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Ameyah
commit
0181ae7a08
8 changed files with 208 additions and 178 deletions
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@ -3,7 +3,7 @@
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\proplbl{3_1_1}
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Das Würfeln mit zwei fairen, sechsseitigen Würfeln können wir mit
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\begin{align}
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\O = \set{(i,j,): i,j \in \set{1,\dots,6}}\notag
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\O = \set{(i,j) \colon i,j \in \set{1,\dots,6}}\notag
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||||
\end{align}
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und $\P = \Gleich(\O)$. Da $\abs{\O} = 36$ gilt also
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\begin{align}
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@ -11,25 +11,25 @@
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\end{align}
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Betrachte das Ereignis
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\begin{align}
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A = \set{(i,j) \in \O : i + j = 8},\notag
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A = \set{(i,j) \in \O \colon i + j = 8},\notag
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\end{align}
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dann folgt
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\begin{align}
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\P(A) = \frac{5}{36}.\notag
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\end{align}
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Werden die beiden Würfel nach einander ausgeführt, so kann nach dem ersten Wurf eine Neubewertung der Wahrscheinlichkeit von $A$ erfolgen.\\
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Ist z.B.:
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Werden die beiden Würfe nacheinander ausgeführt, so kann nach dem ersten Wurf eine Neubewertung der Wahrscheinlichkeit von $A$ erfolgen.\\
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||||
Ist z.B.
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\begin{align}
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B = \set{(i,j) \in \O, i = 4}\notag
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||||
\end{align}
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eingetreten, so kann die Summe 8 nur durch eine weitere 4 realisiert werden, also mit Wahrscheinlichkeit
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eingetreten, so kann die Summe $8$ nur durch eine weitere $4$ realisiert werden, also mit Wahrscheinlichkeit
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\begin{align}
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\frac{1}{6} = \frac{\abs{A \cap B}}{\abs{B}}.\notag
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||||
\end{align}
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Das Eintreten von $B$ führt also dazu, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $\P$ durch ein neues Wahrscheinlichkeitsmaß $\P_{B}$ ersetzt werden muss. Hierbei sollte gelten:
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\begin{align}
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&\text{Renormierung: }\P_{B} = 1\label{Renorm}\tag{R}\\
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||||
&\text{Proportionalität: Für alle} A \subset \F \mit A \subseteq B \text{ gilt }
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||||
&\text{Proportionalität: Für alle} A \subseteq \F \mit A \subseteq B \text{ gilt }
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||||
\P_{B}(A) = c_B \P(A) \text{ mit einer Konstante } c_B.\label{Prop}\tag{P}
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\end{align}
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\end{example}
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@ -64,7 +64,7 @@
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die \begriff{bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ gegeben $B$}.
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Falls $\P(B) = 0$, setze
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\begin{align*}
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\P(A \mid B) = 0 \mit \forall A \in \F
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||||
\P(A \mid B) = 0 \qquad \forall A \in \F
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||||
\end{align*}
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\end{definition}
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@ -76,104 +76,106 @@
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\P(A \mid B) &= \frac{\P(A\cap B)}{\P(B)} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{6}
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\end{align*}
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\end{example}
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Aus \propref{3_1_3} ergibt sich
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\begin{lemma}[Multiplikationsformel]
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\proplbl{3_1_4}
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Sei $(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $A_1, \dots, A_n \in \F$. Dann
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||||
Sei $(\O, \F, \P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A_1, \dots, A_n \in \F$. Dann gilt
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\begin{align*}
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||||
\P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = \P(A_1)\P(A_2 \mid A_n) \dots \P(A_n \mid A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})
|
||||
\P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = \P(A_1) \P(A_2 \mid A_1) \dots \P(A_n \mid A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})
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||||
\end{align*}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Ist $\P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = 0$, so gilt auch $\P(A_n \mid \bigcap_{i=1}^{n-1}) = 0$. Andernfalls sind alle Faktoren der rechten Seite ungleich 0 und
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||||
Ist $\P(A_1 \cap \dots \cap A_n) = 0$, so gilt auch $\P(A_n \mid \bigcap_{i=1}^{n-1} A_i) = 0$. Andernfalls sind alle Faktoren der rechten Seite ungleich Null und
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\begin{align*}
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\P(A_1)\P(A_2 \mid A_1) \dots \P(A_n \mid \bigcap_{i=1}^{n-1} A_i) \\
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||||
= \P(A_1) \cdot \frac{\P(A_1 \cap A_2)}{\P(A_1)} \dots \frac{\P(\bigcap_{i=1}^{n} A_i)}{\P(\bigcap_{i=1}^{n-1}A_i)} = \P(\bigcap_{i=1}^n A_i)
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||||
&\P(A_1) \P(A_2 \mid A_1) \dots \P(A_n \mid \bigcap_{i=1}^{n-1} A_i) \\
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||||
= &\P(A_1) \cdot \frac{\P(A_1 \cap A_2)}{\P(A_1)} \dots \frac{\P(\bigcap_{i=1}^{n} A_i)}{\P(\bigcap_{i=1}^{n-1}A_i)} \\
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||||
= &\P(\bigcap_{i=1}^n A_i)
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||||
\end{align*}
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\end{proof} %TODO add ref.
