proofread GEO Auflösbare Gruppen

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@@ -47,22 +47,22 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 \begin{theorem}[\person{Jordan}-\person{Hölder}]
 	Je zwei Kompositionsreihen von $G$ haben die gleiche Länge und ihre Faktoren stimmen bis auf Isomorphie und Reihenfolge überein.
 \end{theorem}
-
 \begin{proof}
-	 Induktion über die minimal Länge $m$ einer Kompositionsreihe: Seien
+	 Induktion über die minimale Länge $n$ einer Kompositionsreihe: Seien
 	 \begin{align}
-	 	G &= A_0 \gneq A_1 \gneq \dotsm \gneq A_m = 1,\notag \\ %TODO: Fix symbols
+	 	G &= A_0 \gneq A_1 \gneq \dotsm \gneq A_n = 1,\notag \\ %TODO: Fix symbols
 	 	G &= B_0 \gneq B_1 \gneq \dotsm \gneq B_m = 1\notag
 	 \end{align}
-	 Kompositionsreihen mit $m$ minimal. 
-	 \begin{itemize}
-	 	\item $n = 0$: $G = 1$ klar
-	 	\item $n > 0$: $G \neq 1 \Rightarrow m > 0$. Es ist $N = A_1 \cap B_1 \unlhd G$, $A_1,B_1 \unlhd G$
+	\emph{$n = 0$:} $G = 1$ klar \\
+	\emph{$n > 0$:} $G \neq 1 \Rightarrow m > 0$. Es ist $N = A_1 \cap B_1 \unlhd G$, $A_1B_1 \unlhd G$
 	\begin{itemize}
 		\item \textbf{1. Fall:} $A_1 = B_1$: Behauptung aus Induktionshypothese für $N = A_1 = B_1$
-	 		\item \textbf{2. Fall:} $A_1 \neq B_1$: Dann ist $A_1 \gneq A_1 B_1 \unlhd G$ und somit ist $A_1 B_1 = G$, denn $\lnkset{G}{A_1}$ ist einfach $\Rightarrow \lnkset{G}{A_1} = \lnkset{A_1 B_1}{A_1} \overset{\propref{1_3_10}}{\cong} \lnkset{B_1}{A_1 \cap B_1} = \lnkset{B_1}{N}$\\
-	 		$\lnkset{G}{B_1} \cong \lnkset{A_1}{N}$ insbesondere sind $\lnkset{A_1}{N}$ und $\lnkset{B_1}{N}$ einfach. Sei $N=N_0 > N_1 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe. Dann ist auch $A_ > N > N_1 > \dots > N_l$ ist Kompositionsreihe der Länge $l+1$. Da $A_1 > A_2 > \dots > A_n$ Kompostionsreihe minimaler Länge $n-1$ ist. Es folgt aus der Induktionhyptothese, dass $n-1 = l+1$ und das die Faktoren übereinstimmen. Ebenso sind $B_1 > B_2 > \dots > B_m$ und $B_1 > N_0 > N_1 > \dots > N_l$ Kompositionsreibe mit Länge $m-1$ und $l+1$. Da $l+1 = n-1 < n$ folgt aus Induktionshypothese, dass $l+1 = m-1$ und dass die Faktoren übereinstimmen. Also $m = l+2 = n$ und $A_0 > \dots > A_n$ und $B_0 > \dots > B_n$ haben Faktoren $\lnkset{G}{A_1} \cong \lnkset{B_1}{N}$, $\lnkset{A_1}{N} \cong \lnkset{G}{B_2}$, $\lnkset{N}{N_1}$, $\lnkset{N_1}{N_2}$, $\dots$, $\lnkset{N_{l-1}}{N_l}$
-	 	\end{itemize}
+	 	\item \textbf{2. Fall:} $A_1 \neq B_1$: Dann ist $A_1 \properideal A_1 B_1 \unlhd G$ und somit ist $A_1 B_1 = G$, denn $\lnkset{G}{A_1}$ ist einfach
+	 	\begin{align}
+	 		\lnkset{G}{A_1} &= \lnkset{A_1 B_1}{A_1} \overset{\propref{1_3_10}}{\cong} \lnkset{B_1}{A_1 \cap B_1} = \lnkset{B_1}{N} \notag \\
+	 		\lnkset{G}{B_1} &\cong \lnkset{A_1}{N} \notag
+	 	\end{align}
