lecture STOCH 24 April 2019 added

4. Semester/STOCH/TeX_files/Bedingte_Wahrscheinlichkeiten.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\part{title}\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
+\section{Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
 \begin{example}
 	\proplbl{3_1_1}
 	Das Würfeln mit zwei fairen, sechsseitigen Würfeln können wir mit 

4. Semester/STOCH/TeX_files/Erste_Standardmodelle.tex

@@ -1,5 +1,4 @@
 \chapter{Erste Standardmodelle der Wahrscheinlichkeitstheorie}
-
 %\subsection{Diskrete Verteilungen}
 \section*{Diskrete Verteilungen}
 

4. Semester/STOCH/TeX_files/Grundbegriffe_Wtheorie.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \chapter{Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie}
-
+\label{chapter1}
 \section{Wahrscheinlichkeitsräume}
 
 \subsection*{Ergebnisraum}

4. Semester/STOCH/TeX_files/unbedingte_Wahrscheinlichkeiten.tex

@@ -124,9 +124,7 @@ In vielen Fällen besagt die Intuition über verschiedene Zufallsexperimente / E
 		\end{align*} 
 	\end{itemize}
 \end{proof}
-
 Insbesondere zeigt \propref{3_2_16}, dass wir in einer Familie unabhängiger Ereignisse beliebig viele Ereignisse durch ihr Komplement, $\emptyset$ oder $\O$ ersetzen können, ohne die Unabhängigkeit zu verlieren.
-
 \begin{proposition}
 	\proplbl{3_2_17}
 	Sei $(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $\F_i \subseteq \F, i \in I$, seien $\cap$-stabile Familien von Ereignissen. Dann gilt
@@ -134,7 +132,6 @@ Insbesondere zeigt \propref{3_2_16}, dass wir in einer Familie unabhängiger Ere
 	\F_i, i \in I \text{ unabhängig } \Leftrightarrow \sigma(\F_i), i \in I \text{ unabhängig}. 
 	\end{align*}
 \end{proposition}
-
 \begin{proof}
 	oBdA sei $I = \set{1, \dots, n}$ und $\O \in \F_i, i \in I$.
 	\begin{itemize}
@@ -147,23 +144,22 @@ Insbesondere zeigt \propref{3_2_16}, dass wir in einer Familie unabhängiger Ere
 			\end{align*}
 			\item Da die Familien $\F_i$ unabhängig sind, gilt
 			$\mu\mid_{\F_1} = \nu\mid_{\F_1}$.
-			Nach dem Eindeutigkeitssatz für Maße (\proplbl{1_1_19}) folgt $\mu\mid_{\sigma(\F_1)} = \nu\mid_{\sigma(\F_1)}$ also
+			Nach dem Eindeutigkeitssatz für Maße (\propref{1_1_19}) folgt $\mu\mid_{\sigma(\F_1)} = \nu\mid_{\sigma(\F_1)}$ also
 			\begin{align*}
 				\P\brackets{ F \cap F_2 \cap \cdots \cap F_n} = \P(F) \P(F_2) \dots \P(F_n)
 			\end{align*}
-			für alle $F \in \sigma(\F_i)$ und $F_i \in \F_i, i = 1, \dots, n$. Da $\O \in \F_i$ für alle $i$ gilt die erhaltene Produktformel auf für alle Teilemengen $J \subseteq I$.\\
+			für alle $F \in \sigma(\F_i)$ und $F_i \in \F_i, i = 1, \dots, n$. Da $\O \in \F_i$ für alle $i$ gilt die erhaltene Produktformel für alle Teilemengen $J \subseteq I$.\\
 			Also sind
 			\begin{align*}
-			\sigma(\F_1), \F_2, \dots, \F_n \text{unabhängig}
+			\sigma(\F_1), \F_2, \dots, \F_n \text{ unabhängig}
 			\end{align*}
 			\item Wiederholtes Anwenden von $1$ und $2$ liefert den Satz.
 		\end{enumerate}
