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2. Semester/LAAG 1+2 Semester_Fehm/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex

@@ -47,9 +47,9 @@
 \end{definition}
 
 \begin{mathematica}[Minimalpolynom]
-	Die Funktion für das Minimalpolynom $p$ mit der Variable $t$ in Mathematica bzw. WolframAlpha lautet:
+	Die Funktion für das Minimalpolynom $p$ mit der Variable $t$ von einer Matrix $A$ in Mathematica bzw. WolframAlpha lautet:
 	\begin{align}
-		\texttt{MinimalPolynomial[p,x]}\notag
+		\texttt{MinimalPolynomial[A,x]}\notag
 	\end{align}
 \end{mathematica}
 

2. Semester/LAAG 1+2 Semester_Fehm/TeX_files/Das_Standardskalarprodukt.tex

@@ -23,7 +23,7 @@ Sei zunächst $K=\real$.
 		\item Für $x,x',y,y'\in\real^n$ und $\lambda\in\real$ ist:
 		\begin{align}
 			\langle x+x',y\rangle &= \langle x,y\rangle + \langle x',y\rangle\notag\\
-			\langle \lambda x,y\rangle =&= \lambda \langle x,y \rangle\notag \\
+			\langle \lambda x,y\rangle &= \lambda \langle x,y \rangle\notag \\
 			\langle x,y+y' \rangle &= \langle x,y \rangle + \langle x,y'\rangle\notag \\
 			\langle x,\lambda y \rangle &= \lambda \langle x,y \rangle\notag
 		\end{align}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester_Fehm/TeX_files/Die_Jordan_Normalform.tex

@@ -37,7 +37,7 @@
 		A=\begin{pmatrix}1&3&\; \\ \;&1&4 \\ \;&\; & 2\end{pmatrix}\in\Mat_3(\real)\notag
 	\end{align}
 	$\chi_A(t)=(t-1)^2(t-2)$
-	$\Rightarrow \real^3=\underbrace{\Hau(f,1)}_{\dim = 2}\oplus\underbrace{\Hau(f,2)}_{\dim 1}$ \\
+	$\Rightarrow \real^3=\underbrace{\Hau(f,1)}_{\dim = 2}\oplus\underbrace{\Hau(f,2)}_{\dim = 1}$ \\
 	$\Hau(f,1)=\Ker((f-\id)^2)=L((A-\mathbbm{1})^2,0)$ \\
 	$\Hau(f,2)=\Ker(f-2\id)=\Eig(f,2)=L(A-2\mathbbm{1},0)$ \\
 	\begin{align}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester_Fehm/TeX_files/Die_adjungierte_Abbildung.tex

@@ -88,7 +88,7 @@ Sei $K=\real$ oder $K=\comp$ und $V$ ein endlichdimensionaler unitärer $K$-Vekt
 		\end{align}
 		so ist
 		\begin{align}
-			0=\skalar{x}{f_1(y)}-\skalar{x}{f_2(y)}=\skalar{x}{f_1(y),f_2(y)}\quad\forall x,y\in V\notag
+			0=\skalar{x}{f_1(y)}-\skalar{x}{f_2(y)}=\skalar{x}{f_1(y)-f_2(y)}\quad\forall x,y\in V\notag
 		\end{align}
 		da $\skalar{\cdot}{\cdot}$ nicht ausgeartet ist, folgt daraus, dass $f_1=f_2$.
 	\end{itemize}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester_Fehm/TeX_files/Euklidische_und_unitaere_VR.tex

@@ -38,16 +38,16 @@
 	Im Fall $K=\comp$: ÜA
 \end{proof}
 
-\begin{definition}[(semi)definit, euklidischer VR, unitärer VR]
+\begin{definition}[(semi)definit, euklidischer Vektorraum, unitärer Vektorraum]
 	Sei $s$ eine hermitesche Sesquilinearform auf $V$. Ist $s(x,x)\ge 0$ für alle $x\in V$, so heißt $s$ \emph{positiv} \begriff{semidefinit}. Ist $s(x,x)>0$ für alle $0\neq x\in V$, so heißt $s$ \emph{positiv} \begriff{definit} (oder ein \emph{Skalarprodukt}).
 	