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Stehen die $A_i$ in \propref{3_1_4} in einer (zeitlichen) Abfolge, so liefert Formel einen Hinweis, wie Wahrscheinlichkeitsmaße für \begriff{Stufenexperimente} konstruiert werden können. Ein \emph{Stufenexperiment} aus $n$ nacheinander ausgeführten Teilexperimenten lässt sich als \begriff{Baumdiagramm} darstellen.
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%TODO Baumdiagramm
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Stehen die $A_i$ in \propref{3_1_4} in einer (zeitlichen) Abfolge, so liefert Formel einen Hinweis wie Wahrscheinlichkeitsmaße für \begriff{Stufenexperimente} konstruiert werden können. Ein \emph{Stufenexperiment} aus $n$ nacheinander ausgeführten Teilexperimenten lässt sich als \begriff{Baumdiagramm} darstellen.
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%(done) Baumdiagramm
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\begin{center}
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\input{./tikz/baum_1}
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% \caption{ \propref{3_1_4}}
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\includegraphics{./tikz/baum_1.pdf}
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\captionof{figure}{\cref{3_1_4}} %\propref{3_1_4}} funktioniert nicht
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\end{center}
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\begin{proposition}[Konstruktion des Wahrscheinlichkeitsmaßes eines Stufenexperiments]
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\proplbl{3_1_6}
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Gegeben seinen $n$ Ergebnisräume $\O_i = \set{\omega_i (1), \dots, \omega_i (k)}, k \in \N \cup \set{\infty}$ und es sei $\O = \bigtimes_{i = 1}^n \O_i$ der zugehörige Produktraum. Weiter seinen $\F_i$ $\sigma$-Algebren auf $\O_i$ und $\F = \bigotimes_{i=1}^n \F_i$ die Produkt-$\sigma$-Algebra auf $\O$. Setze $\omega = (\omega_1,\dots,\omega_n)$ und
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\begin{align*}
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||||
[\omega_1,\dots,\omega_n]:= \set{\omega_1}\times \dots \times \set{\omega_n} \times \O_{m-1} \times \O_{n},\quad m\le n\\
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||||
[\omega_1,\dots,\omega_m]:= \set{\omega_1}\times \dots \times \set{\omega_m} \times \O_{m+1} \times \cdots \times \O_{n},\quad m\le n\\
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||||
\P(\set{\omega_m}[\omega_1,\dots,\omega_{m-1}])
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\end{align*} %TODO check indices, m-1 instead of m+1?
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\end{align*}
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||||
für die Wahrscheinlichkeit in der $m$-ten Stufe des Experiments $\omega_m$ zu beobachten, falls in den vorausgehenden Stufen $\omega_1,\dots,\omega_{m-1}$ beobachten wurden. Dann definiert
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\begin{align*}
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||||
\P(\set{\omega}) := \P(\set{\omega_1}) \prod_{m=2}^{n}\P\brackets{\set{\omega_m} \mid [\omega_1, \dots, \omega_{m-1}]}
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%TODO maybe wrong here. check
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%(done) maybe wrong here. check
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\end{align*}
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ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\O, \F, \P)$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Nachrechnen!
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\end{proof}
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\begin{example}[\person{Polya}-Urne]
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Gegeben sei eine Urne mit $s$ Schwarze und $w$ weiße Kugeln. Bei jedem Zug wird die gezogene Kugel zusammen mit $c\in \N_0\cup \set{-1}$ weiteren Kugeln derselben Farbe zurückgelegt.
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||||
Gegeben sei eine Urne mit $s$ schwarzen und $w$ weißen Kugeln. Bei jedem Zug wird die gezogene Kugel zusammen mit $c\in \N_0 \cup \set{-1}$ weiteren Kugeln derselben Farbe zurückgelegt.
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\begin{itemize} %TODO seen both in chapter 2.2, but big bracket behind.
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\item $c=0$: Urnenmodell mit Zurücklegen
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\item $c=-1$: Urnenmodell ohne Zurücklegen
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\end{itemize}
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Beide schon in Kapitel 2.2 gesehen.\\
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Sei $c\in \N$. (Modell für zwei konkurrierende Populationen) Ziehen wir $n$-mal, so erhalten wir ein $n$-Stufenexperiment mit
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||||
Beide haben wir schon in Kapitel 2.2 gesehen.\\
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||||
Sei deshalb $c\in \N$. (Modell für zwei konkurrierende Populationen) Ziehen wir $n$-mal, so haben wir ein $n$-Stufenexperiment mit
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||||
\begin{align*}
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||||
\O = \set{0,1}^n \mit \text{ 0 = ``weiß'', 1 = ``schwarz''}\mit (\O_i = \set{0,1})
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||||
\O = \set{0,1}^n \mit \text{ 0 = ``weiß'', 1 = ``schwarz''} \quad (\O_i = \set{0,1})
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||||
\intertext{Zudem gelten im ersten Schritt}
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||||
\P(\set{0}) = \frac{w}{s+w} \und \P(\set{1}) = \frac{s}{w+s}
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||||
\P(\set{0}) = \frac{w}{s+w} \und \P(\set{1}) = \frac{s}{s+w}
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||||
\intertext{sowie}
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||||
\P(\set{\omega_m} \mid [\omega_1, \dots \omega_{m-1}]) =
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||||
\begin{cases} %TODO fix brackets!
