From 29daeda015ce877af40d749637def07c58789d66 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: epsilonbelowzero Date: Mon, 26 Mar 2018 14:51:23 +0200 Subject: [PATCH] fixed spelling of lebegue, fixed pdflatex related problem with \star in textmode --- 2. Semester/ANAG/TeX_files/Ableitung.tex | 10 +++++----- 2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex | 6 +++--- 2. Semester/ANAG/TeX_files/Mittelwertsatz.tex | 6 +++--- 2. Semester/ANAG/TeX_files/Richtungsableitung.tex | 4 ++-- .../ANAG/TeX_files/Wiederholung_und_Motivation.tex | 10 +++++----- 2. Semester/ANAG/Vorlesung ANAG.tex | 8 +++++--- 6 files changed, 23 insertions(+), 21 deletions(-) diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Ableitung.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Ableitung.tex index 3cd7297..71ee9dc 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Ableitung.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Ableitung.tex @@ -233,16 +233,16 @@ \begin{example} $\sin, \cos: K\to K$ ($\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{C}$) $\forall x_0\in K$. - Denn:\zeroAmsmathAlignVSpaces + Denn:{\zeroAmsmathAlignVSpaces \begin{align*} \frac{\sin y}{y} = \frac{e^{iy} - e^{-iy}}{2iy} = \frac{1}{2}\cdot \left( \frac{e^{iy} - 1}{iy} + \frac{e^{-iy} - 1}{-iy} \right) \xrightarrow[\text{vgl. \eqref{exp_limit_1}}]{y\to 0} 1, - \end{align*} - folglich \zeroAmsmathAlignVSpaces* + \end{align*}} + folglich {\zeroAmsmathAlignVSpaces* \begin{align*} - \lim\limits_{y\to 0} \frac{\sin(x_0 + y) - \sin(x_0)}{y} &\overset{\star}{=} \lim\limits_{y\to 0} \frac{2}{y} \cos\left( x_0 + \frac{y}{2}\right) \cdot \sin \left( \frac{y}{2}\right) \marginnote{\star: Additionstheoreme} \\ + \lim\limits_{y\to 0} \frac{\sin(x_0 + y) - \sin(x_0)}{y} &\overset{\star}{=} \lim\limits_{y\to 0} \frac{2}{y} \cos\left( x_0 + \frac{y}{2}\right) \cdot \sin \left( \frac{y}{2}\right) \marginnote{$\star$: Additionstheoreme} \\ &= \lim\limits_{y\to 0} \frac{2}{y}\cdot\sin\left(\frac{y}{2}\right)\cdot\cos\left(x_0 + \frac{y}{2}\right)\\ &= \cos x_0 \quad\forall x_0\in K - \end{align*} + \end{align*}} Analog für den Kosinus. \end{example} diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex index 7d0626a..b350878 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Messbarkeit.tex @@ -1,8 +1,8 @@ \section{Messbare Mengen und messbare Funktionen}\setcounter{equation}{0} -Wir führen zunächst das \person{Lebesque}-Maß ein und behandeln dann messbare Mengen und messbare Funktionen. +Wir führen zunächst das \lebesque-Maß ein und behandeln dann messbare Mengen und messbare Funktionen. -\subsection{\person{Lebesque}-Maß} +\subsection{\lebesque-Maß} \begin{*definition} Wir definieren die Menge \begin{align*} \mathcal{Q} &:= \left\{ I_1 \times \dotsc \times I_n \subset\mathbb{R}^n \mid I_j\subset\mathbb{R}\text{ beschränktes Intervall} \right\} @@ -26,7 +26,7 @@ Wir möchten für beliebige Mengen $M\subset\mathbb{R}^n$ ein "`Volumenmaß"' de \end{align} die man \begriff{\person{Lebeque}-Maß} auf $\mathbb{R}^n$ nennt. - $\vert \mu \vert$ heißt (\person{Lebesque}-Maß) von $M$, oft schreibt man auch $\mathcal{L}^{\mu}(M)$. + $\vert \mu \vert$ heißt (\lebesque-Maß) von $M$, oft schreibt man auch $\mathcal{L}^{\mu}(M)$. \end{*definition} \begin{underlinedenvironment}[Hinweis] diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Mittelwertsatz.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Mittelwertsatz.tex index b7d3fe1..45abf1e 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Mittelwertsatz.