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@ -14,6 +14,66 @@ Zur Abkürzung bezeichne $\Delta$ eine Zerlegung des Intervall $[a,b]$ durch die
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Folglich ist ein Polynomspline $s\in\mathcal{S}^l_m(\Delta)$ auf jedem der Teilintervall $[x_k,x_{k+1}]$ ein Polynom vom Höchstgrad $m$. Außerdem ist $s\in\mathcal{S}^l_m(\Delta)$ in allen Punkten $x\in[a,b]$ (also auch in den Stützstellen) $l$-mal stetig differenzierbar. $\mathcal{S}^l_m(\Delta)$ ist mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Vektorraum. Speziell ist $\mathcal{S}^0_1(\Delta)$ die Menge aller stetigen stückweise affin linearen Funktionen.
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\end{definition}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\draw[->] (0,0) -- (5,0);
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\draw[->] (0,0) -- (0,3);
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\draw (0,0.1) -- (0,-0.1);
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\draw (1,0.1) -- (1,-0.1);
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\draw (2.5,0.1) -- (2.5,-0.1);
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\draw (3,0.1) -- (3,-0.1);
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\draw (5,0.1) -- (5,-0.1);
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\node at (0,-0.4) (a) {$x_0$};
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\node at (1,-0.4) (b) {$x_1$};
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\node at (2.5,-0.4) (c) {$x_2$};
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\node at (3,-0.4) (d) {$x_3$};
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\node at (5,-0.4) (e) {$x_4$};
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\draw[fill=black] (0,1) circle (0.05);
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\draw[fill=black] (1,2) circle (0.05);
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\draw[fill=black] (2.5,0.5) circle (0.05);
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\draw[fill=black] (3,1) circle (0.05);
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\draw[fill=black] (5,1) circle (0.05);
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\draw (0,1) -- (1,2);
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\draw (1,2) -- (2.5,0.5);
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\draw (2.5,0.5) -- (3,1);
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\draw (3,1) -- (5,1);
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\node at (4.5,3) (l) {$m=1$};
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\node at (4.5,2.5) (l) {$l=0$};
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\draw[->] (6,0) -- (11,0);
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\draw[->] (6,0) -- (6,3);
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\draw (6,0.1) -- (6,-0.1);
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\draw (7,0.1) -- (7,-0.1);
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\draw (8.5,0.1) -- (8.5,-0.1);
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\draw (9,0.1) -- (9,-0.1);
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\draw (11,0.1) -- (11,-0.1);
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\node at (6,-0.4) (a) {$x_0$};
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\node at (7,-0.4) (b) {$x_1$};
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\node at (8.5,-0.4) (c) {$x_2$};
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\node at (9,-0.4) (d) {$x_3$};
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\node at (11,-0.4) (e) {$x_4$};
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\draw[fill=black] (6,1) circle (0.05);
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\draw[fill=black] (7,2) circle (0.05);
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\draw[fill=black] (8.5,0.5) circle (0.05);
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\draw[fill=black] (9,1) circle (0.05);
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\draw[fill=black] (11,1) circle (0.05);
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\coordinate (X0) at (6,1);
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\coordinate (X1) at (7,2);
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\coordinate (X2) at (8.5,0.5);
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\coordinate (X3) at (9,1);
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||||
\coordinate (X4) at (11,1);
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\draw[smooth] plot coordinates {(X0) (X1) (X2) (X3) (X4)};
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\node at (10.5,3) (l) {$m\ge 3$};
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||||
\node at (10.5,2.5) (l) {$l\ge 1$};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\subsection{Interpolation durch kubische Polynomsplines}
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Gegeben sei eine Zerlegung $\Delta$ und die Stützwerte $f_0,...,f_n$. Gesucht ist eine Funktion $s\in\mathcal{S}^l_3(\Delta)$ mit $l=1,2$ derart, dass
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@ -68,4 +128,178 @@ Damit ergeben sich $a_k$ und $b_k$ als eindeutige Lösung für das lineare Gleic
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m_{k+1}-m_k
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\end{pmatrix}
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\end{align}
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Die Determinante ist $-h_k^4\neq 0$.