 	Eine hermitesche Matrix $A\in\Mat_n(K)$ heißt \emph{positiv (semi)definit}, wenn $s_A$ dies ist.
 	
-	Einen endlichdimensionalen $K$-VR zusammen mit positiv definiten hermiteschen Sesquilinearformen nennt man einen \begriff{euklidischen} bzw. \begriff{unitären} VR (oder auch \emph{Prähilbertraum}). Wenn nicht anderes angegeben, notieren wir die Sesquilinearform mit $\skalar{\cdot}{\cdot}$.
+	Einen endlichdimensionalen $K$-Vektorraum zusammen mit positiv definiten hermiteschen Sesquilinearformen nennt man einen \begriff{euklidischen} bzw. \begriff{unitären} Vektorraum (oder auch \emph{Prähilbertraum}). Wenn nicht anderes angegeben, notieren wir die Sesquilinearform mit $\skalar{\cdot}{\cdot}$.
 \end{definition}
 
 \begin{example}
-	Der Standardraum $V=K^n$ zusammen mit dem Standardskalarprodukt ist ein euklidischer bzw. unitärer VR.
+	Der Standardraum $V=K^n$ zusammen mit dem Standardskalarprodukt ist ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum.
 \end{example}
 
 \begin{example}
@@ -55,21 +55,21 @@
 \end{example}
 
 \begin{proposition}
-	Ist $V$ ein unitärer VR und $U\subseteq V$ ein UVR, so ist $U$ mit der Einschränkung des Skalarprodukts wieder ein unitärer VR.
+	Ist $V$ ein unitärer Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Untervektorraum, so ist $U$ mit der Einschränkung des Skalarprodukts wieder ein unitärer Vektorraum.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
 	klar, die Einschränkung ist wieder positiv definit.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}
-	Ist $V$ ein unitärer VR, so definiert man die Norm von $x\in V$ als
+	Ist $V$ ein unitärer Vektorraum, so definiert man die Norm von $x\in V$ als
 	\begin{align}
 		\Vert x\Vert = \sqrt{\skalar{x}{x}}\in\real_{\ge 0}\notag
 	\end{align}
 \end{definition}
 
 \begin{proposition}
-	Die Norm eines unitären VR erfüllt die folgenden Eigenschaften:
+	Die Norm eines unitären Vektorraums erfüllt die folgenden Eigenschaften:
 	\begin{itemize}
 		\item Für $x\in V$ ist $\Vert x\Vert =0\iff x=0$
 		\item Für $x\in V$ und $\lambda\in K$ ist $\Vert \lambda x\Vert=\vert \lambda\vert \cdot \Vert x\Vert$
@@ -85,7 +85,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
-	Ist $V$ ein unitärer VR, so gilt für $x,y\in V$:
+	Ist $V$ ein unitärer Vektorraum, so gilt für $x,y\in V$:
 	\begin{align}
 		\vert \skalar{x}{y}\vert \le \Vert x\Vert\cdot \Vert y\Vert\notag
 	\end{align}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester_Fehm/TeX_files/Nilpotente_Endomorphismen.tex

@@ -33,7 +33,7 @@ Da $\dim_K(V)=n<\infty$ gibt es ein $d$ mit $\Ker(f^d)=\Ker(f^{d+i})$ und $\Imag
 
