diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex
index 9706713..a1fc859 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Basis_und_Dimension.tex	
@@ -19,10 +19,10 @@
 	\begin{itemize}
 		\item Die leere Familie ist eine Basis des Nullraums.
 		\item Die \begriff{Standardbasis} $(e_1,...,e_n)$ ist eine Basis des Standardraums.
-		\item Die Monome $(X^i)$ bilden eine Basis des $K$-VR $K[X]$.
-		\item Die Basis des $\mathbb R$-VR $\mathbb C$ ist gegeben durch $(1,i)$, eine Basis des $\mathbb C$-
-		VR $\mathbb C$ ist gegeben durch $(1)$
-		\item Der $\mathbb C$-VR $\mathbb C$ hat viele weitere Basen.
+		\item Die Monome $(X^i)$ bilden eine Basis des $K$-Vektorraum $K[X]$.
+		\item Die Basis des $\mathbb R$-Vektorraum $\mathbb C$ ist gegeben durch $(1,i)$, eine Basis des $\mathbb C$-
+		Vektorraum $\mathbb C$ ist gegeben durch $(1)$
+		\item Der $\mathbb C$-Vektorraum $\mathbb C$ hat viele weitere Basen.
 	\end{itemize}
 \end{example}
 
@@ -58,11 +58,11 @@
 \begin{theorem}[Basisauswahlsatz]
 	\proplbl{2_3_6}
 	Jedes endliche Erzeugendensystem von $V$ besitzt eine Basis  als 
-	Teilfamilie: Ist $(x_i)$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$, so gibt es eine Teilmenge $J\subset I$, 
+	Teilfamilie: Ist $(x_i)$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$, so gibt es eine Teilmenge $J\subseteq I$, 
 	für die $(x_i)_{i\in J}$ eine Basis von $V$ ist. 
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-	Sei $(x_i)$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$. Definiere $\mathcal J:=\{J \subset I \mid (x_i)_{i\in J}\; 
+	Sei $(x_i)$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$. Definiere $\mathcal J:=\{J \subseteq I \mid (x_i)_{i\in J}\; 
 	\text{J ist Erzeugendensystem von }V\}$. Da $I$ endlich ist, ist auch $\mathcal J$ endlich. Da $(x_i)$ 
 	Erzeugendensystem ist, ist $I\in J$, insbesondere $\mathcal J\neq\emptyset$. Es gibt deshalb ein bezüglich 
 	Inklusion minimales $J_0\in \mathcal J$, d.h. $J_1 \in \mathcal J$ so gilt nicht $J_1 \subsetneq J_0$. Deshalb 
@@ -70,7 +70,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
-	Jeder endlich erzeugte $K$-VR besitzt eine endliche Basis.
+	Jeder endlich erzeugte $K$-Vektorraum besitzt eine endliche Basis.
 \end{conclusion}
 
 \begin{remark}
@@ -145,7 +145,7 @@
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Dimension]
-	Ist $V$ endlich erzeugt, so ist die \begriff{Dimension} des VR $V$ die Mächtigkeit $\dim_K(V)$ 
+	Ist $V$ endlich erzeugt, so ist die \begriff{Dimension} des Vektorraum $V$ die Mächtigkeit $\dim_K(V)$ 
 	einer Basis von $V$. Andernfalls sagt man, dass $V$ unendliche Dimensionen hat und schreibt $\dim_K(V)= \infty$. 
 \end{definition}
 