 	\end{itemize}
 \end{proof}
-
 Mit \propref{3_2_17} folgen:
-
 \begin{conclusion}
+	\proplbl{3_2_18}
 	Sei $(\O,\F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und
 	\begin{align*}
 		\F_{i,j} \subseteq \F, \quad 1 \le i \le n, 1 \le j \le m(i)
@@ -175,8 +171,8 @@ Mit \propref{3_2_17} folgen:
 	\end{align*}
 	unabhängig.
 \end{conclusion}
-
 \begin{conclusion}
+	\proplbl{3_2_19}
 	Sei $(\O,\F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und
 	\begin{align*}
 		X_{ij}: \O \to E, \quad 1 \le i \le n, 1 \le j \le m(i)
@@ -187,11 +183,136 @@ Mit \propref{3_2_17} folgen:
 	\end{align*}
 	unabhängig.
 \end{conclusion}
-
 \begin{example}
 	$X_1, \dots, X_n$ unabhängige reelle Zufallsvariablen. Dann sind auch
 	\begin{align*}
 	Y_1 = X_1, Y_2 = X_2 + \cdots + X_n
 	\end{align*}
 	unabhängig.
-\end{example}
+\end{example}
+% % % % % % % % % % % % % % % % % 7th lecture % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
+\begin{proof}[\propref{3_2_18}]
+	OBdA sei $\Omega \in \F_{i,j} \forall i,j$. Dann sind die Familien:
+	\begin{align*}
+		\F_i^{\cap} := \set{F_{i,1} \cap \dots \cap F_{i,m(i)} \mid F_{i,j} \in \F_{i,j}, 1 \le j \le m(i)}, 1 \le i \le n
+	\end{align*}
+	$\cap$-stabil, unabhängig und es gilt: $\F_{i,1}, \dots, \F_{i,m(i)} \subseteq \F_i^{\cap}$ ($\nearrow$ HA)! Nach \propref{3_2_17} sind auch $\sigma(\F_i^{\cap})$ unabhängig. Damit folgt die Behauptung, da $\sigma(\F_i^{\cap}) = \G_i$:
+	\begin{align*}
+		\F_{i,1}, \dots, \F_{i,m(i)} \subseteq \F_i^{\cap} \subseteq \sigma(\F_{i,1}, \dots, \F_{i,m(i)}) = \G_i\\
+		\Rightarrow \G = \sigma(\F_{i,1}, \dots, \F_{i,m(i)}) \subseteq \sigma(\F_i^{\cap}) \subseteq \G_i.
+	\end{align*}
+\end{proof}
+\begin{proof}[\propref{3_2_19}]
+	Setze $\F_{i,j} = \sigma(X_{i,j})$ und $\G_i = \sigma(\F_{i,1}, \dots, \F_{i,m(i)})$, dann sind nach \propref{3_2_18} die $\G_i, i = 1,\dots,n$ unabhängig. Zudem ist
+	\begin{align*}
+	Y_i := f_i(X_{i,1}, \dots, X_{i,m(i)})
+	\end{align*}
+	$\G_i$ messbar, also $\sigma(Y_i) \subseteq \G_i$. Damit erben die $Y_i$ die Unabhängigkeit der $\G_i$.
+\end{proof}
+\begin{proposition}[Unabhängigkeit von Zufallsvariablen]
+	\proplbl{3_2_20}
+	$(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $X_1, \dots, X_n: (\O,\F) \to (E, \E)$ Zufallsvariablen. Dann sind
+	\begin{enumerate}
+		\item $X_1, \dots, X_n$ sind unabhängig \label{prop:unabhZV1}
+		\item $\P(X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n) = \prod_{i=1}^n \P(X_i \in A_i)\quad \forall A_1, \dots, A_n \in \E$. \label{prop:unabhZV2}
+		\item Die gemeinsame Verteilung der $X_i$ entspricht den Produktmaß der einzelnen Verteilungen \label{prop:unabhZV3}
+		\begin{align*}
+			\P_{X_1, \dots, X_n} = \bigotimes_{i=1}^n \P_{X_i}
+		\end{align*}
+	\end{enumerate}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Per Ringschluss:
+	\begin{enumerate} %TODO add labels
+		\item[1 $\Rightarrow$ 2:] Seien $A_1, \dots, A_n\in E$ beliebig, dann gilt per Definition
