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2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \section{Das Minimalpolynom}
 
 \begin{definition}
-	Für ein Polynom $P(t)=\sum\limits_{i=0}^n c_it^i\in K[t]$ definieren wir $P(f)=\sum\limits_{i=0}^m c_if^i\in\End_K(V)$, wobei $f^0=\id_V$, $f^1=f$, $f^2=f\circ f$, ...
+	Für ein Polynom $P(t)=\sum_{i=0}^n c_it^i\in K[t]$ definieren wir $P(f)=\sum_{i=0}^m c_if^i\in\End_K(V)$, wobei $f^0=\id_V$, $f^1=f$, $f^2=f\circ f$, ...
 	Für ein Polynom $P(t)=\sum_{i=0}^n c_it^i\in K[t]$ definieren wir $P(f)=\sum_{i=0}^m c_if^i\in\End_K(V)$, wobei $f^0=\id_V$, $f^1=f$, $f^2=f\circ f$, ...
 	
 	Analog definiert man $P(A)$ für $A\in\Mat_n(K)$.
@@ -50,7 +50,7 @@
 	\begin{enumerate}
 		\item $A=\mathbbm{1}_n$, $\chi_A(t)=(t-1)^n$, $P_A(t)=t-1$
 		\item $A=0$, $\chi_A(t)=t^n$, $P_A(t)=t$
-		\item Ist $A=\diag(a_1,...,a_n)$ mit paarweise verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1,...,\lambda_r$, so ist $\chi_A(t)=\prod\limits_{i=1}^n (t-a_i)=\prod\limits_{i=1}^n (t-\lambda_i)^{\mu_a(f_A,\lambda_i)}$, $P_A(t)=\prod\limits_{i=1}^r (t-\lambda_i)$ und es folgt $\deg(P_A)\ge \vert \{a_1,...,a_n\}\vert=r$.
+		\item Ist $A=\diag(a_1,...,a_n)$ mit paarweise verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1,...,\lambda_r$, so ist $\chi_A(t)=\prod_{i=1}^n (t-a_i)=\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)^{\mu_a(f_A,\lambda_i)}$, $P_A(t)=\prod_{i=1}^r (t-\lambda_i)$ und es folgt $\deg(P_A)\ge \vert \{a_1,...,a_n\}\vert=r$.
 	\end{enumerate}
 \end{example}
 
@@ -63,7 +63,7 @@
 	Sei $x\in V$ und $x_i=f(x)$. Es gibt ein kleinstes $k$ mit $x_k\in\Span_K(x_0,x_1,...,x_{k-1})$, und $W=\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$ ein $f$-zyklischer UVR von $V$ mit Basis $B=(x_0,...,x_{k-1})$ und $M_B(f\vert_W)=M_{\chi_{f\vert_W}}$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-	Da $\dim_K(V)=n$ ist $(x_0,...,x_n)$ linear abhängig, es gibt also ein kleinstes $k$ mit $(x_0,...,x_{k-1})$ linear unabhängig, aber $(x_0,...,x_k)$ linear abhängig, folglich $x_k\in\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$. Mit $x_k=f(x_{k-1})=\sum\limits_{i=0}^{k-1}-c_ix_i$ ist dann 
+	Da $\dim_K(V)=n$ ist $(x_0,...,x_n)$ linear abhängig, es gibt also ein kleinstes $k$ mit $(x_0,...,x_{k-1})$ linear unabhängig, aber $(x_0,...,x_k)$ linear abhängig, folglich $x_k\in\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$. Mit $x_k=f(x_{k-1})=\sum_{i=0}^{k-1}-c_ix_i$ ist dann 
 	Da $\dim_K(V)=n$ ist $(x_0,...,x_n)$ linear abhängig, es gibt also ein kleinstes $k$ mit $(x_0,...,x_{k-1})$ linear unabhängig, aber $(x_0,...,x_k)$ linear abhängig, folglich $x_k\in\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$. Mit $x_k=f(x_{k-1})=\sum_{i=0}^{k-1}-c_ix_i$ ist dann 
 	\begin{align}
 		M_B(f\vert_W)=\begin{pmatrix}0&...&...&...&0&-c_0\\
@@ -72,7 +72,7 @@
 		\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\
 		0&...&0&1&0&-c_{k-1}\end{pmatrix}\notag
 	\end{align}
-	somit $\chi_{f\vert_W}=t^k+\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_it^i$, also $M_B(f\vert_W)=M_{\chi_{f\vert_W}}$.
+	somit $\chi_{f\vert_W}=t^k+\sum_{i=0}^{k-1}c_it^i$, also $M_B(f\vert_W)=M_{\chi_{f\vert_W}}$.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}[Satz von \person{Cayley-Hamiltion}]
@@ -80,7 +80,7 @@
 	Für $f\in\End_K(V)$ ist $\chi_f(f)=0$.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-	Sei $x\in V$. Definiere $x_i=f^i(x)$ und $W=\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$ wie in \propref{lemma_5_8}. Sei $\chi_{f\vert_W}=t^k+\sum\limits_{i=0}^{k-1} c_it^i$, also $f(x_{k-1})=\sum\limits_{i=0}^{k-1} -c_ix_i$. Wenden wir $\chi_{f\vert_W}(f)\in\End_K(V)$ auf $x$ an, so erhalten wir 
+	Sei $x\in V$. Definiere $x_i=f^i(x)$ und $W=\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$ wie in \propref{lemma_5_8}. Sei $\chi_{f\vert_W}=t^k+\sum_{i=0}^{k-1} c_it^i$, also $f(x_{k-1})=\sum_{i=0}^{k-1} -c_ix_i$. Wenden wir $\chi_{f\vert_W}(f)\in\End_K(V)$ auf $x$ an, so erhalten wir 
 	Sei $x\in V$. Definiere $x_i=f^i(x)$ und $W=\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$ wie in \propref{lemma_5_8}. Sei $\chi_{f\vert_W}=t^k+\sum_{i=0}^{k-1} c_it^i$, also $f(x_{k-1})=\sum_{i=0}^{k-1} -c_ix_i$. Wenden wir $\chi_{f\vert_W}(f)\in\End_K(V)$ auf $x$ an, so erhalten wir 
 	\begin{align}
 		\chi_{f\vert_W}(f)(x)&=\left( f^k+\sum\limits_{i=1}^{k-1} c_if^i\right)(x)\notag \\

