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Vorlesung LAAG.tex

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+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=4cm,bindingoffset=5mm]{geometry}
+\usepackage{scrpage2}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{framed}
+
+\title{\textbf{Lineare Algebra 1. Semester (WS2017/18)}}
+\author{Dozent: Prof. Dr. Arno Fehm}
+\date{}
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\raggedright 
+\section{Grundgegriffe der Linearen Algebra}
+	\subsection{Logik und Mengen}
+		Wir werden die Grundlagen der Logik und der Mengenlehre kurz ansprechen.
+		\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Aussagenlogik}
+			Jede mathematisch sinnvolle Aussage ist entweder wahr oder falsch, aber nie beides!
+			\begin{compactitem}
+				\item "$1+1=2$" $\to$ wahr
+				\item "$1+1=3$" $\to$ falsch
+				\item "Es gibt unendlich viele Primzahlen" $\to$ wahr
+			\end{compactitem}
+			Man ordnet jeder mathematischen Aussage $A$ einen Wahrheitswert "wahr" oder "falsch" zu. Aussagen
+			lassen sich mit logischen Verkn\"upfungen zu neuen Aussagen zusammensetzen.
+			\begin{compactitem}
+				\item $\lor \to$ oder
+				\item $\land \to$ und
+				\item $\lnot \to$ nicht
+				\item $\Rightarrow \to$ impliziert
+				\item $\iff \to$ \"aquivalent
+			\end{compactitem}
+			Sind also $A$ und $B$ zwei Aussagen, so ist auch $A \lor B$, $A \land B$, $\lnot A$, 
+			$A \Rightarrow B$ und $A \iff B$ Aussagen. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzen Aussage ist
+			eindeutig bestimmt durch die Wahrheitswerte ihrer Einzelaussagen.
+			\begin{compactitem}
+				\item $\lnot (1+1=3) \to$ wahr
+				\item "2 ist ungerade" $\Rightarrow$ "3 ist gerade" $\to$ wahr
+				\item "2 ist gerade" $\Rightarrow$ "Es gibt unendlich viele Primzahlen" $\to$ wahr
+			\end{compactitem}
+			$\newline$
+			\begin{center}
+				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
+					\hline
+						$A$ & $B$ & $A \lor B$ & $A \land B$ & $\lnot A$ & $A \Rightarrow B$ & $A \iff B$\\
+					\hline
+						w & w & w & w & f & w & w\\
+					\hline
+						w & f & w & f & f & f & f\\
+					\hline
+						f & w & w & f & w & w & f\\
+					\hline
+						f & f & f & f & w & w & w\\
+					\hline
+				\end{tabular}
+			\end{center}
+			
+		\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Pr\"adikatenlogik}
+			Wir werden die Quantoren
+			\begin{compactitem}
+				\item $\forall$ (Allquantor, "f\"ur alle") und
+				\item $\exists$ (Existenzquantor, "es gibt") verwenden.
+			\end{compactitem}
+			Ist $P(x)$ eine Aussage, deren Wahrheitswert von einem unbestimmten $x$ abh\"angt, so ist \\
+			$\forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ f\"ur alle $x$ wahr ist, \\
+			$\exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $P(x)$ f\"ur mindestens ein $x$ wahr ist. \\
+			$\newline$
+			Insbesondere ist $\lnot \forall x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\exists x: \lnot P(x)$ wahr ist. \\
+			Analog ist $\lnot \exists x: P(x)$ genau dann wahr, wenn $\forall x: \lnot P(x)$ wahr ist.
+			
+		\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Beweise}
+			Unter einem Beweis verstehen wir die l\"uckenlose Herleitung einer mathematischen Aussage aus einer
+			Menge von Axiomen, Vorraussetzungen und schon fr\"uher bewiesenen Aussagen. \\
+			Einige Beweismethoden:
+			\begin{compactitem}
+				\item \textbf{Widerspruchsbeweis} \\
+				Man nimmt an, dass eine zu beweisende Aussage $A$ falsch sei und leitet daraus ab, dass eine 
+				andere Aussage sowohl falsch als auch wahr ist. Formal nutzt man die G\"ultigkeit der Aussage
+				$\lnot A \Rightarrow (B \land \lnot B) \Rightarrow A$.
+				\item \textbf{Kontraposition} \\
+				Ist eine Aussage $A \Rightarrow B$ zu beweisen, kann man stattdessen die Implikation 
+				$\lnot B \Rightarrow \lnot A$ beweisen.
