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@ -10,41 +10,55 @@ Betrachte $f_k:D\subset K^n\to K^m$, $D$ offen, $f_k$ \gls{diffbar} für $k\in\m
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alle $f_k$ stetig, $f_k\to f$ gleichmäig auf $D$ $\xRightarrow{\text{\propref{chap_14_19}}}$ $f$ stetig
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\end{boldenvironment}
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\begin{example}
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\begin{*example}
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Sei $f_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f_k(x) = \frac{\sinh^2 x}{k}$.
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Wegen $\vert f_k(x)\vert \le \frac{1}{k}$ $\forall k$ $\Rightarrow$ $f_k\to f$ gleichmäßig auf $\mathbb{R}$ für $f=0$
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Aber $f_k'(x) = k\cdot\cosh^2 x \cancel{\rightarrow} f'(x) = 0$
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\end{*example}
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\begin{example}
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Sei $f_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f_k(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{k}}$, wobei $f(x) = \vert x \vert$\\
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$\Rightarrow$ alle $f_k$ \gls{diffbar}, $f_k \to f$ gleichmäßig auf $[-1,1]$
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und $(\vert f_k(x) - f(x)\vert \le f_k(0)\frac{1}{\sqrt{k}}$ \emph{aber} $f$ nicht \gls{diffbar} %TODO abbildung
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\end{example}
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\begin{example}
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Sei $f_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f_k(x) = \frac{\sin kx}{x}$, $\Rightarrow f_k \to f(x) = 0$ gleichmäßig auf $\real$ (da $\vert f_k(x) \vert \le \frac{1}{k} \forall x \in \real$) \\
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\emph{aber} $f^{'}_{k}(x) = \cos kx \not\to f^{'}(x) = 0$
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\end{example}
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\begin{proposition}[Differentiation bei Funktionsfolgen]
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\proplbl{funktionsfolgen_differentiation}
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Sei $f_K:D\subset K^n\to K^n$, $D$ offen, beschränkt, $f_k$ \gls{diffbar} $\forall k$ und\begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
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\item $f_k'\rightarrow: g$ gleichmäßig auf $B_r(x)\subset D$
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\item \proplbl{funktionsfolgen_differentiation_b} $\{ f_k(x_0)\}$ konvergiert für ein $x_0\in B_r(x)$
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Sei $f_K:D\subset K^n\to K^m$, $D$ offen, beschränkt, $f_k$ \gls{diffbar} $\forall k$ und\begin{enumerate}[label={(\alph*)}]
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\item $f_k'\to: g$ gleichmäßig auf $B_r(x)\subset D$
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||||
\item \proplbl{funktionsfolgen_differentiation_b} $\{ f_k(x_0)\}_{k}$ konvergiert für ein $x_0\in B_r(x)$
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\end{enumerate}
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$\Rightarrow$ $f_k\rightarrow: f$ gleichmäßig auf $B_r(x)$ und $f$ ist \gls{diffbar} auf $B_r(x)$ mit \begin{align*}
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$\Rightarrow$ $f_k\to: f$ gleichmäßig auf $B_r(x)$ und $f$ ist \gls{diffbar} auf $B_r(x)$ mit
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\begin{align*}
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f_k'(y) \rightarrow f'(y) \quad\forall y\in B_r(x)
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\end{align*}
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\end{proposition}
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\begin{underlinedenvironment}[Hinweis]
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Betrachte $f_k(x) := \frac{x^k}{k^2} + k$ auf $(0,1)$ um zu sehen, dass Voraussetzung \ref{funktionsfolgen_differentiation_b} wichtig ist.
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Betrachte $f_k(x) := \frac{\sin x}{k} + k$ auf $\real$ um zu sehen ($g = 0$), dass Voraussetzung \ref{funktionsfolgen_differentiation_b} wichtig ist.