@@ -167,7 +167,7 @@
 \end{remark}
 
 \begin{proposition}
-	Sei $V$ endlich erzeugt und $W\le V$ ein UVR.
+	Sei $V$ endlich erzeugt und $W\le V$ ein Untervektorraum.
 	\begin{itemize}
 		\item Es ist $\dim_K(W)\le \dim_K(V)$. Insbesondere ist $W$ endlich erzeugt.
 		\item Ist $\dim_K(W)=\dim_K(V)$, so ist auch $W=V$.
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Das_Vorzeichen_einer_Permutation.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Das_Vorzeichen_einer_Permutation.tex
index f175673..c0cf187 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Das_Vorzeichen_einer_Permutation.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Das_Vorzeichen_einer_Permutation.tex	
@@ -1 +1,128 @@
-\section{Das Vorzeichen einer Permutation}
\ No newline at end of file
+\section{Das Vorzeichen einer Permutation}
+
+In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper und $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement.
+
+\begin{remark}
+	Wir erinnern uns an die symmetrische Gruppe $S_n$, die aus den Permutationen der Menge $X=\{1,..,n\}$ (also den 
+	bijektiven Abbildungen $X\to X$) mit der Komposition als Verknüpfung. Es ist $\vert S_n\vert =n!$ und $S_2\cong \mathbb Z\backslash 2 \mathbb Z$, 
+	doch für $n\ge 3$ ist $S_n$ nicht abelsch. Wir schreiben $\sigma_1\sigma_2$ für $\sigma_1\circ \sigma_2$ und notieren $\sigma\in S_n$ 
+	auch als \\
+	\begin{align}
+		\sigma=\begin{pmatrix}
+		1 & 2 & ... & n\\
+		\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n)\\
+		\end{pmatrix}\notag
+	\end{align}
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+	Für $i,j\in \{1,...,n\}$ mit $i\neq j$ bezeichne $\tau_{ij}\in S_n$ die Transposition 
+	\begin{align}
+	\tau_{ij}(k)=
+	\begin{cases}
+	j&\text{falls }$k=i$ \\ i& \text{falls }$k=j$ \\ k& \text{sonst}
+	\end{cases}\notag
+	\end{align} Offenbar gilt $\tau_{ij}^2=\id$, also $\tau_{ij}^{-1}=\tau_{ij}=\tau_{ji}$.
+\end{example}
+
+\begin{proposition}
+	Für jedes $\sigma \in S_n$ gibt es ein $r\in \mathbb N_0$ und die Transpositionen $\tau_1,...,\tau_r\in S_n$ mit 
+	\begin{align}
+		\sigma=\tau_1\circ ... \circ \tau_r\notag
+	\end{align}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Sei $1\le k \le n$ maximal mit $\sigma(i)=i$ für $i\le k$. Induktion nach $n-k$. \\
+	Ist $n-k=0$, so ist $\sigma=\id$ und wir sind fertig. \\
+	Andernfalls ist $l=k+1\le n$ und $\sigma(l)>l$. Für $\sigma'=\tau_{l,\sigma(l)}\circ \sigma$ ist $\sigma(l)=l$ und somit $\sigma'(i)=i$ 
+	für $1\le i \le k+1$. Nach Induktionshypothese gibt es Transpositionen $\tau_1,...,\tau_r$ mit $\sigma'=\tau_1\circ ...\circ \tau_r$. 
+	Es folgt $\sigma=\tau_{l,\sigma(l)}^{-1}\circ \sigma^{-1}=\tau_{l,\sigma(l)}\circ \tau_1\circ ... \circ \tau_r$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Fehlstand, Vorzeichen]
+	Sei $\sigma\in S_n$.
+	\begin{itemize}
+		\item Ein \begriff{Fehlstand} von $\sigma$ ist ein Paar $(i,j)$ mit $1\le i<j\le n$ und $\sigma(i)>\sigma(j)$.
+		\item Das \begriff{Vorzeichen} (oder \begriff{Signum}) von $\sigma$ ist $\sgn(\sigma)=(-1)^{f(\sigma)}\in \{-1,1\}$, wobei $f(\sigma)$ die 
+		Anzahl der Fehlstände von $\sigma$ ist.
+		\item Man nennt $\sigma$ \begriff[Vorzeichen!]{gerade}, wenn $\sgn(\sigma)=1$, sonst \begriff[Vorzeichen!]{ungerade}.
+	\end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	\proplbl{4_1_5}
+	\begin{itemize}
+		\item Genau dann hat $\sigma$ keine Fehlstände, wenn $\sigma=\id$. Insbesondere $\sgn(\id)=1$.
+		\item Die Permutation 
+		\begin{align}
+			\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\\end{pmatrix}\notag
+		\end{align} hat die Fehlstände $(1,3)$ und $(2,3)$, somit 
+		$\sgn(\sigma)=1$.
+		\item Die Transposition 
+		\begin{align}
+			\tau_{13}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1\\\end{pmatrix}\notag
+		\end{align} hat die Fehlstände $(1,2)$, $(2,3)$ und 
+		$(3,1)$, somit $\sgn(\tau_{13})=-1$.
+		\item Eine Transposition $\tau_{ij}\in S_n$ ist ungerade: Ist $i<j$, so sind die Fehlstände $(i,i+1),...,(i,j)$ und $(j+1,j)...
+		(j-1,j)$, also $j-(i+1)+1+(j-1)-(i-1)+1=2(j-1)-1$ viele.
+	\end{itemize}
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+	Für $\sigma\in S_n$ ist
+	\begin{align}
+		\sgn(\sigma)=\prod_{1\le i<j\le n} \frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}\in \mathbb Q\notag
+	\end{align}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Durchläuft $(i,j)$ alle Paare $1\le i<j\le n$, so durchläuft $\{\sigma(i),\sigma(j)\}$ alle zweielementigen Teilmengen von $\{1,...,
+	n\}$. Das Produkt $\prod_{i<j} \sigma(j)-\sigma(i)$ hat also bis auf das Vorzeichen die selben Faktoren wie das Produkt 
+	$\prod_{i<j} j-i=\prod_{i<j} |j-i|$ und $\prod_{i<j} \sigma(j)-\sigma(i)=\prod_{i<j,\sigma(i)<\sigma(j)} 
+	\sigma(j)-\sigma(i) \cdot \prod_{i<j,\sigma(i)>\sigma(j)} \sigma(j)-\sigma(i)=(-1)^{f(\sigma)}\cdot \prod_{i<j} 
+	|\sigma(j)-\sigma(i)|=\sgn(\sigma)\cdot \prod_{i<j} j-i$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	\proplbl{4_1_7}
+	Die Abbildung $\sgn: S_n \to \mathbb Z^{\times}=\mu_2$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Seien $\sigma,\tau\in S_n$. Dann ist\\
+	$\sgn(\sigma\tau)=\prod_{i<j} \frac{\sigma(\tau(j))-\sigma(\tau(i))}{j-i}=\prod_{i<j} \frac{\sigma(\tau(j))-\sigma(
+		\tau(i))}{\tau(j)-\tau(i)}\cdot \prod_{i<j} \frac{\tau(j)-\tau(i)}{j-i}$. Da mit $\{i,j\}$ auch $\{\tau(i),\tau(j)\}$ alle 
+	zweielementigen Teilmengen von $\{1,...,n\}$ und $\frac{\sigma(\tau(j))-\sigma(\tau(i))}{\tau(j)-\tau(i)}=\frac{\sigma(\tau(i))-
+		\sigma(\tau(j))}{\tau(i)-\tau(j)}$ ist $\prod_{i<j} \frac{\sigma(\tau(j))-\sigma(\tau(i))}{\tau(j)-\tau(i)}=\prod_
+	{i<j} \frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}=\sgn(\sigma)$ und $\prod_{i<j} \frac{\tau(j)-\tau(i)}{j-i}=sng(\tau)$. \\
+	Somit ist $\sgn(\sigma\tau)=\sgn(\sigma)\cdot \sgn(\tau)$.
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Für $\sigma\in S_n$ ist 
+	\begin{align}
+		\sgn(\sigma^{-1})=\sgn(\sigma)\notag
+	\end{align}
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	$\sgn(\sigma^{-1})=\sgn(\sigma)^{-1}=\sgn(\sigma)$
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Sei $\sigma\in S_n$. Sind $\tau_1,...,\tau_r$ Transpositionen mit $\sigma=\tau_1\circ ... \circ \tau_r$, so ist 
+	\begin{align}
+		\sgn(\sigma)=(-1)^r\notag
+	\end{align}
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	\propref{4_1_5} und \propref{4_1_7}
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Die geraden Permutationen $A_n=\{\sigma \in S_n \mid \sgn(\sigma)=1\}$ bilden einen Normalteiler von $S_n$, 
+	genannt die \begriff{alternierende Gruppe}. Ist $\tau\in S_n$ mit $\sgn(\tau)=-1$, so gilt für $A_n\tau=\{\sigma\tau \mid \sigma\in A_n\}$: 
+	$A_n \cup A_n\tau = S_n$ und $A_n \cap A_n\tau=\emptyset$.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Es ist $A_n=Ker(\sgn)$ und damit ist dieser auch ein Normalteiler. Ist $\sigma\in S_n\backslash A_n$, so ist $\sgn(\sigma\tau^{-1})=
+	\sgn(\sigma)\cdot \sgn(\tau)^{-1}=(-1)(-1)^{-1}=1$, also $\sigma=\sigma\tau^{-1}\in A_n\tau$, somit $A_n\cup A_n\tau=S_n$. Ist 
+	$\sigma\in A_n$, so ist $\sgn(\sigma\tau)=-1$, also $A_n\cap A_n\tau=\emptyset$.
+\end{proof}
\ No newline at end of file
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex
index 6021a69..a901bd3 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Definition_und_Beispiele.tex	
@@ -62,70 +62,70 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
 \begin{example}
 	\begin{itemize}
 		\item Schränkt man die Multiplikation im Polynomring $K[X] \times K[X] \to K[X]$ zu einer Abbildung $K \times K[X]
-		\to K[X]$ ein, so wird $K[X]$ mit dieser Skalarmultiplikation zu einem $K$-VR. Die Skalarmultiplikation ist also
+		\to K[X]$ ein, so wird $K[X]$ mit dieser Skalarmultiplikation zu einem $K$-Vektorraum. Die Skalarmultiplikation ist also
 		gegen $\lambda\cdot \sum _{k\ge 0} a_k\cdot X^k = \sum _{k\ge 0} \lambda\cdot a_k\cdot X^k$ ersetzt
 		wurden.
 		\item Schränkt man die komplexe Multiplikation $\mathbb C \times \mathbb C \to \mathbb C$ zu einer Abbildung 
 		$\mathbb R \times \mathbb C \to \mathbb C$ ein, so wird $\mathbb C$ mit dieser Skalarmultiplikation zu einem
-		$\mathbb R$-VR. Die Skalarmultiplikation ist gegeben durch $\lambda(x+iy)=\lambda\cdot x + i\cdot\lambda\cdot y$.
+		$\mathbb R$-Vektorraum. Die Skalarmultiplikation ist gegeben durch $\lambda(x+iy)=\lambda\cdot x + i\cdot\lambda\cdot y$.
 		\item Verallgemeinerung von 1 und 2: Ist der Körper $K$ ein Unterring eines kommutativen Rings $R$ mit Einselement 
 		$1_K \in K$, so wird $R$ durch Einschränkung der Multiplikation $R \times R \to R$ zu einer Abbildung $K \times R
-		\to R$ zu einem $K$-VR.
+		\to R$ zu einem $K$-Vektorraum.
 		\item Ist $X$ eine Menge, so wird die Menge der Abbildungen $\Abb(X,K)$ durch punktweise Addition $(f+g)(x)=f(x)+
-		g(x)$ und die Skalarmultiplikation $(\lambda\cdot f)(x)=\lambda\cdot f(x)$ zu einem $K$-VR. Im Spezialfall
+		g(x)$ und die Skalarmultiplikation $(\lambda\cdot f)(x)=\lambda\cdot f(x)$ zu einem $K$-Vektorraum. Im Spezialfall
 		$X=\{1,2,...,n\}$ erhält man den Standardraum $K^n$.
 	\end{itemize}
 \end{example}
 
 \begin{definition}[Untervektorraum]
-	Sei $V$ ein $K$-VR. Ein \begriff{Untervektorraum} (UVR) von $V$ ist eine nichtleere
-	Teilmenge $W \subset V$ mit: \\
+	Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Ein \begriff{Untervektorraum} (Untervektorraum) von $V$ ist eine nichtleere
+	Teilmenge $W \subseteq V$ mit: \\
 	(UV1): Für $x,y \in W$ ist $x+y\in W$. \\
 	(UV2): Für $x \in W$ und $\lambda \in K$ ist $\lambda\cdot x\in W$.
 \end{definition}
 
