From 3f87d8bde37f7abfa1631548f4774e29831255de Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: epsilonbelowzero Date: Sun, 14 Oct 2018 22:56:29 +0200 Subject: [PATCH] dgeo-lectures, added new environments (repetition, plainEnvironment), fixed bug (section-numbering-reset at new chapter) --- 6. Semester/DGEO/TeX_files/Kurven.tex | 239 +++++++++++++++++++++++++ 6. Semester/DGEO/TeX_files/Vorwort.tex | 0 6. Semester/DGEO/Vorlesung DGEO.tex | 45 +++++ cwl/mathscript.cwl | 4 + 4 files changed, 288 insertions(+) create mode 100644 6. Semester/DGEO/TeX_files/Kurven.tex create mode 100644 6. Semester/DGEO/TeX_files/Vorwort.tex create mode 100644 6. Semester/DGEO/Vorlesung DGEO.tex diff --git a/6. Semester/DGEO/TeX_files/Kurven.tex b/6. Semester/DGEO/TeX_files/Kurven.tex new file mode 100644 index 0000000..ff5f68a --- /dev/null +++ b/6. Semester/DGEO/TeX_files/Kurven.tex @@ -0,0 +1,239 @@ +\section{Kurven} + +\begin{underlinedenvironment}[Konvention] + Die Abbildung $\phi\!:U\subset\mathbb{R}^n\to V\subset\mathbb{R}^m$, $U$ und $V$ offen oder abgeschlossen, sind implizit \begriff{glatt} (d.h. $\in C^\infty$) vorausgesetzt, wenn nicht anders bestimmt. + + Bei abgeschlossenen Mengen sind diese Abbildungen glatt auf einer Umgebung von $U$. +\end{underlinedenvironment} + +\begin{definition} + Wenn $U$, $V\subset\mathbb{R}^n$, dann ist $f\!:U\to V$ \begriff{Diffeomorphismus}, wenn $f$ bijektiv ist und $f$, $f^{-1}\in C^\infty$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Eine (glatte) \begriff{Kurve} $\gamma\!: I\to \mathbb{R}^n$ ist eine glatte Abbildung. +\end{definition} + +\begin{example} + $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$, $t\in [0,2\pi)$, $\gamma:[0,2\pi)\to\mathbb{R}^2$ +\end{example} + +\section{Länge einer Kurve} +\begin{definition} + Sei $\gamma\!:I=[a,b]\to \mathbb{R}^n$ eine stetige Kurve. Dann \begin{align} + L(\gamma) := \sup \left\lbrace \left. \sum_{i=0}^{N-1} \Vert \gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_i) \Vert \;\right|\; a = t_0 \le t_1 \le t_2 \le \dotsc \le t_N = b,\; n\in\mathbb{N}\right\rbrace \in [0,\infty] + \end{align} + $L(\gamma)$ heißt \begriff{Länge} der Kurve $\gamma$. $\gamma$ heißt \begriff{rektifizierbar}, wenn $L(\gamma) < \infty$. +\end{definition} + +\begin{underlinedenvironment}[Bemerkung] + Wenn $\gamma\!:I\to\mathbb{R}^n$ stetige Kurve ist, wobei $I$ halboffen / offen ist, definiert man $L(\gamma)$ als Supremum der Längen über abgeschlossene Teilintervalle: \begin{align} + L(\gamma) := \sup\limits_{[a,b]\subset I} L\left(\left.