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\end{underlinedenvironment}
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\begin{proof}
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Für $\epsilon > 0$ $\exists k\in \mathbb{N}$ mit \begin{align}
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Für $\epsilon > 0$ $\exists k_0\in \mathbb{N}$ mit
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\begin{align}
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\proplbl{funktionsfolgen_differentiation_beweis_1}
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\vert f_k(x_0) - f_l(x_0)\vert < \epsilon \quad k,l \ge k_0
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\vert f_k(x_0) - f_l(x_0)\vert < \epsilon \quad \forall k,l \ge k_0 \text{ und }\\
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\Vert g(y) - f^{y}_k\Vert < \epsilon, \Vert f^{'}_k(y) - f^{'}_k(y)\Vert < \epsilon \forall k,l \ge k_0, y \in B_r(x)
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\end{align}
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Weiter gilt (eventuell für größeres $k_0$) $\Vert g(z) - f_k'(z)\Vert < \epsilon$ und \begin{align}
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\proplbl{funktionsfolgen_differentiation_beweis_2}
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\Vert f_k'(y) - f_l'(y)\Vert < \epsilon \quad\forall k,l\ge k_0,\;z,y\in B_r(x)
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\end{align}
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Schrankensatz: $\forall z,y\in B_r(x)$, $k,l\ge k_0$ $\exists \xi\in [z,y]$ mit {\zeroAmsmathAlignVSpaces**\begin{align}
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Schrankensatz: $\forall z,y\in B_r(x)$, $k,l\ge k_0$ $\exists \xi\in [y,z]$ mit {\zeroAmsmathAlignVSpaces**\begin{align}
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\proplbl{funktionsfolgen_differentiation_beweis_3}
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\left\vert \left(f_k(y) - f_l(y)\right) - \left( f_k(z) - f_l(z)\right)\right\vert \le \Vert f_k'(\xi) - f_l'(\xi)\Vert \cdot \vert y - z\vert \le \epsilon \vert y -z\vert < 2r\cdot\epsilon
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||||
\left\Vert \left(f_k(y) - f_l(y)\right) - \left( f_k(z) - f_l(z)\right)\right\Vert \le \Vert f_k'(\xi) - f_l'(\xi)\Vert \cdot \vert y - z\vert \le \epsilon \vert y -z\vert < 2r\cdot\epsilon
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||||
\end{align}}
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{\zeroAmsmathAlignVSpaces*\begin{flalign}
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\notag\Rightarrow\;\;\vert f_k(y) - f_l(y)\vert &\le \vert \big(f_k(y) - f_l(y)\big) - \big(f_k(x_0) - f_l(x_0)\big)\vert + \vert f_k(x_0) - f_l(x_0)\vert& \\
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@ -80,13 +94,14 @@ Betrachte $f_k:D\subset K^n\to K^m$, $D$ offen, $f_k$ \gls{diffbar} für $k\in\m
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\end{proof}
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\subsection{Anwendung auf Potenzreihen}
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Sei $f:B_r(x_0)\subset K\to K$ gegen durch eine Potenzreihe \begin{align}
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Sei $f:B_R(x_0)\subset K\to K$ gegeben durch eine Potenzreihe
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\begin{align}
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\proplbl{funktionsfolgen_potenzreihe}
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f(x) &= \sum_{k=0}^\infty a_k(x - x_0)^k\quad\forall x\in B_{\underbrace{\text{\scriptsize$R$}}_{\mathclap{\text{Konvergenzradius}}}}(x_0)
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\end{align}
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\end{align}
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\begin{boldenvironment}[Wiederholung]
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$R=\frac{1}{\limsup \sqrt[k]{\vert a_k\vert}}$
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$R=\frac{1}{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\vert a_k\vert}}$
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\end{boldenvironment}
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\begin{boldenvironment}[Frage]
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@ -96,15 +111,17 @@ Sei $f:B_r(x_0)\subset K\to K$ gegen durch eine Potenzreihe \begin{align}
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\begin{proposition}
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\proplbl{funktionsfolgen_satz_3}
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Sei $f:B_r(x_0)\subset K\to K$ Potenzreihe gemäß \eqref{funktionsfolgen_potenzreihe} \\
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\hspace*{1.5ex}$\Rightarrow$ $f$ ist \gls{diffbar} auf $B_r(x_0)$ mit \begin{align}
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\hspace*{1.5ex}$\Rightarrow$ $f$ ist \gls{diffbar} auf $B_r(x_0)$ mit
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\begin{align}
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\proplbl{funktionsfolgen_satz_3_eq}
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f'(x) &= \sum_{k=1}^\infty k a_k (x - x_0)^{k-1}\quad\forall x\in B_r(x_0)
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\end{align}
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\end{proposition}
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\begin{conclusion}
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Sei $f:B_r(x_0)\subset K\to K$ Potenzreihe gemäß \eqref{funktionsfolgen_potenzreihe} \\
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\hspace*{1.5ex}$\Rightarrow$ $f\in C^\infty (B_r(x_0), K)$ und \begin{align}
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||||
Sei $f:B_R(x_0)\subset K\to K$ Potenzreihe gemäß \eqref{funktionsfolgen_potenzreihe} \\
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||||
\hspace*{1.5ex}$\Rightarrow$ $f\in C^\infty (B_R(x_0), K)$ und
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\begin{align}
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\proplbl{funktionsfolgen_eq_8}
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a_k = \frac{1}{k!}\cdot f^{(k)})(x_0)
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\end{align}
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@ -113,20 +130,24 @@ Sei $f:B_r(x_0)\subset K\to K$ gegen durch eine Potenzreihe \begin{align}
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\begin{proof}
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$k$-fache Anwendung von \cref{funktionsfolgen_satz_3} liefert $f\in C^k(B_r(x_0), K)$ $\forall k\in \mathbb{N}$\\
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\ $\xRightarrow{\eqref{funktionsfolgen_satz_3_eq}}$ $f'(x) = a_1$, $f''(x_0) = 2a_k$, $\dotsc$ rekursiv folgt \eqref{funktionsfolgen_eq_8}.
