Mathematica-Befehle jetzt auch für LAAG 2

2. Semester/LAAG/TeX_files/Bilinearformen_und_Sesquilinearformen.tex

@@ -111,6 +111,14 @@ Sei $K=\real$ oder $K=\comp$.
 	Eine Matrix $A\in\Mat_n(K)$ heißt \emph{symmetrisch} bzw. \emph{hermitesch}, wenn $A=A^*=\overline{A}^t=\overline{A^t}$.
 \end{definition}
 
+\begin{mathematica}[symmetrische bzw. hermitesche Matrizen]
+	Wie für vieles Andere auch, hat Mathematica bzw. WolframAlpha auch dafür eine Funktion:
+	\begin{align}
+		\texttt{SymmetricMatrixQ[A]}\notag \\
+		\texttt{HermitianMatrixQ[A]}\notag
+	\end{align}
+\end{mathematica}
+
 \begin{proposition}
 	\proplbl{2_2_13}
 	Sei $s$ eine Sesquilinearform auf $V$ und $B$ eine Basis von $V$. Genau dann ist $s$ hermitesch, wenn $M_B(s)$ dies ist.

2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex

@@ -45,6 +45,13 @@
 	Analog definiert man das Minimalpolynom $P_A\in K[t]$ einer Matrix $A\in\Mat_n(K)$.
 \end{definition}
 
+\begin{mathematica}[Minimalpolynom]
+	Die Funktion für das Minimalpolynom $p$ mit der Variable $t$ in Mathematica bzw. WolframAlpha lautet:
+	\begin{align}
+		\texttt{MinimalPolynomial[p,x]}\notag
+	\end{align}
+\end{mathematica}
+
 \begin{example}
 	\begin{enumerate}
 		\item $A=\mathbbm{1}_n$, $\chi_A(t)=(t-1)^n$, $P_A(t)=t-1$

2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_charakteristische_Polynom.tex

@@ -16,6 +16,13 @@
 	Das charakteristische Polynom eines Endomorphismus $f\in\End_K(V)$ ist $\chi_f(t)=\chi_{M_B(f)}(t)$, wobei $B$ eine Basis von $V$ ist.
 \end{definition}
 
+\begin{mathematica}[charakteristisches Polynom]
+	Die folgende Funktion liefert das charakteristische Polynom einer Matrix $A$ mit der Variable $x$
+	\begin{align}
+		\texttt{CharacteristicPolynomial[A,x]}\notag
+	\end{align}
+\end{mathematica}
+
 \begin{proposition}
 	\proplbl{satz_2_3}
 	Sind $A,B\in\Mat_n(K)$ mit $A\sim B$, so ist $\chi_A=\chi_B$. Insbesondere ist $\chi_f$ wohldefiniert.

2. Semester/LAAG/TeX_files/Der_Elementarteilersatz.tex

@@ -62,6 +62,18 @@ Sei $R$ Hauptidealring.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
+\begin{mathematica}[\person{Smith}-Normalform]
+	Elementarteiler einer Matrix $A$ lassen sich mit Mathematica mit der Funktion
+	\begin{align}
+	\texttt{SmithDecomposition[A]}\notag
+	\end{align}
+	die als einziges Argument eine Matrix braucht. Allerdings ist der Output unformatiert, mit folgenden Befehl sieht das deutlich besser aus:
+	\begin{align}
+	\text{\texttt{MatrixForm/@ (\{u,r,v\} = SmithDecomposition[A])}}\notag
+	\end{align}
+	Der Output sind 3 Matrizen, wobei \texttt{u} für $S$, \texttt{v} für $T$ und \texttt{r} für das Ergebnis von $SAT$ steht.
+\end{mathematica}
+
 \begin{remark}
 	Man kann zeigen, dass die $d_1,...,d_r$ bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt sind. Man nennt sie deshalb \begriff{Elementarteiler} der Matrix $A$.
 \end{remark}
@@ -71,16 +83,4 @@ Sei $R$ Hauptidealring.
 	\begin{align}
 		\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2 \\ 3&4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&4&0 \\0&0&6\end{pmatrix}\notag
 	\end{align}
-\end{example}
-
-\begin{mathematica}[\person{Smith}-Normalform]
-	Elementarteiler lassen sich mit Mathematica mit der Funktion
-	\begin{align}
-		\text{\texttt{SmithDecomposition[]}}\notag
-	\end{align}
-	die als einziges Argument eine Matrix braucht. Allerdings ist der Output unformatiert, mit folgenden Befehl sieht das deutlich besser aus:
-	\begin{align}
-	\text{\texttt{MatrixForm/@ (\{u,r,v\} = SmithDecomposition[])}}\notag
-	\end{align}
-	Der Output sind 3 Matrizen, wobei \texttt{u} für $S$, \texttt{v} für $T$ und \texttt{r} für das Ergebnis von $SAT$ steht.
-\end{mathematica}
+\end{example}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Der_Spektralsatz.tex

@@ -14,6 +14,13 @@ Sei $V$ ein endlichdimensionaler unitärer $K$-Vektorraum und $f\in\End_K(V)$.
 	\end{align}
 \end{definition}
 
+\begin{mathematica}[normale Matrix]
+	Ob eine Matrix $A$ normal ist, beantwortet folgende Funktion für Mathematica bzw. WolframAlpha:
+	\begin{align}
+		\texttt{NormalMatrixQ[A]}\notag
+	\end{align}
+\end{mathematica}
+
 \begin{example}
 	\begin{itemize}
 		\item Ist $f$ selbstadjungiert, so ist $f^{adj}=f$, insbesondere ist $f$ normal.