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||||
\frac{w+c(m-1 - \sum_{i=1}^{m-1}\omega_i)}{s+w+c(m-1)} & \omega_m = 0\\
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||||
\begin{cases} %(done) fix brackets!
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||||
\frac{w+c \brackets{m-1 - \sum_{i=1}^{m-1}\omega_i}}{s+w+c(m-1)} & \omega_m = 0\\
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||||
\frac{s + c\sum_{i=1}^{m-1}\omega_i}{s+w+c(m-1)} & \omega_m = 1
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||||
\end{cases}
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||||
\end{align*}
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||||
Mit \propref{3_1_6} folgt als Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\O, \pows(\O))$
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||||
\begin{align*}
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||||
\P(\set{(\omega_1, \dots, \omega_n)}) &= \P(\set{\omega_1}) \prod_{m=2}^n \P(\set{\omega_m}\mid [\omega_1,\dots,\omega_{m-1}]) \\
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||||
&=\frac{\prod_{i=0}^{l-1}(s+c_i)\prod_{i=0}^{n-l-1}}{\prod_{i=0}^n (s+w+c_i)} \mit l=\sum_{i=1}^n \omega_i.
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||||
&=\frac{\prod_{i=0}^{l-1}(s+c \cdot i)\prod_{i=0}^{n-l-1}(w + c \cdot j)}{\prod_{i=0}^n (s+w+c \cdot i)} \mit l=\sum_{i=1}^n \omega_i.
|
||||
\intertext{Definiere wir nun die Zufallsvariable}
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||||
S_n:\O &\to \N_0 \mit (\omega_1, \dots, \omega_n) \mapsto \sum_{i=1}^n \omega_i
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||||
\intertext{welche die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln modelliert, so folgt,}
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||||
\P(S_n = l) &= \binom{n}{l}\frac{\prod_{i=0}^{l-1}(s+c_i) \prod_{j=0}^{n-l-1}(\omega + c_j)}{\prod_{i=0}^n(s+w+c_i)}
|
||||
\intertext{welche die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln modelliert, so folgt}
|
||||
\P(S_n = l) &= \binom{n}{l} \frac{\prod_{i=0}^{l-1}(s+c \cdot i) \prod_{j=0}^{n-l-1}(w + c \cdot j)}{\prod_{i=0}^n(s+w+c \cdot i)}
|
||||
\intertext{Mittels $a:= \sfrac{s}{c},b:= \sfrac{w}{c}$ folgt}
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||||
\P(S_n = l) &= \frac{\prod_{i=0}^{l-1}(-a-i)\prod_{i=0}^{-b-j-1}}{\prod_{i=0}^n (-a-b-i)} = \frac{\binom{-a}{l}\binom{-b}{n-l}}{\binom{-a-b}{n}}\\ &\mit l \in \set{0,\dots,n}
|
||||
\P(S_n = l) &= \binom{n}{l} \frac{\prod_{i=0}^{l-1}(-a-i)\prod_{j=0}^{n-l-1}(-b-j)}{\prod_{i=0}^n (-a-b-i)} = \frac{\binom{-a}{l}\binom{-b}{n \cdot l}}{\binom{-a-b}{n}}\\ &\mit l \in \set{0,\dots,n}
|
||||
\end{align*}
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||||
Dies ist die \begriff{\person{Polya}-Urne} auf $\set{0,\dots,n}, n \in \N$ mit Parametern $a,b > 0$.
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||||
Dies ist die \begriff{\person{Polya}-Verteilung} auf $\set{0,\dots,n}, n \in \N$ mit Parametern $a,b > 0$.
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||||
\end{example}
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||||
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||||
\begin{example}
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||||
Ein Student beantwortet eine Multiple-Choice-Frage mit 4 Antwortmöglichkeiten, eine davon ist richtig. Er kennt die richtige Antwort mit Wahrscheinlichkeit $\sfrac{1}{3}$. Wenn er diese kennt, so wählt er diese aus. Andernfalls wählt er zufällig (gleichverteilt) eine Antwort.\\
|
||||
Betrachte
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||||
Ein Student beantwortet eine Multiple-Choice-Frage mit 4 Antwortmöglichkeiten, eine davon ist richtig. Er kennt die richtige Antwort mit Wahrscheinlichkeit $\sfrac{2}{3}$. Wenn er diese kennt, so wählt er diese aus. Andernfalls wählt er zufällig (gleichverteilt) eine Antwort. Betrachte
|
||||
\begin{align*}
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||||
W &= \set{\text{richtige Antwort gewusst}}\\
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||||
R &= \set{\text{Richtige Antwort gewählt}}
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\intertext{Dann}
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||||
\intertext{Dann gilt}
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\P(W) &= \frac{2}{3}, \P(R \mid W) = 1, \P(R \mid W^C) = \frac{1}{4}
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||||
\end{align*}
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||||
Angenommen, der Student gibt die richtige Antwort. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er diese gewusst?
