GEO - endlich fertig, VL 19.10.

3. Semester/GEO/TeX_files/Normalteiler_und_Quotientengruppen.tex

@@ -70,4 +70,117 @@ Sei $G$ eine Gruppe.
 		\item den $H\le G$ mit $N\le H$ und
 		\item den $H\le\lnkset{G}{N}$
 	\end{itemize}
-\end{lemma}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item $\pi_N(H)=\{hN\mid h\in H\}=\{hnN\mid h\in H, n\in N\}=\lnkset{HN}{N}$
+		\item Umkehrabbildung: $H\mapsto \pi_N^{-1}(H)$: \\
+		$H\le\lnkset{G}{N}$: $\pi_N(\pi_N^{-1}(H))=H$, da $\pi_N$ surjektiv \\
+		$N\le H\le G$: $\pi_N^{-1}(\pi_N(H))=\pi_N^{-1}(\lnkset{HN}{N})=HN\subseteq H\cdot H=H$
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}[Homomorphiesatz]
+	\proplbl{1_3_8}
+	Sei $\phi:G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus und $N\unlhd G$ mit $N\le \Ker(\phi)$. Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $\overline{\phi}:\lnkset{G}{N}\to H$ mit $\overline{\phi}\circ\pi_N=\phi$.
+	\begin{center}
+		\begin{tikzpicture}
+		\node (V) at (0,0) {$G$};
+		\node (W) at (3,0) {$H$};
+		\node (R) at (1.5,-1.5) {$\lnkset{G}{N}$};
+		\draw[->, above] (V) to node {$\phi$} (W);
+		\draw[->, left] (V)  to node {$\pi_N$} (R);
+		\draw[->, right, dashed] (R)  to node {$\overline{\phi}$} (W);
+		\end{tikzpicture}
+	\end{center}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Existiert so ein $\overline{\phi}$, so ist $\overline{\phi}(gN)=(\overline{\phi}\circ \pi_N)(g)=\phi(g)$ eindeutig bestimmt. Definiere $\overline{\phi}$ nun so.
+	\begin{itemize}
+		\item $\overline{\phi}$ ist wohldefiniert: $gN = g'N \overset{\propref{1_2_8}}{\Rightarrow}\exists g'=gn$ für ein $n\in N\Rightarrow \phi(g')=\phi(g)\cdot \underbrace{\phi(n)}_{=1}=\phi(g)$, da $n\in\Ker(\phi)$
+		\item $\overline{\phi}$ ist Homomorphismus: $\overline{\phi}(gN\cdot g'N) = \overline{\phi}(gg'N)=\phi(gg')=\phi(g)\cdot\phi(g')=\overline{\phi}(gN)\cdot\overline{\phi}(g'N)$
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	\proplbl{1_3_9}
+	Ein Gruppenhomomorphismus $\phi:G\to H$ liefert einen Isomorphismus
+	\begin{align}
+		\overline{\phi}:\lnkset{G}{\Ker(\phi)}\xrightarrow{\cong}\Image(\phi)\le H\notag
+	\end{align}
+\end{conclusion}
+
+\begin{conclusion}[1. Homomorphiesatz]
+	Seien $H\le G$ und $N\unlhd G$. Der Homomorphismus
+	\begin{align}
+		\phi: H\overset{i}{\hookrightarrow} HN\xrightarrow{\pi_N}\lnkset{HN}{N}\notag
+	\end{align}
+	induziert einen Isomorphismus
+	\begin{align}
+		\overline{\phi}:\lnkset{H}{H\cap N}\xrightarrow{\cong}\lnkset{HN}{N}\notag
+	\end{align}
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item $\phi$ ist surjektiv: Für $h\in H$ und $n\in N$ ist
+		\begin{align}
+			hnN=hN=\phi(h)\in\phi(H)=\Image(\phi)\notag
+		\end{align}
+		\item $\Ker(\phi)=H\cap\Ker(\pi_N)=H\cap N$
+	\end{itemize}
+	Mit \propref{1_3_9} folgt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}[2. Homomorphiesatz]
+	Seien $N\unlhd G$ und $N\le H\unlhd G$. Der Homomorphismus $\pi_H:G\to\lnkset{G}{H}$ induziert einen Isomorphismus
+	\begin{align}
+		\lnkset{(\lnkset{G}{N})}{(\lnkset{H}{N})}\xrightarrow{\cong}\lnkset{G}{H}\notag
+	\end{align}
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Da $N\le H$ liefert $\pi_H$ einen Epimorphismus (mit \propref{1_3_8}) $\overline{\pi_H}:\lnkset{G}{N}\to \lnkset{G}{H}$.
+	\begin{center}
+		\begin{tikzpicture}
+		\node (V) at (0,0) {$G$};
+		\node (W) at (3,0) {$\lnkset{G}{H}$};
+		\node (R) at (1.5,-1.5) {$\lnkset{G}{N}$};
+		\draw[->, above] (V) to node {$\pi_H$} (W);
+		\draw[->, left] (V)  to node {$\pi_N$} (R);
+		\draw[->, right, dashed] (R)  to node {$\overline{\pi_H}$} (W);
+		\end{tikzpicture}
+	\end{center}
+	Dieser hat Kern $\Ker(\overline{\pi_H})?\lnkset{H}{N}$, induziert nach \propref{1_3_9} einen Isomorphismus
+	\begin{align}
+		\lnkset{(\lnkset{G}{N})}{\Ker(\overline{\pi_H})}\xrightarrow{\cong}\Image(\overline{\pi_H})=\lnkset{G}{H}\notag
+	\end{align}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Konjugation]
+	Seien $x,x',g\in G$ und $H,H'\le G$.
+	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+		\item $x^g:= g^{-1}xg$, \begriff{Konjugation} von $x$ mit $g$
+		\item $x$ und $x'$ sind \begriff{konjugiert} (in $G$)$\Leftrightarrow\exists g\in G$: $x'=x^g$
+		\item $H$ und $H'$ heißen \emph{konjugiert} (in $G$)$\Leftrightarrow\exists g\in G$: $H'=H^g=\{h^g\mid h\in H\}$
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	Die Abbildung
+	\begin{align}
+		\Int:\begin{cases}
+			G\to \Aut(G) \\ g\mapsto (x\mapsto x^g)
+		\end{cases}\notag
+	\end{align}
+	ist ein Gruppenhomomorphismus.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item $\Int(g)\in\Hom(G,G)$: $(xy)^g=g^{-1}xyg=g^{-1}xgg^{-1}yg=x^g\cdot y^g$
+		\item $(x^g)^h=h^{-1}g^{-1}xgh=(gh)^{-1}x(gh)=x^{gh}$
+		\item $\Int(g)\in\Aut(G)$: Umkehrabbildung zu $\Int(g)$ ist $\Int(g^{-1})$
+		\item $\Int(g)\in\Hom(G,\Aut(G))$:
+		\begin{align}
+			\Int(gh)=\Int(h)\circ\Int(g)=\Int(g)\cdot\Int(h)\notag
+		\end{align}
+	\end{itemize}
+\end{proof}