 \begin{proposition}[Lemma von \person{Fitting}]
 	\proplbl{satz_6_4}
-	Seien $V_i=\Ker(f^i)$, $W_i=\Image(f^i)$, $d=\min\{i:V_i=V_{i+1}\}$. Dann sind 
+	Seien $V_i=\Ker(f^i)$, $W_i=\Image(f^i)$, $d=\min\{i\mid V_i=V_{i+1}\}$. Dann sind 
 	\begin{align}
 		\{0\}&=V_0\subsetneq V_1\subsetneq ...\subsetneq V_d=V_{d+1}=...\notag \\
 		V&= W_0\supsetneq W_1\supsetneq ... \supsetneq W_d=W_{d+1}=...\notag
@@ -41,7 +41,7 @@ Da $\dim_K(V)=n<\infty$ gibt es ein $d$ mit $\Ker(f^d)=\Ker(f^{d+i})$ und $\Imag
 	Folgen $f$-invarianter UVR und $V=V_d\oplus W_d$.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Da $f^i$ und $f^j$ für beliebige $i,j$ kommutieren, sind $V_i$ und $V_j$ nach \propref{lemma_6_3} $f$-invariant für jedes $i$. Aus $\dim_K(V_i)+\dim_K(W_i)=n$ folgt $d=\min\{i:W_i=W_{i+1}\}$, insbesondere ist $\Image(f^d)=\Image(f^{d+1})=f(\Image(f^d))$, somit $W_{d+i}=\Image(f^{d+i})=W_d$ für $i\ge 0$, also auch $V_d=V_{d+i}$ für alle $i\ge 0$. \\
+	Da $f^i$ und $f^j$ für beliebige $i,j$ kommutieren, sind $V_i$ und $V_j$ nach \propref{lemma_6_3} $f$-invariant für jedes $i$. Aus $\dim_K(V_i)+\dim_K(W_i)=n$ folgt $d=\min\{i\mid W_i=W_{i+1}\}$, insbesondere ist $\Image(f^d)=\Image(f^{d+1})=f(\Image(f^d))$, somit $W_{d+i}=\Image(f^{d+i})=W_d$ für $i\ge 0$, also auch $V_d=V_{d+i}$ für alle $i\ge 0$. \\
 	Insbesondere ist $f^d\vert_{W_d}:W_d\to W_{2d}=W_d$ surjektiv, also auch injektiv, also $V_d\cap W_d=\{0\}$. Aus der Dimensionsformel II.4.12 folgt dann $\dim_K(V_d+W_d)=\dim_K(V_d)+\dim_K(W_d)=\dim_K(V)$. Folglich ist $V_d+W_d=V$ und $V_d\cap W_d=\{0\}$, also $V=V_d\oplus W_d$.
 \end{proof}
 

2. Semester/LAAG 1+2 Semester_Fehm/TeX_files/Orthogonale_und_unitaere_Endomorphismen.tex

@@ -100,10 +100,10 @@ Sei $V$ ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und $f\in\End_K(V)$.
 
 \begin{theorem}
 	\proplbl{6_5_9}
-	Sei $K=\comp$ und $f\in\End_K(V)$. Ist $f$ unitär, so besitzt $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von f.
+	Sei $K=\comp$ und $f\in\End_K(V)$. Ist $f$ unitär, so besitzt $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $f$.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-	Induktion über$n=\dim_K(V)$. \\
+	Induktion über $n=\dim_K(V)$. \\
 	\emph{$n=0$}: klar \\
 	\emph{$n-1\to n$}: Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, hat $\chi_f$ eine Nullstelle $\lambda$, es gibt also einen Eigenvektor $x_1$ von $f$ zum Eigenwert $\lambda$. Ohne Einschränkung nehmen wir $\Vert x\Vert=1$ an. Sei $W=K\cdot x_1$. Nach \propref{6_4_11} ist dann $V=W\oplus W^\perp$. Für $v\in W^\perp, w\in W$ ist
 	\begin{align}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester_Fehm/TeX_files/Orthogonalitaet.tex