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||||
\begin{align*}
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||||
\P(W\mid R) = \text{ ?}
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||||
\end{align*}
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||||
Angenommen, der Student gibt die richtige Antwort. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er diese gewusst? $\longrightarrow \P(W\mid R) = \text{ ?}$
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||||
\end{example}
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||||
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||||
\begin{proposition}
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\proplbl{3_1_9}
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||||
Sei $(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $\O = \bigcup_{i \in I} B_i$ eine höchstens abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte Ereignisse $B_i \in \F$.
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||||
\begin{enumerate} %TODO set itemize references. or use enumerate?
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||||
\item \emph{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:} Für alle $A \in \F$
|
||||
\item \emph{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:} Für alle $A \in \F$ gilt
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||||
\begin{align*}
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||||
\P(A) = \sum_{i\in I} \P(A\mid B_i)\P(B_i) \label{eq:totWkeit}\tag{totale Wahrscheinlichkeit}
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||||
\end{align*}
|
||||
\item \emph{Satz von \person{Bayes}:} Für alle $A \in \F$ mit $\P(A) > 0$ und alle $h \in I$
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||||
\item \emph{Satz von \person{Bayes}:} Für alle $A \in \F$ mit $\P(A) > 0$ und alle $k \in I$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P(B_h \mid A) = \frac{\P(A \mid B_h)\P(B_h)}{\sum_{i\in I}\P(A\mid B_i)\P(B_i)} \label{eq:bayes}\tag{Bayes}
|
||||
\P(B_k \mid A) = \frac{\P(A \mid B_k) \P(B_k)}{\sum_{i\in I}\P(A\mid B_i)\P(B_i)} \label{eq:bayes}\tag{Bayes}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proposition}
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||||
|
|
@ -182,26 +184,26 @@ Stehen die $A_i$ in \propref{3_1_4} in einer (zeitlichen) Abfolge, so liefert Fo
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|||
\begin{enumerate}
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||||
\item Es gilt:
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||||
\begin{align*}
|
||||
\sum_{i\in I} \P(A\mid B_i)\P(B_i) \defeq \sum_{i\in I}\frac{\P(A \cap B_i)}{\P(B_i)}\P(B_i) = \sum_{i\in I} \P(A \cap B_i) \overset{\sigma-add.}{=} \P(A)
|
||||
\sum_{i\in I} \P(A\mid B_i)\P(B_i) \defeq \sum_{i\in I}\frac{\P(A \cap B_i)}{\P(B_i)}\P(B_i) = \sum_{i\in I} \P(A \cap B_i) \overset{\sigma-Add.}{=} \P(A)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P(B_h \mid A) \defeq \frac{\P(A \cap B_h)}{\P(A)} \defeq \frac{\P(A \mid B_h)\P(B_h)}{\P(A)}
|
||||
\P(B_k \mid A) \defeq \frac{\P(A \cap B_k)}{\P(A)} \defeq \frac{\P(A \mid B_k)\P(B_k)}{\P(A)}
|
||||
\end{align*}
|
||||
also mit a) auch b). %TODO add refs
|
||||
also folgt (b) aus (a). %TODO add refs
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
In der Situation von \propref{3_1_3} folgt mit dem \propref{3_1_9} \eqref{eq:totWkeit}
|
||||
In der Situation von \propref{3_1_3} folgt mit \propref{3_1_9} \eqref{eq:totWkeit}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P(R) &= \P(R \mid W)\P(W) + \P(R\mid W^C)\P(W^C)\\
|
||||
&= 1 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \frac{1}{3} = \frac{3}{4}
|
||||
\intertext{und mit dem \propref{3_1_9} \eqref{eq:bayes}} %Bayes
|
||||
\P(W \mid R) &= \frac{\P(R \mid W)\P(W)}{\P(R)} = \frac{1\frac{2}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{8}{9} \text{ für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.}
|
||||
\end{align*} %TODO compile as pdf and include it. not working.
|
||||
\intertext{und mit \propref{3_1_9} \eqref{eq:bayes}} %Bayes
|
||||
\P(W \mid R) &= \frac{\P(R \mid W)\P(W)}{\P(R)} = \frac{1 \cdot \frac{2}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{8}{9} \text{ für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.}
|
||||
\end{align*} %(done) compile as pdf and include it. not working.
|
||||
\begin{center}
|
||||
\input{./tikz/baum_2}
|
||||
% \caption{ \propref{3_1_3}}
|
||||
\includegraphics{./tikz/baum_2.pdf}
|
||||
\captionof{figure}{\cref{3_1_3}} %\propref{3_1_3} funktioniert nicht
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{example}
|
||||
|
|
@ -1,35 +1,37 @@
|
|||
\section{(Un)-abhängigkeit} \label{sec_unabhangigkeit}
|
||||
\section{(Un)abhängigkeit} \label{sec_unabhangigkeit}
|
||||
In vielen Fällen besagt die Intuition über verschiedene Zufallsexperimente / Ereignisse, dass diese sich \emph{nicht} gegenseitig beeinflussen. Für solche $A,B \in \F$ mit $\P(A) > 0, \P(B) > 0$ sollte gelten
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P(A\mid B) = \P(B), \quad \P(B\mid A) = \P(B).
|
||||
\P(A\mid B) = \P(A), \quad \P(B\mid A) = \P(B).