\gamma_{\rule{0pt}{2mm}}\right|_{[a,b]}\right) + \end{align} +\end{underlinedenvironment} + +\begin{proposition} + Sei $\gamma:I\to\mathbb{R}^n$ glatte Kurve. Dann gilt: \begin{align} + L(\gamma) = \int_a^b \Vert \dot{\gamma}(t)\Vert\, \mathrm{d}t, \quad \dot{\gamma}(t) := \frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} + \end{align} +\end{proposition} + +\begin{underlinedenvironment}[Bemerkung] + Eigentlich reicht hier $C^1$. +\end{underlinedenvironment} + +\begin{repetition} + \begin{itemize} + \item Gleichmäßige Stetigkeit: + + Sei $f\!:D\subset X\to Y$, $X$, $Y$ metrische Räume, $D$ offen. $f$ ist gleichmäßig stetig auf $M\subset D$, falls \begin{align*} + \forall \epsilon > 0\;\exists \delta > 0: d\big( f(x), f(\tilde{x})\big) < \epsilon \quad\forall x, \tilde{x}\in M \text{ mit } d(x,\tilde{x}) < \delta + \end{align*} + \item Zwischenwertsatz: + + Sei $f\!:D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, $D$ offen, $f$ differenzierbar auf $D$ und seien $x$, $y\in D$ mit $[x,y]\subset D$. Dann \begin{align*} + \exists \xi \in (x,y): f(y) - f(x) = f'(\xi) \cdot (y - x), + \end{align*} + wobei $[x,y] := \{ x + t(y - x) \mid t\in [0,1]\}$ + \item Schrankensatz: + + Sei $f\!:D\subset K^n\to K^m$, $D$ offen, $f$ differenzierbar auf D. Seien $x,y\in D$, $[x,y]\subset D$. Dann: \begin{align*} + \exists \xi \in (x,y): \vert f(x) - f(y) \vert \le f'(\xi) (y - x) \le \Vert f'(\xi) \Vert \cdot \vert y - x\vert + \end{align*} + + \item Mittelwertsatz der Integralrechnung + + Sei $M\subset\mathbb{R}^n$ kompakt und zusammenhängend, und sei $f\!:M\to\mathbb{R}$ stetig \begin{align*} + \Rightarrow \exists \xi\in M: \int_M f\;\mathrm{d}x = f(\xi) \cdot \vert M \vert + \end{align*} + \end{itemize} +\end{repetition} + +\begin{proof}\hspace*{0pt} + \vspace*{\dimexpr-\baselineskip+1mm\relax} + \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] + \item Die Größe $\sum_{i=0}^N \Vert \gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_i)\Vert$, die in der Definition der Länge vorkommt, wird immer größer, wenn man die Zerlegung des Intervalls verfeinert, also Punkte hinzufügt (Dreiecksungleichung!) + \item Es reicht, anzunehmen, dass $I$ abgeschlossen ist, weil für offene / halboffene Intervalle $I$ beide Seiten gleich dem Suprema über abgeschlossene Teilintervalle ist + \item Für glatte Funktionen $\gamma\!: I=[c,d] \to \mathbb{R}^n$ gilt der Schrankensatz: \begin{align*} + \Vert \gamma(c) - \gamma(d) \Vert \le \left(\sup\limits_{t\in [c,d]} \Vert \dot{\gamma}(t)\right) \Vert \cdot (d-c) + \end{align*} + \end{enumerate} + Damit gilt: \begin{align*} + &\sum_{i=0}^{N-1} \Vert \gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_i)\Vert \le \sum_{i=0}^{N-1} \sup\limits_{[t_i, t_{i+1}]} \Vert \dot{\gamma})(t)\Vert \cdot ( t_{i+1} - t_i)\le \sup\limits_{t\in I=[a,b]} \Vert \dot{\gamma}(t) \Vert \cdot (b - a) \\ + \Rightarrow\;\;& L(\gamma) \le \sup\limits_{t\in[a,b]} \Vert \dot{\gamma}(t)\Vert \cdot (b- a) < \infty + \end{align*} + + Sei nun $\epsilon > 0$ beliebig, $a = t_0 < t_1 < \dotsc < t_N = b$ eine Zerlegung des Intervalls, so ist \begin{align*} + L(\gamma) - \sum_{i=0}^{N-1} \Vert \gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_i) \Vert < \epsilon + \end{align*} + Sei nun $\gamma(t) = \big(\gamma_j(t)\big)_{j=1}^n$, $\gamma_j\!:I\to\mathbb{R}$ eine $C^\infty$-Funktion, dann gibt es nach dem Mittelwertsatz $\forall i\in \{ 1,\dotsc, N \}$ ein $\tau^{(j)}_i\in [t_i, t_ {i+1}]$, sodass \begin{align*} + \gamma_j(t_{i+1}) - \gamma_j(t_i) = \dot{\gamma_j}\left(\tau_i^{(j)}\right)(t_{i+1} - t_i),\quad j=1,\dotsc, n. + \end{align*} + Auf der anderen Seite gilt nach dem dem Mittelwertsatz der Integralrechnung \begin{align*} + \exists \tilde{\tau}_i\in [t_{i},t_{i+1}]: \int_{t_i}^{t_{i+1}} \Vert \dot{\gamma}(t)\Vert \;\mathrm{d}t = \dot{\gamma}(\tilde{\tau}_i)\cdot(t_{i+1}-t_i) + \end{align*} + Es folgt: \begin{align*} + \int_{t_i}^{t_{i+1}} \Vert \dot{\gamma}(t)\Vert \;\mathrm{d}t - \Vert \gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_i) \Vert = (t_{i+1} - t_i) \underbrace{\left\lbrace \Vert \dot{\gamma}(\tilde{\tau}_i)\Vert - \sqrt{\sum_{j=1}^{N}\dot{\gamma}_j\left( \tau_i^{(j)}\right)} \right\rbrace}_{(\star)} + \end{align*} + Da $\gamma$ als glatt vorausgesetzt war, ist $j$ gleichmäßig stetig auf $I=[a,b]$, daher gilt: \begin{align} + \tag{\star\star} \forall \epsilon > 0\;\exists \delta > 0: [t_{i+1}-t_i] < \delta \Rightarrow \vert (\star)\vert < \epsilon + \end{align} + Wenn wir die Zerlegung des Intervalls verkleinern, sodass $\vert t_{i+1} - t_i\vert < \delta$ $\forall i$, dann gilt $(\star\star)$ (nach Bemerkung 1) am Anfang des Beweises) sowie $\vert (\star)\vert < \epsilon$ $\forall i=1,\dotsc, N$. Es folgt \begin{align*} + \left| \int_a^b \Vert \dot{\gamma}(t)\Vert \;\mathrm{d}t - L(\gamma)\right| &= \left| \sum_{i=0}^{N-1} \left( \int_{t_i}^{t_{i+1}} \Vert \dot{\gamma}(t)\Vert\;\mathrm{d}t - \Vert \gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_i)\Vert \right) + \sum_{i=1}^{N}\Vert \gamma(t_{i+1}) - \gamma(t_i)\Vert - L(\gamma) \right| \\ + &\le \sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1} - t_i)\cdot \epsilon + \epsilon = (b - a) \cdot \epsilon + \epsilon + \end{align*} + Da $\epsilon > 0$ beliebig war, folgt die Gleichheit. +\end{proof} + +\begin{underlinedenvironment}[Bemerkung] + Die Länge einer Kurve sollte eine geometrische Größe sein, d.h. sie sollte von der Parametrisierung nicht abhängen. + Umparametrisierung der Kurve: wenn $\gamma\!: I\to\mathbb{R}^n$ eine glatte Kurve ist, $\phi\!:I\subset\mathbb{R}\to J\subset\mathbb{R}$ eine glatte, bijektive Abbildung mit glattem $\phi^{-1}$ ist, dann ist auch $\tilde{\gamma}:= \gamma\circ\phi^{-1}$ auch eine glatte Kurve (sie heißt \begriff{Umparametrisierung} von $\gamma$ durch $\phi$). + + Intuitiv denkt man, dass die Eigenschaften von $\gamma$ und $\tilde{\gamma}$ gleich sein müssen -- bei $\tilde{\gamma}$ "`fließt die Zeit nur anders"'. + + Tatsächlich gilt: $L(\gamma) = L(\gamma\circ \phi^{-1})$ in obiger Situation. +\end{underlinedenvironment} +\begin{underlinedenvironment}[Bemerkung] + Für die Umparametrisierung findet sich: entweder ist $\phi' > 0$ oder $\phi' < 0$ auf dem Inneren von $I$. Ist $\phi' > 0$, so heißt $\phi$ \begriff{orientierungserhaltend}, sonst \begriff{orientierungsumkehrend}. +\end{underlinedenvironment} +\begin{plainenvironment}[Beobachtung] + Wenn $\dot{\gamma}(t_0) = 0$, $\phi\!:I\to J$ Umparametrisierung $\Rightarrow$ $(\gamma\circ\phi^{-1})\big(\phi(t_0)\big) = 0$ +\end{plainenvironment} + +\begin{definition} + Eine Kurve $\gamma\!:I\to\mathbb{R}^n$ heißt \begriff{regulär}, wenn $\dot{\gamma}(t) \neq 0$ $\forall t\in I$. +\end{definition} + +\begin{example}\hspace*{0pt} + \vspace*{\dimexpr-\baselineskip+1mm\relax} + \begin{enumerate}[label={\arabic*)}] + \item $\gamma(t) = (t^3, t^6)$, $t\in\mathbb{R}$. $\dot{\gamma}(0) = 0$ $\Rightarrow$ nicht regulär\\ + $\gamma_2(t) = (t, t^2)$ $\rightarrow$ regulär + \item $\gamma(t) = (t^2, t^6), t\in \mathbb{R}$, $\gamma(t) = (t^2, t^5)$ nicht regulär + \end{enumerate} +\end{example} +\begin{underlinedenvironment}[Bemerkung] + "`regulär"' ist eine echte Einschränkung, aber in der Praxis sind die meisten Kurven stückweise regulär +\end{underlinedenvironment} + +\begin{definition} + Eine Kurve $\gamma\!:I\to\mathbb{R}^n$ heißt \begriff{\person{Frechet}-regulär}, wenn $\forall t\in I$ die Vektoren \begin{align} + \dot{\gamma}(t),\;\ddot{\gamma}(t), \;\dotsc, \; \gamma^{(n-1)}(t) + \end{align} + linear unabhängig sind. +\end{definition} + +\begin{underlinedenvironment}[Bemerkung] + Für $n=2$ ist es einfach die Bedingung der Regularität. +\end{underlinedenvironment} + +Warum steht in der Definition $n-1$ anstannt $n$? Wir möchten eigentlich auf $\dot{\gamma}$, $\ddot{\gamma}$, $\dotsc$, $\gamma^{(n-1)}$ das \person{Gram}-\person{Schmidt}-Verfahren anwenden, aber so, dass die resultierende orthonormale Basis positiv orientiert ist bezüglich der Standardbasis $\mathcal{E}$ des $\mathbb{R}^n$. + +\begin{repetition} + \begin{*definition} + Eine Basis $\mathcal{B}$ im $\mathbb{R}^n$ heißt \begriff{positiv orientert} bezüglich der Standardbasis $\mathcal{E}$, wenn $\det T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{E}} > 0$, sonst \begriff{negativ orientiert}. + \end{*definition} + \begin{underlinedenvironment}[$n=2$] + $n$-ter Vektor durch die Bedingung "`positiv orientiert"' bereits festgelegt. + \end{underlinedenvironment} +\end{repetition} + +\begin{conclusion}[\person{Gram}-\person{Schmidt}-Verfahren] + Seien $v_1$, $\dotsc$, $v_{n-1}\in\mathbb{R}^n$ linear unabhängig. Dann existiert genau eine positiv orientierte Orthonormalbasis (bezüglich der Standardbasis) $e_1, \dotsc, e_n$ mit folgenden Eigenschaften:\begin{enumerate}[label={\arabic*)}] + \item $\forall i\in\{1,\dotsc, n-1\}$: $\Span (e_1,\dotsc,e_i) = \Span(v_1,\dotsc,v_i)$ + \item $\forall i\in \{1,\dotsc,n-1\}$: $\langle e_i,v_i\rangle = 0$ + \end{enumerate} +\end{conclusion} +\begin{proof}[Skizze] + Wende das \person{Gram}-\person{Schmidt}-Verfahren von $_1,\dotsc,v_{n1-}$ an $\Rightarrow$ existiert eindeutige $e_1,\dotsc,e_{n-1}$ mit obigen Eigenschaften. + + $e_n$ ist durch die $e_1,\dotsc,e_{n-1}$ und die Orientierungsbedingung