2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_charakteristische_Polynom.tex

@@ -41,7 +41,7 @@
 
 \begin{proposition}
 	\proplbl{satz_chi_polynom}
-	Sei $\dim_K(V)=n$ und $f\in\End_K(V)$. Dann ist $\chi_f(t)=\sum\limits_{i=0}^n \alpha_i t^i$ ein Polynom vom Grad $n$ mit 
+	Sei $\dim_K(V)=n$ und $f\in\End_K(V)$. Dann ist $\chi_f(t)=\sum_{i=0}^n \alpha_i t^i$ ein Polynom vom Grad $n$ mit 
 	\begin{align}
 		\alpha_n&=1\notag \\
 		\alpha_{n-1}&=-\tr(f) \notag \\
@@ -50,8 +50,8 @@
 	Die Nullstellen von $\chi_f$ sind genau die EW von $f$.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Sei $B$ eine Basis von $V$ und $A=M_B(f)=(a_{ij})_{i,j}$. Wir erinnern uns daran, dass $\tr(f)=\tr(A=\sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$. Es ist $\chi_f(t)=\det(t-\cdot 1_n-A)=\sum\limits_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)\prod\limits_{i=1}^n (t\delta_{i,\sigma(i)}-a_{i,\sigma(i)})$. \\
-	Der Summand für \emph{$\sigma=\id$} ist $\prod\limits_{i=1}^n (t-a_{ii})=t^n+\sum\limits_{i=1}^n (-a_{ii})t^{n-1}+...+\prod\limits_{i=1}^n(-a_{ii})$ \\
+	Sei $B$ eine Basis von $V$ und $A=M_B(f)=(a_{ij})_{i,j}$. Wir erinnern uns daran, dass $\tr(f)=\tr(A=\sum_{i=1}^n a_{ii}$. Es ist $\chi_f(t)=\det(t-\cdot 1_n-A)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)\prod_{i=1}^n (t\delta_{i,\sigma(i)}-a_{i,\sigma(i)})$. \\
+	Der Summand für \emph{$\sigma=\id$} ist $\prod_{i=1}^n (t-a_{ii})=t^n+\sum_{i=1}^n (-a_{ii})t^{n-1}+...+\prod_{i=1}^n(-a_{ii})$ \\
 	Für \emph{$\sigma\neq\id$} ist $\sigma(i)\neq i$ für mindestens zwei $i$, der entsprechende Summand hat also Grad höchstens $n-2$. Somit haben $\alpha_n$ und $\alpha_{n-1}$ die oben behauptete Form, und $\alpha_0=\chi_A(0)=\det(-A)=(-1)^n\cdot\det(f)$. \\
 	Die Aussage über die Nullstellen von $\chi_f$ folgt aus \propref{satz_det_null} und \propref{lemma_chi_det}.
 \end{proof}
@@ -70,7 +70,7 @@
 \begin{example}
 	\proplbl{beispiel_2_8}
 	\begin{enumerate}
-		\item Ist $A=(a_{ij})_{i,j}$ eine obere Dreiecksmatrix, so ist $\chi_A(t)=\prod\limits_{i=1}^n (t-a_{ii})$, vgl. IV.2.9.c \\ %TODO: Verlinkung
+		\item Ist $A=(a_{ij})_{i,j}$ eine obere Dreiecksmatrix, so ist $\chi_A(t)=\prod_{i=1}^n (t-a_{ii})$, vgl. IV.2.9.c \\ %TODO: Verlinkung
 		Insbesondere ist $\chi_{1_n}(t)=(t-1)^n$, $\chi_0(t)=t^n$
 		\item Für eine Blockmatrix $A=\begin{pmatrix}A_1&B \\ 0&A_2\end{pmatrix}$ mit quadratischen Matrizen $A_1,A_2$ ist $\chi_A=\chi_{A_1}\cdot \chi_{A_2}$ vgl. IV.2.9.e %TODO: Verlinkung
 		\item Für
@@ -83,7 +83,7 @@
 			0&...&0&1&0&-c_{n-1} 
 			\end{pmatrix} \quad c_0,...,c_{n-1}\in K \notag
 		\end{align}
-		ist $\chi_A(t)=t^n+\sum\limits_{i=0}^{n-1} c_i t^i$ \\
-		Man nennt diese Matrix die Begleitmatrix zum normierten Polynom $P=t^n+\sum\limits_{i=0}^{n-1} c_i t^i$ und schreibt $M_P:=A$
+		ist $\chi_A(t)=t^n+\sum_{i=0}^{n-1} c_i t^i$ \\
+		Man nennt diese Matrix die Begleitmatrix zum normierten Polynom $P=t^n+\sum_{i=0}^{n-1} c_i t^i$ und schreibt $M_P:=A$
 	\end{enumerate}
 \end{example}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Diagonalisierbarkeit.tex