@@ -82,11 +82,12 @@ Sei $V$ ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum.
 	\proplbl{6_4_8}
 	Sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum und $B=(x_1,...,x_k)$ eine Orthonormalbasis von $U$. Es gibt genau einen Epimorphismus $\pr_U:V\to U$ mit $\pr_U\vert_U=\id_U$ und $\Ker(\pr_U)\perp U$, insbesondere also $x-\pr_U\perp U$ für alle $x\in V$, genannt die \begriff{orthogonale Projektion} auf $U$, und dieser ist geben durch
 	\begin{align}
+		\label{gl1}
 		x\mapsto\sum_{i=1}^k \skalar{x}{x_i}x_i
 	\end{align}
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Sei zunächst $pr_U$ durch (1) gegeben. Die Linearität von $\pr_U$ folgt aus (S1) und (S3). Für $u=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i\in U$ ist $\skalar{u}{x_j}=\skalar{\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i}{x_j}=\sum_{i=1}^k \lambda_i\skalar{x_i}{x_j}=\lambda_j$, woraus $\pr_U(u)=u$. Somit ist $\pr_U\vert_U=\id_U$, und insbesondere ist $pr_U$ surjektiv. Ist $\pr_U(x)=0$, so ist $\skalar{x}{x_i}=0$ für alle $i$., woraus mit (S2) und (S4) sofort $x\perp U$ folgt. Somit ist $\Ker(\pr_U)\perp U$. \\
+	Sei zunächst $\pr_U$ durch \cref{gl1} gegeben. Die Linearität von $\pr_U$ folgt aus (S1) und (S3). Für $u=\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i\in U$ ist $\skalar{u}{x_j}=\skalar{\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i}{x_j}=\sum_{i=1}^k \lambda_i\skalar{x_i}{x_j}=\lambda_j$, woraus $\pr_U(u)=u$. Somit ist $\pr_U\vert_U=\id_U$, und insbesondere ist $\pr_U$ surjektiv. Ist $\pr_U(x)=0$, so ist $\skalar{x}{x_i}=0$ für alle $i$., woraus mit (S2) und (S4) sofort $x\perp U$ folgt. Somit ist $\Ker(\pr_U)\perp U$. \\
 	Für $x\in V$ ist $\pr_U(x-\pr_U(x))=\pr_U(x)-\pr_U(\pr_U(x))=\pr_U(x)-\pr_U(x)=0$, also $x-\pr_U(x)\in\Ker(\pr_U)\subseteq U^\perp$. \\
 	Ist $f:V\to U$ ein weiterer Epimorphismus mit $f\vert_U=\id_U$ und $\Ker(f)\perp U$, so ist 
 	\begin{align}

2. Semester/LAAG 1+2 Semester_Fehm/TeX_files/Trigonalisierbarkeit.tex

@@ -65,7 +65,6 @@
 	$(\Leftarrow)$: Induktion nach $n=\dim_K(V)$. \\
 	\emph{$n=1$}: trivial \\
 	\emph{$n-1\to n$}: Nach Annahme ist $\chi_f(t)=\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)$ mit $\lambda_1,...,\lambda_n\in K$. Sei $x_1$ ein EV zum EW $\lambda_1$. Dann ist $V_1=K\cdot x_1$ ein $f$-invarianter UVR. Ergänze $B_1=(x_1)$ zu einer Basis $B=(x_1,...,x_n)$ von $V$ und setze $B_2=(x_2,...,x_n)$, $V_2=\Span_K(B_2)$.
-	\emph{$n-1\to n$}: Nach Annahme ist $\chi_f(t)=\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)$ mit $\lambda_1,...,\lambda_n\in K$. Sei $x_1$ ein EV zum EW $\lambda_1$. Dann ist $V_1=K\cdot x_1$ ein $f$-invarianter UVR. Ergänze $B_1=(x_1)$ zu einer Basis $B=(x_1,...,x_n)$ von $V$ und setze $B_2=(x_2,...,x_n)$, $V_2=\Span_K(B_2)$.
 	\begin{align}
 		\Rightarrow M_B(f)&=\begin{pmatrix}\lambda_1&*\\0&A_2\end{pmatrix}\quad A_2\in\Mat_{n-1}(K)\notag\\
 		\chi_f(t)&=\chi_{\lambda_1\mathbbm{1}_1}\cdot \chi_{A_2}=(t-\lambda_1)\cdot\chi_{A_2}(t)\notag \\