an passenden Stellen: pmatrix -> henrysmatrix

2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex

@@ -87,7 +87,7 @@
 		&= \sum\limits_{i=1}^{k-1} -c_ix_i+\sum\limits_{i=1}^{k-1}c_ix_i\notag \\
 		&= 0\notag
 	\end{align}
-	Aus $\chi_{f\vert_W}\vert \chi_f$ (\propref{beispiel_4_6}) folgt somit $\chi_f(f)(x)=0$, denn ist $\chi_f=Q\cdot \chi_{f\vert_W}$ mit $Q\in K[t]$, so ist $\chi_f(f)=Q(f)\circ\chi_{f\vert_W}(f)$, also $\chi_f(f)(x)=Q(f)(\underbrace{\chi_{f\vert_W}(f)(x)})_{=0}=0$. Da $x\in V$ beliebig war, folgt $\chi_f(f)=0\in\End_K(V)$.
+	Aus $\chi_{f\vert_W}\vert \chi_f$ (\propref{beispiel_4_6}) folgt somit $\chi_f(f)(x)=0$, denn ist $\chi_f=Q\cdot \chi_{f\vert_W}$ mit $Q\in K[t]$, so ist $\chi_f(f)=Q(f)\circ\chi_{f\vert_W}(f)$, also $\chi_f(f)(x)=Q(f)(\underbrace{\chi_{f\vert_W}(f)(x)}_{=0})=0$. Da $x\in V$ beliebig war, folgt $\chi_f(f)=0\in\End_K(V)$.
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_charakteristische_Polynom.tex

@@ -72,7 +72,7 @@
 	\begin{enumerate}
 		\item Ist $A=(a_{ij})_{i,j}$ eine obere Dreiecksmatrix, so ist $\chi_A(t)=\prod_{i=1}^n (t-a_{ii})$, vgl. IV.2.9.c \\ %TODO: Verlinkung
 		Insbesondere ist $\chi_{1_n}(t)=(t-1)^n$, $\chi_0(t)=t^n$
-		\item Für eine Blockmatrix $A=\begin{pmatrix}A_1&B \\ 0&A_2\end{pmatrix}$ mit quadratischen Matrizen $A_1,A_2$ ist $\chi_A=\chi_{A_1}\cdot \chi_{A_2}$ vgl. IV.2.9.e %TODO: Verlinkung
+		\item Für eine Blockmatrix $A=\begin{henrysmatrix}A_1&B \\ 0&A_2\end{henrysmatrix}$ mit quadratischen Matrizen $A_1,A_2$ ist $\chi_A=\chi_{A_1}\cdot \chi_{A_2}$ vgl. IV.2.9.e %TODO: Verlinkung
 		\item Für
 		\begin{align}
 			\begin{pmatrix}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Eigenwerte.tex

@@ -9,12 +9,12 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist, die Geometrie von $f$ besser zu verstehen und Base
 \end{remark}
 
 \begin{example}
-	$K=\real, A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\in\Mat_2(\real),f=f_A\in\End_K(K^2)$ \\
+	$K=\real, A=\begin{henrysmatrix}1&2\\2&1\end{henrysmatrix}\in\Mat_2(\real),f=f_A\in\End_K(K^2)$ \\
 	\begin{align}
-		A\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix},\;A\cdot\begin{pmatrix} 1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\notag
+		A\cdot \begin{henrysmatrix}1\\1\end{henrysmatrix}=\begin{henrysmatrix}3\\3\end{henrysmatrix},\;A\cdot\begin{henrysmatrix} 1\\-1\end{henrysmatrix}=\begin{henrysmatrix}-1\\1\end{henrysmatrix}\notag
 	\end{align}
-	$\Rightarrow$ mit $B=\left( \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right)$ ist $M_B(f)=\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}$. \\%TODO figure
-	Der Endomorphismus $f=f_A$ streckt also entlang der Achse $\real\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ um den Faktor 3 und spiegelt entlang der Achse $\real\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$
+	$\Rightarrow$ mit $B=\left( \begin{henrysmatrix}1\\1\end{henrysmatrix},\begin{henrysmatrix}1\\-1\end{henrysmatrix}\right)$ ist $M_B(f)=\begin{henrysmatrix}3&0\\0&-1\end{henrysmatrix}$. \\%TODO figure
+	Der Endomorphismus $f=f_A$ streckt also entlang der Achse $\real\cdot \begin{henrysmatrix}1\\1\end{henrysmatrix}$ um den Faktor 3 und spiegelt entlang der Achse $\real\cdot \begin{henrysmatrix}1\\-1\end{henrysmatrix}$
 \end{example}
 
 \begin{definition}[Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum]

