diff --git a/Summary ANAG/Anag1_Summary.pdf b/Summary ANAG/Anag1_Summary.pdf index 75b9b0a..d44379b 100644 Binary files a/Summary ANAG/Anag1_Summary.pdf and b/Summary ANAG/Anag1_Summary.pdf differ diff --git a/Summary ANAG/Anag1_Summary.tex b/Summary ANAG/Anag1_Summary.tex index 747fb03..1904d83 100644 --- a/Summary ANAG/Anag1_Summary.tex +++ b/Summary ANAG/Anag1_Summary.tex @@ -36,6 +36,8 @@ \usepackage{titlesec}%customize titles +% template by Daniel Graeveling and modified by Pascal Lehmann TUD + \usepackage{xparse}%better macros \usepackage[amsthm,thmmarks,hyperref]{ntheorem}%customize theorem-environments more effectively @@ -206,7 +208,7 @@ \begin{example} \begin{itemize} - \item Für Aussagen $A,B,C$: $A\land B \Rightarrow B$ + \item Für Aussagen $A,B,C$: $A\land C \Rightarrow B$ \begin{itemize} \item $B$ ist \begriff{notwendig} für $A$ \item $A$ ist \begriff{hinreichend} für $B$ @@ -218,7 +220,7 @@ \begin{definition} \begin{enumerate} \item \begriff[Beweis!]{direkt}\highlight{er Beweis}: $(A\Rightarrow A_1)\land(A_1\Rightarrow A_2)\land\dotsc\land(A_n\Rightarrow B)$ wahr für $A\Rightarrow B$ - \item \begriff[Beweis!]{indirekt}\highlight{er Beweis} durch Tautologie $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B\rightarrow \not A)$ + \item \begriff[Beweis!]{indirekt}\highlight{er Beweis} durch Tautologie $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B\rightarrow \neg A)$ \end{enumerate} \end{definition} @@ -239,7 +241,7 @@ \item $(a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R$ (\begriff[Ordnung!]{symmetrisch}) \item $(a,b),(b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R$ (\begriff[Ordnung!]{transitiv}) \end{enumerate} - \item \mathsymbol{[a]}{$[a]$}$:=\{b\in M| (a,b)\in R\}$ heißt \begriff{Äquivalenzklasse} von $a\in M$ bzgl. $R$ + \item \mathsymbol{[a]}{$[a]$}$:=\{b\in M\mid (a,b)\in R\}$ heißt \begriff{Äquivalenzklasse} von $a\in M$ bzgl. $R$ Jedes $b\in [a]$ ist ein \begriff{Repräsentant} von $[a]$ \end{itemize} @@ -251,8 +253,8 @@ \begin{itemize} \item \mathsymbol{D}{$\mathcal{D}$}$(F):=M$ heißt \begriff{Definitionsbereich} / \begriff{Urbildmenge} \item $N$ heißt \begriff{Zielbereich} - \item $(M'):=\{n\in M | n=F(m)$ für ein $m\in M'\}$ ist \begriff{Bild}\highlight{ von $m'$}$\in M$ - \item $F^{-1}(N'):=\{ m\in M| n=F(m)$ für ein $N' \}$ ist \begriff{Urbild}\highlight{ von $N'$}$\subset N$ + \item $(M'):=\{n\in M \mid n=F(m)$ für ein $m\in M'\}$ ist \begriff{Bild}\highlight{ von $M'$}$\in M$ + \item $F^{-1}(N'):=\{ m\in M\mid n=F(m)$ für ein $N' \}$ ist \begriff{Urbild}\highlight{ von $N'$}$\subset N$ \item \mathsymbol{R}{$\mathcal{R}$}$(F):= F(M)$ heißt \begriff{Wertebereich} / \begriff{Bildmenge} \item \mathsymbol{graph}{$\graph$}$(F) :=\{ (mn,)\in M\times N | n = F(m)\}$ heißt \begriff{Graph}\highlight{von $F$} \item \mathsymbol{fm}{$F|_{M'}$} ist \begriff{Einschränkung}\highlight{der Funktion} von $F$ auf $M'\subset M$ @@ -344,7 +346,7 @@ $\mathbb{N}$ sei Menge, die die \begriff{\person{Peano}-Axiome} erfüllen, d.h. \end{itemize} \item (Induktionsaxiom) - Falls $N\subset\mathbb{N}$ inuktiv in $\mathbb{N}$ (d.h. $0,\nu(n)\in\mathbb{N}$ falls $n\in\mathbb{N}$)\\ + Falls $N\subset\mathbb{N}$ induktiv in $\mathbb{N}$ (d.h. $0,\nu(n)\in\mathbb{N}$ falls $n\in\mathbb{N}$)\\ $\Rightarrow N=\mathbb{N}$ ($N$ ist die