Merge branch 'Buch-Struktur' of https://github.com/henrydatei/TUD_MATH_BA into Buch-Struktur

README.md

@@ -21,7 +21,7 @@ Wer mithelfen möchte, dieses Script zu vervollständigen, bitte melden.
   
    2.2 ganze und rationale Zahlen ... fertig
   
-   2.3 reelle Zahlen ... wird bearbeitet
+   2.3 reelle Zahlen ... halbfertig
    
    2.4 komplexe Zahlen ... fertig
    
@@ -80,4 +80,4 @@ Wer mithelfen möchte, dieses Script zu vervollständigen, bitte melden.
    
    3.5 Der Vektorraum der linearen Abbildungen ... fertig
    
-   3.6 Koordinatendarstellug linearer Abbildungen ... fertig
+   3.6 Koordinatendarstellug linearer Abbildungen ... up-to-date

Vorlesung LAAG.tex

@@ -2126,5 +2126,90 @@
 			d.h. $f\circ \Phi_B=\Phi_C\circ f_A$.
 		\end{framed}
 		\textit{Beweis: \\
-		kommt nach Weihnachten} \\
+		Sei zunächst $A=M_C^B(f)$. Für $j=1,...,n$ ist $\Phi_C(f_A(e_j))=\Phi_C((a_{1j},...,a_{mj})^t)=\sum\limits_{i=1}^m 
+		a_{ij}\cdot y_i=f(x_j)=f(\Phi_B(e_j))$, also $\Phi_C\circ f_A=f \circ \Phi_B$. \\
+		Sei umgekehrt $A\in Mat_{m\times n}(K)$ mit $\Phi_C\circ f_A=f\circ\Phi_B$. Da $\Phi_B$ und $\Phi_C$ Isomorphismen 
+		sind, ist $f_A$ eindeutig bestimmt: $f_A=\Phi_C^{-1}\circ f \circ \Phi_B$ und deshalb auch $A$.} \\
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Korollar:} Die Abbildung $M_C^B$: $Hom_K(V,W)\to Mat_{m\times n}(K)$ ist ein Isomorphismus von $K$-VR.
+		\end{framed}
+		\textit{Beweis: \\
+		Definiere $A$: $Hom_K(V,W)\to Mat_{m\times n}(K)$ mit $f\mapsto \Phi_C^{-1}\circ f \circ \Phi_B$. $A(f)=F_{m\times n}
+		(M_C^B(f))$, also $A=F_{m\times n}\circ M_C^B$. Die Abbildung ist bijektiv, da $\Phi_B$ und $\Phi_C$ bijektiv sind, 
+		und linear, da $\Phi_B$ und $\Phi_C$ linear sind. Also ist $A$ ein Isomorphismus. Da auch $F_{m\times n}^{-1}$ ein 
+		Isomorphismus ist, ist folglich auch $M_C^B=F_{m\times n}^{-1}\circ A$.} \\
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Lemma:} Sei $U$ ein weitere $K$-VR mit endlicher Basis $D$. Für $f\in Hom_K(V,W)$ und $g\in Hom_K(U,V)$ ist 
+			$M_C^B(f)\cdot M_B^D(g)=M_C^D(f\circ g)$.
+		\end{framed}
+		\textit{Beweis: \\
+		Sei $r=dim_K(U)$ und $A=M_B^D(g)$ und $B=M_C^B(f)$. Nach dem letzen Satz kommutieren die beiden kleinen Quadrate in: }\\
+		\begin{center}\begin{tikzpicture}
+  				\matrix (n) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em]
+  				{K^r & K^n & K^m \\ U & V & W \\};
+  				\path[-stealth]
+    			(n-1-1) edge node [left] {$\Phi_D$} (n-2-1)
+            			edge node [above] {$f_A$} (n-1-2)
+    			(n-2-1) edge node [below] {$g$} (n-2-2)
+    			(n-2-2) edge node [below] {$f$} (n-2-3)
+    			(n-1-2) edge node [right] {$\Phi_B$} (n-2-2)
+    			(n-1-2) edge node [above] {$f_B$} (n-1-3)
+    			(n-1-3) edge node [right] {$\Phi_C$} (n-2-3);
+		\end{tikzpicture}\end{center}
+		\textit{Deshalb kommutiert auch:} \\