2. Semester/LAAG/TeX_files/Die_Jordan_Normalform.tex

@@ -65,7 +65,6 @@
 	Es folgt $M_{B_i}(f\vert_{V_i})=M_{B_i}(\lambda_i\id_{V_i})+M_{B_i}((f-\lambda_i\id_V)\vert_{V_i})$. Ist nun $B$ die Vereinigung der $B_i$, so hat $M_B(f)$ die gewünschte Form. Die Eindeutigkeit der \person{Jordan}-Invarianten folgt aus der Eindeutigkeit der $k_{i,j}$ in \propref{lemma_6_3}.
 \end{proof}
 
-
 \begin{remark}
 	Ist $K$ algebraisch abgeschlossen, so haben wir nun eine (bis auf Permutationen) eindeutige Normalform für Endomorphismen $f\in\End_K(V)$ gefunden. Aus ihr lassen sich viele Eigenschaften des Endomorphismus leicht ablesen.
 \end{remark}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Eigenwerte.tex

@@ -98,6 +98,15 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist, die Geometrie von $f$ besser zu verstehen und Base
 	Sei $A\in\Mat_n(K)$. Man definiert Eigenwerte, Eigenvektoren, etc von $A$ als Eigenwerte, Eigenvektoren von $f_A\in\End_K(K^n)$.
 \end{definition}
 
+\begin{mathematica}[Eigenwerte und Eigenvektoren]
+	Um die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix $A$ zu berechnen, gibt es in Mathematica bzw. WolframAlpha verschiedene Möglichkeiten:
+	\begin{itemize}
+		\item \texttt{Eigenvalues[A]}: liefert eine Liste der Eigenwerte
+		\item \texttt{Eigenvectors[A]}: liefert eine Liste der Eigenvektoren
+		\item \texttt{Eigensystem[A]}: liefert zu jeden Eigenwert den Eigenvektor
+	\end{itemize}
+\end{mathematica}
+
 \begin{proposition}
 	Sei $B$ eine Basis von $V$ und $\lambda\in K$. Genau dann ist $\lambda$ ein EW von $f$, wenn $\lambda$ ein EW von $A=M_B(f)$ ist. Insbesondere haben ähnliche Matrizen die selben EW.
 \end{proposition}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Orthogonale_und_unitaere_Endomorphismen.tex

@@ -55,6 +55,14 @@ Sei $V$ ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum und $f\in\End_K(V)$.
 	\end{align}
 \end{definition}
 
+\begin{mathematica}[orthogonale bzw. unitäre Matrizen]
+ 	Auch für orthogonale bzw. unitäre Matrizen $A$ gibt es eine Mathematica bzw. WolframAlpha-Funktion
+ 	\begin{align}
+ 		\texttt{OrthogonalMatrixQ[A]}\notag \\
+ 		\texttt{UnitaryMatrixQ[A]}\notag
+ 	\end{align}
+\end{mathematica}
+
 \begin{remark}
 	Offenbar ist $A$ genau dann unitär, wenn $A^*$ das Inverse zu $A$ ist. Die folgenden Bedingungen sind daher äquivalent dazu, dass $A$ unitär ist:
 	\begin{align}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Teilbarkeit.tex

@@ -8,6 +8,17 @@
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
 
+\begin{mathematica}[Teiler]
+	Möchte man mit Mathematica bzw. WolframAlpha überprüfen, ob $n$ von $m$ geteilt wird, also $m\mid n$ (!), kann man folge Funktion aufrufen:
+	\begin{align}
+		\texttt{Divisible[n,m]}\notag
+	\end{align}
+	Eine Liste der  Teiler einer Zahl $x$ erhält man mit
+	\begin{align}
+		\texttt{Divisors[x]}\notag
+	\end{align}
+\end{mathematica}
+
 \begin{lemma}
 	Für $a,b,c,d\in R$ gelten
 	\begin{enumerate}
@@ -82,6 +93,14 @@
 	Ein $c\in R$ ist ein \begriff{kleinstes gemeinsames Vielfaches} von $a$ und $b$, in Zeichen $c=\kgV(a,b)$, wenn gilt: $a\mid c$ und $b\mid c$ und ist $d\in R$ mit $a\mid d$ und $b\mid d$, so ist $c\mid d$.
 \end{definition}
 
+\begin{mathematica}[ggT und kgV]
+	Die Funktionen für den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache in Mathematica bzw. WolframAlpha sind
+	\begin{align}
+		\texttt{GCD[6,12,4,32]}\notag \\
+		\texttt{LCM[6,12,4,32]}\notag
+	\end{align}
+\end{mathematica}
+
 \begin{remark}
 	Wenn $\ggT$ und $\kgV$ in einem nullteilerfreien Ring $R$ existieren, sind sie eindeutig bestimmt, aber nur bis auf Assoziiertheit (\propref{4_2_5}).
 \end{remark}