 \begin{proposition}
-	Sei $V$ ein $K$-VR und $W \subset V$. Genau dann ist $W$ ein UVR von $V$, wenn $W$ mit geeigneter
-	Einschränkung der Addition und Skalarmultiplikation wieder ein $K$-VR ist.
+	Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $W \subseteq V$. Genau dann ist $W$ ein Untervektorraum von $V$, wenn $W$ mit geeigneter
+	Einschränkung der Addition und Skalarmultiplikation wieder ein $K$-Vektorraum ist.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
 	\begin{itemize}
 		\item $\Rightarrow$: Lassen sich $+$: $V \times V \to V$ und $\cdot$: $K \times V \to V$ einschränken zur Abbildung $+_w$: $W
 		\times W \to W$, $\cdot_w$: $K \times W \to W$ so gilt für $x,y \in W$ und $\lambda \in K$: $x+y=x +_w y \in W$ und
-		$\lambda\cdot x=\lambda \cdot_w x \in W$. Ist $(W,+_w,\cdot_w)$ ein $K$-VR, so ist insbesondere $W$ nicht leer. Somit
-		ist $W$ ein UVR.
+		$\lambda\cdot x=\lambda \cdot_w x \in W$. Ist $(W,+_w,\cdot_w)$ ein $K$-Vektorraum, so ist insbesondere $W$ nicht leer. Somit
+		ist $W$ ein Untervektorraum.
 		\item $\Leftarrow$: Nach (UV1) und (UV2) lassen sich $+$ und $\cdot$ einschränken zu Abbildungen $+_w$: $W \times W \to W$ und 
 		$\cdot_w$: $K \times W \to W$. Nach (UV1) ist abgeschlossen und unter der Addition und für $x \in W$ ist auch $-x=
 		(-1)x \in W$ nach (UV2), $W$ ist somit Untergruppe von $(V,+)$. Insbesondere ist $(W,+)$ eine abelsche Gruppe, erfüllt 
 		also (V1). Die Verträglichkeit (V2) ist für $\lambda,\mu \in K$ und $x,y \in W$ gegeben, da sie auch für $x,y \in V$ 
-		erfüllt ist. Somit ist $(W,+_w,\cdot_w)$ ein $K$-VR.
+		erfüllt ist. Somit ist $(W,+_w,\cdot_w)$ ein $K$-Vektorraum.
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
 \begin{example}
 	\begin{itemize}
-		\item Jeder $K$-VR hat triviale UVR $W=\{0\}$ und $W=V$
-		\item Ist $V$ ein $K$-VR und $x \in V$, so ist $W=K\cdot x=\{\lambda\cdot x \mid \lambda \in K\}$ ein UVR von $V$. 
-		Insbesondere besitzt z.B. der $\mathbb R$-VR $\mathbb R^2$ unendlich viele UVR, nämlich alle Ursprungsgeraden. Hieran 
-		sehen wir auch, dass die Vereinigung zweier UVR im Allgemeinen kein UVR ist. $\mathbb R\cdot (1,0) \cup \mathbb 
-		R\cdot (1,0) \subset \mathbb R^2$ verletzt (UV1).
-		\item Der $K$-VR $K[X]$ hat unter anderem die folgenden UVR:
+		\item Jeder $K$-Vektorraum hat triviale Untervektorraum $W=\{0\}$ und $W=V$
+		\item Ist $V$ ein $K$-Vektorraum und $x \in V$, so ist $W=K\cdot x=\{\lambda\cdot x \mid \lambda \in K\}$ ein Untervektorraum von $V$. 
+		Insbesondere besitzt z.B. der $\mathbb R$-Vektorraum $\mathbb R^2$ unendlich viele Untervektorraum, nämlich alle Ursprungsgeraden. Hieran 
+		sehen wir auch, dass die Vereinigung zweier Untervektorraum im Allgemeinen kein Untervektorraum ist. $\mathbb R\cdot (1,0) \cup \mathbb 
+		R\cdot (1,0) \subseteq \mathbb R^2$ verletzt (UV1).
+		\item Der $K$-Vektorraum $K[X]$ hat unter anderem die folgenden Untervektorraum:
 		\begin{itemize}
 			\item Den Raum $K$ der konstanten Polynome
 			\item Den Raum $K[X]_{\le 1}=\{aX+b \mid a,b \in K\}$ der linearen (oder konstanten) Polynome
 			\item allgemeiner den Raum $K[X]_{\le n}=\{f \in K[X] \mid \deg(f) \le n\}$ der Polynome von höchstens Grad $n$
 		\end{itemize}
-		\item In der Analysis werden Sie verschiedene UVR des $\mathbb R$-VR $\Abb(\mathbb R,\mathbb R)$ kennenlernen, etwa
+		\item In der Analysis werden Sie verschiedene Untervektorraum des $\mathbb R$-Vektorraum $\Abb(\mathbb R,\mathbb R)$ kennenlernen, etwa
 		den Raum $\mathcal C(\mathbb R,\mathbb R)$ der stetigen Funktionen und den Raum $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb 
 		R)$ der stetig differenzierbaren Funktionen. Die Menge der Polynomfunktionen $\{\tilde f\mid \tilde f\in \mathbb R[X]\}$ bildet
-		einen UVR des $\mathbb R$-VR $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb R)$
+		einen Untervektorraum des $\mathbb R$-Vektorraum $\mathcal C^{-1}(\mathbb R,\mathbb R)$
 	\end{itemize}
 \end{example}
 
