LAAG VL 12.4 Ergänzungen

2. Semester/LAAG/TeX_files/Das_charakteristische_Polynom.tex

@@ -0,0 +1,8 @@
+\section{Das charakteristische Polynom}
+
+\begin{proposition}
+	Sei $\lambda\in K$. Genau dann ist $\lambda$ ein EW von $f$, wenn $\det(\lambda\cdot\id_V-f)=0$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Da $\Eig(f,\lambda)=\Ker(\lambda\cdot\id_V-f)$ ist $\lambda$ genau dann ein EW von $f$, wenn $\dim_K(\Ker(\lambda\cdot\id_V-f))>0$, also wenn $\lambda\cdot\id_V-f\notin\Aut_K(V)$. Nach IV.4.6 bedeutet dies, dass $\det(\lambda\cdot\id_V-f)=0$ %TODO: Verlinkung setzen
+\end{proof}

2. Semester/LAAG/TeX_files/Eigenwerte.tex

@@ -35,4 +35,69 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist, die Geometrie von $f$ besser zu verstehen und Base
 
 \begin{remark}
 	Achtung! Der Nullvektor ist nach Definition kein Eigenvektor, aber $\lambda=0$ kann ein Eigenwert sein, nämlich genau dann, wenn $f\notin\Aut_K(V)$, siehe Übung. Die Menge der Eigenvektoren zu $\lambda$ ist also $\Eig (f,\lambda)\backslash\{0\}$ und $\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert von $f$, wenn $\Eig (f,\lambda)\neq\{0\}$.
-\end{remark}
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+	Ist $A=\diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$ und $f=f_A\in\End_K(K^n)$, so sind $\lambda_1,...,\lambda_n$ EW von $f$ und jedes $e_i$ ist ein EV zum EW $\lambda_i$.
+\end{example}
+
+\begin{proposition}
+	Sei $B$ eine Basis von $V$. Genau dann ist $M_B(f)$ eine Diagonalmatrix, wenn $B$ aus EV von $f$ besteht.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Ist $B=(x_1,...x_n)$ eine Basis aus EV zu EW $\lambda_1,....,\lambda_n$, so ist $M_B(f)= \diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$ und umgekehrt.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+	Sei $K=\real$, $V=\real^2$ und $f_{\alpha}\in\End_K(\real^2)$ die Drehung um den Winkel $\alpha\in [0,2\pi)$ \\
+	$\Rightarrow M_E(f_{\alpha})=\begin{pmatrix}\cos(\alpha)&-\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha)\end{pmatrix}$ \\
+	Für $\alpha=0$ hat $f_{\alpha}=\id_{\real^2}$ nur den EW 1. \\
+	Für $\alpha=\pi$ hat $f_{\alpha}=-\id_{\real^2}$ nur den EW -1. \\
+	Für $\alpha\neq 0,\pi$ hat $f_{\alpha}$ keine EW.
+\end{example}
+
+\begin{lemma}
+	\proplbl{lemma_EW_lin_unabh}
+	Sind $\lambda_1,...,\lambda_n$ paarweise verschiedene EW von $f$ und ist $x_i$ ein EV zu $\lambda_i$ für $i=1,...,m$, so ist $(x_1,...,x_m)$ linear unabhängig.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Induktion nach $m$\\
+	\emph{$m=1$}: klar, denn $x_1\neq 0$ \\
+	\emph{$m-1\to m$}: Sei $\sum\limits_{i=1}^m \mu_i x_i=0$ mit $\mu_1,...,\mu_m\in K$.
+	\begin{align}
+		0&= (f-\lambda\cdot\id_V)\left( \sum\limits_{i=1}^m \mu_i x_i\right) \notag \\
+		&= \sum\limits_{i=1}^m \mu_i(f(x_i)-\lambda_m\cdot x_i) \notag \\
+		&= \sum\limits_{i=1}^{m-1} \mu_i(\lambda_i-\lambda_m)\cdot x_i \notag
+	\end{align} 
+	Nach IB ist $\mu_i(\lambda_i-\lambda_m)=0$ für $i=1,...,m-1$, da $\lambda_i\neq\lambda_m$ für $i\neq m$ also $\mu_i=0$ für $i=1,...,m-1$. Damit ist auch $\mu_m=0$. Folglich ist $(x_1,...,x_m)$ linear unabhängig.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+	Sind $\lambda_1,...,\lambda_m\in K$ paarweise verschieden, so ist $\sum\limits_{i=1}^m \Eig(f,\lambda_i)=\oplus\Eig(f,\lambda_i)$.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Seien $x_i,y_i\in\Eig(f,\lambda_i)$ für $i=1,...,m$. Ist $\sum\limits_{i=1}^m x_i=\sum\limits_{i=1}^m y_i$, so ist $\sum\limits_{i=1}^m \underbrace{x_i-y_i}_{z_i}=0$.\\
+	o. E. seien $z_i\neq 0$ für $i=1,...,r$ und $z_i=0$ für $i=r+1,...,m$. Wäre $r>0$, so wären $(z_1,...,z_r)$ linear abhängig, aber $z_i=x_i-y_i\in\Eig(f,\lambda_i)\backslash\{0\}$, im Widerspruch zu \propref{lemma_EW_lin_unabh}. Somit ist $x_i=y_i$ für alle $i$ und folglich ist die Summe $\sum\Eig(f,\lambda_i)$ direkt.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[EW und EV für Matrizen]
+	Sei $A\in\Mat_n(K)$. Man definiert Eigenwerte, Eigenvektoren, etc von $A$ als Eigenwerte, Eigenvektoren von $f_A\in\End_K(K^n)$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Sei $B$ eine Basis von $V$ und $\lambda\in K$. Genau dann ist $\lambda$ ein EW von $f$, wenn $\lambda$ ein EW von $A=M_B(f)$ ist. Insbesondere haben ähnliche Matrizen die selben EW.
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+	Dies folgt aus dem kommutativen Diagramm
+	\begin{center}\begin{tikzpicture}
+		\matrix (m) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em]
+		{K^n & K^n \\ V & V \\};
+		\path[-stealth]
+		(m-1-1) edge node [left] {$\Phi_B$} (m-2-1)
+		edge node [above] {$f_A$} (m-1-2)
+		(m-2-1) edge node [below] {$f$} (m-2-2)
+		(m-1-2) edge node [right] {$\Phi_B$} (m-2-2);
+		\end{tikzpicture}\end{center}
+	denn $f_A(x)=\lambda x\iff (\Phi_B\circ f_A)(x)=\Phi_B(\lambda x)\iff f(\Phi_B(x))=\lambda\Phi_B(x)$. \\
+	Ähnliche Matrizen beschreiben den selben Endomorphismus bezüglich verschiedener Basen, vgl. IV.4.1 %TODO: Verlinkung ins alte Semester
+\end{proof}