+		Insbesondere sind $\lnkset{A_1}{N}$ und $\lnkset{B_1}{N}$ einfach. Sei $N=N_0 > N_1 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe. Dann ist auch $A_1 > N > N_1 > \dots > N_l$ ist Kompositionsreihe der Länge $l+1$. Da $A_1 > A_2 > \dots > A_n$ Kompositionsreihe minimaler Länge $n-1$ ist. Es folgt aus der Induktionshypothese, dass $n-1 = l+1$ und dass die Faktoren übereinstimmen. Ebenso sind $B_1 > B_2 > \dots > B_m$ und $B_1 > N_0 > N_1 > \dots > N_l$ Kompositionsreihe mit Länge $m-1$ und $l+1$. Da $l+1 = n-1 < n$ folgt aus der Induktionshypothese, dass $l+1 = m-1$ und dass die Faktoren übereinstimmen. Also $m = l+2 = n$ und $A_0 > \dots > A_n$ und $B_0 > \dots > B_n$ haben Faktoren $\lnkset{G}{A_1} \cong \lnkset{B_1}{N}$, $\lnkset{A_1}{N} \cong \lnkset{G}{B_2}$, $\lnkset{N}{N_1}$, $\lnkset{N_1}{N_2}$, $\dots$, $\lnkset{N_{l-1}}{N_l}$
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
@@ -87,40 +87,38 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 
 \begin{lemma}
 	\proplbl{1_10_7}
-	Sei $N\unlhd G$, Genau dann ist $G$ auflösbar, wenn $N$ und $G/N$ auflösbar sind.
+	Sei $N\unlhd G$. Genau dann ist $G$ auflösbar, wenn $N$ und $\lnkset{G}{N}$ auflösbar sind.
 \end{lemma}
-
 \begin{proof}
 	\begin{itemize}
-		\item $\Rightarrow$: Ist $N = N_0 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe, so kann $G > N_0 > \dots > N_l = 1$ zu einer Kompisitionsreihe von $G$ verfeinert werden, Kompositionsfaktoren von $N$ sind die Kompisitionsfaktoren von $G$. Somit ist $N$ auflösbar. Ist $\lnkset{G}{H} = H_0 > \dots > H_n$ Kompisitionsreihe von $\lnkset{G}{N}$, so kann $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \pi^{-1}_{N}(H_1) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > 1$ zu einer Kompositionsreihe verfeinert werden, die Kompositionsfaktoren von $\lnkset{G}{N}$ sind also Kompositionsfaktoren von $G$. Somit ist $\lnkset{G}{N}$ auflösbar.
-		\item $\Leftarrow$: Sind $N = N_0 > \dots > N_l$ und $\lnkset{G}{N}=H_0 > \dots > H_k$ Kompisitionsreihe, so ist $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > N_1 > \dots > N_l$ eine Kompositionsreihe von $G$ und ist damit auflösbar.
+		\item Hinrichtung: Ist $N = N_0 > \dots > N_l = 1$ Kompositionsreihe, so kann $G > N_0 > \dots > N_l = 1$ zu einer Kompositionsreihe von $G$ verfeinert werden, Kompositionsfaktoren von $N$ sind die Kompositionsfaktoren von $G$. Somit ist $N$ auflösbar. Ist $\lnkset{G}{H} = H_0 > \dots > H_k$ Kompositionsreihe von $\lnkset{G}{N}$, so kann $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \pi^{-1}_{N}(H_1) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > 1$ zu einer Kompositionsreihe verfeinert werden, die Kompositionsfaktoren von $\lnkset{G}{N}$ sind also Kompositionsfaktoren von $G$. Somit ist $\lnkset{G}{N}$ auflösbar.
+		\item Rückrichtung: Sind $N = N_0 > \dots > N_l$ und $\lnkset{G}{N}=H_0 > \dots > H_k$ Kompositionsreihen, so ist $G = \pi^{-1}_{N}(H_0) > \dots > \pi^{-1}_{N}(H_k) = N > N_1 > \dots > N_l$ eine Kompositionsreihe von $G$ und ist damit auflösbar.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
 	\proplbl{1_10_8}
 	Für $G$ sind äquivalent:
-	\begin{enumerate}
+	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
 		\item $G$ ist auflösbar.
 		\item $G$ hat eine Normalreihe mit zyklischen Faktoren.
 		\item $G$ hat eine Normalreihe mit abelschen Faktoren.
 		\item $G$ hat eine Normalreihe mit auflösbaren Faktoren.