+				\item \textbf{vollst\"andige Induktion} \\
+				Will man eine Aussage $P(n)$ f\"ur alle nat\"urlichen Zahlen zeigen, so gen\"ugt es, zu zeigen,
+				dass $P(1)$ gilt und dass unter der Induktionsbehauptung $P(n)$ stets auch $P(n+1)$ gilt 
+				(Induktionschritt). Dann gilt $P(n)$ f\"ur alle $n$. \\
+				Es gilt also das Induktionsschema: $P(1) \land \forall n: (P(n) \Rightarrow P(n+1)) \Rightarrow
+				\forall n: P(n)$.
+			\end{compactitem}
+			
+		\subsubsection{\"Uberblick \"uber die Mengenlehre}
+			Jede Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. Eine
+			Menge enth\"alt also solche Objekte, die Elemente der Menge. Die Menge ist durch ihre Elemente
+			vollst\"andig bestimmt. Diese Objekte k\"onnen f\"ur uns verschiedene mathematische Objekte, wie
+			Zahlen, Funktionen oder andere Mengen sein. Man schreibt $x \in M$ bzw. $x \notin M$, wenn x ein
+			bzw. kein Element der Menge ist. \\
+			$\newline$
+			Ist $P(x)$ ein Pr\"adikat, so bezeichnet man eine Menge mit $X := \{x \mid P(x)\}$. Hierbei muss
+			man vorsichtig sein, denn nicht immer lassen sich alle $x$ f\"ur die $P(x)$ gilt, widerspruchsfrei
+			zu einer Menge zusammenfassen. \\
+			$\newline$
+			
+			\textbf{Beispiel: endliche Mengen} \\
+			Eine Menge hei{\ss}t endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente enth\"alt. Endliche Mengen
+			notiert man oft in aufz\"ahlender Form: $M = \{1;23;4;5;6\}$. Hierbei ist die Reihenfolge
+			der Elemente nicht relevant, auch nicht die H\"aufigkeit eines Elements. \\
+			Sind die Elemente paarweise verschieden, dann ist die Anzahl der Elemente die M\"achtigkeit
+			(oder Kardinalit\"at) der Menge, die wir mit $|M|$ bezeichnen. \\
+			$\newline$
+			\textbf{Beispiel: unendliche Mengen} \\
+			\begin{compactitem}
+				\item Menge der nat\"urlichen Zahlen: $\mathbb N := \{1,2,3,4,...\}$
+				\item Menge der nat\"urlichen Zahlen mit der 0: $\mathbb N_0 := \{0,1,2,3,4,...\}$
+				\item Menge der ganzen Zahlen: $\mathbb Z := \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$
+				\item Menge der rationalen Zahlen: $\mathbb Q := \{\frac p q \mid p,q \in \mathbb Z, q 
+				\neq 0\}$
+				\item Menge der reellen Zahlen: $\mathbb R := \{x \mid x$ ist eine reelle Zahl$\}$
+			\end{compactitem}
+			Ist $M$ eine Menge, so gilt $|M|=\infty$ \\
+			$\newline$
+			
+			\textbf{Beispiel: leere Mengen} \\
+			Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente hat, die leere Menge $0 := \{\}$.
+			
+			\begin{framed}
+				\textbf{Definition Teilmenge:} Sind $X$ und $Y$ zwei Mengen, so heißt $X$ eine Teilmenge von 
+				$Y$, wenn jedes Element von $X$ auch Element von $Y$ ist, dass heißt wenn für alle 
+				$x$ $(x \in X \Rightarrow x \in Y)$ gilt.