kleinste indutkive Menge) \end{enumerate} @@ -435,7 +437,7 @@ Nach Mengenlehre ZF existiert eine Solche Menge der \begriff{natürliche Zahlen} \end{satz} \begin{satz} - Sei $[(n,n')]\in\overline{\mathbb{Z}}$. Dann ex. eindeutige $n'\in\mathbb{N}:(n',0)\in[(n,n')]$ falls $n\ge n'$ bzw. $(0,n')\in[(n,n')]$ falls $n 0$ in $K$ existiert $n\in\mathbb{N}: l(X_n):= x_n' - x_n < \epsilon$, mit $l$ \begriff{Intervalllänge} @@ -700,7 +702,7 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele setze $\mathbb{R} := \{ [\mathcal{X}] \mid \mathcal{X}\in I_\mathbb{Q} \}$ Menge der \begriff{reellen Zahlen}. \begin{itemize} - \item $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} x_n\neq 0 \rightarrow [\mathcal{X}]$ ist ``neue'' sog. \begriff{irrationale Zahl} + \item $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} X_n \neq 0 \rightarrow [\mathcal{X}]$ ist ``neue'' sog. \begriff{irrationale Zahl} \end{itemize} \end{definition} @@ -710,7 +712,7 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele \begin{itemize} \item $X + Y := \{\xi + y \mid \xi \in X, y\in Y\} = [x + y, x' + y']$ \item $X\cdot Y :=\{\xi \cdot y \mid \xi \in X, y\in Y\} = [\tilde{x}\tilde{y}, \tilde{x}'\tilde{y}'], x,x'\in\{x,x'\},y,y'\in\{y,y'\}$ - \item $-x := [-x,-x']$, $x^{-1}:=[\frac{1}{x'}, \frac{1}{x}]$ falls $0\in X$ + \item $-X := [-x,-x']$, $X^{-1}:=[\frac{1}{x'}, \frac{1}{x}]$ falls $0\in X$ \end{itemize} Für relle Zahl $[\mathcal{X}] = [\{x_n\}], [\mathcal{Y}]=[\{y_n\}]$ sei @@ -953,8 +955,8 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele \begin{definition}[Skalarprodukt] $\langle x,y\rangle:=\sum_{i=1}^n x_i y_i$ heißt \begriff{Skalarprodukt}[!$\mathbb{R}$] (\begriff{inneres Produkt}) von $x,y\in\mathbb{R}^n$. - Offenbar ist $\langle x,y\rangle = |x|^2\;\forall x\in\mathbb{R}^n$ (\highlight{ausschließlich für Euklidische Norm})\\ - Man hat $|\langle x,y\rangle | \le |x|\cdot |x|\;\forall x,y\in\mathbb{R}^n$ (\begriff{\person{Cauchy}-\person{Schwarz}'sche Ungleichung}) + Offenbar ist $\langle x,x\rangle = |x|^2\;\forall x\in\mathbb{R}^n$ (\highlight{ausschließlich für Euklidische Norm})\\ + Man hat $|\langle x,y\rangle | \le |x|\cdot |y|\;\forall x,y\in\mathbb{R}^n$ (\begriff{\person{Cauchy}-\person{Schwarz}'sche Ungleichung}) \end{definition} \begin{example} $X=\mathbb{C}^n$ ist Vektorraum über $\mathbb{C}$, $x=(x_1,\dotsc,x_n)\in\mathbb{C}^n, x_i\in\mathbb{C}$. @@ -997,7 +999,7 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele \item \mathsymbol{int}{$\Int$}$ M:=$ Menge aller inneren Punkte von $M$, heißt \begriff{Inneres} von $M$ \item \mathsymbol{ext}{$\Ext$}$M:=$ Menge aller äußeren Punkte von $M$, heißt \begriff{Äußeres} von $M$. \item \mathsymbol{p}{$\partial$}$M:=$ Menge der Randpunkte von $M$, heißt \begriff{Rand} von $M$ - \item \mathsymbol{cl}{$\cl$}$:=\overline{M} = \int M \cup \partial M$ heißt \begriff{Abschluss} von $M$ + \item \mathsymbol{cl}{$\cl$}$:=\overline{M} = \Int M \cup \partial M$ heißt \begriff{Abschluss} von $M$ \item $M\subset X$ heißt \begriff{beschränkt}[!Menge], falls $\exists a\in X, r>0: M\subset B_r(a)$ \item $x\in X$ heißt \gls{hp} von $M$, falls $\forall \epsilon > 0$ enthält $B_\epsilon(x)$ unendlich viele Elemente aus $M$ \item $x\in M$ heißt \begriff{isolierter Punkt} von $M$, falls $x$ kein Häufungspunkt @@ -1065,8 +1067,8 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele Sei $(X,d)$ metr. Raum, $\{x_n\}$ Folge in $X$. Dann \[ x,x' \text{ Grenzwert von $\{x_n\}$} \;\Rightarrow\; x = x' \] \end{satz} \begin{satz} - Sei $(X,d)$ metrischer Raum\\ - $\Rightarrow$ konvergente Folge $\{x_n\}$ ist stets beschränkt + Sei $(X,d)$ metrischer Raum, $\{x_n\}$ konvergente Folge in $X$\\ + $\Rightarrow$ $\{x_n\}$ ist beschränkt. \end{satz} \addtocounter{theorem}{4} \begin{definition} @@ -1091,8 +1093,8 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele \begin{satz} Sei $X$ normierter Raum, $\{x_n\}, \{y_n\}$ in $X$, $\{\lambda_n\}$ in $K$ mit $\lim x_n = x, \lim y_n = y$. Dann \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] - \item $\{x_n \pm y_n\}$ konvergiert und $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n + y_n = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n + \lim\limits_{n\rightarrow\infty} y_n$ - \item $\{\lambda_n x_n\}$ konvergiert und $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \lambda_n x_n = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n \cdot \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$ + \item $\{x_n \pm y_n\}$ konvergiert und $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n \pm y_n = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n \pm \lim\limits_{n\rightarrow\infty} y_n$ + \item $\{\lambda_n x_n\}$ konvergiert und $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \lambda_n x_n = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \lambda_n \cdot \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$ \item $\lambda\neq 0 \;\Rightarrow\;\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\lambda_n} = \frac{1}{\lambda}$ (in $K$) für $\{\frac{1}{\lambda_n}\}_{n\ge\tilde{n}}$ ($\lambda_n\neq 0\;\forall n\ge\tilde{n}$) \end{enumerate} \end{satz} @@ -1108,7 +1110,7 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] \item Im metrischen Raum $X$ gilt:$x_n\rightarrow x$ in $X$ $\Leftrightarrow\;d(x_n,x)\rightarrow 0$ in $\mathbb{R}$ \item Sei $0\le \alpha_n\le\beta_n\;\forall n\in\mathbb{N}, \alpha_n, \beta_n\in\mathbb{R}, \beta_n\rightarrow 0$\\ - $\Rightarrow \alpha_n\rightarrow 0$ \begriff{Sandwitch-Prinzip} + $\Rightarrow \alpha_n\rightarrow 0$ \begriff{Sandwich-Prinzip} \end{enumerate} \end{lemma} \begin{satz} @@ -1192,7 +1194,7 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele \stepcounter{theorem} \section*{Uneigentliche Konvergenz} \begin{definition}[Uneigentliche Konvergenz] - Folge $\{x_n\}$ in $\mathbb{R}$ \begriff[Konvergenz!]{uneigentlich} gegen $+\infty (-\infty)$, falls $\forall R>0\,\exists n_0\in\mathbb{N}: x_n \ge R (x_n \le -R)\;\forall n\ge n_0$ + Folge $\{x_n\}$ in $\mathbb{R}$ konvergiert \begriff[Konvergenz!]{uneigentlich} gegen $+\infty (-\infty)$, falls $\forall R>0\,\exists n_0\in\mathbb{N}: x_n \ge R (x_n \le -R)\;\forall n\ge n_0$ (heißt auch \begriff{bestimmt divergent}) gegen $\infty$, "uneigentlich" wird meist weggelassen. @@ -1206,18 +1208,21 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele \stepcounter{theorem} \begin{satz} Sei $\{x_n\}$ mit $x_n\rightarrow x$ im normierten Raum $X$.