 
 \begin{lemma}
-	Ist $V$ ein Vektorraum und $(W_i)_{i \in I}$ eine Familie von UVR von $V$, so ist auch $W=\bigcap W_i$ 
-	ein UVR von $V$.
+	Ist $V$ ein Vektorraum und $(W_i)_{i \in I}$ eine Familie von Untervektorraum von $V$, so ist auch $W=\bigcap W_i$ 
+	ein Untervektorraum von $V$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Da $0 \in W_i$ ist auch $0 \in W$, insbesondere $W\neq\emptyset$.
@@ -136,17 +136,17 @@ In diesem Kapitel sei $K$ ein Körper.
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
-	Ist $V$ ein $K$-VR und $X \subset V$, so gibt es einen eindeutig bestimmten kleinsten UVR $W$ von $V$
-	mit $X \subset W$.
+	Ist $V$ ein $K$-Vektorraum und $X \subseteq V$, so gibt es einen eindeutig bestimmten kleinsten Untervektorraum $W$ von $V$
+	mit $X \subseteq W$.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
-	Sei $\mathcal V$ die Menge aller UVR von $X$, die $X$ enthalten. Sei $W=\bigcap \mathcal V$. Damit ist 
-	$W$ ein UVR von $V$ der $X$ enthält.
+	Sei $\mathcal V$ die Menge aller Untervektorraum von $X$, die $X$ enthalten. Sei $W=\bigcap \mathcal V$. Damit ist 
+	$W$ ein Untervektorraum von $V$ der $X$ enthält.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Erzeugendensystem]
-	Ist $V$ ein $K$-VR und $X\subset V$, so nennt man den kleinsten UVR von 
-	$V$, der $X$ enthält den von $X$ erzeugten UVR von $V$ und bezeichnet diesen mit $\langle X\rangle$. Eine Mengen $X\subset V$ 
-	mit $\langle X\rangle=V$ heißt \begriff{Erzeugendensystem} von $V$. Der VR $V$ heißt endlich erzeugt, wenn er ein endliches Erzeugendensystem 
+	Ist $V$ ein $K$-Vektorraum und $X\subseteq V$, so nennt man den kleinsten Untervektorraum von 
+	$V$, der $X$ enthält den von $X$ erzeugten Untervektorraum von $V$ und bezeichnet diesen mit $\langle X\rangle$. Eine Mengen $X\subseteq V$ 
+	mit $\langle X\rangle=V$ heißt \begriff{Erzeugendensystem} von $V$. Der Vektorraum $V$ heißt endlich erzeugt, wenn er ein endliches Erzeugendensystem 
 	besitzt.
 \end{definition}
\ No newline at end of file
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Determinante_einer_Matrix.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Determinante_einer_Matrix.tex
index 7add591..2555e9b 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Determinante_einer_Matrix.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Determinante_einer_Matrix.tex	
@@ -1 +1,210 @@
-\section{Determinante einer Matrix}
\ No newline at end of file
+\section{Determinante einer Matrix}
+
+\begin{remark}
+	Wir werden nun auch Matrizen mit Koeffizienten in Ring $R$ anstatt $K$ betrachten. Mit der gewohnten Addition und 
+	Multiplikation bilden die $n\times n$-Matrizen einen Ring $\Mat_n(R)$, und wir definieren wieder $\GL_n(R)=\Mat_n(R)^{\times}$.
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+	Seien $a_1,...,a_n\in R^m$ Spaltenvektoren, so bezeichnen wir mit $A=(a_1,...,a_n)\in \Mat_{m\times n}(R)$ die 
+	Matrix mit den Spalten $a_1,...,a_n$. sind $\widetilde{a_1},...,\widetilde{a_m}\in R^n$ Zeilenvektoren, so bezeichnen wir mit $\tilde A=(
+	\widetilde{a_1},...,\widetilde{a_m})\in \Mat_{m\times n}(R)$ die Matrix mit den Zeilen $\widetilde{a_1},...,\widetilde{a_m}$.
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+	Wir hatten bereits definiert: $\det(A)=ad-bc$ mit 
+	\begin{align}
+		A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \Mat_2(K)\notag
+	\end{align} und hatten 
+	festgestellt: $\det(A)\neq 0 \iff A\in \GL_2(K)$. Interpretation im $K=\mathbb R$:\\
+	\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0}
+	\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1}
+	\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
+	\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
+	\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1}
+	\begin{center}\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm, scale=0.6]
+		\clip(-10.24,-7.15) rectangle (10.24,7.15);
+		\fill[line width=1pt,color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.10000000149011612] (-7.8,-4.49) -- (-4.66,2.77) -- (1.02,-3.37) -- cycle;
+		\draw [shift={(-7.8,-4.49)},line width=1pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (0:5.6) arc (0:7.236922025968005:5.6) -- cycle;
+		\draw [shift={(-7.8,-4.49)},line width=1pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.45] (0,0) -- (0:3.6) arc (0:66.61118515369776:3.6) -- cycle;
+		\draw [line width=1pt] (-7.8,-6.15) -- (-7.8,5.15);
+		\draw [line width=1pt,domain=-9.24:7.24] plot(\x,{(-46.8756-0*\x)/10.44});
+		\draw [-latex,line width=1pt] (-7.8,-4.49) -- (-4.66,2.77);
+		\draw [-latex,line width=1pt] (-7.8,-4.49) -- (1.02,-3.37);
+		\draw [-latex,line width=1pt] (1.02,-3.37) -- (4.16,3.89);
+		\draw [-latex,line width=1pt] (-4.66,2.77) -- (4.16,3.89);
+		\draw [line width=1pt,color=zzttqq] (-7.8,-4.49)-- (-4.66,2.77);
+		\draw [line width=1pt,color=zzttqq] (-4.66,2.77)-- (1.02,-3.37);
+		\draw [line width=1pt,color=zzttqq] (1.02,-3.37)-- (-7.8,-4.49);
+		\draw [line width=1pt,color=qqqqff] (-7.8,-4.49)-- (1.02,-3.37);
+		\draw [line width=1pt,color=qqqqff] (-4.66,2.77)-- (-3.5966674931812537,-3.9562434911976196);
+		\begin{scriptsize}
+		\draw[color=ududff] (-3.78,3.6) node {$x_2 = (c,a)$};
+		\draw[color=ududff] (2.5,-3.14) node {$x_1 = (a,b)$};
+		\draw[color=ududff] (5.2,4.32) node {$x_1 + x_2$};
+		\draw[color=zzttqq] (-3.42,-1.46) node {$\Delta$};
+		\draw[color=qqqqff] (-3.28,-4.2) node {$g_{\Delta}$};
+		\draw[color=qqqqff] (-3.38,-0.4) node {$h_{\Delta}$};
+		\draw[color=qqwuqq] (-3,-4.82) node {$\alpha_1$};
+		\draw[color=qqwuqq] (-4.74,-1.84) node {$\alpha_2$};
+		\end{scriptsize}
+		\end{tikzpicture}\end{center}
+	Parallelogramm hat die Fläche $|\det A|$. Polarkoordianten: $x_i=\lambda_i(\cos a_i, \sin a_i)$. Ohne Einschränkung: $0\le a_1 \le a_2
+	\le \pi$
+	\begin{align}
+	F_{P} &= 2\cdot F_{\Delta} = 2\cdot \frac 1 2 \cdot g_{\Delta} \cdot h_{\Delta} \notag \\
+	g_{\Delta} &= \lambda_1 \notag \\
+	h_{\Delta} &= \lambda_2 \cdot \sin(a_2-a_1) \notag \\
+	F_{P} &= \lambda_1\lambda_2(\cos a_1 \sin a_2 - \sin a_1 \cos a_2) = \det(\begin{pmatrix}\lambda_1 \cos a_1 & 
+	\lambda_1 \sin a_1 \\ \lambda_2 \cos a_2 & \lambda_2 \sin a_2 \end{pmatrix}) \notag \\
+	&= \det A \notag
+	\end{align}
+	Insbesondere erfüllt $\det$ die folgenden Eigenschaften: 
+	\begin{itemize}
+		\item Für $\lambda\in R$ ist $\det(\lambda x_1,x_2)=\det(x_1,\lambda x_2)=\lambda\cdot \det(x_1,x_2)$
+		\item Für $x_i=x'_i+x''_i$ ist $\det(x_1,x_2)=\det(x'_1,x_2) + \det(x''_1,x_2)$
+		\item Ist $x_1=x_2$, so ist $\det A=0$
+		\item $\det(1_2)=1$
+	\end{itemize}
+\end{remark}
+
+\begin{definition}[Determinantenabbildung]
+	Eine Abbildung $\delta:\Mat_n(R)\to R$ heißt \begriff{Determinantenabbildung}, wenn gilt: \\
+	(D1): $\delta$ ist linear in jeder Zeile: sind $a_1,...,a_n$ die Zeilen von $A$ und ist $i\in \{1,...,n\}$ und $a_i=\lambda'a'_i + 
+	\lambda''a''_i$ mit $\lambda',\lambda''\in R$ und den Zeilenvektoren $a'_i,a''_i$, so ist $\delta(A)=\lambda'\cdot \delta(a_1,...,
+	a'_i,...,a_n) + \lambda''\cdot \det(a_1,...,a''_i,...,a_n)$. \\
+	(D2): $\delta$ ist alternierend: sind $a_1,...,a_n$ die Zeilen von $A$ und $i,j\in \{1,...,n\}$, $i\neq j$ mit $a_i=a_j$, so ist 
+	$\delta(A)=0$. \\
+	(D3): $\delta$ ist normiert: $\delta(\mathbbm{1}_n)=1$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	Sei $\delta:\Mat_n(K)\to K$ eine Determinantenabbildung. Ist $A\in \Mat_n(K)$ nicht invertierbar, so sind die Zeilen 
+	$a_1,...,a_n$ von $A$ linear abhängig, es gibt also ein $i$ mit $a_i=\sum_{j\neq i} \lambda_j\cdot a_j$. Es folgt $\delta(A)=
+	\delta(a_1,...,a_n)=\sum_{j\neq i} \lambda_j\cdot \delta(a_1,...,a_j,...,a_n)$ mit $a_i=a_j$ mit D2: $\sum_{j\neq i} 
+	\lambda_j\cdot 0=0=\delta(A)$.
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+	Erfüllt $\delta:\Mat_n(R) \to R$ die Axiome D1 und D2, so gilt für jedes $\sigma\in S_n$ und die Zeilenvektoren 
+	$a_1,...,a_n$: 
+	\begin{align}
+		\delta(a_{\sigma(1)},...,a_{\sigma(n)})=\sgn(\sigma)\cdot \delta(a_1,...,a_n)\notag
+	\end{align}
+\end{lemma}
+\textit{Beweis: \\
+	$\sigma$ ist ein Produkt von Transpositionen. Es genügt also die Behauptung für $\sigma=\tau_{ij}$ mit $1\le i<j\le n$ zu zeigen. \\
+	$0=\delta(a_1,...,a_i+a_j,...,a_j+a_i,....,a_n)=\delta(a_1,...,a_i,...,a_j,...,a_n)+\delta(a_1,...,a_i,...,a_i,...,a_n)+\delta(a_1,...,a_j,
+	...,a_j,...,a_n)+\delta{a_1,...,a_j,...,a_i,...,a_n}=\delta(a_1,...,a_n)+\delta(a_{\sigma(1)},...,a_{\sigma(n)})=0$. Mit $\sgn(\sigma)=
+	\sgn(\tau_{ij})=-1$ folgt die Behauptung.}
+
+\begin{lemma}
+	Erfüllt $\delta:\Mat_n(R)\to R$ die Axiome D1 und D2, so gilt für $A=(a_{ij})\in \Mat_n(R)$: 
+	\begin{align}
+		\delta(A)=\delta(\mathbbm{1}_n)
+		\cdot \sum_{\sigma\in S_n} \left( \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} \right)\notag
+	\end{align}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Schreibe $a_i=(a_{j_1},...,a_{in})=\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot e_j$. Wiederholtes Anwenden von D1 gibt $\delta(A)=\delta(
+	a_1,...,a_n)=\sum_{j_1=1}^n a_{1j_1}\cdot \delta(e_{j_1},a_2,...,a_n)=\sum_{j_1=1}^n ... \sum_{j_n=1}^n \delta(
+	e_{j_1},...,e_{j_n})\cdot \prod_{i=1}^n a_{ij_i}$. Wegen D2 ist $\delta(e_{j_1},...,e_{j_n})=0$ falls $j_i=j_{i'}$ für ein $i\neq i'$. 
+	Andernfalls ist $\sigma(i)=j_i$ einer Permutation von $\{1,...,n\}$ und $\delta(e_{j_1},...,e_{j_n})=\delta(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})=
+	\sgn(\sigma)\cdot \delta(e_1,...,e_n)=\sgn(\sigma)\cdot \delta(\mathbbm{1}_n)$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+	Es gibt genau eine Determinantenabbildung $\delta:\Mat_n(R)\to R$ und diese ist gegeben durch die 
+	Leibnitzformel 
+	\begin{align}
