\item Verkn\"upfung von Mengen wie bei Aussagen
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\end{compactitem}
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\begin{framed}
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||||
\textbf{Definition Mengensystem:} Ein Mengensystem $\mathcal M$ ist eine Menge, bestehend aus anderen Mengen.
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\begin{compactitem}
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\item $\bigcup M := \{X \mid \exists M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Vereinigung aller Mengen in
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$\mathcal M$)
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\item $\bigcap M := \{X \mid \forall M \in \mathcal M: X \in M\}$ (Durchschnitt aller Mengen in
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$\mathcal M$)
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\end{compactitem}
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\end{framed}
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\begin{framed}
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||||
\textbf{Definition Potenzmenge:} Die Potenzmenge $\mathcal P$ enth\"alt alle Teilmengen einer Menge $M$. \\
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$\mathcal P(X) := \{\tilde M \mid \tilde M \subset M\}$
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\end{framed}
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Beispiel:
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\begin{compactitem}
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\item $M_3 := \{1;3;5\}$ \\
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$\to \mathcal P(M_3) = \{\emptyset, \{1\}, \{3\}, \{5\}, \{1;3\}, \{1;5\}, \{3;5\}, \{1;3;5\}\}$
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||||
\end{compactitem}
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\begin{framed}
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||||
\textbf{Satz (de Morgansche Regeln f\"ur Mengen):}
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\begin{compactitem}
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\item $(\mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N^C$
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||||
\item $(\mathop{\bigcap}_{N \in \mathcal N} N)^C = \mathop{\bigcup}_{N \in \mathcal N} N^C$
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||||
\end{compactitem}
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\end{framed}
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\begin{framed}
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\textbf{Definition Kartesisches Produkt:}
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$M \times N := \{m,n \mid m \in M \land n \in N\}$ \\
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||||
$(m,n)$ hei{\ss}t geordnetes Paar (Reihenfolge wichtig!) \\
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allgemeiner: $M_1 \times ... \times M_k := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$ \\
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||||
$M^k := M \times ... \times M := \{(m_1,...,m_k) \mid m_j \in M_j, j=1, .., k\}$
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||||
\end{framed}
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\begin{framed}
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\textbf{Satz (Auswahlaxiom): } Sei $\mathcal M$ ein Mengensystem nichtleerer paarweise disjunkter Mengen $M$.
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item Es existiert eine Auswahlmenge $\tilde M$, die mit jedem $M \in \mathcal M$ genau 1 Element gemeinsam hat.
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||||
\item beachte: Die Auswahl ist nicht konstruktiv!
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\end{compactitem}
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\end{framed}
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\chapter{Aufbau einer mathematischen Theorie}
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Axiome $\to$ Beweise $\to$ Sätze ("neue" wahre Aussagen) \\
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$\to$ ergibt Ansammlung (Menge) wahrer Aussagen
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\paragraph{Formulierung mathematischer Aussagen}
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\begin{compactitem}
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\item typische Form eines mathematischen Satzes: "Wenn A gilt, dann gilt auch B."
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\item formal: $A \Rightarrow B$ bzw. $A(X) \Rightarrow B(X)$ ist stets wahr (insbesondere falls
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A wahr ist)
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\end{compactitem}
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$\newline$
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Beispiel
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\begin{compactitem}
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\item $X \in \mathbb N$ und ist durch 4 teilbar $\Rightarrow X$ ist durch 2 teilbar
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\item beachte: Implikation auch wahr, falls $X = 5$ oder $X =6$, dieser Fall ist aber
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uninteressant
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\item genauer meint man sogar $A \land C \Rightarrow B$, wobei $C$ aus allen bekannten wahren
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Aussagen besteht
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\item man sagt: $B$ ist \textbf{notwendig} f\"ur $A$, da $A$ nur wahr sein kann, wenn $B$
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wahr ist
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\item man sagt: $A$ ist \textbf{hinreichend} f\"ur $B$, da $B$ stets wahr ist, wenn $A$ wahr ist
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\end{compactitem}
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\paragraph{Mathematische Beweise}
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\begin{compactitem}
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||||
\item \textbf{direkter Beweis:} finde Zwischenaussagen $A_1,...,A_k$, sodass f\"ur $A$ auch wahr: \\
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$(A \Rightarrow A_1) \land (A_1 \Rightarrow A_2) \land ... \land (A_k \Rightarrow B)$
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\item Beispiel: Zeige $x > 2 \Rightarrow x^2-3x+2>0$ \\
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$(x>2) \Rightarrow (x-2>0) \land (x-1>0) \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \Rightarrow x^2-3x+2>0$
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||||
\item \textbf{indirekter Beweis:} auf Grundlage der Tautologie $(A \Rightarrow B) \iff
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(\lnot B \Rightarrow \lnot A)$ f\"uhrt man direkten Beweis $\lnot B \Rightarrow \lnot A$ (das
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hei{\ss}t angenommen $B$ falsch, dann auch $A$ falsch)
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\item praktisch formuliert man das auch so: $(A \land \lnot B) \Rightarrow ... \Rightarrow (A
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\land \lnot A)$
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\item Beispiel: Zeige $x^2-3x+2 \le 0$ sei wahr \\
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$\lnot B \Rightarrow (x-2) \cdot (x-1) \le 0 \Rightarrow 1 \le x \le 2 \Rightarrow x \le 2
|
||||
\Rightarrow \lnot A$
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\end{compactitem}
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\subsection{Relationen und Funktionen}
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\begin{framed}
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\textbf{Definition Relation:} Seien $M$ und $N$ Mengen. Dann ist jede Teilmenge $R$ von
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$M \times N$ eine Relation. \\
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$(x,y) \in R$ hei{\ss}t: $x$ und $y$ stehen in Relation zueinander
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\end{framed}
|
||||
Beispiele
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\begin{compactitem}
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\item $M$ ist die Menge aller Menschen. Die Liebesbeziehung $x$ liebt $y$ sieht als geordnetes Paar
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geschrieben so aus: $(x,y)$. Das hei{\ss}t die Menge der Liebespaare ist das: $L := \{(x,y) \mid
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x \; liebt \; y\}$. Und es gilt: $L \subset M \times M$.