 	\end{enumerate}
 \end{proposition}
-
 \begin{proof}
 		\begin{itemize}
-			\item 1. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 3. $\xRightarrow{\propref{1_10_6}}$ 4.
-			\item 4. $\Rightarrow$ 1.: Induktion über die Länge der Normalreihe mit \propref{1_10_7}
+			\item (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) $\xRightarrow{\propref{1_10_6}}$ (d)
+			\item (d) $\Rightarrow$ (a): Induktion über die Länge der Normalreihe mit \propref{1_10_7}
 		\end{itemize}
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Kommutator, Kommutatoruntergruppe]
 	Seien $x,y \in G$, $H,K \leq G$.
-	\begin{enumerate}
+	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
 		\item $[x,y] := x^{-1}y^{-1}xy$, der \begriff{Kommutator} von $x$ und $y$
-		\item $[H,K] := \langle[h,k]\colon h \in H, k\in K\rangle$
-		\item $G^{'} := [G,G]$, die \begriff{Kommutatoruntergruppe} von $G$
+		\item $[H,K] := \langle[h,k]\mid h \in H, k\in K\rangle$
+		\item $G' := [G,G]$, die \begriff{Kommutatoruntergruppe} von $G$
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
 
@@ -130,29 +128,27 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 
 \begin{lemma}
 	\proplbl{1_10_11}
-	Ist $\phi: G \to H$ ein Epimorphismus, so ist $\phi(G^{'}) = H^{'}$.
+	Ist $\phi: G \to H$ ein Epimorphismus, so ist $\phi(G') = H'$.
 \end{lemma}
-
 \begin{proof}
 	Da $\phi([x,y]) = [\phi(x),\phi(y)]$ ist
 	\begin{align}
-	\phi(G^{'}) &= \phi(\langle\{ [x,y] \mid x,y \in H \}\rangle)\notag\\
-	&= \langle\phi([x,y] \mid x,y \in G) \rangle \notag\\
+	\phi(G') &= \phi(\langle\{ [x,y] \mid x,y \in H \}\rangle)\notag\\
+	&= \langle\phi(\{[x,y] \mid x,y \in G\}) \rangle \notag\\
 	&= \langle\{[\phi(x),\phi(y)] \mid x,y \in G\}\rangle\notag \\
-	&= \langle \{ [x,y] \mid x,y \in H \}\rangle = H^{'} \notag
+	&= \langle \{ [x,y] \mid x,y \in H \}\rangle = H' \notag
 	\end{align}
 \end{proof}
 
 \begin{lemma}
 	\proplbl{1_10_12}
-	$G^{'}$ ist der kleinste Normalteiler von $G$ mit $G/G^{'}$ abelsch.
+	$G'$ ist der kleinste Normalteiler von $G$ mit $\lnkset{G}{G'}$ abelsch.
 \end{lemma}
-
 \begin{proof}
 	\begin{itemize}
-		\item $G^{'}$ ist charakteristisch $\Rightarrow G^{'} \unlhd G$
-		\item $\lnkset{G}{G^{'}} = \pi_{G^{'}} (G) \xRightarrow{\propref{1_10_11}} (\lnkset{G}{G^{'}})^{'} = \pi_{G^{'}}(G^{'}) = 1 \Rightarrow [x,y] = 1$ für alle $x,y \in \lnkset{G}{G^{'}}$, d.h. $\lnkset{G}{G^{'}}$ ist abelsch
-		\item Sei $N \unlhd G$ mit $\lnkset{G}{N}$ abelsch $\Rightarrow \pi_{N}(G^{'}) \overset{\propref{1_10_11}}{=} (\lnkset{G}{N})^{'} = 1 \Rightarrow G^{'} \leq \ker(\pi_{N}) = N$, d.h. $G^{'}$ ist der kleinste Normalteiler.
+		\item $G'$ ist charakteristisch $\Rightarrow G' \unlhd G$
+		\item $\lnkset{G}{G'} = \pi_{G'} (G) \xRightarrow{\propref{1_10_11}} (\lnkset{G}{G'})' = \pi_{G'}(G') = 1 \Rightarrow [x,y] = 1$ für alle $x,y \in \lnkset{G}{G'}$, das heißt $\lnkset{G}{G'}$ ist abelsch
+		\item Sei $N \unlhd G$ mit $\lnkset{G}{N}$ abelsch $\Rightarrow \pi_{N}(G') \overset{\propref{1_10_11}}{=} (\lnkset{G}{N})' = 1 \Rightarrow G' \leq \Ker(\pi_{N}) = N$, das heißt $G'$ ist der kleinste Normalteiler.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
@@ -161,29 +157,27 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 	\begin{align}
 	G = G^{(0)} \geq G^{(1)} \geq \dots\notag
 	\end{align}
-	induktiv durch $G^{(0)} = G$ und $G^{(n+1)} = (G^{(n)})^{'}$.