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[(stochastisch) unabhängig]
|
||||
\proplbl{3_2_11}
|
||||
$(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum. Zwei Ereignisse $A,B \in \F$ heißt \begriff{(stochastisch) unabhängig bezüglich $\P$}, falls
|
||||
Sei $(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum. Zwei Ereignisse $A,B \in \F$ heißt \begriff{(stochastisch) unabhängig bezüglich $\P$}, falls
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P(A\cap B) = \P(A)\P(B)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wir schreiben auch $A B$.
|
||||
Wir schreiben auch $A \upmodels B$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
\begin{example}
|
||||
Würfeln mit 2 fairen, sechsseitigen Würfel:
|
||||
Würfeln mit 2 fairen, sechsseitigen Würfeln:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\O &= \set{(i,j) \mid i,j \in\set{1,\dots,n}},\quad \F = \pows(\O), \quad \P = \Gleich(\O)
|
||||
\intertext{Betrachte}
|
||||
A&:= \set{(i,j) \in \O, i \text{ gerade}}\\
|
||||
B&:= \set{(i,j) \in \O, j > 2}
|
||||
B&:= \set{(i,j) \in \O, j \le 2}
|
||||
\end{align*}
|
||||
In diesem Fall, erwarten wir intuitiv Unabhängigkeit von $A$ und $B$.\\
|
||||
In der Tat % start using \P instead of \P!
|
||||
In der Tat ist % start using \P instead of \P!
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P(A) &= \frac{1}{2}, \quad \P(B) = \frac{1}{3} \mit \P(A\cap B) = \frac{1}{6}
|
||||
\P(A) &= \frac{1}{2}, \quad \P(B) = \frac{1}{3} \und \P(A\cap B) = \frac{1}{6}
|
||||
\intertext{was}
|
||||
\P(A \cap B) = \P(A) \P(B)
|
||||
\intertext{erfüllt}
|
||||
\P(A\cap B) &= \P(A)\P(B).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Betrachte nun
|
||||
\begin{align*}
|
||||
C&:= \set{(i,j) \in \O, i\neq j = 1}\\
|
||||
D&:= \set{(i,j) \in \O, i = 6}
|
||||
C&:= \set{(i,j) \in \O \mid i\neq j = 1}\\
|
||||
D&:= \set{(i,j) \in \O \mid i = 6}
|
||||
\intertext{dann gilt}
|
||||
\P(C) = \frac{1}{6}, \quad \P(D) = \frac{1}{6}
|
||||
\intertext{und wegen $C \cap D = \set{(6,1)}$ folgt}
|
||||
|
|
@ -37,25 +39,27 @@ In vielen Fällen besagt die Intuition über verschiedene Zufallsexperimente/ Er
|
|||
\end{align*}
|
||||
$C$ und $D$ sind also \emph{stochastisch} unabhängig, obwohl eine kausale Abhängigkeit vorliegt!
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[unabhängig bezüglich $\P$]
|
||||
$(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $I \neq \emptyset$ endliche Indexmenge. Dann heißt die Familie $(A_i)_{i \in I}$ von Ereignissen in $\F$ \begriff{unabhängig bezüglich $\P$}, falls für alle $J \subseteq I, J \neq \emptyset$ gilt:
|
||||
Sei $(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $I \neq \emptyset$ endliche Indexmenge. Dann heißt die Familie $(A_i)_{i \in I}$ von Ereignissen in $\F$ \begriff{unabhängig bezüglich $\P$}, falls für alle $J \subseteq I, J \neq \emptyset$ gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P\brackets{\bigcap_{i\in J}A_i} = \prod_{i\in J} \P(A_i)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Offensichtlich impliziert die Unabhängigkeit einer Familie die paarweise Unabhängigkeit je zweier Familienmitglieder nach \propref{3_2_11}. Umgekehrt gilt dies nicht!