@@ -12,8 +12,8 @@
 	\end{align}.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-	$(\Rightarrow)$: Ist $B$ eine Basis aus EV von $f$ (vgl. \propref{satz_diagonal_ev}), so ist $B\le \bigcup\limits_{\lambda\in K}\Eig(f,\lambda)$, also $V=\Span_K(\bigcup\limits_{\lambda\in K}\Eig(f, \lambda))=\sum\limits_{\lambda\in K}\Eig(f,\lambda)$. \\
-	$(\Leftarrow)$: Ist $V=\sum\limits_{\lambda\in K}\Eig(f,\lambda)$, so gibt es $\lambda_1,...,\lambda_n \in K$ mit $V=\sum\limits_{i=1}^r \Eig(f,\lambda_i)$. Wir wählen Basen $B_i$ von $\Eig(f,\lambda_i)$. Dann ist $\bigcup\limits_{i=1}^r B_i$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$, enthält also eine Basis von $V$ (II.3.6). Diese besteht aus EV von $f$. %TODO: Verlinkung
+	$(\Rightarrow)$: Ist $B$ eine Basis aus EV von $f$ (vgl. \propref{satz_diagonal_ev}), so ist $B\le \bigcup\limits_{\lambda\in K}\Eig(f,\lambda)$, also $V=\Span_K(\bigcup\limits_{\lambda\in K}\Eig(f, \lambda))=\sum_{\lambda\in K}\Eig(f,\lambda)$. \\
+	$(\Leftarrow)$: Ist $V=\sum_{\lambda\in K}\Eig(f,\lambda)$, so gibt es $\lambda_1,...,\lambda_n \in K$ mit $V=\sum_{i=1}^r \Eig(f,\lambda_i)$. Wir wählen Basen $B_i$ von $\Eig(f,\lambda_i)$. Dann ist $\bigcup\limits_{i=1}^r B_i$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$, enthält also eine Basis von $V$ (II.3.6). Diese besteht aus EV von $f$. %TODO: Verlinkung
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
@@ -73,10 +73,10 @@
 