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Mittelwertsatz.tex @@ -85,7 +85,7 @@ Einfache, aber wichtige Anwendung: \proplbl{mittelwertsatz_mittelwertsatz} Sei $f:D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, $D$ offen, $f$ \gls{diffbar} auf $D$ und seien $x,y\in D$ mit $[x,y]\subset D$. Dann \begin{align} \proplbl{mittelwertsatz_mittelwertsatz_eq} - \exists \xi\in(x,y): f(y) - f(x) = f'(\xi) \overset{\star}{\cdot} (y - x)\marginnote{\star: Skalarprodukt} + \exists \xi\in(x,y): f(y) - f(x) = f'(\xi) \overset{\star}{\cdot} (y - x)\marginnote{$\star$: Skalarprodukt} \end{align} \end{theorem} @@ -195,7 +195,7 @@ Einfache, aber wichtige Anwendung: \propref{mittelwertsatz_mittelwertsatz} liefert: $\exists \tau \in (0,1): \underbrace{\phi(1) - \phi(0)}_{=\Re \langle f(y) - f(x), v\rangle} = \phi(\tau) \cdot (1 - 0)$ \\ \begin{alignat*}{8} &\xRightarrow{\xi = x + \tau (y - x)}\;\;& \vert f(y) - f(x) \vert &&\,=\,& \Re \langle f(y) - f(x), v \rangle &&&\,=\,& \phi(1) - \phi(0) &&&\,=\,& \Re \langle f'(\xi) \cdot (y - x), v\rangle& \\ - && &&\le& \vert \langle f'(\xi) \cdot (y - x), v \rangle \vert& &&\overset{\star}{\le}&\marginnote{\star: \person{Cauchy}-\person{Schwarz}} \vert f'(\xi) \cdot (y - x)\vert \cdot \underbrace{\vert v \vert}_{=1}& \\ + && &&\le& \vert \langle f'(\xi) \cdot (y - x), v \rangle \vert& &&\overset{\star}{\le}&\marginnote{$\star$: \person{Cauchy}-\person{Schwarz}} \vert f'(\xi) \cdot (y - x)\vert \cdot \underbrace{\vert v \vert}_{=1}& \\ && &&\le& \Vert f'(\xi) \Vert \cdot \vert y - x\vert& \end{alignat*} \hfill\csname\InTheoType Symbol\endcsname \end{proof} @@ -413,7 +413,7 @@ Betrachte nun "`unbestimme Grenzwerte"' $\lim\limits_{y\to x} \frac{f(x)}{g(x)}$ $\Rightarrow$ & $\left\vert \frac{f(x)}{g(x)} - \gamma\right\vert \le \left\vert \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f(y) - f(x)}{g(y) - g(x)} \right\vert + \left\vert \frac{f(y) - f(x)}{g(y) - g(x)} - \gamma \right\vert < 2\epsilon \quad\forall x\in(a, a+ \delta_2)$ \end{tabularx} \end{enumerate} - $\xRightarrow{\text{$$\epsilon$ > 0$ beliebig}}$ Behauptung + $\xRightarrow{\text{$\epsilon > 0$ beliebig}}$ Behauptung andere Fälle:\begin{itemize}[topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax] \item $x\uparrow b$ analog diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Richtungsableitung.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Richtungsableitung.tex index 4329583..4b9f4c3 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Richtungsableitung.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Richtungsableitung.tex @@ -114,7 +114,7 @@ Sei $f:D\subset K^n\to K^m$, $D$ offen, $x\in D$. \notag & \phi(t) = f(\gamma(t)) = c \\ \notag \Rightarrow\;\;& \phi'(0) = f'(\gamma(0))\cdot \gamma'(0) = 0 \\ \proplbl{richtungsableitung_tangentialvektor_eigenschaft} - \Rightarrow\;\; &\mathrm{D}_{\gamma'(0)} f(x) \overset{\star}{=} \langle f'(x), \gamma'(0)\rangle = 0\marginnote{\star: vgl. \propref{richtungsableitung_prop_existenz_prop}}[\dimexpr -\baselineskip / 2 \relax] + \Rightarrow\;\; &\mathrm{D}_{\gamma'(0)} f(x) \overset{\star}{=} \langle f'(x), \gamma'(0)\rangle = 0\marginnote{$\star$: vgl. \propref{richtungsableitung_prop_existenz_prop}}[\dimexpr -\baselineskip / 2 \relax] \end{align} \end{*definition} @@ -139,7 +139,7 @@ Sei $f:D\subset K^n\to K^m$, $D$ offen, $x\in D$. \item für $\vert z \vert = 1$ gilt \zeroAmsmathAlignVSpaces \begin{align*} &\mathrm{D}_z f(x) = \langle f'(x), z \rangle = \vert f'(x) \vert \langle \tilde{z},z\rangle \\ - \overset{\star}{\le}\; &\vert f'(x) \vert \vert \tilde{z}\vert \vert z \vert = \vert f'(x)\vert = \frac{\langle f'(x), f'(x)\rangle}{\vert f'(x) \vert} = \langle f'(x), \tilde{z} \rangle \overset{\eqref{richtungsableitung_prop_existenz}}{=} \mathrm{D}_{\tilde{z}}f(x)\marginnote{\star:\person{Cauchy} - \person{Schwarz}} + \overset{\star}{\le}\; &\vert f'(x) \vert \vert \tilde{z}\vert \vert z \vert = \vert f'(x)\vert = \frac{\langle f'(x), f'(x)\rangle}{\vert f'(x) \vert} = \langle f'(x), \tilde{z} \rangle \overset{\eqref{richtungsableitung_prop_existenz}}{=} \mathrm{D}_{\tilde{z}}f(x)\marginnote{$\star$:\person{Cauchy} - \person{Schwarz}} \end{align*} $\Rightarrow$ Behauptung \end{enumerate} diff --git a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Wiederholung_und_Motivation.tex b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Wiederholung_und_Motivation.tex index 35d1604..8e4f7ff 100644 --- a/2. Semester/ANAG/TeX_files/Wiederholung_und_Motivation.tex +++ b/2. Semester/ANAG/TeX_files/Wiederholung_und_Motivation.tex @@ -80,15 +80,15 @@ Sei $f:D\subset K^n \to K^m$, $g:D\subset K^n \to K$, $x_0 \in \overline{D}$. Da \begin{enumerate}[label={\alph*)}] \item Betrachte $f$ auf Strahl $x=x_0 + ty$, $y\in\mathbb{R}^n$ fest, $\vert y \vert = 1$, $t\in\mathbb{R}$. \begin{align*} - \text{\propref{chap15meaningSpecialCase}} \Rightarrow& \;0 = \lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ x\neq x_0}} \frac{\vert f(x) - f(x_0)\vert}{\vert x - x_0\vert} = \lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ x\neq x_0}} \frac{\vert f(x_0 + ty) - f(x_0) \vert}{\vert t \vert} + \text{\propref{chap15meaningSpecialCase}} \Rightarrow\;& 0 = \lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ x\neq x_0}} \frac{\vert f(x) - f(x_0)\vert}{\vert x - x_0\vert} = \lim\limits_{\substack{x\to x_0 \\ x\neq x_0}} \frac{\vert f(x_0 + ty) - f(x_0) \vert}{\vert t \vert} \end{align*} \item \zeroAmsmathAlignVSpaces[\dimexpr -\baselineskip - \parskip\relax] \begin{flalign*} - \text{\propref{chap15meaningSpecialCase}} \;\Rightarrow&\; f(x) = f(x_0) + \underbrace{\frac{o(\vert x - x_0\vert)}{\vert x - x_0\vert}}_{=o(1)} \cdot \vert x - x_0\vert, \;x\to \infty& \\ - \Rightarrow& f(x) = f(x) + \underbrace{o(1)}_{\mathclap{\text{anstatt }r(x)\text{ gemäß (\ref{chap15interpretationSpecialCase})}}}\cdot \vert x-x_0\vert, \;x\to x_0 &\\ - \Rightarrow& f(x) = f(x_0) + r(x) \cdot \vert x - x_0\vert &\\ - \Rightarrow& \vert f(x) - f(x_0)\vert \le \rho(t) \cdot \vert x - x_0\vert,&\\ + \text{\propref{chap15meaningSpecialCase}} \;\Rightarrow\;& f(x) = f(x_0) + \underbrace{\frac{o(\vert x - x_0\vert)}{\vert x - x_0\vert}}_{=o(1)} \cdot \vert x - x_0\vert, \;x\to \infty& \\ + \Rightarrow\;& f(x) = f(x) + \underbrace{o(1)}_{\mathclap{\text{anstatt }r(x)\text{ gemäß (\ref{chap15interpretationSpecialCase})}}}\cdot \vert x-x_0\vert, \;x\to x_0 &\\ + \Rightarrow\;& f(x) = f(x_0) + r(x) \cdot \vert x - x_0\vert &\\ + \Rightarrow\;& \vert f(x) - f(x_0)\vert \le \rho(t) \cdot \vert x - x_0\vert,&\\ & \rho(t) := \sup\limits_{\vert x - x_0\vert \le t} \vert r(x)\vert \xrightarrow{t\to\infty} 0 \end{flalign*} Der Graph von $f$ liegt in der Nähe von $x_0$ in immer flacheren, kegelförmigen Mengen\\ diff --git a/2. Semester/ANAG/Vorlesung ANAG.tex b/2. Semester/ANAG/Vorlesung ANAG.tex index 2503ac3..f9beb89 100644 --- a/2. Semester/ANAG/Vorlesung ANAG.tex +++ b/2. Semester/ANAG/Vorlesung ANAG.tex @@ -1,8 +1,10 @@ -\RequirePackage{ifluatex} +\RequirePackage{ifluatex,ifpdf} \documentclass[ngerman,a4paper]{report} \usepackage[left=2.1cm,right=3.1cm,bottom=3cm]{geometry} \usepackage[ngerman]{babel} -%\usepackage[utf8]{inputenc} %not recommended with lualatex +\ifpdf +\usepackage[utf8]{inputenc} %not recommended with lualatex +\fi \usepackage{zref-base} \usepackage{etoolbox} @@ -388,7 +390,7 @@ innerleftmargin=10pt,% \newcommand{\imagz}{\mathfrak{Im}} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} -\newcommand{\lebesque}{\person{Lebesque}} +\newcommand{\lebesque}{\person{Lebesgue}} % Math Operators \DeclareMathOperator{\inn}{int} % Set of inner points