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||||
\end{compactitem}
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||||
$\newline$
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||||
Die Relation $R \subset M \times N$ hei{\ss}t \textbf{Ordnungsrelation} (kurz. Ordnung) auf M, falls f\"ur alle $a,b,c \in M$ gilt:
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (antisymetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\item z.B. $R = \{(X,Y) \in \mathcal P(Y) \times \mathcal P(Y) \mid X \subset Y\}$
|
||||
\end{compactitem}
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||||
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||||
$\newline$
|
||||
Eine Ordnungsrelation hei{\ss}t \textbf{Totalordnung}, wenn zus\"atzlich gilt: $(a,b) \in R \lor
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(b,a) \in R$ \\
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$\newline$
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||||
Beispiel \\
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Seien $m$, $n$ und $o$ nat\"urliche Zahlen, dann ist $R = \{(m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}
|
||||
\mid x \le y\}$ eine Totalordnung, da
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||||
\begin{compactitem}
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\item $m \le m$ (reflexiv)
|
||||
\item $(m \le n \land n \le m) \Rightarrow m=n$ (antisymetrisch)
|
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\item $(m \le n \land n \le o) \Rightarrow m \le o$ (transitiv)
|
||||
\item $m \le n \lor n \le m$ (total)
|
||||
\end{compactitem}
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||||
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||||
$\newline$
|
||||
Eine Relation auf $M$ hei{\ss}t \textbf{\"Aquivalenzrelation}, wenn f\"ur alle $a,b,c \in M$ gilt:
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\begin{compactitem}
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||||
\item $(a,a) \in R$ (reflexiv)
|
||||
\item $(a,b),(b,a) \in R$ (symetrisch)
|
||||
\item $(a,b), (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R$ (transitiv)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
$\newline$
|
||||
Obwohl Ordnungs- und \"Aquivalenzrelation die gleichen Eigenschaften haben, haben sie
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||||
unterschiedliche Zwecke: Ordnungsrelationen ordnen Elemente in einer Menge (z.B. das Zeichen $\le$
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ordnet die Menge der nat\"urlichen Zahlen), w\"ahrend \"Aquivalenzrelationen eine Menge in disjunkte
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||||
Teilmengen (\"Aquivalenzklassen) ohne Rest aufteilen. \\
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$\newline$
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||||
Wenn $R$ eine Ordnung auf M ist, so wird h\"aufig geschrieben: \\
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||||
\noindent\hspace*{5mm} $a \le b$ bzw. $a \ge b$ falls $(a,b) \in \mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} $a < b$ bzw. $a > b$ falls zus\"atzlich $a \neq b$ \\
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||||
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||||
\begin{framed}
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||||
\textbf{Definition Abbildung/Funktion:} Eine Funktion $F$ von $M$ nach $N$
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||||
(kurz: $F: M \mapsto N$), ist eine Vorschrift, die jedem Argument/Urbild $m \in M$ genau einen
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||||
Wert/Bild $F(m) \in N$ zuordnet. \\
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||||
$D(F) := M$ hei{\ss}t Definitionsbereich/Urbildmenge \\
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||||
\noindent\hspace*{15mm} $N$ hei{\ss}t Zielbild \\
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||||
$F(M') := \{n \in N \mid n=F(m)$ f\"ur ein $m \in M' \}$ ist Bild von $M' \subset M$ \\
|
||||
$F^{-1}(N') := \{m \in M \mid n=F(m)$ f\"ur ein $N' \}$ ist Urbild von $N' \subset N$ \\
|
||||
$R(F) := F(M)$ hei{\ss}t Wertebereich/Bildmenge \\
|
||||
$graph(F) := \{(m,n) \in M \times N \mid n=F(m)\}$ hei{\ss}t Graph von $F$ \\
|
||||
$F_{\mid M'}$ ist Einchr\"ankungvon $F$ auf $M' \subset M$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Unterschied Zielmenge und Wertebereich: $f(x) = sin(x):$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Zielmenge: $\mathbb R$ \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm} Wertebereich: $[-1;1]$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Funktionen $F$ und $G$ sind gleich, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $D(F) = D(G)$
|
||||
\item $F(m) = G(m) \quad \forall m \in D(F)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Manchaml wird auch die vereinfachende Schreibweise benutzt: \\
|
||||
- $F: M \mapsto N$, obwohl $D(F) \subsetneq M$ (z.B. $tan: \mathbb R \mapsto \mathbb R$, Probleme
|
||||
bei $\frac{\pi} {2}$) \\
|
||||
- gelegentlich spricht man auch von "Funktion $F(m)$" statt Funktion $F$ \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Komposition/Verkn\"upfung:} Die Funktionen $F: M \mapsto N$ und $G: N \mapsto P$
|
||||
sind verkn\"upft, wenn \\
|
||||
$F \circ G: M \mapsto P$ mit $(F \circ G)(m) := G(F(m))$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Funktionen:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item injektiv: Zuordnung ist eineindeutig $\to F(m_1) = F(m_2) \Rightarrow m_1=m_2$
|
||||
\item Beispiel: $x^2$ ist nicht injektiv, da $F(2)=F(-2)=4$
|
||||
\item surjektiv: $F(M) = N \quad \forall n \in N \; \exists m \in M: F(m)=n$
|
||||
\item Beispiel: $sin(x)$ ist nicht surjektiv, da es kein $x$ f\"ur $y=27$ gibt
|
||||
\item bijektiv: injektiv und surjektiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
F\"ur bijektive Abbildung $F: M \mapsto N$ ist Umkehrabbildung/inverse Abbildung $F^{-1}: N \mapsto M$
|
||||
definiert durch: $F^{-1}(n) = m \iff F(m)=n$ \\
|
||||
Hinweis: Die Notation $F^{-1}(N')$ f\"ur Urbild bedeutet nicht, dass die inverse Abbildung $F^{-1}$
|
||||
existiert.