 \begin{lemma}
 	\proplbl{lemma_3_9}
-	Es ist $\sum\limits_{\lambda\in K} \mu(P,\lambda)\le \deg(P)$, mit Gleichheit genau dann, wenn $P$ in Linearfaktoren zerfällt.
+	Es ist $\sum_{\lambda\in K} \mu(P,\lambda)\le \deg(P)$, mit Gleichheit genau dann, wenn $P$ in Linearfaktoren zerfällt.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
-	Schreibe $P(t)=\prod\limits_{\lambda\in K}(t-\lambda)^{r_\lambda}\cdot Q(t)$, wobei $Q(t)\in K[t]$ keine Nullstellen mehr besitzt. Nach \propref{lemma_3_7} ist $\mu(P,\lambda)=r_\lambda$ für alle $\lambda$ und somit $\deg(P)=\sum\limits_{\lambda\in K} r_\lambda+\deg(Q)\ge \sum\limits_{\lambda\in K} \mu(P,\lambda)$ mit Gleichheit genau dann,wenn $\deg(Q)=0$, also $Q=c\in K$, d.h. genau dann, wenn $P(t)=c\cdot \prod\limits_{\lambda\in K} (t-\lambda)^{r_\lambda}$.
+	Schreibe $P(t)=\prod_{\lambda\in K}(t-\lambda)^{r_\lambda}\cdot Q(t)$, wobei $Q(t)\in K[t]$ keine Nullstellen mehr besitzt. Nach \propref{lemma_3_7} ist $\mu(P,\lambda)=r_\lambda$ für alle $\lambda$ und somit $\deg(P)=\sum_{\lambda\in K} r_\lambda+\deg(Q)\ge \sum_{\lambda\in K} \mu(P,\lambda)$ mit Gleichheit genau dann,wenn $\deg(Q)=0$, also $Q=c\in K$, d.h. genau dann, wenn $P(t)=c\cdot \prod_{\lambda\in K} (t-\lambda)^{r_\lambda}$.
 \end{proof}
 
 \begin{lemma}
@@ -106,7 +106,7 @@
 		&\le \deg(\chi_f) \\
 		&= n \notag
 	\end{align}
-	Nach \propref{lemma_diag_summe_eig} ist $f$ genau dann diagonalisierbar, wenn $\dim_K(\sum\limits_{\lambda\in K}\Eig(f,\lambda))=n$, also wenn bei (1) und (2) Gleichheit herrscht. Gleichheit bei (1) bedeutet $\dim_K(\Eig(f,\lambda))=\mu(\chi_f,\lambda)$ für alle $\lambda\in K$, und Gleichheit bei (2) bedeutet nach \propref{lemma_3_9}, dass $\chi_f$ in Linearfaktoren zerfällt. %TODO: Verlinkung
+	Nach \propref{lemma_diag_summe_eig} ist $f$ genau dann diagonalisierbar, wenn $\dim_K(\sum_{\lambda\in K}\Eig(f,\lambda))=n$, also wenn bei (1) und (2) Gleichheit herrscht. Gleichheit bei (1) bedeutet $\dim_K(\Eig(f,\lambda))=\mu(\chi_f,\lambda)$ für alle $\lambda\in K$, und Gleichheit bei (2) bedeutet nach \propref{lemma_3_9}, dass $\chi_f$ in Linearfaktoren zerfällt. %TODO: Verlinkung
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[algebraische und geometrische Vielfachheit]

2. Semester/LAAG/TeX_files/Eigenwerte.tex

@@ -63,7 +63,7 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist, die Geometrie von $f$ besser zu verstehen und Base
 \begin{proof}
 	Induktion nach $m$\\
 	\emph{$m=1$}: klar, denn $x_1\neq 0$ \\
-	\emph{$m-1\to m$}: Sei $\sum\limits_{i=1}^m \mu_i x_i=0$ mit $\mu_1,...,\mu_m\in K$.
+	\emph{$m-1\to m$}: Sei $\sum_{i=1}^m \mu_i x_i=0$ mit $\mu_1,...,\mu_m\in K$.
 	\begin{align}
 		0&= (f-\lambda\cdot\id_V)\left( \sum\limits_{i=1}^m \mu_i x_i\right) \notag \\
 		&= \sum\limits_{i=1}^m \mu_i(f(x_i)-\lambda_m\cdot x_i) \notag \\
@@ -78,7 +78,7 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist, die Geometrie von $f$ besser zu verstehen und Base
 	\[\sum\limits_{i=1}^m \Eig(f,\lambda_i)=\bigoplus_{i=0}^{m}\Eig(f,\lambda_i).\]
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Seien $x_i,y_i\in\Eig(f,\lambda_i)$ für $i=1,...,m$. Ist $\sum\limits_{i=1}^m x_i=\sum\limits_{i=1}^m y_i$, so ist $\sum\limits_{i=1}^m \underbrace{x_i-y_i}_{z_i}=0$.\\
+	Seien $x_i,y_i\in\Eig(f,\lambda_i)$ für $i=1,...,m$. Ist $\sum_{i=1}^m x_i=\sum_{i=1}^m y_i$, so ist $\sum_{i=1}^m \underbrace{x_i-y_i}_{z_i}=0$.\\
 	o. E. seien $z_i\neq 0$ für $i=1,...,r$ und $z_i=0$ für $i=r+1,...,m$. Wäre $r>0$, so wären $(z_1,...,z_r)$ linear abhängig, aber $z_i=x_i-y_i\in\Eig(f,\lambda_i)\backslash\{0\}$, im Widerspruch zu \propref{lemma_EW_lin_unabh}. Somit ist $x_i=y_i$ für alle $i$ und folglich ist die Summe $\sum\Eig(f,\lambda_i)$ direkt.
 \end{proof}
 