\\ - $\Rightarrow\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j \rightarrow n\rightarrow\infty x$ + $\Rightarrow\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j \overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} x$ \end{satz} \section{Vollständigkeit} \begin{definition}[\person{Cauchy}-Folge] - Folge $\{x_n\}$ im metrischen Raum $(X,d)$ heißt \gls{cf} (Fundamentalfolge), falls $\forall\epsilon > 0 \,\exists n_0\in\mathbb{N}: d(x_n, x_m) < \epsilon\;\forall n,m\ge n_0$ + Folge $\{x_n\}$ im metrischen Raum $(X,d)$ heißt \gls{cf} (Fundamentalfolge), falls + \[ + \forall\epsilon > 0 \,\exists n_0\in\mathbb{N}: d(x_n, x_m) < \epsilon\;\forall n,m\ge n_0. + \] \end{definition} \begin{satz} Sei $\{x_n\}$ Folge im metrischen Raum $(X,d)$. Dann \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] \item $x_n\rightarrow x \Rightarrow \{x_n\}$ ist \person{Cauchy}-Folge - \item $\{x_n\}$ \gls{cf} $\Rightarrow \{x_n\}$ ist beschränkt und hat maximal 1 \gls{hw}. + \item $\{x_n\}$ \gls{cf} $\Rightarrow \{x_n\}$ ist beschränkt und hat maximal einen \gls{hw}. \end{enumerate} \end{satz} \begin{definition}[Durchmesser] @@ -1229,7 +1234,7 @@ Aussage gilt für \gls{fa} $n\in\mathbb{N}$, wenn höchstens für endlich viele Sei $M\subset X$ beschränkt, $\neq 0\;\Rightarrow\;\diam M = \diam (\cl M)$. \end{lemma} \begin{theorem} - Sei $(X,d)$ metrischer Raum. Dann: für jede Schachtelung $A_n$ in $X$ gilt:\[ \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{N} A_n\neq \emptyset \;\Leftrightarrow \; \text{jede \gls{cf} in $\{x_n\}$ in $X$ ist konvergent} \] + Sei $(X,d)$ metrischer Raum. Dann: für jede Schachtelung $A_n$ in $X$ gilt:\[ \bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n\neq \emptyset \;\Leftrightarrow \; \text{jede \gls{cf} in $\{x_n\}$ in $X$ ist konvergent} \] \end{theorem} \begin{lemma} In $\mathbb{R}$ gilt: @@ -1299,8 +1304,8 @@ Menge $M\subset X$ heißt \begriff{folgenkompakt}, falls jede Folge $\{x_n\}$ au \begin{satz}[\person{Cauchy}-Kriterium] Sei $X$ normierter Raum, $\{x_k\}$ Folge in $X$. Dann \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] - \item $\sum_k x_k$ konvergiert $\Rightarrow\;\forall \epsilon > 0\,\exists n_0: \left|\left|\sum_{k=n}^n x_k\right|\right| < \epsilon\;\forall k\ge n\ge n_0$ - \item falls $x$ vollständiger, normierter Raum, gilt $\Leftarrow$ oben. + \item $\sum_k x_k$ konvergiert $\Rightarrow\;\forall \epsilon > 0\,\exists n_0: \left|\left|\sum_{k=n}^m x_k\right|\right| < \epsilon\;\forall m\ge n\ge n_0$ + \item falls $x$ vollständiger, normierter Raum, gilt $\Leftarrow$ auch oben. \end{enumerate} \end{satz} \begin{conclusion} @@ -1355,9 +1360,9 @@ Menge $M\subset X$ heißt \begriff{folgenkompakt}, falls jede Folge $\{x_n\}$ au \end{enumerate} \end{satz} \begin{example} - \begriff{Exponentialreihe} $\exp z := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{n!}$ absolut konvergent $\forall z\in \mathbb{C}$. + \begriff{Exponentialreihe} $\exp z := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$ absolut konvergent $\forall z\in \mathbb{C}$. - \mathsymbol{e}{$e$}$:=\exp 1$ \begriff{\person{Euler}'sche Zahl} + \mathsymbol{e}{$e$}$:=\exp(1)$ \begriff{\person{Euler}'sche Zahl} \end{example} \begin{example} \begriff{Potenzreihe}: $\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$ für $z\in\mathbb{C}, a_k\in\mathbb{C}, z_0\in\mathbb{C}$. @@ -1468,7 +1473,7 @@ Menge $M\subset X$ heißt \begriff{folgenkompakt}, falls jede Folge $\{x_n\}$ au \begin{definition} $M\subset X, X$ normierter Raum heißt \begriff{konvex}, falls $x,y\in M \,\Rightarrow \,tx+(1-t)y \in M\;\forall t\in(0,1)$ - $f:D\subset X\to \mathbb{R}$ heißt \begriff[konvex!]