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Sei $F: M \mapsto N$ surjektiv. Dann existiert die Abbildung $G: N \mapsto M$,
|
||||
sodass $F \circ G = id_N$ (d.h. $F(G(n))=n \quad \forall n \in N$)
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition Rechenoperation/Verkn\"upfung:} Eine Rechenoperation auf einer Menge $M$ ist
|
||||
die Abbildung $*: M \times M \mapsto M$ d.h. $(m,n) \in M$ wird das Ergbnis $m*n \in M$ zugeordnet.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textbf{Eigenschaften von Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item hat neutrales Element $e \in M: m*e=m$
|
||||
\item ist kommutativ $m*n=n*m$
|
||||
\item ist assotiativ $k*(m*n)=(k*m)*n$
|
||||
\item hat ein inverses Element $m' \in M$ zu $m \in M: m*m'=e$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$e$ ist stets eindeutig, $m'$ ist eindeutig, wenn die Operation $*$ assoziativ ist. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Addition $+$: $(m,n) \mapsto m+n$ Summe, neutrales Element hei{\ss}t Nullelement, inverses
|
||||
Element $-m$
|
||||
\item Multiplikation $\cdot$: $(m,n) \mapsto m \cdot n$ Produkt, neutrales Element Eins, inverses
|
||||
Element $m^{-1}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Addition und Multiplikation sind distributiv, falls $k(m+n) = k \cdot m + k \cdot n$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Definition K\"orper:} Eine Menge $M$ ist ein K\"orper $K$, wenn man auf $K$ eine Addition
|
||||
und eine Multiplikation mit folgenden Eigenschaften durchf\"uhren kann:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es gibt neutrale Elemente 0 und 1 $\in K$
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind jeweils kommutativ und assoziativ
|
||||
\item Addition und Multiplikation sind distributiv
|
||||
\item es gibt Inverse $-k$ und $k^{-1} \in K$ \\
|
||||
$\to$ die reellen Zahlen sind ein solcher K\"orper
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
Eine Menge $M$ habe die Ordnung "$\le$" und diese erlaubt die Addition und Multiplikation, wenn
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $a \le b \iff a+c \le b+c$
|
||||
\item $a \le b \iff a \cdot c \le b \cdot c \quad c >0$ \\
|
||||
$\to$ Man kann die Gleichungen in gewohnter Weise umformen.
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ein K\"orper $K$ hei{\ss}t angeordnet, wenn er eine Totalordnung besitzt, die mit Addition
|
||||
und Multiplikation vertr\"aglich ist. \\
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||||
$\newline$
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||||
|
||||
\textbf{Isomorphismus} bez\"uglich einer Struktur ist die bijektive Abbildung $I: M_1
|
||||
\mapsto M_2$, die die vorhandene Struktur auf $M_1$ und $M_2$ erh\"alt, z.B.
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Ordnung $\le_1$ auf $M_1$, falls $a \le_1 b \iff I(a) \le_2 I(b)$
|
||||
\item Abbildung $F_i: M_i \mapsto M_i$, falls $I(F_1(a)) = F_2(I(a))$
|
||||
\item Rechenoperation $*_i: M_i \times M_i \mapsto M_i$, falls $I(a*_1b) = I(a) *_2 I(b)$
|
||||
\item spezielles Element $a_i \in M_i$, falls $I(a_1) = a_2$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textit{"Es gibt 2 verschiedene Arten von reellen Zahlen, meine und Prof. Schurichts. Wenn wir einen
|
||||
Isomorphismus finden, dann bedeutet das, dass unsere Zahlen strukturell die selben sind."}\\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Beispiele: $M_1 = \mathbb N$ und $M_2 = \{$gerade Zahlen$\}$, jeweils mit Addition, Multiplikation
|
||||
und Ordnung \\
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||||
$\to I: M_2 \mapsto M_2$ mit $I(k)=2k \quad \forall k \in \mathbb N$ \\
|
||||
$\to$ Isomorphismus, der die Addition, Ordnung und die Null, aber nicht die Multiplikation erh\"alt
|
||||
|
||||
\subsection{Bemerkungen zum Fundament der Mathematik}
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||||
Forderungen an eine mathematische Theorie:
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item widerspruchsfrei: Satz und Negation nicht gleichzeitig herleitbar
|
||||
\item vollst\"andig: alle Aussagen innerhalb der Theorie sind als wahr oder falsch beweisbar
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
2 Unvollst\"andigkeitss\"atze:
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item jedes System ist nicht gleichzeitig widerspruchsfrei und vollst\"andig
|
||||
\item in einem System kann man nicht die eigene Widerspruchsfreiheit zeigen
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
112
ANAG/TeX_files/chapter03_nat_Zahlen.tex
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112
ANAG/TeX_files/chapter03_nat_Zahlen.tex
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|
|
@ -0,0 +1,112 @@
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|||
\chapter{Natürliche Zahlen}
|
||||
$\mathbb N$ sei diejenige Menge, die die \textbf{Peano-Axiome} erf\"ullt, das hei{\ss}t
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\mathbb N$ sei induktiv, d.h. es existiert ein Nullelement und eine injektive Abbildung
|
||||
$\mathbb N \mapsto \mathbb N$ mit $\nu(n) \neq 0 \quad \forall n$
|
||||
\item Falls $N \subset \mathbb N$ induktiv in $\mathbb N$ (0, $\nu(n) \in N$ falls $n \in N
