From 50134ede867e7ac47b9cc0a8d49bd2e8f8369720 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: henrydatei Date: Fri, 20 Apr 2018 12:45:31 +0200 Subject: [PATCH] VL LAAG 20.4. --- .../LAAG/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex | 76 +++++++++++++++++++ .../LAAG/TeX_files/Trigonalisierbarkeit.tex | 10 ++- 2. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex | 1 + README.md | 4 +- 4 files changed, 88 insertions(+), 3 deletions(-) create mode 100644 2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex diff --git a/2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex b/2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex new file mode 100644 index 0000000..9aafaee --- /dev/null +++ b/2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_Minimalpolynom.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +\section{Das Minimalpolynom} + +\begin{definition} + Für ein Polynom $P(t)=\sum\limits_{i=0}^n c_it^i\in K[t]$ definieren wir $P(f)=\sum\limits_{i=0}^m c_if^i\in\End_K(V)$, wobei $f^0=\id_V$, $f^1=f$, $f^2=f\circ f$, ... + + Analog definiert man $P(A)$ für $A\in\Mat_n(K)$. +\end{definition} + +\begin{remark} + Die Abbildung $\quad\begin{cases}K[t]\to \End_K(V)\\ P\mapsto P(f)\end{cases}$ ist ein Homomorphismus von $K$-VR und Ringen. Sein Kern ist das Ideal + \begin{align} + \mathcal{I}_f:=\{P\in K[t]\mid P(f)=0\}\notag + \end{align} + und sein Bild ist der kommutative Unterring + \begin{align} + K[f]:&=\{P(f)\mid P\in K[t]\}\notag \\ + &= \Span_K(f^0,f^1,f^2,...)\notag + \end{align} + des (im Allgemeinen nicht kommutativen) Rings $\End_K(V)$. + + Analog definiert man $\mathcal{I}_A$ und $K[A]\le \Mat_n(K)$. +\end{remark} + +\begin{lemma} + \proplbl{lemma_5_3} + $\mathcal{I}_f\neq\{0\}$ +\end{lemma} +\begin{proof} + Wäre $\mathcal{I}_f=\{0\}$, so wäre $K[t]\to \End_K(V)$ injektiv, aber $\dim_K(K[t])= \infty>n^2=\dim_K(\End_K(V))$, ein Widerspruch. +\end{proof} + +\begin{proposition} + Es gibt ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom $0\neq P\in K[t]$ kleinsten Grades mit $P(f)=0$. Dieses teilt jedes $Q\in K[t]$ mit $Q(f)=0$. +\end{proposition} +\begin{proof} + Nach \propref{lemma_5_3} gibt es $0\neq P\in K[t]$ mit $P(f)=0$ von minimalem Grad $d$. Indem wir durch den Leitkoeffizienten von $P$ teilen, können wir annehmen, dass $P$ normiert ist. \\ + Sei $Q\in\mathcal{I}_f$. Polynomdivision liefert $R,H\in K[t]$ mit $Q=P\cdot H+R$ und $\deg(R)<\deg(P)=d$. Es folgt $R(f)=\underbrace{Q(f)}_{=0}-\underbrace{P(f)}_{=0}\cdot H(f)=0$. Aus der Minimalität von $d$ folgt $R=0$ und somit $P\vert Q$. \\ + Ist $Q$ zudem normiert vom Grad $d$, so ist $H=1$, also $Q=P$, was die Eindeutigkeit zeigt. +\end{proof} + +\begin{definition}[Minimalpolynom] + Das eindeutig bestimmte normierte Polynom $0\neq P\in K[t]$ kleinsten Grades mit $P(f)=0$ nennt man das \begriff{Minimalpolynom} $P_f$ von $f$. + + Analog definiert man das Minimalpolynom $P_A\in K[t]$ einer Matrix $A\in\Mat_n(K)$. +\end{definition} + +\begin{example} + \begin{enumerate} + \item $A=\mathbbm{1}_n$, $\chi_A(t)=(t-1)^n$, $P_A(t)=t-1$ + \item $A=0$, $\chi_A(t)=t^n$, $P_A(t)=t$ + \item Ist $A=\diag(a_1,...,a_n)$ mit paarweise verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1,...,\lambda_r$, so ist $\chi_A(t)=\prod\limits_{i=1}^n (t-a_i)=\prod\limits_{i=1}^n (t-\lambda_i)^{\mu_a(f_A,\lambda_i)}$, $P_A(t)=\prod\limits_{i=1}^r (t-\lambda_i)$ und es folgt $\deg(P_A)\ge \vert \{a_1,...,a_n\}\vert=r$. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{definition}[$f$-zyklisch] + Ein $f$-invarianter UVR $W\le V$ heißt $f$-\begriff{zyklisch}, wenn es ein $x\in W$ mit $W=\Span_K(x,f(x),f^2(x),...)$ gibt. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Sei $x\in V$ und $x_i=f(x)$. Es gibt ein kleinstes $k$ mit $x_k\in\Span_K(x_0,x_1,...,x_{k-1})$, und $W=\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$ ein $f$-zyklischer UVR von $V$ mit Basis $B=(x_0,...,x_{k-1})$ und $M_B(f\vert_W)=M_{\chi_{f\vert_W}}$. +\end{lemma} +\begin{proof} + Da $\dim_K(V)=n$ ist $(x_0,...,x_n)$ linear abhängig, es gibt also ein kleinstes $k$ mit $(x_0,...,x_{k-1})$ linear unabhängig, aber $(x_0,...,x_k)$ linear abhängig, folglich $x_k\in\Span_K(x_0,...,x_{k-1})$. Mit $x_k=f(x_{k-1})=\sum\limits_{i=0}^{k-1}-c_ix_i$ ist dann + \begin{align} + M_B(f\vert_W)=\begin{pmatrix}0&...&...&...&0&-c_0\\ + 1&\ddots&\;&\;&\vdots&\vdots\\ + 0&\ddots&\ddots&\;&\vdots&\vdots\\ + \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ + 0&...&0&1&0&-c_{k-1}\end{pmatrix}\notag + \end{align}, + somit $\chi_{f\vert_W}=t^k+\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_it^i$, also $M_B(f\vert_W)=M_{\chi_{f\vert_W}}$ +\end{proof} + +\begin{theorem}[Satz von \person{Cayley-Hamiltion}] + Für $f\in\End_K(V)$ ist $\chi_f(f)=0$. +\end{theorem} \ No newline at end of file diff --git a/2. Semester/LAAG/TeX_files/Trigonalisierbarkeit.tex b/2. Semester/LAAG/TeX_files/Trigonalisierbarkeit.tex index 645c273..84c2c6d 100644 --- a/2. Semester/LAAG/TeX_files/Trigonalisierbarkeit.tex +++ b/2. Semester/LAAG/TeX_files/Trigonalisierbarkeit.tex @@ -49,7 +49,7 @@ A=\begin{pmatrix}A_0&*\\0&C\end{pmatrix}\quad C\in\Mat_{n-r}(K)\notag \end{align} folglich $\chi_f=\chi_A=\chi_{A_0}\cdot \chi_C$, insbesondere $\chi_{f\vert_W}\vert\chi_f$.\\ - Ist auch $U=\Span_K(X_{r+1},...,x_n)$ $f$-invariant, so ist + Ist auch $U=\Span_K(x_{r+1},...,x_n)$ $f$-invariant, so ist \begin{align} A=\begin{pmatrix}A_0&0\\0&C\end{pmatrix}\notag \end{align} @@ -67,8 +67,14 @@ \begin{align} \Rightarrow M_B(f)&=\begin{pmatrix}\lambda_1&*\\0&A_2\end{pmatrix}\quad A_2\in\Mat_{n-1}(K)\notag\\ \chi_f(t)&=\chi_{\lambda_1\mathbbm{1}_1}\cdot \chi_{A_2}=(t-\lambda_1)\cdot\chi_{A_2}(t)\notag \\ - \overset{\propref{lemma_3_7}}{\Rightarrow} \chi_{A_2}&=\prod\limits_{i=2}^n(t-\lambda_i)\notag + \overset{\propref{lemma_3_7}}{\Rightarrow} \chi_{A_2}(t)&=\prod\limits_{i=2}^n(t-\lambda_i)\notag \end{align} + Seien $\pi_1,\pi_2\in\End_K(V)$ gegeben durch $M_B(\pi_1)=\diag(1,0,...,0)$ und $M_B(\pi_2)=\diag(0,1,...,1)$. Dann ist $\pi_1+\pi_2=\id_V$ und $f_i=\pi_1\circ f$ ist $f=\id_V\circ f=f_1+f_2$ und $f_2\vert_{V_2}\in\End_K(V_2)$. Nach Induktionshypothese ist $f_2\vert_{V_2}$ trigonalisierbar, da $M_B(f_2\vert_{V_2})=A_2$, also $\chi_{f_2\vert_{V_2}}=\chi_{A_2}$. Dies bedeutet, es gibt also eine Basis $B'_2=(x'_2,...,x'_n)$ von $V_2$, für die $M_{B'_2}(f_2\vert_{V_2})$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Somit ist für $B'=(x_1,x'_2,...,x'_n)$ auch + \begin{align} + M_{B'}(f)&=M_{B'}(f_1)+M_{B'}(f_2)\notag \\ + &= \begin{pmatrix}\lambda_1&*\\0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&0\\0&M_{B'_2}(f_2\vert_{V_2})\end{pmatrix}\notag + \end{align} + eine obere Dreiecksmatrix. \end{proof} \begin{conclusion} diff --git a/2. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex b/2. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex index 6dae195..32e13fa 100644 --- a/2. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex +++ b/2. Semester/LAAG/Vorlesung LAAG.tex @@ -554,6 +554,7 @@ \include{./TeX_files/Das_charakteristische_Polynom} \include{./TeX_files/Diagonalisierbarkeit} \include{./TeX_files/Trigonalisierbarkeit} +\include{./TeX_files/Das_Minimalpolynom} \chapter{Skalarprodukte} \input{./TeX_files/chapter3} diff --git a/README.md b/README.md index 554e206..ccbb473 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -48,7 +48,9 @@ Tafel-Bilder gibt es [hier](http://protagon.space/AnagBilder.pdf). 3. Diagonalisierbarkeit ... fertig - 4. Trigonalisierbarkeit ... wird bearbeitet + 4. Trigonalisierbarkeit ... fertig + + 5. Das Minimalpolynom ... wird bearbeitet 2. Skalarprodukte ... noch nicht bearbeitet