eindeutig festgelegt. +\end{proof} + +\begin{underlinedenvironment}[Bemerkung] + Nach dem \person{Gram}-\person{Schmidt}-Formeln hängen die Vektoren $e_1,\dotsc,e_n$ glatt von den $v_1,\dotsc,v_n$ ab. +\end{underlinedenvironment} + +\begin{definition} + Sei $\gamma\!:I\to\mathbb{R}^n$ eine \person{Frenet}-Kurve. Das (begleitende) \begriff{\person{Frenet}-$n$-Bein} von $\gamma$ ist die (glatte) Familie von Vektoren $e_i\!:I\to\mathbb{R}^n$, $i=1\dotsc,n$, die aus den \person{Gram}-\person{Schmidt}-Verfahren angewandt auf $\dot{\gamma}(t)$, $\ddot{\gamma}(t)$, $\dotsc$, $\gamma^{(n-1)}(t)$, $t\in I$ entstehen. +\end{definition} + +\begin{definition} + Eine Kurve $\gamma\!:I\to\mathbb{R}^n$ heißt nach der \begriff{Bogenlänge}\begriff*{Länge} parametrisiert, wenn $\Vert \dot{\gamma}(t)\Vert = 1$ $\forall t\in I$. +\end{definition} + +\begin{underlinedenvironment}[Bemerkung] + In diesem Fall gilt $\forall a < b\in I$: $L(\gamma) = b - a$.\\ + Wenn $\gamma\!:I\to\mathbb{R}$ regulär ist, dann ist \begin{align*} + s(t) = \int_c^t \Vert \dot{\gamma}(t)\Vert\;\mathrm{d}\tau = L\left( \left.\gamma_{\rule{0pt}{2mm}}\right|_{[c,t]}\right) + \end{align*} + eine Umparametrisierung $s\!:[c,d]\to [0,L(\gamma)]$, d.h. jede reguläre Kurve besitzt eine positiv orientierte Parametrisierung nach der Bogenlänge. +\end{underlinedenvironment} + +\begin{underlinedenvironment}[Beobachtung] + Ist $\gamma$ nach der Bogenlänge parametrisiert, ist $e_1(t) = \dot{\gamma}(t)$ $\forall t\in I$. + + Weiterhin ist \begin{align*} + &1 = \Vert \dot{\gamma}(t)\Vert^2 = \langle \dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}(t) \rangle & + \xRightarrow[]{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \;& 0 = 2 \langle \ddot{\gamma}(t), \dot{\gamma}(t)\rangle & + \Rightarrow\;& \ddot{\gamma}(t) \perp \dot{\gamma}(t) + \end{align*} + Für $n=2$ folgt: $\ddot{\gamma}(t) = \kappa (t) e_2(t)$, $\kappa\!:I\to\mathbb{R}$ glatt. +\end{underlinedenvironment} + +\begin{example} + Sei $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$, $t\in [0,2\pi)$. $\Vert \dot{\gamma}(t)\Vert = R$. + + Parametrisierung nach Bogenlänge: \begin{align*} + \gamma(s) &= \left(R\cos \frac{s}{R}, R\sin \frac{s}{R}\right),\quad s\in[0,2\pi R]\\ + \dot{\gamma}(s) &= \left(-\sin \frac{s}{R},\cos\frac{s}{R} \right)& + \ddot{\gamma}(s) &= \left(- \frac{1}{R}\cos \frac{s}{R}, -\frac{1}{R}\sin \frac{s}{R}\right) \\ + e_1(s) &= (-\sin s, \cos s) & e_2(s) &= (-\cos s, -\sin s)\\ + \kappa(t) &= \frac{1}{R} + \end{align*} +\end{example} + +\begin{definition} + Sei $\gamma\!:I\to\mathbb{R}$ nach der Bogenlänge parametrisiert. Dann heißt die (eindeutig bestimmte) Funktion $\kappa\!:I\to\mathbb{R}$ mit $\ddot{\gamma}(t) = \kappa(t) \cdot e_2(t)$ die \begriff{Krümmungsfunktion} von $\gamma$. +\end{definition} + +\begin{proposition}[\person{Frenet}, Hauptsatz der Kurventhoerie] + Sei $\gamma\!:I\to\mathbb{R}^n$ eine \person{Frenet}-Kurve, parametrisiert