+		\begin{align*} % für Rechtecke
+			\P_{X_1, \dots, X_n}(A_1 \times \dots \times A_n) &= \P(X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n)\\
+			&= \P\brackets{\bigcap_{i=1}^n \set{X_i \in A_i}}\\
+			&\overset{\text{unabh}}{=} \prod_{i=1}^n \P(X_i \in A_i)\\
+			&= \prod_{i=1}^n \P_{X_i}(A_i) = \brackets{\bigotimes_{i=1}^n \P_{X_i}} (A_1 \times \dots \times A_n) 
+		\end{align*} 
+		\item[2 $\Rightarrow$ 3:] Aus der obigen Rechnung sehen wir, dass 2 bereits 3 impliziert für alle Rechtecke: $\bigtimes_{i = 1}^n A_i$. Da die Familie der Rechtecke $\cap$-stabil ist und $\E^{\otimes n}$ erzeugt, folgt die Aussage aus dem Eindeutigkeitssatz für Maße \propref{1_1_19}.
+		\item[3 $\Rightarrow$ 1:] Sei $J \subseteq \set{1,\dots,n}$ und setze
+		\begin{align*}
+			A_i &:= \begin{cases}
+			\text{ beliebig }  &\in \E, i \in J\\
+			E & i \notin J.
+			\end{cases}
+			\intertext{Dann}
+			\P(X_i \in A_i, i \in J) &= \P(X_i \in A_i, i = 1, \dots,n)\\
+			&= \prod_{i=1}^n \P(X_i \in A_i)\\
+			&= \prod_{i\in J} \P(A_i \in A_i).
+		\end{align*}
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{example}
+	Im Urnenmodell mit Zurücklegen hat der Vektor $X = (X_1, \dots, X_n)$ mit $X_i = $ Farbe im $i$-ten Zug als Zähldichte die Produktdichte der $X_i$. Die $X_1, \dots, X_n$ sind also unabhängig.
+\end{example}
+\subsection*{Konstruktion unabhängiger Zufallsvariablen}
+Kapitel \ref{chapter1}: Zu beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $\P_X$ existiert Wahrscheinlichkeitsraum mit Zufallsvariable $X$ auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum, so dass $X \sim \P_X$.
+\begin{enumerate}
+	\item Seien $\P{X_1}, \dots, \P_{X_n}$ Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf $(E, \E)$. Gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum $(\O, \F, \P)$ und Zufallsvariablen $X_1, X_2$ unabhängig, so dass $X_1 \sim \P_{X_1}$? \label{konstruktionunabh:ZV:qu_1}
+	\item Wie kann ich beliebig (unendlich) viele unabhängige Zufallsvariablen konstruieren? \label{konstruktionunabh:ZV:qu_2}
+\end{enumerate}
+Wir beginnen mit \ref{konstruktionunabh:ZV:qu_1}:\\
+Konstruiere zwei Wahrscheinlichkeitsräume $(\O_i, \F_i, \P_i), i = 1,2$ und Zufallsvariablen $X_1, X_2 \mit X_i \sim \P_{X_i}$. Auf dem Produktraum
+\begin{align*}
+	\O = \O_1 \times \O_2, \quad \F := \F_1 \otimes \F_2 \und \P = \P_1 \otimes \P_2
+	\intertext{ definiere}
+	X'_1: \O_1 \times \O_2 \to E\colon (\omega_1, \omega_2) \mapsto X_1(\omega_1)\\
+	X'_2: \O_1 \times \O_2 \to E\colon (\omega_1, \omega_2) \mapsto X_2(\omega_2)
+\end{align*}
+Dann gilt für beliebige Ereignisse: $F_1, F_2 \in \E$
+\begin{align*}
+	\underbrace{\set{X'_1 \in F_1} \cap \set{X'_2 \in F_2}}_{\supseteq \O = \O_1 \times \O_2} = \underbrace{\set{X_1 \in F_1}}_{\supseteq \O_1} \times \underbrace{\set{X_2 \in F_2}}_{\supseteq \O_2} \in \F_1 \times \F_2
+\end{align*}
+und damit folgt die Messbarkeit der Abbildungen $X'_1, X'_2$, d.h. $X'_1, X'_2$ sind Zufallsvariablen auf $(\O, \F)$. Zudem gilt