+		\det(a_{ij})=\sum_{\sigma\in S_n} \sgn(\sigma)\cdot \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} = \sum_{\sigma
+			\in A_n}\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} - \sum_{\sigma\in S_n\backslash A_n}\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}\notag
+	\end{align}
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+	Eindeutigkeit der Abbildung folgt wegen D3. Bleibt nur noch zu zeigen, dass $\det$ auch die Axiome D1 bis D3 erfüllt. \\
+	D1: klar \\
+	D3: klar \\
+	D2: Seien $\mu\neq v$ mit $a_{\mu}=a_v$. Mit $\tau=\tau_{\mu v}$ ist $S_n\backslash A_n = A_n\tau$, somit $\det(a_{ij})=
+	\sum_{\sigma\in A_n} \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}-\sum_{\sigma\in A_n\tau} \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma\tau(i)}=
+	\sum_{\sigma\in A_n} \left( \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} - \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma\tau(i)} \right). Da a_{ij}=a_{\tau(i),j}$ 
+	für alle $i,j$ ist $\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}=\prod_{i=1}^n a_{\tau(i),\sigma\tau(i)}=\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma\tau(i)}$ 
+	für jedes $\sigma\in S_n$, woraus $\det(a_{ij})=0$ folgt.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	\begin{itemize}
+		\item $n=2$, $S_2=\{\id, \tau_{12}\}$, 
+		\begin{align}
+			A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21}  & a_{22}\end{pmatrix}\notag
+		\end{align}
+		$\det(A)=\sum_{\sigma\in
+			S_2} a_{1,\sigma(1)}\cdot a_{2,\sigma(2)}=a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}$
+		\item $n=3$, $S_3=\{id,\tau_{12}, \tau_{23}, \tau_{13}, \text{2 zyklische Vertauschungen}\}$, $A_3=\{\id, \text{2 zyklische 
+			Vertauschungen}\}$, $S_3\backslash A_3=\{\tau_{12},\tau_{23},\tau_{13}\}$ und
+		\begin{align}
+			A=\begin{pmatrix}
+			a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
+			a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
+			a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
+			\end{pmatrix}\notag
+		\end{align}
+		ergibt sich: $\det(A)=\sum_{\sigma\in A_3} a_{1,\sigma(1)}\cdot a_{2,\sigma(2)}\cdot a_{3,\sigma(3)} - \sum_
+		{\sigma\in S_3\backslash A_3} a_{1,\sigma(1)}\cdot a_{2,\sigma(2)}\cdot a_{3,\sigma(3)}= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}
+		a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32}$
+		\item Ist $A=(a_{ij})$ eine obere Dreiecksmatrix, so ist $\det(A)=\prod_{i=1}^n a_{ii}$
+		\item Für $i\neq j$, $\lambda\in K^{\times}$, $\mu\in K$ ist $\det(S_i(\lambda))=\lambda$, $\det(Q_{ij}(\mu))=1$, $\det(P_{ij})=-1$
+		\item Ist $A$ eine \begriff{Blockmatrix} der Gestalt 
+		\begin{align}
+			\begin{pmatrix}A_1 & C \\ 0 & A_2\end{pmatrix}\notag
+		\end{align} mit quadratischen Matrizen $A_1,
+		A_2,C$, so ist $\det(A)=\det(A_1)\cdot \det(A_2)$
+	\end{itemize}
+\end{example}
+
+\begin{conclusion}
+	Für $A\in \Mat_n(R)$ ist $\det(A)=\det(A^t)$. Insbesondere erfüllt $\det$ die Axiome D1 und D2 auch für Spalten 
+	anstatt Zeilen.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Mit $\rho=\sigma^{-1}$ gilt $\sgn(\rho)=\sgn(\sigma)$ und somit $\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n} \sgn(\sigma) \cdot \prod_
+	{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}=\sum_{\rho\in S_n} \sgn(\rho)\cdot \prod_{i=1}^n a_{\rho(i),i}=\det(A^t)$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[Determinantenmultiplikationssatz]
+	\proplbl{4_2_11}
+	Für $A,B\in \Mat_n(R)$ ist 
+	\begin{align}
+		\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)\notag
+	\end{align}
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+	Fixiere $A$ und betrachte die Abbildung $\delta: \Mat_n(R)\to R$ mit $B\mapsto \det(AB^{-1})$. Diese Abbildung erfüllt die Axiome 
+	D1 und D2. sind $b_1,...,b_n$ die Zeilen von $B$, so hat $AB^{-1}$ die Spalten $Ab_1^t,...,Ab_n^t$, es werden die Eigenschaften 
+	von $\det$ auf $\delta$ übertragen. \\
+	$\Rightarrow \det(AB)=\delta(B^t)=\delta(\mathbbm{1}_n)\cdot \det(B^t)=\det(A)\cdot \det(B)$.
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	\proplbl{4_2_12}
+	Die Abbildung $\det:\Mat_n(R)\to R$ schränkt sich zu einem Gruppenhomomorphismus $\GL_n(R)\to 
+	R^{\times}$ ein. Ist $R=K$ ein Körper, so ist $A\in \Mat_n(K)$ also genau dann invertierbar, wenn $\det(A)\neq 0$ und in 
+	diesem Fall ist $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	Aus $AA^{-1}=\mathbbm{1}_n$ folgt $\det(A^{-1})*\det(A)=\det(\mathbbm{1}_n)=1$, insbesondere $\det(A)\in R^{\times}$. Der zweite Teil folgt wegen 
+	$K^{\times}=K\backslash \{0\}$.
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Die Matrizen mit Determinante 1 bilden einen Normalteiler $\SL_n(K)=\{A\in \GL_n \mid \det(A)=1\}$ der 
+	allgemeinen linearen Gruppe, die sogenannte \begriff{spezielle lineare Gruppe}.
+\end{conclusion}
+
+\begin{conclusion}
+	Elementare Zeilenumformungen vom Typ II ändern die Determinante nicht, elementare Zeilenumformungen vom 
+	Typ III ändern nur das Vorzeichen der Determinante.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	$\det(Q_{ij}(\mu)A)=\det(Q_{ij}(\mu)) \cdot \det(A)= 1\cdot \det(A) = \det(A)$, Rest analog.
+\end{proof}
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index 8703a5c..8c92b1f 100644
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+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Determinante_und_Spur_von_Endomorphismen.tex	
@@ -1 +1,102 @@
-\section{Determinante und Spur von Endomorphismen}
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+\section{Determinante und Spur von Endomorphismen}
+
+Sei $n\in \mathbb N$ und $V$ ein $K$-VR mit $\dim_K(V)=m$.
+
+\begin{proposition}
+	Sei $f\in \Hom_K(V,W)$, $A'$ eine Basis von $V$ und $A=M_{A'}(f)$. Sei weiter $B\in \Mat_n(K)$. Genau 
+	dann gibt es eine Basis $B'$ von $V$ mit $B=M_{B'}(f)$, wenn es $S\in \GL_n(K)$ mit $B=SAS^{-1}$ gibt.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Ist $B'$ eine Basis von $V$ mit $B=M_{B'}(f)$, so ist $B=SAS^{-1}$ mit $S=T^{A'}_{B'}$. Sei umgekehrt $B=SAS^{-1}$ mit 
+	$S\in \GL_n(K)$. Es gibt eine Basis $B'$ von $V$ mit $T^{A'}_{B'}=S$, also $M_{B'}(f)=T^{A'}_{B'}\cdot M_{A'}(f)\cdot (
+	T^{A'}_{B'})^{-1}=SAS^{-1}=B$: Mit $B'=(\Phi_{A'}(f_s^{-1}(e_1)),...,\Phi_{A'}(f_s^{-1}(e_n)))$ ist $\Phi_{A'}\circ f_s^{-1}=
+	id_V\circ \Phi_{B'}$, also $T^{A'}_{B'}=M_{A'}^{A'}(id_V)=S^{-1}$. Folglich ist $T^{A'}_{B'}=(T_{A'}^{B'})^{-1}=(S^{-1})^{-1}
+	=S$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Ähnlichkeit]
+	Zwei Matrizen $A,B\in \Mat_n(R)$ heißen \begriff{ähnlich}, wenn (in Zeichen $A\sim B$) es 
+	$S\in \GL_n(R)$ mit $B=SAS^{-1}$ gibt.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation auf $\Mat_n(R)$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item Reflexivität: $A=\mathbbm{1}_n\cdot A \cdot (\mathbbm{1}_n)^{-1}$
+		\item Symmetrie: $B=SAS^{-1}\Rightarrow A=S^{-1}BS=S^{-1}B(S^{-1})^{-1}$
+		\item Transitivität: $B=SAS^{-1}$, $C=TBT^{-1}\Rightarrow C=TSAS^{-1}T^{-1}=(TS)A(ST)^{-1}$
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Seien $A,B\in \Mat_n(R)$. Ist $A\sim B$, so ist
+	\begin{align}
+		\det(A)=\det(B)\notag
+	\end{align}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	$B=SAS^{-1}$, $S\in \GL_n(R)$, $\det(B)=\det(S)\cdot \det(A)\cdot \det(S)^{-1}=\det(A)$
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Determinante eines Endomorphismus]
+	Die \begriff[Endomorphismus!]{Determinante} eines Endomorphismus $f\in \End_K(V)$ ist 
+	\begin{align}
+		\det(f)=\det(M_B(f))\notag
+	\end{align}
+	wobei $B$ eine Basis von $V$ ist.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Für $f,g\in \End_K(V)$ gilt:
+	\begin{itemize}
+		\item $\det(\id_V)=1$
+		\item $\det(f\circ g)=\det(f)\cdot \det(g)$
+		\item Genau dann ist $\det(f)\neq 0$, wenn $f\in \Aut_K(V)$. In diesem Fall ist $\det(f^{-1})=\det(f)^{-1}$
+	\end{itemize}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	sollte klar sein, evtl. mit \propref{4_2_11}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Spur einer Matrix]
+	Die \begriff[Matrix!]{Spur} einer Matrix $A=(a_{ij})\in \Mat_n(R)$ ist 
+	\begin{align}
+		\tr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}\notag
+	\end{align}
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	Seien $A,B\in \Mat_n(R)$
+	\begin{itemize}
+		\item $\tr: \Mat_n(R)\to R$ ist $R$-linear
+		\item $\tr(A^t)=\tr(A)$
+		\item $\tr(AB)=\tr(BA)$
+	\end{itemize}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	in den Übungen bereits behandelt
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Seien $A,B\in \Mat_n(R)$. Ist $A\sim B$, so ist $\tr(A)=\tr(B)$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	$B=SAS^{-1}$, $S\in \GL_n(R)\Rightarrow \tr(B)=\tr(SAS^{-1})=\tr(AS^{-1}S)=\tr(A)$
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Spur eines Endomorphismus]
+	Die \begriff[Endomorphismus!]{Spur} eines Endomorphismus $f\in \End_K(V)$ ist
+	\begin{align}
+		\tr(f)=\tr(M_B(f))\notag
+	\end{align} 
+	wobei $B$ eine Basis von $V$ ist.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Im Fall $K=\mathbb R$ kann man den Absolutbetrag der Determinante eines $f\in \End_K(K^n)$ 
+	geometrisch interpretieren, nämlich als das Volumen von $f(Q)$, wobei $Q=[0,1]^n$ der Einheitsquader ist, und somit 
+	als Volumenänderung durch $f$. Auch das Vorzeichen von $\det(f)$ hat eine Bedeutung: Es gibt an, ob $f$ 
+	orientierungserhaltend ist. Für erste Interpretationen der Spur siehe A100.
+\end{remark}
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index 587e76e..1a92b26 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Linearkombinationen.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Linearkombinationen.tex	
@@ -1,6 +1,6 @@
 \section{Linearkombinationen}
 