|
||||
\Rightarrow N = \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\to \mathbb N$ ist die kleinste induktive Menge \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Nach der Mengenlehre ZF (Zermelo-Fraenkel) existiert eine solche Menge $\mathbb N$ der nat\"urlichen
|
||||
Zahlen. Mit den \"ublichen Symbolen hat man:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $0 := \emptyset$
|
||||
\item $1 := \nu(0) := \{\emptyset\}$
|
||||
\item $2 := \nu(1) := \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$
|
||||
\item $3 := \nu(2) := \{\emptyset, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
Damit ergibt sich in gewohnter Weise $\mathbb N = \{1; 2; 3; ...\}$ \\
|
||||
anschauliche Notation $\nu(n) = n+1$ (beachte: noch keine Addition definiert!) \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Theorem:} Falls $\mathbb N$ und $\mathbb N'$ die Peano-Axiome erf\"ullen, sind sie
|
||||
isomorph bez\"uglich Nachfolgerbildung und Nullelement. Das hei{\ss}t alle solche $\mathbb N'$
|
||||
sind strukturell gleich und k\"onnen mit obigem $\mathbb N$ identifiziert werden.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz (Prinzip der vollst\"andigen Induktion):} Sei $\{A_n \mid n \in N\}$ eine Menge
|
||||
von Aussagen $A_n$ mit der Eigenschaft \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm}IA: $A_0$ ist wahr \\
|
||||
\noindent\hspace*{5mm}IS: $\forall n \in \mathbb N$ gilt $A_n \Rightarrow A_{n+1}$ \\
|
||||
$A_n$ ist wahr f\"ur alle $n \in \mathbb N$
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Lemma:} Es gilt:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $\nu(n) \cup \{0\} = \mathbb N$
|
||||
\item $\nu(n) \neq n \quad \forall n \in \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz (rekursive Definition/Rekursion):} Sei $B$ eine Menge und $b \in B$. Sei $F$ eine
|
||||
Abbildung mit $F: B \times \mathbb N \mapsto B$. Dann liefert nach Vorschrift: $f(0) := b$ und
|
||||
$f(n+1) = F(f(n),n) \quad \forall n \in \mathbb N$ genau eine Abbildung $f: \mathbb N \mapsto B$.
|
||||
Das hei{\ss}t eine solche Abbildung exstiert und ist eindeutig.
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen:}
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Definition Addition '$+$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb N$ auf $\mathbb N$
|
||||
durch $n+0:=n$, $n+\nu(m):=\nu(n+m) \quad \forall n,m \in \mathbb N$
|
||||
\item Definition Multiplikation '$\cdot$': $\mathbb N \times \mathbb N \mapsto \mathbb
|
||||
N$ auf $\mathbb N$ durch $n \cdot 0 := 0$, $n \cdot \nu(m) := n \cdot m + n \quad \forall
|
||||
n,m \in \mathbb N$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
F\"ur jedes feste $n \in \mathbb N$ sind beide Definitionen rekursiv und eindeutig definiert. \\
|
||||
$\forall n \in \mathbb N$ gilt: $n+1=n+\nu(0)=\nu(n+0) = \nu(n)$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Addition und Multiplikation haben folgende Eigenschaften:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es existiert jeweils ein neutrales Element
|
||||
\item kommutativ
|
||||
\item assoziativ
|
||||
\item distributiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Es gilt $\forall k,m,n \in \mathbb N$:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \neq 0 \Rightarrow m+n \neq 0$
|
||||
\item $m \cdot n = 0 \Rightarrow n=0$ oder $m=0$
|
||||
\item $m+k=n+k \Rightarrow m=n$ (K\"urzungsregel der Addition)
|
||||
\item $m \cdot k=n \cdot k \Rightarrow m=n$ (K\"urzungsregel der Multiplikation)
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ordnung auf $\mathbb N:$ Relation $R := \{(m,n) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m \le n\}$ \\
|
||||
wobei $m \le n \iff n=m+k$ f\"ur ein $k \in \mathbb N$ \\
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Es gilt auf $\mathbb N:$
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $m \le n \Rightarrow \exists ! k \in \mathbb N: n=m+k$, nenne $n-m:=k$ (Differenz)
|
||||
\item Relation $R$ (bzw. $\le$) ist eine Totalordnung auf $\mathbb N$
|
||||
\item Ordnung $\le$ ist vertr\"aglich mit der Addition und Multiplikation
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Bweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Sei $n=m+k=m+k' \Rightarrow k=k'$
|
||||
\item Sei $n=n+0 \Rightarrow n \le n \Rightarrow$ reflexiv \\
|
||||
sei $k\le m, m \le n \Rightarrow \exists l,j: m=k+l, n=m+j=(k+l)+j=k+(l+j) \Rightarrow
|
||||
k \le n \Rightarrow$ transitiv \\
|
||||
sei nun $m \le n und n \le m \Rightarrow n=m+j=n+l+j \Rightarrow 0=l+j \Rightarrow j=0
|
||||
\Rightarrow n=m \Rightarrow$ antisymmetrisch \\
|
||||
Totalordnung, d.h. $\forall m,n \in \mathbb N: m\le n$ oder $n\le m$ \\
|
||||
IA: $m=0$ wegen $0=n+0$ folgt $0 \le n \forall n$ \\
|
||||
IS: gelte $m\le n$ oder $n \le m$ mit festem $m$ und $\forall n \in \mathbb N$, dann \\
|
||||
falls $n \le m \Rightarrow n \le m+1$ \\
|
||||
falls $m < n \Rightarrow \exists k \in \mathbb N: n=m+(k+1)=(m+)1+k \Rightarrow m+1 \le n$ \\
|
||||
$m\le n$ oder $n \le m$ gilt für $m+1$ und $\forall n \in \mathbb N$, also $\forall n,m \in
|
||||
\mathbb N$
|
||||
\item sei $m \le n \Rightarrow \exists j: n=m+j \Rightarrow n+k=m+j+k \Rightarrow m+k \le n+k$