nach der Bogenlänge. Dann existieren (glatte) Funktionen $\kappa_1, \dotsc, \kappa_1{n-2}\!:I\to(0,\infty$ und $\kappa_1{n-1}\!:I\to\mathbb{R}$, sodass das begleitende \person{Frenet}-$n$-Bein $e_1,\dotsc, e_n$ folgende Differentialgleichungen erfüllt: \begin{equation} + \begin{gathered} + \begin{aligned} + \dot{e_1} &= \kappa_1 e_2 \\ + \dot{e}_i &= \kappa_i e_{i+1} - \kappa_1{i-1},\quad i=2,\dotsc,n-1\\ + \dot{e}_n &= -\kappa_1{n-1} e_{n-1} + \end{aligned} + \end{gathered} + \end{equation} + ($\kappa_1,\dotsc,\kappa_{n-1}$ heißen \person{Frenet}-Krümmungen von $\gamma$) + + Umgekehrt: gegeben sei + \begin{itemize} + \item $t_0\in\mathbb{R}$, $p\in\mathbb{R}^n$, + \item eine positiv orientierte Orthonormalbasis $e_1^{(0)}, \dotsc, e_n^{(0)}$ in $\mathbb{R}^n$, sowie + \item glatte Funktionen $\kappa_1,\dotsc,\kappa_{n-2}\!:[t_0,d]\to(0,\infty)$, $\kappa_{n-1}\!:[t_0,d]\to\mathbb{R}$, + \end{itemize} + dann existiert genau eine \person{Frenet}-Kurve $\gamma\![t_0,d]\to\mathbb{R}^n$ mit Krümmungen $\kappa_1,\dotsc,\kappa_{n-1}$ und $\gamma(t_0) = p$, $e_i(t_0) = e_i^{(0)}$ $\forall i=1,\dotsc,n$. +\end{proposition} \ No newline at end of file diff --git a/6. Semester/DGEO/TeX_files/Vorwort.tex b/6. Semester/DGEO/TeX_files/Vorwort.tex new file mode 100644 index 0000000..e69de29 diff --git a/6. Semester/DGEO/Vorlesung DGEO.tex b/6. Semester/DGEO/Vorlesung DGEO.tex new file mode 100644 index 0000000..8a0f24d --- /dev/null +++ b/6. Semester/DGEO/Vorlesung DGEO.tex @@ -0,0 +1,45 @@ +\documentclass[ngerman,a4paper,order=firstname,sectionreset]{../../texmf/tex/latex/mathscript/mathscript} +\usepackage{../../texmf/tex/latex/mathoperators/mathoperators} + +\title{\textbf{Differentialgeometrie WS2018/19 + SS2019}} +\author{Dozent: Dr. Vadim Alekseev} + +\begin{document} +\pagenumbering{roman} +\pagestyle{plain} + +\maketitle + +\hypertarget{tocpage}{} +\tableofcontents +\bookmark[dest=tocpage,level=1]{Inhaltsverzeichnis} + +\pagebreak +\pagenumbering{arabic} +\pagestyle{fancy} + +\chapter*{Vorwort} +\input{./TeX_files/Vorwort} + +\chapter{Kurven, Länge von Kurven, Parametrisierung} +\input{./TeX_files/Kurven} + +\part*{Anhang} +\addcontentsline{toc}{part}{Anhang} +\appendix + +\chapter{Listen} +\section{Liste der Theoreme} +\theoremlisttype{allname} +\listtheorems{theorem} + +\pagebreak +\section{Liste der benannten Sätze} +\theoremlisttype{optname} +\listtheorems{proposition} + +%\printglossary[type=\acronymtype] + +\printindex + +\end{document} diff --git a/cwl/mathscript.cwl b/cwl/mathscript.cwl index 39350aa..0551a66 100644 --- a/cwl/mathscript.cwl +++ b/cwl/mathscript.cwl @@ -81,10 +81,14 @@ \end{underlinedPlain} \begin{hint} \end{hint} +\begin{plainenvironment}[title] +\end{plainenvironment} \begin{underlinedenvironment}[title] \end{underlinedenvironment} \begin{boldEnvironment}[title] \end{boldEnvironment} +\begin{repetition} +\end{repetition} \proplbl{label}#l \propref{ref}#r \begriff{term}%text