-Sei $V$ ein $K$-VR.
+Sei $V$ ein $K$-Vektorraum.
 
 \begin{definition}[Linearkombination]
 	\begin{itemize}
@@ -29,7 +29,7 @@ Sei $V$ ein $K$-VR.
 \end{remark}
 
 \begin{lemma}
-	Für jede Teilmenge $X \subset V$ ist $\Span_K(X)$ ein UVR von $V$.
+	Für jede Teilmenge $X \subseteq V$ ist $\Span_K(X)$ ein Untervektorraum von $V$.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	\begin{itemize}
@@ -42,20 +42,20 @@ Sei $V$ ein $K$-VR.
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
-	Für jede Teilmenge $X \subset V$ ist $\Span_K(X)=\langle X\rangle$.
+	Für jede Teilmenge $X \subseteq V$ ist $\Span_K(X)=\langle X\rangle$.
 \end{proposition}
 \begin{proof}
 	\begin{itemize}
-		\item $\Span_K(X)$ ist UVR von $V$, der wegen $x=x\cdot 1$ die Menge $X$ enthält, und $\langle X\rangle$ ist der kleinste solche.
-		\item Ist $W\subset V$ ein UVR von $V$, der $X$ enthält, so enthält er auch wegen (UV2) alle Elemente der Form 
+		\item $\Span_K(X)$ ist Untervektorraum von $V$, der wegen $x=x\cdot 1$ die Menge $X$ enthält, und $\langle X\rangle$ ist der kleinste solche.
+		\item Ist $W\subseteq V$ ein Untervektorraum von $V$, der $X$ enthält, so enthält er auch wegen (UV2) alle Elemente der Form 
 		$\lambda\cdot x$, und wegen (UV1) dann auch alle Linearkombinationen aus $X$. Insbesondere gilt dies auch für $W=\langle X\rangle$
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
 \begin{remark}
-	Wir erhalten $\Span_K(X)=\langle X\rangle$ auf 2 verschiedenen Wegen. Erstens "'von oben"' als Schnitt über alle UVR 
+	Wir erhalten $\Span_K(X)=\langle X\rangle$ auf 2 verschiedenen Wegen. Erstens "'von oben"' als Schnitt über alle Untervektorraum 
 	von $V$, die $X$ enthalten und zweitens "'von unten"' als Menge der Linearkombinationen. Man nennt $\Span_K(X)$ auch den 
-	von $X$ aufgespannten UVR oder die lineare Hülle von $X$.
+	von $X$ aufgespannten Untervektorraum oder die lineare Hülle von $X$.
 \end{remark}
 