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Die Determinante ist $-h_k^4\neq 0$.
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\begin{proposition}
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Sei eine Zerlegung $\Delta$ des Intervalls $[a,b]$ gegeben. Dann gibt es für beliebig gewählte reelle Zahlen $f_0,...,f_n$ und $m_0,...,m_n$ einen Interpolationsspline $s\in\mathcal{S}^1_3(\Delta)$, der den Interpolationsbedingungen
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\begin{align}
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s'(x_0)=m_0,...,s'(x_n)=m_n\notag
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\end{align}
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genügt. Außerdem gilt:
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\begin{align}
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s\vert_{[x_k,x_{k+1}]}=s_k\quad\text{für } k=0,...,n-1\notag
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\end{align}
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mit $s_k$ entsprechend \cref{1.7}, wobei sich $a_k,b_k,c_k,d_k$ aus \cref{1.9} und \cref{1.10} ergeben.
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\end{proposition}
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Für die Wahl der $m_k$ gibt es verschiedene Möglichkeiten, zum Beispiel:
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\begin{itemize}
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\item Falls Ableitungswerte der zu interpolierenden Funktion $f$ bekannt sind, kann man $m_k=f'(x_k)$ setzen.
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||||
\item Man wählt $m_0,...,m_n$ so, dass $s$ zweimal stetig differenzierbar ist, das heißt $s\in\mathcal{S}^2_3(\Delta)$ statt $s\in\mathcal{S}^1_3(\Delta)$ gilt.
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\end{itemize}
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\subsection{Interpolation mit kubischen $C^2$-Splines}
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Damit ein kubischer Interpolationsspline $s$ zu $\mathcal{S}^2_3(\Delta)$ gehört, muss neben den Forderungen in \cref{1.8} die Stetigkeit von $s''$ an den Stützstellen $x_1,...,x_{n-1}$ gewährleistet sein. Also hat man zusätzliche Bedingungen
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\begin{align}
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s''_k(x_{k+1})=s''_{k+1}(x_{k+1})\quad\text{für } k=0,...,n-2\notag
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\end{align}
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Mit \cref{1.7} ergibt sich $s''(x)=6a_k(x-x_0)+2b_k$ für $x\in[x_k,x_{k+1}]$ und damit $s''_k(x_{k+1}) = 6a_kh_k+2b_k$ und $s''_{k+1}(x_{k+1})=2b_{k+1}$, also
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\begin{align}
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\label{1.11}
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3a_kh_k+b_k=b_{k+1}\quad\text{für }k=0,...,n-2
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\end{align}
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Aus \cref{1.10} folgt
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\begin{align}
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a_k &= \frac{-2}{h_k^2}(f_{k+1}-f_k)+\frac{1}{h_k^2}(m_k+m_{k+1}) \notag \\
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b_k &= \frac{3}{h_k^2}(f_{k+1}-f_k)-\frac{1}{h_k}(2m_k+m_{k+1})\notag
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\end{align}
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für $k=0,...,n-1$. Wegen \cref{1.11} erhält man für $k=0,...,n-2$
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\begin{align}
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& \frac{-6}{h_k^2}(f_{k+1}-f_k) + \frac{3}{h_k}(m_k+m_{k+1}) + \frac{3}{h_k^2}(f_{k+1}-f_k) - \frac{1}{h_k}(2m_k+m_{k+1}) \notag \\
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||||
&= \frac{-6}{h^2_{k+1}}(f_{k+2}-f_{k+1})-\frac{1}{h_{k+1}}(2m_{k+1}+m_{k+2})\notag
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\end{align}
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Damit folgt
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\begin{align}
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\frac{1}{h_k}(m_k+2m_{k+1}) + \frac{1}{h_{k+1}}(2m_{k+1}+m_{k+2}) &= \frac{3}{h_k^2}(f_{k+1}-f_k) + \frac{3}{h_{k+1}^2}(f_{k+2}-f_{k+1})\notag \\
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\text{bzw.}\quad h_{k+1}m_k + 2(h_{k+1}+h_k)m_{k+1}+h_km_{k+2} &= \frac{3h_{k+1}}{h_k}(f_{k+1}-f_k) + \frac{3h_k}{h_{k+1}}(f_{k+2}-f_{k+1})\notag