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{example}[Abhängigkeit trotz paarweiser Unabhängigkeit]
|
||||
Betrachte 2-faches Bernoulliexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $\sfrac{1}{2}$, d.h.
|
||||
Betrachte zweifaches Bernoulliexperiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $\sfrac{1}{2}$, d.h.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\O = \set{0,1}^2, \quad \F = \pows(\O), \quad \P = \Gleich(\O)
|
||||
\intertext{sowie}
|
||||
A &= \set{1}\times \set{0,1} \qquad \text{(Münzwurf: erster Wurf Zahl)}\\
|
||||
B &= \set{0,1}\times \set{1} \qquad \text{(Münzwurf: zweiter Wurf Zahl)}\\
|
||||
C &= \set{0,0}\times \set{1,1} \qquad \text{(beide Würfe selbes Ergebnis)}
|
||||
A &= \set{1}\times \set{0,1} \qquad \text{(Münzwurf: erster Wurf ist Zahl)}\\
|
||||
B &= \set{0,1}\times \set{1} \qquad \text{(Münzwurf: zweiter Wurf ist Zahl)}\\
|
||||
C &= \set{(0,0), (1,1)} \qquad \text{(beide Würfe haben selbes Ergebnis)}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dann gelten
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P(A) = \frac{1}{2} = \P(A) = \P(B)
|
||||
\P(A) = \frac{1}{2} = \P(B) = \P(C)
|
||||
\intertext{und}
|
||||
\P(A\cap B) = \P(\set{(1,1)}) = \frac{1}{4} = \P(A)\P(B)\\
|
||||
\P(A\cap C) = \P(\set{(1,1)}) = \frac{1}{4} = \P(A)\P(C)\\
|
||||
|
|
@ -64,29 +68,31 @@ In vielen Fällen besagt die Intuition über verschiedene Zufallsexperimente/ Er
|
|||
also paarweise Unabhängigkeit.\\
|
||||
Aber
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P(A\cap B \cap C) = \P(\set{(1,1)}) = \frac{1}{4} + \P(A)\P(B)\P(C)
|
||||
\intertext{und $A,B,C$ sind \emph{nicht} stochastisch unabhängig.}
|
||||
\P(A\cap B \cap C) = \P(\set{(1,1)}) = \frac{1}{4} \neq \P(A)\P(B)\P(C)
|
||||
\end{align*}
|
||||
und $A,B,C$ sind \emph{nicht} stochastisch unabhängig.
|
||||
\end{example}
|
||||
\begin{definition}[Unabhängige Messräume]
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Unabhängige $\sigma$-Algebren]
|
||||
\proplbl{3_2_15}
|
||||
% started using \O for \O and \E for this special generating set E_i
|
||||
$(\O, \F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum, $I \neq \emptyset$ Indexmenge und $(E_i, \E_i)$ Messräume
|
||||
% started using \O for \Omega and \E for this special generating set E_i
|
||||
Seien $(\O, \F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum, $I \neq \emptyset$ Indexmenge und $(E_i, \E_i)$ Messräume
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Familie $\F_i \subset \F, i \in I$, heißen \emph{unabhängig}, wenn für die $J \subseteq I, I \neq \emptyset, \abs{J} < \infty$ gilt
|
||||
\item Die Familie $\F_i \subset \F, i \in I$, heißen \begriff{unabhängig}, wenn für die $J \subseteq I, I \neq \emptyset, \abs{J} < \infty$ gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P\brackets{\bigcap_{i=1} A_i} = \prod_{i\in J} \P(A_i) \qquad \text{ für beliebige } A_i \in \F_i, i \in J
|
||||
\P\brackets{\bigcap_{i \in J} A_i} = \prod_{i\in J} \P(A_i) \qquad \text{ für beliebige } A_i \in \F_i, i \in J
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Die Zufallsvariable $X_i: (\O, \F) \to (E_i, \E_i), i \in I$, heißen \emph{unabhängig}, wenn die $\sigma$-Algebren
|
||||
\item Die Zufallsvariable $X_i: (\O, \F) \to (E_i, \E_i), i \in I$, heißen \begriff{unabhängig}, wenn die $\sigma$-Algebren
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sigma(X_i) = X^{-1}(\E_i) = \set{\set{X_i \in F}, F \in \E_i}, \quad i \in I
|
||||
\sigma(X_i) = X^{-1}(\E_i) = \set{\set{X_i \in F} \colon F \in \E_i}, \quad i \in I
|
||||
\end{align*}
|
||||
unabhängig sind.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}[Zusammenhang der Definitionen]
|
||||
\proplbl{3_2_16}
|
||||
$(\O,\F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum, $I \neq \emptyset, A \in \F, i \in I$.\\
|
||||
Sei $(\O,\F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum, $I \neq \emptyset, A \in \F, i \in I$.
|
||||
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Ereignisse $A_i, i \in I$ sind unabhängig.
|
||||
|
|
@ -101,8 +107,8 @@ In vielen Fällen besagt die Intuition über verschiedene Zufallsexperimente/ Er
|
|||
\item Zudem ist 2. $\to$ 1. klar!
|
||||
\item Für 1 $\to$ 2. genügt es zu zeigen, dass
|
||||
\begin{align*}
|
||||
A_1, \dots, A_n \text{ unabhängig } &\Rightarrow B_1, \dots, B_n \text{ unabhängig von } B_i \in \set{\emptyset, A_i, A_i^C, \O}.
|
||||
\intertext{Rekursive folgt dies bereits aus}
|
||||
A_1, \dots, A_n \text{ unabhängig } &\Rightarrow B_1, \dots, B_n \text{ unabhängig mit } B_i \in \set{\emptyset, A_i, A_i^C, \O}.