 \begin{example}
@@ -65,12 +65,12 @@ Sei $V$ ein $K$-VR.
 		$\Span_K(e_1,..,e_n)=V$. Insbesondere ist $K^n$ eindeutig erzeugt. Man nennt $(e_1,...,e_n)$ die Standardbasis des 
 		Standardraums $K^n$.
 		\item Sei $V=K[X]$ Polynomring über $K$. Da $f=\sum_{i=1}^n a_i\cdot X^i$ ist $\Span_K((X^i)_{i \in I})=K[X]$. 
-		Genauer ist $\Span_K(1,X,X^2,...,X^n)=K[X]_{\le n}$. Tatsächlich ist der $K$-VR $K[X]$ nicht endlich erzeugt. Sind 
+		Genauer ist $\Span_K(1,X,X^2,...,X^n)=K[X]_{\le n}$. Tatsächlich ist der $K$-Vektorraum $K[X]$ nicht endlich erzeugt. Sind 
 		$f_1,...,f_r \in K[X]$ und ist $d=\max\{\deg(f_1),...,\deg(f_r)\}$, so sind $f_1,...,f_r \in K[X]_{\le d}$ und somit 
-		$\Span_K(f_1,...,f_r) \subset K[X]_{\le d}$, aber es gibt Polynome, deren Grad größer $d$ ist.
+		$\Span_K(f_1,...,f_r) \subseteq K[X]_{\le d}$, aber es gibt Polynome, deren Grad größer $d$ ist.
 		\item Für $x \in V$ ist $\langle x\rangle=\Span_K(x)=K\cdot x$. Im Fall $K=\mathbb R$, $V=\mathbb R^3$, $x\neq 0$ ist dies eine 
 		Ursprungsgerade.
-		\item Im $\mathbb R$-VR $\mathbb C$ ist $\Span_{\mathbb R}(1)=\mathbb R\cdot 1=\mathbb R$, aber im $\mathbb C$-VR 
+		\item Im $\mathbb R$-Vektorraum $\mathbb C$ ist $\Span_{\mathbb R}(1)=\mathbb R\cdot 1=\mathbb R$, aber im $\mathbb C$-Vektorraum 
 		$\mathbb C$ ist $\Span_{\mathbb C}(1)=\mathbb C\cdot 1=\mathbb C$
 	\end{itemize}
 \end{example}
@@ -91,8 +91,8 @@ Sei $V$ ein $K$-VR.
 		\item Offenbar hängt die Bedingung (*) nicht von der Reihenfolge der $x_1,...,x_n$ ab und ist $(x_1,...,x_k)$ linear 
 		abhängig für ein $k \le n$, so ist auch $(x_1,...,x_n)$ linear abhängig. Deshalb stimmt die 2. Definition für 
 		endliche Familien mit der 1. überein und $(x_i)$ ist genau dann linear abhängig, wenn es eine endliche Teilmenge 
-		$J \subset I$ gibt, für die $(x_j)$ linear abhängig ist.
-		\item Eine Familie ist genau dann linear unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge $J\subset I$ und für jede 
+		$J \subseteq I$ gibt, für die $(x_j)$ linear abhängig ist.
+		\item Eine Familie ist genau dann linear unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge $J\subseteq I$ und für jede 
 		Wahl an Skalaren $(\lambda_i)_{i\in J}$ aus $\sum \lambda_i\cdot x_i=0$ schon $\lambda_i=0$ folgt, also wenn sich 
 		der Nullvektor nur trivial linear kombinieren lässt. 
 	\end{itemize}
@@ -141,14 +141,14 @@ Sei $V$ ein $K$-VR.
 	\begin{itemize}
 		\item Die Standardbasis $(e_1,...,e_n)$ des $K^n$ ist linear unabhängig. Es ist $\sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot 
 		e_i=(\lambda_1,...,\lambda_n)$
-		\item Im $K$-VR $K[X]$ sind die Monome $(X^i)$ linear unabhängig.
+		\item Im $K$-Vektorraum $K[X]$ sind die Monome $(X^i)$ linear unabhängig.
 		\item Ein einzelner Vektor $x\in V$ ist genau dann linear abhängig, wenn $x=0$.
 		\item Ein Paar $(x_1,x_2)$ von Elementen von $V$ ist linear abhängig, wenn es ein skalares Vielfaches des anderen ist, also z.B. $x_1=
 		\lambda\cdot x_2$.
-		\item Im $\mathbb R$-VR $\mathbb R^2$ sind die beiden Vektoren $(1,2)$ und $(2,1)$ linear unabhängig. \\
-		Im $\mathbb Z\backslash 3\mathbb Z$-VR $(\mathbb Z\backslash 3\mathbb Z)^2$ sind diese Vektoren linear unabhängig, da 
+		\item Im $\mathbb R$-Vektorraum $\mathbb R^2$ sind die beiden Vektoren $(1,2)$ und $(2,1)$ linear unabhängig. \\
+		Im $\mathbb Z\backslash 3\mathbb Z$-Vektorraum $(\mathbb Z\backslash 3\mathbb Z)^2$ sind diese Vektoren linear unabhängig, da 
 		$x_1+x_2=(1,2)+(2,1)=(3,3)=(0,0)=0$. 
-		\item Im $\mathbb R$-VR $\mathbb C$ ist $(1,i)$ linear unabhängig, aber im $\mathbb C$-VR $\mathbb C$ ist $(1,i)$ 
+		\item Im $\mathbb R$-Vektorraum $\mathbb C$ ist $(1,i)$ linear unabhängig, aber im $\mathbb C$-Vektorraum $\mathbb C$ ist $(1,i)$ 
 		linear abhängig, denn $\lambda_1\cdot 1+\lambda_2\cdot i =0$ für $\lambda_1=1$ und $\lambda_2=i$.
 	\end{itemize}
 \end{example}
@@ -157,7 +157,7 @@ Sei $V$ ein $K$-VR.
 	\begin{itemize}
 		\item Ist $x_{i_0}=0$, ist $(x_i)$ linear abhängig: $1\cdot x_{i_0}=0$
 		\item Gibt es $i,j\in I$ mit $i\neq j$, aber $x_i=x_j$, so ist $(x_i)$ linear abhängig: $x_i-x_j=0$
-		\item Dennoch sagt man auch "'die Teilmenge $X\subset V$ ist linear abhängig"' und meint damit, dass die Familie $(x_x)
+		\item Dennoch sagt man auch "'die Teilmenge $X\subseteq V$ ist linear abhängig"' und meint damit, dass die Familie $(x_x)
 		_{x\in X}$ linear abhängig ist, d.h. es gibt ein $n\in \mathbb N_0$, $x_1,...,x_n \in X$ paarweise verschieden, mit 
 		$\sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot x_i=0$.
 	\end{itemize}
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Minoren.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Minoren.tex
index 08d62e0..6a744d8 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Minoren.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Minoren.tex	
@@ -1 +1,129 @@
-\section{Minoren}
\ No newline at end of file
+\section{Minoren}
+
+Seien $m,n\in \mathbb N$.
+
+\begin{definition}[adjungierte Matrix]
+	Sei $A=(a_{ij})\in \Mat_n(R)$. Für $i,j\in \{1,...,n\}$ definieren wir die $n\times n$-Matrix: \\
+	\begin{align}
+		A_{ij}=\begin{pmatrix}
+		a_{11} & ... & a_{1,j-1} & 0 & a_{1,j+1} & ... & a_{1n} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{i-1,1} & ... & a_{i-1,j.1} & 0 & a_{i-1,j+1} & ... & a_{i-1,n} \\
+		0 & ... & 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\
+		a_{i+1,1} & ... & a_{i+1,j.1} & 0 & a_{i+1,j+1} & ... & a_{i+1,n} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{n1} & ... & a_{n,j-1} & 0 & a_{n,j+1} & ... & a_{nn} \\
+		\end{pmatrix}\notag
+	\end{align}
+	die durch Ersetzen der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte durch $e_j$ aus $A$ hervorgeht, sowie die $(n-1)\times(n-1)$-
+	Matrix: \\
+	\begin{align}
+		A'_{ij}=\begin{pmatrix}
+		a_{11} & ... & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & ... & a_{1n} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{i-1,1} & ... & a_{i-1,j.1} & a_{i-1,j+1} & ... & a_{i-1,n} \\
+		a_{i+1,1} & ... & a_{i+1,j.1} & a_{i+1,j+1} & ... & a_{i+1,n} \\
+		\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+		a_{n1} & ... & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & ... & a_{nn} \\
+		\end{pmatrix}\notag
+	\end{align}
+	die durch Streichen der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalten entsteht. Weiterhin definieren wir die zu $A$ \begriff{adjungierte Matrix} 
+	als $A^\#=(a_{ij}^\#)\in \Mat_n(R)$, wobei $a_{ij}^\#=\det(A_{ji})$.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+	Sei $A\in \Mat_n(R)$ mit Spalten $a_1,...,a_n$. Für $i,j\in \{1,..,n\}$ gilt:
+	\begin{itemize}
+		\item $\det(A_{ij})=(-1)^{i+j}\cdot \det(A'_{ij})$
+		\item $\det(A_{ij})=\det(a_1,...,a_{j-1},e_i,a_{j+1},...,a_n)$
+	\end{itemize}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item Durch geeignete Permutation der ersten $i$ Zeilen und der ersten $j$ Zeilen erhält man 
+		\begin{align}
+			\det(A_{ij})&=(-1)^{(i-1)+
+				(j-1)} \cdot \det(\begin{pmatrix}1&0&...&0 \\ 0 & \; & \; & \; \\ \vdots & \; & A'_{ij} & \; \\ 0 & \; & \; & \; \\ \end{pmatrix})\notag \\
+			&=(-1)^{i+j}\cdot \det(\mathbbm{1}_n)\cdot \det(A'_{ij})\notag
+		\end{align}
+		\item Man erhält $A_{ij}$ aus $(a_1,...,e_i,...,a_n)$ durch elementare Spaltenumformungen vom Typ II.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	\proplbl{4_3_3}
+	Für $A\in \Mat_n(R)$ ist 
+	\begin{align}
+		A^\#\cdot A=A\cdot A^\#=\det(A)\cdot \mathbbm{1}_n
+	\end{align}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	$(A^\#A)_{ij}=\sum_{k=1}^n a^\#_{ik}\cdot a_{kj}=\sum_{k=1}^n a_{kj}\cdot \det(A_{kj})=\sum_{k=1}^n a_{kj}\cdot 
+	\det(a_1,...,a_{i-1},a_j,a_{i+1},...,a_n)=\det(a_1,...,a_{i-1},\sum_{k=1}^n a_{kj}e_k,a_{i+1},...,a_n) = \det(a_1,...,a_{i-1},a_j,
+	a_{i+1},...,a_n)=\delta_{ij}\cdot \det(A)=(\det(A)\cdot \mathbbm{1}_n)_{ij}$. Analog bestimmt man die Koeffizienten von $AA^\#$, wobei man 
+	$\det(A_{jk})=\det(A_{jk}^t)=\det((A^t)_{kj})$ benutzt.
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Es ist $\GL_n(R)=\{A\in \Mat_n(R) \mid \det(A)\in R^{\times}\}$ und für $A\in \GL_n(R)$ ist $A^{-1}=
+	\frac{1}{\det(A)}\cdot A^\#$.
+\end{conclusion}
+\begin{proof}
+	\propref{4_3_3} und \propref{4_2_12}
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}[\person{Laplace}'scher Entwicklungssatz]
+	Sei $A=(a_{ij})\in \Mat_n(R)$. Für jedes $i,j\in \{1,..,n\}$ gilt die 
+	Formel für die Entwicklung nach der $i$-ten Zeile: \\
+	\begin{align}
+		\det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det(A'_{ij})\notag
+	\end{align}
+	Gleiches gilt auch für Spalten.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	$\det(A)=(AA^\#)_{ij}=\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot a^\#_{ij} = \sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot \det(A_{ij})=\sum_
+	{j=1}^n a_{ij}\cdot (-1)^{i+j}\cdot \det(A'_{ij})$. Analog auch für Spalten.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}[\person{Cramer}'sche Regel]
+	Sei $A\in \GL_n(R)$ mit Spalten $a_1,...,a_n$ und sei $b\in R^n$. Weiter sei 
+	$x=(x_1,...,x_n)^t\in R^n$ die eindeutige Lösung des Linearen Gleichungssystems $Ax=b$. Dann ist für $i=1,...,n$ 
+	\begin{align}
+		x_i=\frac{\det(a_1,...,a_{i-1},b,a_{i+1},...,a_n)}{\det(A)}\notag
+	\end{align}
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	$x_i=(A^{-1}b)_i=\sum_{j=1}^n (A^{-1})_{ij}\cdot b_j=\frac{1}{\det(A)}\cdot \sum_{j=1}^n a^\#_{ij}\cdot b_j = 
+	\frac{1}{\det(A)}\cdot \sum_{j=1}^n b_j\cdot \det(a_1,...,a_{i-1},e_i,a_{i+1},...,a_n)=\frac{1}{\det(A)}\cdot \det(a_1,...,
+	a_{i-1},b_j,a_{i+1},...,a_n)$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Minor]
+	Sei $A=(a_{ij})\in \Mat_{m\times n}(R)$ und $1\le r \le m$, $1\le s \le n$. Eine $r\times s$-
+	Teilmatrix von $A$ ist eine Matrix der Form $(a_{i\mu,jv})_{\mu,v}\in \Mat_{r\times s}(R)$ mit $1\le i_1<...<i_r\le m$ 
+	und $1\le j_1<...<j_s\le n$. Ist $A'$ eine $r\times r$-Teilmatrix von $A$, so bezeichnet man $\det(A')$ als einen 
+	$r$-\begriff{Minor} von $A$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+	Ist $A\in \Mat_n(R)$ und $i,j\in \{1,...,n\}$, so ist $A'_{ij}$ eine Teilmatrix und $\det(A'_{ij})=(-1)^{i+j}
+	\cdot a^\#_{ji}$ ein $(n-1)$-Minor von $A$.
+\end{example}
+
+\begin{proposition}
+	Sei $A\in \Mat_n(R)$ und $r\in \mathbb N$. Genau dann ist $\rk(A)\ge r$, wenn es eine $r\times r$-
+	Teilmatrix $A'$ von $A$ mit $\det(A^{\prime})\neq 0$ gibt.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	\begin{itemize}
+		\item Hinrichtung: Ist $\rk(A)\ge r$, so hat $A$ $r$ linear unabhängige Spalten $a_1,...,a_r$. Die Matrix $\tilde A=(a_1,...,a_r)$ 
+		hat den Rang $r$ und deshalb $r$ linear unabhängige Zeilen $\widetilde{a_1},...,\widetilde{a_r}$. Die $r\times r$-Matrix $A$ hat 
+		dann Rang $r$, ist also invertierbar, und $\det(A)\neq 0$.
+		\item Rückrichtung: Ist $A'$ eine $r\times r$-Teilmatrix von $A$ mit $\det(A')\neq 0$, so ist $\rk(A)\ge \rk(A')=r$.
+	\end{itemize}
+\end{proof}
+
+\begin{conclusion}
+	Sei $A\in \Mat_{m\times n}(K)$. Der Rang von $A$ ist das größte $r\in \mathbb N$, für das 
+	$A$ einen von Null verschiedenen $r$-Minor hat.
+\end{conclusion}
\ No newline at end of file
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex
index 9377807..d75e5ee 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Polynome.tex	
@@ -157,7 +157,7 @@ man $f$ \begriff[Polynom!]{konstant}, \begriff[Polynom!]{linear} bzw. \begriff[P
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
-	Ist $K$ ein unendlicher Körper, so ist die Abbildung $K[X] \to Abb(K,K)$ und $f \mapsto
+	Ist $K$ ein unendlicher Körper, so ist die Abbildung $K[X] \to \Abb(K,K)$ und $f \mapsto
 	\tilde f$ injektiv.
 \end{conclusion}
 \begin{proof}
diff --git a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Summen_von_VR.tex b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Summen_von_VR.tex
index aa175ef..2388791 100644
--- a/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Summen_von_VR.tex	
+++ b/1. Semester/LAAG_ueberarbeitet/TeX_files/Summen_von_VR.tex	
@@ -1,9 +1,9 @@
-\section{Summen von VR}
+\section{Summen von Vektorräumen}
 