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||||
\end{align}
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Also müssen die $n+1$ Zahlen $m_0,...,m_n$ den $n-1$ Gleichungen des linearen Gleichungssystems
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\begin{align}
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\begin{pmatrix}
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\lambda_0 & 2 & \mu_0 & & & \\
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& \lambda_1 & 2 & \mu_1 & & \\
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& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
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& & & \lambda_{n-2} & 2 & \mu_{n-2}
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\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
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m_0 \\ m_1 \\ \vdots \\ m_n
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\end{pmatrix}
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= \begin{pmatrix}
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r_0 \\ r_1 \\ \vdots \\ r_{n-2}
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\end{pmatrix}\notag
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\end{align}
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genügen, wobei $\lambda_k,\mu_k,r_k$ durch
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\begin{align}
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\lambda_k &= \frac{h_{k+1}}{h_k+h_{k+1}} \notag \\
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\mu_k &= \frac{h_k}{h_k + h_{k+1}}\notag \\
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||||
r_k &= \frac{3h_{k+1}}{h_k(h_k+h_{k+1})}(f_{k+1}-f_k) + \frac{3h_k}{h_{k+1}(h_k+h_{k+1})}(f_{k+2} - f_{k+1})\notag
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\end{align}
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für $k=0,...,n-2$ gegeben sind. Die Systemmatrix und die erweiterte Systemmatrix haben den Rang $n-1$. Somit ist das Gleichungssystem lösbar, besitzt aber keine eindeutige Lösung. Um solche zu erhalten, kann man zusätzliche Bedingungen stellen, etwa
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item \textbf{natürliche Randbedingungen:}
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\begin{align}
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\label{1.12}
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s''(x_0) = s''(x_n)=0
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\end{align}
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Diese sind gleichbedeutend mit
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\begin{align}
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s''_0(x_0)=6a_0(x-x_0)+2b_0=0\quad\text{und}\quad s''_{n-1}(x_n)=6a_{n-1}(x_n-x_{n-1})+2b_{n-1}=0\notag
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\end{align}
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Also folgt
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\begin{align}
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b_0=0\quad\text{und}\quad 3a_{n-1}h_{n-1} + b_{n-1}=0\notag
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\end{align}
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Nutzt man noch die Darstellung für $b_0$ sowie für $a_{n-1}$ und $b_{n-1}$, so folgt
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\begin{align}
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2m_0+m_1 = \frac{3}{h_0}(f_1-f_0) \quad\text{und}\quad m_{n-1}+2m_n=\frac{3}{h_{n-1}}(f_n-f_{n-1})\notag
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\end{align}
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Fügt man beide Gleichungen geeignet zum obigen System hinzu, erhält man ein lineares Gleichungssystem mit einer regulären trigonales Systemmatrix. Dieses kann in $\mathcal{O}(n)$ Operationen gelöst werden.
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\item \textbf{Vollständige Randbedingungen:} Sind $f'(a)$ und $f'(b)$ bekannt, dann können die zusätzlichen Bedingungen
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\begin{align}
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s'(x_0)=f'(a)\quad\text{und}\quad s'(x_n)=f'(b)
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\end{align}
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mittels $m_0=f'(a)$ und $m_n=f'(b)$ geeignet in das Gleichungssystem eingefügt werden, so dass man analog zu Fall (a) eine trigonale reguläre Systemmatrix erhält.