|
||||
\intertext{Rekursiv folgt dies bereits aus}
|
||||
A_1,\dots, A_n \text{ unabhängig } &\Rightarrow B_1, A_2, \dots, A_n \text{ unabhängig mit } B_1 \in \set{\emptyset, A_1, A_1^C, \O}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Für $B_1 \in \set{\emptyset, A_1, \O}$ ist dies klar.\\
|
||||
|
|
@ -118,49 +124,49 @@ In vielen Fällen besagt die Intuition über verschiedene Zufallsexperimente/ Er
|
|||
\end{align*}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
Insbesondere zeigt das \propref{3_2_16}, dass wir in einer Familie unabhängiger Ereignisse beliebig viele Ereignisse durch ihr Komplement, $\emptyset$ oder $\O$ ersetzen können, ohne die Unabhängigkeit zu verlieren.
|
||||
|
||||
Insbesondere zeigt \propref{3_2_16}, dass wir in einer Familie unabhängiger Ereignisse beliebig viele Ereignisse durch ihr Komplement, $\emptyset$ oder $\O$ ersetzen können, ohne die Unabhängigkeit zu verlieren.
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\proplbl{3_2_17}
|
||||
$(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $\F_i \subseteq \F, i \in I$, seien $\cap$-stabil Familien von Ereignissen. Dann
|
||||
Sei $(\O, \F, \P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und $\F_i \subseteq \F, i \in I$, seien $\cap$-stabile Familien von Ereignissen. Dann gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\F_i, i \in I \text{ unabhängig } \Leftrightarrow \sigma(\F_i), i \in I \text{ unabhängig}.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
OBdA sei $I = \set{1, \dots, n}$ und das $\O \in \F_i, i \in I$.
|
||||
oBdA sei $I = \set{1, \dots, n}$ und $\O \in \F_i, i \in I$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\Leftarrow$: trivial, da $\F_i \subseteq \sigma(\F_i)$ und das Weglassen von Mengen erlaubt ist.
|
||||
\item $\Rightarrow$: zeigen wir rekursive
|
||||
\item $\Rightarrow$: zeigen wir rekursiv
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Wähle $F_i \in \F_i, i = 2, \dots,n$ und defnieren für $F \in \sigma(\F_i)$ die endlichen Maße
|
||||
\item Wähle $F_i \in \F_i, i = 2, \dots,n$ und defniere für $F \in \sigma(\F_i)$ die endlichen Maße
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mu(F) = \P\brackets{\bigcap_{i=1}^n F_i} \und \nu(F) = \prod_{i=1}^n \P(F_i)
|
||||
\mu(F) = \P\brackets{ F \cap F_2 \cap \cdots \cap F_n} \und \nu(F) = \P(F) \, \P(F_2) \, \dots \, \P(F_n)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Da die Familien $\F_i$ unabhängig sind, gilt
|
||||
$\mu\mid_{\F_1} = \nu\mid_{\F_1}$.
|
||||
Nach dem Eindeutigkeitssatz für Maße (\proplbl{1_1_19}) folgt $\mu\mid_{\sigma(\F_1)} = \nu\mid_{\sigma(\F_1)}$ also
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\mu\mid_{\F_1} = \nu\mid_{\F_1}
|
||||
\P\brackets{ F \cap F_2 \cap \cdots \cap F_n} = \P(F) \P(F_2) \dots \P(F_n)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Nach Eindeutigkeitssatz für Maße (\proplbl{1_1_19}) folgt $\mu\mid_{\sigma(\F_1)} = \nu\mid_{\sigma(\F_1)}$ also
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\P(\bigcap_{i=1}^n F_i) = \P(F)\P(F_1)\dots \P(F_n)
|
||||
\end{align*}
|
||||
für alle $F \in \sigma(\F_i)$ und $F_i \in \F_i, i = 1, \dots, n$. Da $\O \in \F_i$ für alle $i$ gilt die erhaltene Produktformel auf für alle Teilemenge $J \subseteq I$.\\
|
||||
für alle $F \in \sigma(\F_i)$ und $F_i \in \F_i, i = 1, \dots, n$. Da $\O \in \F_i$ für alle $i$ gilt die erhaltene Produktformel auf für alle Teilemengen $J \subseteq I$.\\
|
||||
Also sind
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\sigma(\F_1), \F_2, \dots, \F_n \text{unabhängig}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Wiederholtes Anwenden von $1$ und $2$ liefert den \propref{3_2_17}.
|
||||
\item Wiederholtes Anwenden von $1$ und $2$ liefert den Satz.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Mittels \propref{3_2_17} folgen:
|
||||
Mit \propref{3_2_17} folgen:
|
||||
|
||||
\begin{conclusion}
|
||||
$(\O,\F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und
|
||||
Sei $(\O,\F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\F_{i,j} \subseteq \F, \quad 1 \le \dots \le n, 1 \le j \le m(i)
|
||||
\F_{i,j} \subseteq \F, \quad 1 \le i \le n, 1 \le j \le m(i)
|
||||
\end{align*}
|
||||
unabhängige, $\cap$-stabile Familien.