-Sei $V$ ein $K$-VR und $(W_i)$ eine Familie von UVR von $V$.
+Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $(W_i)$ eine Familie von Untervektorräumen von $V$.
 
 \begin{definition}[Summe von Vektorräumen]
-	Die \begriff[Vektorraum!]{Summe} der $W_i$ ist der UVR
+	Die \begriff[Vektorraum!]{Summe} der $W_i$ ist der Untervektorraum
 	\begin{align}
 		\sum_{i\in I} W_i := \Span_K\left(\bigcup W_i\right)\notag
 	\end{align} 
@@ -17,15 +17,15 @@ Sei $V$ ein $K$-VR und $(W_i)$ eine Familie von UVR von $V$.
 \begin{proof}
 	\begin{itemize}
 		\item $"\supseteq"$: klar, $\sum x_i \in \Span_K(\bigcup W_i)$
-		\item $"\subseteq"$: Die rechte Seite enthält jedes $W_i$ und ist ein UVR von $V$: \\
+		\item $"\subseteq"$: Die rechte Seite enthält jedes $W_i$ und ist ein Untervektorraum von $V$: \\
 		Für $x_i,x'_i \in W$, fast alle gleich 0 und $\lambda \in K$ ist $\sum x_i + \sum x'_i = \sum (x_i+x'_i)$, $\lambda
-		\cdot \sum x_i = \sum \lambda\cdot x_i$ $\Rightarrow$ UVR
+		\cdot \sum x_i = \sum \lambda\cdot x_i$ $\Rightarrow$ Untervektorraum
 	\end{itemize}
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[direkte Summe]
 	Ist jedes $x\in \sum W_i$ eindeutig als Summe von $x_i$ mit $x_i\in W_i$ 
-	darstellbar, so sagt man, dass $\sum W_i$ die \begriff{direkte Summe} der UVR $W_i$ ist und schreibt $\oplus W_i$ für 
+	darstellbar, so sagt man, dass $\sum W_i$ die \begriff{direkte Summe} der Untervektorräume $W_i$ ist und schreibt $\oplus W_i$ für 
 	$\sum W_i$. Im Fall $I=\{1,...,n\}$ schreibt man auch $W_1\oplus W_2 \oplus ... \oplus W_n$ für $\oplus W_i$.
 \end{definition}
 
@@ -43,7 +43,7 @@ Sei $V$ ein $K$-VR und $(W_i)$ eine Familie von UVR von $V$.
 \end{remark}
 
 \begin{proposition}
-	Sind $W_1,W_2$ UVR von $V$ mit Basen $(x_i)_{i\in I_1}$ bzw. $(x_i)_{i\in I_2}$, wobei $I_1 \cap 
+	Sind $W_1,W_2$ Untervektorräume von $V$ mit Basen $(x_i)_{i\in I_1}$ bzw. $(x_i)_{i\in I_2}$, wobei $I_1 \cap 
 	I_2 = \emptyset$, so sind äquivalent:
 	\begin{itemize}
 		\item $V=W_1 \oplus W_2$
@@ -65,8 +65,8 @@ Sei $V$ ein $K$-VR und $(W_i)$ eine Familie von UVR von $V$.
 \end{proof}
 
 \begin{conclusion}
-	Ist $\dim_K(V)<\infty$, so ist jeder UVR ein direkter Summand: Ist $W$ ein UVR von $V$, so 
-	gibt es einen UVR $W'$ von $V$ mit $V=W\oplus W'$ ($W'$ heißt das \begriff{lineare Komplement} von $W$ in $V$). Es 
+	Ist $\dim_K(V)<\infty$, so ist jeder Untervektorraum ein direkter Summand: Ist $W$ ein Untervektorraum von $V$, so 
+	gibt es einen Untervektorraum $W'$ von $V$ mit $V=W\oplus W'$ ($W'$ heißt das \begriff{lineare Komplement} von $W$ in $V$). Es 
 	ist
 	\begin{align}
 		\dim_K(W')=\dim_K(V)-\dim_K(W)\notag
@@ -84,13 +84,13 @@ Sei $V$ ein $K$-VR und $(W_i)$ eine Familie von UVR von $V$.
 \end{remark}
 
 \begin{theorem}[Dimensionsformel]
-	Sei $\dim_K(V)<\infty$. Für UVR $W_1,W_2$ von $V$ gilt:
+	Sei $\dim_K(V)<\infty$. Für Untervektorräume $W_1,W_2$ von $V$ gilt:
 	\begin{align}
 		\dim_K(W_1+W_2) + \dim_K(W_1 \cap W_2) = \dim_K(W_1) + \dim_K(W_2)\notag
 	\end{align}
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-	Da $\dim_K(V)<\infty$ haben alle UVR von $V$ Basen. Sei also $B_0=(X_1,...,x_n)$ eine Basis von $W_1\cap W_2$. Nach 
+	Da $\dim_K(V)<\infty$ haben alle Untervektorräume von $V$ Basen. Sei also $B_0=(X_1,...,x_n)$ eine Basis von $W_1\cap W_2$. Nach 
 	dem Basisergänzungssatz können wir $B_0$ zu den Basen $B_1=(x_1,...,x_n,y_1,...,y_p)$ von $W_1$ und $B_2=(x_1,...,
 	x_n,z_1,...,z_q)$ von $W_2$ ergänzen. Wir behaupten, dass $B=(x_1,...,x_n,y_1,...,y_p,z_1,...,z_q)$ eine Basis von 
 	$W_1+W_2$ ist. Offenbar ist $B$ ein Erzeugendensystem von $W_1+W_2$. Seien nun $\lambda_1,...,\lambda_n,\mu_1,...,
@@ -103,24 +103,24 @@ Sei $V$ ein $K$-VR und $(W_i)$ eine Familie von UVR von $V$.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[externes Produkt]
-	Das \begriff{externe Produkt} einer Familie $(V_i)$ von $K$-VR ist der $K$-VR 
+	Das \begriff{externe Produkt} einer Familie $(V_i)$ von $K$-Vektorräumen ist der $K$-Vektorraum 
 	$\prod V_i$ bestehend aus dem kartesischen Produkt der $V_i$ mit komponentenweiser Addition und 
 	Skalarmultiplikation, $(x_i)+(x'_i) := (x_i+x'_i)$ und $\lambda(x_i) := (\lambda x_i).$
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[externe Summe]
-	Die \begriff{externe Summe} einer Familie $(V_i)$ von $K$-VR ist der UVR 
-	$\oplus V_i := \{(x_i) \in \prod V_i \mid x_i=0 \text{; für fast alle }i\}$ des $K$-VR $\prod V_i$.
+	Die \begriff{externe Summe} einer Familie $(V_i)$ von $K$-Vektorräumen ist der Untervektorraum 
+	$\oplus V_i := \{(x_i) \in \prod V_i \mid x_i=0 \text{; für fast alle }i\}$ des $K$-Vektorraum $\prod V_i$.
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
-	Man prüft sofort nach, dass $\prod V_i$ ein $K$-VR ist und $\oplus V_i$ ein UVR davon ist. Für 
+	Man prüft sofort nach, dass $\prod V_i$ ein $K$-Vektorraum ist und $\oplus V_i$ ein Untervektorraum davon ist. Für 
 	endliche Indexmengen ist $\prod V_i = \oplus V_i$, z.B. $K^n = \prod_{i=1}^n K = \oplus K$.
 \end{remark}
 
 \begin{lemma}
-	Sei $(V_i)$ eine Familie von $K$-VR und sei $V=\oplus V_i$. Für jedes $j\in I$ ist $\tilde V_j :=
-	V \times \prod_{i\in I\backslash\{j\}} \{0\}$ ein UVR von $V$ und $V=\oplus \tilde V_j$
+	Sei $(V_i)$ eine Familie von $K$-Vektorräumen und sei $V=\oplus V_i$. Für jedes $j\in I$ ist $\tilde V_j :=
+	V \times \prod_{i\in I\backslash\{j\}} \{0\}$ ein Untervektorraum von $V$ und $V=\oplus \tilde V_j$
 \end{lemma}
 \begin{proof}
 	Ist $x=(x_i)\in V$ mit $x_i\in V_i$, fast alle $x_i=0$, so ist $x=\sum \tilde x_i$ mit $\tilde x:=(x_i\delta_{ij})
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index 7795e21..cbec331 100644
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