|
||||
\end{compactitem}}
|
||||
212
ANAG/TeX_files/chapter04_ganze_u_rat_Zahlen.tex
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212
ANAG/TeX_files/chapter04_ganze_u_rat_Zahlen.tex
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|
|
@ -0,0 +1,212 @@
|
|||
\chapter{Ganze und rationale Zahlen}
|
||||
\textbf{Frage:} Existiert eine natürliche Zahl $x$ mit $n=n'+x$ für ein gegebenes $n$ und $n'$? \\
|
||||
\textbf{Antwort:} Das geht nur falls $n \le n'$, dann ist $x=n-n'$ \\
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlenbereichserweiterung, sodass die Gleichung immer l\"osbar ist. Ordne jedem Paar
|
||||
$(n,n') \in \mathbb N \times \mathbb N$ eine neue Zahl als L\"osung zu. Gewisse Paare liefern die
|
||||
gleiche L\"osung, z.B. $(6,4),(5,3),(7,5)$. Diese m\"ussen mittels Relation identifiziert werden. \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
$\mathbb Q := \{(n_1,n_1'),(n_2,n_2') \in (\mathbb N \times \mathbb N) \times (\mathbb N \times
|
||||
\mathbb N) \mid n_1+n_2'=n_1'+n_2\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} $\mathbb Q$ ist die \"Aquivalenzrelation auf $\mathbb N \times \mathbb N$
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Beispiele:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $(5,3) \sim (6,4) \sim (7,5)$ bzw. $(5-3) \sim (6-4) \sim (7-5)$
|
||||
\item $(3,6) \sim (5,8)$ bzw. $(3-6) \sim (5-8)$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item offenbar $((n,n'),(n,n')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ reflexiv
|
||||
\item falls $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q \Rightarrow (n_2,n_2'),(n_1,n_1')) \in
|
||||
\mathbb Q \Rightarrow$ symmetrisch
|
||||
\item sei $((n_1,n_1'),(n_2,n_2')) \in \mathbb Q$ und $((n_2,n_2'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q
|
||||
\Rightarrow n_1+n_2'=n_1'+n_2, n_2+n_3'=n_2'+n_3 \Rightarrow n_1+n_3'=n_1'+n_3 \Rightarrow
|
||||
((n_1,n_1'),(n_3,n_3')) \in \mathbb Q \Rightarrow$ transitiv
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
setze $\overline{\mathbb{Z} := \{[(n,n')] \mid n,n' \in \mathbb{N}\}}$ Menge der ganzen Zahlen,
|
||||
[ganze Zahl] \\
|
||||
Kurzschreibweise: $\overline m := [(m,m')]$ oder $\overline n := [(n,n')]$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Sei $[(n,n')] \in \overline{\mathbb{Z}}$. Dann existiert eindeutig $n* \in
|
||||
\mathbb N$ mit
|
||||
$(n*,0) \in [(n,n')]$, falls $n \ge n'$ bzw. $(0,n*) \in [(n,n')]$ falls $n < n'$.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item $n \ge n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n=n'+n* \Rightarrow (n*,0) \sim (n,n')$
|
||||
\item $n < n' \Rightarrow \exists ! n* \in \mathbb N: n+n*=n' \Rightarrow (0,n*) \sim (n,n')$
|
||||
\end{compactitem}}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Frage:} Was hat $\overline{\mathbb{Z}}$ mit $\whole$ zu tun?\\
|
||||
\textbf{Antwort:} identifiziere $(n,0)$ bzw. $(n-0)$ mit $n \in \natur$ und identifiziere $(0,n)$
|
||||
bzw. $(0-n)$ mit Symbol $-n$ \\
|
||||
$\Rightarrow$ ganze Zahlen kann man eindeutig den Elementen folgender Mengen zuordnen: $\mathbb Z :=
|
||||
\natur \cup \{(-n) \mid n \in \natur\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen auf $\overline{\whole}$:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Addition: $\overline m + \overline n = [(m,m')]+[(n,n')]=[(m+n,m'+n')]$
|
||||
\item Multiplikation: $\overline m \cdot \overline n = [(m,m')] \cdot [(n,n')]=[(mn+m'n',mn'+m'n)]$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Addition und Multiplikation sind eindeutig definiert, d.h. unabh\"angig von
|
||||
Repr\"asentant bez\"uglich $\mathbb Q$
|
||||
\end{framed}
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
Sei $(m_1,m_1') \sim (m_2,m_2'), (n_1,n_1') \sim (n_2,n_2') \Rightarrow m_1+m_2'=m_1'+m_2, n_1
|
||||
+n_2'=n_1'+n_2 \Rightarrow m_1+n_1+m_2'+n_2'=m_1'+n_1'+m_2+n_2 \Rightarrow (m_1,m_1')+(n_1,n_1')
|
||||
\sim (m_2,m_2')+(n_2,n_2')$} \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} F\"ur Addition und Multiplikation auf $\mathbb Z$ gilt $\forall \overline m,
|
||||
\overline{n} \in \overline{\whole}$:
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item es existiert eine neutrales Element: $0:=[(0,0)]$, $1:=[(1,0)]$
|
||||
\item jeweils kommutativ, assoziativ und gemeinsam distributiv
|
||||
\item $- \overline{n} := [(n',n)] \in \whole$ ist invers bez\"uglich der Addition zu
|
||||
$[(n,n')] = \overline n$
|
||||
\item $(-1) \cdot \overline n = - \overline n$
|
||||
\item $\overline m \cdot \overline n = 0 \iff \overline m =0 \lor \overline n=0$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item offenbar $\overline n +0=0+\overline n=\overline n$ und $\overline n \cdot 1 = 1 \cdot
|
||||
\overline n = \overline n$
|
||||
\item Flei{\ss}arbeit
|
||||
\item offenbar $\overline n+(- \overline n) = (- \overline n)+\overline n=[(n+n',m+m')]=0$
|
||||
\item $(-1)\cdot \overline n = [(0,1)]\cdot [n,n']=[n',n]=-\overline n$
|
||||
\item \"Ubungsaufgabe
|
||||
\end{compactitem}}
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} F\"ur $\overline m, \overline n \in \mathbb Z$ hat die Gleichung $\overline m=
|
||||
