NUME Vorlesung 15.10.

3. Semester/NUME/TeX_files/Interpolation_durch_Polynome.tex

@@ -59,7 +59,7 @@ mit Koeffizienten $c_0,\dots,c_n\in\real$. Die Berechnung des Koeffizienten $c_j
 \end{align}
 Seien $c_0$ bis $c_{j-1}$ bereits ermittelt. Dann folgt:
 \begin{align}
-	f_j \overset{!}{=} p(x_j) = \underbrace{c_0 + \sum_{k=1}^{j-1} c_k(x_j-x_0)\dots(x_j-x_{k-1})}_{\text{bekannt}} + c_j \underbrace{(x_j-x_0)\dots(x_j-x_{j-1})}_{\text{unbekannt}}\notag
+	f_j \overset{!}{=} p(x_j) = \underbrace{c_0 + \sum_{k=1}^{j-1} c_k(x_j-x_0)\dots(x_j-x_{k-1})}_{\text{bekannt}} + c_j \underbrace{(x_j-x_0)\dots(x_j-x_{j-1})}_{\text{bekannt}}\notag
 \end{align} 
 
 \begin{remark}
@@ -188,3 +188,55 @@ Nach einem Resultat von \person{Erdös}/\person{Vertesi} (1980) gilt sogar, dass
 	\texttt{],\{x\}]},\{x,-1,1\}]}
 	\end{itemize}
 \end{*anmerkung}
+
+\begin{proposition}
+	\proplbl{1_2_9}
+	Sei $f\in C^{n+1}[a,b]$ und gelte $a\le x_0<...<x_n\le b$. Mit $p_n\in\Pi_n$ werde das zu den Datenpaaren $(x_0,f(x_0)),...,(x_n,f(x_n))$ gehörende Interpolationspolynom bezeichnet. Dann existiert zu jedem $x\in[a,b]$ eine Zahl $\xi\in(a,b)$, so dass
+	\begin{align}
+		f(x)-p_n(x) &= \frac{f^{n+1}(\xi(x))}{(n+1)!}w(x) \quad\text{für alle }x\in[a,b] \notag \\
+		\text{wobei } w(x) &= (x-x_0)\cdot ...\cdot (x-x_n)\notag
+	\end{align}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Für $x=x_k$ mit $k=0,...,n$ ist nicht zu zeigen, da $p_n$ die Interpolationsbedingung erfüllt. Sei nun $x\in[a,b]$ fest gewählt mit $x\notin\{x_0,...,x_n\}$. Weiter seien
+	\begin{align}
+		K=\frac{f(x)-p_n(x)}{w(x)} \quad\text{und }\quad F:\begin{cases}
+		[a,b]\to \real \\ t\mapsto f(t)-p_n(t)-Kw(t)
+		\end{cases}\notag
+	\end{align} 
+	Man stellt unter Beachtung der Interpolationsbedingung fest, dass $F(x_0)=F(x_1)=...=F(x_n)=0$ und $F(x)=0$. Also besitzt $F$ mindestens $n+2$ paarweise verschiedene Nullstellen in $[a,b]$. Da $F\in C^{n+1}[a,b]$ erhält man durch $n+1$-fache Anwendung des Satzes von Rolle, dass $F^{(n+1)}$ mindestens eine Nullstelle $\xi(x)$ in $(a,b)$ besitzt. Also folgt 
+	\begin{align}
+		0=F^{(n+1)}(\xi(x))=f^{(n+1)}(\xi(x))-\underbrace{p_n^{(n+1)}(\xi(x))}_{=0} - K\underbrace{w^{(n+1)}(\xi(x))}_{\text{Konstante}}\notag
+	\end{align}
+	Da $w^{(n+1)}=(n+1)!$, erhält man
+	\begin{align}
+		K=\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}\notag
+	\end{align}
+	Da $x\in[a,b]$ beliebig gewählt war, ist die Behauptung bewiesen.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	Sei $f\in C^2[a,b]$ mit $\Vert f\Vert_\infty\le M$. Weiter sei $a=x_0<x_1=x_0+h=b$. Mit \propref{1_2_9} folgt:
+	\begin{align}
+		\vert f(x)-p_2(x)\vert &= \left|\frac{f''(\xi(x))}{2}(x-x_0)(x-x_1)\right| \notag \\
+		&\le \frac{1}{2} M\cdot \lambda(x)h\cdot (1-\lambda(x))h \notag \\
+		&\le \frac{1}{2} M\cdot h^2\underbrace{\lambda(x)(1-\lambda(x))}_{\le \sfrac{1}{4}} \notag \\
+		&\le \frac{1}{8} M\cdot h^2\notag
+	\end{align}
+	\begin{center}
+		\begin{tikzpicture}
+			\draw (0,0) -- (5,0);
+			
+			\draw (0,0.1) -- (0,-0.1);
+			\draw (5,0.1) -- (5,-0.1);
+			\draw (3,0.1) -- (3,-0.1);
+			\node at (0,-0.4) (1) {$x_0$};
+			\node at (3,-0.4) (2) {$x$};
+			\node at (5,-0.4) (3) {$x_1$};
+			
+			\draw[decoration={brace}, decorate] (0,0.3) -- (5,0.3);
+			\node at (2.5,0.7) (h) {$h$};
+		\end{tikzpicture}
+	\end{center}
+$\Rightarrow x=x_0+\lambda\cdot(x_1-x_0)=\lambda x_1+(1-\lambda)x_0$
+\end{example}