{strikt}\begriff{konvex}, falls $f(tx + (1-t)y) \underset{(<)}{\le} f(x) + (1-t)f(y)\;\forall x,y\in D, t\in(0,1)$ + $f:D\subset X\to \mathbb{R}$ heißt \begriff[konvex!]{strikt}\begriff{konvex}, falls $f(tx + (1-t)y) \underset{(<)}{\le} t f(x) + (1-t)f(y)\;\forall x,y\in D, t\in(0,1)$ $f$ heißt \begriff{konkav} (bzw. \begriff[konkav!]{strikt}), falls $-f$ (strikt) konvex. \end{definition} @@ -1535,7 +1540,7 @@ Menge $M\subset X$ heißt \begriff{folgenkompakt}, falls jede Folge $\{x_n\}$ au \begriff{Trigonometrische Funktion}: \begin{itemize} \item $\sin z := \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!} = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!}+ \dotsc \;\forall z\in\mathbb{C}$ - \item $\cos z := \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{z} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{z^2}{4} + \frac{z^4}{24}+\dotsc \;\forall z\in\mathbb{C}$ + \item $\cos z := \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{z^2}{4} + \frac{z^4}{24}+\dotsc \;\forall z\in\mathbb{C}$ \end{itemize} \end{definition} @@ -1547,7 +1552,7 @@ Menge $M\subset X$ heißt \begriff{folgenkompakt}, falls jede Folge $\{x_n\}$ au \item $\sin(-z) = -\sin z, \cos z = \cos(-z)$ \item (\begriff{Additionstheoreme}) \begin{itemize} - \item $\sin(z+w) = \sin z \cos w - \sin w \cos z \;\forall z,w\in\mathbb{C}$ + \item $\sin(z+w) = \sin z \cos w + \sin w \cos z \;\forall z,w\in\mathbb{C}$ \item $\cos (z+w) = \cos z \cos w - \sin z \sin w \;\forall z,w\in\mathbb{C}$ \end{itemize} \item $\sin(2z) = 2\sin z \cos z, \cos(2z) = \cos^2 z - \sin^2 z\;\forall z\in\mathbb{C}$ @@ -1659,7 +1664,7 @@ Menge $M\subset X$ heißt \begriff{folgenkompakt}, falls jede Folge $\{x_n\}$ au \subsection*{Hyperbolische Funktionen} \begin{definition} \begin{itemize} - \item $\sinh (z) = \frac{e^z - e^{iz}}{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}\;\forall z\in\mathbb{C}$ (\begriff{Sinus Hyperbolicus}) + \item $\sinh (z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}\;\forall z\in\mathbb{C}$ (\begriff{Sinus Hyperbolicus}) \item $\cosh (z) = \frac{e^z+e^{-z}}{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k}}{(2k+1)!}\;\forall z\in\mathbb{C}$ (\begriff{Cosinus Hyperbolicus}) \item $\tanh (z) = \frac{\sinh (z)}{\cosh (z)}\;\forall z\in\mathbb{C}\setminus\left\lbrace \left.\frac{\pi}{2} + k\pi \right| k\in\mathbb{Z} \right\rbrace$ (\begriff{Tangens Hyperbolicus}) \item $\coth(z) = \frac{\cosh(z)}{\sinh(z)} \;\forall z\in\mathbb{C}\setminus \{ k\pi | k\in\mathbb{Z}\}$ (\begriff{Cotangens Hyperbolicus}) @@ -1724,7 +1729,7 @@ Menge $M\subset X$ heißt \begriff{folgenkompakt}, falls jede Folge $\{x_n\}$ au \begin{satz}[$\epsilon\delta$-Kriterium] Sei $f:D\subset X\to Y, x_0\in\overline{D}$. Dann \begin{center} - $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) = y_0 \,\Leftrightarrow \, \forall\epsilon > 0\,\exists \delta > 0: f(B_\delta(x_0)\cap D)\subset B_\epsilon(x_0)$ + $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) = x_0 \,\Leftrightarrow \, \forall\epsilon > 0\,\exists \delta > 0: f(B_\delta(x_0)\cap D)\subset B_\epsilon(x_0)$ \end{center} \end{satz}