\overline n + \overline x$ die L\"osung $\overline x=\overline m+(-\overline n)$
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ordnung auf $\overline{\whole}:$ betrachte Relation $R := \{(\overline{m},\overline{n}) \in
|
||||
\overline{\whole} \times \overline{\whole} \mid \overline{m} \le \overline{n}\}$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} $R$ ist Totalordnung auf $\mathbb Z$ und verträglich mit Addition und
|
||||
Multiplikation
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ordnung verträglich mit Addition: $\overline n < 0 \iff 0=\overline n+(-\overline n) < -\overline n
|
||||
= (-1) \cdot \overline n$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
beachte: $\mathbb Z := \mathbb N \cup \{(-n) \mid n \in \mathbb N_{>0}\}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} $\whole$ und $\overline{\whole}$ sind isomorph bezüglich Addition,
|
||||
Multiplikation und Ordnung.
|
||||
\end{framed}
|
||||
|
||||
\textit{Beweis: \\
|
||||
betrachte Abbildung $I: \mathbb Z \to \overline{\whole} $ mit $I(k):=[(k,0)]$ und $I(-k):=[(0,k)]
|
||||
\quad \forall k \in \natur \Rightarrow$ Übungsaufgabe}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Notation: verwende stets $\mathbb Z$, schreibe $m,n,...$ statt $\overline m, \overline n,...$ f\"ur
|
||||
ganze Zahlen in $\mathbb Z$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Frage:} Existiert eine ganze Zahl mit $n=n' \cdot x$ f\"ur $n,n' \in \mathbb Z, n' \neq 0$ \\
|
||||
\textbf{Antwort:} im Allgemeinen nicht
|
||||
\textbf{Ziel:} Zahlbereichserweiterung analog zu $\mathbb N \to \mathbb Z$ \\
|
||||
ordne jedem Paar $(n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z$ neue Zahl $x$ zu \\
|
||||
schreibe $(n,n')$ auch als $\frac{n}{n'}$ oder $n:n'$ \\
|
||||
identifiziere Paare wie z.B. $\frac 4 2, \frac 6 3, \frac 8 4$ durch Relation \\
|
||||
$\mathbb Q := {(\frac{n_1}{n'_2}, \frac{n_2}{n'_2}) \in (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0})
|
||||
\times (\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}) \mid n_1n'_2=n'_1n_2}$ \\
|
||||
$\Rightarrow \mathbb Q$ ist eine \"Aquivalenzrelation auf $\mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
setze $\mathbb Q := {[\frac{n}{n'}] \mid (n,n') \in \mathbb Z \times \mathbb Z_{\neq 0}}$ Menge der
|
||||
rationalen Zahlen \\
|
||||
beachte: unendlich viele Symbole $\frac{n}{n'}$ f\"ur gleiche Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
|
||||
wir schreiben sp\"ater $\frac{n}{n'}$ f\"ur die Zahl $[\frac{n}{n'}]$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
offenbar gilt die K\"urzungsregel: $[\frac{n}{n'}]=[\frac{kn}{kn'}] \quad \forall k \in
|
||||
\mathbb Z_{\neq 0}$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\textbf{Rechenoperationen auf $\mathbb Q$:} \\
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item Addition: $[\frac{m}{m'}]+[\frac{n}{n'}] := [\frac{mn'+m'n}{m'n'}]$
|
||||
\item Multiplikation: $[\frac{m}{m'}] \cdot [\frac{n}{n'}] := [\frac{mn}{m'n'}]$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} Mit Addition und Multiplikation ist $\mathbb Q$ ein K\"orper mit
|
||||
\begin{compactitem}
|
||||
\item neutralen Elementen: $0=[\frac{0_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=
|
||||
[\frac{0_{\mathbb Z}}{n_{\mathbb Z}}], 1:=[\frac{1_{\mathbb Z}}{1_{\mathbb Z}}]=[\frac n n]
|
||||
\neq 0$
|
||||
\item inversen Elementen: $-[\frac{n}{n'}]=[\frac{-n}{n}], [\frac{n}{n'}]^{-1}=[\frac{n'}{n}]$
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
\end{framed}
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
Ordnung auf $\mathbb Q:$ f\"ur $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$ kann man stets $n'>0$ annehmen \\
|
||||
Realtion: $R:=\{([\frac{m}{m'}],[\frac{n}{n'}]) \in \mathbb Q \times \mathbb Q \mid mn' \le m'n,
|
||||
m',n' > 0\}$ gibt Ordnung $\le$ \\
|
||||
$\newline$
|
||||
|
||||
\begin{framed}
|
||||
\textbf{Satz:} $\mathbb Q$ ist ein angeordneter K\"orper (d.h. $\le$ ist eine Totalordnung und
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||||
vertr\"aglich mit Addition und Multiplikation)
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\end{framed}
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$\newline$
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Notation: schreibe vereinfacht nur noch $\frac{n}{n'}$ f\"ur die Zahl $[\frac{n}{n'}] \in \mathbb Q$
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und verwende auch Symbole $p,q,...$ f\"ur Elemente aus $\mathbb Q$ \\
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$\newline$
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Gleichung $p \cdot x = q$ hat stets eindeutige L\"osung: $x=q \cdot p^{-1}$ ($p,q \in \mathbb Q,
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p \neq 0$) \\
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$\newline$
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\textbf{Frage:} $\mathbb N \subset \mathbb Z \to \mathbb Z \subset \mathbb Q$?
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\textbf{Antwort:} Sei $\mathbb Z_{\mathbb Q} := {\frac n 1 \in \mathbb Q \mid n \mathbb Z}, I:
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\mathbb Z \to \mathbb Z_{\mathbb Q}$ mit $I(n)=\frac n 1$ \\