+	induktiv durch $G^{(0)} = G$ und $G^{(n+1)} = (G^{(n)})'$.
 \end{definition}
 
 \begin{proposition}
 	\proplbl{1_10_14}
-	Ist $G = G_0 \gneq G_1 \gneq \dots \gneq G_n$ eine Normalreihe mit abelschen Faktoren (wir fordern ausnahmsweise nicht, dass $G_n = 1$), so ist $G^{(i)} \geq G$ für alle $i \leq n$. Insbesondere ist $G$ genau dann auflösbar, wenn $G^{(n)} = 1$ für ein $n$.
+	Ist $G_n \properideal \dots \properideal G_1 \properideal G_0 = G$ eine Normalreihe mit abelschen Faktoren (wir fordern ausnahmsweise nicht, dass $G_n = 1$), so ist $G^{(i)} \le G_i$ für alle $i \leq n$. Insbesondere ist $G$ genau dann auflösbar, wenn $G^{(n)} = 1$ für ein $n$.
 \end{proposition}
 
 \begin{proof}
-	Induktion über $n$!
+	Induktion über $n$
+	\emph{$n = 0$:} klar
+	\emph{$n-1 \to n$:} Nach Induktionshypothese ist $G^{(n-1)} \leq G_{n-1}$, $\lnkset{G_{n-1}}{G_n}$ abelsch $\Rightarrow G^{(n)} = (G^{(n-1)})' \leq (G_{n-1})' \overset{\propref{1_10_12}}{\leq} G_n$.\\
+	Für den "'Insbesondere"'-Fall gilt:
 	\begin{itemize}
-		\item \textbf{$n = 0$:} klar
-		\item \textbf{$n-1 \to n$:} Nach Induktionshypothese ist $G^{(n-1)} \leq G_{n-1}$, $\lnkset{G_{n-1}}{G_n}$ abelsch $\Rightarrow G^{(n)} = (G^{(n-1)})^{'} \leq (G_{n-1})^{'} \overset{\propref{1_10_12}}{\leq} G_n$.\\
-		insbesondere
-		\begin{itemize}
-			\item $\Rightarrow$: Kompostiionsreihe $G = G_0 > G_1 > \dots G_n$ ist NR mit abelschen Faktoren $\Rightarrow G^{(n)} \leq G_n = 1 \Rightarrow G^{(n)} = 1$
-			\item $\Leftarrow$: $G = G^{(0)} > G^{(1)} > \dots > G^{(n)} = 1$ mit $n$ minimal ist Normalreihe mit abelschen Faktoren $\xRightarrow{\propref{1_10_8}} G$ ist auflösbar.
-		\end{itemize}
+		\item Hinrichtung: Kompositionsreihe $G = G_0 > G_1 > \dots G_n$ ist Normalreihe mit abelschen Faktoren $\Rightarrow G^{(n)} \leq G_n = 1 \Rightarrow G^{(n)} = 1$
+		\item Rückrichtung: $G = G^{(0)} > G^{(1)} > \dots > G^{(n)} = 1$ mit $n$ minimal ist Normalreihe mit abelschen Faktoren $\xRightarrow{\propref{1_10_8}} G$ ist auflösbar.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
-	Ist $G$ auflösbar und $H \geq G$, so ist auch $H$ auflösbar.
+	Ist $G$ auflösbar und $H \leq G$, so ist auch $H$ auflösbar.
 \end{conclusion}
 
 \begin{proof}
@@ -198,6 +192,6 @@ Sei $G$ eine endliche Gruppe.
 	Es gelten die folgenden tiefen Sätze:
 	\begin{itemize}
 		\item Satz von \person{Burnside}: Ist $\#G = p^{a}q^{b}$ mit $p,q$ prim, so ist $G$ auflösbar.
-		\item Satz von \person{Feit}-\person{Thompson}: Ist $\#G$ ungerade, so ist $G$ auflösbar.
+		\item Satz von \person{Feit-Thompson}: Ist $\#G$ ungerade, so ist $G$ auflösbar.
 	\end{itemize}
 \end{remark}