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\item \textbf{Periodische Spline-Interpolation:} Falls
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\begin{align}
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\label{1.14}
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f'(a)=f'(b)
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\end{align}
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und $f''(a)=f''(b)$ gilt, dann sind
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\begin{align}
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\label{1.15}
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s'(x_0)=s'(x_n)\quad\text{und}\quad s''(x_0)=s''(x_n)
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\end{align}
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sinnvolle Randbedingungen, woraus sich zwei zusätzliche lineare Gleichungen zur Ergänzung des Gleichungssystems ableiten lassen.
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\item (nicht in der Vorlesung) \textbf{Not-in-knot Bedingung:} Es soll zusätzlich
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\begin{align}
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s'''_0(x_1)=s'''_1(x_1) \quad\text{und}\quad s'''_{n-2}(x_{n-1})=s'''_{n-1}(x_{n-1})\notag
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\end{align}
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gelten, das heißt $s$ ist auf $[x_0,x_2]$ und auf $[x_{n-2},x_n]$ ein Polynom dritten Grades. Man erhält daraus die Forderungen $a_0=a_1$ und $a_{n-2}=a_{n-1}$, woraus sich zusätzliche Gleichungen in den Variablen $m_0,m_1,m_2$ und $m_{n-2},m_{n-1},m_n$ ergeben.
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\end{enumerate}
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\subsection{Eine Minimaleigenschaft kubischer $C^2$-Interpolationssplines}
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Durch
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\begin{align}
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\skalar{f}{g}:= \int_a^b f(x)g(x)\diff x\quad\text{bzw.}\quad\Vert g\Vert_2:=\sqrt{\int_a^b g(x)^2\diff x} \quad\text{ für } f,g\in L^2[a,b]\notag
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\end{align}
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ist ein Skalarprodukt bzw. eine Norm in $L^2[a,b]$ definiert.
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\begin{proposition}
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\proplbl{satz_1_6}
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Seien $f\in C^2[a,b]$, $\Delta$ eine Zerlegung von $[a,b]$ und $f_k:=f(x_k)$ für $k=0,...,n$. Für einen Interpolationsspline $s\in\mathcal{S}^2_3(\Delta)$, der die natürlichen, vollständigen oder periodischen Randbedingungen (bei letzteren gelte \cref{1.14}) erfüllt, gilt:
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\begin{align}
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\Vert s''\Vert^2_2 = \Vert f''\Vert_2^2 - \Vert f''-s''\Vert_2^2 \le \Vert f''\Vert_2^2
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\end{align}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Durch Nachrechnen sieht man
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\begin{align}
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\int_a^b (f''(x))^2\diff x-\int_a^b (f''(x)-s''(x))^2\diff x = \int_a^b (s''(x))^2\diff x + 2\int_a^b (f''(x)-s''(x))s''(x)\diff x \notag
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\end{align}
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Es wird nun $J:=\int_a^b (f''(x)-s''(x))s''(x)\diff x=0$ gezeigt. Mit Hilfe partieller Integration folgt
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\begin{align}
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J=(f'(x)-s'(x))s''(x)\vert_a^b - \int_a^b (f'(x)-s'(x))s'''(x)\diff x\notag
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\end{align}
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wobei $s'''$ auf jedem Teilintervall $[x_k,x_{k+1}]$ konstant ist. Dies ergibt wegen \cref{1.6}
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\begin{align}
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\int_a^b (f'(x)-s'(x))s'''(x)\diff x &= \sum_{k=0}^{n-1} s'''(x_k+\frac{h_k}{2})\int_{x_k}^{x_{x+1}}(f'(x)-s'(x))\diff x \notag \\
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||||
&= \sum_{k=0}^{n-1} s'''(x_k+\frac{h_k}{2})(f(x_{k+1})-s(x_{k+1})-f(x_k)+s(x_k)) \notag \\
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||||
&= 0 \notag
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\end{align}
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||||
und damit
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\begin{align}
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J=(f'(x)-s'(x))s''(x)\vert_a^b = (f'(b)-s'(b))s''(b)-(f'(a)-s'(a))s''(a)\notag
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||||
\end{align}
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||||
Nutzt man nun noch \cref{1.12}, \cref{1.13} bzw. \cref{1.14} mit \cref{1.15}, so folgt $J=0$.