2. Semester/LAAG/TeX_files/Trigonalisierbarkeit.tex

@@ -64,12 +64,12 @@
 	$(\Rightarrow)$: \propref{lemma_4_3}\\
 	$(\Leftarrow)$: Induktion nach $n=\dim_K(V)$. \\
 	\emph{$n=1$}: trivial \\
-	\emph{$n-1\to n$}: Nach Annahme ist $\chi_f(t)=\prod\limits_{i=1}^n (t-\lambda_i)$ mit $\lambda_1,...,\lambda_n\in K$. Sei $x_1$ ein EV zum EW $\lambda_1$. Dann ist $V_1=K\cdot x_1$ ein $f$-invarianter UVR. Ergänze $B_1=(x_1)$ zu einer Basis $B=(x_1,...,x_n)$ von $V$ und setze $B_2=(x_2,...,x_n)$, $V_2=\Span_K(B_2)$.
+	\emph{$n-1\to n$}: Nach Annahme ist $\chi_f(t)=\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)$ mit $\lambda_1,...,\lambda_n\in K$. Sei $x_1$ ein EV zum EW $\lambda_1$. Dann ist $V_1=K\cdot x_1$ ein $f$-invarianter UVR. Ergänze $B_1=(x_1)$ zu einer Basis $B=(x_1,...,x_n)$ von $V$ und setze $B_2=(x_2,...,x_n)$, $V_2=\Span_K(B_2)$.
 	\emph{$n-1\to n$}: Nach Annahme ist $\chi_f(t)=\prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)$ mit $\lambda_1,...,\lambda_n\in K$. Sei $x_1$ ein EV zum EW $\lambda_1$. Dann ist $V_1=K\cdot x_1$ ein $f$-invarianter UVR. Ergänze $B_1=(x_1)$ zu einer Basis $B=(x_1,...,x_n)$ von $V$ und setze $B_2=(x_2,...,x_n)$, $V_2=\Span_K(B_2)$.
 	\begin{align}
 		\Rightarrow M_B(f)&=\begin{pmatrix}\lambda_1&*\\0&A_2\end{pmatrix}\quad A_2\in\Mat_{n-1}(K)\notag\\
 		\chi_f(t)&=\chi_{\lambda_1\mathbbm{1}_1}\cdot \chi_{A_2}=(t-\lambda_1)\cdot\chi_{A_2}(t)\notag \\
-		\overset{\text{\propref{lemma_3_7}}}{\Rightarrow} \chi_{A_2}(t)&=\prod\limits_{i=2}^n(t-\lambda_i)\notag
+		\overset{\text{\propref{lemma_3_7}}}{\Rightarrow} \chi_{A_2}(t)&=\prod_{i=2}^n(t-\lambda_i)\notag
 	\end{align}
 	Seien $\pi_1,\pi_2\in\End_K(V)$ gegeben durch $M_B(\pi_1)=\diag(1,0,...,0)$ und $M_B(\pi_2)=\diag(0,1,...,1)$. Dann ist $\pi_1+\pi_2=\id_V$ und $f_i=\pi_1\circ f$ ist $f=\id_V\circ f=f_1+f_2$ und $f_2\vert_{V_2}\in\End_K(V_2)$. Nach Induktionshypothese ist $f_2\vert_{V_2}$ trigonalisierbar, da $M_B(f_2\vert_{V_2})=A_2$, also $\chi_{f_2\vert_{V_2}}=\chi_{A_2}$. Dies bedeutet, es gibt also eine Basis $B'_2=(x'_2,...,x'_n)$ von $V_2$, für die $M_{B'_2}(f_2\vert_{V_2})$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Somit ist für $B'=(x_1,x'_2,...,x'_n)$ auch 
 	\begin{align}