3. Semester/NUME/TeX_files/Interpolation_durch_Polynomsplines.tex

@@ -1 +1,71 @@
 \section{Interpolation durch Polynomsplines}
+
+\subsection{Polynomsplines}
+
+Zur Abkürzung bezeichne $\Delta$ eine Zerlegung des Intervall $[a,b]$ durch die Stützstellen $a=:x_0<...<x_n:=b$.
+
+\begin{definition}[Polynomspline]
+	Ein \begriff{Polynomspline} vom Grad $m\in\natur$ und Glattheit $l\in\natur$ zur Zerlegung $\Delta$ ist eine Funktion $s\in C^l[a,b]$ mit
+	\begin{align}
+		s_k := s\vert_{[x_k,x_{k+1}]}\in\Pi_n\quad\text{für } k=0,...,n-1\notag
+	\end{align}
+	Dabei bezeichnet $s\vert_{[x_k,x_{k+1}]}$ die Einschränkung von $s$ auf das Intervall $[x_k,x_{k+1}]$. Die Menge aller Splines wird mit $\mathcal{S}^l_m(\Delta)$ bezeichnet.
+	
+	Folglich ist ein Polynomspline $s\in\mathcal{S}^l_m(\Delta)$ auf jedem der Teilintervall $[x_k,x_{k+1}]$ ein Polynom vom Höchstgrad $m$. Außerdem ist $s\in\mathcal{S}^l_m(\Delta)$ in allen Punkten $x\in[a,b]$ (also auch in den Stützstellen) $l$-mal stetig differenzierbar. $\mathcal{S}^l_m(\Delta)$ ist mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Vektorraum. Speziell ist $\mathcal{S}^0_1(\Delta)$ die Menge aller stetigen stückweise affin linearen Funktionen.
+\end{definition}
+
+\subsection{Interpolation durch kubische Polynomsplines}
+
+Gegeben sei eine Zerlegung $\Delta$ und die Stützwerte $f_0,...,f_n$. Gesucht ist eine Funktion $s\in\mathcal{S}^l_3(\Delta)$ mit $l=1,2$ derart, dass
+\begin{align}
+	\label{1.6}
+	s(x_k)=f_k\quad\text{für } k=0,...,n
+\end{align}
+Jede derartige Funktion heißt \begriff{kubischer Interpolationspline}.
+
+\textbf{Konstruktion eines solchen Splines:}
+\begin{align}
+	h_k &:= x_{k-1}-x_k\quad\text{für } k=0,...,n-1 \notag \\
+	m_k &:= s'(x_k) \quad\text{für } k=0,...,n-1\notag
+\end{align}
+Wegen $l\in\{1,2\}$ ist $s$ zunächst stetig differenzierbar. Wegen $s_k=s\vert_{[x_k,x_{k+1}]}$ für $k=0,...,n-1$ und $m=3$ kann man folgenden Ansatz für $s_k$ benutzen:
+\begin{align}
+	\label{1.7}
+	s_k(x)=a_k(x-x_k)^3+b_k(x-x_k)^2+c_k(x-x_k)+d_k
+\end{align}
+Aus den Interpolationsbedingungen \cref{1.6} und der stetigen Differenzierbarkeit aller Funktionen in $s\in\mathcal{S}^l_m(\Delta)$ für $l\ge 1$ ergeben sich folgende Forderungen an $s_k$, $k=0,...,n-1$:
+\begin{equation}
+	\label{1.8}
+	\begin{split}
+		s_k(x_k) &= f_k \quad\text{und }\quad s_k(x_{k+1}) = f_{k+1} \\
+		s'_k(x_k) &= m_k \quad\text{und }\quad s'_k(x_{k+1}) = m_{k+1}
+	\end{split}
+\end{equation}
+Diese liefern:
+\begin{equation}
+	\label{1.9}
+	\begin{split}
+		d_k &= s_k(x_k)=f_k \\
+		c_k &= s'_k(x_k)=m_k
+	\end{split}
+\end{equation}
+und damit:
+\begin{align}
+	s_k(x_{k+1}) &= a_kh_k^3 + b_kh_k^2+m_kh_k + f_k = f_{k+1} \notag \\
+	s'_k(x_{k+1}) &= 3a_kh_k^2 + 2b_kh_k + m_k = m_{k+1} \notag
+\end{align}
+Damit ergeben sich $a_k$ und $b_k$ als eindeutige Lösung für das lineare Gleichungssystem
+\begin{align}
+	\label{1.10}
+	\begin{pmatrix}
+		h_k^3 & h_k^2 \\ 3h_k^2 & 2h_k
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+		a_k \\ b_k
+	\end{pmatrix}=
+	\begin{pmatrix}
+		f_{k+1}-f_k-m_kf_k \\
+		m_{k+1}-m_k
+	\end{pmatrix}
+\end{align}
+Die Determinante ist $-h_k^4\neq 0$.

3. Semester/NUME/Vorlesung NUME.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
-\documentclass[ngerman,a4paper,order=firstname]{../../texmf/tex/latex/mathscript/mathscript}
+\documentclass[ngerman,a4paper,order=firstname,sectionreset]{../../texmf/tex/latex/mathscript/mathscript}
 \usepackage{../../texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators}
 
-\title{\textbf{Numerik WS2018/19}}
+\title{\textbf{Einführung in die Numerik WS2018/19}}
 \author{Dozent: Prof. Dr. Andreas Fischer}
 
 \begin{document}