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||||
$\xRightarrow{\eqref{funktionsfolgen_satz_3_eq}}$ $f'(x) = a_1$, $f''(x_0) = 2a_k$, $\dotsc$ rekursiv folgt \eqref{funktionsfolgen_eq_8}.
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\end{proof}
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\begin{proof}[\propref{funktionsfolgen_satz_3}]
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Betrache die Partialsummen\begin{align*}
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f_k(x) := \sum_{j=0}^k a_j(x- x_0)^j\quad\forall x\in B_r(x_0)
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Betrache die Partialsummen
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\begin{align*}
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f_k(x) := \sum_{j=0}^k a_j(x- x_0)^j\quad\forall x\in B_R(x_0)
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\end{align*}
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\ $\Rightarrow$ $f_k(x_0)\xrightarrow{k\to\infty} f(x_0)$ und $f_k$ \gls{diffbar} mit \begin{align*}
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f_k'(x) = \sum_{j=1}^k j a_j(x - x_0)^{j-1}\quad\forall x\in B_r(x_0)
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$\Rightarrow$ $f_k(x_0)\xrightarrow{k\to\infty} f(x_0)$ und $f_k$ \gls{diffbar} mit
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\begin{align*}
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||||
f_k'(x) = \sum_{j=1}^k j a_j(x - x_0)^{j-1}\quad\forall x\in B_R(x_0)
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\end{align*}
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Wegen \begin{align*}
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Wegen
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\begin{align*}
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\limsup\limits_{k\to\infty} \sqrt[k]{(k+1)\vert a_{k+1}\vert} = \limsup \sqrt[k]{k\left(1 + \frac{1}{k}\right)} \cdot \left( \sqrt[k+1]{\vert a_{k+1}\vert}\right)^{\frac{k+1}{k}} = \limsup \sqrt[k]{\vert a_k\vert} = \frac{1}{R}
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\end{align*}
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hat die Potenzreihe \begin{align*}
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hat die Potenzreihe
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\begin{align*}
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g(x) := \sum_{k=1}^\infty k a_k(x-x_0)^{k-1}
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\end{align*}
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den Konvergenzradius $R$ \\
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@ -141,16 +162,18 @@ Sei $f:B_r(x_0)\subset K\to K$ gegen durch eine Potenzreihe \begin{align}
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\begin{example}
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Es gilt \begin{align}
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\proplbl{funktionsfolgen_eq_9}
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\ln(1+x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}\quad\forall x\in (-1,1)\subset \mathbb{R}
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||||
\ln(1+x) = f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}\quad\forall x\in (-1,1)\subset \mathbb{R}
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\end{align}
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\end{example}
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\begin{proof}
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$f(x)$ sei Potenzreihe \eqref{funktionsfolgen_eq_9}, hat Konvergenzradius $R=1$, $x_0=0$ \\
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$\xRightarrow{\text{\cref{funktionsfolgen_satz_3}}}$ $f$ \gls{diffbar} auf $(-1,1)$ und \begin{align*}
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$f(x)$ sei Potenzreihe in \eqref{funktionsfolgen_eq_9}, hat Konvergenzradius $R=1$, $x_0=0$ \\
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$\xRightarrow{\text{\cref{funktionsfolgen_satz_3}}}$ $f$ \gls{diffbar} auf $(-1,1)$ und
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\begin{align*}
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f'(x) = \sum_{k=0}^\infty (-x)^k = \frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}\qquad\text{geometrische Reihe}
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\end{align*}
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und\begin{align*}
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und
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\begin{align*}
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\frac{\D}{\D x}\ln (1+x) &= \frac{1}{1+x} = f'(x) \\
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f(x) &= \ln(1+x) + \mathrm{const}
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\end{align*}
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