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$\Rightarrow I$ ist Isomorphismus bez\"uglich Addition, Multiplikation und Ordnung. \\
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In diesem Sinn: $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q$ \\
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$\newline$
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\begin{framed}
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\textbf{Folgerung:} K\"orper $\mathbb Q$ ist archimedisch angeordnet, d.h. f\"ur alle $q \in
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\mathbb Q \exists n \in \mathbb N: q<_{\mathbb Q} n$
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\end{framed}
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\textit{Beweis: \\
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Sei $q = [\frac{k}{k'}]$ mit $k'>0$ \\
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$n := 0$ falls $k<0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{0}{k'}]=0=n$ \\
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||||
$n := k+1$ falls $k \ge 0 \Rightarrow q=[\frac{k}{k'}] < [\frac{k+1}{k'}]=n$}
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$\newline$
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\chapter{Reelle Zahlen}
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%TODO
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ANAG/TeX_files/chapter06_komplexe_zahlen.tex
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\chapter{komplexe Zahlen}
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%TODO
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ANAG/TeX_files/chapter07_grundl_ungleichungen.tex
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ANAG/TeX_files/chapter07_grundl_ungleichungen.tex
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@ -0,0 +1,2 @@
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\chapter{Grundlegen Ungleichungen}
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%TODO
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ANAG/TeX_files/chapter08_metr_raeume.tex
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ANAG/TeX_files/chapter08_metr_raeume.tex
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@ -0,0 +1,2 @@
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\chapter{Metrische Räume}
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%TODO
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ANAG/TeX_files/chapter09_konvergenz.tex
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\chapter{Konvergenz}
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%TODO
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ANAG/TeX_files/chapter10_vollst.tex
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ANAG/TeX_files/chapter10_vollst.tex
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ANAG/TeX_files/chapter11_kompaktheit.tex
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\chapter{Kompaktheit}
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ANAG/TeX_files/chapter12_reihen.tex
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ANAG/TeX_files/chapter12_reihen.tex
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\chapter{Reihen}
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%TODO
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ANAG/TeX_files/chapter13_funktionen.tex
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\chapter{Funktionen}
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%TODO
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@ -0,0 +1,126 @@
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\documentclass[11pt]{book}
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\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=4cm,bindingoffset=5mm]{geometry}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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% math/enviroments
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\usepackage{stmaryrd} % Widerspruch symbol
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\usepackage{framed}
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\usepackage[framed, hyperref, thmmarks, amsmath]{ntheorem}
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\usepackage[framemethod=tikz]{mdframed}
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\usepackage[autostyle]{csquotes}
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\usepackage{lipsum}
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\usepackage{enumerate}
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||||
%General newcommands!
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||||
\newcommand{\comp}{\mathbb{C}} % complex set C
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||||
\newcommand{\real}{\mathbb{R}} % real set R
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\newcommand{\whole}{\mathbb{Z}} % whole number Symbol
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\newcommand{\natur}{\mathbb{N}} % natural number Symbol
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||||
\newcommand{\ratio}{\mathbb{Q}} % rational number symbol
|
||||
\newcommand{\field}{\mathbb{K}} % general field for the others above!