+\begin{align*}
+	\P(X'_1 \in F_1, X'_2 \in F_2) &= \P_1 \otimes \P_2 \brackets{\set{X_1 \in F_1} \times \set{X_2 \in F_2}}\\
+	&= \P_1 (X_1 \in F_1) \P_2(X_2 \in F_2),
+	\intertext{also}
+	\P(X'_i \in F_i) &= \P_i (X'_i \in F_i)
+\end{align*}
+sowie nach \propref{prop:Kolmo} $X'_1 \upmodels X'_2$.\\
+Wenn $(\O_2, \F_1, \P_1) = (\O_2, \F_2, \P_2)$, so liefert die obige Konstruktion zwei unabhängige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Andernfalls können wir auf den Produktraum ausweichen und $X'_i$ anstelle von $X_i$ betrachten. Die obige Konstruktion lässt sich direkt auf \emph{endlich} viele Zufallsvariablen übertragen.\\
+Zu \ref{konstruktionunabh:ZV:qu_2}: 
+\begin{proposition}[Satz von \person{Kolmogorov}]
+	\proplbl{prop:Kolmo}
+	Sei $I$ beliebige Indexmenge und $(\O_i, \F_i, \P_i), i \in I$ Wahrscheinlichkeitsräume. Setze
+	\begin{align*}
+		\O_I &:= \bigtimes_{i \in I} \O_i = \set{\omega : I \to \bigcup_{i \in I} \O_i, \omega_i \in \O_i, i \in I}\\
+		\F_I &:= \sigma( \pi^{-1} ( \F_i), i \in I)
+	\end{align*}
+	wobei $\pi_i : \O_I \to \O_i \mit \omega \mapsto \omega_i$ die Projektionsabbildung. Dann existiert auf $(\O_I, \F_I)$ genau ein Maß $\P_I$, sodass für alle $H \subseteq I$ mit $0 < \abs{H} < \infty$ gilt
+	\begin{align*}
+		\pi_H ( \P_I) = \bigotimes_{i \in H} \P_i,
+	\end{align*}
+	wobei $\pi_H: \O_I \to \O_H$ wiederum die Projektionsabbildung.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	$\nearrow$ Schilling Maß und Integral, Satz 17.4.
+\end{proof}
+Sind auf den Wahrscheinlichkeitsräumen $(\O_i , \F_i , \P_i), i \in I$, nun Zufallsvariablen $X_i: \O_i \to E$ gegeben, so definieren wir wie im Satz von Kolmogorov (\propref{prop:Kolmo})
+\begin{align*}
+	(\O, \F, \P) := (\O_I, \F_I, \P_I = \bigotimes_{i \in I}) \mit \omega = (\omega_i)_{i \in I}
+	\intertext{und wie im endlichen Fall}
+	X'_i : \O \to E \mit X'_i (\omega) = X_i (\omega_i).
+\end{align*}
+Da die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen über endliche Teilfamilien definiert ist, folgt diese wie im endlichen Fall. 
+\subsection*{Faltungen}
+Seien $X, Y$ zwei reelle und unabhängige Zufallsvariablen mit 
+\begin{align*}
+	X \sim \P_X \und Y \sim \P_Y
+\end{align*}
+Dann hat $(X,Y)$ die Verteilung $\P_X \otimes \P_Y$ auf $\R^2$. Andernfalls ist auch $X+Y$ eine reelle Zufallsvariable, dann
+\begin{align*}
+	X + Y = A(X,Y) \mit A: \R^2 \to \R: (x,y) \mapsto x + y.
+\end{align*}
+$A$ ist stetig, also messbar. Die Verteilung von $X+Y$ ist dann $(\P_X \otimes \P_Y)\circ A^{-1}$
+\begin{definition}[Faltung]
+	Seien $\P_1 , \P_2$ Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(\Rn, \borel(\Rn))$. Das durch
+	\begin{align*}
+		\P_1 \ast \P_2(F) = \iint \indi_F (x+y) \P_1 (\d x)\P_2 (\d y)
+	\end{align*}
+	definierte Wahrscheinlichkeitsmaß $\P_1 \ast \P_2 = (\P_1 \otimes \P_2) \circ A^{-1}$ auf $(\Rn, \borel(\Rn))$ heißt \begriff{Faltung} von $\P_1$ und $\P_2$.
+\end{definition}