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\end{proof}
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\subsection{Interpolationsfehler bei kubischer $C^2$-Interpolation}
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\begin{proposition}
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Seien $f\in C^2[a,b]$, $\Delta$ eine Zerlegung von $[a,b]$ und $f_k:=f(x_k)$ für $k=0,...,n$. Für einen Interpolationsspline $s\in\mathcal{S}^2_3(\Delta)$, der die natürlichen, vollständigen oder periodischen Randbedingungen (bei letzteren gelte \cref{1.14}) erfüllt, gilt:
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||||
\begin{align}
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||||
\Vert f-s\Vert_\infty \le \frac{1}{2}h^{\sfrac{3}{2}}\Vert f''\Vert_2\notag
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\end{align}
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||||
wobei $h:=\max\{h_0,...,h_{n-1}\}$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Die Funktion $r:=f-s$ hat wegen \cref{1.6} die $n+1$ Nullstellen $x_0,...,x_n$. Der maximale Abstand benachbarter Nullstellen ist $h$. Nach dem Satz von Rolle besitzt $r'$ mindestens $n$ Nullstellen. Der Abstand zweier Nullstellen von $r'$ ist durch $2h$ nach oben beschränkt. Sei $z\in [a,b]$ so gewählt, dass $\vert r'(z)\vert=\Vert r'\Vert_\infty$. Dann gilt $\vert z-z^0\vert\le h$ für die $z$ am nächsten liegende Nullstelle $z^0$ von $r'$. O.B.d.A. sei $z^0\le z$. Mit der \person{Cauchy-Scharz}-Ungleichung folgt:
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||||
\begin{align}
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\Vert r'\Vert_\infty^2 &= \vert r'(z)-r'(z^0)\vert^2 \notag \\
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\label{1.16}
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&= \left|\int_{z^0}^z r''(x)\cdot 1\diff x\right|^2 \\
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||||
&\le \int_{z^0}^z r''(x)^2\diff x\cdot \int_{z^0}^z 1^2\diff x\notag \\
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||||
&\le h\Vert r''\Vert_2^2\notag
|
||||
\end{align}
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||||
Sei nun $y\in[a,b]$ so gewählt, dass $\vert r(y)\vert=\Vert r\\Vert_\infty$. Dann gilt $\vert y-y_0\vert\le \sfrac{h}{2}$ für die $y$ am nächsten liegende Nullstelle $y^0$ von $r$. O.B.d.A. sei $y^0\le y$. Mit \cref{1.16} ergibt sich
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||||
\begin{align}
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||||
\Vert r\Vert_\infty = \vert r(y)-r(y^0)\vert=\left|\int_{y^0}^y r'(x)\diff x\right|\le\max\vert r'(x)\vert\cdot \int_{y^0}^y \diff x\le \frac{1}{2}\Vert r'\Vert_\infty\le \frac{1}{2}h^{\sfrac{3}{2}}\Vert r''\Vert_2\notag
|
||||
\end{align}
|
||||
Mit \propref{satz_1_6} hat man $\Vert r''\Vert_2\le \Vert f\Vert_2$ und damit die Behauptung.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{remark}
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Besitzt $f$ eine höhere Glattheit, so kann die obige Fehlerschranke bezüglich der $h$-Potenz verbessert werden. Es lassen sich ferner Abschätzungen für $\Vert f'-s'\Vert_\infty$ und $\Vert f''-s''\Vert_\infty$ herleiten.
|
||||
\end{remark}
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||||
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