+			\end{framed}
+			
+			Da eine Menge durch ihre Elemente bestimmt ist, gilt $X = Y \Rightarrow (X \subset Y)\land
+			(Y \subset X)$. Will man Mengengleichheit beweisen, so gen\"ugt es, die beiden Inklusionen
+			$X \subset Y$ und $Y \subset X$ zu beweisen. \\
+			$\newline$
+			
+			Ist $X$ eine Menge und $P(x)$ ein Pr\"adikat, so bezeichnet man mit $Y:= \{x \in X \mid
+			P(x)\}$ die Teilmenge von $X$, die das Pr\"adikat $P(x)$ erf\"ullen. \\
+			
+			\begin{framed}
+				\textbf{Definition Mengenoperationen:} Seien $X$ und $Y$ Mengen. Man definiert daraus 
+				weitere Mengen wie folgt:
+				\begin{compactitem}
+					\item $X \cup Y := \{x \mid x \in X \lor x \in Y\}$
+					\item $X \cap Y := \{x \mid x \in X \land x \in Y\}$
+					\item $X \backslash Y := \{x \in X \mid x \notin Y\}$
+					\item $X \times Y := \{(x,y) \mid x \in X \land y \in Y\}$
+					\item $\mathcal P(X) := \{Y \mid Y \subset X\}$
+				\end{compactitem}
+			\end{framed}
+			
+			Neben den offensichtlichen Mengengesetzen, wie dem Kommutaivgesetz, gibt es auch weniger 
+			offensichtliche Gesetze, wie die Gesetze von de Morgan: F\"ur $X_1, X_2 \subset X$ gilt:
+			\begin{compactitem}
+				\item $X \backslash (X_1 \cup X_2) = (X \backslash X_1) \cap (X \backslash X_2)$
+				\item $X \backslash (X_1 \cap X_2) = (X \backslash X_1) \cup (X \backslash X_2)$
+			\end{compactitem}
+			$\newline$
+			
+			Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen, so gilt:
+			\begin{compactitem}
+				\item $|X \times Y| = |X| \cdot |Y|$
+				\item $|\mathcal P(X)| = 2^{|X|}$
+			\end{compactitem}
+			
+	\subsection{Abbildungen}
+		\subsubsection{\"Uberblick \"uber Abbildungen}
+			Eine Abbildung $f$ von eine Menge $X$ in einer Menge $Y$ ist eine Vorschrift, die jedem $x \in X$
+			auf eindeutige Weise genau ein Element $f(x) \in Y$ zuordnet. Man schreibt dies als 
+			\begin{equation*}
+			f:
+				\begin{cases}
+					X \to Y \\ x \mapsto y
+				\end{cases}
+			\end{equation*}
+			oder $f: X \to Y, x \mapsto y$ oder noch einfacher $f: X \to Y$. Dabei hei{\ss}t $X$ die
+			Definitions- und $Y$ die Zielmenge von $f$. Zwei Abbildungen heißen gleich, wenn ihre
+			Definitionsmengen und Zielmengen gleich sind und sie jedem $x \in X$ das selbe Element
+			$y \in Y$ zuordnen. Die Abbildungen von $X$ nach $Y$ bilden wieder eine Menge, welche wir 
+			mit \textbf{Abb($X$,$Y$)} bezeichnen. \\
+			$\newline$
+			
+			Beispiele: \\
+			\begin{compactitem}
+				\item Abbildungen mit Zielmenge $\mathbb R$ nennt man Funktion: $f: \mathbb R \to \mathbb
+				R, x \mapsto x^2$
+				\item Abbildungen mit Zielmenge $\subset$ Definitionsmenge: $f: \mathbb R \to \mathbb
+				R_{\le 0}, x \mapsto x^2$ \\
+				$\to$ Diese Abbildungen sind verschieden, da sie nicht die selbe Zielmenge haben.
+				\item $f: \{0,1\} \to \mathbb R, x \mapsto x^2$
+				\item $f: \{0,1\} \to \mathbb R, x \mapsto x$ \\
+				$\to$ Diese Funktionen sind gleich. Sie haben die gleichen Definitions- und Zielmengen 
+				und sie ordnen jedem Element der Definitionsmenge das gleiche Element der Zielmenge zu.
+			\end{compactitem}
+			$\newline$
+			
+			Beispiele: \\
+			\begin{compactitem}
+				\item auf jeder Menge $X$ gibt es die identische Abbildung (Identit\"at) \\ $id: X \to X, x 
+				\mapsto x$
+				\item allgemein kann man zu jeder Teilmenge $A \subset X$ die Inklusionsabbildung zuordnen
+				$\iota_A: A \to X, x \mapsto x$
+				\item zu je zwei Mengen $X$ und $Y$ und einem festen $y_0 \in Y$ gibt es die konstante
+				Abbildung $c_{y_0}: X \to Y x \mapsto y_0$
+				\item zu jder Menge $X$ und Teilmenge $A \subset X$ definiert man die charackteristische 
+				Funktion\\ $\chi_A: X \to \mathbb R,
+				\begin{cases}
+					x \mapsto 1 \quad(x \in A) \\ x \mapsto 0 \quad(x \notin A)
+				\end{cases}
+				$
+				\item zu jeder Menge $X$ gibt es die Abbildung \\ $f: X \times X \to \mathbb R, (x,y) \mapsto
+				\delta_{x,y} \begin{cases} 1 \quad (x=y) \\ 0 \quad (x \neq y) \end{cases}$
+			\end{compactitem}
+\end{document}