+		\begin{center}\begin{tikzpicture}
+  				\matrix (m) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em]
+  				{K^r & K^m \\ U & W \\};
+  				\path[-stealth]
+    			(m-1-1) edge node [left] {$\Phi_D$} (m-2-1)
+            			edge node [above] {$f_B \circ f_A$} (m-1-2)
+    			(m-2-1) edge node [below] {$f\circ g$} (m-2-2)
+    			(m-1-2) edge node [right] {$\Phi_C$} (m-2-2);
+		\end{tikzpicture}\end{center}
+		\textit{Die Eindeutigkeit impliziert deshalb, dass $F_{m\times n}(M_C^B(f))\circ F_{r\times m}(M_B^D(g))=F_{r\times n}
+		(M_C^D(f\circ g))$. Da $F_{r\times n}$ injektiv ist, folgt $M_C^B(f)\cdot M_B^D(g)=M_C^D(f\circ g)$.} \\
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Korollar:} Sei $f\in Hom_K(V,W)$. Genau dann ist $f$ ein Isomorphismus, wenn $m=n$ und $M_C^B(f)=GL_n(K)$. In 
+			diesem Fall ist $M_B^C(f^{-1})=M_C^B(f)^{-1}$.
+		\end{framed}
+		\textit{Beweis: \\
+		Sei $A=M_C^B(f)$. $f$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $f_A$ einer ist, und in diesem Fall ist $m=n$. Zudem ist 
+		$f_A$ genau dann ein Isomorphimus, wenn $A\in GL_n(K)$. Ist $f$ ein Isomorphismus, so ist $M_B^C(f^{-1})\cdot 
+		M_C^B(f)=M_C^C(f^{-1}\circ f)=1_n$, also $M_B^C(f^{-1})=M_C^B(f)^{-1}$.} \\
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Korollar:} Die Abbildung $M_B:=M_B^B$: $End_K(V)\to Mat_n(K)$ ist ein Ringisomorphismus, der $Aut_K(V)$ auf 
+			$GL_n(K)$ abbildet.
+		\end{framed}
+		\textit{Beweis: \\
+		Die vorherigen Korollare und das Lemma.} \\
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Definition Transformationsmatrix:} Sind $B$ und $B'$ Basen von $V$, so nennt man $T_B'^B:=M_{B'}^B(id_V)\in 
+			GL_n(K)$ die Transformationsmatrix des Basiswechsels von $B$ nach $B'$.
+		\end{framed}
+		
+		\textbf{Bemerkung:} Nach dem letzen Satz ist $T_{B'}^B$, also die Matrix $A$, die $f_A=\Phi_B^{-1}\circ \Phi_B$ 
+		erfüllt. Ist $x=\Phi_B^{-1}(v)\in K^n$ der Koordinatenvektor von $v$ bezüglich $B$, so ist $T_{B'}^B\cdot 
+		x=f_{T_{B'}^B}(x)=(\Phi_{B'}\circ \Phi_B)(\Phi_B^{-1}(v))=\Phi_{B'}^{-1}(v)$ der Koordinatenvektor von $v$ 
+		bezüglich $B'$. \\
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Satz (Transformationsformel):} Seien $B,B'$ Basen von $V$ und $C,C'$ Basen von $W$. Für $f\in Hom_K(V,W)$ ist 
+			$M_C'^B(f)=T_C'^C\cdot M_C^B(f)\cdot (T_B'^B)^{-1}$.
+		\end{framed}
+		\textit{Beweis: \\
+		$f=id_W\circ f \circ id_V$ mit den Basen $B',B,C,C'$ und erhält $M_{C'}^{B'}(f)=M_{C'}^C(id_W)\cdot M_C^B(f)\cdot
+		M_B^{B'}(id_V)=T_{C'}^C\cdot M_C^B(f)\cdot T_B^{B'}$ und $T_B^{B'}=M_B^{B'}(id_V)=M_B^{B'}(id_V^{-1})=M_{B'}^B(id_V)^
+		{-1}=(T_{B'}^B)^{-1}$.} \\
+		
+		\begin{framed}
+			\textbf{Korollar:} Sind $B$ und $B'$ Basen von $V$ und $f\in End_K(V)$, so gilt $M_{B'}(f)=T_{B'}^B \cdot M_B(f)
+			\cdot (T_{B'}^B)^{-1}$.
+		\end{framed}
+		\textit{Beweis: \\
+		später} \\
 \end{document}