2. Semester/LAAG/TeX_files/Nilpotente_Endomorphismen.tex

@@ -16,10 +16,10 @@ Da $\dim_K(V)=n<\infty$ gibt es ein $d$ mit $\Ker(f^d)=\Ker(f^{d+i})$ und $\Imag
 \begin{example}
 	$f=f_A$, $A\in\Mat_2(K)$.
 	\begin{itemize}
-		\item $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$: $\{0\}=\Ker(f^0)=\Ker(f^1)=...$
-		\item $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$: $\{0\}=\Ker(f^0)\subset\Ker(f^1)=\Ker(f^2)=...=\Span_K(e_2)$
-		\item $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$: $\{0\}=\Ker(f^0)\subset\underbrace{\Ker(f^1)}_{=\Span_K(e_1)}\subset \Ker(f^2)=... = K^2$
-		\item $A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$: $\{0\}=\Ker(f^0)\subset\Ker(f^1)=\Ker(f^2)=...=K^2$
+		\item $A=\begin{henrysmatrix}1&0\\0&1\end{henrysmatrix}$: $\{0\}=\Ker(f^0)=\Ker(f^1)=...$
+		\item $A=\begin{henrysmatrix}1&0\\0&0\end{henrysmatrix}$: $\{0\}=\Ker(f^0)\subset\Ker(f^1)=\Ker(f^2)=...=\Span_K(e_2)$
+		\item $A=\begin{henrysmatrix}0&1\\0&0\end{henrysmatrix}$: $\{0\}=\Ker(f^0)\subset\underbrace{\Ker(f^1)}_{=\Span_K(e_1)}\subset \Ker(f^2)=... = K^2$
+		\item $A=\begin{henrysmatrix}0&0\\0&0\end{henrysmatrix}$: $\{0\}=\Ker(f^0)\subset\Ker(f^1)=\Ker(f^2)=...=K^2$
 	\end{itemize}
 \end{example}
 
@@ -165,18 +165,18 @@ Da $\dim_K(V)=n<\infty$ gibt es ein $d$ mit $\Ker(f^d)=\Ker(f^{d+i})$ und $\Imag
 \end{proof}
 
 \begin{example}
-	Sei $f=f_A$ mit $A=\begin{pmatrix}0&1&3\\\;&0&2\\\;&\;&0\end{pmatrix}\in\Mat_3(\real)$
+	Sei $f=f_A$ mit $A=\begin{henrysmatrix}0&1&3\\\;&0&2\\\;&\;&0\end{henrysmatrix}\in\Mat_3(\real)$
 	\begin{align}
-		A^2=\begin{pmatrix}0&0&2\\\;&0&0\\\;&\;&0\end{pmatrix}, A^3=0\notag
+		A^2=\begin{henrysmatrix}0&0&2\\\;&0&0\\\;&\;&0\end{henrysmatrix}, A^3=0\notag
 	\end{align}
 	$\Rightarrow k=3, U_0=\{0\}, U_1=\real e_1, U_2=\real e_1+\real e_2, U_3=V$. \\
 	Wähle $W_3$ mit $V=U_3=U_2\oplus W_3$, z.B. $W_3=\real e_3$. \\
 	Wähle $W_2$ mit $U_2=U_1\oplus W_2$ und $f(W_3)\subseteq W_2$, also 
 	\begin{align}
-		W_2=\real\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\notag
+		W_2=\real\begin{henrysmatrix}3\\2\\0\end{henrysmatrix}\notag
 	\end{align}
 	Setze $W_1=U_1=\Ker(f)=\real e_1\Rightarrow$ Basis $B=(f^2(e_3),f(e_3),e_3)$
 	\begin{align}
-		M_B(f)=\begin{pmatrix}0&1&0\; \\ \;&0&1\\ \;&\;&0\end{pmatrix}\notag
+		M_B(f)=\begin{henrysmatrix}0&1&0\; \\ \;&0&1\\ \;&\;&0\end{henrysmatrix}\notag
 	\end{align}
 \end{example}