|
||||
Dann sind auch
|
||||
|
|
@ -171,13 +177,13 @@ Mittels \propref{3_2_17} folgen:
|
|||
\end{conclusion}
|
||||
|
||||
\begin{conclusion}
|
||||
$(\O,\F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum, und
|
||||
Sei $(\O,\F,\P)$ Wahrscheinlichkeitsraum und
|
||||
\begin{align*}
|
||||
X_{ij}: \O \to E, \quad 1 \le i \le n, 1 \le j \le m(i)
|
||||
\end{align*}
|
||||
unabhängige Zufallsvariablen. Zudem seinen $f_i: E^{m(i)} \to \R$ messbar. Dann sind auch die Zufallsvariablen
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f_i(X_{i1}, \dots, X_{im(i)}), \quad 1 \le i \le n
|
||||
f_i(X_{i,1}, \dots, X_{i,m(i)}), \quad 1 \le i \le n
|
||||
\end{align*}
|
||||
unabhängig.
|
||||
\end{conclusion}
|
||||
|
|
|
|||
Binary file not shown.
|
|
@ -15,6 +15,8 @@
|
|||
%\undef{\base}
|
||||
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
|
||||
|
||||
\def\upmodels{\perp\!\!\!\perp}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\pagenumbering{roman}
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
|
|
@ -30,7 +32,7 @@
|
|||
\pagestyle{fancy}
|
||||
|
||||
\chapter*{Vorwort}
|
||||
\input{./TeX_files/Vorwort}git
|
||||
\input{./TeX_files/Vorwort}
|
||||
|
||||
\input{./TeX_files/Einfuhrung}
|
||||
% Grundbegriffe der WTheorie
|
||||
|
|
|
|||
BIN
4. Semester/STOCH/tikz/baum_1.pdf
Normal file
BIN
4. Semester/STOCH/tikz/baum_1.pdf
Normal file
Binary file not shown.
|
|
@ -1,3 +1,11 @@
|
|||
\documentclass{standalone}
|
||||
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{patterns,arrows,calc,decorations.pathmorphing,backgrounds, positioning,fit,petri,decorations.fractals,trees}
|
||||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[level distance=3cm,
|
||||
level 1/.style={sibling distance=3cm},
|
||||
level 2/.style={sibling distance=1.5cm},
|
||||
|
|
@ -20,3 +28,5 @@ child {node {$A_1$}
|
|||
node[above] {$\mathbb{P}(A_1)$}
|
||||
};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{document}}
|
||||
BIN
4. Semester/STOCH/tikz/baum_2.pdf
Normal file
BIN
4. Semester/STOCH/tikz/baum_2.pdf
Normal file
Binary file not shown.
|
|
@ -1,15 +1,23 @@
|
|||
\documentclass{standalone}
|
||||
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usetikzlibrary{patterns,arrows,calc,decorations.pathmorphing,backgrounds, positioning,fit,petri,decorations.fractals,trees}
|
||||
\usepackage{xfrac}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}[level distance=1.5cm,
|
||||
level 1/.style={sibling distance=3cm},
|
||||
level 2/.style={sibling distance=1.5cm},
|
||||
decoration = {snake, pre length=1pt, post length=1pt}]
|
||||
\node at (0,0) {}
|
||||
child {node {$\omega$}
|
||||
child {node {$W$}
|
||||
child {node {$R$} edge from parent node[left] {$1$}}
|
||||
child {node {$R^C$} edge from parent node[right] {$0$}}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[left] {$\sfrac{2}{3}$}
|
||||
}
|
||||
child {node {$\omega^C$}
|
||||
child {node {$W^C$}
|
||||
child {node {$R$} edge from parent node[left] {$\sfrac{1}{4}$}}
|
||||
child {node {$R^C$} edge from parent node[right] {$\sfrac{3}{4}$}}
|
||||
edge from parent
|
||||
|
|
@ -18,15 +26,17 @@
|
|||
\draw[->,decorate] (3,-1.5) -- (5,-1.5);
|
||||
\node at (8,0) {}
|
||||
child {node {$R$}
|
||||
child {node {$\omega$} edge from parent node[left] {$\sfrac{8}{9}$}}
|
||||
child {node {$\omega^C$} edge from parent node[right] {$\sfrac{1}{9}$}}
|
||||
child {node {$W$} edge from parent node[left] {$\sfrac{8}{9}$}}
|
||||
child {node {$W^C$} edge from parent node[right] {$\sfrac{1}{9}$}}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[left] {$\sfrac{3}{4}$}
|
||||
}
|
||||
child {node {$R^C$}
|
||||
child {node {$\omega$} edge from parent node[left] {$0$}}
|
||||
child {node {$\omega^C$} edge from parent node[right] {$1$}}
|
||||
child {node {$W$} edge from parent node[left] {$0$}}
|
||||
child {node {$W^C$} edge from parent node[right] {$1$}}
|
||||
edge from parent
|
||||
node[right] {$\sfrac{1}{4}$}
|
||||
};
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
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