|
||||
\newcommand{\diff}{\mathrm{d}} % differential d
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||||
\newcommand{\s}{\,\,} % space after the function in the intergral
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||||
\newcommand{\cont}{\mathcal{C}} % Contour C
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||||
\newcommand{\fuk}{f(z) \s\diff z} % f(z) dz
|
||||
\newcommand{\funk}{f(z)} % f(z)
|
||||
\newcommand{\diffz}{\s\diff z}
|
||||
\newcommand{\subint}{\int\limits} % lower boundaries for the integral
|
||||
\newcommand{\poly}{\mathcal{P}} % special P - polygon
|
||||
\newcommand{\defi}{\mathcal{D}} % D for the domain of a function
|
||||
\newcommand{\cover}{\mathcal{U}} % cover for a set
|
||||
\newcommand{\setsys}{\mathcal{M}} % set system M
|
||||
\newcommand{\setnys}{\mathcal{N}} % set system N
|
||||
\newcommand{\zetafunk}{f(\zeta)\s\diff \zeta} %f(zeta) d zeta
|
||||
\newcommand{\ztfunk}{f(\zeta)} % f(zeta)
|
||||
\newcommand{\bocirc}{S_r(z)}
|
||||
\newcommand{\prop}{\,|\,}
|
||||
\newcommand*{\QEDA}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}} %tombstone
|
||||
\newcommand{\emptybra}{\{\varnothing\}} % empty set with set-bracket
|
||||
\newcommand{\series}{(a_n)_{n\in\natur}} % series a_n€|N
|
||||
\newcommand{\seriesa}{(a_n)} % short for \seriesa
|
||||
\newcommand{\seriesb}{(b_n)} % with b
|
||||
\newcommand{\seriesc}{(c_n)} % with c
|
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\newcommand{\seriesk}{(a_k)} % a with k
|
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\newcommand{\varepz}{\varepsilon > 0}
|
||||
\newcommand{\realpos}{\real_{>0}}
|
||||
\newcommand{\realposr}{\real_{\geq0}}
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\newcommand{\naturpos}{\natur_{>0}}
|
||||
\newcommand{\Imag}{\operatorname{Im}} % Imaginary symbol
|
||||
\newcommand{\Realz}{\operatorname{Re}} % Real symbol
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||||
\newcommand{\norm}{\| \cdot \|}
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\newcommand{\limn}{\lim\limits_{n\to\infty}}
|
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\newcommand{\limk}{\lim\limits_{k\to\infty}}
|
||||
\newcommand{\half}{\frac{1}{2}} % 1/2
|
||||
\newcommand{\halfn}{\frac{1}{n}} % 1/n
|
||||
\newcommand{\halftri}{\frac{1}{3}} % 1/3
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||||
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||||
\newcommand{\sumkk}{\sum_{k=0}^{\infty}} % sum from k=0 to \infty
|
||||
\newcommand{\sumkkone}{\sum_{k=0}^{\infty}} % sum from k=1 to \infty
|
||||
\newcommand{\sumk}{\textstyle \sum_{k}} % shortform of k=0 to \infty
|
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||||
\newcommand{\foralln}{\forall n} %all n
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||||
\newcommand{\forallnset}{\forall n \in \natur} %all n € |N
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||||
\newcommand{\forallnz}{\forall n \geq _0} % all n >= n_0
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||||
\newcommand{\metric}{(X,d)} % metric space symbol
|
||||
\newcommand{\metricsym}{|\cdot|} % |*|
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||||
\newcommand{\conjz}{\overline{z}} % conjugated z
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||||
\newcommand{\tildz}{\tilde{z}} % different z
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||||
\newcommand{\lproofar}{"`$ \Lightarrow $"'} % "`<="'
|
||||
\newcommand{\rproofar}{"`$ \Rightarrow $"'} % "`=>"'
|
||||
\newcommand{\rangen}{1,\dots,n} % 1,...,n
|
||||
\newcommand{\dotsco}{,\dots,} % ,...,
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||||
\newcommand{\expon}{\mathrm{exp}}
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||||
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||||
\begin{document}
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||||
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||||
\title{\textbf{Analysis 1. Semester (WS2017/18)}}
|
||||
\author{Dozent: Prof. Dr. Friedemann Schuricht\\
|
||||
Kursassistenz: Moritz Schönherr}
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||||
\date{\today}
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||||
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||||
\frontmatter
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||||
\maketitle
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||||
\tableofcontents
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||||
\newpage
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||||
\paragraph{Literatur}
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||||
\begin{compactitem}
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||||
\item Forster: Analysis 1 + 2, Vieweg
|
||||
\item Königsberger: Analysis 1 + 2, Springer
|
||||
\item Hildebrandt: Analysis 1 + 2, Springer
|
||||
\item Walter: Analysis 1 + 2, Springer
|
||||
\item Escher/Amann: Analysis 1 + 2, Birkhäuser
|
||||
\item Ebbinghaus: Einfühung in die Mengenlehre, BI-Wissenschaftsverlag
|
||||
\item Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner 1996
|
||||
\item Springer-Taschenbuch der Mathematik, Springer 2012
|
||||
\end{compactitem}
|
||||
|
||||
\mainmatter
|
||||
\part{Grundlagen der Mathematik}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter01_grundbegriffe_aus_mengenlehre_und_logik}
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||||
\include{./TeX_files/chapter02_aufbau_einer_math_theorie}
|
||||
\part{Zahlenbereiche}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter03_nat_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter04_ganze_u_rat_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter05_reelle_zahlen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter06_komplexe_zahlen}
|
||||
\part{Metrische Räume und Konvergenz}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter07_grundl_ungleichungen}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter08_metr_raeume}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter09_konvergenz}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter10_vollst}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter11_kompaktheit}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter12_reihen}
|
||||
\part{Funktionen und Stetigkeit}
|
||||
\include{./TeX_files/chapter13_funktionen}
|
||||
|
||||
\backmatter
|
||||
% bibliography, glossary and index would go here.
|
||||
|
||||
\end{document}
|
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